A keresztezett vonalak jele a sztereometriában. A keresztező vonalak közötti szög - meghatározás, példák a megtalálásra

Az öröklődés az élőlények azon képessége, hogy tulajdonságaikat és tulajdonságaikat továbbadják a következő generációnak, vagyis saját fajtájuk szaporodásának képessége.

A gén a DNS-molekula egy része, amely információt hordoz egy fehérje szerkezetéről.

Genotípus - az egyén összes örökletes tulajdonságának összessége, egy szervezet örökletes alapja, amely gének halmazából áll.

A fenotípus az egyed összes belső és külső jelének és tulajdonságának összessége, amely egy genotípus alapján alakul ki az egyedfejlődés folyamatában.

Monohibrid keresztezés - szülői formák keresztezése, amely örökletesen csak egy pár tulajdonságban különbözik.

A dominancia a tulajdonságok túlsúlyának jelensége keresztezéskor.

A domináns jellemző az uralkodó.

A recesszív vonás visszahúzódik vagy eltűnik.

A homozigóták olyan egyedek, amelyek önbeporzáskor egy adott karakterpárra homogén, nem hasadó utódokat adnak.

A heterozigóták olyan egyedek, amelyek egy adott tulajdonságpár szerint osztódnak.

Az allélok ugyanazon gén különböző formái.

Dihibrid keresztezés - két tulajdonságpárban eltérő szülői formák keresztezése.

A variabilitás az élőlények azon képessége, hogy megváltoztassák jellemzőiket és tulajdonságaikat.

Módosítási (fenotípusos) variabilitás - a fenotípus változásai, amelyek a külső körülmények változásának hatására következnek be, és nem kapcsolódnak a genotípus változásához.

A reakciósebesség egy adott tulajdonság módosítási variabilitásának tartománya.

A mutációk olyan genotípus-változások, amelyeket a gének vagy kromoszómák szerkezeti változásai okoznak.

A poliploidia a sejtben található haploid kromoszómakészlet többszöröse (3n, 4n és több).

A genetikában a következő általánosan elfogadott szimbólumokat használják:

• a P betű (a latin "parenta" - szülők szóból) a keresztezésre vett szülői szervezeteket jelöli;
• a ♀ jel ("Vénusz tükre") - a női nemet jelöli;
• ♂ ("Mars pajzsa és lándzsája") - férfias sárgáját jelöl.
• A kereszteződést az „X” jel jelöli, a hibrid utódokat az F betű (a latin „filia” szóból - gyermekek) jelöli, a nemzedék sorszámának megfelelő számmal - F 1, F 2, F 3.

A G. Mendel által megfogalmazott törvények

Dominancia szabály, vagy az első törvény: monohibrid keresztezéssel az első generáció hibridjei csak domináns tulajdonságokat mutatnak - fenotípusosan egységes.

Felosztó törvény, vagy G. Mendel második törvénye: az első generáció hibridjeinek keresztezésekor az utódokban a karakterek 3:1 arányban hasadnak fel - két fenotípusos csoport alakul ki - domináns és recesszív.

Önálló öröklési jog(harmadik törvény): a hibridekben a dihibrid keresztezéssel minden tulajdonságpár a többitől függetlenül öröklődik, és különböző kombinációkat ad vele. Négy fenotípusos csoport képződik, amelyeket 9:3:3:1 arány jellemez.

Monohibrid keresztezési folyamat (Mendel első és második törvénye)

Világos körök - domináns tulajdonságokkal rendelkező organizmusok; sötét - recesszív tulajdonsággal.

Ivarsejt tisztasági hipotézis: az egyes organizmusokban az alternatív tulajdonságok párjai nem keverednek és az ivarsejtek kialakulása során minden párból egy tiszta formában kerül át beléjük.

A megfigyelt minták magyarázatára Mendel az ivarsejtek tisztaságának hipotézisét állította fel, és a következőket sugallja:

• bármely jel anyagi tényező (gén) hatására jön létre.
• A domináns tulajdonságot meghatározó tényezőként a nagy A betűt, a recesszívet pedig a -t határozta meg. Minden egyed két tényezőt tartalmaz, amelyek meghatározzák egy tulajdonság kialakulását, az egyiket az anyától, a másikat az apától kapja.
• Az állatokban és a spórákban, a növényekben az ivarsejtek képződése során a faktorok csökkenése következik be, és minden ivarsejtbe vagy spórába csak egy kerül.

E hipotézis szerint a monohibrid keresztezés menetét a következőképpen írjuk le:

Az ivarsejtek bármely kombinációja esetén minden hibrid azonos genotípussal és fenotípussal rendelkezik.

Az F 2-ben a genotípus hasítása 1AA lesz; 2Aa; 1aa, de a fenotípus szerint: 3 sárga, 1 zöld (3:1).

Előfordul, hogy az F 1 hibrideknél nem figyelhető meg a teljes dominancia, karaktereik köztes jellegűek. Ezt az öröklődési mintát köztes vagy hiányos dominanciának nevezik.

Példa: egy éjszakai szépség monohibrid keresztezése: az F2-ben hiányos dominancia mellett a fenotípus és genotípus szerinti felosztást ugyanaz az arány fejezi ki: 1:2:1 (1 fehér, 2 rózsaszín, 1 piros).

Az öröklődés természetét függetlenként határozták meg, és megfogalmazták Mendel harmadik törvényét, vagyis a független öröklődés törvényét.

A független öröklődés nagy jelentőséggel bír az evolúció szempontjából, mivel ez a forrása az élő szervezetek kombinált változatosságának és sokféleségének.

A kapcsolt öröklés törvénye

1911-ben Thomas Morgan megfogalmazta kapcsolt öröklési jog- az egy kromoszómán lokalizált kapcsolt gének együtt öröklődnek, és nem mutatnak független hasítást.

Minden kromoszóma több ezer gént tartalmaz, amelyekben egy adott faj egyik egyede különbözik a másiktól. Kiderítve, hogy ezeknek a géneknek a tulajdonságai hogyan öröklődnek, Morgan azt találta, hogy az ugyanazon a kromoszómán található gének egy alternatív párként öröklődnek, anélkül, hogy független öröklődést mutatnának.

A tapadás nem mindig abszolút. A meiózis első osztódásának profázisában, amikor a kromoszómák konjugálódnak, kereszteződnek, aminek következtében az ugyanazon a kromoszómán található gének különböző homológ kromoszómákba kerültek és különböző ivarsejtekbe kerültek.

Kromoszóma keresztezési diagram

Két, ugyanazon a kromoszómán elhelyezkedő gén (világos körök az egyik kromoszómában) keresztezés eredményeként különböző homológ kromoszómákba kerül.

Ez a csere a kapcsolt gének átrendeződéséhez vezet, és a kombinatív variabilitás egyik forrása.

A kromoszómák keresztezése szerepet játszik az evolúcióban, mivel a gének új kombinációja olyan új tulajdonságok megjelenését idézi elő, amelyek hasznosak vagy károsak lehetnek a szervezetre, és befolyásolhatják a túlélést.

Egy gén egyszerre több tulajdonság kialakulását is befolyásolhatja, miközben többféle hatást is kifejt.

Ebben a cikkben először megadjuk a keresztezett vonalak közötti szög meghatározását, és grafikus illusztrációt adunk. Ezután megválaszoljuk a kérdést: "Hogyan találjuk meg az egyenesek metszésének szögét, ha ezen egyenesek irányvektorainak koordinátái ismertek egy téglalap alakú koordinátarendszerben?" Végezetül gyakorlatozzuk meg a keresztező vonalak közötti szög megtalálását a példák és feladatok megoldása során.

Oldalnavigáció.

Szög a keresztezett vonalak között - meghatározás.

Az egyenesek keresztezése közötti szög meghatározását fokozatosan közelítjük meg.

Először idézzük fel a metsző egyenesek definícióját: a háromdimenziós térben két egyenest hívunk keresztezés ha nem fekszenek egy síkban. Ebből a definícióból az következik, hogy a keresztező egyenesek nem metszik egymást, nem párhuzamosak, sőt, nem is esnek egybe, különben mindkettő egy bizonyos síkban feküdne.

Adjunk még néhány kisegítő érvelést.

Legyen adott két egymást metsző a és b egyenes a háromdimenziós térben. Szerkesszük meg az a 1 és b 1 egyeneseket úgy, hogy párhuzamosak legyenek a metsző a és b egyenesekkel, és átmenjenek az M 1 tér valamely pontján. Így kapunk két metsző egyenest a 1 és b 1. Legyen az a 1 és b 1 metsző egyenesek közötti szög egyenlő a szöggel. Most megszerkesztjük az a 2 és b 2 egyeneseket, amelyek párhuzamosak az M 2 ponton átmenő a és b metsző egyenesekkel, amelyek különböznek az M 1 ponttól. Az a 2 és b 2 metsző egyenesek közötti szög is egyenlő lesz a szöggel. Ez az állítás igaz, hiszen az a 1 és b 1 egyenesek egybeesnek az a 2 és b 2 egyenesekkel, ha párhuzamos fordítást végzünk, amelyben az M 1 pont az M 2 pontba kerül. Így az M pontban lévő két metsző egyenes, illetve az adott metsző egyenesekkel párhuzamos szög mértéke nem függ az M pont megválasztásától.

Most készen állunk a keresztezett vonalak közötti szög meghatározására.

Meghatározás.

Szög a keresztezett vonalak között Két egymást metsző egyenes közötti szög, amelyek párhuzamosak az adott metsző egyenesekkel.

A definícióból következik, hogy a keresztező vonalak közötti szög sem fog függni az M pont megválasztásától. Ezért M pontnak tetszőleges pontot vehetünk, amely valamelyik metsző egyeneshez tartozik.

Íme egy illusztráció a keresztezett vonalak közötti szög meghatározására.

A keresztezett vonalak közötti szög meghatározása.

Mivel a metsző egyenesek közötti szöget a metsző egyenesek közötti szög határozza meg, a metsző egyenesek közötti szög megállapítása a háromdimenziós térben a megfelelő metsző egyenesek közötti szög meghatározására redukálódik.

A keresztezett vonalak közötti szög megállapítására kétségtelenül alkalmasak a középiskolai geometria órán tanított módszerek. Vagyis a szükséges konstrukciók elvégzése után a kívánt szöget a feltételből ismert tetszőleges szöghez rendelheti, az ábrák egyenlősége vagy hasonlósága alapján, bizonyos esetekben ez segít koszinusz tétel, és néha az eredmény szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározása derékszögű háromszög.

Azonban nagyon kényelmes megoldani az egyenesek közötti szög megtalálásának problémáját koordináta módszerrel. Ezt fogjuk figyelembe venni.

Vezessük be az Oxyz-t háromdimenziós térben (sok feladatban azonban önállóan kell megadni).

Tűzzük ki magunknak a feladatot: keressük meg az a és b metsző egyenesek közötti szöget, amelyek az Oxyz derékszögű koordinátarendszerben egy térbeli egyenes néhány egyenletének felelnek meg.

Oldjuk meg.

Vegyük az M háromdimenziós tér egy tetszőleges pontját, és tegyük fel, hogy a 1 és b 1 egyenesek haladnak át rajta, párhuzamosan metsző a és b egyenesekkel. Ekkor az a és b metsző egyenesek közötti szükséges szög megegyezik az a 1 és b 1 metsző egyenesek közötti szöggel.

Így az a 1 és b 1 metsző egyenesek közötti szöget kell megkeresnünk. Két metsző egyenes térbeli szögének meghatározásához szükséges képlet alkalmazásához ismernünk kell az a 1 és b 1 egyenesek irányvektorainak koordinátáit.

Hogyan szerezhetjük meg őket? Ez nagyon egyszerű. Az egyenes irányvektorának meghatározása lehetővé teszi annak állítását, hogy a párhuzamos egyenesek irányvektorainak halmazai egybeesnek. Ezért az a 1 és b 1 egyenesek irányvektoraiként vehetjük az irányvektorokat és az a és b sorokat.

Így, két keresztezett a és b egyenes közötti szöget a képlet számítja ki
, ahol és - az a és b egyenesek irányvektorai.

Képlet a keresztező egyenesek közötti szög koszinuszának meghatározására a és b alakja .

Lehetővé teszi a keresztezett vonalak közötti szög szinuszának megtalálását, ha a koszinusz ismert: .

Marad a példák megoldásainak elemzése.

Példa.

Határozza meg a szöget az Oxyz derékszögű koordinátarendszerben az egyenletek által meghatározott a és b egyenesek keresztezése között és .

Megoldás.

A térben lévő egyenes kanonikus egyenletei lehetővé teszik, hogy azonnal meghatározzuk ennek az egyenesnek az irányító vektorának koordinátáit - ezeket a törtek nevezőiben szereplő számok adják meg, azaz ... A térbeli egyenes paraméteres egyenletei lehetővé teszik az irányvektor koordinátáinak azonnali feljegyzését is - ezek megegyeznek a paraméter előtti együtthatókkal, azaz - egyenes irányító vektora ... Így minden szükséges adatunk megvan a képlet alkalmazásához, amellyel a keresztező egyenesek közötti szöget kiszámítjuk:

Válasz:

A megadott keresztezési vonalak közötti szög egyenlő.

Példa.

Határozzuk meg az ABCD piramis AD és BC élei közötti keresztezett egyenesek szögének szinuszát és koszinuszát, ha ismertek csúcsainak koordinátái:

Megoldás.

Az AD és BC metszésvonalak irányvektorai vektorok és. Számítsuk ki koordinátáikat a vektor végének és eleje pontjainak megfelelő koordinátáinak különbségeként:

A képlet szerint kiszámíthatjuk a megadott keresztezési vonalak közötti szög koszinuszát:

Most számítsuk ki a keresztező vonalak közötti szög szinuszát:

Genetikai szimbolizmus

Szimbólumok – a tudomány bármely ágában használt hagyományos nevek és kifejezések listája és magyarázata.

A genetikai szimbolika alapjait Gregor Mendel fektette le, aki a betűszimbolikát használta a tulajdonságok jelölésére. A domináns karaktereket a latin ábécé nagybetűivel jelöltük A, B, C stb., recesszív - kisbetűkkel - a, b, c stb. A Mendel által javasolt szó szerinti szimbolizmus valójában a tulajdonságok öröklődési törvényeinek kifejezésének algebrai formája.

A következő szimbolikát alkalmazták a keresztezés jelölésére.

A szülőket latin P betűvel jelöljük (Parents - szülők), majd melléjük írják a genotípusukat. A női nemet a ♂ szimbólum (a Vénusz tükre), a férfi - ♀ (a Mars pajzsa és lándzsája) jelöli. A szülők közé "x" jelet kell tenni, ami az átkelést jelöli. Első helyen a nőstény genotípusát, a második helyen a hím genotípusát írják.

Az első generációt F-nek jelölik 1 (Filli - gyerekek), második generáció - F 2 stb. Mellettük az utódok genotípusainak megjelölése.

Alapfogalmak és fogalmak szószedete

Allélek (allél gének)- egy gén különböző formái, amelyek mutációkból származnak, és a párosított homológ kromoszómák azonos pontjain (lókuszai) találhatók.

Alternatív jelek- egymást kizáró, kontrasztos jelek.

Gametes (a görög "gametes "- házastárs) - egy növényi vagy állati szervezet reproduktív sejtje, amely egy allélpárból származó gént hordoz. Az ivarsejtek mindig „tiszta” formában hordozzák a géneket, mert meiotikus sejtosztódással jönnek létre, és homológ kromoszómapárok egyikét tartalmazzák.

Gene (a görög „genos "- születés) - a DNS-molekula része, amely információt hordoz egy adott fehérje elsődleges szerkezetéről.

Allél gének - a homológ kromoszómák azonos régióiban elhelyezkedő páros gének.

Genotípus - a szervezet örökletes hajlamainak (génjeinek) összessége.

Heterozigóta (a görög „heteros "- egy másik és egy zigóta) - egy zigóta, amelynek két különböző allélja van egy adott génhez ( Aa, Bb).

HeterozigótaOlyan egyéneknek nevezik, akik különböző géneket kaptak szüleiktől. Az utód heterozigóta egyede ennek a tulajdonságnak megfelelően hasadást ad.

Homozigóta (a görög „homos "- ugyanaz és zigóta) - egy zigóta, amely egy adott gén azonos alléljeivel rendelkezik (mindkettő domináns vagy mindkettő recesszív).

Homozigóta Olyan egyéneknek nevezzük, akik szüleiktől ugyanazokat az örökletes hajlamokat (géneket) kapták valamilyen meghatározott tulajdonságra. Az utódok homozigóta egyedei nem hasadnak szét.

Homológ kromoszómák(a görög „homos "- ugyanaz) - páros kromoszómák, azonos alak, méret, génkészlet. A diploid sejtben egy kromoszómakészlet mindig párosodik: az egyik kromoszóma egy anyai eredetű, a második egy apai eredetű.

HeterozigótaOlyan egyéneknek nevezik, akik különböző géneket kaptak szüleiktől. Így genotípus szerint az egyedek lehetnek homozigóták (AA vagy aa) vagy heterozigóták (Aa).

Domináns tulajdonság (gén) – domináns, megnyilvánuló - a latin ábécé nagybetűivel jelölve: A, B, C stb.

Recesszív tulajdonság (gén) – elnyomott jellemző - a latin ábécé megfelelő kisbetűivel jelölve: a, b c stb.

Kereszt elemzése- a vizsgált szervezet keresztezése egy másikkal, amely erre a tulajdonságra recesszív homozigóta, ami lehetővé teszi a tesztalany genotípusának megállapítását.

Keresztező dihibrid- egymástól két alternatív karakterpárban eltérő formák keresztezése.

Monohibrid keresztezése- az egymástól eltérő alakzatok keresztezése egy alternatív karakterpárban.

Tiszta vonalak - olyan organizmusok, amelyek egy vagy több tulajdonság tekintetében homozigóták, és nem adnak alternatív tulajdonságot az utódokban.

A hajszárító egy jel.

Fenotípus - a szervezet minden külső jelének és tulajdonságának összessége, amely megfigyelésre és elemzésre hozzáférhető.

Algoritmus genetikai problémák megoldására

1. Olvassa el figyelmesen a kihívás szintjét.
2. Röviden jegyezze fel a probléma megfogalmazását.
3. Írja le a párosodó fajok genotípusait és fenotípusait!
4. Azonosítsa és rögzítse a szaporodó fajok által alkotott ivarsejtek típusait.
5. Azonosítsa és rögzítse a keresztezésből nyert utódok genotípusait és fenotípusait.
6. Elemezze a keresztezési eredményeket. Ehhez fenotípusonként és genotípusonként határozza meg az utódosztályok számát, és írja le számarányként.
7. Írd le a választ a problémás kérdésre.

(Egyes témakörök feladatmegoldásánál a szakaszok sorrendje változhat, tartalmuk módosulhat.)

Feladatok regisztrációja

1. Szokás, hogy először a nőstény genotípusát írják le, majd a hím (a helyes bejegyzés: ♀ААВВ х ♂аавв; rossz bejegyzés- ♂ aavv x ♀AABB).
2. Ugyanazon allélpár génjei mindig egymás mellé vannak írva(a helyes bejegyzés az ♀AABB; a helytelen bejegyzés az ♀ABAB).
3. Genotípus írásakor a tulajdonságokat jelölő betűket mindig ábécé sorrendben írjuk, függetlenül attól, hogy melyik tulajdonság domináns vagy recesszív - jelölik (a helyes bejegyzés: ♀aaBB;érvénytelen bejegyzés -♀ BBaa).
4. Ha az egyednek csak a fenotípusa ismert, akkor a genotípusának rögzítésekor csak azokat a géneket írják le, amelyek jelenléte vitathatatlan.A fenotípusa alapján nem meghatározható gént "_" jelzi(például ha a borsómag sárga színe (A) és sima formája (B) a domináns karakter, a zöld szín (a) és a ráncos forma (b) recesszív, akkor a sárga ráncos magvakkal rendelkező egyed genotípusa a következőképpen kerül rögzítésre: A_vv).
5. A fenotípust mindig a genotípus alá írjuk.
6. Az ivarsejtek körbe vannak írva(A).
7. Az egyénekben az ivarsejtek típusát határozzák meg és rögzítik, nem pedig a számát.

Végtelenség.J. Wallis (1655).

Először John Walis angol matematikus „A kúpos metszetekről” című értekezésében találkoztunk.

A természetes logaritmusok alapja. L. Euler (1736).

Matematikai állandó, transzcendentális szám. Ezt a számot néha hívják neperov a skót tiszteletére Napier tudós, "A logaritmusok csodálatos táblázatának leírása" (1614) című mű szerzője. A konstans először hallgatólagosan szerepel a fent említett Napier művének 1618-ban megjelent angol fordításának mellékletében. Ugyanezt az állandót először Jacob Bernoulli svájci matematikus számította ki a kamatjövedelem határértékének problémájának megoldása során.

2,71828182845904523...

Ennek az állandónak az első ismert használata, ahol betűvel jelölték b Leibniz Huygensnek írt leveleiben található, 1690-1691. Levél e 1727-ben kezdte el használni az Euler-t, és az első publikáció ezzel a levéllel a "Mechanics, or the Science of Motion, Expounded Analytically" című munkája volt 1736-ban. Illetőleg, e közönségesen nevezik Euler száma... Miért a levelet választották e, nem ismert pontosan. Talán ez annak köszönhető, hogy a szó ezzel kezdődik exponenciális("Exponenciális", "Exponenciális"). Egy másik feltevés az, hogy a betűk a, b, cés d már meglehetősen széles körben használták más célokra, és e volt az első „ingyenes” levél.

A kerület és az átmérő aránya. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematikai állandó, irracionális szám. A "pi" szám, a régi név a Ludolph-szám. Mint minden irracionális számot, a π-t is egy végtelen, nem periodikus tizedes tört képviseli:

π = 3,141592653589793 ...

Ennek a számnak a görög π betűvel való megjelölését először William Jones brit matematikus használta "A New Introduction to Mathematics" című könyvében, és Leonard Euler munkái után vált általánosan elfogadottá. Ez a megjelölés a görög περιφερεια – kör, periféria és περιμετρος – kerület szavak kezdőbetűjéből származik. Johann Heinrich Lambert 1761-ben, Adrienne Marie Legendre 1774-ben pedig a π 2 irracionalitását bizonyította. Legendre és Euler abból indult ki, hogy a π transzcendentális lehet, azaz. nem teljesíthet egyetlen egész együtthatós algebrai egyenletet sem, amit végül Ferdinand von Lindemann 1882-ben bebizonyított.

Képzeletbeli egység. L. Euler (1777, nyomdában - 1794).

Ismeretes, hogy az egyenlet x 2 = 1 két gyökere van: 1 és -1 ... A képzeletbeli egység az egyenlet két gyökének egyike x 2 = -1, latin betűvel jelölve én, még egy gyökér: -én... Ezt a megnevezést Leonard Euler javasolta, aki a latin szó első betűjét vette át képzeletbeli(képzeletbeli). Az összes szabványos funkciót kiterjesztette a komplex területre is, i.e. alakban ábrázolható számok halmaza a + ib, ahol aés b- valós számok. A "komplex szám" kifejezést széles körben használta Karl Gauss német matematikus 1831-ben, bár korábban a kifejezést Lazar Carnot francia matematikus is használta ugyanebben az értelemben 1803-ban.

Egységvektorok. W. Hamilton (1853).

Az egységvektorokat gyakran társítják egy koordináta-rendszer koordinátatengelyeihez (különösen egy derékszögű koordináta-rendszer tengelyeihez). A tengely mentén irányított egységvektor NS, jelölve én, a tengely mentén irányított egységvektor Y, jelölve j, és a tengely mentén irányított egységvektor Z, jelölve k... Vektorok én, j, k ort-nak hívják, egységmoduljaik vannak. Az "ort" kifejezést az angol matematikus, Oliver Heaviside mérnök vezette be (1892), és a jelölést én, j, k- William Hamilton ír matematikus.

A szám egész része, antje. K. Gauss (1808).

Az x szám [x] számának egész része az x-et meg nem haladó legnagyobb egész szám. Tehát = 5, [-3,6] = -4. Az [x] függvényt "x antje of x"-nek is nevezik. Az "egész rész" függvény szimbólumát Karl Gauss vezette be 1808-ban. Egyes matematikusok inkább a Legendre által 1798-ban javasolt E (x) jelölést használják.

Párhuzamossági szög. N.I. Lobacsevszkij (1835).

A Lobachevsky síkon - az egyenes közötti szögbponton áthaladvaOpárhuzamos egyenesapontot nem tartalmazO, és attól merőlegesenO tovább a. α ennek a merőlegesnek a hossza. Ahogy a pontot eltávolítjákO egyenesből aa párhuzamossági szög 90°-ról 0°-ra csökken. Lobacsevszkij adott egy képletet a párhuzamosság szögéreNS( α ) = 2arctg e - α / q , ahol q- néhány állandó, amely a Lobacsevszkij tér görbületéhez kapcsolódik.

Ismeretlen vagy változó értékek. R. Descartes (1637).

A matematikában a változó egy olyan mennyiség, amelyet egy olyan értékkészlet jellemez, amelyet felvehet. Ez jelenthet egy valós fizikai mennyiséget, amelyet átmenetileg a fizikai kontextusától elszigetelten tekintünk, és egy absztrakt mennyiséget, amelynek nincs analógja a valós világban. A változó fogalma a 17. században keletkezett. kezdetben a természettudományi igények hatására, amelyek a mozgás, a folyamatok, és nem csak az állapotok tanulmányozását emelték ki. Ez a fogalom kifejezéséhez új formákat igényelt. Rene Descartes alfabetikus algebra és analitikus geometriája éppen ilyen új formák voltak. Először Rene Descartes vezetett be téglalap alakú koordinátarendszert és x, y jelöléseket „Discourse on the Method” című művében 1637-ben. Pierre Fermat is hozzájárult a koordináta-módszer kidolgozásához, de munkái először halála után jelentek meg. Descartes és Fermat csak a síkon alkalmazta a koordináta módszert. A háromdimenziós tér koordináta-módszerét először Leonard Euler alkalmazta már a 18. században.

Vektor. O. Koshi (1853).

A vektor kezdettől fogva olyan objektumként értendő, amelynek van nagysága, iránya és (opcionálisan) egy alkalmazási pontja. A vektorszámítás alapjai Gauss (1831) komplex számok geometriai modelljével együtt jelentek meg. A vektorokkal kidolgozott műveleteket Hamilton publikálta kvaterniószámítása részeként (a vektort a kvaternió imaginárius komponensei alkották). Hamilton megalkotta magát a kifejezést vektor(a latin szóból vektor, hordozó), és leírt néhány vektorelemzési műveletet. Ezt a formalizmust használta Maxwell az elektromágnesességről szóló munkáiban, ezzel egy új számításra hívta fel a tudósok figyelmét. Hamarosan megjelent Gibbs Elements of Vector Analysis (1880-as évek), majd Heaviside (1903) modern megjelenést kölcsönzött a vektoranalízisnek. Magát a vektorjelet Augustin Louis Cauchy francia matematikus vezette be 1853-ban.

Összeadás, kivonás. J. Widman (1489).

A plusz és mínusz jeleket nyilvánvalóan a német „kossisták” (vagyis algebristák) matematikai iskolájában találták ki. Használja őket Jan (Johannes) Widmann 1489-ben kiadott „A Quick and Nice Counting for All Traders” című tankönyve. Előtte a kiegészítést a betű jelölte p(latinból plusz"Tovább") vagy latin szó et(az "és" kötőszó), a kivonás pedig egy betű m(latinból mínusz"Kevesebbet, kevesebbet"). Widmanban a plusz szimbólum nem csak az összeadást helyettesíti, hanem az "és" kötőszót is. E szimbólumok eredete nem tisztázott, de valószínűleg korábban a kereskedésben a nyereség és veszteség mutatójaként használták őket. Mindkét szimbólum hamarosan általánossá vált Európában – Olaszország kivételével, amely körülbelül egy évszázadon át használta a régi elnevezéseket.

Szorzás. W. Outred (1631), H. Leibniz (1698).

A ferde kereszt formájú szorzójelet 1631-ben vezette be az angol William Outred. Előtte leggyakrabban a betűt használták M, bár más elnevezéseket javasoltak: a téglalap szimbólumát (Erigon francia matematikus, 1634), a csillagot (Johann Rahn svájci matematikus, 1659). Később Gottfried Wilhelm Leibniz a keresztet pontra cserélte (17. század vége), hogy ne keverje össze a betűvel x; előtte Regiomontanus német csillagász és matematikus (15. század) és Thomas Harriott (1560-1621) angol tudósnál találtak ilyen szimbolikát.

Osztály. I. Rahn (1659), G. Leibniz (1684).

William Outread a / perjelet használta az osztásjelre. Gottfried Leibniz az osztódást kettősponttal kezdte jelölni. Előttük is gyakran használták a levelet D... Fibonaccitól kezdve a tört vízszintes vonala is használatos, amelyet Heron, Diophantus és az arab írások is használtak. Angliában és az USA-ban elterjedt az ÷ (obelus) szimbólum, amelyet Johann Rahn javasolt (talán John Pell közreműködésével) 1659-ben. Az Amerikai Nemzeti Matematikai Szabványügyi Bizottság kísérlete ( Országos Matematikai Követelmények Bizottsága) az obelus gyakorlatból való kivonása (1923) sikertelen volt.

Százalék. M. de la Port (1685).

Egy század egészének, egynek véve. Maga a „százalék” szó a latin „pro centum” szóból származik, ami „százannyit” jelent. 1685-ben Párizsban kiadták Mathieu de la Porta Útmutató a kereskedelmi számtanhoz című könyvét. Egy helyen százalékokról volt szó, ami aztán a "cto"-t (a cento rövidítése) jelentette. A szedő azonban ezt a "cto"-t törtnek tévesztette, és "%"-ot nyomtatott. Tehát nyomtatási hiba miatt ez a tábla használatba került.

fokok. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

A kitevő modern jelölését Rene Descartes vezette be " Geometriák"(1637), azonban csak 2-nél nagyobb kitevővel rendelkező természetes fokokra. Később Isaac Newton kiterjesztette ezt a jelölési formát a negatív és a törtkitevőkre (1676), amelyek értelmezését ekkorra már javasolták: flamand matematikus, ill. Simon Stevin mérnök, John Wallis angol matematikus és Albert Girard francia matematikus.

Aritmetikai gyök n-a valós szám hatványa a≥0, egy nem negatív szám n-amelynek a foka a... A 2. fok számtani gyökét négyzetgyöknek nevezzük, és a fok megadása nélkül is felírható: √. A 3. fokozat számtani gyökerét kockagyöknek nevezzük. A középkori matematikusok (például Cardano) a négyzetgyököt R x szimbólummal jelölték (a latin szóból). Alapszám, gyökér). A modern elnevezést először Christoph Rudolph német matematikus használta, a Kossist iskolából 1525-ben. Ez a karakter ugyanazon szó stilizált első betűjéből származik alapszám... A radikális kifejezés feletti vonal kezdetben hiányzott; később Descartes (1637) vezette be más céllal (zárójelek helyett), és ez a tulajdonság hamarosan összeolvadt a gyökérjellel. A köbös gyökeret a 16. században a következőképpen jelölték: R x .u.cu (lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) az önkényes fok gyökének szokásos megnevezését kezdte használni. Ezt a formátumot Isaac Newtonnak és Gottfried Leibniznek köszönhetően konszolidálták.

Logaritmus, decimális logaritmus, természetes logaritmus. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

A "logaritmus" kifejezés John Napier skót matematikushoz tartozik ( "A logaritmusok csodálatos táblázatának leírása", 1614); a görög λογος (szó, kapcsolat) és αριθμος (szám) szavak kombinációjából keletkezett. J. Napier logaritmusa egy segédszám két szám arányának mérésére. A logaritmus modern definícióját először William Gardiner angol matematikus adta meg (1742). Értelemszerűen egy szám logaritmusa bésszel a (a ≠ 1, a> 0) - kitevő m amelyre a számot emelni kell a(a logaritmus alapjának nevezik), hogy megkapjuk b... Jelölve log a b.Így, m = log a b, ha a m = b.

A decimális logaritmusok első táblázatait Henry Briggs oxfordi matematikaprofesszor adta ki 1617-ben. Ezért külföldön a decimális logaritmusokat gyakran brig-nek nevezik. A "természetes logaritmus" kifejezést Pietro Mengoli (1659) és Nicholas Mercator (1668) vezette be, bár a londoni matematikatanár, John Spidell 1619-ben összeállított egy táblázatot a természetes logaritmusokról.

A 19. század végéig nem volt általánosan elfogadott jelölés a logaritmusra, az alapra. a jelezve, majd balra és a szimbólum felett log majd azon túl. Végül a matematikusok arra a következtetésre jutottak, hogy az alap legkényelmesebb helye a vonal alatt, a szimbólum után log... A logaritmus előjele - a "logaritmus" szó rövidítésének eredménye - különböző formában fordul elő szinte egyidejűleg az első logaritmustáblázatok megjelenésével, pl. Napló- I. Kepler (1624) és G. Briggs (1631), log- B. Cavalierinél (1632). Kijelölés ln mert a természetes logaritmust Alfred Pringsheim német matematikus vezette be (1893).

Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens. W. Outred (17. század közepe), I. Bernoulli (18. század), L. Euler (1748, 1753).

A szinusz és koszinusz rövidítéseit William Outread vezette be a 17. század közepén. Az érintő és a kotangens rövidítései: tg, ctg században Johann Bernoulli vezette be, Németországban és Oroszországban terjedtek el. Más országok ezeknek a függvényeknek a neveit használják barna, kiságy Albert Girard javasolta még korábban, a 17. század elején. A trigonometrikus függvények elméletét Leonard Euler (1748, 1753) hozta modern formába, és neki köszönhetjük a valódi szimbolika megszilárdítását is.A „trigonometrikus függvények” kifejezést Georg Simon Klugel német matematikus és fizikus vezette be 1770-ben.

Az indiai matematikusok szinuszvonalát eredetileg úgy hívták "Arha-jiva"("Félhúr", azaz fél akkord), majd a szó "Archa" kiesett, és a szinuszvonalat egyszerűen hívták Jiva... Az arab fordítók nem fordították le a szót Jiva arab szó "Vatar", amely egy íjhúrt és egy akkordot jelöl, és arab betűkkel átírva a szinuszvonalat kezdte hívni Jiba... Mivel az arab nyelvben a rövid magánhangzókat nem jelzik, hanem egy hosszú "és"-et a szóban Jiba az "y" félhangzóhoz hasonlóan jelölve az arabok elkezdték kiejteni a szinuszvonal nevét. Gúnyolódik, ami szó szerint azt jelenti: "üreg", "sinus". Az arab művek latinra fordításakor az európai fordítók lefordították a szót Gúnyolódik latin szó sinus, ugyanazzal a jelentéssel.Az "érintő" kifejezés (lat.tangens- vonatkozó) Thomas Finke dán matematikus vezette be The Geometry of the Round (1583) című könyvében.

Arcsine. C. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).

Az inverz trigonometrikus függvények olyan matematikai függvények, amelyek inverzek a trigonometrikus függvényekkel. Az inverz trigonometrikus függvény neve a megfelelő trigonometrikus függvény nevéből származik az "ív" előtag hozzáadásával (a lat. ív- ív).Az inverz trigonometrikus függvények általában hat függvényt tartalmaznak: arcsin, arccos, arctg, arcctg, arcsec és arccosec. Az inverz trigonometrikus függvények speciális szimbólumait először Daniel Bernoulli (1729, 1736) használta.Az inverz trigonometrikus függvények előtaggal való jelölésének módja ív(a lat. arcus, ív) jelent meg Karl Scherfer osztrák matematikusnál, és Joseph Louis Lagrange francia matematikusnak, csillagásznak és mechanikusnak köszönhetően konszolidálódott. Ez azt jelentette, hogy például egy közönséges szinusz lehetővé teszi egy körív mentén összehúzó húr megtalálását, az inverz függvény pedig az ellenkező problémát oldja meg. A 19. század végéig az angol és a német matematikai iskolák más elnevezéseket javasoltak: bűn. -1 és 1 / sin, de nem használják széles körben.

Hiperbolikus szinusz, hiperbolikus koszinusz. W. Riccati (1757).

A történészek Abraham de Moivre (1707, 1722) angol matematikus munkáiban fedezték fel a hiperbolikus függvények első megjelenését. Modern meghatározását és részletes tanulmányozását az olasz Vincenzo Riccati végezte el 1757-ben az "Opusculorum" című művében, ő javasolta elnevezésüket is: SH,ch... Riccati egyetlen hiperbola figyelembevételéből indult ki. A hiperbolikus függvények tulajdonságainak független felfedezését és további tanulmányozását Johann Lambert (1768) német matematikus, fizikus és filozófus végezte, aki megállapította a közönséges és a hiperbolikus trigonometria képleteinek széles körű párhuzamosságát. N.I. Lobacsevszkij ezt a párhuzamosságot alkalmazta, és megpróbálta bebizonyítani a nem euklideszi geometria következetességét, amelyben a közönséges trigonometriát hiperbolikus váltja fel.

Ahogy a trigonometrikus szinusz és a koszinusz a koordinátakör pontjának koordinátái, a hiperbolikus szinusz és a koszinusz a hiperbola pontjának koordinátái. A hiperbolikus függvényeket exponenciális függvényekkel fejezzük ki, és szorosan kapcsolódnak a trigonometrikus függvényekhez: sh(x) = 0,5 (e x -e -x) , ch (x) = 0,5 (e x + e -x). A trigonometrikus függvényekkel analóg módon a hiperbolikus tangens és a kotangens a hiperbolikus szinusz és koszinusz, koszinusz és szinusz arányaként definiálható.

Differenciális. G. Leibniz (1675, nyomdában 1684).

A függvény fő, lineáris része növekszik.Ha a funkció y = f (x) egy változó x-nek van x = x 0derivált és növekményΔy = f (x 0 +? X) -f (x 0)funkciókat f (x) ként ábrázolhatóΔy = f "(x 0) Δx + R (Δx) , hol van a tag R végtelenül kicsi ahhoz képestΔx... Első időszakdy = f "(x 0) Δxebben a bővítésben a függvény differenciáljának nevezzük f (x) azon a pontonx 0... V Gottfried Leibniz, Jacob és Johann Bernoulli művei"különbség""növekmény" értelmében használták, I. Bernoulli Δ-vel jelölte. G. Leibniz (1675, nyomtatásban 1684) a "végtelenül kicsi különbség" jelölését használta.d- a szó első betűje"differenciális", általa alkotott től"különbség".

Határozatlan integrál. G. Leibniz (1675, nyomdában 1686).

Az „integrál” szót először Jacob Bernoulli (1690) használta nyomtatásban. Talán a kifejezés a latinból származik egész szám- egész. Egy másik feltevés szerint az alap a latin szó volt integro- az előző állapotba hozni, visszaállítani. A ∫ jelet egy integrál jelölésére használják a matematikában, és egy latin szó első betűjének stilizált képe. summa -összeg. Gottfried Leibniz német matematikus, a differenciál- és integrálszámítás megalapítója használta először a 17. század végén. A differenciál- és integrálszámítás másik megalapítója, Isaac Newton munkáiban nem kínált alternatív szimbolikát az integrálra, bár többféle lehetőséget is kipróbált: függőleges sáv a függvény fölött vagy négyzet alakú szimbólum, amely a függvény előtt áll, ill. határolja azt. Határozatlan integrál egy függvényhez y = f (x) Egy adott függvény összes antideriváltjának gyűjteménye.

Határozott integrál. J. Fourier (1819-1822).

Egy függvény határozott integrálja f (x) alsó határral aés a felső határ b különbségként definiálható F (b) - F (a) = a ∫ b f (x) dx , ahol F (x)- egy függvény valamilyen antideriváltja f (x) ... Határozott integrál a ∫ b f (x) dx számszerűen megegyezik az ábra abszcissza tengelye által határolt területével, egyenes vonalakkal x = aés x = bés a függvénygrafikont f (x)... Jean Baptiste Joseph Fourier francia matematikus és fizikus egy határozott integrál formalizálását javasolta a 19. század elején megszokott formában.

Derivált. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

A derivált a differenciálszámítás alapfogalma, amely egy függvény változási sebességét jellemzi f (x)érvváltásról x ... Úgy definiálható, mint egy függvény növekményének és argumentuma növekményének arányának határa, amikor az argumentum növekménye nullára hajlik, ha létezik ilyen korlát. Azt a függvényt, amelynek valamikor véges deriváltja van, ezen a ponton differenciálhatónak nevezzük. A derivált kiszámításának folyamatát differenciálásnak nevezzük. A fordított folyamat az integráció. A klasszikus differenciálszámításban a derivált leggyakrabban a határelmélet fogalmain keresztül határozzák meg, azonban történetileg a határelmélet később jelent meg, mint a differenciálszámítás.

A „származék” kifejezést Joseph Louis Lagrange vezette be 1797-ben; dy / dx- Gottfried Leibniz 1675-ben. Newtontól (1691) származik az a mód, ahogyan az időszármazékot egy betű fölött pont jelzi.Az orosz "függvény származéka" kifejezést először egy orosz matematikus használtaVaszilij Ivanovics Viskovatov (1779-1812).

Részleges derivált. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Számos változó függvényeinél részleges deriváltokat határoznak meg – az egyik argumentumra vonatkozó származékokat, amelyeket abból a feltételezésből számítanak ki, hogy a többi argumentum állandó. Megnevezések ∂f / ∂ x, ∂ z / ∂ y Adrienne Marie Legendre francia matematikus vezette be 1786-ban; fx ",z x "- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801) ∂ 2 z / ∂ x 2, ∂ 2 z / ∂ x ∂ y- másodrendű részleges származékai - Carl Gustav Jacob Jacobi német matematikus (1837).

Különbség, növekedés. I. Bernoulli (17. század vége - 18. század első fele), L. Euler (1755).

A növekmény Δ betűvel történő jelölését először Johann Bernoulli svájci matematikus használta. A delta szimbólum Leonard Euler 1755-ös munkái után vált általánossá.

Összeg. L. Euler (1755).

Az összeg az értékek (számok, függvények, vektorok, mátrixok stb.) összeadásának eredménye. N szám összegének a 1, a 2, ..., an jelölésére a görög "szigma" Σ betűt használjuk: a 1 + a 2 + ... + an = Σ ni = 1 ai = Σ n 1 a i. Az összeg Σ jelét Leonard Euler vezette be 1755-ben.

Munka. K. Gauss (1812).

A szorzat szorzás eredménye. Az n szám a 1, a 2, ..., an szorzatának jelölésére a görög "pi" Π betűt használjuk: a 1 · a 2 · ... · an = Π ni = 1 ai = Π n 1 a i. Például 1 · 3 · 5 · ... · 97 · 99 =? 50 1 (2i-1). A mű Π jelét Karl Gauss német matematikus vezette be 1812-ben. Az orosz matematikai irodalomban a "munka" kifejezéssel először Leonty Filippovich Magnitsky találkozott 1703-ban.

Faktoriális. K. Crump (1808).

Az n szám faktoriálisa (n !-vel jelölve, "ento-faktoriális"-nak ejtve) az összes természetes szám szorzata n-ig bezárólag: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n. Például 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Definíció szerint 0-nak tételezzük fel! = 1. A faktorál csak nemnegatív egész számokra van definiálva. Az n szám faktoriálisa egyenlő n elem permutációinak számával. Például 3! = 6, valóban,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Mind a hat és csak a három elem hat permutációja.

A "faktoriális" kifejezést Louis Francois Antoine Arbogast francia matematikus és politikus vezette be (1800), az n! - Christian Crump francia matematikus (1808).

Modulus, abszolút érték. K. Weierstrass (1841).

Modulus, egy x valós szám abszolút értéke egy nem negatív szám, amelyet a következőképpen határozunk meg: | = x, ha x ≥ 0, és |x | = -x, ha x ≤ 0. Például | 7 | = 7, | - 0,23 | = - (- 0,23) = 0,23. A z = a + ib komplex szám modulusa √ (a 2 + b 2) valós szám.

Úgy tartják, hogy a "modul" kifejezést az angol matematikus és filozófus, Newton tanítványa, Roger Coots javasolta. Gottfried Leibniz is ezt a függvényt használta, amit "modulnak" nevezett, és mol x-nek jelöli. Az abszolút érték általánosan elfogadott elnevezését Karl Weierstrass német matematikus vezette be 1841-ben. A komplex számok esetében ezt a fogalmat Augustin Cauchy és Jean Robert Argan francia matematikusok vezették be a 19. század elején. 1903-ban Konrad Lorenz osztrák tudós ugyanezt a szimbolikát használta a vektor hosszára.

Norma. E. Schmidt (1908).

A norma egy vektortéren definiált függvény, amely egy vektor hosszának vagy egy szám modulusának fogalmát általánosítja. A "normák" jelet (a latin "norma" szóból - "szabály", "minta") Erhard Schmidt német matematikus vezette be 1908-ban.

Határ. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), sok matematikus (a XX. század elejéig)

A határérték a matematikai elemzés egyik alapfogalma, ami azt jelenti, hogy egy bizonyos változó érték változásának vizsgált folyamatában korlátlanul közelít egy bizonyos állandó értéket. Az intuitív szintű határ fogalmát már a 17. század második felében használták Isaac Newton, valamint a 18. századi matematikusok, például Leonard Euler és Joseph Louis Lagrange. A sorozathatár első szigorú meghatározását Bernard Bolzano 1816-ban és Augustin Cauchy 1821-ben adta meg. A lim szimbólum (az első 3 betű a latin limes szóból - border) 1787-ben jelent meg Simon Antoine Jean Luillier svájci matematikusnál, de használata még nem hasonlított a maiakra. A lim kifejezést számunkra ismerősebb formában először William Hamilton ír matematikus használta 1853-ban.Weierstrass a modern elnevezéshez közel álló megjelölést vezetett be, azonban a szokásos nyíl helyett az egyenlőségjelet használta. A nyilat a 20. század elején egyszerre több matematikus is megjelent – ​​például Godfried Hardy angol matematikus 1908-ban.

Zéta funkció, d Riemann zéta-függvénye... B. Riemann (1857).

Az s = σ + it komplex változó analitikai függvényét σ> 1 esetén abszolút és egységesen a Dirichlet-sor határozza meg:

ζ (s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ....

σ> 1 esetén az Euler-szorzat formájában való ábrázolás érvényes:

ζ (s) = Π p (1-p -s) -s,

ahol a szorzat átveszi az összes prímszámot p. A zéta-függvény fontos szerepet játszik a számelméletben.Valós változó függvényében a zéta függvényt 1737-ben vezette be (1744-ben publikálva) L. Euler, aki jelezte annak termékké való kiterjesztését. Ezután ezt a függvényt L. Dirichlet német matematikus, és különösen sikeresen P.L. orosz matematikus és mechanikus vette figyelembe. Csebisev, amikor a prímszámok eloszlásának törvényét tanulmányozta. A zéta-függvény legmélyebb tulajdonságaira azonban később, Georg Friedrich Bernhard Riemann német matematikus (1859) munkája nyomán fedezték fel, ahol a zéta-függvényt egy komplex változó függvényének tekintették; 1857-ben bevezette a „zéta-függvény” nevet és a ζ (s) jelölést is.

Gamma-függvény, Euler Γ-függvény. A. Legendre (1814).

A gamma-függvény egy matematikai függvény, amely kiterjeszti a faktoriális fogalmát a komplex számok területére. Általában Γ (z)-vel jelöljük. Az r-függvényt először Leonard Euler vezette be 1729-ben; a képlet határozza meg:

Γ (z) = limn → ∞ n nz/z(z+1)...(z+n).

Nagyszámú integrált, végtelen szorzatot és sorozatok összegét fejezzük ki a Γ-függvénnyel. Széles körben használják az analitikus számelméletben. A „gamma-függvény” elnevezést és a Γ (z) jelölést Adrien Marie Legendre francia matematikus javasolta 1814-ben.

Béta funkció, B funkció, Euler B függvény. J. Binet (1839).

Két p és q változó függvénye, amelyet p> 0, q> 0 esetén az egyenlőség határoz meg:

B (p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

A béta-függvény a Γ-függvénnyel fejezhető ki: B (p, q) = Γ (p) Г (q) / Г (p + q).Ahogy az egész számokhoz tartozó gamma-függvény a faktoriális általánosítása, a béta-függvény bizonyos értelemben a binomiális együtthatók általánosítása.

Számos tulajdonság leírása a béta függvény segítségével történikelemi részecskék részt venni erős interakció... Ezt a tulajdonságot az olasz elméleti fizikus vette észreGabriele Veneziano 1968-ban. Ez jelentette a kezdetet húrelmélet.

A "béta függvény" elnevezést és a B (p, q) jelölést Jacques Philippe Marie Binet francia matematikus, mechanikus és csillagász vezette be 1839-ben.

Laplace operátor, laplaci. R. Murphy (1833).

A Δ lineáris differenciáloperátor, amely a φ (x 1, x 2, ..., x n) függvényt rendeli hozzá n x 1, x 2, ..., x n változóban:

Δφ = ∂ 2 φ / ∂х 1 2 + ∂ 2 φ / ∂х 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂х n 2.

Különösen egy változó φ (x) függvénye esetén a Laplace-operátor egybeesik a 2. derivált operátorával: Δφ = d 2 φ / dx 2. A Δφ = 0 egyenletet általában Laplace-egyenletnek nevezik; innen ered a "Laplace-operátor" vagy a "laplaci" elnevezés. A Δ jelölést Robert Murphy angol fizikus és matematikus vezette be 1833-ban.

Hamilton operátor, nabla operátor, Hamiltoni. O. Heaviside (1892).

Az űrlap vektor differenciáloperátora

∇ = ∂ / ∂x én+ ∂ / ∂y j+ ∂ / ∂z k,

ahol én, j, és k- koordináta egységvektorok. A vektoranalízis alapműveletei, valamint a Laplace-operátor természetes módon fejeződik ki a nabla operátoron keresztül.

1853-ban William Rowan Hamilton ír matematikus bevezette ezt az operátort, és megalkotta a ∇ szimbólumot egy fordított görög Δ (delta) betű formájában. Hamiltonban a szimbólum hegye balra mutatott, később Peter Guthrie Tate skót matematikus és fizikus munkáiban a szimbólum elnyerte modern formáját. Hamilton ezt a szimbólumot "atled" szónak nevezte (a "delta" szó fordítva). Később angol tudósok, köztük Oliver Heaviside, ezt a szimbólumot „nabla”-nak kezdték nevezni, a föníciai ábécé ∇ betűjének neve után, ahol előfordul. A betű eredete egy hárfa típusú hangszerhez kapcsolódik, a ναβλα (nabla) az ógörögül azt jelenti, hogy „hárfa”. Az operátort Hamilton operátornak, vagy nabla operátornak hívták.

Funkció. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematikai fogalom, amely egy halmaz elemei közötti kapcsolatot tükrözi. Azt mondhatjuk, hogy egy függvény egy "törvény", egy "szabály", amely szerint az egyik halmaz minden eleme (amelyet definíciós tartománynak nevezünk) egy másik halmaz valamely eleméhez kapcsolódik (ezt értéktartománynak nevezzük). A függvény matematikai fogalma egy intuitív elképzelést fejez ki arról, hogy egy mennyiség hogyan határozza meg teljesen egy másik mennyiség értékét. A „függvény” kifejezés gyakran numerikus függvényre utal; vagyis egy függvény, amely az egyik számot a másikhoz rendeli. A matematikusok sokáig zárójelek nélkül adtak érveket, például - φх. Első alkalommal Johann Bernoulli svájci matematikus használt ilyen elnevezést 1718-ban.A zárójeleket csak sok argumentumhoz használtuk, vagy ha az argumentum összetett kifejezés volt. A ma is használatban lévő feljegyzések annak az időnek a visszhangja.sin x, lg xDe fokozatosan a zárójelek, f (x) használata általános szabály lett. És ennek fő érdeme Leonard Euleré.

Egyenlőség. R. Record (1557).

Az egyenlőségjelet Robert Record walesi orvos és matematikus javasolta 1557-ben; a szimbólum alakja jóval hosszabb volt a jelenleginél, mivel két párhuzamos szegmens képét imitálta. A szerző kifejtette, hogy nincs egyenlőbb a világon, mint két párhuzamos, azonos hosszúságú szakasz. Ezt megelőzően az ókori és középkori matematikában az egyenlőséget szóban jelölték (pl. est egale). Rene Descartes a 17. században kezdte használni az æ-t (lat. aequalis), és a modern egyenlőségjellel jelezte, hogy az együttható negatív is lehet. François Viette a kivonást egyenlőségjellel jelölte. A Rekord szimbólum nem terjedt el azonnal. A Rekord szimbólum elterjedését hátráltatta, hogy ősidők óta ugyanazt a szimbólumot használták az egyenesek párhuzamosságának jelölésére; végül úgy döntöttek, hogy a párhuzamosság szimbólumot függőlegessé teszik. A kontinentális Európában a "=" jelet Gottfried Leibniz csak a 17-18. század fordulóján vezette be, vagyis több mint 100 évvel Robert Record halála után, aki először használta erre.

Körülbelül egyenlő, megközelítőleg egyenlő. A. Gunther (1882).

jele " ≈ „a kapcsolat szimbólumaként vezették be”, nagyjából megegyezik „1882-ben Adam Wilhelm Sigmund Gunther német matematikussal és fizikussal.

Többé kevésbé. T. Garriott (1631).

Ezt a két jelet Thomas Garriot angol csillagász, matematikus, etnográfus és műfordító vezette be 1631-ben, előtte a "több" és a "kevesebb" szavakat használták.

Összehasonlíthatóság. K. Gauss (1801).

Összehasonlítás - két n és m egész szám aránya, ami azt jelenti, hogy ezeknek a számoknak az n-m különbségét elosztjuk egy adott a egész számmal, amelyet összehasonlító modulnak neveznek; írva: n≡m (mod a) és olvassa el, hogy "n és m számok összehasonlíthatók mod a-val". Például 3≡11 (mod 4), mivel a 3-11 osztható 4-gyel; a 3-as és a 11-es számok összehasonlíthatók modulo 4-el. Az összehasonlításoknak sok olyan tulajdonsága van, amely hasonló az egyenlőségekhez. Tehát az összehasonlítás egyik részében lévő kifejezés átvihető ellentétes előjellel a másik részre, és az azonos modullal végzett összehasonlítások összeadhatók, kivonhatók, szorozhatók, az összehasonlítás mindkét része ugyanazzal a számmal szorozható, stb. . Például,

3≡9 + 2 (4. mód) és 3-2≡9 (4. mód)

Egyszerre helyes összehasonlítások. És egy pár helyes összehasonlításból 3≡11 (mod 4) és 1≡5 (mod 4) a következők helyesek:

3 + 1≡11 + 5 (4. mód)

3-1≡11-5 (4. mód)

3 1≡11 5 (4. mód)

3 2 ≡ 11 2 (4. mód)

3 23≡ 11 23 (4. mód)

A különféle összehasonlítások megoldási módszereit a számelmélet tekinti, i.e. módszerek olyan egész számok megtalálására, amelyek kielégítik az ilyen vagy olyan összehasonlításokat. A modulus-összehasonlításokat először Karl Gauss német matematikus használta 1801-ben "Aritmetikai vizsgálatok" című könyvében. Összehasonlításra javasolta a matematikában kialakított szimbolikát is.

Identitás. B. Riemann (1857).

Identitás - két analitikai kifejezés egyenlősége, amely a benne szereplő betűk bármely megengedett értékére érvényes. Az a + b = b + a egyenlőség a és b minden számértékére igaz, ezért azonosság. Az azonosságok írásához bizonyos esetekben 1857 óta a "≡" (értsd: "azonos egyenlő") jelet használnak, amelynek szerzője ebben a használatban Georg Friedrich Bernhard Riemann német matematikus. Tudsz írni a + b ≡ b + a.

Függőlegesség. P. Erigon (1634).

A merőlegesség két egyenes, sík vagy egy egyenes és egy sík egymáshoz viszonyított helyzete, amelynél a jelzett ábrák derékszöget alkotnak. A merőlegességet jelző ⊥ jelet 1634-ben vezette be Pierre Erigon francia matematikus és csillagász. A merőlegesség fogalmának számos általánosítása van, de általában mindegyikhez tartozik a ⊥ jel.

Párhuzamosság. W. Outred (posztumusz kiadás, 1677).

A párhuzamosság bizonyos geometriai alakzatok kapcsolata; például egyenes vonalak. Különböző geometriáktól függően eltérően határozzák meg; például Eukleidész geometriájában és Lobacsevszkij geometriájában. A párhuzamosság jele ősidők óta ismert, az alexandriai Heron és Pappus használta. A szimbólum eleinte hasonló volt a jelenlegi egyenlőségjelhez (csak hosszabb), de az utóbbi megjelenésével a félreértések elkerülése érdekében a szimbólumot függőlegesen elforgatták ||. Mint ilyen, először William Outread angol matematikus műveinek posztumusz kiadásában jelent meg 1677-ben.

Kereszteződés, egyesülés. J. Peano (1888).

A halmazok metszéspontja olyan halmaz, amelyhez azok és csak azok az elemek tartoznak, amelyek egyidejűleg az összes adott halmazhoz tartoznak. Halmazok Uniója – az eredeti halmazok összes elemét tartalmazó halmaz. A metszéspontot és az egyesülést olyan halmazokon végzett műveleteknek is nevezik, amelyek a fenti szabályok szerint új halmazokat társítanak bizonyos halmazokhoz. ∩ és ∪ jelölése rendre. Például ha

A = (♠ ♣)és B = (♣ ♦),

Hogy

А∩В = {♣ }

А∪В = {♠ ♣ ♦ } .

Tartalmaz, tartalmaz. E. Schroeder (1890).

Ha A és B két halmaz, és A-ban nincsenek olyan elemek, amelyek nem tartoznak B-hez, akkor A-t B-ben lévőnek mondjuk. A⊂B-t vagy B⊃A-t írnak (B-ben A-t tartalmaz). Például,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

A "tartalmaz" és a "tartalmaz" szimbólumokat 1890-ben jelent meg Ernst Schroeder német matematikus-logikus.

Affiliáció. J. Peano (1895).

Ha a az A halmaz eleme, akkor a∈A-t írnak és azt olvassák, hogy "a tartozik A-hoz". Ha a nem eleme az A halmaznak, írjon a∉A-t és olvassa el, hogy "és nem tartozik A-hoz". Kezdetben a "tartalmaz" és a "tartozik" ("egy elem") kapcsolatot nem különböztették meg, de idővel ezek a fogalmak megkülönböztetést igényeltek. A ∈-t először Giuseppe Peano olasz matematikus használta 1895-ben. A ∈ szimbólum a görög εστι – lenni – szó első betűjéből származik.

Az univerzalitás, a létezés számszerűsítője. G. Genzen (1935), C. Pearce (1885).

A kvantor a logikai műveletek általános neve, amelyek egy predikátum (matematikai állítás) igazságterületét jelzik. A filozófusok régóta figyelnek azokra a logikai műveletekre, amelyek korlátozzák egy predikátum igazságtartalmát, de nem emelték ki őket a műveletek külön osztályaként. Bár a kvantor-logikai konstrukciókat széles körben használják a tudományos és a mindennapi beszédben is, formalizálásukra csak 1879-ben került sor, Friedrich Ludwig Gotlob Frege német logikus, matematikus és filozófus „A fogalmak számítása” című könyvében. Frege jelölései terjedelmes grafikai konstrukcióknak tűntek, és nem fogadták el. Ezt követően sok sikeresebb szimbólumot javasoltak, de az általánosan elfogadott jelölés az egzisztenciális kvantorra ∃ lett (értsd: "létezik", "megtalálják"), amelyet Charles Pearce amerikai filozófus, logikus és matematikus javasolt 1885-ben, és a ∀. az univerzális kvantor (értsd: "any", "mindenki", "mindenki"), amelyet Gerhard Karl Erich Gentzen német matematikus és logikus alkotott meg 1935-ben az egzisztenciális kvantor szimbólum analógiájára (az angol Existence és Any szavak fordított kezdőbetűi) . Például a bejegyzés

(∀ε> 0) (∃δ> 0) (∀x ≠ x 0, | x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

a következőképpen szól: "Bármely ε> 0 esetén van δ> 0 úgy, hogy minden x esetén nem egyenlő x 0-val, és kielégíti az x-x 0 egyenlőtlenséget |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Üres készlet. N. Burbaki (1939).

Elemeket nem tartalmazó halmaz. Az üresen kitűzött jelet 1939-ben vezették be Nicolas Bourbaki könyveibe. A Bourbaki a francia matematikusok 1935-ben létrehozott csoportjának gyűjtőneve. A Bourbaki csoport egyik tagja André Weil, az Ø szimbólum szerzője volt.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

A matematikában a bizonyítást bizonyos szabályokra épülő érveléssorozatként értjük, amely megmutatja, hogy egy bizonyos állítás igaz. A reneszánsz óta a bizonyítás végét a matematikusok a „Q.E.D.” rövidítéssel jelölték, amely a „Quod Erat Demonstrandum” latin kifejezésből származik – „Mit kellett bizonyítani”. Donald Edwin Knuth amerikai informatikus professzor 1978-ban egy ΤΕΧ szedőrendszer megalkotásakor egy szimbólumot használt: egy kitöltött négyzetet, az úgynevezett "Halmos szimbólumot", amelyet a magyar származású amerikai matematikusról, Paul Richard Halmosról neveztek el. Ma a bizonyítás befejezését általában Halmos szimbólummal jelölik. Alternatív megoldásként más jeleket is használnak: üres négyzetet, derékszögű háromszöget, // (két perjel), valamint az orosz "ch.t.d" rövidítést.