Beírt és körülírt sokszögek. Szabályos sokszögek

Beírt és körülírt sokszögek. Szabályos sokszögek

Felírva egy körben poligon .

Leírva a kör körül poligon .

Leírva sokszög kör körül.

Felírva sokszögkörben.

A háromszögbe írt kör sugara .

A háromszög körül körülírt kör sugara .
Szabályos sokszög.

Szabályos sokszög középpontja és apotémje.
Szabályos sokszögek képarányai és sugarai.

Körbe írva hívott poligon, felsők amelyek egy körön helyezkednek el (54. ábra). Leírva a kör körül hívott poligon, amelynek oldalai érintik a kört

(55. ábra).

Illetőleg, a sokszög csúcsain áthaladó kör( 54. ábra ) nak, nek hívják körülírva egy sokszög körül ; kör, for a sokszög mely oldalai érintők (55. ábra) , tovább hívott sokszögbe írva. Mert tetszőleges sokszög nem írható beleés írjon le egy kört körülötte ... Háromszög alakúra nick mindig lehetséges.

Sugár r beírt kör a feleken keresztül kifejezvea, b, c háromszög:

A leírt R sugara kör képlettel kifejezve:

Egy kör akkor írható egy négyszögbe, ha a szemközti oldalainak összege egyenlő. A paralelogrammák esetében ez csak rombusz esetén lehetséges ( négyzet). Középen felírva ben található köraz átlók metszéspontja. Egy kör leírható egy négyszög körül, ha összege az ellentétes szögek az 180º. Paralelogrammák esetén ez csak téglalap esetén lehetséges ( négyzet ). A körülírt kör középpontja az átlók metszéspontjában található. A trapéz körül egy kör írható le , ha csak ő egyenlőszárú.

Szabályos sokszög Egy sokszög egyenlő oldalakkal és szögekkel .

Az 56. ábrán egy szabályos hatszög, az 57. ábrán pedig egy szabályos nyolcszög látható. A szabályos négyszög négyzet; szabályos háromszög - egyenlő oldalú háromszög... Egy szabályos sokszög minden sarka 180º (n– 2) / n , ahol n- sarkainak száma. Egy szabályos sokszög belsejében van egy pont O (56. ábra), egyenlő távolságra minden csúcsától ( OA = OB = OC =… = OF ), amely az úgynevezett központ szabályos sokszög. Egy szabályos sokszög középpontja is egyenlő távolságra van minden oldalától ( OP = OQ = VAGY = ...). OP, OQ, OR szegmensek , ... hívják apotémák; szegmensek OA, OB, OC , …- sugarak szabályos sokszög.Szabályos sokszögbe kör írható, köré írható kör. A beírt és körülírt körök középpontja egybeesik egy szabályos sokszög középpontjával. Sugára körülírt kör- ez sugara a helyes sokszög, a a beírt kör sugara az apotémje. Szabályos sokszögek képarányai és sugarai:

A legtöbb szabályos sokszög esetében lehetetlen kifejezni az oldaluk és a sugarak közötti kapcsolatot algebrai képlettel.

PÉLDA Ki lehet-e vágni egy körből egy 30 cm-es oldalú négyzetet?

Átmérője 40 cm?

MEGOLDÁS: A körbe zárt legnagyobb négyzet egy beírt

Négyzet. A fenti képlet szerint annak

Az oldal egyenlő:

Ennélfogva, 30 cm-es oldalú négyzetet nem lehet vágnivesz

40 cm átmérőjű körből.

A Get an A videó tanfolyam minden olyan témát tartalmaz, amelyre szüksége van sikeres szállítás Matematika egységes államvizsga 60-65 pontra. Teljesen a Profil egységes matematika államvizsga 1-13. Matematika alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 pontra szeretnél sikeresen vizsgázni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a vizsga 1. részének matematikából (első 12 feladat) és 13. feladatának (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont a vizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem bölcsészhallgató nem tud nélkülözni.

Minden elmélet, amire szüksége van. Gyors módszerek a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Feladatbankjából kiszedtem az 1. rész összes vonatkozó feladatát. A tanfolyam teljes mértékben megfelel a 2018-as vizsga követelményeinek.

A tanfolyam 5-öt tartalmaz nagy témákat, egyenként 2,5 óra. Minden téma a semmiből, egyszerű és egyértelmű.

Több száz USE feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE megbízás elemzése. Sztereometria. Trükkös trükkök megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, fokok és logaritmusok, függvény és derivált. A megoldás alapja nehéz feladatok 2 vizsgarész.

FEJEZET VII.

A KÖRRŐL.

165. Körbe írt és körülötte leírt ábrák. Olyan sokszöget nevezünk, amelynek csúcsai egy körön vannak. felírva körben; feketén A 243. ábrán egy beírt háromszög, négyszög és ötszög látható.

Azt a maogagont, amelynek oldalai érintik a kört, hívják. leírta a kör körül; feketén A 244. ábra a leírt triugokat mutatja. és négyszeres.

166. Ha például valamilyen szabálytalan sokszöget akarsz beleírni a körbe. hétszög, akkor már csak fel kell venni a kör 7 tetszőleges pontját A, B, C ... (245. ábra), és ezeket egyenesekkel összekötni.

Ha egy négyszöget akarsz leírni a kör körül, akkor vegyél fel 4 pontot a körre, és rajzolj érintőket ezekbe a pontokba; érintők metszéspontjából és képződik le van írva. négyszeres. (fekete 246).

167. Most tegyük a jogok körébe azt, amit be kell írni. sokszögű, pl. Pentagon. Ehhez a kört 5 egyenlő részre kell osztani; teljes kerület = 360 °, következő az ötödikben 72 ° lesz; ezért a kör középpontjában (fekete. 247) konstruálunk a szögmérő mentén év. 72 °, és elhalasztjuk az AB húrt a kerület mentén; pontosan 5-ször fog elférni, majd 5-k keletkezik.

Helyes lesz, mert minden oldala egyenlő egymással; a szögek is egyenlők, hiszen mindegyiket a kör háromötödének felével mérjük, majd. 108°-ot tartalmaz.

Ha szükséges volt a jogok megadása. 9-to, akkor a kört 9 egyenlő részre kellene osztani, i.e. y középpontjába épít. 40°-on; 20-ke-nél y-t kell megszerkeszteni. 18°-on stb.

Tegyük be a jogokat is. 7-k;
a kerület hetedik része = 360/7 = 51 3/7 = 51 ° 25 "42 6/7". A szögmérőn nem csak a másodpercek, hanem a percek sincsenek jelölve; ezért egy ilyen szöget nem lehet biztosan elhalasztani - késedelem nélkül elhalasztjuk vagy többet, vagy kevesebbet; ezért az utolsó oldal sok dolog. vagy kevesebb vagy több jön ki, mint a többi oldal.

Sokkal pontosabb a helyes sokszögek felírása trantor segítsége nélkül, de csak körzővel és vonalzóval; de így például csak néhány sokszög adható meg. négyzet, 6-k.

168. Négyzet körbe írásához el kell választani a kört. 4 egyenlő rész; és ehhez szükséges (fekete. 248) két merőleges átmérőt rajzolni;

ha a végeiket összekötjük, négyzetet kapunk, mert minden oldala egyenlő egymással, mint az egyenlő íveket húzó húrok; minden szög egyenes, mintha egy körön van egy csúcs, és az átmérő végein nyugszik.

169. Beilleszkedni a jogok körébe. hatszögletű., a kerület bármely pontjáról félretéve. (fekete 249) húr AB = sugár; akkor az AO és AO sugarait megrajzolva egyenlő oldalú tr-t kapunk AOB-hoz; következő. y. ABO = 60 °, és az AB ív a kerület hatodik része lesz; és ezért az AB húr a kerület mentén lerakódik. pontosan 6 alkalommal.

170. A jogokba való belépés lehetősége. 6-k, könnyű belépni és helyes. tr-k. Ehhez először 6 egyenlő részre kell osztani a kört (250. ábra) a B, A, C pontokban, majd össze kell kötni az A, C és E pontokat; megkapjuk a helyes tr- ACE-t, mert oldalai egyenlőek, mivel mindegyik megfelel egy ívnek, amely a kör 1/3-a.

171. A következő sao-val mindenki kellő pontossággal beírható a körbe. sok dolog. Beírni pl. diszpozíció. 9-k, rajzoljon körbe (fekete 251) átm. AB;

napéjegyenlőséget építünk az AB-re. tr-az ABC-hez; AB-t 9 egyenlő részre osztjuk; a tr-ka С csúcsát összekötjük a D osztás második pontjával, és a СD egyenest addig folytatjuk, amíg az nem metszi a kört. E-ben; az AE húr 9-szer kerül rá a kerületre.

Ha szükséges volt a jogok megadása. 5-k, akkor az átmérőt 5 egyenlő részre kellene osztani (fekete 252); 7-re 7 részre (fekete 253) stb.

172. Ha valakinek igaza van. sok dolog. körbe van írva, akkor megduplázhatja az mn-ka oldalainak számát, azaz. írj ilyen jogot. sok, aminek kétszer annyi oldala lenne.

Legyen pl. ABCDEG-nek (fekete 254) lesz igaza. 6-k; hagyjuk ki a merőlegeseket az O középpontból az mn minden oldalára; akkor az AB, BC ... íveket felezzük; az osztási pontokat a 6 csúcsaival összekötve megkapjuk a jogokat. 12 szobás A merőleges elhagyásával. ennek a 12-nek az oldalára írjuk a jogokat. 24-k, majd 48-k stb.

Így egy iránytű és egy vonalzó segítségével felírhatjuk a helyes 6-okat, 12-ket, 24-eket ..., valamint négyzeteket, 8-asokat, 16-okat ...

173. Az oldalak számának növekedésével be van írva. sokszögű., az oldalak egyre kisebbek lesznek, és a mn-ka kerülete egyre inkább a környezetbe kerül, így a kört az ilyen jogok kerületén kívül lehet tekinteni. mn-ka, aminek rendkívül sok oldala van.

174. Ha helyesen írod a körbe. polig., könnyű leírni a jogokat. sok dolog. ugyanannyi párt.

Legyen pl. Az ABCDE-nek (fekete 255) lesz igaza. 5-k; ejtse le a merőlegeseket az mn középpontjából az oldalaira, és rajzoljon érintőket az M, N .. pontokon keresztül; akkor helyesnek bizonyul. által leírt 5-k.

Lehetőség van arra is (256. ábra), hogy a beírt sokszög csúcsain keresztül érintőket húzzunk.

175. Fontolja meg, hogy egy kör milyen alakzatokat írhat le. Azt már tudjuk (143. §), hogy egy kört mindig meg lehet húzni három olyan ponton, amely nem egy egyenesen fekszik; következő. egy kör bármely háromszög körül leírható.

Vegyünk most egy négyeset. ABCD (fekete 257). Hajtsunk végre egy kört. három A, B, C ponton keresztül (ezt már tudjuk, hogyan kell csinálni); okrug ez is átmehet a D ponton, de lehet, hogy nem. Ha áthalad a D-n, akkor y. D annyi fokot tartalmaz, amennyit az ABC ív 1/2-a tartalmaz; és mivel y. B az ADC ív 1/2-ét mérjük, az ABC és ADC ívek együtt alkotják a teljes kerületet, majd a D és B szögek összeadódnak 180°-kal; hanem az összes ang összege. négyszög = 360 °, következő és A + C == 180°.

Így, kör csak olyan négyszög körül írható le, amelyben a szemközti szögek összege = 180 °.Így egy téglalap körül kört írhatunk le, de egy ferde paralelogrammát nem.

176. Nagyjából mindenkinek igaza van. sok dolog. le tudnál írni egy kört... Legyen igaza az ABCDEF (fekete. 258). sokszögű; benne találhat egy pontot, amely egyenlő távolságra lesz minden csúcsától.

Ehhez osszuk ketté az A és B sarkokat AO és BO egyenesekkel; ezeknek az egyeneseknek a metszéspontja lesz a kívánt. Bizonyítsuk be, hogy az AO, BO, CO, DO ... egyenesek egyenlőek egymással.

Treug. ABO = OBC, mert van egy közös oldaluk a VO-ban, AB = BC, ahogy a feleknek igazuk van. mn-ka, y. T = y. NS mint a B szög fele; ded. és AO-vonal = CO; de AO = VO, mert a tr-to AVO egyenlőszárú, mivel y. T = y. R mint fél egyenlő szögek; ezután mindhárom egyenes AO, BO, CO egyenlő egymással. Összehasonlítva a BOC és COD sávokat, azt találjuk, hogy BO = CO = OD ...; következő. ha O-ból OA, vagy BO, vagy OC sugarú ... ír le egy kört, akkor az átmegy a sokszög összes sarkának csúcsán.

177. Ha nagyjából helyes. mn-ka (fekete. 259) egy kör van leírva, majd az AB, BC oldalak ... ez az mn-ka akkordok lesz a körben;

de egyenlő akkordok egyenlő távolságra vannak a középponttól; következő. az O középpontból az mn-ka oldalaira süllyesztett ОМ, ОN .. merőlegesek egyenlőek lesznek egymással, és ha O-ból OM vagy ON .. sugarú kört írunk le, akkor az összeset érinti az mn-ka oldalai az M, N pontokban ... Ilyen kört nevezünk. felírva, sugarát pedig ún. apothemoy nagyon.

Így, minden szempontból helyes. sok dolog. írhatsz egy kört.

Így az n-ka körül leírt és beírt körök középpontja az n-ka két szögét kettéosztó egyenesek metszéspontja lesz; sugár van leírva. a kör egy vonal lesz, amely összeköti a középpontot az mn egyik sarkának tetejével; és a sugár be van írva. kör vagy apothemoy - a középpontból az egyik oldalra süllyesztett merőleges. A beírt és körülírt körök középpontját ún. a helyes mn-ka középpontja is.

178. Kérdések. 1) Hogy hívják a sokakat. körbe írva? leírva? 2) Írjunk be egy körbe bármilyen mn-k-t? leírni? 3) Hogyan illeszkedjünk egy körbe valamilyen szögmérő segítségével. mn-to? 4) Hogyan írjunk be egy négyzetet egy körbe körző és vonalzó segítségével? jobb. 6-tól? 5) Ha igaza van. Az mn-k egy körbe van írva, akkor hogyan kell helyesen írni. mn-k, amelynek kétszer annyi oldala van? 6) Ha igaza van. Az mn-k körbe van írva, akkor hogyan írjuk le a jogokat. mn-ugyanannyi oldalra? 7) Mi történik a jogok kerületével. felírva. mn-ka oldalai számának növekedésével? 8) Mindig leírható egy kör egy pálya körül? 9) Bizonyítsd be, hogy nagyjából mindenkinek igaza van. le tudnál írni és bele lehet írni egy kört? 10) Lehet-e paralelogrammát körbe írni? trapéz alakú? 11) Mi történik a jogok kerületével. leírta. mn-ka oldalai számának növekedésével?

179. Feladatok. 1) Illessze körbe a 4-k-t? 8-tól? 10-től? 15-től?

2) Írd le a 4-k-t a kör körül? 7-től? 3-tól? 5-től?

3) Illessze be a körbe a transzp. jobb. 10 hüvelykes? 15-től? 20-k?

4) Illeszkedj a körbe egy iránytű és egy vonalzó segítségével. 8-tól?

5) Írja le a kört közlekedési eszközzel! jobb. 5-től? 9-től? 10-től?

6) Írja le a kört körző és vonalzó segítségével! 3-tól? 6-tól? négyzet? 12-től?

7) Egy kör van leírva a pálya közelében, és a középpontja a pályán belül van; milyen fajta ez a tr-k? Milyen tr-k nézne ki, ha a középpont a tr-k oldalán lenne? tr-kán kívül?

8) Rajzolja le az ilyen jogokat szögmérővel. 5-k, 8-k, 10-k úgy, hogy a körülötte leírt kör sugara = egyenesek T ?

9) Rajzolja le az ilyen jogokat szögmérővel. 5-k, hogy az apotémje egyenlő legyen ezzel az egyenessel?

10) Ezen az egyenesen építse meg a megfelelő 5-k-t szögmérővel? 8-tól? 10-től?

11) Egy akkordot húzunk a körbe; a végeiből a merőlegeseket visszaállítják a körhöz; a találkozási pontokat egyenes köti össze; Milyen négyszöget kaptál?

12) Örülök. kör = 3,6 hüvelyk; mekkora a leírt négyzet kerülete?

13) Bizonyítsuk be, hogy a körbe írt szabályos egyenes oldala e kör középpontjától a sugarának fele távolságra van?

14) 4-k van beírva a körbe; csúcsai a kört 4:7:5:11 arányú részekre osztják; határozza meg a 4-ka szögeit?

15) A jobb oldal a körbe van írva. tr-k, és oldala 7 1/2 hüvelyk távolságra van egymástól. ennek a körnek a közepétől; határozza meg a kör sugarát?

16) Bizonyítsd be, hogy mindenkinek a belső sarka igaz. Az Mn-ka 180°-ig kiegészíti azt a szöget, amely ennek az mn-ka-nak a két szomszédos csúcsának a középpontjával való összekapcsolásából adódik?

17) Bizonyítsuk be, hogy ha az AB húr (fekete. 260) = az O kör sugara, és AO a jobb oldala. belépett 10, akkor a B pontot a C-vel összekötve megkapjuk a jogok oldalát. belépett 15.

Adott egyenesen a építeni iránytű és vonalzó segítségével: 18) jobbra. tr-k? 19) négyzet? 20) igaz. 6-tól? 21) igaz. 8-tól? 22) igaz. 12-től?

Iránytű és vonalzó segítségével alkossunk: 23) négyzetet raddal. r a leírt kör? 24) apotém tér a ? 25) igaz. 6-k örülni. r leírni. kör? 26) igaz. 6-k apothem szerint a ? 27) igaz. 3-k örülni. r leírni. kör? 28) igaz. 3-k apothem szerint a ?

29) Tartalmaz egy kört ebbe a rombuszba?

30) Írj le egy kört egy téglalap körül?

31) A tr-k a körbe van írva; egyik oldala az átmérő, a másik két húzóív, amelyek aránya 15:17; határozza meg a tr-ka szögeit?

A sokszöget konvex görbébe írtnak, a sokszög körül körülírt görbét pedig akkor nevezzük, ha a sokszög minden csúcsa a görbén fekszik (1. ábra). A sokszöget konvex görbe körül körülírtnak nevezzük, a görbét pedig sokszögbe írtnak nevezzük, ha annak minden oldala érinti a görbét. Ha a görbe minden olyan egyenest érint, amelyen a sokszög oldalai fekszenek, és ezek egy részét olyan pontokban érinti, amelyek nem tartoznak az oldalakhoz, akkor zártnak nevezzük. A kört leggyakrabban görbének tekintik. Így például minden háromszögnek van egy körülírt köre, egy beírt és három kizárt (2. ábra).

De nem minden négyszögnek van beírt vagy körülírt köre. A négyszög köré körülírt kör csak akkor létezik, ha szemközti szögeinek összege 180°. És ahhoz, hogy egy kör négyszögbe legyen írva, szükséges és elegendő, hogy az egyik szemközti oldalpár hosszának minden összege egyenlő legyen a második oldalpár hosszának összegével.

A beírt és körülírt körök minden szabályos sokszögre léteznek (3. ábra). Ezt a tényt az ókorban használták a kör kerületének és sugarának arányának meghatározására.

Könnyen megállapítható, hogy ha a síkon adott egy zárt görbe és egy egyenlő oldalú háromszög, akkor egy egyenlő oldalú háromszög minden esetben körülírható, párhuzamos oldalak adott (4. ábra). Kevésbé nyilvánvaló az az állítás, hogy egy négyzet bármely zárt görbe körül leírható.

A beírt és leírt ábrákat térben is nézzük.

Ebben az esetben sokszög helyett poliédert, konvex vonal helyett konvex felületet, leggyakrabban gömböt veszünk figyelembe.

A gömböt poliéder körül körülírtnak, a poliédert pedig gömbbe írtnak nevezzük, ha a poliéder összes csúcsa a gömbön fekszik. A gömböt poliéderbe írtnak nevezzük, a poliédert pedig gömb körül körülírtnak, ha minden lapjának síkja érinti a gömböt.

A szabályos poliéderek körülírt és beírt gömbökkel rendelkeznek, mivel a szabályos poliéder csúcsai egyenlő távolságra vannak a középpontjától (5. ábra). Ahhoz, hogy más poliédereknek legyen körülírt és beírt gömbje, bizonyos feltételek szükségesek. Például egy gömb leírható egy egyenes prizma vagy gúla közelében, ha lehetséges egy kör leírása az alapja körül (6. ábra).

Néha egy gömbbe írt kúpot tekintenek; kúpba, hengerbe stb. írt gömb. (7. ábra).

Arkhimédész sírkövén a tudós hagyatékában egy hengert ábrázoltak egy feliratos golyóval, a sírfelirat pedig legnagyobb felfedezés Archimedes szerint ezeknek a testeknek a térfogata 3:2 arányban van. Amikor a római szónok és közéleti személyiség Cicero, aki az I. században élt. időszámításunk előtt e., Szicíliában volt, még mindig látta ezt az emlékművet bokrokkal és tövisekkel benőtt labdával és hengerrel.

Bele általános vázlat képzeld el, mi az a kör, vess egy pillantást egy gyűrűre vagy karikára. Foghatsz egy kerek poharat és csészét is, fejjel lefelé helyezheted egy papírra, és körbeírhatod egy ceruzával. Többszörös nagyításnál a kapott vonal vastag és egyenetlen lesz, szélei pedig elmosódnak. A körnek mint geometriai alakzatnak nincs olyan jellemzője, mint a vastagság.

Kör: meghatározás és a leírás alapvető eszközei

A kör egy zárt görbe, amely sok, ugyanabban a síkban elhelyezkedő és a kör középpontjától egyenlő távolságra lévő pontból áll. Ebben az esetben a középpont ugyanabban a síkban van. Általában O betűvel jelölik.

A kör bármely pontja és a középpont közötti távolságot sugárnak nevezzük, és R betűvel jelöljük.

Ha a kör bármely két pontját összekötjük, akkor a kapott szakaszt akkordnak nevezzük. A kör közepén áthaladó húr a D betűvel jelölt átmérő. Az átmérő a kört két egyenlő ívre osztja, és a sugár hossza kétszerese. Tehát D = 2R vagy R = D / 2.

Akkord tulajdonságai

1. Ha a kör bármely két pontján keresztül húzunk egy húrt, majd az utóbbira merőlegesen - a sugarat vagy az átmérőt, akkor ez a szegmens mind a húrt, mind az általa levágott ívet két egyenlő részre osztja. Ez fordítva is igaz: ha a sugár (átmérő) kettéosztja a húrt, akkor az merőleges rá.
2. Ha ugyanabban a körben két párhuzamos húrt húzunk, akkor az általuk levágott ívek, valamint a közéjük zárt ívek egyenlőek lesznek.
3. Rajzoljunk két PR és QS húrt, amelyek a körön belül a T pontban metszik egymást. Az egyik húr szakaszainak szorzata mindig egyenlő lesz a másik húr szakaszainak szorzatával, azaz PT x TR = QT x TS.

Kerület: általános fogalom és alapképletek

Az egyik alapvető jellemzői adott geometriai alakzat a kerülete. A képlet olyan értékekből származik, mint a sugár, az átmérő és a "π" állandó, amely tükrözi a kör kerülete és az átmérő arányának állandóságát.

Így L = πD, vagy L = 2πR, ahol L a kerület, D az átmérő, R a sugár.

Egy adott kerület mentén a sugár vagy átmérő megkeresésekor a kör kerületének képletét tekinthetjük kezdeti képletnek: D = L / π, R = L / 2π.

Mi a kör: alapvető posztulátumok

• nincsenek közös pontjaik;
• van egy közös pontja, míg az egyenest érintőnek nevezzük: ha a sugarat a középponton és az érintőponton keresztül húzzuk, akkor az merőleges lesz az érintőre;
• két közös pontja van, míg az egyenest szekánsnak nevezzük.

2. Három tetszőleges, egy síkban fekvő ponton keresztül legfeljebb egy kör rajzolható.

3. Két kör csak egy pontban érintkezhet, amely a körök középpontját összekötő szakaszon található.

4. A középpont körüli tetszőleges fordulatnál a kör önmagába megy.

5. Mi a kör a szimmetria szempontjából?

• a vonal azonos görbülete bármely pontban;
• az O ponthoz képest;
• tükörszimmetria az átmérőhöz képest.

6. Ha két tetszőleges beírt szöget állítunk össze ugyanazon körív alapján, akkor azok egyenlőek lesznek. A felével egyenlő, azaz egy húrátmérővel levágott íven befekvő szög mindig 90°.

7. Ha azonos hosszúságú zárt görbe vonalakat hasonlítunk össze, akkor kiderül, hogy a kör a legnagyobb területű sík metszetét határolja.

Háromszögbe írt és körülírt kör

A kör fogalma hiányos lesz a háromszögekkel való kapcsolat jellemzőinek leírása nélkül.

1. Háromszögbe írt kör megalkotásakor a középpontja mindig egybeesik a háromszög metszéspontjával.
2. A háromszögre körülírt kör középpontja a háromszög mindkét oldalának középső merőlegeseinek metszéspontjában található.
3. Ha egy kört ír le, akkor a középpontja a hipotenusz közepén lesz, vagyis az utóbbi lesz az átmérő.
4. A beírt és körülírt körök középpontja ugyanabban a pontban lesz, ha az építkezés alapja

Alapvető állítások körökről és négyszögekről

1. Egy konvex négyszög körül egy kör csak akkor írható le, ha ellentétének összege belső sarkok egyenlő 180°-kal.
2. Konvex négyszögbe írt kör megalkotása akkor lehetséges, ha a szemközti oldalainak hosszának összege megegyezik.
3. Leírhat egy kört egy paralelogramma körül, ha a sarkai helyesek.
4. A paralelogrammába akkor írhatunk kört, ha minden oldala egyenlő, azaz rombusz.
5. A trapéz sarkain keresztül csak akkor lehet kört megszerkeszteni, ha az egyenlő szárú. Ebben az esetben a körülírt kör középpontja a négyszög és az oldalsó oldalra húzott medián merőleges metszéspontjában lesz.