Vetítések a koordinátatengelyekre. Vektoros vetítés

Fizika a 9. osztálynak (I.K. Kikoin, A.K. Kikoin, 1999),
feladat №5
fejezethez" FEJEZET 1. ÁLTALÁNOS FORGALMI INFORMÁCIÓK».

1. Mit nevezünk vektor vetületének egy koordinátatengelyre?

1. Az a vektor vetülete a koordináta tengelyére az a vektor eleje és vége (az ezekből a pontokból a tengelyre ejtett merőlegesek) vetületei közötti szakasz hossza erre a koordináta tengelyre.

2. Hogyan függ össze a test elmozdulásának vektora a koordinátáival?

2. Az s eltolási vektor vetületei a koordinátatengelyekre megegyeznek a test megfelelő koordinátáinak változásával.

3. Ha egy pont koordinátája növekszik az idő múlásával, milyen előjele van az eltolási vektor vetületének a koordináta tengelyére? És ha csökken?

3. Ha egy pont koordinátája idővel növekszik, akkor az eltolási vektor vetülete a koordináta tengelyére pozitív lesz, mivel ebben az esetben a vektor kezdetének vetületétől a végének vetületéig fogunk haladni magának a tengelynek az irányában.

Ha egy pont koordinátája idővel csökken, akkor az elmozdulási vektor vetülete a koordináta -tengelyre negatív lesz, mivel ebben az esetben a vektor kezdetének vetületétől a végének vetületéig megyünk a tengely irányával szemben.

4. Ha az eltolási vektor párhuzamos az X tengellyel, akkor mekkora a vektor vetületének modulusa erre a tengelyre? És mi a helyzet ugyanazon vektor Y tengelyre vetítésének moduljával?

4. Ha az eltolási vektor párhuzamos az X tengellyel, akkor a vektor vetületének modulusa ezen a tengelyen megegyezik magának a vektornak a modulusával, az Y tengelyre vetített vetülete pedig nulla.

5. Határozza meg a 22. ábrán látható elmozdulási vektorok X tengelyére eső vetületek jeleit. Hogyan változnak a test koordinátái ezen elmozdulások során?

5. Az alábbi esetekben a test Y koordinátája nem változik, de a test X koordinátája az alábbiak szerint változik:

a) s 1;

az s 1 vektor vetülete az X tengelyre negatív és abszolút értékben egyenlő az s 1 vektor hosszával. Ilyen elmozdulással a test X koordinátája az s 1 vektor hosszával csökken.

b) s 2;

az s 2 vektor vetülete az X tengelyre pozitív és abszolút értékben egyenlő az s 1 vektor hosszával. Ilyen elmozdulással a test X koordinátája az s 2 vektor hosszával nő.

c) s 3;

az s 3 vektor vetülete az X tengelyre negatív és abszolút értékben egyenlő az s 3 vektor hosszával. Ilyen elmozdulással a test X koordinátája az s 3 vektor hosszával csökken.

d) s=4;

az s 4 vektor vetülete az X tengelyre pozitív és abszolút értékben egyenlő az s 4 vektor hosszával. Ilyen elmozdulással a test X koordinátája az s 4 vektor hosszával nő.

e) s 5;

az s 5 vektor vetülete az X tengelyre negatív és abszolút értékben egyenlő az s 5 vektor hosszával. Ilyen elmozdulással a test X koordinátája az s 5 vektor hosszával csökken.

6. Ha a megtett távolság nagy, lehet -e kicsi az elmozdulási modulus?

6. Talán. Ez annak köszönhető, hogy az elmozdulás (elmozdulásvektor) egy vektormennyiség, azaz. egy irányított vonalszakasz, amely összeköti a test kezdeti helyzetét az azt követő helyzetekkel. A test végső helyzete pedig (függetlenül a megtett távolság értékétől) olyan közel lehet a test kezdeti helyzetéhez, amennyire csak akarja. Ha a test végső és kezdeti helyzete egybeesik, az elmozdulási modulus nulla lesz.

7. Miért fontosabb a testmozgás vektora a mechanikában, mint az általa megtett út?

7. A mechanika fő feladata a test helyzetének bármikori meghatározása. A test elmozdulási vektorának ismeretében meghatározhatjuk a test koordinátáit, i.e. a test helyzete bármely pillanatban, és csak a megtett távolság ismeretében nem tudjuk meghatározni a test koordinátáit, mivel a mozgás irányáról nem rendelkezünk információval, de csak a bejárt út hosszát tudjuk megítélni egy adott időpillanatban.

Először is emlékezzünk, mi ez koordináta tengely, pont-tengely vetítésés egy pont koordinátái egy tengelyen.

Koordináta tengely- ez egy egyenes, amely bizonyos irányt kapott. Felfoghatjuk úgy, mint egy végtelenül nagy modulusú vektort.

Koordináta tengely tetszőleges betűvel jelölve: X, Y, Z, s, t ... Általában a tengelyen egy pontot választunk (önkényesen), amelyet eredetnek nevezünk, és általában az O betűvel jelöljük. a számunkra érdekes pontokat ettől a ponttól számítjuk.

Pont-tengely vetítés- ez az ebből a pontból leejtett merőleges alapja az adott tengelyen (8. ábra). Vagyis egy pont tengelyre vetítése egy pont.

Pont koordináta tengelyenként egy olyan szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott léptékben), amely a tengely origója és a pont e tengelyre való vetülete közé van zárva. Ezt a számot plusz előjellel vesszük, ha egy pont vetülete az origójától a tengely irányában van, és mínuszjellel, ha az ellenkező irányban.

Vektor skaláris vetülete egy tengelyre- ez szám, amelynek abszolút értéke megegyezik a tengelyszakasz hosszával (a kiválasztott skálán), a kezdőpont és a vektor végpontja között. Fontos! Általában kifejezés helyett vektor skaláris vetülete egy tengelyre csak azt mondják - vektor vetítés egy tengelyre, ez a szó skalár kimaradt. Vektoros vetítés ugyanazzal a betűvel jelöljük, mint a vetített vektort (normál, nem félkövér jelöléssel), annak a tengelynek a nevének alsó indexével (szabály szerint), amelyre ez a vektor ki van vetítve. Például, ha a vektort az X-tengelyre vetítjük a, akkor a vetületét x-szel jelöljük. Ha ugyanazt a vektort egy másik tengelyre, mondjuk az Y tengelyre vetítjük, a vetületét y-val jelöljük (9. ábra).

Számolni vektor vetítés a tengelyre(például az X tengely) ki kell vonni a kezdőpont koordinátáját a végpontjának koordinátájából, azaz

a x = x k - x n.

Emlékeznünk kell: a vektor skaláris vetülete tengelyre (vagy egyszerűen vektor vetülete tengelyre) egy szám (nem vektor)! Ezenkívül a vetítés lehet pozitív, ha az x k érték nagyobb, mint az x n, negatív, ha az x k érték kisebb, mint az x n, és egyenlő nullával, ha x k egyenlő x n értékkel (10. ábra).

Egy vektor tengelyre vetítése úgy is megtalálható, ha ismerjük a vektor modulusát és a tengellyel bezárt szöget.

A 11. ábra azt mutatja, hogy a x = a Cos α

Ez azt jelenti, hogy a vektor vetülete a tengelyre egyenlő a vektor modulusának a szög koszinuszával való szorzatával. a tengely iránya és a vektor iránya között... Ha a szög hegyes, akkor Cos α> 0 és a x> 0, ha pedig tompaszög, akkor a tompaszög koszinusza negatív, és a vektor tengelyre vetítése is negatív lesz.

A tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányba mért szögeket pozitívnak, az út mentén negatívnak tekintik. Mivel azonban a koszinusz páros függvény, azaz Cos α = Cos (- α), így a vetületek számításakor a szögek az óramutató járásával megegyező és azzal ellentétes irányban is számolhatók.

A feladatok megoldása során gyakran a vetületek alábbi tulajdonságait használják fel: ha

a = b + c +…+ d, akkor a x = b x + c x +… + d x (hasonlóan más tengelyeknél),

a= m b, akkor a x = mb x (hasonlóan más tengelyeknél).

Az a x = a Cos α képlet lesz Gyakran találkozni a problémák megoldása során, ezért feltétlenül tudnod kell. A vetület meghatározásának szabálya, amelyet ismernie kell kívülről!

Emlékezik!

A vektor tengelyre vetítésének megkereséséhez ennek a vektornak a modulusát meg kell szorozni a tengely iránya és a vektor iránya közötti szög koszinuszával.

Még egyszer - VONALON!

Válasz:

A vetítés tulajdonságai:

Vektorvetítés tulajdonságai

1. tulajdonság.

Két vektor összegének vetülete a tengelyen egyenlő az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok vetületeinek összegével:

Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy a vektorok összegének vetületét lecserélje a vetületeik összegére, és fordítva.

2. tulajdonság. Ha egy vektort megszorozunk a λ számmal, akkor a tengelyre vetítését is megszorozzuk ezzel a számmal:

3. tulajdonság.

A vektor vetülete az l tengelyre egyenlő a vektor modulusának a vektor és a tengely közötti szög koszinuszának szorzatával:

A tengely ort. Vektor felosztása koordináta egységekben. Vektor koordináták. Koordináta tulajdonságok

Válasz:

Tengely egységvektorok.

A téglalap alakú (bármilyen méretû) koordinátarendszert a koordinátatengelyekkel együtt irányított egységvektorok halmaza is leírja. Az egységvektorok száma megegyezik a koordinátarendszer méretével, és mindegyik merőleges egymásra.

A háromdimenziós esetben az egységvektorokat általában jelöljük

ÉS A nyíl és a nyíl jelölése is alkalmazható.

Ebben az esetben jobb oldali koordinátarendszer esetén az alábbi képletek érvényesek az egységvektorok vektorszorzatával:

Egy vektor felosztása koordináta egységekben.

A koordinátatengely egységvektorát átmenő, tengelyek - átmenő, tengelyek - átmenő jelöléssel (1. ábra)

Bármely vektorra, amely a síkban található, a következő kiterjesztésre kerül sor:

Ha a vektor térben van elhelyezve, akkor a koordinátatengelyek egységvektorai mentén a bővítés a következőképpen alakul:

Vektor koordináták:

Egy vektor koordinátáinak kiszámításához az A kezdőpont koordinátáinak (x1; y1) és a B végének koordinátáinak (x2; y2) ismeretében ki kell vonni az origó koordinátáit a végének koordinátáiból: ( x2 - x1; y2 - y1).

Koordináta tulajdonságok.

Tekintsük a koordináta egyenest az O pont origójával és az i egységvektort. Ekkor bármely a vektorra ezen az egyenesen: a = axi.

A számtengelyt az a vektor koordinátájának nevezzük a koordinátatengelyen.

1. tulajdonság. Ha vektorokat adunk hozzá a tengelyhez, azok koordinátái összeadódnak.

2. tulajdonság. Ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.

Vektorok pontszorzata. Tulajdonságok.

Válasz:

Két nullától eltérő vektor skaláris szorzata egy szám

egyenlő ezen vektorok szorzatával a közöttük lévő szög koszinuszával.

Tulajdonságok:

1. A skalárszorzat ingó tulajdonsággal rendelkezik: ab = bа

Koordináta egységvektorok skaláris szorzata. A vektorok koordinátáival megadott pontszorzatának meghatározása.

Válasz:

Pont szorzat (×) egységvektorok

(X)	én	J	K
én
J
K

A vektorok ponttermékének meghatározása a koordinátáik alapján.

A képlettel kiszámítható két vektor skaláris szorzata és koordinátáival

Két vektor keresztszorzata. Vektor termék tulajdonságai.

Válasz:

Három nem egysíkú vektor egy jobboldali hármast alkot, ha a harmadik végétől az első vektortól a másodikig az óramutató járásával ellentétes irányban forogunk. Ha az óramutató járásával megegyező irányban, akkor balra., Ha nem, akkor ellenkezőleg ( mutasd meg, hogyan mutatott "tollakkal")

Vektor vektor terméke a vektoronként b vektornak nevezzük amelyből:

1. Merőleges a vektorokra aés b

2. A hossza számszerűen megegyezik a rajta kialakított paralelogramma területével aés b vektorok

3. vektorok, a, b, és c alkotják a vektorok megfelelő hármasát

Tulajdonságok:

1.

3.

4.

A koordináta egységvektorok vektorszorzata. A vektorok vektor szorzatának meghatározása a koordinátáik alapján.

Válasz:

Koordináta egységvektorok vektoros szorzata.

A vektorok vektor szorzatának meghatározása a koordinátáik alapján.

Adjuk meg az a = (x1; y1; z1) és b = (x2; y2; z2) vektorokat koordinátáikkal egy derékszögű O, i, j, k koordinátarendszerben, és az i, j, k hármas jobbkezes.

Bontsuk ki az a és b bázisvektorokat:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

A vektor szorzat tulajdonságait felhasználva megkapjuk

[a; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z 1 x 2 + z 1 y 2 + z 1 z 2. (1)

A vektorszorzat definíciója szerint azt találjuk

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = i,

= j, = - i. = 0.

Ezeket az egyenlőségeket figyelembe véve az (1) képlet a következőképpen írható fel:

[a; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[a; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

A (2) képlet kifejezést ad két vektor koordinátáival megadott vektorszorzatára.

A kapott képlet nehézkes, a determinánsok jelölésével más formában is felírhatjuk, ami kényelmesebb a memorizáláshoz:

Általában a (3) képlet még rövidebben van írva:

A konvergáló erők egyensúlyával kapcsolatos problémák megoldása zárt teljesítményű sokszögek kialakításával nehézkes konstrukciókhoz kapcsolódik. Az ilyen problémák megoldásának univerzális módszere az átmenet adott erők vetületeinek koordinátatengelyekre történő meghatározására és ezekkel a vetületekkel való működésre. Egy tengelyt egyenesnek neveznek, amelyhez egy bizonyos irányt rendelnek.

A vektor vetülete egy tengelyre egy skaláris érték, amelyet a tengely szakasza határoz meg, amelyet a vektor elejétől és végétől ráesett merőlegesek vágnak le.

Egy vektorvetítés akkor tekinthető pozitívnak, ha a vetítés kezdetétől a végéig tartó irány egybeesik a tengely pozitív irányával. Egy vektorvetítés akkor tekinthető negatívnak, ha a vetítés kezdetétől a végéig tartó irány ellentétes a tengely pozitív irányával.

Így az erő vetülete a koordinátatengelyre egyenlő az erő modulusának az erővektor és a tengely pozitív iránya közötti szög koszinuszának szorzatával.

Tekintsünk néhány olyan esetet, amikor az erők egy tengelyre vetítődnek:

Erővektor F(15. ábra) hegyesszöget zár be az x tengely pozitív irányával.

A vetület megtalálásához az erővektor elejétől és végétől leengedjük a merőlegeseket a tengelyre ó; kapunk

1. F x = F cos α

A vektorvetítés ebben az esetben pozitív

Kényszerítés F(16. ábra) a tengely pozitív irányával van NS tompaszög α.

Azután F x = F cos α, de mivel α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ = - F cos φ.

Erővetítés F tengelyenként ó ebben az esetben negatív.

Kényszerítés F(17. ábra) a tengelyre merőlegesen ó.

Az F erő vetülete a tengelyre NS nulla

F x = F cos 90 ° = 0.

Síkon található erő hou(18. ábra), két koordinátatengelyre vetíthető Óés OU.

Erő F részekre bontható: F x és F y. Vektor modulus F x egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként ökör, és a vektor modulusa F y egyenlő a vektor vetületével F tengelyenként jaj.

A Δ -tól OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.

A Δ -tól SLA: F x = F cos φ, F x = F sin φ.

Az erő modulusát a Pitagorasz-tétel határozza meg:

A vektorösszeg vagy az eredő vetülete bármely tengelyre megegyezik az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok elemeinek vetületeinek algebrai összegével.

Vegye figyelembe a konvergáló erőket F 1 , F 2 , F 3, és F 4, (19. ábra, a). Ezen erők geometriai összege vagy eredője F az erőpoligon záró oldala által meghatározott

A hatványsokszög csúcsairól ugorjunk a tengelyre x merőlegesek.

Figyelembe véve a közvetlenül az elvégzett konstrukcióból kapott erőkivetítéseket, megvan

F= F 1x + F 2x + F 3x + F 4x

ahol n a vektortagok száma. A vetületeik a fenti egyenletet tartalmazzák a megfelelő előjellel.

A síkban az erők geometriai összege két koordinátatengelyre, térben pedig háromra vetíthető.

Ebben a cikkben egy vektor tengelyre vetítésével fogunk foglalkozni, és megtanuljuk megtalálni a vektor numerikus vetületét. Először definiáljuk a vektor vetületét egy tengelyre, bevezetjük a jelöléseket, és grafikus illusztrációt is adunk. Ezt követően közöljük egy vektor numerikus vetületének tengelyre definícióját, megfontoljuk, hogyan találjuk meg, és számos olyan példára mutatunk megoldást, amelyekben meg kell találni egy vektor numerikus vetületét egy tengelyre.

Oldalnavigáció.

Vektor vetítése egy tengelyre - meghatározás, jelölés, illusztrációk, példa.

Kezdjük az általános információkkal.

Tengely alatt egyenes vonal értendő, amelynek iránya meg van jelölve. Így egy vektor vetülete egy tengelyre és egy vektor vetülete egy irányított egyenesre egy és ugyanaz.

Egy vektor tengelyre vetítését kétféle értelemben tekinthetjük: geometriai és algebrai értelemben. Geometriai értelemben a vektor tengelyre vetítése vektor, algebrai értelemben pedig szám. Ezt a különbségtételt gyakran nem kifejezetten kimondják, hanem inkább a szövegkörnyezetből értik. Nem hagyjuk figyelmen kívül ezt a különbségtételt: a "" kifejezést fogjuk használni, ha egy vektor geometriai értelemben vett vetítéséről van szó, és a "" kifejezést, ha egy vektor algebrai vetületéről van szó (a következő bekezdés Ennek a cikknek egy vektor tengelyre történő numerikus vetítésével foglalkozik) ...

Most rátérünk a tengelyre vetített vektorvetítés definíciójára. Ehhez nem árt megismételni.

Adjuk meg nekünk az L tengelyt és egy nem nulla vektort síkon vagy háromdimenziós térben. Jelöljük az A és B pont vetületeit az L egyenesre, mint A 1 és B 1, és alkossunk egy vektort. Ha előre tekintünk, tegyük fel, hogy a vektor egy vektornak az L tengelyre való vetülete.

Meghatározás.

Vektor vetítése egy tengelyre Egy vektor, amelynek eleje és vége az adott vektor elejének, illetve végének vetülete.

A vektor L-tengelyre való vetületét jelöljük.

Ahhoz, hogy vektorvetítést építsünk az L tengelyre, le kell engednünk a merőlegeseket az A és B pontból az L irányított egyenesre - ezeknek a merőlegeseknek az alapjai adják a kívánt vetítés elejét és végét.

Adjunk példát egy vektor tengelyre vetítésére.

Az Oxy téglalap alakú koordinátarendszert vezessük be a síkba, és adjunk meg egy pontot. Rajzoljuk meg a М 1 pont sugárvektorát, és építsük fel vetületeit az Ox és Oy koordinátatengelyekre. Nyilvánvaló, hogy vektorok koordinátákkal és ill.

Gyakran hallani arról, hogy egy vektor egy másik nem nulla vektorra vetül, vagy egy vektor egy vektor irányába vetít. Jelen esetben a vektor valamilyen tengelyre való vetületét értjük, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával (általában végtelen sok tengely van, amelyek irányai egybeesnek a vektor irányával). Egy vektor egy egyenesre való vetületét, amelynek iránya határozza meg a vektort, a következővel jelöljük.

Vegye figyelembe, hogy ha a és vektorok közötti szög hegyes, akkor a és vektorok egyirányúak. Ha a és vektorok közötti szög tompaszögű, akkor a és vektorok ellentétes irányúak. Ha a vektor nulla vagy merőleges a vektorra, akkor a vektor vetülete arra az egyenesre, amelynek iránya meghatározza a vektort, a nulla vektor.

Vektor numerikus vetítése egy tengelyre - meghatározás, kijelölés, példák a megtalálásra.

Egy vektor tengelyre vetítésének numerikus jellemzője ennek a vektornak a tengelyre való numerikus vetülete.

Meghatározás.

Egy vektor numerikus vetítése egy tengelyre Olyan szám, amely egyenlő a vektor hosszának és a vektor és a tengely irányát meghatározó vektor közötti szög koszinuszának szorzatával.

A vektor numerikus vetületét az L tengelyre a következővel jelöljük (a felül lévő nyíl nélkül), a vektor numerikus vetületét pedig a vektor által meghatározott tengelyre.

Ezekben a jelölésekben a vektor számszerű vetületének meghatározása egy vektorra irányított egyenesre , ahol a vektor hossza, a vektorok közötti szög és.

Tehát megvan az első képlet egy vektor numerikus vetületének kiszámítására:. Ezt a képletet akkor használjuk, ha a vektor hossza és a és a vektorok közötti szög ismert. Kétségtelen, hogy ez a képlet akkor is alkalmazható, ha a vektorok koordinátái is ismertek egy adott derékszögű koordináta-rendszerhez képest, de ebben az esetben célszerűbb egy másik képletet használni, amelyet az alábbiakban kapunk meg.

Példa.

Számítsa ki egy vektor numerikus vetületét egy vektorként irányított egyenesre, ha a vektor 8 hosszú és a vektorok közötti szög és!

Megoldás.

A problémánk állapotától ... Csak azt a képletet kell alkalmazni, amely lehetővé teszi a vektor szükséges numerikus vetületének meghatározását:

Válasz:

Tudjuk , ahol a vektorok skaláris szorzata és. Aztán a képlet , amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk egy vektor numerikus vetületét egy vektorként irányított egyenesre, a következő alakot ölti majd: ... Vagyis megfogalmazhatunk egy másik definíciót egy vektor numerikus vetületére egy tengelyre, amely egyenértékű a jelen bekezdés elején megadott definícióval.

Meghatározás.

Egy vektor numerikus vetítése egy tengelyre, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával, a vektorok pont szorzatának és a vektor hosszának az aránya.

Kényelmes az űrlap kapott képletével megkeresni egy vektor numerikus vetületét egy egyenesre, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával, ha a és a vektorok koordinátái ismertek. Ezt példák megoldásával mutatjuk be.

Példa.

Ismeretes, hogy a vektor határozza meg az L tengely irányát. Keresse meg a vektor numerikus vetületét az L tengelyre.

Megoldás.

A képlet koordináta alakban az hol és. Segítségével megkeressük a vektor szükséges numerikus vetületét az L tengelyre:

Válasz:

Példa.

A háromdimenziós térben az Oxyz téglalap alakú koordinátarendszerre két vektort adunk és ... Határozzuk meg a vektor numerikus vetületét az L tengelyre, amelynek iránya egybeesik a vektor irányával!

Megoldás.

A vektorok koordinátái alapján és kiszámíthatja ezeknek a vektoroknak a pont szorzatát: ... Egy vektor hosszát koordinátái alapján a következő képlettel számítjuk ki ... Ekkor a vektor L tengelyre koordinátákban történő numerikus vetületének meghatározására szolgáló képlet a következőképpen alakul: .

Alkalmazzuk:

Válasz:

Most vegyük a kapcsolatot a vektor numerikus vetülete az L tengelyre, amelynek iránya határozza meg a vektort, és a vektor vetületének hossza az L tengelyen. Ehhez megrajzoljuk az L tengelyt, félretesszük a vektorokat és az L-en fekvő pontból a merőlegest a vektor végéről az L egyenesre ejtjük, és megszerkesztjük a vektor vetületét az L tengelyre. A és vektorok közötti szög mértékétől függően a következő öt lehetőség lehetséges:

Az első esetben nyilvánvaló, hogy tehát akkor .

A második esetben a megjelölt derékszögű háromszögben egy szög koszinuszának definíciójából azt kapjuk, hogy , ennélfogva, .

A harmadik esetben nyilvánvaló, hogy, ill , ezért és .

A negyedik esetben egy szög koszinuszának definíciójából az következik, hogy , ahol .

Ez utóbbi esetben tehát akkor
.

A vektor tengelyre történő numerikus vetületének alábbi definíciója egyesíti a kapott eredményeket.

Meghatározás.

A vektor numerikus vetítése az L tengelyre vektorként irányított

Példa.

A vektor vetületének hossza az L tengelyre, amelynek iránya határozza meg a vektort. Mekkora a vektor numerikus vetülete az L tengelyen, ha a vektorok közötti szög és egyenlő a radiánokkal.