Extrém, a függvények legnagyobb és legkisebb értéke. Extrém funkció

A függvény nullára hajlamos argumentumnövekményre növekszik. Ennek megtalálásához használja a derivált táblázatot. Például az y = x3 függvény deriváltja egyenlő lesz y ’= x2-vel.

Állítsa ezt a deriváltot nullára (ebben az esetben x2 = 0).

Keresse meg az adott változó értékét! Ezek azok az értékek, amikor az adott derivált 0. Ehhez helyettesítsen tetszőleges számjegyeket a kifejezésben x helyett, amelynél a teljes kifejezés nullává válik. Például:

2-2x2 = 0
(1-x) (1 + x) = 0
x1 = 1, x2 = -1

Ábrázoljuk a kapott értékeket a koordináta egyenesen, és számítsuk ki a derivált előjelét mindegyik kapott értékre. A koordinátavonalon pontok vannak jelölve, amelyeket origónak veszünk. Az intervallumok értékének kiszámításához helyettesítsen tetszőleges értékeket, amelyek megfelelnek a kritériumoknak. Például az előző függvénynél -1-ig -2 értéket választhat. -1 és 1 között választhat 0-t, 1-nél nagyobb értékek esetén pedig 2-t. Dugja be ezeket a számokat a deriváltba, és találja meg a derivált előjelét. Ebben az esetben az x = -2 derivált -0,24 lesz, azaz. negatív, és ezen az intervallumon mínusz jel lesz. Ha x = 0, akkor az érték 2 lesz, és egy jelet kell elhelyezni ezen az intervallumon. Ha x = 1, akkor a derivált is egyenlő lesz -0,24-gyel, és mínusz kerül.

Ha a koordinátavonal egy pontján áthaladva a derivált az előjelét mínuszról pluszra változtatja, akkor ez egy minimumpont, ha pedig pluszból mínuszba, akkor ez a maximumpont.

Kapcsolódó videók

Hasznos tanács

A származék megtalálásához olyan online szolgáltatások állnak rendelkezésre, amelyek kiszámítják a szükséges értékeket, és megjelenítik az eredményt. Az ilyen oldalakon egészen 5. rendű származékot találhat.

Források:

• A származtatott ügyletek kiszámításának egyik szolgáltatása
• funkció maximális pontja

A függvény maximális pontjait a minimális pontokkal együtt extremum pontoknak nevezzük. Ezeken a pontokon a függvény megváltoztatja viselkedését. Az extrém értékeket korlátozott numerikus időközönként határozzák meg, és mindig lokálisak.

Utasítás

Megtalálási folyamat helyi szélsőségek függvénynek nevezzük, és a függvény első és második deriváltjának elemzésével hajtjuk végre. A vizsgálat előtt győződjön meg arról, hogy az argumentumértékek megadott tartománya érvényes érték. Például az F = 1 / x függvénynél az x = 0 argumentum értéke érvénytelen. Vagy az Y = tg (x) függvénynél az argumentum értéke nem lehet x = 90 °.

Győződjön meg arról, hogy az Y függvény differenciálható a teljes adott szegmensben. Keresse meg az első Y" deriváltot. Nyilvánvalóan a lokális maximum pont elérése előtt a függvény növekszik, a maximumon áthaladva pedig csökkenővé válik. Az első derivált fizikai jelentésében a függvény változási sebességét jellemzi Miközben a függvény növekszik, ennek a folyamatnak a sebessége pozitív, a függvény egy lokális maximumon keresztül csökkenni kezd, és a függvény változási sebessége negatív lesz. a lokális maximum pontján.

Például az Y = -x² + x + 1 függvénynek a -1 és 1 közötti intervallumban Y "= - 2x + 1 folytonos deriváltja van. Az x = 1/2 esetén a derivált egyenlő nullával, és átadáskor ezen a ponton keresztül a derivált előjelet vált a következőről:" + "To" - ". Az Y" = - 2 függvény második deriváltja. Ábrázolja az Y = -x² + x + 1 függvényt pontok szerint, és ellenőrizze, hogy az x = 1/2 abszcisszával rendelkező pont lokális maximum-e a numerikus tengely adott szakaszán.

Azt mondják, hogy a függvénynek van egy belső pontja
területeken D helyi maximum(minimális) ha van a pontnak ilyen környéke
, minden pontra
amelyet az egyenlőtlenség tart

Ha a függvénynek a pontban van
helyi maximum vagy helyi minimum, akkor azt mondják, hogy ezen a ponton van helyi extrémum(vagy csak egy véglet).

Tétel (az extrémum létezésének szükséges feltétele). Ha a differenciálható függvény végpontot ér el a pontban
, akkor a függvény első rendjének minden parciális deriváltja ezen a ponton eltűnik.

Meghívjuk azokat a pontokat, ahol az összes elsőrendű parciális derivált eltűnik a függvény stacionárius pontjai
... Ezeknek a pontoknak a koordinátáit a rendszer megoldásával találhatjuk meg egyenletek

.

Az extrémum létezésének szükséges feltétele differenciálható függvény esetén a következőképpen fogalmazható meg röviden:

Vannak esetek, amikor bizonyos részeken néhány részderivatívának végtelen értékei vannak, vagy nem is léteznek (míg a többi nulla). Az ilyen pontokat ún a funkció kritikus pontjai. Ezeket a pontokat is "gyanúsnak" kell tekinteni egy szélsőség esetében, csakúgy, mint az állókat.

Két változó függvénye esetén a szükséges extremum feltételnek, nevezetesen a részderivatívák nullával való egyenlőségének (differenciál) az extremum pontban geometriai értelmezése van: felület érintő síkja
a szélső ponton párhuzamosnak kell lennie a síkkal
.

20. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez

Az extremum létezéséhez szükséges feltétel teljesülése valamikor egyáltalán nem garantálja az extremum jelenlétét. Példaként vehetünk egy mindenhol differenciálható függvényt
... Mind a parciális deriváltjai, mind maga a funkció eltűnik
... Ennek a pontnak a szomszédságában azonban mindkettő pozitív (nagy
) és negatív (kisebb
) ennek a függvénynek az értékeit. Következésképpen ezen a ponton definíció szerint nem figyelhető meg szélsőség. Ezért elegendő feltételt kell ismernünk ahhoz, hogy egy szélsőségre gyanús pont a vizsgált függvény szélsőpontja legyen.

Tekintsük két változó függvényének esetét. Tegyük fel, hogy a függvény
definiált, folytonos és folytonos parciális deriváltjai vannak egészen a másodrendig, beleértve egy bizonyos pont szomszédságát
, amely a függvény stacionárius pontja
, azaz megfelel a feltételeknek

,
.

Bemutatjuk a jelölést:

Tétel (elegendő feltétel a szélsőség létezéséhez). Hagyja a függvényt
kielégíti a fenti feltételeket, nevezetesen: a stacionárius pont valamely szomszédságában differenciálható
és magán a ponton kétszer differenciálható
... Aztán ha

Ha
akkor a függvény
azon a ponton
elér

helyi maximum nál nél
és

helyi minimum nál nél
.

Általában a funkcióhoz
pontban való létezéshez elegendő feltétel
helyiminimális(maximális) egy pozitív(negatív) a második differenciál határozottsága.

Más szóval, az alábbi állítás igaz.

Tétel . Ha a ponton
funkcióhoz

minden olyanra, amely nem egyenlő nullával egyidejűleg
, akkor ezen a ponton a funkció rendelkezik minimális(hasonlóképpen maximális, ha
).

18. példa.Keresse meg a függvény lokális szélsőpontjait

Megoldás... Keresse meg a függvény parciális deriváltjait, és egyenlítse ki őket nullával:

Ezt a rendszert megoldva két lehetséges szélsőpontot találunk:

Keressük meg ennek a függvénynek a másodrendű parciális deriváltjait:

Az első állóponton tehát
Ezért ehhez a ponthoz további kutatásra van szükség. Funkció értéke
ezen a ponton nulla:
További,

nál nél

a

nál nél

Ezért a pont bármely szomszédságában
funkció
nagynak veszi az értékeket
és kisebb
, és ezért azon a ponton
funkció
definíció szerint nincs lokális szélsőértéke.

A második állóponton



ezért, ezért, mivel
majd a ponton
a függvénynek van lokális maximuma.

HELYI MAXIMUM

HELYI MAXIMUM

(helyi maximum) Egy függvény értéke, amely nagyobb, mint argumentumának vagy argumentumkészletének bármely szomszédos értéke, dy / dx = 0 az szükséges feltétel hogy elérjük a helyi maximumot y = f(x); ha ez a feltétel teljesül, akkor elégséges feltétele a lokális maximum elérésének d2y / dx2 0. A helyi maximum az abszolút maximum is lehet, ha nincs érték NS, ahol nál nél több. Ez azonban nem mindig igaz. Vegye figyelembe a funkciót y = x3–3x.dy / dx = 0 mikor x2 = 1; és d2y / dx2 = 6x. nál nél maximuma van x = - 1, de ez csak lokális, nem abszolút maximum, hiszen nál nél kellően nagy pozitív érték esetén végtelenül nagy lehet NS... Lásd még: rajz a cikk maximumára (maximum).

Gazdaság. Magyarázó szótár... - M .: "INFRA-M", "Ves Mir" kiadó. J. Black. Általános kiadás: Közgazdaságtudományi doktor Osadchaya I.M.. 2000 .

Közgazdasági szótár. 2000 .

Nézze meg, mi az a "LOCAL MAXIMUM" más szótárakban:

helyi maximum- - [A.S. Goldberg. Az angol orosz energiaszótár. 2006] Témák energia általában HU helyi maximum ... Műszaki fordítói útmutató

helyi maximum- lokalusis maksimumas statusas T terület automatika atitikmenys: angl. helyi maximum vok. Lokalmaximum, n rus. helyi maximum, m pranc. maximum local, m… Automatikos terminų žodynas

helyi maximum- vietinė smailė statusas T sritis fizika megfelelmenys: angl. helyi maximum; helyi csúcs vok. lokales Maximum, n rus. helyi maximum, m pranc. maximum helyi, m; pic local, m ... Fizikos terminų žodynas

Lokális maximum, helyi minimum- (helyi maximum, lokális minimum) lásd a Függvény szélsőséges ... Közgazdasági és matematikai szótár

- (maximum) A függvény legmagasabb értéke, amelyet az argumentumai bármely értékére felvesz. A maximum lehet helyi vagy abszolút. Például az y = 1 – x2 függvénynek abszolút maximuma van y = 1-nél x = 0-nál; nincs más értéke x-nek, ami ...... Közgazdasági szótár

- (lokális minimum) A függvény értéke, amely kisebb, mint argumentumának vagy argumentumkészletének bármely szomszédos értéke, dy / dx = 0, szükséges feltétele a lokális minimum y = f (x) elérésének; ha ez a feltétel teljesül, elegendő ...... Közgazdasági szótár

Az extrémum (lat. Extremum extreme) a matematikában egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. Azt a pontot, ahol a szélsőértéket elérjük, szélsőpontnak nevezzük. Ennek megfelelően a minimum elérése esetén a szélső pont ... ... Wikipédia

A helyi keresési algoritmusok olyan algoritmusok csoportja, amelyekben a keresés csak az aktuális állapot alapján történik, és a korábban átadott állapotokat nem veszi figyelembe, és nem emlékezik meg. A keresés fő célja nem az, hogy megtalálja az optimális utat a ... ... Wikipédiához

- (globális maximum) A függvény értéke egyenlő vagy nagyobb, mint bármely más argumentumérték esetén. Elégséges feltétele egy argumentum függvényének maximumának, ami az, hogy az első deriváltja a ... ... Közgazdasági szótár

- (eng. trend irány, tendencia) iránya, a politikai folyamat, jelenség fejlődési tendenciája. Matematikai kifejezése van. A trendek legnépszerűbb meghatározása a Dow-elméletből származik. Emelkedő tendencia...... Politológia. Szótár.

A függvény szélsőpontja egy olyan pont a függvény tartományában, ahol egy függvény értéke minimum vagy maximum értéket vesz fel. A függvény értékeit ezeken a pontokon a függvény szélsőértékének (minimum és maximum) nevezzük.

Meghatározás... Pont x1 függvény tartomány f(x) nak, nek hívják a függvény maximális pontja ha a függvény értéke ezen a ponton több értéket függvény a hozzá kellően közeli pontokban, amelyek tőle jobbra és balra helyezkednek el (azaz az egyenlőtlenség f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximális.

Meghatározás... Pont x2 függvény tartomány f(x) nak, nek hívják a függvény minimális pontja, ha a függvény értéke ezen a ponton kisebb, mint a függvény értékei a hozzá kellően közeli pontokban, amelyek tőle jobbra és balra helyezkednek el (azaz az egyenlőtlenség f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvény a pontban van x2 minimális.

Mondjuk pont x1 a függvény maximális pontja f(x). Majd az intervallumban ig x1 funkció növekszik, tehát a függvény deriváltja nagyobb nullánál ( f "(x)> 0), és az azt követő intervallumban x1 a függvény csökken, ezért és függvény deriváltja nullánál kisebb (f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Tegyük fel azt is, hogy a lényeg x2 a függvény minimumpontja f(x). Majd az intervallumban ig x2 a függvény csökken, és a függvény deriváltja kisebb nullánál ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 a függvény növekszik, és a függvény deriváltja nagyobb nullánál ( f "(x)> 0). Ebben az esetben is a ponton x2 a függvény deriváltja nulla vagy nem létezik.

Fermat-tétel (egy függvény szélsőértékének létezésének szükséges kritériuma)... Ha pont x0 a függvény szélsőpontja f(x), akkor ezen a ponton a függvény deriváltja egyenlő nullával ( f "(x) = 0), vagy nem létezik.

Meghatározás... Meghívjuk azokat a pontokat, ahol egy függvény deriváltja nulla vagy nem létezik kritikus pontok .

1. példa. Tekintsünk egy függvényt.

Azon a ponton x= 0, a függvény deriváltja nulla, tehát a pont x= 0 a kritikus pont. A függvény grafikonján azonban látható, hogy a teljes definíciós tartományban növekszik, ezért a pont x A = 0 nem ennek a függvénynek a szélsőpontja.

Így azok a feltételek, hogy egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő nullával, vagy nem létezik, szükséges feltételek egy szélsőséghez, de nem elégségesek, mivel más példák olyan függvényekre, amelyekre ezek a feltételek teljesülnek, de a függvény nem rendelkezik extrémum adható a megfelelő ponton. Ezért elegendő jellel kell rendelkeznie, amely lehetővé teszi annak megítélését, hogy egy adott kritikus ponton van-e szélsőség, és melyik a maximum vagy a minimum.

Tétel (az első elégséges kritérium egy függvény extremumának létezésére). Kritikus pont x0 f(x), ha a függvény deriváltja ezen a ponton áthaladva előjelet vált, és ha az előjel "plusz"-ról "mínuszra" változik, akkor a maximális pont, ha pedig "mínusz"-ról "plusz", akkor a minimum pont .

Ha a pont közelében x0 , tőle balra és jobbra a derivált megőrzi az előjelet, ez azt jelenti, hogy a függvény vagy csak csökken, vagy csak a pont valamely környezetében nő x0 ... Ebben az esetben a ponton x0 nincs szélsőség.

Így, a függvény szélsőpontjainak meghatározásához a következőket kell tennie :

1. Keresse meg a függvény deriváltját.
2. Egyenlítse a deriváltot nullával, és határozza meg kritikus pontok.
3. Gondolatban vagy papíron jelölje be a kritikus pontokat a numerikus tengelyen, és határozza meg a kapott intervallumokban a függvény deriváltjának előjeleit. Ha a derivált előjele "pluszról" mínuszra változik, akkor a kritikus pont a maximum pont, ha pedig "mínuszról" pluszra, akkor a minimum pont.
4. Számítsa ki a függvény értékét a szélsőpontokban!

2. példa Keresse meg egy függvény szélsőértékét .

Megoldás. Keressük meg a függvény deriváltját:

Állítsuk nullára a deriváltot, hogy megtaláljuk a kritikus pontokat:

.

Mivel az "x" bármely értéke esetén a nevező nem egyenlő nullával, akkor a számlálót nullával egyenlővé tesszük:

Van egy fordulópont x= 3. Határozzuk meg a derivált előjelét az e pont által határolt intervallumokban:

a mínusz végtelentől 3-ig terjedő tartományban - a mínusz jel, vagyis a függvény csökken,

a 3 -tól a plusz végtelenig terjedő tartományban - a pluszjel, vagyis a funkció növekszik.

Ez a lényeg x= 3 a minimumpont.

Keressük meg a függvény értékét a minimum pontban:

Így a függvény szélsőpontja: (3; 0), és ez a minimumpont.

Tétel (a függvény szélsőértékének létezésének második elégséges kritériuma). Kritikus pont x0 a függvény szélsőpontja f(x) ha a függvény második deriváltja ebben a pontban nem nulla ( f ""(x) ≠ 0), és ha a második derivált nagyobb nullánál ( f ""(x)> 0), akkor a maximális pont, és ha a második derivált kisebb nullánál ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Megjegyzés 1. Ha azon a ponton x0 az első és a második származék is eltűnik, akkor ezen a ponton lehetetlen a szélsőség meglétét megítélni a második elégséges kritérium alapján. Ebben az esetben a függvény szélsőértékének első elégséges mutatóját kell használni.

2. megjegyzés: A függvény extremumára vonatkozó második elégséges kritérium akkor sem alkalmazható, ha az első derivált nem létezik az állóponton (akkor a második derivált sem létezik). Ebben az esetben is szükséges a függvény szélsőértékének első elégséges mutatóját használni.

A függvény szélsőségeinek helyi jellege

A fenti definíciókból az következik, hogy egy függvény szélsőértéke lokális jellegű - ez a függvény legnagyobb és legkisebb értéke a legközelebbi értékekkel összehasonlítva.

Tegyük fel, hogy egy éves távon nézi a bevételeit. Ha májusban 45 000 rubelt, áprilisban 42 000 rubelt, júniusban 39 000 rubelt keresett, akkor a májusi bevétel a bevételi függvény maximuma a legközelebbi értékekkel összehasonlítva. De októberben 71 000 rubelt, szeptemberben 75 000 rubelt, novemberben 74 000 rubelt keresett, tehát az októberi bevétel a keresetfüggvény minimuma a közeli értékekhez képest. És jól látható, hogy az április-május-júniusi értékek között a maximum kevesebb, mint a szeptember-október-novemberi minimum.

Általánosságban elmondható, hogy egy függvénynek több extrémája lehet az intervallumon, és kiderülhet, hogy a függvény bármely minimuma nagyobb, mint bármely maximum. Tehát a fenti ábrán látható függvényhez,.

Vagyis nem szabad azt gondolni, hogy a függvény maximuma és minimuma a legnagyobb és legkisebb értéke a teljes figyelembe vett intervallumban. A maximális ponton a függvénynek csak azokhoz az értékekhez képest van a legnagyobb értéke, amelyek minden ponton elég közel vannak a maximális ponthoz, és a minimális ponton - a legkisebb érték csak azokhoz az értékekhez képest, amelyek minden pontja elég közel van a minimumponthoz.

Ezért lehetőség van a függvény extrémumpontjainak fenti fogalmának finomítására, és a minimumpontokat helyi minimumpontoknak, a maximumpontokat pedig helyi maximumpontoknak nevezni.

Egy funkció szélsőségeit keressük együtt

3. példa

Megoldás: A függvény definiált és folytonos az egész számegyenesen. A származéka egész számegyenesen is létezik. Ezért ebben az esetben csak azok a kritikus pontok, amelyeknél, pl. , honnan és. A kritikus pontok és a függvény teljes tartományának felosztása három monotonitási intervallumra:. Válasszunk mindegyikből egy kontrollpontot, és ezen a ponton keressük meg a derivált előjelét.

Az intervallumhoz a vezérlőpont lehet: find. Ha egy pontot veszünk az intervallumban, akkor azt kapjuk, és az intervallumban egy pontot veszünk. Tehát az intervallumokban és, és az intervallumban. A szélsőség első elégséges feltétele szerint a pontban nincs szélsőérték (mivel a derivált az intervallumban megtartja előjelét), a pontban pedig a függvénynek van minimuma (mivel a derivált előjelet mínuszról pluszra vált átadáskor ezen a ponton keresztül). Keressük meg a függvény megfelelő értékeit:, a. Az intervallumban a függvény csökken, mint ebben az intervallumban, és az intervallumban növekszik, mint ebben az intervallumban.

A gráf felépítésének tisztázása érdekében megkeressük a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait. Mert kapunk egy egyenletet, amelynek gyöke és, azaz a függvény grafikonjának két pontja (0; 0) és (4; 0) megtalálható. Az összes kapott információ felhasználásával grafikont készítünk (lásd a példa elején).

4. példa. Keresse meg a függvény szélsőértékét, és készítse el a grafikonját.

A függvény tartománya az egész számegyenes, kivéve a pontot, azaz. ...

A kutatás lerövidítésére felhasználhatja, hogy ez a függvény páros, hiszen ... Ezért a grafikonja szimmetrikus a tengelyre Oy a feltárás pedig csak egy intervallumra végezhető el.

Keresse meg a származékot és a függvény kritikus pontjai:

1) ;

2) ,

de a függvény ezen a ponton megszakad, tehát nem lehet szélsőpont.

Így az adott függvénynek két kritikus pontja van: és. Figyelembe véve a függvény paritását, csak a pontot ellenőrizzük a szélsőség második elégséges kritériumával. Ehhez megtaláljuk a második deriváltot és meghatározzuk a jelét: kapjuk. Mivel és, akkor a függvény minimális pontja, a while .

Ahhoz, hogy teljesebb képet kapjunk egy függvény gráfjáról, nézzük meg annak viselkedését a definíciós tartomány határain:

(itt a szimbólum a vágyat jelöli x nullára a jobb oldalon, és x pozitív marad; hasonlóképpen törekvést jelent x nullára a bal oldalon, és x negatív marad). Így ha, akkor. Továbbá azt találjuk

,

azok. ha akkor.

A függvény grafikonjának nincsenek metszéspontjai a tengelyekkel. A kép a példa elején található.

Továbbra is együtt keressük a funkció szélsőségeit

8. példa. Keresse meg a függvény szélsőértékét.

Megoldás. Keressük meg a függvény tartományát. Mivel az egyenlőtlenséget ki kell elégíteni, ebből kapjuk.

Keressük meg a függvény első deriváltját:

Keressük meg a függvény kritikus pontjait.

MAXIMUM ÉS MINIMUM PONT

pontok, ahol a legnagyobb vagy legkisebb értéket veszi fel a definíció területén; az ilyen pontokat nevezzük. abszolút maximum vagy abszolút minimum pontjai is. Ha f topológián van definiálva. X tér, majd a pont x 0 hívott lokális maximum pontja (helyi minimum), ha van ilyen pont x 0, hogy a szóban forgó funkció korlátozására ezen a környéken az a pont x 0 az abszolút maximum (minimum) pontja. Vannak szigorú és nem szigorú maximum (minimum) pontok (abszolút és helyi). Például a pont ún. egy f függvény nem szigorú (szigorú) lokális maximumának pontja, ha létezik a pontnak ilyen szomszédsága x 0, ami mindenkire érvényes (illetve, f (x) x 0). )/

A véges dimenziós tartományokon definiált függvényeknél a differenciálszámítás szempontjából megvannak a feltételek és kritériumok, hogy egy adott pont egy lokális maximum (minimum) pontja legyen. Legyen az f függvény definiálva a numerikus tengely x 0 csomójának egy bizonyos környezetében. Ha x 0 - a nem szigorú helyi maximum (minimum) pontja, és ezen a ponton létezik f "( x 0), akkor egyenlő a nullával.

Ha egy adott f függvény a pont szomszédságában differenciálható x 0, kivéve talán magát ezt a pontot, amelyben folytonos, és az f" deriváltot a pont mindkét oldalán x 0állandó jelet tart ezen a környéken, akkor annak érdekében x 0 szigorú lokális maximum (lokális minimum) pontja volt, szükséges és elégséges, hogy a derivált jele pluszról mínuszra változzon, vagyis hogy f "(x)> 0 x-nél<.x 0és f "(x)<0 при x>x 0(illetve mínuszról pluszra: f "(NS) <0 x-nél<x 0és f "(x)> 0 x> x 0). Azonban nem minden függvényre, amely a pont szomszédságában differenciálható x 0, ezen a ponton a derivált előjelének változásáról beszélhetünk. ... "

Ha az f függvénynek a pontja van x 0 t származékai, majd annak érdekében x 0 szigorú lokális maximum pont volt, szükséges és elégséges, hogy párosak legyenek és f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Legyen az f ( x 1 ..., x p] egy pont n-dimenziós környezetében van definiálva, és ezen a ponton differenciálható. Ha x (0) egy nem szigorú lokális maximum (minimum) pontja, akkor az f függvény ebben a pontban egyenlő nullával. Ez a feltétel ekvivalens az f függvény 1. rendű parciális deriváltjainak nullával való egyenlőségével ezen a ponton. Ha egy függvénynek 2 folytonos parciális deriváltja van az x (0) pontban, akkor az összes 1. deriváltja eltűnik x (0) pontban, és az x (0) pontban lévő másodrendű differenciál negatív (pozitív) másodfokú alak. , akkor x (0) a szigorú lokális maximum (minimum) pontja. Ismeretesek az M. és m.t. differenciálható függvények feltételei, amikor az argumentumok változásaira bizonyos korlátozások vonatkoznak: a kényszeregyenletek teljesülnek. A bonyolultabb szerkezetű valós függvény maximumának (minimumának) szükséges és elégséges feltételeit a matematika speciális szekcióiban tanulmányozzák: pl. konvex elemzés, matematikai programozás(Lásd még Maximalizálása és funkciók minimalizálása). Az osztókon definiált M. és M. t.függvényeket tanulmányozzuk a variációk számítása általában, a M. és M. t.-on meghatározott funkciókhoz funkcionális terek, azaz a funkcionálisokhoz variációszámítás. Vannak még különböző módszerek számszerű közelítő lelet M. és M. t.

Megvilágított.: Il'in V. A., Poznya E. G., A matematikai elemzés alapjai, 3. kiadás, 1. rész, Moszkva, 1971; Kudrjavcev L. L. D. Kudryavtsev.

Matematikai Enciklopédia. - M.: Szovjet enciklopédia... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi az "EGY PONT MAXIMUMA ÉS MINIMUM" más szótárakban:

Pontrjagin diszkrét maximális elve az idő-diszkrét vezérlési folyamatokhoz. Egy ilyen folyamat esetében az M. o. Nem teljesíthető, bár folyamatos analógja esetében, amelyet úgy kapunk, hogy a véges differenciálművet differenciálművel cseréljük ... ... Matematika enciklopédiája

Az elemző modul egyik fő tulajdonságát kifejező tétel. funkciókat. Legyen f (z) n-komplex változók reguláris analitikus vagy holomorf függvénye egy konstanstól eltérő komplex számtér D tartományában; Matematika enciklopédiája

A valós értékeket felvevő függvény legnagyobb és ennek megfelelően legkisebb értéke. A szóban forgó függvény meghatározási tartományának pontját, amelyben maximumot vagy minimumot vesz igénybe, nevezzük. maximum pont vagy minimum pont ...... Matematika enciklopédiája

Lásd Funkció Maximum és Minimum, Pont Maximum és Minimum ... Matematika enciklopédiája

Egy folytonos függvény értéke, amely a maximum vagy minimum (lásd Maximum és minimum pont). A LE kifejezés... Matematika enciklopédiája

Indikátor- (Indikátor) Az indikátor egy információs rendszer, anyag, eszköz, eszköz, amely egy paraméter változását mutatja Forex piaci grafikonok mutatói, mik ezek és honnan tölthetők le? Az MACD indikátorok leírása, ... ... Befektetői enciklopédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Extremum (egyértelműsítés). Az extrémum (lat. Extremum extreme) a matematikában egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. Az a pont, ahol a szélsőséget elérjük ... ... Wikipédia

A differenciálszámítás a matematikai elemzés egyik ága, amely a derivált és a differenciál fogalmát, valamint a függvények tanulmányozására való alkalmazását vizsgálja. Tartalom 1 Egy változó függvényeinek differenciálszámítása ... Wikipédia

Lemniscata és gócai Lemniscate Bernoulli sík algebrai görbéje. Úgy határozzák meg, mint a pontok helyét, a terméket ... Wikipédia

Eltérés- (Divergencia) Divergencia mint indikátor Kereskedési stratégia MACD divergenciával Tartalom Tartalom 1. rész. on. 2. szakasz Divergencia mint. A divergencia egy olyan kifejezés a közgazdaságtanban, amely a divergens mentén történő mozgásra utal. Befektetői enciklopédia