Piramis geometriai figura. Piramis
2. oktatóvideó: A piramis problémája. Piramis térfogata
3. oktatóvideó: A piramis problémája. Helyes piramis
Előadás: Piramis, alapja, oldalélei, magassága, oldalsó felület; háromszög alakú piramis; helyes piramis
Piramis, tulajdonságaiPiramis Szilárd test, amelynek alapja sokszöggel rendelkezik, és minden lapja háromszögekből áll.
A piramis egy speciális esete egy kúp, amelynek alapja egy kör.
Tekintsük a piramis fő elemeit:
Apothem Egy vonalszakasz, amely összeköti a piramis tetejét az oldallap alsó szélének közepével. Más szavakkal, ez a piramis oldalának magassága.
Az ábrán az ADS, ABS, BCS, CDS háromszögek láthatók. Ha alaposan megnézi a neveket, láthatja, hogy minden háromszög nevében van egy közös betű - S. Ez azt jelenti, hogy az összes oldallap (háromszög) összefolyik egy pontban, amelyet a piramis csúcsának neveznek. .
A csúcsot az alap átlóinak metszéspontjával (háromszögek esetén a magasságok metszéspontjában) összekötő ОS szakaszt ún. piramis magassága.
Az átlós szakasz egy sík, amely áthalad a piramis tetején, valamint az alap egyik átlóján.
Mivel a piramis oldalfelülete háromszögekből áll, akkor meg kell találni teljes terület az oldalfelületnek meg kell találnia az egyes arcok területét, és össze kell hajtania őket. A lapok száma és alakja a sokszög oldalainak alakjától és méretétől függ, amely az alján található.
A piramis egyetlen síkját, amelyhez a csúcsa nem tartozik, hívják alapon piramisok.
Az ábrán azt látjuk, hogy az alján van egy paralelogramma, azonban tetszőleges sokszög lehet.
Tulajdonságok:
Tekintsük a piramis első esetét, amelyben azonos hosszúságú élei vannak:
- Egy ilyen piramis alapja körül kör írható le. Ha kivetíti egy ilyen piramis tetejét, akkor a vetülete a kör közepén lesz.
- A piramis alján lévő szögek mindegyik lapnál azonosak.
- Ebben az esetben elégséges feltétele annak, hogy a gúla alapja körül kör írható le, valamint annak feltételezésére, hogy az összes él különböző hosszúságú, azonos szögeket tekinthetünk a gúla alapja és minden éle között. az arcokat.
Ha olyan gúlával találkozik, amelyben az oldallapok és az alap közötti szögek egyenlőek, akkor a következő tulajdonságok igazak:
- Képes lesz egy kört leírni a piramis alapja körül, amelynek teteje pontosan a középpontba van vetítve.
- Ha a magasság mindkét oldalsó szélét az alaphoz húzza, akkor egyenlő hosszúak lesznek.
- Egy ilyen piramis oldalsó felületének meghatározásához elegendő megtalálni az alap kerületét, és megszorozni a magasság felével.
- S bp = 0,5P oc H.
- A piramisok típusai.
- Attól függően, hogy melyik sokszög található a gúla alján, ezek lehetnek háromszögűek, négyszögletesek stb. Ha egy szabályos sokszög (egyenlő oldalakkal) fekszik a gúla alján, akkor az ilyen piramist szabályosnak nevezzük.
Szabályos háromszög alakú piramis
Piramis koncepció
1. definíció
Piramisnak nevezzük azt a geometriai alakzatot, amelyet egy sokszög és egy, a sokszöget tartalmazó síkban nem fekvő pont alkot, amely a sokszög összes csúcsához kapcsolódik (1. ábra).
A sokszöget, amelyből a gúla összeáll, a gúla alapjának nevezzük, a ponthoz kapcsolva kapott háromszögek a gúla oldallapjai, a háromszögek oldalai a gúla oldalai, és az összes pont közös pontja. A háromszög a piramis csúcsa.
A piramisok típusai
A piramis alapjában lévő szögek számától függően nevezhetjük háromszögnek, négyszögnek és így tovább (2. ábra).
2. ábra.
A piramisok másik típusa a szabályos piramis.
Mutassuk be és bizonyítsuk be egy szabályos piramis tulajdonságát.
1. tétel
Egy szabályos piramis minden oldallapja egyenlő szárú háromszög, amelyek egyenlőek egymással.
Bizonyíték.
Tekintsünk egy szabályos $ n- $ szénpiramist, amelynek csúcsa $ S $ és magassága $ h = SO $. Írjunk le egy kört az alap körül (4. ábra).
4. ábra.
Tekintsük a $ SOA $ háromszöget. A Pitagorasz-tétellel azt kapjuk
Nyilvánvaló, hogy ez minden oldalsó élt meghatároz. Ezért minden oldalél egyenlő egymással, vagyis minden oldalél egyenlő szárú háromszög. Bizonyítsuk be, hogy egyenlőek egymással. Mivel az alap szabályos sokszög, az összes oldallap alapja egyenlő egymással. Következésképpen minden oldallap egyenlő a háromszögek egyenlőségének III. kritériuma szerint.
A tétel bizonyítva van.
Most bemutatjuk a szabályos piramis fogalmához kapcsolódó alábbi definíciót.
3. definíció
A szabályos piramis apotémája az oldalsó élének magassága.
Nyilvánvaló, hogy az 1. tétel szerint minden apotém egyenlő egymással.
2. tétel
Egy szabályos gúla oldalfelületét az alap fél kerületének és az apotémának a szorzataként határozzuk meg.
Bizonyíték.
Jelöljük a $ n- $ szénpiramis alapjának oldalát $ a $-val, az apotémet pedig $ d $-val. Ezért az oldalfelület területe az
Mivel az 1. Tétel szerint minden oldaloldal egyenlő, akkor
A tétel bizonyítva van.
A piramisok másik típusa a csonka piramis.
4. definíció
Ha egy közönséges piramison keresztül az alapjával párhuzamos síkot rajzolunk, akkor az e sík és az alap síkja között kialakult alakzatot csonka gúlának nevezzük (5. ábra).
5. ábra Csonka gúla
A csonka gúla oldallapjai trapéz alakúak.
3. tétel
Egy szabályos csonka gúla oldalsó felületét az alapok és az apotém félperimétereinek összegének szorzataként határozzuk meg.
Bizonyíték.
Jelöljük a $ n- $ szénpiramis alapjainak oldalait rendre $ a \ és \ b $, az apotémet pedig $ d $. Ezért az oldalfelület területe az
Mivel minden oldal egyenlő, akkor
A tétel bizonyítva van.
Példa feladat
1. példa
Keresse meg a csonka oldalfelületét háromszög alakú piramis ha az oldallapok középvonalán átmenő síkkal levágva egy szabályos gúlából nyerjük 4 alapoldallal és 5 apotémmel.
Megoldás.
A középső sortétellel azt kapjuk, hogy a csonka piramis felső alapja $ 4 \ cdot \ frac (1) (2) = 2 $, az apotém pedig $ 5 \ cdot \ frac (1) (2) = 2,5 $.
Ekkor a 3. tétel alapján megkapjuk
Első szint
Piramis. Vizuális útmutató (2019)
Mi az a piramis?
Hogy néz ki?
Látod: az alábbi piramisnál (azt mondják az alján") Valamely sokszög, és ennek a sokszögnek minden csúcsa kapcsolódik a tér valamely pontjához (ezt a pontot hívják" csúcs»).
Ez az egész szerkezet még mindig megvan oldalsó arcok, oldalbordákés alapélek... Rajzoljuk meg újra a piramist ezekkel a nevekkel együtt:
Néhány piramis nagyon furcsán néz ki, de mégis piramisok.
Például teljesen "ferde" piramis.
És még egy kicsit a nevekről: ha van egy háromszög a piramis alján, akkor a piramist háromszögnek hívják, ha négyszög, akkor négyszög, és ha egy stag, akkor ... találd ki. saját magad.
Ebben az esetben az a pont, ahol leszállt magasság nak, nek hívják alapmagasság... Ügyeljen arra, hogy a "görbe" piramisokban magasság akár a piramison kívül is lehet. Mint ez:
És nincs ezzel semmi baj. Úgy néz ki, mint egy tompa háromszög.
Helyes piramis.
Sok összetett szavak? Fejtsük meg: "Az alapon - helyesen" - ez érthető. Most emlékezzünk arra, hogy egy szabályos sokszögnek van egy középpontja - egy pont, amely az és, és a középpontja.
Nos, a „teteje az alap közepére vetítve” szavak azt jelentik, hogy a magasság alapja éppen az alap közepére esik. Nézze meg, milyen sima és szép helyes piramis.
Hatszögletű: az alapnál - szabályos hatszög, a csúcs az alap közepére vetítve.
Négyszögű: alján - négyzet, a teteje ennek a négyzetnek az átlóinak metszéspontjába van vetítve.
Háromszög alakú: az alapon - egyenlő oldalú háromszög, a csúcsot ennek a háromszögnek a magasságainak metszéspontjára vetítjük (ezek a mediánok és a felezők is).
Magasan a szabályos piramis fontos tulajdonságai:
A megfelelő piramisban
- minden oldalél egyenlő.
- minden oldallap egyenlő szárú háromszög, és ezek a háromszögek mindegyike egyenlő.
Piramis térfogata
A piramis térfogatának fő képlete:
Honnan jött pontosan? Ez nem olyan egyszerű, és először csak emlékezni kell arra, hogy a piramisnak és a kúpnak van térfogata a képletben, de a hengernek nincs.
Most számoljuk ki a legnépszerűbb piramisok térfogatát.
Legyen az alap oldala egyenlő és az oldaléle egyenlő. Meg kell találni és.
Ez a terület szabályos háromszög.
Emlékezzünk arra, hogyan találjuk meg ezt a területet. A terület képletét használjuk:
Van "" - ez, és "" - ez is, és.
Most meg fogjuk találni.
A Pitagorasz-tétel szerint
Mi egyenlő? Ez a körülírt kör sugara, mert piramishelyesés ezért - a központ.
Mivel - a metszéspont és a mediánok is.
(Pitagorasz-tétel erre)
Helyettesítsük be a képletben.
És cserélj be mindent a térfogati képletbe:
Figyelem: ha van egy szabályos tetraédered (azaz), akkor a képlet a következő:
Legyen az alap oldala egyenlő és az oldaléle egyenlő.
Itt nem kell keresgélni; végül is a tövében van egy négyzet, és ezért.
Meg fogjuk találni. A Pitagorasz-tétel szerint
Tudjuk? Majdnem. Néz:
(ezt láttuk, amikor megnéztük).
Helyettesítse a képletben:
És most a térfogati képletben is helyettesítjük.
Legyen egyenlő az alap oldala, és az oldaléle.
Hogyan lehet megtalálni? Nézd, egy hatszög pontosan hat egyforma szabályos háromszögből áll. A szabályos háromszög alakú piramis térfogatának kiszámításakor már kerestük a szabályos háromszög területét, itt a talált képletet használjuk.
Most meg fogjuk találni (ezt).
A Pitagorasz-tétel szerint
De mit számít? Könnyű, mert (és mindenki másnak is) igaza van.
Cseréljük:
\ displaystyle V = \ frac (\ sqrt (3)) (2) ((a) ^ (2)) \ sqrt (((b) ^ (2)) - ((a) ^ (2)))
PIRAMIS. RÖVIDEN A FŐRŐL
A piramis olyan poliéder, amely tetszőleges lapos sokszögből (), egy pontból, amely nem esik az alap síkjában (a piramis teteje), és minden olyan szegmensből áll, amely a piramis tetejét az alap pontjaival összeköti (oldalélek). .
Merőleges, a piramis tetejétől az alap síkjába süllyesztve.
Helyes piramis- piramis, amelynek alapjában szabályos sokszög található, és a piramis csúcsa az alap közepére vetítve van.
Helyes piramistulajdonság:
- Egy szabályos piramisban minden oldalél egyenlő.
- Minden oldallap egyenlő szárú háromszög, és ezek a háromszögek egyenlők.
Hipotézis:úgy gondoljuk, hogy a piramis alakjának tökéletessége az alakjába ágyazott matematikai törvényeknek köszönhető.
Cél: a piramist mint geometriai testet tanulmányozva adjon magyarázatot alakja tökéletességére.
Feladatok:
1. Adja meg a piramis matematikai definícióját!
2. Tanulmányozza a piramist mint geometriai testet!
3. Értsd meg, milyen matematikai ismereteket helyeztek el az egyiptomiak piramisaikban.
Privát kérdések:
1. Mi a piramis mint geometriai test?
2. Hogyan magyarázható matematikai szempontból a piramis alakjának egyedisége?
3. Mi magyarázza a piramis geometriai csodáit?
4. Mi magyarázza a piramis alakjának tökéletességét?
A piramis definíciója.
PIRAMIS (a görög pyramis, pyramidos nemzetségből) - poliéder, amelynek alapja sokszög, a többi lapja pedig közös csúcsú háromszög (ábra). Az alap szögeinek száma szerint a piramisokat megkülönböztetik háromszögletű, négyszögletes stb.
PIRAMIS - geometrikus piramis alakú monumentális építmény (néha lépcsős vagy toronyszerű is). A piramisokat az ókori egyiptomi fáraók óriássírjainak nevezik, a Kr. e. 3-2. évezredben. e., valamint a kozmológiai kultuszokhoz kötődő ősi amerikai templomok talapzatai (Mexikóban, Guatemalában, Hondurasban, Peruban).
Lehetséges, hogy görög szó A „piramis” az egyiptomi per-em-us kifejezésből származik, vagyis a piramis magasságát jelentő kifejezésből. A neves orosz egyiptológus V. Struve úgy vélte, hogy a görög „puram… j” az ókori egyiptomi „p” -mr szóból származik.
A történelemből. Miután tanulmányozta az Atanasyan szerzői „Geometria” tankönyv anyagát. Butuzov és mások, megtudtuk, hogy: Egy poliéder, amely n - gon A1A2A3 ... An és n háromszögből áll, PA1A2, PA2A3, ..., PnA1, piramisnak nevezzük. Az A1A2A3 sokszög ... An a piramis alapja, a PA1A2, PA2A3, ..., PANA1 háromszögek pedig a gúla oldallapjai, P a gúla teteje, a PA1, PA2,…, PAN szakaszok az oldalsó élek.
A piramisnak ez a meghatározása azonban nem mindig létezett. Például az ókori görög matematikus, a hozzánk eljutott matematikai elméleti értekezések szerzője, Eukleidész a piramist olyan testi alakként határozza meg, amelyet egy síkból egy pontba konvergáló síkok határolnak.
De ezt a meghatározást már az ókorban kritizálták. Ezért Heron a piramis következő meghatározását javasolta: "Ez egy olyan alak, amelyet egy pontban összefutó háromszögek határolnak, és amelynek alapja egy sokszög."
Csoportunk ezeket a definíciókat összevetve arra a következtetésre jutott, hogy nincs egyértelmű megfogalmazásuk az „alapítvány” fogalmáról.
Megvizsgáltuk ezeket a definíciókat, és megtaláltuk Adrien Marie Legendre definícióját, aki 1794-ben "Elements of Geometry" című művében a következőképpen határozza meg a piramist: "A piramis egy szilárd alak, amelyet egy pontban összefutó és a piramis különböző oldalain végződő háromszögek alkotnak. lapos alap."
Számunkra úgy tűnik, hogy az utolsó meghatározás világos képet ad a piramisról, mivel arra utal, hogy az alap lapos. A piramis egy másik meghatározása egy 19. századi tankönyvben jelent meg: "a piramis egy térszög, amelyet egy sík metsz."
A piramis mint geometriai test.
Hogy. A piramis egy poliéder, amelynek egyik lapja (alapja) sokszög, a többi lapja (oldala) háromszög, amelynek egy közös csúcsa (a piramis csúcsa) van.
A piramis tetejétől az alap síkjához húzott merőlegest ún magasságh piramisok.
Az önkényes piramison kívül vannak helyes piramis, melynek tövében egy szabályos sokszög és csonka piramis.
Az ábrán a PABCD piramis látható, az ABCD az alapja, a PO a magassága.
Négyzet teljes felület A piramist az összes lapja területének összegének nevezzük.
S teljes = S oldal + S fő, ahol S oldal- az oldallapok területének összege.
A piramis térfogata a következő képlettel találjuk meg:
V = 1/3Sb. h, ahol Sosn. - alapterület, h- magasság.
 |
|
Apothem ST - a szabályos piramis oldallapjának magassága.
Egy szabályos gúla oldallapjának területét a következőképpen fejezzük ki: S oldal. = 1/2P h, ahol P az alap kerülete, h- az oldallap magassága (a szabályos piramis apotémája). Ha a piramist az alappal párhuzamos A'B'C'D sík metszi, akkor:
1) az oldalsó bordákat és a magasságot ez a sík arányos részekre osztja;
2) a metszetben az alaphoz hasonló A'B'C'D' sokszöget kapunk;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png "width =" 287 "height =" 151 ">
Csonka piramis alapok- hasonló sokszög ABCD és A`B`C`D`, oldallapok - trapéz.
Magasság csonka piramis - az alapok közötti távolság.
Csonka kötet A piramist a következő képlettel találjuk meg:
V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png "align =" left "width =" 91 "height =" 96 "> Egy szabályos csonka gúla oldalfelülete a következőképpen van kifejezve: S oldal. = ½ (P + P ') h, ahol P és P' az alapok kerülete, h- az oldallap magassága (a helyes csonka piramisok apotémája
A piramis szakaszai.
A piramis csúcsán áthaladó síkok metszetei háromszögek.
A gúla két nem szomszédos oldalélén áthaladó szakaszt ún átlós szakasz.
Ha a szakasz egy ponton halad át az oldalélen és az alap oldalán, akkor ez az oldal lesz a nyomvonala a piramis alapjának síkján.
A gúla lapján fekvő ponton áthaladó metszet és a metszet adott nyomvonala az alapsíkon, akkor az építést a következőképpen kell elvégezni:
· Keresse meg az adott lap síkjának és a gúla metszetének nyomvonalának metszéspontját és jelölje ki!
· Egy adott ponton és a kapott metszésponton átmenő egyenes építése;
· Ismételje meg ezeket a lépéseket a következő arcokra.
, ami egy derékszögű háromszög szárainak 4:3 arányának felel meg. Ez a lábak aránya megfelel a jól ismert derékszögű háromszögnek, amelynek oldalai 3: 4: 5, amelyet "tökéletes", "szent" vagy "egyiptomi" háromszögnek neveznek. A történészek szerint az "egyiptomi" háromszög mágikus jelentést kapott. Plutarkhosz azt írta, hogy az egyiptomiak a világegyetem természetét egy „szent” háromszöghöz hasonlították; szimbolikusan hasonlították a függőleges lábat a férjhez, a talpat a feleséghez, a hipotenuszt pedig ahhoz, amely mindkettőből születik.
A 3:4:5 háromszögre igaz az egyenlőség: 32 + 42 = 52, ami a Pitagorasz-tételt fejezi ki. Nem ezt a tételt akarták az egyiptomi papok fenntartani egy piramis felállításával a 3:4:5 háromszög alapján? Nehéz többet találni jó példa a Pythagorean-tétel illusztrálására, amelyet az egyiptomiak már jóval Pitagorasz felfedezése előtt ismertek.
Így zseniális alkotók egyiptomi piramisok tudásuk mélységével igyekeztek ámulatba ejteni a távoli leszármazottakat, és ezt el is érték, a Kheopsz piramis - "arany" - "fő geometriai ötleteként" választották. derékszögű háromszög, és a Khafre piramis esetében - "szent" vagy "egyiptomi" háromszög.
Kutatásaik során a tudósok nagyon gyakran használják a piramisok tulajdonságait az aranymetszet arányaival.
A matematikában enciklopédikus szótár az Aranymetszet alábbi definícióját adjuk - ez egy harmonikus felosztás, szélső és átlagos arányban való felosztás - az AB szegmens két részre osztása oly módon, hogy AC legnagyobb része a teljes AB szegmens közötti átlagos arányos, ill. kisebb része CB.
Egy szegmens aranyarányának algebrai megállapítása AB = a redukálódik az a: x = x: (a - x) egyenlet megoldására, ahol x megközelítőleg egyenlő 0,62a-val. Az x arány 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21 ... = 0,618 törtekkel fejezhető ki, ahol 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonacci-számok.
Az AB szakasz aranymetszetének geometriai felépítése a következőképpen történik: a B pontban helyreállítjuk az AB-re merőlegest, ráfektetjük a BE = 1/2 AB szakaszt, ráfektetjük az A és E szakaszt, DE = BE és végül AC = HELL, akkor teljesül az AB egyenlőség: SV = 2: 3.
aranymetszés gyakran használják műalkotásokban, építészetben, megtalálhatók a természetben. Kiemelkedő példa erre Apollo Belvedere szobra, a Parthenon. A Parthenon építése során az épület magasságának és hosszának arányát használták, ez az arány 0,618. A körülöttünk lévő tárgyak is példát szolgáltatnak az Aranymetszetre, például sok könyv kötésénél a szélesség-hossz arány közel 0,618. Figyelembe véve a levelek elrendezését a növények közös szárán, látható, hogy minden két levélpár között a harmadik az Aranymetszet (csúszdák) helyén található. Mindannyian „a kezünkben” hordjuk magunkkal az aranymetszetet - ez az ujjak falánjainak aránya.
Számos matematikai papirusz felfedezése révén az egyiptológusok tanultak egy-két dolgot az ókori egyiptomi szám- és mértékrendszerekről. A bennük foglalt feladatokat írástudók oldották meg. Az egyik leghíresebb a Rindi matematikai papirusz. A rejtvények tanulmányozása során az egyiptológusok megtudták, hogyan kezelték az ókori egyiptomiak a különböző tömegű, hosszúságú és térfogatú törteket, és hogyan bántak a szögekkel.
Az ókori egyiptomiak egy olyan módszert használtak a szögszámításra, amely egy derékszögű háromszög magasságának és alapjának arányán alapult. Bármilyen szöget kifejeztek a gradiens nyelvén. A lejtő gradiensét egy "szeked" nevű egész számaránnyal fejeztük ki. Richard Pillins a Mathematics in the Time of the Pharaohs című könyvében kifejti: „Egy szabályos piramis szöge a négy háromszöglap bármelyikének dőlése az alap síkjához képest, egy függőlegesenkénti n-edik vízszintes egységben mérve. emelési egység. Így ez az egység egyenértékű a modern dőlés kotangensünkkel. Következésképpen az egyiptomi „seked” szó rokon a mi modern „gradiens” szavunkkal.
A piramisok numerikus kulcsa magasságuk alapjához viszonyított arányában rejlik. Gyakorlatilag ez a legegyszerűbb módja annak, hogy sablonokat készítsünk, amelyek a helyes dőlésszög folyamatos ellenőrzéséhez szükségesek a piramis építése során.
Az egyiptológusok szívesen meggyőznének bennünket arról, hogy minden fáraó szívesen kifejezte egyéniségét, ezért van az egyes piramisok eltérő dőlésszöge. De lehet más oka is. Talán mindannyian más-más arányban elrejtve más-más szimbolikus asszociációt kívántak megtestesíteni. A Khafre-piramis szöge (a háromszög (3:4:5) alapján) azonban megjelenik a Rindi matematikai papirusz piramisai által ábrázolt három feladatban. Ezt a hozzáállást tehát jól ismerték az ókori egyiptomiak.
Hogy igazságosak legyünk az egyiptológusokkal szemben, akik azt állítják, hogy az ókori egyiptomiak nem ismerték a 3:4:5 arányú háromszöget, tegyük fel, hogy az 5. hipotenusz hosszát soha nem említették. De a piramisokkal kapcsolatos matematikai problémákat mindig a megtett szög - a magasság és az alap aránya - alapján oldják meg. Mivel a hypotenus hosszát soha nem említették, arra a következtetésre jutottak, hogy az egyiptomiak soha nem számították ki a harmadik oldal hosszát.
A gízai piramisokban használt magasság/alap arány kétségtelenül ismert volt az ókori egyiptomiak előtt. Lehetséges, hogy ezeket az összefüggéseket minden piramishoz önkényesen választották ki. Ez azonban ellentmond annak a fontosságnak, amelyet a numerikus szimbolikának tulajdonítanak az egyiptomi vizuális művészetek minden formájában. Nagyon valószínű, hogy ezek a kapcsolatok azért voltak jelentősek, mert konkrét vallási elképzeléseket fejeztek ki. Más szóval, az egész gízai komplexum egy koherens tervnek volt alárendelve, amely egy bizonyos isteni témát tükrözött. Ez megmagyarázná, hogy a tervezők miért választottak különböző szögeket a három piramishoz.
Az Orion misztériumában Bauval és Gilbert meggyőző bizonyítékokat mutatott be a gízai piramisok és az Orion csillagkép közötti kapcsolatra, különös tekintettel az Orion öv csillagaira. Ugyanez a csillagkép szerepel Ízisz és Ozirisz mítoszában, és létezik ok arra, hogy minden piramist a három fő istenség - Ozirisz, Ízisz és Hórusz - egyikének képének tekintsünk.
CSODÁK "GEOMETRIAI".
Egyiptom grandiózus piramisai között különleges helyet foglal el Kheopsz fáraó nagy piramisa (Khufu)... Mielőtt rátérnénk a Kheopsz-piramis alakjának és méretének elemzésére, fel kell idéznünk, milyen mértékrendszert alkalmaztak az egyiptomiak. Az egyiptomiaknak három hosszegységük volt: "könyök" (466 mm), ami hét "tenyérnek" (66,5 mm) egyenlő, ami viszont négy "ujjjal" (16,6 mm) egyenlő.
Elemezzük a Kheopsz-piramis méreteit (2. ábra), az ukrán tudós Nyikolaj Vaszjutyinszkij „Az aranyarány” (1990) csodálatos könyvében megfogalmazott érvelést követve.
A legtöbb kutató egyetért abban, hogy például a piramis alapja oldalának hossza Gf egyenlő L= 233,16 m. Ez az érték majdnem pontosan 500 "könyöknek" felel meg. Az 500 „könyök”-nek teljes mértékben megfelel, ha a „könyök” hosszát 0,4663 m-nek tekintjük.
piramis magasság ( H) a kutatók 146,6 és 148,2 m között eltérően becsülik, és a piramis elfogadott magasságától függően a geometriai elemeinek összes aránya változik. Mi az oka a piramis magasságának becsült különbségeinek? A helyzet az, hogy szigorúan véve a Kheopsz-piramis csonka. Felső platformja manapság körülbelül 10 × 10 m, egy évszázaddal ezelőtt pedig 6 × 6 m. Nyilvánvaló, hogy a piramis tetejét szétszedték, és nem felel meg az eredetinek.
A piramis magasságának értékelésekor figyelembe kell venni egy olyan fizikai tényezőt, mint a szerkezet "tervezete". Per hosszú idő kolosszális nyomás hatására (az alsó felület 1 m2-én elérve az 500 tonnát) a piramis magassága csökkent az eredeti magassághoz képest.
Mekkora volt a piramis kezdeti magassága? Ezt a magasságot a piramis alapvető "geometriai ötletének" megtalálásával lehet újra létrehozni.
2. ábra.
1837-ben G. Weisz angol ezredes megmérte a piramis lapjainak dőlésszögét: az egyenlőnek bizonyult. a= 51 ° 51 ". Ezt az értéket a legtöbb kutató még ma is felismeri. A szög jelzett értéke megfelel az érintőnek (tg a) egyenlő: 1,27306. Ez az érték megfelel a piramis magasságának arányának MINT az alapja felére CB(2. ábra), azaz AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.
És itt nagy meglepetés várt a kutatókra! .Png "width =" 25 "height =" 24 "> = 1,272. Összehasonlítva ezt az értéket a tg értékével a= 1,27306, azt látjuk, hogy ezek az értékek nagyon közel állnak egymáshoz. Ha a szöget vesszük a= 51 ° 50 ", azaz csökkentse csak egy ívperccel, majd az értéket a egyenlő lesz 1,272-vel, azaz egybeesik az értékkel. Megjegyzendő, hogy 1840-ben G. Weis megismételte méréseit, és meghatározta, hogy a szög értéke a= 51 °50 ".
Ezek a mérések a következő nagyon érdekes hipotézishez vezették a kutatókat: az AC / CB = = 1,272!
Tekintsünk most egy derékszögű háromszöget ABC, amelyben a lábak aránya AC / CB= (2. ábra). Ha most a téglalap oldalainak hossza ABC keresztül jelöli x, y, z, és azt is vegyük figyelembe, hogy az arány y/x=, akkor a Pitagorasz-tételnek megfelelően a hossz z képlettel lehet kiszámítani:
Ha elfogadod x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png "width =" 143 "height =" 27 ">
3. ábra."Arany" derékszögű háromszög.
Derékszögű háromszög, amelyben az oldalak összefüggenek, mint t: arany "derékszögű háromszög".
Ekkor, ha azt a hipotézist vesszük alapul, hogy a Kheopsz-piramis fő "geometriai ötlete" az "arany" derékszögű háromszög, akkor innen könnyen kiszámítható a Kheopsz-piramis "tervezési" magassága. Ez egyenlő:
H = (L/2) ´ = 148,28 m.
Következzünk most néhány további összefüggést a Kheopsz-piramisra, amelyek az "arany" hipotézisből fakadnak. Különösen megtaláljuk a piramis külső területének arányát az alapterületéhez képest. Ehhez vegye a láb hosszát CB egységenként, azaz: CB= 1. De akkor a gúla alapjának oldalának hossza Gf= 2, és az alapterület EFGH egyenlő lesz SEFGH = 4.
Most kiszámítjuk a Kheopsz-piramis oldallapjának területét SD... A magasság óta AB háromszög AEF egyenlő t, akkor az oldalfelület területe egyenlő lesz SD = t... Ekkor a piramis mind a négy oldallapjának összterülete 4 lesz t, és a piramis teljes külső területének az alapterülethez viszonyított aránya egyenlő lesz az aranymetszet! Az az ami - a Kheopsz-piramis fő geometriai rejtélye!
A Kheopsz-piramis "geometriai csodáinak" csoportja magában foglalja a piramis különböző dimenziói közötti kapcsolatok valós és kitalált tulajdonságait.
Általában bizonyos "állandók" keresése során nyerik őket, különösen a "pi" számot (Ludolph-szám), amely 3,14159 ...; természetes logaritmus alapja "e" (Napier-szám), egyenlő 2,71828 ...; az "F" szám, az "aranymetszés" száma, például 0,618 stb.
Megnevezheti például: 1) Hérodotosz tulajdonsága: (Magasság) 2 = 0,5 evőkanál. fő- x Apothem; 2) V ingatlan. Ár: Magasság: 0,5 st. osn = "Ф" négyzetgyöke; 3) M. Eyst tulajdonsága: Az alap kerülete: 2 Magasság = "Pi"; más értelmezésben - 2 evőkanál. fő- : Magasság = "Pi"; 4) G. Bordák tulajdonságai: Beírt kör sugara: 0,5 evőkanál. fő- = "F"; 5) Kleppisch K. tulajdona: (Art. Main.) 2: 2 (Art. Main. X Apothem) = (Art. Main. U. Apothem) = 2 (Art. Main. X Apothem): ((2 art. alap X Apothem) + (st. alap) 2). Stb. Nagyon sok ilyen tulajdonságra gondolhat, főleg ha két szomszédos piramist köt össze. Például "A. Arefiev tulajdonságaiként" megemlíthető, hogy a Kheopsz-piramis és a Khafre-piramis térfogata közötti különbség megegyezik a Mikerin-piramis kétszeres térfogatával ...
D. Hambidge "Dinamikus szimmetria az építészetben" és M. Geek "Az arány esztétikája a természetben és a művészetben" című könyveiben sok érdekes rendelkezés található, különösen a piramisok "aranymetszés" szerinti építéséről. Emlékezzünk vissza, hogy az "aranymetszés" egy szakasz felosztása ilyen arányban, amikor az A rész annyiszor nagyobb, mint a B rész, és A hányszor kisebb, mint a teljes A + B szegmens. Az A / B arány egyenlő az "Ф" számhoz == 1,618. .. Az "aranymetszés" használata nemcsak az egyes piramisokban, hanem a gízai piramisok teljes komplexumában is szerepel.
A legkülönösebb azonban az, hogy egy és ugyanaz a Kheopsz-piramis egyszerűen "nem tud" ennyi csodálatos tulajdonságot tartalmazni. Egy-egy tulajdonságot egyenként véve „beállíthatunk”, de egyszerre nem illenek össze – nem esnek egybe, ellentmondanak egymásnak. Ezért, ha például az összes tulajdonság ellenőrzésekor a gúlalapnak kezdetben ugyanazt az oldalát vesszük (233 m), akkor a különböző tulajdonságú piramisok magassága is eltérő lesz. Más szóval, létezik egy bizonyos piramiscsalád, amely külsőleg hasonlít Kheopszhoz, de más tulajdonságokkal rendelkezik. Megjegyzendő, hogy a „geometriai” tulajdonságokban nincs semmi különösebben csodálatos – sok minden tisztán automatikusan, magának az alaknak a tulajdonságaiból fakad. Csak valami nyilvánvalóan lehetetlen az ókori egyiptomiak számára tekinthető "csodának". Ide tartoznak különösen a "kozmikus" csodák, amelyekben a Kheopsz-piramis vagy a gízai piramiskomplexum méréseit összevetik néhány csillagászati méréssel, és "páros" számokat jeleznek: milliószor, milliárdszor kevesebb stb. tovább. Nézzünk néhány „kozmikus” kapcsolatot.
Az egyik állítás a következő: "Ha a piramis alapjának oldalát elosztjuk az év pontos hosszával, akkor a Föld tengelyének pontosan 10 milliomod részét kapjuk." Számítsuk ki: 233-at elosztunk 365-tel, 0,638-at kapunk. A Föld sugara 6378 km.
Egy másik állítás valójában az előző ellentéte. F. Noetling rámutatott, hogy ha az általa feltalált "egyiptomi könyököt" használjuk, akkor a piramis oldala "egy napmilliárd nap pontossággal kifejezett legpontosabb szoláris évének" felel meg - 365.540.903.777. .
P. Smith nyilatkozata: "A piramis magassága pontosan egymilliárd része a Föld és a Nap közötti távolságnak." Bár általában 146,6 m-es magasságot vesznek fel, Smith 148,2 m-re, a modern radarmérések szerint a Föld keringésének fél-főtengelye 149 597 870 + 1,6 km. Ez a Föld és a Nap közötti átlagos távolság, de a perihéliumban 5 000 000 kilométerrel kisebb, mint az aphelionban.
Egy utolsó érdekes kijelentés:
"Hogyan magyarázható meg, hogy Kheopsz, Khafre és Mykerinus piramisainak tömegei úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a Föld, Vénusz és Mars bolygók tömegei?" Számoljunk. A három piramis tömege a következő: Khafre - 0,835; Kheopsz - 1000; Mikerin - 0,0915. A három bolygó tömegének aránya: Vénusz - 0,815; Föld - 1000; Mars - 0,108.
Tehát a szkepticizmus ellenére vegyük észre az állítások felépítésének jól ismert harmóniáját: 1) a piramis magassága, mint "űrbe nyúló" vonal - a Föld és a Nap távolságának felel meg; 2) a piramis alapjának a "hordozóhoz", azaz a Földhöz legközelebb eső oldala felelős a föld sugaráért és a földi keringésért; 3) a piramis térfogata (értsd - tömegek) megfelel a Földhöz legközelebb eső bolygók tömegeinek arányának. Hasonló "rejtjel" nyomon követhető például a Karl von Frisch által elemzett méhnyelvben is. Ennek kommentálásától azonban egyelőre eltekintünk.
PIRAMIS ALAKÚ
A piramisok híres négyoldalú formája nem jelent meg azonnal. A szkíták földes dombok - halmok - formájában temették el. Az egyiptomiak kőből "dombokat" - piramisokat - állítottak fel. Erre először Felső- és Alsó-Egyiptom egyesítése után, az ie XXVIII. században került sor, amikor a III. dinasztia megalapítója, Dzsószer (Zoser) fáraó az ország egységének megerősítésével szembesült.
És itt a történészek szerint a központi kormányzat megerősítésében fontos szerepet játszott a cár "új istenítési koncepciója". Bár a királyi temetkezéseket nagyobb pompa jellemezte, elvileg nem különböztek az udvari nemesek sírjaitól, ugyanazok az építmények - mastabák. A múmiát tartalmazó szarkofággal ellátott kamra fölé kis kövekből álló téglalap alakú halmot öntöttek, ahol aztán egy nagy kőtömbökből álló kis épületet emeltek - "mastaba" (arabul - "pad"). Elődje, Sanakht mastabja helyett Dzsoser fáraó megépítette az első piramist. Ez lépcsőzetes volt, és az egyik látható átmeneti szakasza volt építészeti forma a másikra, a masztabából - a piramisba.
Ily módon a bölcs és építész Imhotep, akit később varázslónak tartottak, és akit a görögök Aszklépiosz istennel azonosítottak, "emelte fel" a fáraót. Hat mastabát állítottak fel egymás után. Ezenkívül az első piramis 1125 x 115 méteres területet foglalt el, becsült magassága 66 méter (egyiptomi mérések szerint - 1000 "tenyér"). Az építész először egy masztabát tervezett, de nem hosszúkás, hanem négyzet alakú alaprajzú. Később bővítették, de mivel a hosszabbítást lejjebb tették, két lépcsőfokot alakítottak ki.
Ez a helyzet nem elégítette ki az építészt, és tovább felső platform Hatalmas lapos mastaba Imhotep még hármat rakott, fokozatosan csökkenve a csúcsra. A sír a piramis alatt volt.
Több lépcsős piramis is ismert, de később az építők áttértek a számunkra jobban ismert tetraéder piramisok megépítésére. De miért nem háromoldalú vagy mondjuk oktaéder? Közvetett választ ad az a tény, hogy szinte minden piramis tökéletesen elhelyezkedik a négy fő irány mentén, ezért négy oldala van. Ezenkívül a piramis egy „ház”, egy négyszögletes sírkamra héja volt.
De mi okozta az élek dőlésszögét? Az "Az arányok elve" című könyvben egy egész fejezetet szentelnek ennek: "Mi határozhatja meg a piramisok dőlésszögét." Különösen azt jelzik, hogy „az a kép, amelyhez a nagy piramisok vonzódnak Az ősi királyságból- derékszögű háromszög csúcsán.
A térben ez egy féloktaéder: egy piramis, amelyben az alap élei és oldalai egyenlőek, a lapjai egyenlő oldalú háromszögek Hambage, Geek és mások könyvei tartalmaznak bizonyos megfontolásokat ebben a témában.
Mi az előnye a féloktaéder szögének? A régészek és történészek leírása szerint a piramisok egy része saját súlya alatt összeomlott. Amire szükség volt, az egy „hosszú élettartamú szög”, amely energetikailag a legmegbízhatóbb szög. Pusztán empirikusan ezt a szöget a omladozó száraz homok kupac csúcsszögéből vehetjük ki. De a pontos adatok megszerzéséhez modellt kell használni. Négy szilárdan rögzített golyót vesz fel, rá kell tenni az ötödiket, és meg kell mérni a dőlésszögeket. Itt azonban hibázhatunk, így egy elméleti számítás segít: a golyók középpontját érdemes vonalakkal összekötni (mentálisan). Az alapnál egy négyzetet kap, amelynek oldala a sugár kétszerese. A négyzet csak az alapja lesz a piramisnak, amelynek éleinek hossza is megegyezik a sugár kétszeresével.
Így az 1:4 típusú golyók sűrű pakolása megadja a megfelelő féloktaédert.
De miért nem tartja meg sok hasonló alak felé vonzó piramis? A piramisok valószínűleg elöregedtek. Ellentétben a híres mondással:
"A világon minden fél az időtől, és az idő fél a piramisoktól", a piramisok épületei elöregedjenek, nem csak külső mállási folyamatok történhetnek és kell bennük, hanem belső "zsugorodási" folyamatok is, amelyekkel a piramisok alacsonyabbakká válhatnak. A zsugorodás azért is lehetséges, mert D. Davidovits munkái alapján az ókori egyiptomiak azt a technológiát alkalmazták, hogy mészmorzsából, más szóval „betonból” tömböket készítettek. Ezek a folyamatok magyarázhatják a Kairótól 50 km-re délre található Medum piramis pusztulásának okát. 4600 éves, az alap mérete 146 x 146 m, magassága 118 m. „Miért ilyen elcsúfított?” – kérdezi V. Zamarovszkij. „Az idő pusztító hatására és a „kő más épületekben való felhasználására” való szokásos utalások itt nem megfelelőek.
Hiszen a legtöbb tömb és homloklap a mai napig a helyén maradt, a lábánál romokban.
A piramisok formája utánzással is előállítható: néhány természetes minta, "csodálatos tökéletesség", mondjuk néhány kristály oktaéder formájában.
Ilyen kristályok lehetnek a gyémánt és az arany kristályai. Jellemzően nagyszámú"metsző" jelek olyan fogalmakhoz, mint a fáraó, nap, arany, gyémánt. Mindenhol - nemes, ragyogó (ragyogó), nagyszerű, hibátlan és így tovább. A hasonlóságok nem véletlenek.
A napkultuszról ismert, hogy a vallás fontos része. Az ókori Egyiptom... "Nem számít, hogyan fordítjuk a piramisok legnagyobbjának nevét" - mondja az egyik modern kézikönyv - "Khufu's Heaven" vagy "Khufu Heavenly", ez azt jelentette, hogy a király a nap. Ha Khufu hatalmának pompájában a második napnak képzeli magát, akkor fia, Djedef-Ra lett az első az egyiptomi királyok közül, aki "Ra fiának", azaz a sziget fiának nevezte magát. Nap. A napot szinte minden nép a „szoláris fém”, az arany jelképezte. „Fényes arany nagy korongja” – így nevezték az egyiptomiak a mi napfényünket. Az egyiptomiak tökéletesen ismerték az aranyat, ismerték az őshonos formáit, ahol az aranykristályok oktaéderek formájában jelenhetnek meg.
Mint "formaminta" a "napkő" - gyémánt is érdekes itt. A gyémánt neve éppen az arab világból származik, "almas" - a legkeményebb, legkeményebb, elpusztíthatatlan. Az ókori egyiptomiak jól ismerték a gyémántot és annak tulajdonságait. Egyes szerzők szerint még bronzcsöveket is használtak gyémántvágóval a fúráshoz.
Dél-Afrika jelenleg a fő gyémántszállító, de Nyugat-Afrika is gazdag gyémántokban. A Mali Köztársaság területét ott még "Gyémántföldnek" is nevezik. Eközben Mali területén él a dogon, akivel a paleovita hipotézis hívei sok reményt fűznek (lásd alább). A gyémántok nem szolgálhattak okai az ókori egyiptomiak kapcsolatának ezzel a földdel. Azonban így vagy úgy lehetséges, hogy az ókori egyiptomiak éppen a gyémánt- és aranykristályok oktaédereinek lemásolásával istenítették „elpusztíthatatlannak”, mint egy gyémántnak és „ragyogónak”, mint az arany fáraóknak, a Nap fiainak. csak a természet legcsodálatosabb alkotásaival.
Kimenet:
A piramis mint geometriai test tanulmányozása, elemeinek és tulajdonságainak megismerése után meggyőződtünk a piramis alakjának szépségéről alkotott vélemény érvényességéről.
Kutatásunk eredményeként arra a következtetésre jutottunk, hogy az egyiptomiak a legértékesebb matematikai tudást összegyűjtve a piramisban testesítették meg. Ezért a piramis valóban a természet és az ember legtökéletesebb alkotása.
BIBLIOGRÁFIA
"Geometria: Tankönyv. 7-9 cl-hez. Általános oktatás. intézmények \ stb - 9. kiadás - M .: Oktatás, 1999
Matematika története az iskolában, M: "Oktatás", 1982
Geometria 10-11 évfolyam, M: "Oktatás", 2000
Peter Tompkins "Kheopsz nagy piramisának titkai", M: "Tsentropoligraf", 2005
Internetes források
http:// veka-i-mig. ***** /
http:// tambov. ***** / vjpusk / vjp025 / rabot / 33 / index2.htm
http:// www. ***** / enc / 54373.html
Meghatározás
Piramis Egy poliéder, amely egy \ (A_1A_2 ... A_n \) és \ (n \) háromszögekből áll, amelyeknek közös csúcsa \ (P \) (amely nem a sokszög síkjában fekszik), és a szemközti oldalak egybeesnek a sokszög oldalaival. a sokszög.
Megnevezés: \ (PA_1A_2 ... A_n \).
Példa: ötszögletű piramis \ (PA_1A_2A_3A_4A_5 \).
Háromszögek \ (PA_1A_2, \ PA_2A_3 \) stb. hívják oldalsó arcok piramisok, szakaszok \ (PA_1, PA_2 \) stb. - oldalsó bordák, sokszög \ (A_1A_2A_3A_4A_5 \) - alapon, \ pont (P \) - csúcs.
Magasság A piramisok a piramis tetejéről az alap síkjára ejtett merőlegesek.
Olyan piramist, amelynek alapjában háromszög van, un tetraéder.
A piramist az ún helyes ha az alapja szabályos sokszög, és az alábbi feltételek egyike teljesül:
\ ((a) \) a gúla oldalélei egyenlőek;
\ (b) \) a gúla magassága átmegy az alap közelében leírt kör középpontján;
\ (c) \) oldalsó bordák ugyanabban a szögben dőlnek az alap síkjához.
\ ((d) \) oldallapok ugyanabban a szögben dőlnek az alap síkjához.
Szabályos tetraéder- ez egy háromszög alakú piramis, amelynek minden lapja egyenlő egyenlő oldalú háromszög.
Tétel
A \ (a), (b), (c), (d) \) feltételek egyenértékűek.
Bizonyíték
Rajzoljuk meg a piramis magasságát \ (PH \). Legyen \ (\ alfa \) a piramis alapjának síkja.
1) Bizonyítsuk be, hogy \ ((a) \) azt jelenti, hogy \ ((b) \). Legyen \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).
Mivel \ (PH \ perp \ alpha \), akkor \ (PH \) merőleges bármely, ezen a síkon fekvő egyenesre, tehát a háromszögek téglalap alakúak. Ezért ezek a háromszögek egyenlőek a \ (PH \) közös lábban és a \ hipoténuszban (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \). Ezért \ (A_1H = A_2H = ... = A_nH \). Ez azt jelenti, hogy a \ (A_1, A_2, ..., A_n \) pontok azonos távolságra vannak a \ (H \) ponttól, tehát ugyanazon a \ (A_1H \) sugarú körön helyezkednek el. Definíció szerint ez a kör a \ sokszögre van körülírva (A_1A_2 ... A_n \).
2) Bizonyítsuk be, hogy \ ((b) \) magában foglalja \ ((c) \).
\ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) téglalap alakú és két lábon egyenlő. Ezért a szögeik is egyenlőek, ezért \ (\ szög PA_1H = \ szög PA_2H = ... = \ szög PA_nH \).
3) Bizonyítsuk be, hogy \ ((c) \) magában foglalja \ ((a) \).
Az első ponthoz hasonlóan háromszögek \ (PA_1H, PA_2H, PA_3H, ..., PA_nH \) téglalap alakú és a lábon és éles sarok... Ez azt jelenti, hogy a hipotenuszok is egyenlőek, azaz \ (PA_1 = PA_2 = PA_3 = ... = PA_n \).
4) Bizonyítsuk be, hogy \ ((b) \) magában foglalja \ ((d) \).
Mivel szabályos sokszögben a körülírt kör és a beírt kör középpontja egybeesik (általában ezt a pontot nevezzük a szabályos sokszög középpontjának), akkor \ (H \) a beírt kör középpontja. Rajzoljunk merőlegeseket a \ (H \) pontból az alap oldalaira: \ (HK_1, HK_2 \) stb. Ezek a beírt kör sugarai (definíció szerint). Ezután a TTP szerint (\ (PH \) - a síkra merőleges, \ (HK_1, HK_2 \) stb. - az oldalakra merőleges vetületek) ferde \ (PK_1, PK_2 \) stb. merőleges az oldalakra \ (A_1A_2, A_2A_3 \) stb. illetőleg. Tehát definíció szerint \ (\ PK_1H szög, \ PK_2H szög \) egyenlő az oldallapok és az alap közötti szögekkel. Mivel a \ háromszögek (PK_1H, PK_2H, ... \) egyenlőek (téglalapként két szárban), akkor a szögek \ (\ szög PK_1H, \ szög PK_2H, ... \) egyenlőek.
5) Bizonyítsuk be, hogy \ ((d) \) magában foglalja \ ((b) \).
A negyedik ponthoz hasonlóan a \ (PK_1H, PK_2H, ... \) háromszögek egyenlőek (szárban és hegyesszögben téglalap alakúak), így a \ (HK_1 = HK_2 = ... = HK_n \) szakaszok egyenlőek. Ezért definíció szerint \ (H \) az alapra írt kör középpontja. De azóta nál nél szabályos sokszögek a kör és a körülírt kör középpontja egybeesik, ekkor \ (H \) a körülírt kör középpontja. Thtd.
Következmény
Egy szabályos gúla oldallapjai egyenlő egyenlő szárú háromszögek.
Meghatározás
Egy szabályos gúla tetejéről húzott oldallapjának magasságát ún apotém.
A szabályos gúla összes oldallapjának apotémái egyenlőek egymással, és egyben mediánok és felezők is.
Fontos jegyzetek
1. Egy szabályos háromszög alakú gúla magassága az alap magasságainak (vagy felezőinek vagy mediánjainak) metszéspontjába esik (az alap szabályos háromszög).
2. Egy szabályos négyszög alakú gúla magassága az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap négyzet).
3. A szabályos hatszögletű gúla magassága az alap átlóinak metszéspontjába esik (az alap szabályos hatszög).
4. A piramis magassága merőleges az alján fekvő bármely egyenesre.
Meghatározás
A piramist az ún négyszögletes ha egyik oldaléle merőleges az alap síkjára.
Fontos jegyzetek
1. Van téglalap alakú piramis az alapra merőleges él a gúla magassága. Vagyis \ (SR \) a magasság.
2. Mert \ (SR \) merőleges az alaptól számított bármely egyenesre, tehát \ (\ háromszög SRM, \ háromszög SRP \)- derékszögű háromszögek.
3. Háromszögek \ (\ háromszög SRN, \ háromszög SRK \)- téglalap alakú is.
Ez azt jelenti, hogy bármely háromszög, amelyet ez az él és az ennek az élnek az alapon fekvő csúcsából kinyúló átló alkot, téglalap alakú lesz.
\ [(\ Nagy (\ szöveg (a piramis térfogata és felülete))) \]
Tétel
A piramis térfogata egyenlő az alapterület és a gúla magasságának szorzatának egyharmadával: \
Következmények
Legyen \ (a \) az alap oldala, \ (h \) a gúla magassága.
1. Egy szabályos háromszög alakú gúla térfogata a \ (V _ (\ szöveg (jobb háromszög pyr.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 2h \),
2. Egy szabályos négyszög alakú gúla térfogata: \ (V _ (\ szöveg (jobb oldali négy pyr.)) = \ Dfrac13a ^ 2h \).
3. Egy szabályos hatszögletű gúla térfogata a \ (V _ (\ szöveg (jobb hex)) = \ dfrac (\ sqrt3) (2) a ^ 2h \).
4. A szabályos tetraéder térfogata az \ (V _ (\ szöveg (jobb oldali tet.)) = \ Dfrac (\ sqrt3) (12) a ^ 3 \).
Tétel
Egy szabályos gúla oldalfelülete megegyezik az alap kerületének az apotém félszorzatával.
\ [(\ Nagy (\ szöveg (Csonka piramis))) \]
Meghatározás
Tekintsünk egy tetszőleges \ piramist (PA_1A_2A_3 ... A_n \). Rajzoljunk a gúla alapjával párhuzamos síkot a gúla oldalélén fekvő ponton keresztül. Ez a sík a piramist két poliéderre osztja, amelyek közül az egyik egy piramis (\ (PB_1B_2 ... B_n \)), a másik pedig az ún. csonka piramis(\ (A_1A_2 ... A_nB_1B_2 ... B_n \)).
A csonka piramisnak két alapja van - sokszög \ (A_1A_2 ... A_n \) és \ (B_1B_2 ... B_n \), amelyek hasonlóak egymáshoz.
A csonka gúla magassága a felső alap valamely pontjából az alsó alap síkjára húzott merőleges.
Fontos jegyzetek
1. A csonka gúla minden oldallapja trapéz.
2. A szabályos csonka gúla (vagyis egy szabályos gúla felvágásával kapott gúla) alapjainak középpontjait összekötő szakasz a magasság.
