Összes sorozat. Számsoros online számológép megoldással

A számsorozat egyfajta sorozat, amelyet egy másik sorozattal együtt tekintünk (ezt részösszegek sorozatának is nevezik). Hasonló fogalmakat használnak a matematikai és a komplex elemzésben.

Egy numerikus sorozat összege egyszerűen kiszámítható az Excelben a SERIES.SUMM függvény segítségével. Nézzünk egy példát ennek a függvénynek a működésére, majd készítsük el a függvények grafikonját. Megtanuljuk a számsorok gyakorlati alkalmazását a tőkenövekedés kiszámításakor. De először egy kis elmélet.

Egy számsor összege

A számsorok a számokhoz való közelítések rendszerének tekinthetők. Megnevezéséhez a következő képletet használják:

Ez mutatja a sorozat kezdeti számsorát és az összegzési szabályt:

• ∑ - az összeg matematikai jele;
• a i - általános érv;
• i - egy változó, egy szabály az egyes következő argumentumok megváltoztatására;
• ∞ a végtelen jele, az a „határ”, ameddig az összegzés történik.

A rekord azt jelenti: a természetes számokat 1-től a "plusz végtelenig" összegzik. Mivel i = 1, így az összeg kiszámítása egyről indul. Ha lenne itt egy másik szám (például 2, 3), akkor azzal kezdenénk az összegzést (2, 3-mal).

Az i változónak megfelelően a sort kihajtva írhatjuk:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (a „plusz végtelenig”).

Egy numerikus sorozat összegének meghatározása a "részösszegeken" keresztül történik. A matematikában Sn-vel jelölik őket. Írjuk ki számsorainkat részösszegek formájában:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Egy számsor összege az S n részösszegek határa. Ha a határ véges, akkor "konvergáló" sorozatról beszélünk. Végtelen – a „divergens”-ről.

Először megtaláljuk a számsorok összegét:

Most készítsük el a sorozat tagjainak értéktáblázatát Excelben:

Az általános első argumentumot a képletből vesszük: i = 3.

Az i összes következő értéke a következő képlettel található: = B4 + $ B $ 1. Helyezzük a kurzort a B5 cella jobb alsó sarkába, és megszorozzuk a képletet.

Keressük az értékeket. Aktiváljuk a C4 cellát, és beírjuk a következő képletet: = SUM (2 * B4 + 1). Másolja a C4 cellát a megadott tartományba.

Az argumentumok összegének értékét a következő függvény segítségével kapjuk meg: = SZUM (C4: C11). Az ALT + "+" gyorsbillentyűk kombinációja (plusz a billentyűzeten).



ROW.SUMM függvény az Excelben

Egy numerikus sorozat összegének megtalálásához az Excelben a SERIES.SUMM matematikai függvényt használjuk. A program a következő képletet használja:

A függvény argumentumai:

• x a változó értéke;
• n az első argumentum foka;
• m az a lépés, amellyel a fok minden következő tag esetében növekszik;
• a az x megfelelő hatványaihoz tartozó együtthatók.

A funkció működésének fontos feltételei:

• minden argumentum kötelező (vagyis mindet ki kell tölteni);
• minden argumentum NUMERIC érték;
• az együtthatók vektorának fix hosszúsága van (a "végtelen" határértéke nem működik);
• "együtthatók" száma = argumentumok száma.

Sorozat összegének kiszámítása Excelben

Ugyanez a SERIES.SUMM funkció működik teljesítménysorokkal (a funkcionális sorozatok egyik opciója). A numerikus argumentumokkal ellentétben ezek argumentumai függvények.

A funkcionális sorozatokat gyakran használják a pénzügyi és gazdasági szférában. Elmondhatjuk, hogy ez az alkalmazási területük.

Például behelyez egy bankba egy bizonyos összeget (a) egy bizonyos időszakra (n). Éves befizetésünk x százalék. Az első időszak végén felhalmozott összeg kiszámításához a következő képletet kell használni:

S 1 = a (1 + x).

A második és az azt követő időszak végén a kifejezések formája a következő:

S2=a(1+x)2; S 3 = a (1 + x) 2 stb.

A teljes összeg megkereséséhez:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 +… + a (1 + x) n

Az Excel részösszegeit a BS () függvény segítségével találhatja meg.

A képzési probléma kezdeti paraméterei:

A szabványos matematikai függvény segítségével megtaláljuk a felhalmozott összeget a kifejezés összegének végén. Ehhez használja a D2 cellában a következő képletet: = B2 * DEGREE (1 + B3; 4)

Most a D3 cellában ugyanazt a problémát oldjuk meg a beépített Excel függvény segítségével: = BS (B3; B1 ;; - B2)

Az eredmények ugyanazok, mint kellene.

A BS () függvény argumentumainak kitöltése:

1. "Kamatláb" - az a kamatláb, amelyen a betétet regisztrálják. Mivel a százalékos formátum a B3 cellában van beállítva, egyszerűen megadtunk egy hivatkozást erre a cellára az argumentummezőben. Ha szám szerepelne, akkor annak századik részét (20/100) írnák elő.
2. Az „Nper” a kamatfizetési időszakok száma. Példánkban ez 4 év.
3. "Plt" - időszakos kifizetések. A mi esetünkben nem azok. Ezért nem töltjük ki az argumentum mezőt.
4. "Ps" - "jelenérték", a hozzájárulás összege. Mivel ettől a pénztől megválunk egy időre, a paramétert "-" jellel jelöljük.

Így a BS függvény segített megtalálni a függvénysorok összegét.

Az Excel más beépített funkciókkal is rendelkezik a különböző paraméterek megtalálásához. Általában ezek a befektetési projektekkel, értékpapírokkal és értékcsökkenési kifizetésekkel kapcsolatos funkciók.

Számsorok összegének ábrázolási függvényei

Készítsünk függvénygrafikont, amely tükrözi a tőke növekedését. Ehhez meg kell ábrázolnunk azt a függvényt, amely a megszerkesztett sorozat összege. Példaként vegyük ugyanazokat az adatokat a betétről:

Az első sor az egy év után felhalmozott összeget mutatja. A másodikban - kettőben. Stb.

Készítsünk még egy oszlopot, amelyben a nyereséget tükrözzük:

Ahogy gondoltuk - a képletsávban.

A kapott adatok alapján függvénygrafikont készítünk.

Válasszunk ki 2 tartományt: A5: A9 és C5: C9. Lépjen a "Beszúrás" fülre - "Diagramok" eszköz. Kiválasztjuk az első grafikont:

Tegyük még „alkalmazottabbá” a feladatot. A példában kamatos kamatot használtunk. Az előző időszakban felhalmozott összeget terhelik.

Vegyünk egyszerű százalékokat összehasonlításképpen. Excel egyszerű kamatképlete: = B $ 2 * (1 + A6 * B6)

Adjuk hozzá a kapott értékeket a tőkenövekedési diagramhoz.

Nyilvánvaló, hogy a befektető milyen következtetéseket von le.

Egy funkcionális sorozat részösszegének matematikai képlete (egyszerű százalékokkal): S n = a (1 + x * n), ahol a a betét kezdeti összege, x a kamat, n a periódus.

Alapfogalmak és definíciók

Legyen adott egy végtelen számsor:

, … (1.1)

Tavaly definiáltunk egy számsorozatot egy természetes argumentum függvényeként. Ez azt jelenti, hogy a sorozat minden tagja a szám függvénye NS: ... A következőkben időnként megfontoljuk és NS, egyenlő nullával, ezért a numerikus sorozat függvényként lesz definiálva egész szám argumentum (az "egész" szavakból).

1. definíció. Kifejezés

(1.2)

hívott végtelen számsorozat vagy röviden, Közeli... Sorozat tagjai , ... hívják egy szám tagjai; alsó index kifejezés NS- több közös tagja.

A sorozat és a sorozat megkülönböztetése egyszerű: a sorozat tagjait vesszővel elválasztva írjuk, a sorozat tagjait pluszjelek kötik össze.

Így a sorozat fogalma az összegzés általánosítása végtelen számú tag esetére.

Egy sorozat adottnak tekinthető, ha ismert (adott) általános tagjának képlete. Az (1.2) sorozat közös tagja egybeesik az (1.1) sorozat közös tagjával, és az egész argumentum függvénye is n, azaz ... Például, ha egy gyakori kifejezést adunk meg az űrlapon

, (1.3)

majd beállítva ebben a képletben n= 1, 2, 3, ..., a sorozat bármely tagját megtalálhatja, így az egész sorozatot:

- egy sorozat tagjai vagy egy sorozat tagjai,

(1.4)

Számsorozat.

Meghatározás.Összeg n a sorozat első tagjai ún n-Ó a sorozat részösszegeés a következő szimbólum jelzi:

Ezt így lehet írni: .

Különösen,

Állítsunk össze egy numerikus sorozatot az (1.2) sorozat összes részösszegéből:

(1.7)

Ez az úgynevezett részösszegek sorozata. Mint minden numerikus sorozatnak, ennek is lehet határa, pl. konvergálnak, vagy nincs határuk, pl. eltér. A részösszegek sorozatának határát, ha létezik, betűvel jelöljük S.

Meghatározás. A sort hívják összetartó(sor konvergál) ha ennek a sorozatnak a részösszegeinek sorozata konvergál. Ráadásul a határ S részösszegek sorozatát nevezzük ennek a sorozatnak az összege, azaz

. (1.8)

Az összeggel konvergáló sorozathoz S, formálisan leírhatjuk az egyenlőséget:

Az (1.8) összeggel nem rendelkező sorozatot hívjuk divergens... Különösen, ha , akkor azt mondják, hogy a sorozat eltér, és ebben az esetben használja a szimbolikus egyenlőséget

.

Megjegyzés. Az (1.6) egyenlőségből az következik, hogy a sorozat bármely tagja ábrázolható a részösszegek és:

. (1.10)

Ábrázoljuk geometriailag részösszegek sorozatát. Az 1.1. ábrán a és b sorozatok konvergálnak, az 1.1. ábrán c - divergál.

a) b)

1.1. ábra

3. megjegyzés. Néha egy sorozat tagjának száma nullával kezdődik: .

Példák numerikus sorozatokra. Egy sorozat összegének kiszámítása

1. példaº.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Itt , .

Ez a sorozat Þ 1 + 1 + 1 +. ... ... + 1 +. ... = + ¥.

2. példaº .

Szokás szerint a + és - jelek váltakozását a (-1) kitevő segítségével adjuk meg. Itt a részösszegek sorrendje a következő:

azok. a részösszeg értéke a szám paritásától függ NS:

Így a páros és páratlan részösszegeknek két különböző határértéke van:

páros nullához, páratlan egyhez:

1.2. ábra

Ebből következően a sorozatnak nincs határa, és az adott sorozat eltér.

3. példaº .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Ez egy különbséggel rendelkező aritmetikai sorozat. Emlékezzünk vissza, hogy az „aritmetika” elnevezés onnan ered, hogy ennek a progressziónak minden tagja a másodiktól kezdve egyenlő számtani átlaga szomszédos tagok:

.

Ebben a progresszióban , és a részösszegek sorrendje a következő:

6. példa.

.

A kimenetet alább közöljük. Csak páratlan számok vannak a nevezőben.

7. példa.

... A kimenetet alább közöljük.

8. példa.

A kimenetet alább közöljük. A sorozat összege egyenlő a számmal e- a természetes logaritmus alapja.

Nem mindig könnyű kiszámítani a sorozatok összegét, és nem is mindig lehetséges. Ezért a sorozatelméletben gyakran megoldanak egy egyszerűbb problémát - annak megállapítását, hogy egy sorozat konvergál-e vagy divergál. Ez az úgynevezett a sorozatok konvergenciájának vizsgálata.

Legyen adott egy R 1, R 2, R 3,…, R n,… számsorozat. Az R 1 + R 2 + R 3 + ... + R n + ... kifejezést nevezzük végtelen oldal, vagy egyszerűen Közeli, és az R 1, R 2, R 3, ... számok - egy szám tagjai... Ebben az esetben azt jelentik, hogy a sorozat összegének felhalmozódása az első tagjaival kezdődik. Az S n = összeget nevezzük részösszeg számos: n = 1 esetén - az első részösszeg, n = 2 esetén - a második részösszeg, és így tovább.

Hívott sorozat konvergál ha a sorozat a részleges az összegeknek van határa, és divergens- másképp. A sorozat összegének fogalma kibővíthető, és akkor egyes eltérő sorozatoknak is lesznek összegei. Pontosan kiterjedt megértés összegeket számos algoritmusok kidolgozásánál fogjuk használni a feladat következő megfogalmazására: az összeg felhalmozását addig kell végezni, amíg a sorozat következő abszolút értékű tagja nem nagyobb, mint a megadott ε érték.

Általánosságban elmondható, hogy a sorozat tagjainak egy része vagy egy része kifejezésekkel adható meg a sorozat tagjának számától és a változóktól függően. Például,

Ekkor felmerül a kérdés, hogyan lehet minimalizálni a számítási mennyiséget – a sorozat következő tagjának értékét kiszámítani a sorozat tagjának általános képlete(az adott példában az összeg előjele alatti kifejezés jelöli), az ismétlődő képlet szerint (kimenetét az alábbiakban mutatjuk be), vagy csak a sorozat egy tagjának kifejezésének részeihez használjon ismétlődő képleteket (lásd lent) .

Egy sorozat tagjának számítására szolgáló ismétlődő képlet levezetése

Meg kell találni egy R 1, R 2, R 3, ... számsort, szekvenciálisan kiszámítva azokat a képletekkel

,
, …,

A számítások csökkentése érdekében ebben az esetben kényelmes a használata visszatérő képlet abból a fajtából
, amely lehetővé teszi az R N érték kiszámítását N> 1 esetén az R N-1 sorozat előző tagjának értékének ismeretében, ahol
- az a kifejezés, amelyet az N-re vonatkozó (3.1) képletben szereplő kifejezés és az N-1 kifejezés kapcsolatának egyszerűsítése után kaphatunk:

Így az ismétlődő képlet alakot ölt
.

A sorozatban szereplő kifejezés általános képletének (3.1) és a (3.2) ismétlődő képletnek az összehasonlításából látható, hogy az ismétlődő képlet nagyban leegyszerűsíti a számításokat. N = 2, 3 és 4 esetén alkalmazzuk ennek ismeretében
:

Egy sorozat tagja értékének kiszámításának módjai

Egy sorozat tagjának értékének kiszámításához, annak típusától függően, célszerű lehet a sorozat valamely tagjának általános képletét, vagy egy ismétlődő képletet használni, ill. vegyes módszer egy sorozat tagjának értékének kiszámítására, amikor egy sortag egy vagy több részére rekurzív képleteket használunk, majd ezek értékeit behelyettesítjük a sorozattag általános képletébe. Például - egy sorozat esetében könnyebb kiszámítani a sorozat egy tagjának értékét
általános képlete szerint
(összehasonlít
- ismétlődő képlet); - egy számra
jobb az ismétlődő képletet használni
; - sorozat esetén vegyes módszert kell alkalmazni, az A N = X 3N kiszámítása az ismétlődő képlet segítségével
, N = 2, 3,… A 1 = 1 és B N = N esetén! - az ismétlődő képlet alapján is
, N = 2, 3, ... B 1 = 1 esetén, majd - a sorozat tagja
- az általános képlet szerint, amely alakot vesz fel
.

Példa 3.2.1 feladat végrehajtása

Értékelje ε pontossággal 0 o  X  45 o esetén

ismétlődő képlet segítségével egy sorozat tagjának kiszámításához:

,

a cos X függvény pontos értéke,

a közelítő érték abszolút és relatív hibái.

program Projekt1;

($ APPTYPE KONZOL)

K = Pi/180; // Fokról radiánra konvertáló tényező

Eps: kiterjesztett = 1E-8;

X: kiterjesztett = 15;

R, S, Y, D: kiterjesztett;

($ IFNDEF DBG) // A hibakereséshez nem használt operátorok

Írjon ("Adja meg a szükséges pontosságot:");

Write ("Adja meg a szögértéket fokban:");

D: = Sqr (K * X); // X-et radiánná és négyzetté alakítani

// Kezdő értékek beállítása változókhoz

// Cikk a sorozat tagjainak kiszámítására és összegük felhalmozására.

// Végrehajtás, amíg a következő sortag modulja nagyobb, mint az Eps.

míg az Abs (R)> Eps igen

ha N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn ("N =", N, "R =", R: 14: 11, "S =", S: 14: 11);

// A számítási eredmények kimenete:

WriteLn (N: 14, "= Elért lépések száma",

"meghatározott pontosság");

WriteLn (S: 14: 11, "= Hozzávetőleges függvényérték");

WriteLn (Cos (K * X): 14:11, "= A függvény pontos értéke");

WriteLn (Abs (Cos (K * X) -S): 14:11, "= Abszolút hiba");

WriteLn (Abs ((Cos (K * X) -S) / Cos (K * X)): 14:11,

"= Relatív hiba");

Mivel messze nem mindig lehetséges egy sorozat összegének pontos értékét kiszámítani (ilyen problémákat is figyelembe vettünk), a probléma egy sorozat összegének adott pontosságú közelítő kiszámításával adódik.

Emlékezzünk vissza, hogy a sorozat hátralévő része az eredeti sorozatból származik eldobva az elsőt feltételek:

Aztán, hiszen egy összefolyó sorozatnak
,

a konvergáló sorozat maradéka egyenlő az és a sorozat összege közötti különbséggel - részösszeg:

,

és elég nagynak közelítő egyenlőségünk van

.

A sorozat többi részének definíciójából az következik, hogy az abszolút hiba az összeg pontos ismeretlen értékének helyettesítésekor annak részösszege egyenlő a sorozat többi részének modulusával:

.

Így ha egy sorozat összegét szeretnénk adott pontossággal kiszámolni , akkor meg kell hagynia egy ilyen szám összegét úgy, hogy a sorozat elhagyott maradékára a következő egyenlőtlenség érvényesül:

.

Az összeg közelítő kiszámításának módszerét a sorozat típusától függően választják meg:

ha a sorozat pozitív és integrálkritériummal vizsgálható a konvergencia (eleget tesz a megfelelő tétel feltételeinek), akkor az összeg becslésére a képletet használjuk

;

ha ez egy Leibniz-sorozat, akkor a becslést alkalmazzuk:

.

Más feladatokban használhatja a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének képletét.

1. számú probléma. Hány kifejezést kell felvenni a sorozatból
hogy az összegét 0,01 pontossággal kapjuk meg.

Megoldás. Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ez a sorozat konvergál. Fontolgat -a sorozat maradéka, ami a sorozat összegének kiszámításánál a hiba:

Becsüljük meg ezt a sorozatot egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió segítségével. Ehhez minden kifejezésben cserélje ki a tényezőt tovább , és minden kifejezés növekedni fog:

Miután a közös tényezőt kivettük a zárójelből, a zárójelben egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjaiból összeállított sorozat volt, melynek összegét a képlettel számoltuk ki.

.

A megadott pontosság akkor érhető el, ha kielégíti a feltételt

.

Ezt figyelembe véve oldjuk meg az egyenlőtlenséget - egész.

Nál nél
nekünk van

.

Nál nél
nekünk van

.

A függvény monotonitása miatt
, egyenlőtlenség
mindenki számára előadják
.

Ezért, ha az összeg pontos értéke helyett az első öt (vagy több) tagot vesszük, akkor a számítási hiba nem haladja meg a 0,01-et.

Válasz:
.

2. számú probléma. Becsülje meg a sorozat összegének cseréjekor kapott hibát
az első 100 tag összege.

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ez a sorozat konvergens és váltakozó. Értékeljük a sorozatot
, amely az eredeti sorozat moduljaiból áll, ami azonnal növeli a számítási hibát. Ezen kívül (az összehasonlító funkció segítségével) egy nagyobb, egyszerűbb konvergáló sorozatra kell mennünk:

.

Fontolja meg a sorozatot ... Mivel ez a sorozat teljesíti a tétel feltételeit - a konvergencia integrált feltételét, akkor az összeg kiszámításának hibájának becsléséhez a megfelelő képletet használjuk:

.

Kiszámoljuk a nem megfelelő integrált:

képlettel becsülhető meg a számítási hiba

,

feltétel szerint
, azután.

Válasz:
.

3. számú probléma. Becsülje meg a sorozat összegének cseréjekor kapott hibát
az első 10 tag összege.

Megoldás. Még egyszer hangsúlyozzuk, hogy az összeg közelítő kiszámításának problémája csak konvergáló sorozat esetén van értelme, ezért mindenekelőtt megjegyezzük, hogy ez a sorozat konvergál. Mivel a vizsgált sorozat az előjel megváltoztatására vonatkozó összetett szabállyal váltakozik, az előző példához hasonlóan ennek a sorozatnak számos modulját ki kell értékelni:

.

Felhasználva azt a tényt
az argumentum bármely értékére a következőket kapjuk:

.

Becsüljük meg a sorozat többi részét:

.

Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjaiból összeállított sorozatot kaptunk, amelyben

,

összege egyenlő:

,

.

Válasz:
.

4-es számú probléma. Számítsa ki egy sorozat összegét
0,01 pontossággal.

Megoldás. Ez a sor a Leibniz-sor. A hiba becsléséhez a képlet helyes:

,

más szóval, a számítási hiba kisebb, mint az első elvetett tag modulusa. Kiválasztunk egy szobát szóval azt

.

Nál nél
nekünk van

.

Nál nél
nekünk van

.

Hiba
, ha az első négy tag összegét vesszük az összeg értékének:

Válasz:
.

A taghalmaz összegzésének problémáját a sorozatelmélet oldja meg.

ahol u 1, u 2, u 3 …., u n ... egy végtelen numerikus sorozat tagjai, ún numerikus sorozat.

A számok u 1, u 2, u 3 …., u n ... hívott egy szám tagjai, a u n a sorozat gyakori tagja.

A sorozat első tagjainak n véges számának összegét a sorozat n-edik részösszegének nevezzük.

S n = u 1 + u 2 +… + u n,

azok. S 1 = u 1; S 2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

Egy sorozatot konvergensnek nevezünk, ha az S n részösszegnek véges határa van n, vagyis

Szám S sorozat összegének nevezzük.

Másképp:

Ezután a sorozatot divergensnek nevezik.

Referencia sorozat.

1. Geometriai sorozat (geometriai progresszió)

Példa.

2. Harmonikus sorozatok.

3. Általánosított harmonikus sorozat.

Példa.

.

Pozitív sorozatok konvergenciájának jelei

1. Tétel. A konvergenciához szükséges kritérium.

Ezzel a funkcióval megállapíthatja a sorozatok divergenciáját.

Példa.

Elegendő jelek

1. Tétel A sorozatok összehasonlításának kritériuma.

Adjunk két pozitív jelsorozatot:

Sőt, ha a (2) sorozat konvergál, akkor az (1) sorozat is konvergál.

Ha az (1) sor eltér, akkor a (2) sor is eltér.

Példa. Vizsgáljuk meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

Hasonlítsuk össze ezt a sorozatot a geometriai sorozattal:

Következésképpen a keresett sorozatok az összehasonlítás alapján konvergálnak.

2. Tétel. A d'Alembert-próba.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

D'Alemberu alapján a sorozat konvergál.

3. tétel Cauchy-gyök kritérium.

3) ugyanis a konvergencia kérdése nyitva marad.

Példa: vizsgáljuk meg egy számsor konvergenciáját:

Megoldás:

Következésképpen a sorozat Cauchy-ban konvergál.

4. Tétel. Cauchy-integrál kritérium.

Hagyja, hogy a sorozat tagjai

pozitívak és nem növekednek, vagyis egy folytonos, nem növekvő függvény értékei f(x) nál nél x= 1, 2, …, n.

Ekkor ahhoz, hogy a sorozat konvergáljon, szükséges és elegendő, hogy a nem megfelelő integrál konvergáljon:

Példa.

Megoldás:

Következésképpen a sorozat divergál, mivel a nem megfelelő integrál eltér.

Váltakozó sorok. A váltakozó sorozatok abszolút és feltételes konvergenciájának fogalma.

A sort hívják váltakozó ha bármelyik tagja lehet pozitív és negatív is.

Fontolja meg a sorok váltakozását:

Tétel 1. Leibniz-próba (elégséges teszt).

Ha a váltakozó sor

kifejezések abszolút értékben csökkennek, azaz és

akkor a sorozat konvergál, és összege nem haladja meg az első tagot, azaz S ≤ .

Példa.

Megoldás:

Alkalmazzuk a Leibniz-jelet:

.

Következésképpen a sorozat Leibniz konvergens.

2. Tétel. Elegendő kritérium egy váltakozó sorozat konvergenciájához.

Ha egy váltakozó sorozatnál a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál, akkor ez a váltakozó sorozat konvergál.

Példa: vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából:

Megoldás:

az eredeti sorozat tagjainak abszolút értékéből egy általánosított harmonikus sorozatként konvergál.

Következésképpen az eredeti sorozat konvergál.

Ez a tulajdonság elegendő, de nem szükséges, vagyis vannak váltakozó sorozatok, amelyek konvergálnak, bár az abszolút értékekből álló sorozatok eltérnek.

1. definíció. teljesen konvergál, ha tagjainak abszolút értékeinek sorozata konvergál.

2. definíció. A váltakozó sorozat az ún feltételesen konvergáló, ha maga a sorozat konvergál, és a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat eltér.

A különbség közöttük az, hogy egy abszolút konvergáló sorozat annak következtében konvergál, hogy tagjai gyorsan csökkennek, a feltételesen konvergáló sorozat pedig azért, mert a pozitív és negatív tagok megsemmisítik egymást.

Példa.

Megoldás:

Alkalmazzuk a Leibniz-jelet:

Következésképpen a sorozat Leibniz konvergens. De a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat harmonikusként tér el egymástól.

Ez azt jelenti, hogy az eredeti sorozat feltételesen konvergál.