A függvények lokális szélsőségei. Címke: helyi extrémum

MAXIMÁLIS ÉS MINIMÁLIS PONT

pontok, ahol a legnagyobb vagy legkisebb értéket veszi fel a definíciós tartományban; az ilyen pontokat nevezzük. abszolút maximum vagy abszolút minimum pontjait is. Ha f a topológián van definiálva. X tér, majd a pont x 0 hívott lokális maximum pontja (helyi minimum), ha van ilyen pont x 0, hogy a szóban forgó funkció korlátozására ezen a környéken az a pont x 0 az abszolút maximum (minimum) pontja. Vannak szigorú és nem szigorú maximum (minimum) pontok (abszolút és helyi). Például a pont ún. egy f függvény nem szigorú (szigorú) lokális maximumának pontja, ha létezik a pontnak ilyen szomszédsága x 0, ami mindenkire érvényes (illetve, f (x) x 0). )/

A véges dimenziós tartományokon definiált függvényeknél a differenciálszámítás szempontjából megvannak a feltételek és kritériumok, hogy egy adott pont egy lokális maximum (minimum) pontja legyen. Legyen az f függvény definiálva a numerikus tengely x 0 csomójának egy bizonyos környezetében. Ha x 0 - a nem szigorú helyi maximum (minimum) pontja, és ezen a ponton létezik f "( x 0), akkor egyenlő nullával.

Ha egy adott f függvény a pont szomszédságában differenciálható x 0, kivéve talán magát ezt a pontot, ahol folytonos, és az f" deriváltot a pont mindkét oldalán x 0állandó jelet tart ezen a környéken, akkor annak érdekében x 0 szigorú lokális maximum (lokális minimum) pontja volt, szükséges és elégséges, hogy a derivált jele pluszról mínuszra változzon, vagyis hogy f "(x)> 0 x esetén<.x 0és f "(x)<0 при x>x 0(illetve mínuszból pluszba: f "(NS) <0 x-nél<x 0és f "(x)> 0 x> x 0). Azonban nem minden függvényre, amely a pont szomszédságában differenciálható x 0, ezen a ponton a derivált előjelének változásáról beszélhetünk. ... "

Ha az f függvénynek a pontja van x 0 t származékait, majd annak érdekében x 0 szigorú lokális maximum pont volt, szükséges és elégséges, hogy párosak legyenek és f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Legyen az f ( x 1 ..., x p] egy pont n-dimenziós környezetében van definiálva, és ezen a ponton differenciálható. Ha x (0) egy nem szigorú lokális maximum (minimum) pontja, akkor az f függvény ebben a pontban egyenlő nullával. Ez a feltétel ekvivalens az f függvény 1. rendű parciális deriváltjainak nullával való egyenlőségével ezen a ponton. Ha egy függvénynek 2 folytonos parciális deriváltja van az x (0) pontban, akkor az összes 1. deriváltja eltűnik x (0) pontban, és az x (0) pontban lévő másodrendű differenciál negatív (pozitív) másodfokú alak. , akkor x (0) a szigorú lokális maximum (minimum) pontja. Ismeretesek az M. és m.t. differenciálható függvények feltételei, amikor az argumentumok változásaira bizonyos megszorítások vonatkoznak: a kényszeregyenletek teljesülnek. A bonyolultabb szerkezetű valós függvény maximumának (minimumának) szükséges és elégséges feltételeit a matematika speciális szekcióiban tanulmányozzák: pl. konvex elemzés, matematikai programozás(Lásd még Maximalizálása és funkciók minimalizálása). Az osztókon definiált M. és M. t.függvényeket tanulmányozzuk a variációk számítása általában, a M. és M. t.-on meghatározott funkciókhoz funkcionális terek, azaz a funkcionálisokhoz variációszámítás. Vannak még különböző módszerek numerikus közelítő megállapítás M. és M. t.

Megvilágított.: Il'in V.A., Poznya E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. kiadás, 1. rész, Moszkva, 1971; Kudrjavcev L. L. D. Kudrjavcev.

Matematikai enciklopédia. - M .: Szovjet enciklopédia... I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Nézze meg, mi az "EGY PONT MAXIMUMA ÉS MINIMUM" más szótárakban:

Pontrjagin diszkrét maximum elve az idő-diszkrét vezérlési folyamatokhoz. Egy ilyen folyamatnál az M. p. nem teljesülhet, bár annak folytonos analógjára, amelyet úgy kapunk, hogy a véges különbség operátort differenciálisra cseréljük ... ... Matematika enciklopédiája

Az elemző modul egyik fő tulajdonságát kifejező tétel. funkciókat. Legyen f (z) n-komplex változók reguláris analitikus vagy holomorf függvénye egy konstanstól eltérő komplex számtér D tartományában; Matematika enciklopédiája

A valós értékeket felvevő függvény legnagyobb és ennek megfelelően legkisebb értéke. A vizsgált függvény definíciós tartományának azt a pontját nevezzük, amelyben maximumot vagy minimumot vesz fel. maximum pont vagy minimum pont ...... Matematika enciklopédiája

Lásd Funkció Maximum és Minimum, Pont maximum és Minimum... Matematika enciklopédiája

Egy folytonos függvény értéke, amely a maximum vagy minimum (lásd Maximum és minimum pont). A LE kifejezés... Matematika enciklopédiája

Indikátor- (Indikátor) Az indikátor olyan információs rendszer, anyag, eszköz, eszköz, amely egy paraméter változását mutatja Forex piaci grafikonok mutatói, mik ezek és honnan tölthetők le? Az MACD indikátorok leírása, ... ... Befektetői enciklopédia

Ennek a kifejezésnek más jelentése is van, lásd Extremum (egyértelműsítés). Az extrémum (lat. Extremum extreme) a matematikában egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. Az a pont, ahol a szélsőséget elérjük ... ... Wikipédia

A differenciálszámítás a matematikai elemzés egyik ága, amely a derivált és a differenciál fogalmát, valamint a függvények tanulmányozására való alkalmazását vizsgálja. Tartalom 1 Egy változó függvényeinek differenciálszámítása ... Wikipédia

Lemniscata és gócai Lemniscata Bernoulli sík algebrai görbe. Pontok helyeként van definiálva, termékként... Wikipédia

Eltérés- (Divergencia) Divergencia mint indikátor Kereskedési stratégia MACD divergenciával Tartalom Tartalom 1. rész. on. 2. szakasz. Eltérés mint. A divergencia egy olyan kifejezés a közgazdaságtanban, amely a divergens mentén történő mozgásra utal. Befektetői enciklopédia

$ E \ részhalmaz \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ állítólag helyi maximum a $ x_ (0) \ pontban az E $-ban, ha létezik a $ x_ (0) $ pontnak olyan $ U $ szomszédsága, hogy az U $-ban minden $ x \-re a $ f \ bal (x \ jobb) egyenlőtlenség ) \ leqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

A helyi maximumot nevezzük szigorú ha a $ U $ szomszédság kiválasztható úgy, hogy az összes $ x \ U $-ban, kivéve a $ x_ (0) $-t, legyen $ f \ bal (x \ jobb)< f\left(x_{0}\right)$.

Meghatározás
Legyen $ f $ egy valós függvény on nyitott készlet$ E \ részhalmaz \ mathbb (R) ^ (n) $. $ F $ állítólag helyi minimum a $ x_ (0) \ pontban az E $-ban, ha létezik a $ x_ (0) $ pontnak olyan $ U $ szomszédsága, hogy az U $-ban minden $ x \-re a $ f \ bal (x \ jobb) egyenlőtlenség ) \ geqslant f \ left (x_ (0) \ right) $.

A helyi minimumot szigorúnak nevezzük, ha a $ U $ szomszédság úgy választható meg, hogy minden $ x \ U $-ban, kivéve $ x_ (0) $, $ f \ left (x \ right)> f \ left (x_ ( 0) \ jobbra) $.

A lokális szélsőség egyesíti a lokális minimum és a lokális maximum fogalmát.

tétel ( szükséges feltétel differenciálható függvény szélső értéke)
Legyen $ f $ valós függvény a $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $ nyílt halmazon. Ha az E $ $ x_ (0) \ pontjában a $ f $ függvénynek helyi szélsőértéke van ezen a ponton, akkor $$ \ text (d) f \ left (x_ (0) \ right) = 0. $$ A nulla differenciál egyenlősége egyenlő azzal, hogy mindegyik egyenlő nullával, azaz. $$ \ displaystyle \ frac (\ részleges f) (\ részleges x_ (i)) \ bal (x_ (0) \ jobb) = 0. $$

Egydimenziós esetben az. Jelöljük $ \ phi \ left (t \ right) = f \ left (x_ (0) + th \ right) $, ahol a $ h $ egy tetszőleges vektor. A $ \ phi $ függvény kellően kis $ t $ abszolút értékre van definiálva. Ezen túlmenően by, differenciálható, és $ (\ phi) '\ left (t \ right) = \ text (d) f \ left (x_ (0) + th \ right) h $.
Legyen $ f $ helyi maximuma az x $ 0 $ pontban. Ezért a $ \ phi $ függvénynek $ t = 0 $ esetén van egy lokális maximuma, és Fermat tétele szerint $ (\ phi) '\ left (0 \ right) = 0 $.
Tehát azt kaptuk, hogy $ df \ left (x_ (0) \ right) = 0 $, azaz. a $ f $ függvénynek a $ x_ (0) pontban $ egyenlő nullával bármely $ h $ vektoron.

Meghatározás
Pontok, ahol a differenciál nulla, azaz. azokat, amelyekben minden parciális derivált nulla, stacionáriusnak nevezzük. Kritikus pontok a $ f $ függvényt olyan pontoknak nevezzük, ahol a $ f $ nem differenciálható, vagy egyenlő nullával. Ha a pont stacionárius, akkor ez még nem jelenti azt, hogy a függvénynek ezen a ponton van szélsősége.

1. példa
Legyen $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + y ^ (3) $. Ezután $ \ displaystyle \ frac (\ részleges f) (\ részleges x) = 3 \ cdot x ^ (2) $, $ \ displaystyle \ frac (\ részleges f) (\ részleges y) = 3 \ cdot y ^ (2 ) $, tehát a $ \ left (0,0 \ right) $ stacionárius pont, de ezen a ponton a függvénynek nincs szélső értéke. Valójában $ f \ left (0,0 \ right) = 0 $, de könnyen belátható, hogy a $ \ left (0,0 \ right) $ pont bármely környezetében a függvény pozitív és negatív értékeket is felvesz.

2. példa
A $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (2) - y ^ (2) $ függvény stacionárius pontból származik, de egyértelmű, hogy ezen a ponton nincs szélsőség.

Tétel (elegendő feltétel egy szélsőséghez).
Legyen a $ f $ függvény kétszer folytonosan differenciálható a $ E \ subset \ mathbb (R) ^ (n) $ nyílt halmazon. Legyen $ x_ (0) \ in E $ egy stacionárius pont és $$ \ displaystyle Q_ (x_ (0)) \ left (h \ right) \ equiv \ sum_ (i = 1) ^ n \ sum_ (j = 1) ) ^ n \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x_ (i) \ részleges x_ (j)) \ bal (x_ (0) \ jobb) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Akkor

1. ha $ Q_ (x_ (0)) $ -, akkor a $ f $ függvénynek a $ x_ (0) $ pontban van egy lokális szélsőértéke, azaz minimuma, ha az alak pozitív határozott, és maximuma, ha a forma negatív határozott;
2. ha a $ Q_ (x_ (0)) $ másodfokú alak definiálatlan, akkor a $ f $ függvénynek a $ x_ (0) $ pontban nincs szélsőértéke.

Használjuk a Taylor-képlet szerinti bővítést (12.7 292. o.). Figyelembe véve, hogy az első sorrend parciális deriváltjai a $ x_ (0) $ pontban nullával egyenlőek, a következőt kapjuk: $$ \ displaystyle f \ left (x_ (0) + h \ right) −f \ left (x_ (0) \ jobbra) = \ töredék (1) (2) \ összeg_ (i = 1) ^ n \ összeg_ (j = 1) ^ n \ töredék (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x_ (i) ) \ részleges x_ (j)) \ bal (x_ (0) + \ theta h \ jobb) h ^ (i) h ^ (j), $$ ahol $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, és $ \ epsilon \ left (h \ right) \ rightarrow 0 $ $ h \ rightarrow 0 $ esetén, akkor a jobb oldal pozitív lesz bármely kellően kis hosszúságú $ h $ vektorra.
Tehát arra a következtetésre jutottunk, hogy a $ x_ (0) $ pont valamelyik szomszédságában fennáll a $ f \ bal (x \ jobb)> f \ bal (x_ (0) \ jobb) egyenlőtlenség $, ha csak $ x \ neq x_ (0) $ ($ x = x_ (0) + h $ \ jobbra teszünk). Ez azt jelenti, hogy a $ x_ (0) $ pontban a függvénynek szigorú lokális minimuma van, így tételünk első része bizonyítást nyer.
Tegyük fel, hogy a $ Q_ (x_ (0)) $ egy meghatározatlan alak. Ezután vannak $ h_ (1) $, $ h_ (2) $ vektorok úgy, hogy $ Q_ (x_ (0)) \ left (h_ (1) \ right) = \ lambda_ (1)> 0 $, $ Q_ ( x_ (0)) \ bal (h_ (2) \ jobb) = \ lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Ekkor megkapjuk a $$ f \ left (x_ (0) + th_ (1) \ right) −f \ left (x_ (0) \ right) = \ frac (1) (2) \ left [t ^ (2) \ lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \ epszilon \ bal (th_ (1) \ jobb) \ jobb] = \ frac (1) (2) t ^ (2) \ balra [\ lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \ epszilon \ balra (th_ (1) \ jobbra) \ jobbra] $$ Elég kicsi $ t> 0 $ esetén a jobb oldal pozitív. Ez azt jelenti, hogy a $ x_ (0) $ pont bármely szomszédságában a $ f $ függvény $ f \ left (x \ right) $ értékeket vesz fel, amelyek nagyobbak, mint $ f \ left (x_ (0) \ right) $.
Hasonlóképpen megkapjuk, hogy a $ x_ (0) $ pont bármely környezetében a $ f $ függvény kisebb értékeket vesz fel, mint $ f \ left (x_ (0) \ right) $. Ez az előzővel együtt azt jelenti, hogy a $ x_ (0) $ pontban a $ f $ függvénynek nincs szélsőértéke.

Fontolgat különleges eset ennek a tételnek a két változó $ f \ left (x, y \ right) $ függvényére, amelyek a $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ pont valamelyik szomszédságában vannak definiálva, és folyamatos parciális első és másodrendű származékai. Tegyük fel, hogy a $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ egy állópont, és jelöli a $$ \ displaystyle a_ (11) = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x ^ (2)) \ bal (x_ (0), y_ (0) \ jobb), a_ (12) = \ töredék (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x \ részleges y) \ bal (x_ ( 0) ), y_ (0) \ jobb, a_ (22) = \ töredék (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges y ^ (2)) \ bal (x_ (0), y_ (0) \ jobb ) $$ Ekkor az előző tétel a következő alakot veszi fel.

Tétel
Legyen $ \ Delta = a_ (11) \ cdot a_ (22) - a_ (12) ^ 2 $. Azután:

1. ha $ \ Delta> 0 $, akkor a $ f $ függvénynek van egy lokális szélsőértéke a $ \ left (x_ (0), y_ (0) \ right) $ pontban, azaz minimum, ha $ a_ (11)> 0 $ , és maximum, ha $ a_ (11)<0$;
2. ha $ \ Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Példák problémamegoldásra

Algoritmus sok változó függvényének szélsőértékének megtalálására:

1. Álló pontok keresése;
2. Keresse meg a 2. rendű differenciálművet az összes stacionárius pontban
3. A több változós függvény szélsőértékének elégséges feltételét felhasználva minden stacionárius pontban figyelembe vesszük a másodrendű különbséget

1. Vizsgálja meg a $ f \ left (x, y \ right) = x ^ (3) + 8 \ cdot y ^ (3) + 18 \ cdot x - 30 \ cdot y $ szélsőérték függvényét.
   Megoldás

   Keresse meg az elsőrendű részleges származékokat: $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ partial f ) (\ partial y) = 24 \ cdot y ^ (2) - 6 \ cdot x. $$ Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert: $$ \ displaystyle \ begin (esetek) \ frac (\ partial f) (\ partial x ) = 0 \\\ frac (\ részleges f) (\ részleges y) = 0 \ vége (kis- és nagybetűk) \ jobbra nyíl \ kezdés (esetek) 3 \ cdot x ^ (2) - 6 \ cdot y = 0 \\ 24 \ y 0 \ vége (esetek) $$ A 2. egyenletből fejezze ki a $ x = 4 \ cdot y ^ (2) $ - helyettesítő az 1. egyenletben: $$ \ displaystyle \ left (4 \ cdot y ^ (2) \ right ) ^ (2) -2 \ cdot y = 0 $$ $$ 16 \ cdot y ^ (4) - 2 \ cdot y = 0 $$ $$ 8 \ cdot y ^ (4) - y = 0 $$ $ $ y \ bal (8 \ cdot y ^ (3) -1 \ jobb) = 0 $ $ Ennek eredményeként 2 stacionárius pontot kapunk:
   1) $ y = 0 \ Jobbra nyíl x = 0, M_ (1) = \ bal (0, 0 \ jobb) $;
   2) $ \ displaystyle 8 \ cdot y ^ (3) -1 = 0 \ Jobbra y ^ (3) = \ frac (1) (8) \ Jobbra y = \ frac (1) (2) \ Jobbra nyíl x = 1 , M_ (2) = \ bal (\ frac (1) (2), 1 \ jobb) $
   Ellenőrizzük a szélsőség elégséges feltételének teljesülését:
   $$ \ displaystyle \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x ^ (2)) = 6 \ cdot x; \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x \ részleges y) = - 6; \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges y ^ (2)) = 48 \ cdot y $$
   1) $ M_ (1) = \ balra (0,0 \ jobbra) $ pontra:
   $$ \ displaystyle A_ (1) = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x ^ (2)) \ bal (0,0 \ jobb) = 0; B_ (1) = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x \ részleges y) \ bal (0,0 \ jobb) = - 6; C_ (1) = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges y ^ (2)) \ bal (0,0 \ jobb) = 0; $$
   $ A_ (1) \ cdot B_ (1) - C_ (1) ^ (2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) A $ M_ (2) $ ponthoz:
   $$ \ displaystyle A_ (2) = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x ^ (2)) \ bal (1, \ frac (1) (2) \ jobb) = 6; B_ (2) = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x \ részleges y) \ bal (1, \ frac (1) (2) \ jobb) = - 6; C_ (2) = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges y ^ (2)) \ bal (1, \ frac (1) (2) \ jobb) = 24; $$
   $ A_ (2) \ cdot B_ (2) - C_ (2) ^ (2) = 108> 0 $, tehát van egy szélsőség a $ M_ (2) $ pontban, és mivel $ A_ (2)> 0 $, akkor ez a minimum.
   Válasz: A $ \ displaystyle M_ (2) \ left (1, \ frac (1) (2) \ right) $ pont a $ f $ függvény minimális pontja.
   

2. Vizsgálja meg a $ f = y ^ (2) + 2 \ cdot x \ cdot y - 4 \ cdot x - 2 \ cdot y - 3 $ szélsőérték függvényét.
   Megoldás

   Állandó pontok keresése: $$ \ displaystyle \ frac (\ részleges f) (\ részleges x) = 2 \ cdot y - 4; $$ $$ \ displaystyle \ frac (\ részleges f) (\ részleges y) = 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2. $$
   Állítsuk össze és oldjuk meg a rendszert: $$ \ displaystyle \ begin (esetek) \ frac (\ partial f) (\ partial x) = 0 \\\ frac (\ partial f) (\ partial y) = 0 \ end (esetek ) \ Jobbra \ kezdőd (esetek) 2 \ cdot y - 4 = 0 \\ 2 \ cdot y + 2 \ cdot x - 2 = 0 \ end (esetek) \ Rightarrow \ begin (esetek) y = 2 \\ y + x = 1 \ vége (kis- és nagybetűk) \ Jobbra nyíl x = -1 $$
   $ M_ (0) \ bal (-1, 2 \ jobb) $ egy stacionárius pont.
   Ellenőrizzük, hogy teljesül-e az elegendő extrémum feltétele: $$ \ displaystyle A = \ frac (\ partial ^ (2) f) (\ partial x ^ (2)) \ left (-1,2 \ right) = 0; B = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges x \ részleges y) \ bal (-1,2 \ jobb) = 2; C = \ frac (\ részleges ^ (2) f) (\ részleges y ^ (2)) \ bal (-1,2 \ jobb) = 2; $$
   $ A \ cdot B - C ^ (2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Válasz: nincsenek szélsőségek.
   

Időkorlát: 0

Navigáció (csak munkaszámok)

0/4 kérdés teljesítve

Információ

Töltsd ki ezt a kvízt, hogy teszteld tudásodat az imént olvasott témában: „Sok változó funkcióinak helyi szélsőségei”.

Korábban már letetted a tesztet. Nem indíthatja újra.

A teszt betöltődik...

A teszt elindításához be kell jelentkeznie vagy regisztrálnia kell.

Ennek elindításához a következő teszteket kell kitöltenie:

eredmények

Helyes válaszok: 0 a 4-ből

A te időd:

Lejárt az idő

0 pontból 0 pontot ért el (0)

Eredményed felkerült a ranglistára

1. A válasszal
2. Megtekintettként megjelölve

4/1. feladat

1 .

Pontok: 1

Vizsgálja meg a $ f $ függvényt szélsőségekre: $ f = e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 \ cdot y ^ (2)) $

Jobb


Nem jó


1. 4/2. kérdés

   2 .

   Pontok: 1

   A függvény $ f = 4 + \ sqrt ((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

HELYI MAXIMUM

HELYI MAXIMUM

(helyi maximum) Olyan függvényérték, amely nagyobb argumentuma vagy argumentumkészletének bármely szomszédos értékénél, dy / dx = A 0 a lokális maximum elérésének szükséges feltétele y = f(x); ha ez a feltétel teljesül, akkor elégséges feltétele a lokális maximum elérésének d2y / dx2 0. A lokális maximum lehet az abszolút maximum is, ha nincs érték NS, ahol nál nél több. Ez azonban nem mindig igaz. Vegye figyelembe a funkciót y = x3–3x.dy / dx = 0 mikor x2 = 1; és d2y / dx2 = 6x. nál nél maximuma van x = - 1, de ez csak egy lokális, nem abszolút maximum, hiszen nál nél kellően nagy pozitív érték esetén végtelenül nagy lehet NS... Lásd még: rajz a cikk maximumára (maximum).

Gazdaság. Magyarázó szótár. - M .: "INFRA-M", "Ves Mir" kiadó. J. Black. Általános kiadás: Közgazdaságtudományi doktor Osadchaya I.M.. 2000 .

Közgazdasági szótár. 2000 .

Nézze meg, mi az a "LOCAL MAXIMUM" más szótárakban:

helyi maximum- - [A.S. Goldberg. Az angol orosz energiaszótár. 2006] Témák energia általában HU helyi maximum ... Műszaki fordítói útmutató

helyi maximum- lokalusis maksimumas statusas T terület automatika atitikmenys: angl. helyi maximum vok. Lokalmaximum, n rus. helyi maximum, m pranc. maximum helyi, m… Automatikos terminų žodynas

helyi maximum- vietinė smailė statusas T terület fizika atitikmenys: angl. helyi maximum; helyi csúcs vok. lokales Maximum, n rus. helyi maximum, m pranc. maximum helyi, m; pic local, m ... Fizikos terminų žodynas

Lokális maximum, helyi minimum- (helyi maximum, lokális minimum) lásd a Függvény szélsőséges ... Közgazdasági és matematikai szótár

- (maximum) A függvény legmagasabb értéke, amelyet argumentumai bármely értékéhez felvesz. A maximum lehet lokális vagy abszolút. Például az y = 1 – x2 függvény abszolút maximuma y = 1 x = 0 esetén; nincs más értéke x-nek, ami ...... Közgazdasági szótár

- (lokális minimum) A függvény értéke, amely kisebb, mint argumentumának vagy argumentumkészletének bármely szomszédos értéke, dy / dx = 0, szükséges feltétele a lokális minimum y = f (x) elérésének; ha ez a feltétel teljesül, elegendő ...... Közgazdasági szótár

Az extrémum (lat. Extremum extreme) a matematikában egy függvény maximális vagy minimális értéke egy adott halmazon. Azt a pontot, ahol a szélsőértéket elérjük, szélsőpontnak nevezzük. Ennek megfelelően a minimum elérése esetén a szélső pont ... ... Wikipédia

A helyi keresési algoritmusok olyan algoritmusok csoportja, amelyekben a keresés csak az aktuális állapot alapján történik, és a korábban átadott állapotokat nem veszi figyelembe, és nem emlékezik meg. A keresés fő célja nem az, hogy megtalálja az optimális utat a ... ... Wikipédiához

- (globális maximum) A függvény értéke, egyenlő vagy nagyobb, mint bármely más argumentumértékhez. Elégséges feltétele egy argumentum függvényének maximumának, ami abból áll, hogy az első deriváltja a ... ... Közgazdasági szótár

- (eng. trend irány, tendencia) iránya, a politikai folyamat, jelenség fejlődési tendenciája. Matematikai kifejezése van. A trendek legnépszerűbb meghatározása a Dow-elméletből származik. Emelkedő tendencia...... Politológia. Szótár.

Több változós f (x) függvény esetén az x pont egy vektor, f '(x) az f (x) függvény első deriváltjának (gradiensének) a vektora, f ′ ′ (x) a szimmetrikus a második parciális deriváltak mátrixa (a Hess-mátrix a Hess-féle) f (x) függvény.
Több változó függvényére az optimalitási feltételeket a következőképpen fogalmazzuk meg.
A lokális optimalitás szükséges feltétele. Legyen f (x) differenciálható az x * R n pontban. Ha x * egy lokális szélsőpont, akkor f '(x *) = 0.
A korábbiakhoz hasonlóan az egyenletrendszer megoldásait jelentő pontokat stacionáriusnak nevezzük. Az x * stacionárius pont karaktere összefügg az f ′ ′ (x) Hesse-mátrix meghatározottságával.
Az A mátrix meghatározottsága a Q (α) = másodfokú alak előjeleitől függ< α A, α >minden nullától eltérő α∈R n esetén.
Itt és tovább az x és y vektorok pontszorzatát jelöljük. A-priory,

Egy A mátrix pozitív (nem negatív) határozott, ha Q (α)> 0 (Q (α) ≥0) minden nem nulla α∈R n esetén; negatívan (nem pozitívan) határozott, ha Q (α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 néhány nem nulla α∈R n és Q (α) esetén<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Elégséges feltétele a lokális optimalitásnak. Legyen f (x) kétszer differenciálható az x * R n pontban, és f ’(x *) = 0, azaz x * - állópont. Ekkor, ha az f ′ ′ (x *) mátrix pozitív (negatív) definit, akkor x * egy lokális minimum (maximum) pontja; ha az f ′ ′ (x *) mátrix definiálatlan, akkor x * nyeregpont.
Ha az f ′ ′ (x *) mátrix nemnegatív (nem pozitív) definit, akkor az x * stacionárius pont karakterének meghatározásához magasabb rendű deriváltok vizsgálata szükséges.
A Sylvester-kritériumot általában a mátrix meghatározottságának ellenőrzésére használják. E kritérium szerint egy A szimmetrikus mátrix akkor és csak akkor pozitív határozott, ha minden szögmollja pozitív. Ebben az esetben az A mátrix szögmollja az A mátrix elemeiből összeállított mátrix determinánsa, amely azonos (és első) számú sorok és oszlopok metszéspontjában áll. Az A szimmetrikus mátrix negatív meghatározottságának ellenőrzéséhez szükséges az (−A) mátrix pozitív meghatározottságának ellenőrzése.
Tehát a sok változós függvény lokális szélsőpontjainak meghatározására szolgáló algoritmus a következő.
1. Keresse meg f ′ (x).
2. A rendszer megoldva

Ennek eredményeként kiszámítjuk az x i stacionárius pontokat.
3. Keresse meg f ′ ′ (x) értékét, halmaza i = 1.
4. Keresse meg f ′ ′ (x i)
5. Kiszámítjuk az f ′ ′ (x i) mátrix szögmolljait. Ha nem minden angular minor nem nulla, akkor az x i stacionárius pont természetének meghatározásához magasabb rendű deriváltok vizsgálatára van szükség. Ebben az esetben a 8. tételre való áttérés történik.
Ellenkező esetben folytassa a 6. lépéssel.
6. Elemezzük az f ′ ′ (x i) szögmollok jeleit. Ha f ′ ′ (x i) pozitív definit, akkor x i egy lokális minimumpont. Ebben az esetben a 8. tételre való áttérés történik.
Ellenkező esetben folytassa a 7. lépéssel.
7. Kiszámoljuk az -f ′ ′ (x i) mátrix szögmolljait, és elemezzük előjeleiket.
Ha -f ′ ′ (x i) - pozitív definit, akkor f ′ ′ (x i) negatív definit, x i pedig egy lokális maximumpont.
Ellenkező esetben f ′ ′ (x i) nem definiált, és x i egy nyeregpont.
8. Az összes stacionárius pont i = N jellegének meghatározásának feltételét ellenőrizzük.
Ha végrehajtják, akkor a számítások befejeződnek.
Ha a feltétel nem teljesül, akkor i = i + 1-et állítunk be, és továbblépünk a 4. lépésre.

1. példa. Határozzuk meg az f (x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 függvény lokális szélsőpontjait









Mivel minden sarok-moll nem nulla, az x 2 karaktert f ′ ′ (x) segítségével határozzuk meg.
Mivel az f ′ ′ (x 2) mátrix pozitív definit, ezért x 2 egy lokális minimumpont.
Válasz: az f (x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 függvénynek van egy lokális minimuma az x = (5/3; 8/3) pontban.

A függvény szélsőpontja egy olyan pont a függvény tartományában, ahol egy függvény értéke minimum vagy maximum értéket vesz fel. A függvény értékeit ezeken a pontokon a függvény szélsőértékének (minimum és maximum) nevezzük.

Meghatározás... Pont x1 függvény tartomány f(x) nak, nek hívják a függvény maximális pontja , ha a függvény értéke ezen a ponton nagyobb, mint a függvény értékei a hozzá kellően közeli pontokban, amelyek tőle jobbra és balra helyezkednek el (azaz az egyenlőtlenség f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maximális.

Meghatározás... Pont x2 függvény tartomány f(x) nak, nek hívják a függvény minimális pontja, ha a függvény értéke ezen a ponton kisebb, mint a függvény értékei a hozzá kellően közeli pontokban, amelyek tőle jobbra és balra helyezkednek el (azaz az egyenlőtlenség f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a függvény a pontban van x2 minimális.

Mondjuk pont x1 a függvény maximális pontja f(x). Majd az intervallumban ig x1 funkciója növekszik, tehát a függvény deriváltja nagyobb nullánál ( f "(x)> 0), és az azt követő intervallumban x1 a függvény csökken, ezért és függvény deriváltja nullánál kisebb (f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Tegyük fel azt is, hogy a lényeg x2 a függvény minimumpontja f(x). Majd az intervallumban ig x2 a függvény csökken, és a függvény deriváltja kisebb, mint nulla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 a függvény növekszik, és a függvény deriváltja nagyobb, mint nulla ( f "(x)> 0). Ebben az esetben is a ponton x2 a függvény deriváltja nulla vagy nem létezik.

Fermat-tétel (egy függvény szélsőértékének létezésének szükséges kritériuma)... Ha pont x0 a függvény szélsőpontja f(x), akkor ezen a ponton a függvény deriváltja egyenlő nullával ( f "(x) = 0), vagy nem létezik.

Meghatározás... Meghívjuk azokat a pontokat, ahol egy függvény deriváltja nulla vagy nem létezik kritikus pontok .

1. példa Tekintsünk egy függvényt.

Azon a ponton x= 0, a függvény deriváltja nulla, tehát a pont x= 0 a kritikus pont. Azonban, mint a függvény grafikonján látható, a teljes definíciós tartományon növekszik, ezért a pont x A = 0 nem ennek a függvénynek a szélsőpontja.

Így azok a feltételek, hogy egy függvény deriváltja egy pontban egyenlő nullával, vagy nem létezik, szükséges feltételek egy szélsőséghez, de nem elégségesek, mivel más példák olyan függvényekre, amelyekre ezek a feltételek teljesülnek, de a függvény nem rendelkezik extrémum a megfelelő pontban megadható. Ezért elegendő jelnek kell lennie, amely lehetővé teszi annak megítélését, hogy egy adott kritikus ponton van-e szélsőség, és melyik a maximum vagy a minimum.

Tétel (az első elégséges kritérium egy függvény szélsőértékének létezéséhez). Kritikus pont x0 f(x), ha a függvény deriváltja ezen a ponton áthaladva előjelet vált, és ha az előjel "plusz"-ról "mínuszra" változik, akkor a maximális pont, ha pedig "mínusz"-ról "plusz", akkor a minimum pont .

Ha a pont közelében x0 , tőle balra és jobbra a derivált megőrzi az előjelet, akkor ez azt jelenti, hogy a függvény vagy csak csökken, vagy csak a pont valamely környezetében nő x0 ... Ebben az esetben a ponton x0 nincs szélsőség.

Így, a függvény szélsőpontjainak meghatározásához a következőket kell tennie :

1. Keresse meg a függvény deriváltját!
2. Egyenlítse a derivált nullával, és határozza meg kritikus pontok.
3. Gondolatban vagy papíron jelölje be a kritikus pontokat a numerikus tengelyen, és határozza meg a kapott intervallumokban a függvény deriváltjának előjeleit. Ha a derivált előjele "plusz"-ról "mínuszra" változik, akkor a kritikus pont a maximum pont, ha pedig "mínuszról" "pluszra", akkor a minimumpont.
4. Számítsa ki a függvény értékét a szélsőpontokban!

2. példa Keresse meg egy függvény szélsőértékét .

Megoldás. Keressük meg a függvény deriváltját:

Állítsuk a derivált nullára, hogy megtaláljuk a kritikus pontokat:

.

Mivel az "x" bármely értékénél a nevező nem nulla, a számlálót nullával egyenlővé tesszük:

Van egy fordulópont x= 3. Határozzuk meg a derivált előjelét az e pont által határolt intervallumokban:

a mínusz végtelentől 3-ig terjedő tartományban - a mínusz jel, vagyis a függvény csökken,

a 3-tól a plusz végtelenig terjedő tartományban - a pluszjel, vagyis a függvény növekszik.

Vagyis pont x= 3 a minimumpont.

Keressük meg a függvény értékét a minimum pontban:

Így a függvény szélsőpontját megtaláljuk: (3; 0), és ez a minimumpont.

Tétel (a függvény szélsőértékének létezésének második elégséges kritériuma). Kritikus pont x0 a függvény szélsőpontja f(x) ha a függvény második deriváltja ebben a pontban nem nulla ( f ""(x) ≠ 0), és ha a második derivált nagyobb, mint nulla ( f ""(x)> 0), akkor a maximális pont, és ha a második derivált kisebb, mint nulla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Megjegyzés 1. Ha azon a ponton x0 az első és a második származék is eltűnik, akkor ezen a ponton lehetetlen a szélsőség meglétét a második elégséges kritérium alapján megítélni. Ebben az esetben a függvény szélsőértékének első elégséges mutatóját kell használni.

2. megjegyzés. A függvény szélsőértékére vonatkozó második elégséges kritérium szintén nem alkalmazható, ha az első derivált nem létezik a stacionárius pontban (akkor a második derivált sem létezik). Ebben az esetben is szükséges a függvény szélsőértékének első elégséges mutatóját használni.

A függvény szélsőértékének lokális karaktere

A fenti definíciókból az következik, hogy a függvény extrémuma lokális jellegű - ez a legnagyobb és legkisebb érték függvény a közeli értékekhez képest.

Tegyük fel, hogy egy év távlatából nézi a bevételeit. Ha májusban 45 000 rubelt, áprilisban 42 000 rubelt és júniusban 39 000 rubelt keresett, akkor a májusi bevétel a bevételi függvény maximuma a legközelebbi értékekkel összehasonlítva. De októberben 71 000 rubelt, szeptemberben 75 000 rubelt, novemberben 74 000 rubelt keresett, tehát az októberi bevétel a keresetfüggvény minimuma a közeli értékekhez képest. És jól látható, hogy az április-május-júniusi értékek között a maximum kevesebb, mint a szeptember-október-novemberi minimum.

Általánosságban elmondható, hogy az intervallumon egy függvénynek több szélsősége is lehet, és kiderülhet, hogy a függvény bármely minimuma nagyobb, mint bármely maximum. Tehát a fenti ábrán látható függvényhez,.

Vagyis nem szabad azt gondolni, hogy egy függvény maximuma és minimuma a legnagyobb és legkisebb értéke a teljes figyelembe vett intervallumban. A maximum ponton a függvénynek csak azokhoz az értékekhez képest van a legnagyobb értéke, amelyek minden ponton elég közel vannak a maximális ponthoz, a minimum ponton pedig a legkisebb értéke csak azokhoz az értékekhez képest, amelyek minden pontja elég közel van a minimumponthoz.

Ezért lehetséges egy függvény extrémumpontjainak fenti fogalmát tisztázni, és a minimumpontokat helyi minimumpontoknak, a maximumpontokat pedig helyi maximumpontoknak nevezni.

Egy funkció szélsőségeit keressük együtt

3. példa

Megoldás: A függvény definiált és folytonos az egész számegyenesen. A származéka egész számegyenesen is létezik. Ezért ebben az esetben csak azok a kritikus pontok, amelyeknél, pl. , honnan és. A kritikus pontok és a függvény teljes tartományának felosztása három monotonitási intervallumra:. Mindegyikben válasszunk egy-egy vezérlőpontot, és ezen a ponton keressük meg a derivált előjelét.

Az intervallumhoz a vezérlőpont lehet: find. Ha egy pontot veszünk az intervallumban, akkor azt kapjuk, és ha az intervallumban egy pontot veszünk, akkor megvan. Tehát az intervallumokban és, és az intervallumban. A szélsőség első elégséges kritériuma szerint a pontban nincs szélsőérték (mivel a derivált az intervallumban megtartja előjelét), a pontban pedig a függvénynek van minimuma (mivel a derivált előjelet mínuszról pluszra vált átadáskor ezen a ponton keresztül). Keressük meg a függvény megfelelő értékeit:, a. Az intervallumban a függvény csökken, mint ebben az intervallumban, az intervallumban pedig nő, mint ebben az intervallumban.

A gráf felépítésének tisztázására megkeressük a koordinátatengelyekkel való metszéspontjait. Mert kapunk egy egyenletet, amelynek gyöke és, azaz a függvény grafikonjának két pontja (0; 0) és (4; 0) megtalálható. Az összes kapott információ felhasználásával grafikont készítünk (lásd a példa elején).

4. példa Keresse meg a függvény szélsőértékét, és készítse el a grafikonját.

A függvény tartománya az egész számegyenes, kivéve a pontot, azaz. ...

A kutatás lerövidítésére felhasználható, hogy ez a függvény páros, hiszen ... Ezért a grafikonja szimmetrikus a tengelyre Oy a feltárás pedig csak egy intervallumra végezhető el.

Keresse meg a származékot és a függvény kritikus pontjai:

1) ;

2) ,

de a függvény ezen a ponton megszakad, tehát nem lehet szélsőpont.

Így az adott függvénynek két kritikus pontja van: és. Figyelembe véve a függvény paritását, csak a pontot ellenőrizzük a szélsőség második elégséges kritériumával. Ehhez megtaláljuk a második származékot és határozzuk meg a jelét: kapjuk. Mivel és, akkor a függvény minimális pontja, a while .

Ahhoz, hogy teljesebb képet kapjunk egy függvény gráfjáról, nézzük meg a viselkedését a definíciós tartomány határain:

(itt a szimbólum a vágyat jelöli x nullára a jobb oldalon, és x pozitív marad; hasonlóképpen törekvést jelent x nullára a bal oldalon, és x negatív marad). Így ha, akkor. Továbbá azt találjuk

,

azok. ha akkor.

A függvény grafikonjának nincs metszéspontja a tengelyekkel. A kép a példa elején található.

Továbbra is közösen keressük a függvény szélsőségeit

8. példa. Keresse meg a függvény szélsőértékét.

Megoldás. Keressük meg a függvény tartományát. Mivel az egyenlőtlenségnek fennállnia kell, ebből kapjuk.

Keressük meg a függvény első deriváltját:

Keressük meg a függvény kritikus pontjait.