Szinusz, koszinusz, érintő: mi ez? Hogyan találjuk meg a szinusz, koszinusz és érintő? Hegyesszög szinusz, koszinusz, érintő, kotangens. Trigonometrikus függvények

Emlékezzünk vissza az iskolai matematika tanfolyamra, és beszéljünk arról, hogy mi az érintő, és hogyan találjuk meg a szög érintőjét. Először is határozzuk meg, mit nevezünk érintőnek. V derékszögű háromszög hegyesszög érintője a szemközti láb és a szomszédos láb aránya. A szomszédos láb az, amelyik részt vesz a szög kialakításában, a szemközti pedig a szöggel ellentétes.

Ezenkívül egy hegyesszög érintője ennek a szögnek a szinuszának és a koszinuszának az aránya. A megértéshez emlékezzen vissza, mi a szög szinusza és koszinusza. A derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti szár és az alsó szár aránya, a koszinusz a szomszédos láb és az alsó szár aránya.

Ott van a kotangens is, ez az érintő ellentéte. A kotangens a szomszédos láb és az ellentétes szár aránya, és ennek megfelelően a szög koszinuszának és szinuszának aránya.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens egy szög trigonometrikus függvényei, megmutatják a háromszög szögei és oldalai közötti összefüggést, segítenek a háromszög oldalainak kiszámításában.

Számítsa ki egy hegyesszög érintőjét!

Hogyan találja meg az érintőt egy háromszögben? Annak érdekében, hogy ne vesztegesse az időt az érintő keresésére, speciális táblázatokat találhat, amelyekben számos szög trigonometrikus függvényei vannak feltüntetve. Az iskolai geometriai feladatokban bizonyos szögek nagyon gyakoriak, és a tanárokat arra kérik, hogy emlékezzenek szinuszaik, koszinuszaik, érintőik és kotangenseik értékére. Kínálunk Önnek egy kis tányért ezeknek a szögeknek a szükséges értékeivel.

Ha az a szög, amelynek érintőjét meg kell találnia, nem szerepel ebben a táblázatban, akkor két képletet használhat, amelyeket fentebb szóban mutattunk be.

A szög érintőjének kiszámításának első módja az, hogy az ellenkező láb hosszát elosztjuk a szomszédos láb hosszával. Tegyük fel, hogy az ellentétes szár 4, a szomszédos pedig 8. Az érintő megtalálásához 4:8 szükséges. A szög érintője ½ vagy 0,5 lesz.

Az érintő kiszámításának második módja az, hogy egy adott szög szinuszértékét elosztjuk a koszinusz értékével. Például 45 fokos szöget kapunk. Bűne = kettőnek a gyökere osztva kettővel; annak cos egyenlő ugyanaz a szám. Most elosztjuk a szinust a koszinuszral, és megkapjuk az érintőt eggyel.

Előfordul, hogy ezt a képletet kell használnia, de csak egy elem ismert - akár szinusz, akár koszinusz. Ebben az esetben hasznos lesz megjegyezni a képletet

sin2 α + cos2 α = 1. Ez az alapvető trigonometrikus azonosság. Ha egy ismeretlen elemet egy ismert elemmel fejez ki, megtudhatja a jelentését. A szinusz és koszinusz ismeretében pedig már könnyű megtalálni az érintőt.

És ha egyértelműen nem a geometria a hivatásod, de még mindig meg kell csinálni a házi feladatot, akkor az online számológép segítségével kiszámolhatod a szög érintőjét.

Elmondtuk neked egyszerű példák hogyan találjuk meg az érintőt. A feladatok feltételei azonban nehezebbek, és nem mindig lehet minden szükséges adatot gyorsan kideríteni. Ebben az esetben a Pitagorasz-tétel és a különféle trigonometrikus függvények segítenek.

Átlagos szint

Derékszögű háromszög. A teljes illusztrált útmutató (2019)

DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG. ELSŐ SZINT.

A feladatok során a derékszög egyáltalán nem szükséges - a bal alsó, ezért meg kell tanulnia, hogyan lehet felismerni egy derékszögű háromszöget ebben a formában,

és ilyenben,

és ilyenekben

Mire jó egy derékszögű háromszög? Nos... először is vannak különlegesek szép nevek pártjai számára.

Figyelem a rajzra!

Ne feledje és ne keverje össze: lábak - kettő, és a hypotenus - csak egy(az egyetlen és a leghosszabb)!

Nos, a neveket megbeszéltük, most a legfontosabb: a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz tétel.

Ez a tétel a kulcsa számos, derékszögű háromszöggel kapcsolatos probléma megoldásának. Pythagoras bizonyította már egészen ősidők óta, és azóta is sok hasznot hozott az ismerőknek. És az a legjobb benne, hogy egyszerű.

Így, Pitagorasz tétel:

Emlékszel a viccre: "A pitagorasz nadrág minden oldalról egyenlő!"?

Rajzoljuk le ugyanazt a Pitagorasz nadrágot, és nézzük meg őket.

Nem úgy néz ki, mint valami rövidnadrág? Nos, melyik oldalon és hol egyenlők? Miért és honnan jött a vicc? Ez a vicc pedig éppen a Pitagorasz-tételhez kapcsolódik, pontosabban azzal, ahogyan Pitagorasz maga fogalmazta meg tételét. És a következőképpen fogalmazta meg:

"Összeg négyzetek lábakra épített egyenlő négyzet alakú terület a hipotenuszra épült”.

Nem hangzik kicsit másképp? És így, amikor Pythagoras lerajzolta tételének kijelentését, egy ilyen kép derült ki.

Ezen a képen a kis négyzetek területeinek összege megegyezik a nagy négyzet területével. És hogy a gyerekek jobban emlékezzenek arra, hogy a lábak négyzeteinek összege egyenlő a hipotenusz négyzetével, valaki szellemes kitalálta ezt a viccet a Pitagorasz nadrágról.

Miért most fogalmazzuk meg a Pitagorasz-tételt

Pythagoras szenvedett, és beszélt a négyzetekről?

Látod, az ókorban nem volt... algebra! Nem voltak megjelölések és így tovább. Nem voltak feliratok. El tudod képzelni, milyen szörnyű volt a szegény ősi tanítványoknak mindent szavakkal megjegyezni??! És örülhetünk, hogy megvan a Pitagorasz-tétel egyszerű megfogalmazása. Ismételjük meg, hogy jobban emlékezzünk rá:

Most már könnyűnek kell lennie:

A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével.

Nos, a derékszögű háromszögről szóló legfontosabb tételt tárgyaltuk. Ha érdekli, hogyan bizonyított, olvassa el az elmélet következő szintjeit, és most menjünk tovább ... in sötét erdő... trigonometria! A szörnyű szinusz, koszinusz, érintő és kotangens szavakra.

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben.

Valójában egyáltalán nem olyan ijesztő. Természetesen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens "igazi" definícióit a cikkben kell megtalálni. De tényleg nem akarom, igaz? Örülhetünk: a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák megoldásához egyszerűen töltse ki a következő egyszerű dolgokat:

Miért a sarokról szól az egész? Hol van a sarok? Ennek megértéséhez tudnia kell, hogy az 1-4 állítások hogyan íródnak szavakkal. Nézd, értsd és emlékezz!

1.
Valójában így hangzik:

És mi van a sarokkal? Létezik olyan láb, amely a sarokkal szemben van, vagyis a szemközti (a sarok) láb? Természetesen van! Ez egy láb!

De mi a helyzet a szöggel? Nézd meg alaposan. Melyik láb szomszédos a sarokkal? Természetesen a láb. Ennélfogva a szögnél a láb szomszédos, és

Most figyelem! Nézd, mit kaptunk:

Látod milyen nagyszerű:

Most térjünk át az érintőre és a kotangensre.

Hogyan írjam le most szavakkal? Milyen a láb a sarokhoz képest? Természetesen szemben - a sarokkal szemben "fekszik". És a láb? A sarokkal szomszédos. Szóval mit csináltunk?

Látod, hogy a számláló és a nevező felcserélődött?

És most megint a sarkok és a csere:

Összegzés

Röviden írjuk le mindazt, amit tanultunk.

Pitagorasz tétel:

A derékszögű háromszög fő tétele a Pitagorasz-tétel.

Pitagorasz tétel

Egyébként jól emlékszel, mik a lábak és a hypotenus? Ha nem, akkor nézze meg a képet - frissítse tudását

Lehetséges, hogy már sokszor használta a Pitagorasz-tételt, de elgondolkozott már azon, hogy miért igaz egy ilyen tétel? Hogyan tudom bebizonyítani? Tegyünk úgy, mint az ókori görögök. Rajzoljunk egy négyzetet, amelynek oldala van.

Látod, milyen ügyesen osztottuk fel az oldalait hosszúságra és!

Most kössük össze a megjelölt pontokat

Itt azonban mást is megjegyeztünk, de te magad nézd meg a rajzot, és gondold át, miért van ez így.

Mekkora a nagyobb négyzet területe? Jobb, . Kisebb terület? Természetesen, . A négy sarok összterülete megmarad. Képzeld el, hogy egyszerre kettőt vettünk, és hipotenusokkal egymásnak támasztottuk őket. Mi történt? Két téglalap. Ez azt jelenti, hogy a "hulladékok" területe egyenlő.

Most rakjuk össze az egészet.

Alakítsuk át:

Meglátogattuk hát Pythagorast – ősi módon bebizonyítottuk tételét.

Derékszögű háromszög és trigonometria

Derékszögű háromszög esetén a következő összefüggések érvényesek:

A hegyesszög szinusza megegyezik az ellentétes láb és a hypotenus arányával

Egy hegyesszög koszinusza megegyezik a szomszédos láb és a hipotenusz arányával.

Egy hegyesszög érintője megegyezik az ellenkező láb és a szomszédos láb arányával.

Egy hegyesszög kotangense egyenlő a szomszédos láb és a szemközti láb arányával.

És mindez még egyszer egy tányér formájában:

Nagyon kényelmes!

Egyenlőségi tesztek derékszögű háromszögekre

I. Két lábon

II. A lábon és a hipotenuszon

III. Hipotenúza és hegyesszög szerint

IV. Lábon és éles sarokban

a)

b)

Figyelem! Itt nagyon fontos, hogy a lábak „megfelelőek” legyenek. Például, ha ez így van:

AKKOR A HÁROMSZÖGEK NEM EGYENLŐK, annak ellenére, hogy ugyanolyan hegyesszögűek.

Kell mindkét háromszögben a láb szomszédos volt, vagy mindkét háromszögben ellentétes volt.

Észrevetted, hogy a derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei miben térnek el a háromszögek szokásos egyenlőségének jeleitől? Vessen egy pillantást a témára, és figyeljen arra, hogy a „közönséges” háromszögek egyenlőségéhez három elemük egyenlőségére van szükség: két oldal és egy közöttük lévő szög, két szög és egy közöttük lévő oldal vagy három oldal. De a derékszögű háromszögek egyenlőségéhez csak két megfelelő elem elegendő. Remek, nem?

Körülbelül ugyanez a helyzet a derékszögű háromszögek hasonlóságának jeleivel.

A derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei

I. Éles sarkon

II. Két lábon

III. A lábon és a hipotenuszon

Medián derékszögű háromszögben

Miért van ez így?

Tekintsünk egy egész téglalapot derékszögű háromszög helyett.

Rajzoljunk egy átlót, és vegyünk egy pontot - az átlók metszéspontját. Mit tudunk a téglalap átlóiról?

És mi következik ebből?

Szóval ez kiderült

1. - medián:

Emlékezz erre a tényre! Sokat segít!

Ami még meglepőbb, hogy fordítva is igaz.

Mi haszna van abból, hogy a hipotenuszhoz húzott medián egyenlő a hipotenusz felével? Nézzük a képet

Nézd meg alaposan. Megvan:, vagyis a pont és a háromszög mindhárom csúcsa közötti távolság egyenlőnek bizonyult. De egy háromszögben csak egy pont van, a távolságok, amelyektől a háromszögnek körülbelül mindhárom csúcsa egyenlő, és ez a LEÍRT KÖR KÖZÉPJE. Szóval mi történt?

Kezdjük ezzel a "ráadásul..."

Nézzük meg és.

De az ilyen háromszögekben minden szög egyenlő!

Ugyanez elmondható az és

Most rajzoljuk le együtt:

Milyen előnyök származhatnak ebből a "hármas" hasonlóságból.

Hát például... két képlet a derékszögű háromszög magasságára.

Írjuk fel az érintett felek viszonyát:

A magasság megállapításához megoldjuk az arányt és kapjuk az első képlet "Magasság derékszögű háromszögben":

Tehát alkalmazzuk a hasonlóságot:.

Mi történik most?

Ismét megoldjuk az arányt, és megkapjuk a második képletet:

Mindkét képletet nagyon jól meg kell jegyezni, és melyiket kényelmesebb alkalmazni. Írjuk le őket újra

Pitagorasz tétel:

Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével:.

A derékszögű háromszögek egyenlőségének jelei:

• két lábon:
• a lábszáron és a hypotenusán: ill
• a lábszár és a szomszédos hegyesszög mentén: vagy
• a lábszár mentén és az ellentétes hegyesszögben: vagy
• hipotenúza és hegyesszög szerint: vagy.

A derékszögű háromszögek hasonlóságának jelei:

• egy éles sarok: vagy
• a két láb arányosságából:
• a láb és az alsó rész arányosságától: ill.

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens derékszögű háromszögben

• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya:
• A derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza a szomszédos láb és az alsó rész aránya:
• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének érintője a szemközti láb és a szomszédos láb aránya:
• Egy derékszögű háromszög hegyesszögének kotangense a szomszédos láb és a szemközti szár aránya:.

Derékszögű háromszög magassága: vagy.

Derékszögű háromszögben a csúcsból húzott medián derékszög, egyenlő a hypotenus felével:.

Egy derékszögű háromszög területe:

• a lábakon keresztül:

Trigonometria - szakasz matematikai tudomány, amely a trigonometrikus függvényeket és azok geometriai alkalmazását tárja fel. A trigonometria fejlődése az ókori Görögország idejében kezdődött. A középkorban a Közel-Kelet és India tudósai jelentősen hozzájárultak e tudomány fejlődéséhez.

Ez a cikk a trigonometria alapvető fogalmaival és definícióival foglalkozik. A fő trigonometrikus függvények definícióit tárgyalja: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens. Jelentésüket a geometria kontextusában magyarázzuk és szemléltetjük.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kezdetben a trigonometrikus függvények definícióit, amelyek argumentuma egy szög, egy derékszögű háromszög oldalainak arányaiban fejezték ki.

A trigonometrikus függvények definíciói

A szög szinusza (sin α) az ezzel a szöggel ellentétes lábnak a hipotenuszhoz viszonyított aránya.

A szög koszinusza (cos α) a szomszédos láb és az alsó rész aránya.

A szög érintője (t g α) a szemközti láb és a szomszédos láb aránya.

Szög kotangens (c t g α) - a szomszédos láb és az ellenkező láb aránya.

Ezek a meghatározások egy derékszögű háromszög hegyesszögére vonatkoznak!

Íme egy illusztráció.

Egy C derékszögű ABC háromszögben az A szög szinusza megegyezik a BC láb és az AB hipotenusz arányával.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói lehetővé teszik ezen függvények értékének kiszámítását a háromszög oldalainak ismert hosszából.

Fontos emlékezni!

A szinusz és koszinusz értéktartománya: -1-től 1-ig. Más szóval a szinusz és a koszinusz értéke -1-től 1-ig. Az érintő és a kotangens értéktartománya az egész szám sort, vagyis ezek a függvények tetszőleges értéket vehetnek fel.

A fent megadott meghatározások éles sarkokra vonatkoznak. A trigonometriában bevezetik az elforgatási szög fogalmát, melynek értéke a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozódik egy 0 és 90 fok közötti keretre A fokban vagy radiánban megadott elforgatási szöget bármely valós szám fejezi ki - ∞-től + ∞-ig.

Ebben az összefüggésben megadhatja a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens definícióját tetszőleges nagyságú szögben. Képzelje el az egységkör középpontját a derékszögű koordinátarendszer origójában.

Az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A kezdőpont valamilyen α szöggel elfordul az egységkör középpontja körül, és az A 1 pontba kerül. A definíciót az A 1 (x, y) pont koordinátáin keresztül adjuk meg.

A forgásszög szinusza (sin).

Az α forgásszög szinusza az A 1 (x, y) pont ordinátája. sin α = y

A forgásszög koszinusza (cos).

Az α forgásszög koszinusza az A 1 (x, y) pont abszcissza. cos α = x

Érintő (tg) forgásszög

Az α forgásszög érintője az A 1 (x, y) pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya. t g α = y x

A forgásszög kotangense (ctg).

Az α forgásszög kotangense az A 1 (x, y) pont abszcisszájának az ordinátájához viszonyított aránya. c t g α = x y

A szinusz és a koszinusz bármely forgásszögre definiálva van. Ez logikus, mert egy pont abszcissza és ordinátája fordulás után tetszőleges szögben meghatározható. Más a helyzet az érintővel és a kotangenssel. Az érintő nincs meghatározva, ha a pont az elfordulás után a nulla abszcissza (0, 1) és (0, - 1) ponthoz megy. Ilyen esetekben a t g α = y x érintő kifejezésnek egyszerűen nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Hasonló a helyzet a kotangenssel is. A különbség az, hogy a kotangens nincs meghatározva, amikor egy pont ordinátája eltűnik.

Fontos emlékezni!

A szinusz és a koszinusz bármely α szögre definiálva van.

Az érintő minden szögre definiálva van, kivéve α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

A kotangens minden szögre definiálva van, kivéve α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Amikor döntenek gyakorlati példák ne mondd, hogy "az α forgásszög szinusza". A "forgásszög" szavakat egyszerűen kihagytuk, ami arra utal, hogy a szövegkörnyezetből világos, hogy miről van szó.

Számok

Mi a helyzet egy szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározásával, és nem a forgásszögével?

Egy szám szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy olyan szám, amely egyenlő a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens in t radián.

Például a 10 π szinusza egyenlő a 10 π rad elforgatási szög szinuszával.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Tekintsük részletesebben.

Bármilyen valós szám t Az egységkör egy olyan pontját rendeljük hozzá, amelynek középpontja egy derékszögű derékszögű koordinátarendszer origójában van. A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül vannak meghatározva.

A kör kezdőpontja az (1, 0) koordinátákkal rendelkező A pont.

Pozitív szám t

Negatív szám t megfelel annak a pontnak, ahová a kiindulási pont megy, ha az óramutató járásával ellentétes irányban mozog a kör mentén, és bejárja a t utat.

Most, hogy létrejött a kapcsolat a szám és a kör pontja között, folytatjuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens meghatározását.

A szinusz (sin) a t

A szám szinusza t a számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátája t. sin t = y

A t szám koszinusza (cos).

Koszinusz szám t a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszája t. cos t = x

A t szám érintője (tg).

A szám érintője t- az ordináta és a számnak megfelelő egységkör pontjának abszcissza aránya t. t g t = y x = sin t cos t

Ez utóbbi meghatározások összhangban vannak a jelen szakasz elején megadott meghatározással, és nem mondanak ellent annak. A számnak megfelelő pont a körön t, egybeesik azzal a ponttal, ahová a kezdőpont egy szöggel történő elforgatás után megy t radián.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az α szög minden értéke ennek a szögnek a szinuszának és koszinuszának egy bizonyos értékének felel meg. Valamint az összes α szög, kivéve az α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z), az érintő egy bizonyos értékének felel meg. A kotangens, ahogy fentebb említettük, minden α-ra definiálva van, kivéve α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Azt mondhatjuk, hogy sin α, cos α, t g α, c t g α az alfa szög függvényei, vagy a szögargumentum függvényei.

Hasonlóképpen beszélhetünk szinuszról, koszinuszról, érintőről és kotangensről, mint egy numerikus argumentum függvényéről. Minden valós számra t egy szám szinuszának vagy koszinuszának egy meghatározott értékének felel meg t... A π 2 + π · k, k ∈ Z kivételével minden szám megfelel az érintő értékének. A kotangens minden számra hasonlóan definiálva van, kivéve π k, k ∈ Z.

A trigonometria alapfunkciói

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy a trigonometrikus függvény melyik argumentumával (szög argumentumával vagy numerikus argumentumával) van dolgunk.

Térjünk vissza a definíciók legelején lévő adatokhoz és az alfa szöghez, amely 0 és 90 fok közötti tartományban van. A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens trigonometrikus definíciói teljes összhangban vannak geometriai meghatározások derékszögű háromszög oldalarányainak felhasználásával adjuk meg. Mutassuk meg.

Vegyük az egységkört egy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben. Forgassuk el az A (1, 0) kezdőpontot 90 fokos szögig, és a kapott A 1 (x, y) pontból húzzunk merőlegest az abszcissza tengelyére. A kapott derékszögű háromszögben az A 1 O H szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az O H szár hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont abszcisszán. A sarokkal szemközti láb hossza megegyezik az A 1 (x, y) pont ordinátájával, a befogó hossza pedig eggyel, mivel ez az egységkör sugara.

A geometriai definíció szerint az α szög szinusza egyenlő a szemközti láb és a hipotenuzus arányával.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Ez azt jelenti, hogy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának a méretarányon keresztül történő meghatározása egyenértékű az α elforgatási szög szinuszának meghatározásával, ahol az alfa 0 és 90 fok közötti tartományban van.

Hasonlóképpen kimutatható a definíciók megfelelősége koszinuszra, érintőre és kotangensre.

Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

Ebben a cikkben megmutatjuk, hogyan szög és szám szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói a trigonometriában... Itt szó lesz a megnevezésekről, példákat adunk a bejegyzésekre és grafikus illusztrációkat adunk. Végezetül vonjunk párhuzamot a trigonometria és geometria szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói között.

Oldalnavigáció.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciója

Kövessük nyomon, hogyan alakul ki a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens fogalma az iskolai matematika kurzusban. A geometria órákon a derékszögű háromszögben adott hegyesszög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciója. Később pedig a trigonometriát tanulmányozzák, amely a forgásszög és a szám szinuszáról, koszinuszáról, érintőjéről és kotangenséről beszél. Mindezeket a meghatározásokat megadjuk, példákat adunk és a szükséges megjegyzéseket.

Hegyesszög derékszögű háromszögben

A geometria tantárgyból ismertek a derékszögű háromszög hegyesszögének szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definíciói. Ezek egy derékszögű háromszög oldalainak arányaként vannak megadva. Adjuk meg megfogalmazásukat.

Meghatározás.

Hegyesszög szinusza derékszögű háromszögben Az ellenkező láb és a hypotenus aránya.

Meghatározás.

Egy derékszögű háromszög hegyesszögének koszinusza A szomszédos láb és a hypotenus aránya.

Meghatározás.

A derékszögű háromszög hegyes érintője Az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya.

Meghatározás.

A derékszögű háromszög akut kotangense- Ez a szomszédos láb és az ellenkező láb aránya.

A szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens megnevezése is itt található - sin, cos, tg és ctg.

Például, ha ABC egy derékszögű háromszög C derékszögű, akkor az A hegyesszög szinusza egyenlő a BC szemközti láb és az AB hipotenusz arányával, azaz sin∠A = BC / AB .

Ezek a definíciók lehetővé teszik egy hegyesszög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének kiszámítását a derékszögű háromszög oldalainak ismert hosszaiból, valamint a szinusz, koszinusz, az egyik oldal érintője, kotangense és hossza, hogy megtaláljuk a többi oldal hosszát. Például, ha tudnánk, hogy egy derékszögű háromszögben az AC szár 3, az AB hipotenusz pedig 7, akkor egy A hegyesszög koszinuszának értékét definíció szerint kiszámíthatjuk: cos∠A = AC / AB = 3/7.

Fordulási szög

A trigonometriában elkezdik szélesebb körben nézni a szöget - bevezetik a forgásszög fogalmát. Az elforgatási szög értékét a hegyesszöggel ellentétben nem korlátozzák a 0 és 90 fok közötti keretek, a fokban (és radiánban) megadott elforgatási szög bármilyen valós számmal kifejezhető −∞ és + között. ∞.

Ebben a megvilágításban a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói már nem hegyesszög, hanem tetszőleges nagyságú szög - a forgásszög. Ezeket az A 1 pont x és y koordinátáin keresztül adjuk meg, amelybe az úgynevezett A kezdőpont (1, 0) kerül, miután α szöggel elforgatjuk az O pont körül - a derékszögű derékszögű koordináta origója. rendszer és az egységkör középpontja.

Meghatározás.

A forgási szög szinuszaα az A 1 pont ordinátája, azaz sinα = y.

Meghatározás.

A forgásszög koszinuszaα-t az A 1 pont abszcisszájának nevezzük, azaz cos α = x.

Meghatározás.

Forgatási érintőα az A 1 pont ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya, azaz tgα = y / x.

Meghatározás.

Forgatási kotangensα az A 1 pont abszcisszán az ordinátához viszonyított aránya, azaz ctgα = x / y.

A szinusz és a koszinusz bármely α szögre definiálható, hiszen mindig meg tudjuk határozni egy pont abszcisszáját és ordinátáját, amit a kezdőpont α szöggel történő elforgatásával kapunk. Az érintő és a kotangens pedig nem minden szöghez definiálva. Az érintő az olyan α szögekre nincs meghatározva, amelyeknél a kezdőpont nulla abszcissza (0, 1) vagy (0, −1) pontba megy, és ez 90 ° + 180 ° k, k∈ szögeknél történik. Z (π / 2 + π k rad). Valójában ilyen elforgatási szögeknél a tgα = y / x kifejezésnek nincs értelme, mivel nullával való osztást tartalmaz. Ami a kotangenst illeti, az olyan α szögekre nincs meghatározva, amelyeknél a kezdőpont egy nulla ordinátájú (1, 0) vagy (−1, 0) pontba megy, és ez a helyzet 180 ° k szögeknél. , k ∈Z (π k rad).

Tehát a szinusz és a koszinusz minden elforgatási szögre definiálva, az érintő minden szögre definiálva, kivéve 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), és a kotangens minden szögre vonatkozik, kivéve 180 °. K, k∈Z (π k rad).

A definíciókban megjelennek az általunk már ismert sin, cos, tg és ctg jelölések, ezekkel jelöljük a forgásszög szinuszát, koszinuszát, tangensét és kotangensét is (néha megtalálható a tan és cot megjelölés, ami a az érintő és a kotangens). Tehát a 30 fokos elforgatási szög szinusza sin30 °-nak írható fel, a tg (−24 ° 17 ′) és ctgα bejegyzések megfelelnek a −24° 17 perc elforgatási szög tangensének és az α elforgatási szög kotangensének. . Emlékezzünk vissza, hogy egy szög radiánmértékének írásakor a „rad” megjelölés gyakran kimarad. Például egy három pi rad elforgatási szög koszinuszát általában cos3 · π-vel jelöljük.

Ennek a pontnak a végén érdemes megjegyezni, hogy a forgási szög szinuszáról, koszinuszáról, érintőjéről és kotangenséről szóló beszélgetésben gyakran kimarad a "forgásszög" vagy a "forgás" szó. Vagyis az "alfa forgásszög szinusza" kifejezés helyett általában az "alfa szinusza" vagy még rövidebben az "alfa szinusza" kifejezést használják. Ugyanez vonatkozik a koszinuszra, az érintőre és a kotangensre is.

Tegyük fel azt is, hogy a derékszögű háromszög hegyesszögének szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének definíciói megfelelnek a 0 és 90 fok közötti forgásszög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének imént megadott definícióinak. Ezt meg fogjuk indokolni.

Számok

Meghatározás.

Egy szám szinusza, koszinusza, érintője és kotangense t egy szám, amely megegyezik a forgásszög t radiánban kifejezett szinuszával, koszinuszával, tangensével és kotangensével.

Például a 8 · π koszinusza definíció szerint egy szám, amely egyenlő a 8 · π rad szög koszinuszával. És a 8 · π szög koszinusza rad egyenlő eggyel, ezért a 8 · π szám koszinusza 1.

Van egy másik megközelítés a szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének meghatározására. Abból áll, hogy minden t valós szám az egységkör egy pontjához kapcsolódik, amelynek középpontja egy téglalap alakú koordinátarendszer origója, és a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens ennek a pontnak a koordinátáin keresztül van meghatározva. Foglalkozzunk ezzel részletesebben.

Mutassuk meg, hogyan jön létre az összefüggés a valós számok és a kör pontjai között:

• a 0 szám az A kezdőponthoz kapcsolódik (1, 0);
• pozitív szám t az egységkör azon pontjával van társítva, amelybe akkor jutunk, ha a kör mentén a kezdőponttól az óramutató járásával ellentétes irányban haladunk, és egy t hosszúságú utat járunk be;
• negatív szám t az egységkör azon pontjával van társítva, amelybe akkor jutunk, ha a kör mentén a kezdőponttól az óramutató járásával megegyező irányban haladunk, és egy hosszúságú utat teszünk meg | ...

Most rátérünk a t szám szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének definícióira. Tegyük fel, hogy a t szám megfelel az A 1 (x, y) kör pontjának (például a π / 2 szám; az A 1 (0, 1) pontnak felel meg).

Meghatározás.

Egy szám szinusza t-t a t számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátájának nevezzük, azaz sint = y.

Meghatározás.

Koszinusz szám t-t a t számnak megfelelő egységkör pontjának abszcisszájának nevezzük, azaz költség = x.

Meghatározás.

A szám érintője t a t számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátájának az abszcisszához viszonyított aránya, azaz tgt = y / x. Egy másik ekvivalens megfogalmazásban a t szám tangense ennek a számnak a szinuszának a koszinuszhoz viszonyított aránya, azaz tgt = sint / költség.

Meghatározás.

Kotangens szám t az abszcissza és a t számnak megfelelő egységkör pontjának ordinátájához viszonyított aránya, azaz ctgt = x / y. Egy másik megfogalmazás a következő: a t szám érintője a t szám koszinuszának és a t szám szinuszának aránya: ctgt = költség / sint.

Vegye figyelembe, hogy az imént megadott definíciók összhangban vannak a jelen bekezdés elején megadott meghatározással. Valóban, a t számnak megfelelő egységkör pontja egybeesik azzal a ponttal, amelyet a kezdőpont t radiános szöggel történő elforgatásával kapunk.

Ezt a pontot is érdemes tisztázni. Tegyük fel, hogy bűnünk van3. Hogyan lehet megérteni, hogy a 3 szám szinuszáról vagy 3 radián forgásszögének szinuszáról beszélünk? Ez általában világosan kiderül a szövegkörnyezetből, egyébként nagy valószínűséggel irreleváns.

Szög- és numerikus argumentum trigonometrikus függvényei

Az előző bekezdésben megadott definíciók szerint minden α forgásszög egy jól meghatározott sinα értéknek, valamint cosα értéknek felel meg. Ezenkívül a 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad) elfordulási szögek mindegyike megfelel a tanα értékeinek, és a 180 ° k, k∈Z értéktől eltérő értékek. (π k ) A ctgα értékei. Ezért sinα, cosα, tgα és ctgα az α szög függvényei. Más szóval, ezek a szögargumentum függvényei.

Hasonlóan beszélhetünk egy numerikus argumentum szinusz, koszinusz, tangens és kotangens függvényeiről. Valójában minden t valós számnak van egy jól meghatározott sint értéke, csakúgy, mint a költségeknek. Ezenkívül a tgt értékek a π / 2 + π k, k∈Z kivételével minden számnak megfelelnek, a ctgt értékek pedig a π k, k∈Z számoknak felelnek meg.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvényeket nevezzük alapvető trigonometrikus függvények.

Általában a szövegkörnyezetből kiderül, hogy szögargumentum vagy numerikus argumentum trigonometrikus függvényeivel van dolgunk. Ellenkező esetben a független változót egy szög mértékének (szög argumentum) és numerikus argumentumnak is tekinthetjük.

Az iskola azonban főként numerikus függvényeket tanulmányoz, vagyis olyan függvényeket, amelyek argumentumai a megfelelő függvényértékekhez hasonlóan számok. Ezért, ha kifejezetten függvényekről beszélünk, akkor célszerű a trigonometrikus függvényeket numerikus argumentumok függvényeinek tekinteni.

Definíciók összekapcsolása geometriából és trigonometriából

Ha figyelembe vesszük az α elfordulási szöget a 0 és 90 fok közötti tartományban, akkor a trigonometria kontextusában a forgásszög szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének meghatározására szolgáló adatok teljes mértékben megegyeznek a szinusz, koszinusz, derékszögű háromszög hegyesszögének érintője és kotangense, amelyeket a geometria kurzusban adunk meg. Ezt indokoljuk meg.

Az egységkört ábrázoljuk az Oxy derékszögű derékszögű koordinátarendszerben. Jelöljük az A kezdőpontot (1, 0). Forgassuk el egy 0 és 90 fok közötti α szögben, így az A 1 (x, y) pontot kapjuk. Dobjuk az A 1 H merőlegest az A 1 pontból az Ox tengelyre.

Könnyen belátható, hogy egy derékszögű háromszögben az A 1 OH szög egyenlő az α elfordulási szöggel, az e szöggel szomszédos OH szár hossza megegyezik az A 1 pont abszcisszán, azaz | OH | = x, az A 1 H szár szögével ellentétes szár hossza egyenlő az A 1 pont ordinátájával, azaz | A 1 H | = y, és az OA 1 befogó hossza: egyenlő eggyel, mivel ez az egységkör sugara. Ekkor a geometriai definíció szerint az α hegyesszög szinusza egy A 1 OH derékszögű háromszögben egyenlő a szemközti szár és a hipotenuzus arányával, azaz sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. A trigonometria definíciója szerint pedig az α forgásszög szinusza egyenlő az A 1 pont ordinátájával, azaz sin α = y. Ebből látható, hogy derékszögű háromszögben egy hegyesszög szinuszának meghatározása egyenértékű az α elfordulási szög szinuszának meghatározásával α-nál 0 és 90 fok között.

Hasonlóan kimutatható, hogy az α hegyesszög koszinuszának, tangensének és kotangensének definíciói megegyeznek az α forgásszög koszinuszának, érintőjének és kotangensének definícióival.

Bibliográfia.

1. Geometria. 7-9 évfolyam: tankönyv. általános műveltségre. intézmények / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev és mások]. - 20. kiadás M .: Oktatás, 2010. - 384 p .: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. A. V. Pogorelov Geometria: Tankönyv. 7-9 cl-re. Általános oktatás. intézmények / A. V. Pogorelov. - 2. kiadás - M .: Oktatás, 2001. - 224 p .: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra és elemi függvények: Oktatóanyag a középiskola 9. osztályos tanulói számára / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Szerkesztette: a fizikai és matematikai tudományok doktora ON Golovin - 4. kiadás. Moszkva: Oktatás, 1969.
4. Algebra: Tankönyv. 9 cl-ért. szerda iskola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky.- M .: Oktatás, 1990.- 272 p .: ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebraés az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl-re. Általános oktatás. intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov. - 14. kiadás - M .: Oktatás, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. A. G. Mordkovich Algebra és az elemzés kezdete. 10-es fokozat. 2 óránál, 1. rész: tankönyv oktatási intézmények számára (profilszint) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. kiadás, Add. - M .: Mnemozina, 2007 .-- 424 p.: Ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebraés a matematikai elemzés kezdete. 10. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre. intézmények: alap és profil. szintek / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkacseva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; szerk. A. B. Zsizscsenko. - 3. kiadás - I .: Oktatás, 2010.- 368 p .: ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl-re. szerda shk. - 3. kiadás - M .: Oktatás, 1993 .-- 351 p .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv technikumi jelentkezőknek): Tankönyv. kézikönyv - M .; Magasabb. shk., 1984.-351 p., ill.