Az aranymetszés a tervezésben. Shkrudnev Fedor Dmitrievich - Arany szakasz
Az esszét a MOU 9. számú gimnázium 8. osztályos tanulója, Vyushina Veronika készítette.
Jekatyerinburg
1. Bemutatkozás. Az aranymetszés aránya. Ф és φ.
"A geometriának két nagy kincse van. Az első a Pitagorasz-tétel, a második a szakasz felosztása a szélső és az átlagos arányban."
Johannes Kepler
A szabályos sokszögek már régóta felkeltették az ókori görög tudósok és Arkhimédész figyelmét. A püthagoreusok, akik a pentagramot – egy ötágú csillagot választották szövetségük jelképének – nagyon jó nagyon fontos a kör egyenlő részekre osztásának, azaz szabályos beírt sokszög felépítésének problémája. Albrecht Durer (1471-1527), aki a reneszánsz megszemélyesítője lett Németországban, elméletileg ad pontos módon szabályos ötszög építése, Ptolemaiosz „Almagest” című nagy művéből kölcsönzött.
Dürer érdeklődése az építkezés iránt szabályos sokszögek tükrözi használatukat a középkorban az arab és gótikus díszekben, valamint a lőfegyverek feltalálása után - az erődök elrendezésében.
A középkori szabályos sokszögek megalkotásának módszerei hozzávetőleges természetűek voltak, de egyszerűek (vagy nem lehettek) egyszerűek: előnyben részesítették azokat az építési módokat, amelyeknél még az iránytű nyílását sem kellett megváltoztatni. Leonardo da Vinci is sokat írt a sokszögekről, de nem Leonardo, hanem Dürer adta át a középkori építési módszereket a leszármazottaknak. Dürer természetesen ismerte az euklideszi alapelveket, de a Mérési útmutatóban (az iránytűvel és vonalzóval ellátott konstrukciókról) nem hozta be az Eukleidész által javasolt módszert egy szabályos ötszög felépítésére, elméletileg pontos, mint minden euklideszi konstrukció. Eukleidész nem próbál meg egy adott körívet három egyenlő részre osztani, és Dürer tudta, bár bizonyítékot csak a 19. században találtak, hogy ez a probléma megoldhatatlan.
Az Euklidész által javasolt szabályos ötszög felépítése magában foglalja egy egyenes szakasz felosztását az átlagos és a szélső arányban, később aranymetszésnek nevezik, és több évszázadon keresztül felkelti a művészek és építészek figyelmét.
A B pont felosztja az ABE szakaszt középső és szélső arányban, vagy aranymetszetet alkot, ha a szakasz nagyobb részének aránya a kisebbhez egyenlő a teljes szakasz és a nagyobb rész arányával.
Az arányegyenlőség formájában írt aranymetszésnek megvan a formája
AB / BE = AB / AE
Ha AB = a, és BE = a / F úgy teszünk, hogy az aranymetszés egyenlő AB / BE = F, akkor megkapjuk az arányt
Vagyis Ф kielégíti az egyenletet
Ennek az egyenletnek van egy pozitív gyöke
Ф = (√5 + 1) /2=1,618034 ....
Vegye figyelembe, hogy 1 / Ф = (√5 -1) / 2, mivel (√5-1) (√5 + 1) = 5-1 = 4. 1 / F esetén általában φ = 0,618034….
A Ф és φ a görög "phi" betű kis- és nagybetűi.
Ezt az elnevezést az ókori görög szobrász, Phidias (i.e. 5. század) tiszteletére fogadták el. Phidias felügyelte az athéni Parthenon-templom építését. A φ szám ismételten jelen van ennek a templomnak az arányaiban.
2.Az aranymetszés története
Úgy tartják, hogy az aranyfelosztás fogalmát Pitagorasz, az ókori görög filozófus és matematikus vezette be a tudományos használatba (Kr. e. VI. század). Van egy olyan feltételezés, hogy Pythagoras az egyiptomiaktól és babilóniaiaktól kölcsönözte tudását az arany felosztásról. Valójában a Kheopsz-piramis, a templomok, a domborművek, a háztartási cikkek és a Tutanhamon sírjából származó dísztárgyak arányai azt mutatják, hogy az egyiptomi kézművesek az arany felosztási arányokat alkalmazták létrehozásuk során. Le Corbusier francia építész megállapította, hogy I. Seti fáraó abüdoszi templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranyoszlop értékeinek. Khesira építész domborműben ábrázolta fatábla nevének sírjából, kezében tartja mérőműszerek, amelyben az aranyosztás arányai rögzítettek.
 |
A görögök képzett geométerek voltak. Segítségével még számtant is tanítottak gyermekeiknek geometriai formák... A Pitagorasz-négyzet és ennek a négyzetnek az átlója volt az alapja a dinamikus téglalapok készítésének.
Platón (Kr. e. 427 ... 347) is tudott az aranyosztásról. "Timeus" című dialógusa a püthagorasz-iskola matematikai és esztétikai nézeteinek, és különösen az aranyfelosztás kérdéseinek szenteli.
A Parthenonnak 8 oszlopa van a rövid oldalakon és 17 a hosszúokon. Az épület magasságának és hosszának aránya 0,618. Ha a Parthenont "aranymetszés" szerint osztjuk fel, akkor a homlokzat egyik vagy másik kiemelkedését kapjuk. Ásatásai során iránytűket fedeztek fel, amelyeket az ókori világ építészei és szobrászai használtak. A Pompeji iránytűben (egy nápolyi múzeumban) az arany osztás arányait is lefektetik.
 |
A hozzánk eljutott ókori irodalomban az aranyfelosztást először Eukleidész „elemei” említik. A „Kezdetek” 2. könyvében az aranyfelosztás geometriai felépítése szerepel. Euklidész után Gipsicles (Kr. e. II. század), Pappus (Kr. u. III. század) és mások foglalkoztak az aranyosztás tanulmányozásával.A középkori Európában az aranyosztást Eukleidész alapelvei arab fordításaiba vezették be. J. Campano navarrai fordító (III. század) megjegyzéseket fűzött a fordításhoz. Az arany hadosztály titkait féltékenyen őrizték, szigorú titokban tartották. Csak a beavatottak ismerték őket.
A reneszánsz idején az aranyosztás iránti érdeklődés megnőtt a tudósok és művészek körében annak alkalmazása kapcsán, mind a geometriában, mind a művészetben, különösen az építészetben. Leonardo da Vinci, művész és tudós látta, hogy az olasz művészek sok tapasztalati tapasztalattal rendelkeznek, de tudásuk hiánya. Megfogant, és könyvet kezdett írni a geometriáról, de ekkor jelent meg Luca Pacioli szerzetes könyve, és Leonardo felhagyott vállalkozásával. A kortársak és a tudománytörténészek szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, Olaszország legnagyobb matematikusa a Fibonacci és Galilei közötti időszakban.
Luca Pacioli nagyon is tisztában volt a tudomány fontosságával a művészet számára. 1496-ban Moreau hercegének meghívására Milánóba érkezett, ahol matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci akkoriban Milánóban is dolgozott a morói udvarban. 1509-ben Velencében adták ki Luca Pacioli Isteni arány című könyvét, zseniálisan kivitelezett illusztrációkkal, ezért is tartják azt, hogy Leonardo da Vinci készítette. A könyv az aranymetszés elragadtatott himnusza volt. Az aranymetszés számos erénye között Luca Pacioli szerzetes nem mulasztotta el megnevezni. isteni lényeg"az isteni háromság kifejeződéseként: Fiú Isten, Atyaisten és Szentlélek Isten (úgy értették, hogy a kis rész a Fiú Istenének megszemélyesülése, a nagyobb rész az Atya Istene, ill. az egész szegmens a Szentlélek Istene).
Leonardo da Vinci is nagy figyelmet fordított az aranydivízió tanulmányozására. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus szilárdtestből metszeteket készített, és minden alkalommal arany osztású téglalapokat kapott. Ezért adta ennek a felosztásnak az Aranymetszet nevet. Tehát továbbra is a legnépszerűbb.
Ugyanakkor Európa északi részén, Németországban Albrecht Durer ugyanezen a problémákon dolgozott. Felvázolja az arányokról szóló értekezés első tervezetének bevezetését. Dürer ezt írja: "Szükséges, hogy valaki, aki tudja, hogyan tanítsa meg másoknak, akiknek szükségük van rá. Ezt vállaltam fel."
Dürer egyik leveléből ítélve olaszországi tartózkodása alatt találkozott Luca Paciolival. Albrecht Durer részletesen kidolgozza az emberi test arányainak elméletét. Dürer az arányrendszerében fontos helyet tulajdonított az aranymetszésnek. Az ember magasságát arany arányban osztja fel az övvonal, valamint a leengedett kezek középső ujjainak hegyén, az arc alsó részén a szájnál húzott vonal stb. A Dürer-féle arányos iránytű ismert.
Az aranymetszés számos szegmensének felépítése történhet felfelé (növekvő sor) és lefelé (csökkenő sor).
Még az ókori Egyiptomban is ismerték aranymetszés , Leonardo da Vinci és Euklidész tanulmányozta tulajdonságait.Az ember vizuális észlelése úgy van elrendezve, hogy alakjában megkülönbözteti az őt körülvevő összes tárgyat. A téma vagy annak formája iránti érdeklődését néha a szükség diktálja, vagy ezt az érdeklődést a téma szépsége is felkeltheti. Ha a forma építésének alapjában, a kombinációban aranymetszésés a szimmetria törvényei, akkor az legjobb kombináció harmóniát és szépséget érző személy vizuális észlelésére. Az egész apró és nagy részekből és ezekből áll különböző méretű a részek határozott kapcsolatban állnak egymással és az egésszel is. A legmagasabb megnyilvánulása A természet, a tudomány, a művészet, az építészet és a technológia funkcionális és strukturális kiválósága az alapelv aranymetszés. Koncepciója aranymetszés az ókori görög matematikus és filozófus (Kr. e. VI. század) Püthagorasz tudományos használatba került. De maga a tudás aranymetszés az ókori egyiptomiaktól kölcsönözte. A templomok összes épületének aránya, a Kheopsz-piramis, a domborművek, a háztartási cikkek és a sírokból származó díszítések azt mutatják, hogy az arány aranymetszés az ókori mesterek aktívan használták jóval Pitagorasz előtt. Példaként: az abüdoszi I. Seti templom domborműve és Ramszesz domborműve alkalmazta az elvet aranymetszés az ábrák arányaiban. Le Corbusier építész találta ki. Khesir építész sírjából vett fatáblán egy dombormű, amelyen maga az építész látható, kezében a mérési eszközökkel, amelyek az alapelveket rögzítő helyzetben vannak ábrázolva. aranymetszés. Ismerte az elveket aranymetszésés Platón (Kr. e. 427 ... 347). A „Timeus” párbeszéd ennek bizonyítéka, mivel a kérdéseknek szentelték arany hadosztály, a Pythagorean School esztétikai és matematikai nézetei. Alapelvek aranymetszésókori görög építészek használták a Parthenon-templom homlokzatán. Az ókori világ ókori építészei és szobrászai által munkájuk során használt iránytűket a Parthenon-templom ásatásai során fedezték fel.
Parthenon, Akropolisz, Athén Pompeji (Nápolyi Múzeum) arányaiban arany hadosztály is rendelkezésre állnak.Az ókori irodalomban, amely ránk szállt, az elv aranymetszés Eukleidész Elemei című művében említik először. A "Kezdetek" című könyv második részében a geometriai elv megadva aranymetszés... Eukleidész követői Pappus (Kr. u. III. század), Hypsicles (Kr. e. II. század) és mások voltak. A középkori Európába azzal az elvvel aranymetszés Az euklideszi "Elemek" arab nyelvű fordításaiból ismertük meg egymást. Alapelvek aranymetszés csak a beavatottak szűk köre ismerte őket, féltékenyen őrizték, szigorú titokban tartották. Elérkezett a reneszánsz és az elvek iránti érdeklődés korszaka aranymetszés növekszik a tudósok és művészek körében, mivel ez az elv alkalmazható a tudományban, az építészetben és a művészetben. És Leonardo Da Vinci elkezdte alkalmazni ezeket az elveket műveiben, sőt, elkezdett könyvet írni a geometriáról, de akkoriban megjelent Luca Pacioli szerzetes könyve, aki megelőzte őt, és kiadta az "Isteni arány" című könyvet. "ami után Leonardo otthagyta a vajúdását, még nem fejeződött be. A tudománytörténészek és a kortársak szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, briliáns olasz matematikus, aki Galilei és Fibonacci között élt. Piero della Franceschi művész tanítványaként Luca Pacioli két könyvet írt, A festészet perspektívájáról, az egyiknek a címe. Sokan a leíró geometria megteremtőjének tartják. Luca Pacioli Moreau hercegének meghívására 1496-ban Milánóba érkezett, és ott matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci ebben az időben Moreau udvarában dolgozott. Luca Pacioli 1509-ben Velencében megjelent Isteni arány című könyve lelkes himnusz lett. aranymetszés, gyönyörűen kivitelezett illusztrációkkal, minden okunk megvan azt hinni, hogy az illusztrációkat maga Leonardo da Vinci készítette. Luca Pacioli szerzetes, mint az egyik erény aranymetszés kiemelte "isteni lényegét". Felismerve az aranymetszés tudományos és művészi értékét, Leonardo da Vinci sok időt szentelt annak tanulmányozására. Egy sztereometrikus test ötszögekből álló metszetét végrehajtva olyan téglalapokat kapott, amelyek oldalaránya megfelel a aranymetszés... És ezt a nevet adta neki: aranymetszés”. Ez a mai napig kitart. Albrecht Durer, szintén tanul aranymetszés Európában találkozik Luca Pacioli szerzetessel. Johannes Kepler, a kor legnagyobb csillagásza volt az első, aki észrevette a jelentést aranymetszés a botanika számára, a geometria kincsének nevezve. Az önmagában folytatódó arany arányt "úgy van elrendezve" - mondta - "a végtelen arány két alsó tagjának összege adja a harmadik tagot, és bármely két utolsó tag, ha összeadja őket, adja a következő tagot" , és ugyanaz az arány a végtelenségig megmarad."
Arany háromszög :: Arany arány és arany arány :: Arany téglalap :: Arany spirál
Arany háromszög
A csökkenő és növekvő sorozatok aranymetszésének szegmenseinek megtalálásához a pentagramot használjuk.
Rizs. 5. Szabályos ötszög és pentagram felépítése
A pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell rajzolni Albrecht Durer német festő és grafikus által kidolgozott építési módszer szerint. Ha O a kör középpontja, akkor A a kör egy pontja, E pedig az OA szakasz felezőpontja. Az O pontban visszaállított OA sugárra merőleges metszi a kört a D pontban. Iránytű segítségével jelölje be a CE = ED átmérőjű szakaszt. Ekkor egy körbe írt szabályos ötszög oldalhossza DC. Félretesszük a kör DC szakaszait, és öt pontot kapunk egy szabályos ötszög rajzolásáért. Ezután az egyik sarkon keresztül összekötjük az ötszög sarkait átlókkal, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekapcsolt szegmensekre.
Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszög. Oldalai felül 36°-os szöget zárnak be, az oldalt félretett alap pedig az aranymetszés arányában osztja el. Egy AB egyenest húzunk. Az A pontból háromszor fektetünk rá egy tetszőleges értékű O szakaszt, a kapott P ponton keresztül merőlegest húzunk az AB egyenesre, a P ponttól jobbra és balra eső merőlegesen O szakaszokat fektetünk le. a kapott d és d1 pontokat egyenesekkel az A ponthoz. Ad1 egyenes, így C pont. Az Ad1 egyenest az aranymetszés arányában osztotta. Az Ad1 és dd1 vonalak „arany” téglalap rajzolására szolgálnak.
Rizs. 6. Arany építése
háromszög
Aranymetszés és aranymetszés
A matematikában és a művészetben két mennyiség aranyarányban van, ha e mennyiségek összege és a nagyobb aránya megegyezik a nagyobb és a kisebb arányával. 
Algebrailag kifejezve: 
Az aranymetszést gyakran a görög phi betűvel (? Vagy?) jelölik. az aranymetszés ábrája szemlélteti azokat a geometriai összefüggéseket, amelyek ezt az állandót meghatározzák. Az aranymetszés egy irracionális matematikai állandó, körülbelül 1,6180339887.
Arany téglalap
Az arany téglalap egy téglalap, az oldalak hossza arany arányban van, 1:?
(egy-fi), azaz 1: vagy nagyjából 1: 1,618. Az arany téglalapot csak vonalzóval lehet megépíteni 
és egy iránytű: 1. Szerkesszünk meg egy egyszerű négyzetet! 2. Húzzon egy vonalat a négyzet egyik oldalának közepétől a szemközti sarokig 3. Használja ezt a vonalat sugárként egy ív megrajzolásához, amely meghatározza a téglalap magasságát 4. Egészítse ki az arany téglalapot
Arany spirál
A geometriában az aranyspirál egy logaritmikus spirál, amelynek b növekedési faktora összefügg?
, az aranymetszés. Különösen az aranyspirál válik szélesebbé (távolabbra a kezdet helyétől) az együtthatóval ?
minden negyedfordulatért, amit megtesz. 
Egy arany téglalap négyzetekre osztásának egymást követő pontjai fekszenek logaritmikus spirál, amelyet néha aranyspirálnak is neveznek.
Aranymetszés az építészetben és a művészetben.
Sok építész és művész az aranymetszés arányai szerint végezte munkáit, különösen arany téglalap formájában, amelyben a nagyobb oldal és a kisebb oldal aránya az aranymetszés arányával rendelkezik, hisz ez az arány esztétikus legyen. [Forrás: Wikipedia.org ]
Íme néhány példa:
Parthenon, Akropolisz, Athén ... Ez ősi templom szinte pontosan illeszkedik az arany téglalapba.
Vitruvius Man, Leonardo da Vinci ebbe az ábrába sok téglalapvonalat rajzolhat. Ezután három különböző arany téglalapkészlet van: Mindegyik készlet a fej, a törzs és a lábak területére vonatkozik. Leonardo Da Vinci Vitruvius rajza Az embert néha összekeverik az "arany téglalap" elveivel, de ez nem így van. A Vitruvius Man konstrukciója a négyzet átlójával megegyező átmérőjű kör rajzolásán alapul, felfelé mozgatásával, hogy érintse a négyzet alapját, és egy végső kört rajzoljon a négyzet alapja és a négyzet felezőpontja közé. a négyzet középpontjának és a kör középpontjának területe: Részletes magyarázat a geometriai konstrukcióról >>
Az aranymetszés a természetben.
Adolf Zeising, akinek fő érdeklődési köre a matematika és a filozófia volt, megtalálta az aranymetszést a növény szára mentén elhelyezkedő ágak és a levelek ereiben. Kibővítette kutatásait, és a növényekről az állatokra tért át, az állatok csontvázát, ereinek és idegeinek ágait, valamint arányait tanulmányozta. kémiai vegyületekés a kristályok geometriája, egészen az aranymetszés képzőművészetben való használatáig. Ezekben a jelenségekben látta, hogy az aranymetszés mindenütt egyetemes törvényként használatos – írta Zeising 1854-ben: Az aranymetszés egy univerzális törvény, amely tartalmazza azt az alapelvet, amely a szépség és a teljesség utáni vágyat formálja meg olyan területeken, mint a természet és a művészet, amely elsődleges szellemi ideálként áthat minden szerkezetet, formát és arányt, legyen az kozmikus vagy Egyedi, szerves vagy szervetlen, akusztikus vagy optikai, de az aranymetszet elve az emberi formában találja meg a legteljesebb megvalósulását.
Példák:
A Nautilus héj egy szelete feltárja a spirális felépítés aranyelvét.
Mozart két részre osztotta szonátáit, amelyek hossza tükröződik aranymetszés bár sok vita folyik arról, hogy ezt szándékosan tette-e. Többben modern idők, Bartók Béla magyar zeneszerző és Le Corbusier francia építész az aranymetszés elvét céltudatosan foglalták bele műveikbe. Még ma is, aranymetszés mindenhol mesterséges tárgyakban vesz körül bennünket. Nézd meg szinte bármelyik keresztény keresztet, a függőleges és a vízszintes aránya az aranymetszés. Az arany téglalap megtalálásához keressen hitelkártyákat a pénztárcájában. Annak ellenére, hogy az évszázadok során keletkezett műalkotások bőséges bizonyítékai vannak, jelenleg vita folyik a pszichológusok között arról, hogy az emberek valóban szebbnek érzik-e az arany arányokat, különösen az arany téglalapot, mint más formákat. Egy 1995-ös folyóiratcikk, Christopher Green, a torontói Yorki Egyetem professzora, számos olyan kísérletet tárgyal az évek során, amelyek nem mutatták ki az arany téglalap alakzat előnyben részesítését, de megjegyzi, hogy többen is bizonyítékot szolgáltattak arra vonatkozóan, hogy ez a preferencia igen. nem létezik..... De a tudománytól függetlenül az aranymetszés titokzatos marad, részben azért, mert a természet sok váratlan helyén olyan jól használják. Spirál 
a nautilus kagyló héja meglepően közel van aranymetszés, és a mellkas és a has hosszának aránya a legtöbb méhnél szinte aranymetszés... Még az emberi DNS leggyakoribb formáiból származó keresztmetszetek is tökéletesen illeszkednek az arany tízszögbe. aranymetszésés rokonai is számos váratlan kontextusban, a matematikában megjelennek, és továbbra is felkeltik az érdeklődést a matematikai közösségek iránt. Dr. István Marquardt nyugdíjas plasztikai sebész ezt a titokzatos arányt használta aranymetszés, munkájában, aki régóta felelős a szépségért és a harmóniáért, hogy elkészítse azt a maszkot, amelyet önmagának tartott szép forma egy emberi arc, ami csak lehet. 
Maszk tökéletes emberi arc
Nefertiti egyiptomi királynő (Kr. e. 1400)
Jézus arca a torinói lepel másolata, és Dr. Stephen Marquardt maszkjához igazítva.
Az „átlagos” (szintetizált) arc a hírességek közül. Az aranymetszés arányaival.
Az oldal anyagait használtuk fel: http://blog.world-mysteries.com/
Az Aranymetszés a szerkezeti harmónia egyetemes megnyilvánulása. Megtalálható a természetben, a tudományban, a művészetben – mindenben, amivel az ember kapcsolatba kerülhet. Miután az emberiség megismerte az aranyszabályt, többé nem csalt vele.
MEGHATÁROZÁS
Az aranymetszés legtágasabb meghatározása szerint a kisebb rész a nagyobbra, a nagyobb pedig az egészre vonatkozik. Hozzávetőleges értéke 1,6180339887. Kerekített százalékban az egész részeinek aránya 62% és 38% között lesz. Ez a kapcsolat tér és idő formájában működik.
A régiek az aranymetszésben a kozmikus rend visszatükröződését látták, Johannes Kepler pedig a geometria egyik kincsének nevezte. Modern tudomány az aranymetszést "aszimmetrikus szimmetriának" tartja, tág értelemben nevezve egyetemes szabály világrendünk szerkezetét és rendjét tükrözve.
TÖRTÉNELEM
Az ókori egyiptomiaknak volt fogalmuk az aranyarányokról, Oroszországban is tudtak róluk, de Luca Pacioli szerzetes volt az első, aki tudományosan magyarázta az aranymetszést az állítólagosan illusztrált "Isteni arány" (1509) című könyvében. írta Leonardo da Vinci. Pacioli az isteni Szentháromságot látta az aranymetszetben: a kis rész a Fiút, a nagy rész az Atyát, az egész pedig a Szentlelket személyesítette meg.
Leonardo Fibonacci olasz matematikus neve közvetlenül összefügg az aranymetszés szabályával. Az egyik probléma megoldása eredményeként a tudós egy számsorral állt elő, amelyet ma Fibonacci-sorozatnak neveznek: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. Kepler felhívta a figyelmet ennek a sorozatnak az aranymetszethez való viszonyára: „Úgy van elrendezve, hogy ennek a végtelen aránynak a két legalacsonyabb tagja adja ki a harmadik tagot, és bármely két utolsó tag, ha összeadjuk, a a következő ciklusban, és ugyanaz az arány a végtelenségig marad." Most a Fibonacci-sorozat a számtani alapja az aranymetszet arányainak kiszámításához minden megnyilvánulásában.
Leonardo da Vinci is sok időt szentelt az aranymetszés jellemzőinek tanulmányozására, valószínűleg maga a kifejezés is hozzá tartozik. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus testet ábrázoló rajzai azt bizonyítják, hogy a vágással kapott téglalapok mindegyike ad oldalarányt arany osztásban.
Idővel az aranymetszés szabálya akadémiai rutinná változott, és csak Adolph Zeising filozófus adott neki második életet 1855-ben. Az aranymetszet arányait abszolútra hozta, így egyetemessé tette a környező világ minden jelenségére. „Matematikai esztétikáját” azonban sok kritika érte.
TERMÉSZET
Anélkül, hogy belemennénk a számításokba, az aranymetszés könnyen megtalálható a természetben. Tehát a gyík farkának és testének aránya, az ágon lévő levelek távolsága, van egy tojás alakú aranymetszés, ha egy feltételes vonalat húzunk a legszélesebb részén.
Eduard Soroko fehérorosz tudós, aki a természetben az aranyosztódás formáit tanulmányozta, megjegyezte, hogy minden, ami növekszik és arra törekszik, hogy elfoglalja helyét az űrben, az aranymetszet arányaival van felruházva. Véleménye szerint az egyik legtöbb érdekes formák ez egy spirális csavar.
Még Arkhimédész is, odafigyelve a spirálra, levezetett egy egyenletet az alakja alapján, amelyet a technika ma is használ. Később Goethe felhívta a figyelmet a természet spirális formákhoz való vonzódására, és a spirált "az élet görbéjének" nevezte. A modern tudósok azt találták, hogy a természetben a spirális formák ilyen megnyilvánulásai, mint a csigaház, a napraforgómagok elrendezése, a pókháló-mintázatok, a hurrikán mozgása, a DNS szerkezete, sőt a galaxisok szerkezete is tartalmazza a Fibonacci sorozatot.
EMBERI
A divattervezők és ruhatervezők minden számítást az aranymetszés arányai alapján végeznek. Az ember univerzális forma az aranymetszés törvényeinek tesztelésére. Természetesen természeténél fogva nem minden ember rendelkezik ideális arányokkal, ami bizonyos nehézségeket okoz a ruhák kiválasztásában.
Leonardo da Vinci naplójában egy meztelen férfi rajza található körbe írva, két egymásra helyezett helyzetben. Leonardo Vitruvius római építész kutatásai alapján hasonló módon próbálta megállapítani az emberi test arányait. Később a francia építész, Le Corbusier Leonardo „Vitruvius Man” című művét felhasználva megalkotta saját „harmonikus arányok” skáláját, amely befolyásolta a 20. századi építészet esztétikáját.
Adolf Zeising, aki az ember arányosságát vizsgálta, óriási munkát végzett. Körülbelül kétezer emberi testet, valamint sok antik szobrot mért meg, és arra a következtetésre jutott, hogy az aranymetszés az átlagos törvényt fejezi ki. Az emberben szinte minden testrész alárendelődik neki, de az aranymetszés fő mutatója a test felosztása a köldökponttal.
A mérések eredményeként a kutató megállapította, hogy a férfi test 13:8 arányai közelebb állnak az aranymetszethez, mint az arányok. női test – 8:5.
TÉRMŰVÉSZET
Vaszilij Surikov művész azt mondta: "van a kompozícióban egy megváltoztathatatlan törvény, amikor a képen nem lehet semmit sem eltávolítani, sem hozzáadni, még plusz pontot sem lehet tenni, ez az igazi matematika." A művészek sokáig intuitív módon követték ezt a törvényt, de Leonardo da Vinci után a festmény létrehozásának folyamata már nem nélkülözheti a geometriai problémák megoldását. Például Albrecht Durer egy általa kitalált arányos iránytűt használt az aranymetszet pontjainak meghatározására.
FV Kovalev művészeti kritikus, miután részletesen megvizsgálta Nyikolaj Ge "Alexander Szergejevics Puskin Mikhailovskoye faluban" című festményét, megjegyzi, hogy a vászon minden részlete, legyen az kandalló, könyvespolc, fotel vagy maga a költő, szigorúan arany arányban írva.
Az aranymetszés kutatói fáradhatatlanul tanulmányozzák és mérik az építészet remekeit, azt állítva, hogy azért lettek ilyenek, mert az arany kánonok szerint jöttek létre: listájukban a gízai nagy piramisok, a székesegyház. Notre Dame de Paris, Szent Bazil katedrális, Parthenon.
Ma pedig minden térformaművészetben igyekeznek követni az aranymetszet arányait, hiszen a műkritikusok szerint ezek megkönnyítik a mű észlelését, esztétikai érzést keltenek a nézőben.
SZÓ, HANG ÉS FILM
Az ideiglenes művészeti formák a maguk módján az aranyfelosztás elvét demonstrálják számunkra. Az irodalomtudósok például észrevették, hogy Puskin munkásságának késői időszakának verseiben a legnépszerűbb sorszám a Fibonacci-sorozatnak felel meg - 5, 8, 13, 21, 34.
Az aranymetszet szabálya az orosz klasszikus egyes műveire is érvényes. A Pákkirálynő csúcspontja tehát Hermann és a grófnő drámai jelenete, amely utóbbi halálával ér véget. A történetben 853 sor van, a csúcspont az 535. sor (853: 535 = 1,6) – ez az aranymetszés lényege.
E. K. Rozenov szovjet zenetudós megjegyzi Johann Sebastian Bach műveinek szigorú és szabad formáiban az aranymetszés elképesztő pontosságát, amely megfelel a mester átgondolt, koncentrált, technikailag ellenőrzött stílusának. Ez más zeneszerzők kiemelkedő műveire is igaz, ahol a legmarkánsabb vagy legváratlanabb zenei döntés általában az aranymetszetre esik.
Szergej Eisenstein filmrendező szándékosan összehangolta "Potyomkin csatahajó" című filmjének forgatókönyvét az aranymetszet szabályával, és a szalagot öt részre osztotta. Az első három részben az akció a hajón zajlik, az utolsó kettőben pedig Odesszában. A városi jelenetekre való átmenet a film arany középútja.
Az ember forma szerint különbözteti meg a körülötte lévő tárgyakat. Bármely tárgy alakja iránti érdeklődést előidézheti a létszükséglet, vagy okozhatja a forma szépsége. A szimmetria és az aranymetszés kombinációján alapuló forma hozzájárul a legjobb vizuális érzékeléshez, valamint a szépség- és harmóniaérzet megjelenéséhez. Az egész mindig részekből áll, a különböző méretű részek bizonyos viszonyban állnak egymással és az egésszel. Az aranymetszés elve az egész és részei szerkezeti és funkcionális tökéletességének legmagasabb megnyilvánulása a művészetben, a tudományban, a technikában és a természetben.
Aranymetszés – harmonikus arány
A matematikában arány(latin proportio) két reláció egyenlőségének nevezik: a : b = c : d.Vonalszakasz AB két részre osztható a következő módokon:
két egyenlő részre - AB : MINT = AB : Nap;
két egyenlőtlen részre bármilyen arányban (az ilyen részek nem alkotnak arányokat);
így amikor AB : MINT = MINT : Nap.
Az aranymetszés egy szakasznak olyan arányos felosztása egyenlőtlen részekre, amelyben az egész szakasz ugyanúgy a nagyobb részre vonatkozik, mint maga a nagyobb rész a kisebbre; vagy más szóval egy kisebb szegmens egy nagyobbra utal, mint egy nagyobb mindenre
a : b = b : c vagy val vel : b = b : a.
Rizs. 1. Az aranymetszés geometriai képe
Az aranymetszés gyakorlati megismerése azzal kezdődik, hogy egy egyenes szakaszt aranymetszetben osztunk el egy iránytű és egy vonalzó segítségével.
Rizs. 2. Egyenes szakasz felosztása az aranymetszés mentén. időszámításunk előtt = 1/2 AB; CD = időszámításunk előtt
Pontból V felével egyenlő merőleges helyreáll AB... Kapott pontot VAL VEL vonallal összekötve egy ponttal A... A kapott vonalra szegmenst fektetünk Nap ponttal végződik D... Szakasz HIRDETÉS egyenes vonalba helyezzük át AB... Az eredményül kapott pont E osztja a szegmenst AB az aranymetszés arányában.
Az aranymetszés szakaszait egy végtelen irracionális tört fejezi ki AE= 0,618 ... ha AB vegyük egységnek, LENNI= 0,382 ... Gyakorlati célokra gyakran 0,62 és 0,38 hozzávetőleges értékeket használnak. Ha a szegmens AB 100 részre vesszük, akkor a szegmens nagyobb része 62, a kisebb pedig 38 rész.
Az aranymetszés tulajdonságait a következő egyenlet írja le:
x 2 - x - 1 = 0.
Ennek az egyenletnek a megoldása:
Az aranymetszés tulajdonságai romantikus titokzatos glóriát és szinte misztikus imádatot teremtettek e szám köré.
Második aranymetszés
Az Otechestvo bolgár magazin (1983. 10. szám) közzétette Cvetan Cekov-Karandash cikkét "A második aranymetszésről", amely a fő részből következik, és egy másik, 44:56 arányt ad meg.Ez az arány megtalálható az építészetben, és akkor is előfordul, ha hosszúkás vízszintes formátumú képekből kompozíciókat készítünk.
Rizs. 3. A második aranymetszés építése
A felosztás a következőképpen történik (lásd 3. ábra). Szakasz AB osztva az aranymetszés arányában. Pontból VAL VEL a merőleges helyreáll CD... Sugár AB van egy pont D amelyet egy egyenes köt össze egy ponttal A... Derékszög ACD felére osztva. Pontból VAL VEL húzzon egy vonalat, mielőtt átlépi a vonalat HIRDETÉS... Pont E osztja a szegmenst HIRDETÉS 56:44-hez képest.
Rizs. 4. Egy téglalap felosztása a második aranymetszés vonalával
ábrán. A 4. ábra a második aranymetszet vonalának helyzetét mutatja. Középen helyezkedik el az arany metszetvonal és a téglalap középvonala között.
Arany háromszög
A növekvő és csökkenő sorozatok aranymetszetének szegmenseinek megtalálásához használhatja pentagramma.Rizs. 5. Szabályos ötszög és pentagram szerkesztése
Pentagram felépítéséhez szabályos ötszöget kell építeni. Építésének módját Albrecht Durer (1471 ... 1528) német festő és grafikus dolgozta ki. Legyen O- a kör középpontja, A egy pont a körön és E- a szegmens közepe OA... A sugárra merőleges OA pontban helyreállították O, metszi a kört a pontban D... Iránytű segítségével elhalasztjuk a szegmenst az átmérőn CE = ED... A körbe írt szabályos ötszög oldalhossza a DC... Szegmensek félretétele a körön DC szabályos ötszög rajzolásáért pedig öt pontot kapunk. Az ötszög sarkait egy átlón keresztül összekötjük, és kapunk egy pentagramot. Az ötszög minden átlója felosztja egymást az aranymetszés által összekapcsolt szegmensekre.
Az ötszögletű csillag mindkét vége egy arany háromszög. Oldalai felül 36°-os szöget zárnak be, az oldalt félretett alap pedig az aranymetszés arányában osztja el.
Rizs. 6. Az arany háromszög építése
Egyenes vonalat húzunk AB... Pontból A háromszor halasszon el egy részt rajta O tetszőleges érték, a kapott ponton keresztül R húzz egy merőlegest az egyenesre AB, merőleges a pont jobb és bal oldalán R elhalasztja a szakaszokat O... Megszerzett pontok dés d 1 ponttal összekötjük egyenesekkel A... Szakasz dd 1 tegye félre a vonalra Hirdetés 1, pontot szerez VAL VEL... Megosztotta a vonalat Hirdetés 1 az aranymetszés arányában. Vonalak Hirdetés 1 és dd 1 "arany" téglalap készítésére szolgál.
Az aranymetszés története
Úgy tartják, hogy az aranyfelosztás fogalmát Pitagorasz, az ókori görög filozófus és matematikus vezette be a tudományos használatba (Kr. e. VI. század). Van egy olyan feltételezés, hogy Pythagoras az egyiptomiaktól és babilóniaiaktól kölcsönözte tudását az arany felosztásról. Valójában a Kheopsz-piramis, a templomok, a domborművek, a háztartási cikkek és a Tutanhamon sírjából származó dísztárgyak arányai azt mutatják, hogy az egyiptomi kézművesek az arany felosztási arányokat alkalmazták létrehozásuk során. Le Corbusier francia építész megállapította, hogy I. Seti fáraó abüdoszi templomának domborművében és a Ramszesz fáraót ábrázoló domborműben az alakzatok arányai megfelelnek az aranyoszlop értékeinek. Khesira építész, akit a nevéhez fűződő sírból származó fatábla domborművén ábrázoltak, mérőműszereket tart a kezében, amelyekben az arany osztás arányai rögzítve vannak.A görögök képzett geométerek voltak. Még számtant is tanítottak gyermekeiknek geometriai formák segítségével. A Pitagorasz-négyzet és ennek a négyzetnek az átlója volt az alapja a dinamikus téglalapok készítésének.
Rizs. 7. Dinamikus téglalapok
Platón (Kr. e. 427 ... 347) is tudott az aranyosztásról. "Timeus" című dialógusa a püthagorasz-iskola matematikai és esztétikai nézeteinek, és különösen az aranyfelosztás kérdéseinek szenteli.
A Parthenon ókori görög templomának homlokzata arany arányú. Ásatásai során iránytűket fedeztek fel, amelyeket az ókori világ építészei és szobrászai használtak. A Pompeji iránytűben (egy nápolyi múzeumban) az arany osztás arányait is lefektetik.
Rizs. nyolc. Aranymetszés antik iránytűi
A hozzánk eljutott ókori irodalomban az aranyfelosztást először Eukleidész „elemei” említik. A „Kezdetek" második könyvében az aranyosztás geometriai felépítése szerepel. Euklidész után Gipsicles (Kr. e. II. század), Pappus (Kr. u. III. század) és mások foglalkoztak az aranyosztás tanulmányozásával. A középkori Európában a aranyfelosztás Euklidész elemeinek arab fordításán keresztül találkoztunk. J. Campano navarrai fordító (III. század) megjegyzéseket fűzött a fordításhoz. Az arany hadosztály titkait féltékenyen őrizték, szigorú titokban tartották. Csak a beavatottak ismerték őket.
A reneszánsz idején a tudósok és a művészek körében megnőtt az aranyfelosztás iránti érdeklődés mind a geometriában, mind a művészetben, különösen az építészetben. Leonardo da Vinci művész és tudós látta, hogy az olasz művészek sok empirikus tapasztalattal rendelkeznek, de kevés. tudás... Megfogant, és könyvet kezdett írni a geometriáról, de ekkor jelent meg Luca Pacioli szerzetes könyve, és Leonardo felhagyott vállalkozásával. A kortársak és a tudománytörténészek szerint Luca Pacioli igazi fényes volt, Olaszország legnagyobb matematikusa a Fibonacci és Galilei közötti időszakban. Luca Pacioli Piero della Franceschi festő tanítványa volt, aki két könyvet írt, amelyek közül az egyik a Perspektíva a festészetben címet viselte. A leíró geometria megalkotójának tartják.
Luca Pacioli nagyon is tisztában volt a tudomány fontosságával a művészet számára. 1496-ban Moreau hercegének meghívására Milánóba érkezett, ahol matematikáról tartott előadásokat. Leonardo da Vinci akkoriban Milánóban is dolgozott a morói udvarban. 1509-ben Velencében adták ki Luca Pacioli Isteni arány című könyvét, zseniálisan kivitelezett illusztrációkkal, ezért is tartják azt, hogy Leonardo da Vinci készítette. A könyv az aranymetszés elragadtatott himnusza volt. Az aranymetszés számos erénye között Luca Pacioli szerzetes nem mulasztotta el annak „isteni lényegét” megnevezni, mint a Fiú Isten, az Atyaisten és a Szentlélek Isten isteni hármasságának kifejeződését (értették, hogy a kicsi szegmens a Fiú Istenének megszemélyesítése, a nagyobb szegmens az Atya Istene, és az egész szegmens - a Szentlélek istene).
Leonardo da Vinci is nagy figyelmet fordított az aranydivízió tanulmányozására. Szabályos ötszögekből kialakított sztereometrikus szilárdtestből metszeteket készített, és minden alkalommal arany osztású téglalapokat kapott. Ezért nevet adott ennek az osztálynak aranymetszés... Tehát továbbra is a legnépszerűbb.
Ugyanakkor Európa északi részén, Németországban Albrecht Durer ugyanezen a problémákon dolgozott. Felvázolja az arányokról szóló értekezés első tervezetének bevezetését. Durer írja. „Szükséges, hogy valaki, aki tudja, hogyan tanítsa meg másoknak, akiknek szükségük van rá. Ezt tűztem ki magam elé."
Dürer egyik leveléből ítélve olaszországi tartózkodása alatt találkozott Luca Paciolival. Albrecht Durer részletesen kidolgozza az emberi test arányainak elméletét. Dürer az arányrendszerében fontos helyet tulajdonított az aranymetszésnek. Az ember magasságát arany arányban osztja fel az övvonal, valamint a leengedett kezek középső ujjainak hegyén, az arc alsó részén a szájnál húzott vonal stb. A Dürer-féle arányos iránytű ismert.
A XVI. század nagy csillagásza. Johannes Kepler az aranymetszetet a geometria egyik kincsének nevezte. Elsőként hívta fel a figyelmet az aranymetszés botanika (növénynövekedés és szerkezet) jelentőségére.
Kepler az önmaga folytatásának aranyarányát úgy nevezte, hogy „így van elrendezve” – írta –, hogy ennek a végtelen aránynak a két legalacsonyabb tagja összeadja a harmadik tagot, és bármely két utolsó tag, ha hozzáadjuk, a következőt adja. időtartamra, és ugyanaz az arány marad a végtelenségig."
Az aranymetszés számos szegmensének felépítése történhet felfelé (növekvő sor) és lefelé (csökkenő sor).
Ha tetszőleges hosszúságú egyenesen halad, halassza el a szakaszt m, a szegmens elhalasztása mellett M... E két szegmens alapján felállítjuk a növekvő és csökkenő sorozatok aranymetszésének szegmenseinek skáláját.
Rizs. kilenc. Az aranymetszés szegmenseinek skálájának felépítése
A következő évszázadokban az aranymetszés szabálya akadémiai kánonná alakult, és amikor idővel a művészetben elkezdődött a küzdelem az akadémiai rutinnal, a küzdelem hevében „a gyermeket is kidobták a vízzel együtt” . Az aranymetszet a 19. század közepén került újra „felfedezésre”. Az aranymetszés német kutatója, Zeising professzor 1855-ben adta ki Esztétikai kutatás című munkáját. Zeisingnél pontosan az történt, aminek elkerülhetetlenül meg kell történnie egy olyan kutatóval, aki egy jelenséget olyannak tekint, anélkül, hogy bármiféle kapcsolata lenne más jelenségekkel. Abszolutizálta az aranymetszés arányát, egyetemesnek nyilvánítva a természet és a művészet minden jelenségére. Zeisingnek számos követője volt, de voltak olyan ellenzők is, akik az arányok tanát "matematikai esztétikának" nyilvánították.
Rizs. tíz. Arany arányok az emberi test egyes részein
Zeising óriási munkát végzett. Körülbelül kétezer emberi testet mért meg, és arra a következtetésre jutott, hogy az aranymetszés az átlagos statisztikai törvényt fejezi ki. A test köldökpont szerinti felosztása az aranymetszés legfontosabb mutatója. A férfi test arányai a 13:8 = 1,625 átlagos arányon belül ingadoznak, és valamivel közelebb állnak az aranymetszethez, mint a női test arányai, amelyekhez viszonyítva az arány átlagos értéke 8-as arányban fejeződik ki. : 5 = 1,6. Újszülöttnél ez az arány 1:1, 13 évesen 1,6, 21 évesen pedig a férfié. Az aranymetszés arányai a test más részeihez képest is megnyilvánulnak - a váll, az alkar és a kéz, a kéz és az ujjak hosszában stb.
Rizs. tizenegy. Arany arányok az emberi alakban
Zeising a görög szobrokon tesztelte elméletének érvényességét. A legrészletesebben Apollo Belvedere arányait dolgozta ki. Görög vázák, különböző korok építészeti struktúrái, növények, állatok, madártojások, zenei hangok és költői méretek kerültek kutatásra. Zeising megadta az aranymetszés definícióját, megmutatta, hogyan fejeződik ki vonalszakaszokban és számokban. Amikor megkapták a szakaszok hosszát kifejező számokat, Zeising látta, hogy ezek egy Fibonacci-sorozatot alkotnak, amelyet a végtelenségig lehet folytatni egyik vagy másik irányba. Következő könyve a következő címet viselte: "Az aranyfelosztás, mint a természet és a művészet alapvető morfológiai törvénye". 1876-ban Oroszországban egy kis könyv, szinte brosúra jelent meg, amely Zeising e munkáját mutatja be. A szerző a Yu.F.V. kezdőbetűk alá menekült. Ebben a kiadásban nem szerepel festmény.
A XIX. század végén - XX. század elején. rengeteg tisztán formalista elmélet jelent meg az aranymetszés művészeti és építészeti alkotásokban való alkalmazásáról. A formatervezés és a műszaki esztétika fejlődésével az aranymetszés törvénye kiterjedt az autók, bútorok stb.
Fibonacci sorozat
A pisai Leonardo olasz matematikus szerzetes, ismertebb nevén Fibonacci (Bonacci fia) neve közvetve összefügg az aranymetszés történetével. Sokat utazott keleten, megismertette Európát az indiai (arab) számokkal. 1202-ben jelent meg "Az abakusz könyve" (számlálótábla) című matematikai munkája, melyben az összes akkor ismert feladatot összegyűjtötték. Az egyik feladat a „Hány pár nyúl születik egy párból egy év alatt”. Erre a témára reflektálva Fibonacci a következő számsorokat építette fel:A 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. számok sora. Fibonacci sorozatként ismert. A számsor sajátossága, hogy minden tagja, a harmadiktól kezdve, egyenlő az összeggel az előző kettő 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 stb., és a sorozat szomszédos számainak aránya megközelíti az aranyosztás arányát. Tehát 21:34 = 0,617 és 34: 55 = 0,618. Ezt a kapcsolatot a szimbólum jelöli F... Csak ez az arány - 0,618: 0,382 - ad egy egyenes szakasz folyamatos aranyarányú osztását, növelését vagy csökkentését a végtelenségig, amikor a kisebbik szakasz a nagyobbhoz, mint a nagyobb mindenhez viszonyul.
Fibonacci a kereskedés gyakorlati szükségleteivel is foglalkozott: mekkora a legkisebb súly egy áru súlyához? Fibonacci bizonyítja, hogy a következő súlyrendszer az optimális: 1, 2, 4, 8, 16 ...
Általánosított aranymetszés
A Fibonacci-sorozat csak matematikai esemény maradhatott volna, ha nem az a tény, hogy a növény- és állatvilág aranyfelosztásának minden kutatója, a művészetről nem is beszélve, változatlanul ehhez a sorozathoz érkezett, mint az aranyosztás törvényének számtani kifejezésére. .A tudósok folytatták a Fibonacci-számok és az aranymetszés elméletének aktív fejlesztését. Yu. Matiyasevics Fibonacci számok segítségével oldja meg Hilbert 10. feladatát. Számos kibernetikai probléma (kereséselmélet, játékok, programozás) megoldására léteznek kifinomult módszerek a Fibonacci-számok és az aranymetszés segítségével. Az Egyesült Államokban még a Mathematical Fibonacci Egyesület is létrejön, amely 1963 óta ad ki külön folyóiratot.
Az egyik előrelépés ezen a területen az általánosított Fibonacci-számok és az általánosított aranymetszés felfedezése.
Az általa felfedezett Fibonacci sorozat (1, 1, 2, 3, 5, 8) és az általa felfedezett "bináris" súlysorok 1, 2, 4, 8, 16 ... első pillantásra teljesen más. De a felépítésük algoritmusai nagyon hasonlóak egymáshoz: az első esetben minden szám az előző szám összege önmagával 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., a másodikban az előző két szám összege 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Található-e általános matematikai képlet, amelyből és " bináris "sorozatból, és Fibonacci sorozatból? Vagy talán ez a képlet új numerikus halmazokat ad majd néhány új egyedi tulajdonsággal?
Valóban, állítsuk be a numerikus paramétert S, amely bármilyen értéket felvehet: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Tekintsük számsorozat, S melynek első tagjai közül + 1 egység, a továbbiak mindegyike egyenlő az előző két tagjának összegével, és az előzőtől távolságra van S lépések. Ha n A sorozat -adik tagját φ S-vel jelöljük ( n), akkor megkapjuk általános képletφ S ( n) = φ S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).
Nyilván azért S= 0 ebből a képletből egy "bináris" sorozatot kapunk, for S= 1 - Fibonacci sorozat, for S= 2, 3, 4. új számsorok, amelyeket elneveztek S-Fibonacci számok.
V Általános nézet Arany S-az arány az aranyegyenlet pozitív gyöke S-szakaszok x S + 1 - x S - 1 = 0.
Ezt könnyű megmutatni S= 0, a szakaszt fel kell osztani, és mikor S= 1 - az ismerős klasszikus aranymetszés.
A szomszédok kapcsolatai S- Az abszolút matematikai pontosságú Fibonacci-számok határértéken esnek egybe az arannyal S- arányok! A matematikusok ilyenkor azt mondják, hogy arany S-a szakaszok numerikus invariánsok S-Fibonacci számok.
Az arany létezését alátámasztó tények S-szakaszok a természetben, idézi a fehérorosz tudós, E.M. Negyven a „Rendszerek strukturális harmóniája” című könyvben (Minszk, „Tudomány és technológia”, 1984). Kiderült például, hogy a jól tanulmányozott bináris ötvözetek csak akkor rendelkeznek speciális, kifejezett funkcionális tulajdonságokkal (hőstabil, kemény, kopásálló, oxidációálló stb.) fajsúlyok az eredeti alkatrészeket az egyik arany köti össze S-arányok. Ez lehetővé tette a szerző számára, hogy felállítsa azt a hipotézist, hogy az arany S-a szakaszok az önszervező rendszerek numerikus invariánsai. Kísérletileg alátámasztva ez a hipotézis alapvető jelentőségű lehet a szinergetika, az önszerveződő rendszerekben zajló folyamatokat vizsgáló új tudományterület fejlesztése szempontjából.
Arany kódokkal S-arányok, bármilyen valós számot kifejezhet az aranyfok összegeként S-arányok egész együtthatókkal.
Az alapvető különbség a számok kódolásának ezen módszere között az, hogy az új kódok alapjai aranyszínűek S- arányok, at S A > 0 irracionális számoknak bizonyul. Így az új, irracionális bázisú számrendszerek a racionális és irracionális számok közötti kapcsolatok történelmileg kialakult hierarchiáját „fejjel lefelé” tették. A helyzet az, hogy először a természetes számokat "fedezték fel"; akkor kapcsolataik racionális számok. És csak később - miután a pitagoreusok összemérhetetlen szegmenseket fedeztek fel - jelentek meg az irracionális számok. Például a decimális, pentáris, bináris és más klasszikus helyzeti számrendszerekben a természetes számokat - 10, 5, 2 - választották egyfajta alapelvként, amelyből az összes többi természetes számot, valamint a racionális és irracionális számokat megszerkesztették. bizonyos szabályok szerint.
Egyfajta alternatíva meglévő módokon a számvetés egy új, irracionális rendszer, mint alapelv, melynek kezdete egy irracionális szám (amely, emlékezzünk vissza, az aranymetszet egyenletének gyökere); más valós számok már kifejeződnek rajta keresztül.
Ilyen számrendszerben bármely természetes szám mindig véges alakban ábrázolható - és nem végtelen, ahogy korábban gondoltuk! - bármely arany fokozatának összege S-arányok. Ez az egyik oka annak, hogy az "irracionális" aritmetika, amely elképesztő matematikai egyszerűséggel és kecsességgel rendelkezik, úgy tűnik, felszívódik. legjobb tulajdonságait klasszikus bináris és "Fibonacci" aritmetika.
Az alakítás elvei a természetben
Minden, ami valamilyen formát öltött, kialakult, növekedett, helyet akart foglalni a térben és megőrizni önmagát. Ez a törekvés elsősorban két változatban valósul meg - felfelé növő vagy a föld felszínén terjedő és spirálisan csavarodó változatban.A héj spirálban van csavarva. Ha kihajtja, a kígyó hosszánál valamivel alacsonyabb hosszt kap. Egy kicsi, tíz centiméteres kagylón 35 cm hosszú spirál van.A spirálok nagyon gyakoriak a természetben. Az aranymetszés hiányos lenne, ha nem a spirál.
Rizs. 12. Archimedes spirál
A spirálisan felgöndörödött kagyló alakja felkeltette Arkhimédész figyelmét. Tanulmányozta, és levezette a spirálegyenletet. Az ebből az egyenletből kirajzolt spirált róla nevezték el. Lépésének növekedése mindig egyenletes. Jelenleg az Archimedes-spirált széles körben használják a technológiában.
Már Goethe is hangsúlyozta a természet spirális hajlamát. A levelek spirális és spirális elrendeződését a faágakon már régen észrevették. A spirál a napraforgómagok elrendezésében, fenyőtobozokban, ananászokban, kaktuszokban stb. Botanikusok és matematikusok közös munkája rávilágított ezekre a csodálatos természeti jelenségekre. Kiderült, hogy a levelek elrendezésében egy ágon (filotaxis), napraforgómagban, fenyőtobozban megnyilvánul a Fibonacci sorozat, és ezért az aranymetszet törvénye nyilvánul meg. A pók spirálisan szövi a hálót. Egy hurrikán spirálban forog. Egy ijedt rénszarvascsorda spirálszerűen szétszóródik. A DNS-molekula kettős hélixben van csavarva. Goethe a spirált "az élet görbéjének" nevezte.
Az út menti füvek között egy figyelemre méltó növény nő - a cikória. Nézzük meg őt közelebbről. A fő szárból folyamat alakult ki. Az első lap ott van.
Rizs. 13. Cikória
A hajtás erős kilökődést hajt végre a térbe, megáll, kienged egy levelet, de rövidebb, mint az első, ismét kilökődik a térbe, de kisebb erővel, kienged egy még kisebb méretű levelet és újra kilökődik. Ha az első kibocsátást 100 egységnek vesszük, akkor a második 62 egység, a harmadik 38, a negyedik 24 stb. A szirmok hossza is az aranymetszés függvénye. A növekedésben, a tér meghódításában a növény megtartott bizonyos arányokat. Növekedésének impulzusai az aranymetszet arányában fokozatosan csökkentek.
Rizs. tizennégy.Élénk gyík
Egy gyíknál első pillantásra a szemünknek tetsző arányok rögzülnek - a farka hossza éppúgy összefügg a test többi részének hosszával, mint 62-38.
Mind a növény-, mind az állatvilágban kitartóan áttör a természet alakuló tendenciája - a növekedési és mozgási irány szimmetriája. Itt az aranymetszés a növekedési irányra merőleges részek arányában jelenik meg.
A természet elvégezte a szimmetrikus részekre és arany arányokra való felosztást. A részekben az egész szerkezetének ismétlődése nyilvánul meg.
Rizs. 15. Madártojás
A nagy Goethe költő, természettudós és művész (akvarellel festett és festett) egy egységes tanítás megalkotásáról álmodott az organikus testek formájáról, kialakulásáról és átalakulásáról. Ő vezette be a morfológia kifejezést a tudományos használatba.
Pierre Curie a század elején számos mélyreható szimmetriagondolatot fogalmazott meg. Azzal érvelt, hogy egyetlen test szimmetriáját sem lehet figyelembe venni a környezet szimmetriájának figyelembe vétele nélkül.
Az "arany" szimmetria mintái energiaátmenetekben nyilvánulnak meg elemi részecskék, egyes kémiai vegyületek felépítésében, bolygó- és űrrendszerekben, élő szervezetek genetikai szerkezetében. Ezek a minták, amint azt fentebb jeleztük, egy személy egyes szerveinek és a test egészének szerkezetében vannak, és a bioritmusokban, valamint az agy működésében és a vizuális észlelésben is megnyilvánulnak.
Aranymetszés és szimmetria
Az aranymetszés önmagában, külön-külön, a szimmetriával való kapcsolat nélkül nem tekinthető. A nagy orosz krisztallográfus G.V. Wolfe (1863 ... 1925) az aranymetszetet a szimmetria egyik megnyilvánulásának tartotta.Az aranyfelosztás nem az aszimmetria megnyilvánulása, valami ellentéte a szimmetriával Szerint modern ötletek az arany hadosztály az aszimmetrikus szimmetria... A szimmetria tudománya olyan fogalmakat foglal magában, mint pl statikusés dinamikus szimmetria... A statikus szimmetria a pihenést, az egyensúlyt és a dinamikus - mozgást, növekedést - jellemzi. Tehát a természetben a statikus szimmetriát a kristályok szerkezete képviseli, a művészetben pedig a békét, az egyensúlyt és a mozdulatlanságot. A dinamikus szimmetria aktivitást fejez ki, mozgást, fejlődést, ritmust jellemez, az élet bizonyítéka. A statikus szimmetriát egyenlő szegmensek, egyenlő értékek jellemzik. A dinamikus szimmetriát a szegmensek növekedése vagy csökkenése jellemzi, és egy növekvő vagy csökkenő sorozat aranymetszetének értékeiben fejeződik ki.
A gyakorlatban a lap (kép) formátum kiválasztásakor gyakran használják a téglalap oldalainak "klasszikus" arányait, amelyekben a kisebb oldal és a nagyobb aránya 0,6180339, a nagyobb és a kisebb aránya pedig 1,6180339. Ősidők óta ezeket a számokat aranymetszésnek nevezik, és a megszerzésükhöz szükséges mennyiségek arányát aranymetszésnek vagy aranymetszésnek nevezik.
A világ harmóniájáról szóló, numerikus összefüggésekben kifejezett tan alapját az ókori görög matematikus, Pythagoras (Kr. e. VI. század) fektette le. Az aranymetszést az egyik olyan törvényszerűségként mutatta be, amely matematikailag pontosan meghatározza a két egyenlőtlen félre osztott egész részeinek legszebb és legharmonikusabb arányát.
A téglalap felépítése a szegmens részeinek arányán alapul az aranymetszet arányaiban. Átlók segítségével részekre osztják, amelyekben az arányos alakzatok dinamikája alakul ki - négyzet, téglalap, valamint derékszögű és egyenlő szárú háromszögek.
Így az átlók segítségével növekvő téglalapok egymás utáni sorát kaphatja, a képarány - 1: √ 2, 1: √3, 1: √4, 1: √5, a négyzet származékai.
Ha az oldal √4, akkor egy téglalap jön létre kétszeres négyzettel. Ha az oldal √3, akkor két derékszögű háromszög alakul ki, amelyekben a közös befogó a téglalap átlója, amely akkora, mint a kisebbik láb (azaz a négyzet oldalának) kétszerese, és ezeknek van éles sarkok 30 és 60 fok.
Az átlót az egymás után növekvő négyzetek felépítésénél is használják, amelyek méretük "dinamikus" fejlődését hozzák létre.
Ebben a konstrukcióban minden következő négyzet oldala az előző oldalához tartozik, mint egy négyzet átlója a saját oldalához. Ezeket a transzformációkat néha „aktív négyzetnek” is nevezik.
Az alkotás alapja a négyzet, téglalap és háromszög dinamikus arányainak geometriai rendszere volt építészeti szerkezetek a korai időszakban Az ókori Egyiptom... Ezenkívül az építészeti építkezés kezdetleges technikájának körülményei között a távoli időkben folyamatosan szükség volt az egyenesre merőleges helyreállítására, amelyet ezután 12 csomós kötél segítségével hajtottak végre. Egy ilyen eszköz használatával kiderült derékszögű háromszög a strono aránnyal - 3: 4: 5, amelyet később egyiptominak neveztek. Jelenleg ennek alapján derékszögeket építenek, és a szakasz végére merőlegeseket húznak.
Ősidők óta az aranymetszetet a különféle képek készítésének gyakorlatában használták. Ez hozzájárul a harmonikus képek megteremtéséhez és az arányok egyensúlyához mindenben, ami körülvesz. Az aranymetszés arányai jelen vannak az emlősökben, és különösen a geometriában, a képzőművészetben, a mindennapi életben és a természetben, a növény- és állatvilágban.
Az aranymetszés széles körben kialakult a matematikában. Tehát a 16. században az olasz tudós, Fibonacci egy matematikai számsort épített fel, amelyben a következő szám határozza meg a két előző szám összegét - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 stb. Ezenkívül megállapítják ezeknek a számoknak egy másik függőségét, amelyben az egyes következő és az előző arányát az 1,618 ... számmal fejezzük ki, az előzőt pedig a következővel - 0,618. Így ebben a matematikai sorozatban számok kapcsolata jön létre, amely tartalmazza az aranymetszés arányait.
Különösen gyakran használják az aranymetszetet a geometriában, amikor egy kört egyenlő részekre osztanak és szabályos sokszögeket készítenek.
Egy csillag sokszögben - ötágú csillag, oldalainak minden metszéspontja két egyenlőtlen részre osztja őket az aranymetszés arányában.
Az ősidők óta az aranymetszetet a vizuális művészetek különféle típusaiban használták - építészetben, szobrászatban, festészetben. A Parthenon az Aranymetszet építészeti felhasználásának klasszikus példája.
Munkájában különösen széles körben használta Leonardo da Vinci aranymetszetének arányát, amelyet "isteni aránynak" nevezett.
Az aranymetszés számszerű harmóniájának engedelmeskednek a görög művészet ókori szobrai is, amelyek a tökéletesen összehajtott emberi test arányait tükrözik.
Az aranymetszés a betűk és számok tervezésénél használatos különféle betűtípusokkal.
Az aranymetszés gyakran használatos egy adott nagyobb vagy kisebb oldalon lévő téglalap méretének meghatározására. Ha egy téglalap alakú képnek van hossza (AB), akkor a magasságát (AU) a következő konstrukció határozza meg:
Először a (B) szakasz végétől egy ívet húzunk a felével a merőleges metszéspontjáig (AO = ОВ = ВД). A kapott D pontot egy egyenes köti össze az (A) szakasz másik végével. Ezután a D pontból egy VD sugarú ívet rajzolunk, amíg az ezzel az egyenessel és az E ponttal metszi. Az A szegmens végéből AE sugarú ív határozza meg a C pontot és az AC kép kívánt magasságát. a függőleges egyenes.
Ha a kép magassága (АС) meg van adva, akkor a hosszát (AB) egy másik konstrukció határozza meg. Először készítsünk egy négyzet alakú ASDE-t, amelynek oldala egyenlő AC-vel. Ezután a négyzet (O) oldalának közepétől OD sugarú ívet húzunk, és a vízszintes egyenesen egy B pontot kapunk, amely meghatározza az AB téglalap minta oldalának kívánt hosszát. .
Arany arányú téglalap mentén bármilyen méretű hasonló lapformátum építhető.
Ehhez egy papírlapra helyezzük az egyik sarkába (A), és egy átlót rajzolunk bele. Ezután az A pontból lefektetjük a lapformátum vízszintes vagy függőleges oldalát egy adott méretben, és a végére merőlegest húzunk, amíg az átlóval nem metszi, ami meghatározza a téglalap második oldalát.
