A rugalmas rúd hosszanti oszcillációinak egyenletének kimenete. A tudomány és az oktatás modern problémái

A magot a testnek nevezzük, amelynek egyik méretét a hosszirányúnak nevezik, jelentősen meghaladja a hosszirányú irányba merőleges sík méretét, azaz a hosszirányú irányra, azaz. Keresztméretek. A rúd fő tulajdonsága a hosszanti tömörítés (nyújtás) és hajlítás által biztosított ellenállás. Ez a tulajdonság radikálisan megkülönbözteti a rúdot a karakterláncból, amely nem feszül, és nem ellenáll a hajlításnak. Ha a rúd anyagának sűrűsége minden ponton megegyezik, akkor a rúdot homogénnek hívják.

Általában a kiterjesztett testeket rudaknak tekintik, zárt hengeres felületen korlátozva. Ebben az esetben a keresztmetszeti terület állandó marad. Megvizsgáljuk az ilyen homogén hosszúságú rúd viselkedését l., feltételezve, hogy csak a tömörítés vagy nyújtás, a torok törvényének engedelmeskedése. A kis hosszirányú deformációk tanulmányozásakor a rúd általában az úgynevezett lapos szakaszok hipotézise. Ez abban rejlik, hogy a keresztmetszetek, a rúd mentén történő tömörítés vagy nyújtás közben mozognak, egymással párhuzamosak maradnak.

A tengelyt irányítjuk x. A rúd hosszirányú tengelye mentén (19. ábra), és feltételezzük, hogy az idő kezdeti pillanatában a rúd végei pontokon vannak x \u003d 0.és x \u003d L.. Vegye ki a rúd tetszőleges keresztmetszetét a koordinátával x.. Kijelent u.(x., T.) E szakasz eltolódása az idő időpontjában t., akkor a keresztmetszet elmozdulása a koordinátával ugyanakkor egyenlő lesz

Ezután a rúd relatív megnyúlása a szakaszban x.egyenlő lesz

Ennek a megnyúlásnak a rezisztencia ereje a torok törvénye megegyezik

hol E. - a rúd anyagának rugalmasságának modulja (Jung modul), és S -keresztmetszeti terület. A rúd hosszúságain dX. Erők cselekednek rajta T X.és T x + dx a tengely mentén irányul x.. Az így létrejövő ereje egyenlő lesz

,

És a rúd figyelembe vett részének felgyorsulása egyenlő, akkor a rúd ezen részének mozgási egyenlete meg fogja nézni:

, (67)

hol ρ – a rúd anyagának sűrűsége. Ha ez a sűrűség és a Jung modul állandó, akkor beírhatja az értéket, és megoszthatja az egyenlet mindkét részét Sdx, végül kapjon hosszirányú oszcillációs egyenletkülső erők hiányában

(68)

Ez az egyenlet az űrlapon egybeesik a keresztirányú oszcilláció egyenlete és a döntési módszerek ugyanazok, mint az együttható a.ezek az egyenletek különböző értékeket jeleznek. A karakterlánc egyenletében az érték a 2. a számlálóban egy frakciót jelent, amelynek állandó ereje van a stringfeszültségnek - T., és a nevező lineáris sűrűsége ρ , és a karakterlánc egyenletében a számok a Jung modul, és a nevezőben - volumennya rúd anyagának sűrűsége ρ . Ezért a nagyság fizikai jelentése a.ezekben az egyenletekben eltérőek. Ha ez a koefficiens a karakterláncra vonatkozik, a kis keresztirányú elmozdulás terjedésének sebessége, majd a rúd esetében ez a kis hosszanti nyúlás vagy tömörítés terjedésének sebessége, és hívják sebességsebességMivel ez a sebesség, hogy a kis hosszirányú oszcillációkat a rúdra terjesztik, amelyek hangok.

Az egyenlethez (68), a kezdeti feltételek be vannak állítva, amelyek meghatározzák az eltolódás és a rúd bármely keresztmetszeteinek elmozdulásának sebességét az első időpontban:

Korlátozott rúd, a feltételeket a konszolidáció, vagy az erő alkalmazása a végein a peremfeltételek az 1., 2. és 3. fajta van beállítva.

Az első fajú határfeltételek a rúd végén lévő hosszirányú mozgást állították be:

Ha a rúd végei mozdulatlanok, akkor a körülmények között (6) . Ebben az esetben, valamint a csípős karakterlánc oszcillációjának problémájában a változók elválasztásának módja alkalmazható.

A rúd végén lévő nemzetség II határánál a rugalmas erők a torok törvénye szerinti deformáció következtében állnak be, az időtől függően. A (66) képlet szerint ezek az erők egy állandó szorzó pontossággal rendelkeznek a származékkal u X.Ezért a végén, és állítsa be ezeket a származékokat az idő függvényében:

Ha a rúd egyik vége szabad, akkor ezen a végén u X. = 0.

A harmadik fajta határfeltételei olyan körülményeknek tekinthetők, amelyek mellett a rugó a rúd minden egyes végéhez van rögzítve, amelynek másik vége a tengely mentén az adott idő törvénye szerint mozog θ (t.), Amint az az 1. ábrán látható. 20. Ezek a feltételek a következőképpen rögzíthetők.

, (72)

hol k. 1 I. K. 2 - merevségi rugók.

Ha van egy külső erő a rúdon a tengely mentén p.(x., T.), az egység térfogatára vonatkoztatva, az egyenlet (50) helyett heterogén egyenletet kell rögzíteni

,

Melyik, a nézetre osztva

, (73)

hol . A (73) egyenlet a rúd kényszerített hosszanti oszcillációinak egyenlete, amelyet analóg módon oldunk meg a kényszerített húr-oszcilláció egyenletével.

Megjegyzés.Meg kell jegyezni, hogy a húrok és a rúd valódi testek modelljei, amelyek valójában ténylegesen megmutathatják mind a húr és a rúd tulajdonságait, attól függően, hogy milyen körülmények között vannak. Ezenkívül a kapott egyenleteket nem veszik figyelembe a környezet ellenállásának erősségeit és a belső súrlódás erejét, amelynek eredményeképpen ezek az egyenletek leírják a szerencsétlen oszcillációkat. Ahhoz, hogy figyelembe vegyék a csillapítás a legegyszerűbb ügyben, a disszipatív erőt használják, arányos a sebességgel és a mozgással ellentétes oldalra irányítva, azaz azaz a mozgáshoz, azaz. Sebesség. Ennek eredményeként az egyenlet (73) veszi

(74)

Az oszcilláció alapvető differenciálegyenleteihez fordulva Megjegyezzük, hogy ha megszorozzuk őket - \u003d K 2, akkor tartalmaznak olyan tagokat, amelyekből négyzet sebesség aránya van éskeresztirányú oszcillációk, mások - Speed \u200b\u200bSquare hosszirányú oszcilláció.

Először is, a hosszirányú oszcilláció esetében eltűnik az egyenletektől, és megkapjuk az első csoportot:

Mivel a választott felület a hullám felülete a hullám, majd egyenletekben 7. § kell tartanunk egy oszcillációt R.és egyenlő a nulla oszcillációval? és R. 2,a hullám megérintése. Ennek eredményeként megtaláljuk, hiszünk // \u003d 1:

Mivel a \u003d 0, akkor az egyenletek (1) megjelenik:

Az első egyenletek (2) // I // 2-es egyenletek szorzása, a P megkülönböztetésére és a (4) egyenletre, megtaláljuk:

mitaz egyenletek (2) szerint nem függ a számtól vagy a [-] -től. Ezért a jelentés & F.részleges származék F.az egyik változó ^, r. 2, az egyenletből (7):

Helyettesítése ebben a kifejezésben H 1.H 2,a P.P. 3, Nulla koefficienseket különböző fokon, megtaláljuk az alábbi feltételeket, hogy az F - F - Meg kell elégítenie

Tud hogy az ilyen arány csak azért történik gömbök, kerek henger és sík.

Innen van mit az izotermikus hullámfelületek hosszirányú oszcillációt terjeszthetnek.

Tehát, ha az agyrázkódás vagy a kezdeti hullám felülete nem tartozik az izotermikus hullámok felületéhez, akkor az oszcillációjuk közelében fordulnak elő vegyes , de jelentős távolságokon a hullám közeledik az izotermikus hullámok egyikét, és a jelenségben ingadozásokat észlelnek hosszirányú. ÁLLJON MEG!!!

Továbbra is be kell adnia a gömb által benyújtott differenciálegyenleteket, használat harmonikus funkciók !!!

TESLA kísérletek – harmonikus oszcillátor - elfogadhatatlan !!!

-Ért gömböka koordinátáknál már használtuk, mi:

A további átalakulások jelentéktelenek, és nem adják meg, ahogyan vezetnek a kezdeti egyenlet nincs fizikai jelentése a soliton-szerű hullámok számára.

A megállapított következtetések ugyanúgy alkalmazhatók a homogén testületek fényeire, továbbá a Boussinesca elméletében zajló jelenlegi közelítésekben!?

Innen:"Fájdalmas pillanat" Kiderült.

N. Mock matematikai gyűjtemény, t. 5, 1870.

Egy másik "szörnyű" bizonytalanság

Hasonlóan vitatkozik, könnyű lenne hasonló kifejezést szerezni a mágneses energiához, és ezáltal az áramok esetében. Ezt látjuk még a képlet legegyszerűbbé tételére is, az energia lokalizáció problémája még mindig nem lehetséges megoldani.

És ugyanez ugyanaz az energiaáramlás. A jelenlegi energia áramlását önkényesen átalakíthatja, hozzáadva egy másik vektort (U, V, W) a mutatóvektorhoz (U, V, W), amely köteles csak az összenyomhatatlan folyadékok egyenletének kielégítésére

A közös egyenletek következménye, semmi sem ad hozzá nekik.

Ezért az energia lokalizálása logikusan haszontalan (és néha káros).

De van egy olyan szempont, amelyben fontos figyelembe venni a mutató tételeket.

A fő tény, amelyből az energiaforrások megőrzésének törvénye, továbbra is kísérletileg megtalálható a lehetetlenség. Örökkévaló mozgás , Tény - Függetlenül attól, hogy elképzeléseinket, és az energia részéhez hozzárendelhetjük, amelyet az éternek az anyag távollétében kell lennie.

Az energia megőrzésének törvénye a klasszikus formában W. = Const.- magyarázza ezt a képtelenséget.

Mutató tételkonverziót igényel térfogat integrált (részben önkényes) felület, Sokkal kevesebbet fejez ki. Könnyen elismeri az örök mozgalom létrehozását, és nem tudja megmutatni a lehetetlenségét!

Valójában, amíg be nem adjuk a hipotézist gyöngyöző potenciálok, A végtelenségből származó konvergens hullámok energiájának folyamatos felszabadulása továbbra is valószínű, hogy mennyi és a valóságban megfigyelt energia elvesztése.

Ha a motor mindig az éter energiát, függetlenül az anyagi testek jelenlététől, létezhet és Örökmozgó . Így világossá válik, hogy a késleltetett potenciálok képletének elfogadása előtt be kell bizonyítanunk, hogy a gyorsított részecske elveszíti az energiát, és ennek következtében ellenzi a gyorsulás arányos származékát.

Csak változtassa meg a jelet c. A konvergáló hullámok hipotéziséhez.

Aztán megtaláljukez a jel sugárzási vektor szintén megváltozik, és az új hipotézis vezet, mondjuk egy rezgő részecske esetében, az idő múlásával az amplitúdó fokozatos növekedéséhez, és általában - A rendszer energiájának növelése?!

A természetben a szolonok:

- a folyadék felszínén, a természetben található első solitonok néha olyan hullámot vesznek figyelembe, mint a szökőár

- Különböző típusú hidrowards

- hangdobok - "szuperszonikus" leküzdése

- Iono-hang és magnetoszonikus plazma politons

- Solitons formájában rövid fény impulzusok az aktív lézer környezetben

- Feltehetően a Soliton egyik példája egy hatalmas hatszög a Szaturnuszban

- Figyelembe vehető a solitons idegimpulzusok formájában ,.

Matematikai modell, korteweg-de frize egyenlet.

Az egyik legegyszerűbb és legismertebb modell, amely lehetővé teszi a solitonok létezését a megoldásban a Korteweg-de Frize egyenlet:

u T. + uU X. + β u xxx = 0.

Az egyenlet egyik lehetséges megoldása magányos soliton:

De itt az oszcillátor harmonikus funkció, ahol r., s.,α, U. - Néhány állandó.

A harmonikus elemzés bizonytalansági tételei

Harmonikus oszcillátor A kvantummechanikában - az egyenlet írja le Schrödinger,

(217.5)

Az egyenlet (217.5) Ezt hívják a Schrödinger egyenlet az állóállapotok számára.

A kvantum oszcillátor álló állapotát az egyenlet határozza meg Schrödinger Kilátás

(222.2)

hol E. - Az oszcillátor teljes energiája.

A differenciálegyenletek elméletében bebizonyosodott, hogy az egyenlet (222.2) csak az energia sajátértékével oldódott meg

(222.3)

Képlet (222.3) azt mutatja, hogy a kvantum oszcillátor energiája kvantum.

Az energia a nullától eltérő alulra korlátozódik, valamint téglalap alakú "Gödrök" végtelenül magas "falakkal" (lásd 220. §), minimális energiaérték

E. 0 = 1/2 ℏ w. 0 . A minimális energia létezését hívják a nulla oszcilláció energiája- jellemző a kvantumrendszerekre, és közvetlen következménye bizonytalanságok aránya.

BAN BEN harmonikus elemzés A bizonytalanság elve azt jelenti, hogy lehetetlen pontosan megkapni a funkció értékeit és a Fourier-kijelzőjét - és ezért pontos számítás.

Vagyis a modellezés, a generáció és az analógia a folyamatok és a természet formáinak hasonlóságának elveinek megfelelően, használatával harmonikus oszcillátor – nem lehetséges.

Különböző fajok Matematikaisoliton Még mindig ismert, és mindegyikük nem alkalmas tárgyak leírására háromdimenziós tér, különösen a folyamatok előforduló folyamatok Természet.

például, Rendes Solitonsamelyek a korteweg-de frize egyenletben találhatók, csak egy dimenzióban lokalizálják, ha annak "Fuss" a háromdimenziós világban, akkor nézete lesz repülő előre végtelen lapos membrán,enyhén szólva Abrakadabra !!!

A természetben az ilyen végtelen membránok nem figyelhetők meg, és ezért forrásegyenlet A háromdimenziós objektumok leírásához nem megfelelő.

Itt van a harmonikus funkciók bevezetésének bevonása. - Oszcillátorok, linkek vegyes oszcilláció esetén.Svyaznoy hasonlóság, , de ez egy másik történet, amely visszavonja A Solitonok elmélete szisztematikus bizonytalanság, .

A rendszerek szabad oszcillációja elosztási paraméterekkel

A szabad oszcillációs rendszerek szabad oszcillációjának folyamatának fő jellemzője a saját frekvenciák számának és az oszcillációk formáinak végtelenségében fejeződik ki. Ez szintén a jellemzői matematikai jellegű: ahelyett, hogy közönséges differenciálegyenletek leírására ingadozások rendszerek véges számú szabadsági fokkal, akkor meg kell küzdenie a differenciálegyenletek magán-származékok. A kezdeti elmozdulásokat és sebességet meghatározó kezdeti feltételek mellett figyelembe kell venni a rendszer konszolidációját jellemző határfeltételeket.

6.1. A rudak hosszirányú oszcillációja

Az egyenes rúd hosszirányú oszcillációinak elemzése során feltételezzük, hogy a keresztmetszetek síkban maradnak, és a rúdrészecskék nem tesznek keresztirányú mozgásokat, és csak hosszirányban mozognak.

Legyen u. - a rúd jelenlegi keresztmetszete hosszirányú mozgása oszcillációban; Ez a mozgás a keresztmetszet (X koordináta) és időben történő elrendezésétől függ. Így két változó funkció van; Meghatározása és a fő feladat. A végtelen szoros szakaszok mozgása tehát egy végtelenül kis elem abszolút nyúlása megegyezik (67., B) és annak relatív nyúlásának.

Ennek megfelelően a keresztmetszet hosszanti ereje a koordinátával h. rögzíthető az űrlapon

,(173)

ahol rúd rúd nyújtással (tömörítés). Az N erő két argumentum funkciója is - koordináták h. és time t.

Tekintsük a két végtelen szoros szakasz között található rúd elemét (67. ábra, B). Az N teljesítményét az elem bal szélére és a jobbra kell alkalmazni. Ha a rúd anyag sűrűsége révén jelöli, a vizsgált elem tömege. Ezért a mozgalom egyenlete a tengely vetületében h.

,

Figyelembe véve (173) Hying A. \u003d CONST, GET

A Fourier módszert követően a differenciálegyenlet (175) különleges megoldást keresünk

,(177)

azok. Tegyük fel, hogy mozog u. két funkció termékként ábrázolható, amelyek közül az egyik csak az érvelés függvénye h. , és a másik csak az érv t. Ezután az u (x, t) két változó funkciójának meghatározása helyett az X (X) és T (T) két funkciót kell meghatározni, amelyek mindegyike csak egy változótól függ.

Helyettesítő (177) (174), kapunk

ahol a stroke a differenciálódási műveletet jelzi x. és pontok - által t. . Ilyen egyenletet írok át így:

Itt a bal oldal csak X-tól függ, és a jobb - csak t. Az egyenlőség azonos végrehajtásához (bármely x. és t) szükséges, hogy mindegyik része egyenlő legyen az alábbiakkal, amelyet:

; .(178)

Innen két egyenlet van:

;.(179)

Az első egyenletnek van megoldása:

,(180)

oszcilláló jellegű, és (180) látható, hogy egy ismeretlen értéknek van értelme a szabad oszcilláció gyakoriságának.

A második egyenletek (179) megoldást tartalmaznak:

,(181)

az oszcillációk meghatározása.

Az értéket meghatározó frekvenciakötlet határfeltételek használatával történik. Ez az egyenlet mindig transzcendentális, és végtelen számú gyökere van. Így a sajátkreditás száma végtelenül, és a frekvencia minden értéke megfelel a T N (t) függvényének, amelyet a függőség (180) határoz meg, és saját Xn (X) funkciója, amelyet a függőség (181) határoz meg. A megoldás (177) csak privát, és nem ad teljes leírást a mozgásról. A teljes megoldást az összes magánoldat kivetésével állítjuk elő:

.

Az x n (x) függvényeket hívják saját funkciók Feladatok és írja le saját oszcillációs formáikat. Nem függnek a kezdeti feltételektől és megfelelnek az ortogonalitás állapotának, amely mikor és \u003d CONST rendelkezik az űrlapon

, Ha egy .

Tekintsünk néhány lehetőséget a határfeltételekre.

Rögzítő rúd (68. ábra, a). A végrészben a mozgás u nulla; Ezért következik, hogy ebben a szakaszban

X \u003d 0 (182)

A rúd szabad vége (68. ábra, b). A végső szakaszban a hosszirányú teljesítmény

(183)

a nulla-nak azonosnak kell lennie, ami akkor lehetséges, ha az x "végén \u003d 0.

Viszonylag hűséges Rúd vége (68. ábra, c).

Mozgás közben u. Az elvesztett rúd rugalmas reakciótámogatást nyújt ahol O - merevséggel támogatja. Figyelembe véve (183) a hosszanti erőre, szükségünk van egy határfeltételre

ha az ellenállás a rúd bal oldalán található (68. ábra, B), és

ha a támogatás a rúd jobb oldalán található (68. ábra, d).

Koncentrált tömeg a rúd végén.

A súly tehetetlenség által kifejlesztett:

.

Mivel az első egyenletek (179) szerint a tehetetlenségi erejét formában rögzíthetjük. Határállapotot kapunk

,

ha a tömeg a bal oldalon található (68. ábra, e), és

, (184)

ha a tömeg a jobb oldalhoz van csatlakoztatva (68. ábra, e).

Meghatározzuk saját konzolrúd frekvenciáinkat (68. ábra, A).

A (182) és (183), határfeltételek szerint

X \u003d 0 és x \u003d 0;

X "\u003d 0 x \u003d.

Felváltva ezeket a feltételeket a határozatban (181), kapunk

A C0 állapot a frekvenciaegyenlethez vezet:

Az egyenlet gyökerei

(n \u003d 1,2, ...)

határozza meg saját frekvenciáikat:

(n \u003d 1,2, ...). (185)

Az első (alsó) frekvencia n \u003d 1:

.

Második frekvencia (n \u003d 2):

A végén saját rúdfrekvenciáinkat határozzuk meg (68. ábra, e).

(182) és (184) szerint van

X \u003d 0 x \u003d 0-on;

x \u003d.

E feltételek helyett a határozatban (181) helyettesítjük:

D \u003d 0; .

Következésképpen a frekvenciaegyenlet figyelembe véve (176) formáját

.

Itt a rudechast a rúd tömegének aránya a terminál tömegére.

A kapott transzcendentális egyenlet megoldásához minden közelített módszert kell használni.

Mikor és a legfontosabb alacsony gyökér értékei 0,32 és 0,65 leszek.

Egy kis hozzáállás, a rakomány és a jó eredmények hozzávetőleges döntést hoznak

.

A váltakozó szakasz rúdjaihoz, azaz Amikor az Aconst, a (173) és (174), a mozgás egyenletét kapjuk

.

Ez a differenciálegyenlet nem oldható meg zárt formában. Ezért ilyen esetekben hozzávetőleges módszereket kell keresnie saját frekvenciáink meghatározására.

6.2. A tengelyek szűrő oszcillációja

A WALACE folyamatosan elosztott tömeg (69. ábra, A) cutil rezgéseit az egyenletek írják le, amelyek teljesen egybeesnek a rudak hosszanti oszcillációinak egyenleteivel.

A keresztmetszet nyomatéka az abszcisszával h. egy differenciális függőséggel, hasonló (173):

hol J P.- A keresztmetszeti tehetetlenségi pillanat.

Egy szakaszban dX. , A nyomaték egyenlő (69. ábra, B):

A tengelytömeg tengelyéhez képest (azaz a hosszúságú egység inertiájának pillanatának pillanatát) a tengelytömeg tengelyéhez képest (azaz egy hosszúságú inertia pillanatának) intenzitása, a A tengely írható:

,

vagy hasonló (174):

.

Itt helyettesítése (186), amikor JP.\u003d CONST Hasonlóan kapunk (175):

, (187)

Az egyenlet általános oldata (187), valamint az egyenletek (175) formájában vannak

,

(188)

A saját frekvenciákat és saját funkcióit meghatározott határfeltételek határozzák meg.

A végek rögzítésének alapvető esetekben, hasonlóan a hosszanti oszcillációkhoz hasonlóan, megszerezzük

a) a végső vég (\u003d 0): x \u003d 0;

b) szabad vég (m \u003d 0): x "\u003d 0;

ban ben) kipihent bal oldali vége: SKEL \u003d GJPX "(merevség együttható);

d) kipihent Jobb vége: -Shech \u003d GJPX ";

e) Lemez a bal oldalon: (A lemez tengelyéhez viszonyított lemezmegítélés Jo-pillanat);

e) Lemez a jobb oldalon: .

Ha a tengely a bal oldalon van rögzítve (x \u003d 0), és a jobb vég (x \u003d) szabad, akkor x \u003d 0 x \u003d 0 és x "\u003d 0-at x \u003d; saját frekvenciákat határozzák meg hasonlóan ( 185):

(n \u003d 1,2, ...).

Ha a bal vég van rögzítve, és a jobb oldalon van egy lemez, akkor kapunk transzcendentális egyenletet:

.

Ha a tengely mindkét széle rögzítve van, a határfeltételek x \u003d 0-at jelentenek X \u003d 0 és X \u003d. Ebben az esetben (188)

azok.

(n \u003d 1,2, ...),

innen megtaláljuk saját frekvenciáinkat:

Ha a tengely bal vége ingyenes, és a jobb oldalon van egy lemez, akkor x "\u003d 0 x \u003d 0, jo x \u003d gjpx" x \u003d.

A segítséggel (188) megtaláljuk

C \u003d 0; ,

vagy transzcendentális frekvenciaegyenlet:

.

6.3. Bailed rezgések

6.3.1. Alapegyenlet

Az anyagok ellenállása során a differenciállen függőségeket a hajlítógerendák:

ahol az EJ hajlítás; y \u003d y (x, t) - eltérítés; M \u003d m (x, t) - hajlító pillanat; Q az elosztott terhelés intenzitása.

Együttműködés (189) és (190), kapunk

.(191)

A rugalmas csontváz ingyenes ingadozásainak problémája a tehetetlenségi elosztott erő:

ahol m a gerenda tömegének intenzitása (a hosszúságú egységek tömege) és a (191) egyenlet

.

Egy állandó keresztmetszet esetén, amikor EJ \u003d CONST, M \u003d CONST, mi van:

.(192)

Az egyenlet (192) megoldása érdekében feltételezzük, mint fent

y. \u003d X ( x)× T ( t). (193)

Helyettesítő (193) (192), megérkezünk az egyenlethez:

.

Az egyenlőség azonos végrehajtásához szükséges, hogy az egyenlőség mindegyike állandó volt. A folyamatban lévő állandó, két egyenletet kapunk:

.(195)

Az első egyenlet azt jelzi, hogy a mozgás frekvenciával oszcilláló.

A második egyenlet határozza meg az oszcillációk formáját. Az egyenlet (195) megoldása négy állandó és formája van

Kényelmes használni az A.N. Krylov által javasolt általános megoldás rögzítésének lehetőségét:

(198)

ábrázolja az A.N. Krylov funkcióit.

Felhívjuk a figyelmet arra a tényre, hogy s \u003d 1, t \u003d u \u003d v \u003d 0 x \u003d 0. Az S, T, U, V funkciók egymáshoz kapcsolódnak:

Ezért a kifejezések származékai (197) rögzítésre kerülnek

(200)

A vizsgált osztály feladatai során az eigenid frekvenciák száma végtelenül nagy; Mindegyikük megfelel az időfunkciónak a t n és annak alapfunkciójának x n. Az általános megoldás képes lesz a formanyomtatvány (193) privát megoldásait kiszabni

.(201)

A saját frekvenciák és képletek meghatározása érdekében figyelembe kell venni a határfeltételeket.

6.3.2. Határfeltételek

A rúd minden egyes végére két határfeltételet is megadhat. .

A rúd szabad vége (70., A). Nulla egyenlő a Q \u003d ejx "" "keresztirányú erővel és hajlító pillanatával m \u003d ejx" t. Ezért a határfeltételek

X "" \u003d 0; X "" "\u003d 0. (202)

A rúd csuklós keményített vége (70. ábra, b). A nulla az Y \u003d XT és a hajlító pillanat M \u003d EJX "T. Következésképpen a határfeltételek:

X \u003d 0; X "" \u003d 0. (203)

Csomagolt vég (70. ábra, b). A nulla az Y \u003d XT eltérése és a forgásszög. Határi feltételek:

X \u003d 0; X "\u003d 0. (204)

A rúd végén van egy pont rakomány tömeg(70. ábra, d). A tehetetlenségi ereje talán az (194) egyenlet segítségével a következőképpen rögzített:; Meg kell egyeznie a keresztirányú teljesítmény \u003d ejx "" "", ezért a határfeltételek az űrlapot

; X "" \u003d 0. (205)

Az első állapotban a plusz jelet akkor fogadják el abban az esetben, ha a pont a rúd bal végéhez kapcsolódik, és a mínusz jel, amikor a rúd jobb oldalához kapcsolódik. A második feltétel magában foglalja a hajlító pillanat hiánya.

Elasztikusan kinyitotta a rúd végét (70., E ábra). Itt a hajlító pillanat nulla, és a Q \u003d EJX "" keresztirányú erő "egyenlő a támogatás reakciójával (C o -feficience merevségi támogatás).

Határi feltételek:

X "" \u003d 0; (206)

(A mínusz jel elfogadásra kerül abban az esetben, ha a rugalmas támogatás maradt, és a plusz jel, amikor helyes).

6.3.3. Frekvenciaegyenlet és saját formák

A határfeltételek telepített rekordja viszonylag állandó C1, C 2, C 3, C 4 homogén egyenletekhez vezet.

Annak érdekében, hogy ezek a konstansok nem egyenlőek nulla-nak, nulla legyen a rendszer együtthatókból álló meghatározó; Ez egy frekvenciaegyenlethez vezet. Ezekkel a műveletekkel a C 1, C 2, C 3, C 4 közötti kapcsolatok kiderülnek, azaz Az oszcillációk sajátos formáit meghatározzák (állandó szorzó pontosságával).

Kövesse a gyakorisági egyenletek előkészítését a példákon.

A csuklós keményített végekkel ellátott gerendák esetében a (203) szerint a következő határfeltételek vannak: x \u003d 0; X "" \u003d 0 x \u003d 0 és x \u003d. Az (197) - (200) használatával az első két körülményből érkezünk: C 1 \u003d C 3 \u003d 0. Két fennmaradó körülmény írható

Tehát, hogy a C 2 és C4 nem egyenlő nulla, az egyenlőségnek a determináns nullára van szükség:

.

Így a frekvenciaegyenlet formája van

.

A t és u kifejezések helyettesítése, kapunk

Mivel a végső frekvenciaegyenlet a következőképpen íródott:

. (207)

Az egyenlet gyökerei:

, (n \u003d 1,2,3, ...).

Figyelembe véve (196), kapunk

.(208)

Forduljunk a saját formáinak meghatározásához. A fenti homogén egyenletektől a következő arány állandó C 2 és C 4:

.

Következésképpen (197) megszerzi a nézetet

(207) szerint van

,(209)

hol - az új konstans, amelynek értéke bizonytalan marad, amíg a kezdeti feltételeket nem vizsgálják.

6.3.4. A mozgás meghatározása a kezdeti körülmények között

Ha meg szeretné határozni a mozgást, a következőket a kezdeti perturbáció után meg kell adni a gerenda minden pontjaként kezdeti elmozdulásokként és kezdeti sebességként:

(210)

és használja a saját formáik ortogonalitásának tulajdonát:

.

Általános határozat (201) Íjünk így:

.(211)

A sebességet a kifejezés határozza meg

.(212)

Helyettesítjük a (211) és (212) egyenletes részét, és a bal részeket - a javasolt kezdeti eltolások és sebesség, amit kapunk

.

Megszorozzák ezeket a kifejezéseket, és integrálódnak az egész hossz mentén, van

(213)

A megfelelő részek végtelen összegei eltűntek az ortogonalitás tulajdonsága miatt. (213) a formulák állandó és

(214)

Most ezeket az eredményeket az oldatban (211) helyettesíteni kell.

Újra hangsúlyozzuk, hogy a saját formák skálájának megválasztása jelentéktelen. Ha például saját formájának (209) kifejeződése, a nagy mennyiségben nagy mennyiségben, akkor (214) kisebb időkben kisebb eredményeket ad; A határozat (211) helyettesítése után ezek a különbségek kompenzálják egymást. Mindazonáltal gyakran normalizált sajátfunkciókat használnak, kiválasztva a skála, hogy a kifejezések (214) megegyeznek az egységgel, amely leegyszerűsíti a kifejezéseket és.

6.3.5. Az állandó longitudinális erő hatása

Fontolja meg az esetet, ha az oszcilláló sugár az N hosszanti forgalom működését tapasztalja, amelynek értéke nem változik az oszcillációk folyamatában. Ebben az esetben a statikus hajlítás egyenlete bonyolult, és megszerzi az űrlapot (feltéve, hogy a nyomóerő pozitívnak tekinthető)

.

A merevség állandóságának hite és számítása, a szabad oszcillációk egyenletét kapjuk

.(215)

Még mindig részt veszünk az űrlapon.

Ezután a (215) egyenlet két egyenletre szétesszik:

Az első egyenlet az oldat oszcilláló jellegét fejezi ki, a második meghatározza az oszcillációk formáját, és lehetővé teszi a frekvenciák megtalálását is. Ilyen módon átírom:

(216)

hol K. amelyet a (196) képlet határoz meg, és

A (216) egyenlet megoldása van

Tekintsük azt az esetet, amikor a rúd mindkét vége csuklópanziós támogatja. A bal oldalon lévő körülmények adni. Kielégíti ugyanazokat a feltételeket a jobb oldalon, kapunk

A nulla determináns egyenlõtartalma az értékekkel rendelkező együtthatókból áll, és az egyenlethez jön

A frekvenciaegyenlet gyökerei:

Következésképpen saját frekvenciáját az egyenletből határozzák meg

.

Ezért, figyelembe véve (217)

.(219)

Ha feszültség, a frekvencia növekszik, csökken a tömörítéskor. Amikor a nyomóerő N megközelíti a kritikus értéket, a gyökér nulla.

6.3.6. A lánc erőfeszítéseinek hatása

Korábban a hosszanti erőt a rendszer mozgásától függetlenül tekintették meg. Bizonyos gyakorlati feladatok során a keresztirányú oszcilláció kísérő folyamata a longitudinális erő a gerenda hajlítása miatt merül fel, és a támogatás támogatásának jellege. Tekintsük például a két csuklós rögzített támogatásra. Hajlításával a horizontális támogatási reakciók merülnek fel, amely nyújtó gerendákat okoz; A megfelelő horizontális erőfeszítéseket hívják lánc-erőfeszítés. Ha a gerenda keresztirányú oszcillációt okoz, akkor a lánc erőfeszítése idővel megváltozik.

Ha egy pillanat alatt t, a gerendás eltérítést a funkció határozza meg, a tengely megnyúlása megtalálható a képlet

.

A megfelelő láncos erőfeszítés a kerékpár törvény segítségével fogja megtalálni

.

Helyettesítse ezt az eredményt (215) helyett az n hosszanti erő (figyelembe véve a jelet)

.(220)

Nemlineáris integrodifferenciális Az egyenletet helyettesítéssel egyszerűsítik

,(221)

ahol az idő dimenziómentes függvénye, amelynek maximális értéke megegyezhet bármely számmal, például egységet; Az oszcilláció amplitúdója.

Helyettesítő (220) (220), szokásos differenciálegyenletet kapunk

,(222)

amelyek együtthatók a következő értékekkel rendelkeznek:

;.

A differenciálegyenlet (222) nemlineáris, ezért a szabad oszcillációk gyakorisága az amplitúdójuktól függ.

A keresztirányú oszcilláció gyakoriságának pontos megoldása az űrlapon van

ahol a keresztirányú oszcilláció gyakorisága a lánc-erőfeszítések elszámolása nélkül számítva; korrekciós együttható, attól függően, hogy az oszcilláció amplitúdójának aránya a keresztmetszet tehetetlenségi sugara; Az értéket a referenciairodalom tartalmazza.

A keresztmetszet tehetetlenségének amplitúdójának és sugarainak mérésével a frekvencia korrekciója jelentős lesz. Ha például a kerek szakasz rúdjának oszcillációjának amplitúdója megegyezik az átmérőjével, akkor a frekvencia majdnem kétszer annyi, mint a támogatások szabad elmozdulása esetén.

Az ügy megfelel a tehetetlenségi sugár nulla értékének, amikor a gerenda hajlító merevsége végtelenül kicsi. Ugyanakkor a bizonytalanság képlete. A bizonytalanság feltárása, a string oszcilláció gyakoriságának képletét kapjuk

.

Ez a képlet azt az esetre utal, amikor a feszültség egyenlő az egyensúlyi helyzetben. Gyakran a húrok ingadozásainak feladata más feltételezésekbe kerül: úgy vélik, hogy a mozgás kicsi, és a nyújtóerő be van állítva, és változatlan marad az oszcilláció folyamatában.

Ebben az esetben a frekvencia képlete

ahol n állandó stretchinger.

6.4. A viszkózus súrlódás hatása

Korábban feltételezték, hogy a rudak anyaga tökéletesen rugalmas és súrlódás hiányzik. Fontolja meg a belső súrlódás hatását, figyelembe véve, hogy viszkózus; Ezután a deformációval rendelkező stresszek kapcsolatát a kapcsolatok írják le

;.(223)

Hagyja, hogy az elosztott paraméterekkel rendelkező rúd szabad hosszirányú oszcillációt hajtson végre. Ebben az esetben a hosszirányú erőt az űrlapon rögzítjük

A rúdelem egyenletétől (174) arányt kaptunk.

Itt helyettesítjük (224), megérkezünk a fő differenciálegyenlethez

,(225)

amely eltér (175) a második kifejezés, amely kifejezi a viszkózus súrlódási erők hatását.

A Fourier módszert követően az egyenlet (225) megoldását formájában látjuk

,(226)

ha a funkció csak X koordináták, és a funkció csak idő t.

Ugyanakkor a sor minden tagjának meg kell felelnie a probléma határafeltételeinek, és a teljes összeg a kezdeti feltételek is. Helyettesítő (226) (225), és az egyenlőséget bármely számra elégedettsé teszi r., kap

,(227)

ahol a stroke a koordináta-differenciálódást jelöli x., és pontok - idő differenciálódás t.

Elosztva (227) a munkára , jöjjön egyenlőségre

,(228)

balra, amely csak a koordinátától függ x., és jobbra - csak időben t. Az egyenlőség megegyező megvalósításához (228) szükséges, hogy mindkét rész egyenlő legyen ugyanolyan konstansokkal, amelyeket rámutatunk.

Ebből kövesse az egyenleteket

(229)

.(230)

Az (229) egyenlet (229) nem függ a K viszkozitási koefficiensektől, különösen, különösen az ideális elasztikus rendszer esetében ugyanaz marad. Ezért a számok teljesen egybeesnek a korábban találtak; Azonban, amint az alábbiakban látható, a nagyság a saját frekvenciájának közelítő értékét adja. Ne feledje, hogy saját formái teljesen függetlenek a rúd viszkózus tulajdonságaitól, azaz A szabad csillapító oszcilláció formái egybeesnek a szabadon nem illékony oszcillációk formáival.

Most forduljunk az egyenlethez (230), amely leírja a bomlási oszcilláció folyamatot; döntése

.(233)

A kifejezés (232) meghatározza a csillapítás mértékét, és (233) - az oszcilláció gyakoriságát.

Így a feladategyenlet teljes megoldása

.(234)

Állandó és mindig megtalálható a megadott kezdeti körülmények között. Hagyja, hogy a kezdeti eltolások és az összes rúdszakasz kezdeti sebességei a következők:

;,(235)

hol és - híres funkciók.

Ezután a (211) és (212) szerint van

szorozzuk össze mindkét részét ezen egyenlőséggel, és integrálódnak a rúd teljes hosszában, kapunk

(236)

Ennek megfelelően a saját formáinak ortogononalitásának feltétele, az egyenlőtlenségek megfelelő részeiben szereplő egyéb kifejezések nulla. Most az egyenlőségekből (236) könnyen megtalálható az R számokért.

Figyelembe véve (232) és (234), megjegyezzük, hogy minél nagyobb az oszcilláció alakjának száma, annál gyorsabb a csillapítás. Ezenkívül a (234) tartalmazó komponensek leírják a fading oszcillációt, ha érvényes szám van. (233) -ból látható, hogy ez csak az R több kezdeti értékére vonatkozik, míg az egyenlőtlenséget elvégzik

Kellően nagy értékekkel r.az egyenlőtlenség (237) megsérti, és az érték képzeletbeli lesz. Ugyanakkor az általános oldat (234) vonatkozó tagjai már nem írják le a fading oszcillációkat, hanem egy aperiodikus elhalványos mozgást jelentenek. Más szóval, az ingadozások, a szó szokásos értelmében csak az összeg végső részét fejezi ki (234).

Mindezek a minőségi következtetések nemcsak a hosszirányú oszcillációk esete, hanem a tweetelt és a hajlító oszcilláció esetei is.

6.5. A váltakozó szakasz rúdjainak oszcillációja

Azokban az esetekben, amikor a rúd varrási és keresztmetszete hossza a hosszirányú oszcillációs egyenlet helyett (175) az egyenletből származik

.(238)

A gördülő oszcillációs egyenletet (187) ki kell cserélni az egyenlet

,(239)

és a keresztirányú oszcillációs egyenlet (192) az egyenlet által

.(240)

Az egyenletek (238) - (240) ugyanolyan típusú szubsztitúciók segítségével; • a funkció szokásos differenciálegyenletének adható

Hosszirányú hullámok

Meghatározás 1.

Olyan hullám, amelyben az oszcilláció az eloszlás irányában történik. A longitudinális hullám példája hanghullámként szolgálhat.

1. ábra Longitudinal Wave

A mechanikai hosszirányú hullámokat kompressziós hullámok vagy kompressziós hullámok is nevezik, mivel a táptalajon áthaladnak. A keresztirányú mechanikai hullámokat "T-Waves" vagy "Shift Waves" -nek is nevezik.

A hosszirányú hullámok közé tartoznak az akusztikus hullámok (a rugalmas tápközegben szaporodó részecskék sebessége) és a szeizmikus P-hullámok (földrengések és robbanások eredményeként létrejött). Hosszirányú hullámokban, a táptalaj elmozdulása párhuzamosan a hullám terjedésének irányával párhuzamosan.

Hang hullámok

Hosszanti harmonikus hanghullámok esetén a frekvencia és a hullámhossz a képlet által leírható:

$ Y_0- $ oszcillációs amplitúdó; \\ Textit ()

$ \\ omega - $ sarok frekvencia a hullám;

$ C- $ hullámsebesség.

A $ \\ lib ((\\ rm f) \\ jobbra) szokásos frekvenciája $ Waves Set

A szaporítás sebessége a közeg típusától, hőmérsékletétől és összetételétől függ, amelyen keresztül terjeszti.

Elasztikus közegben a harmonikus hosszanti hullám a tengely mentén pozitív irányba halad.

Keresztirányú hullámok

2. meghatározás.

Kereszthullám - olyan hullám, amelyben a tápközeg oszcillációjának molekuláinak iránya merőleges az eloszlás irányára. A keresztirányú hullámok példája elektromágneses hullám.

2. ábra: Hosszáros és keresztirányú hullámok

A tóban lévő hullámok és a húr hullámai könnyen elképzelhetők keresztirányú hullámok formájában.

3. ábra: A könnyű hullámok egy keresztirányú hullám példája

A keresztirányú hullámok olyan hullámok, amelyek az elosztási irányra merőlegesek. Két független irány van, ahol a hullámmozgások fordulhatnak elő.

3. meghatározás.

A kétdimenziós keresztirányú hullámok bemutatják a felhívott jelenséget polarizáció.

Az elektromágneses hullámok ugyanúgy viselkednek, bár ez egy kicsit nehezebb látni. Az elektromágneses hullámok kétdimenziós keresztirányú hullámok is.

1. példa.

Bizonyítsuk be, hogy egy lapos kimeneti hullám $ (\\ rm y \u003d acos) \\ lib (\\ omega t- \\ frac (2 \\ pi) (\\ lambda) \\ jobb) x + (\\ varphi) _0 $ Hullám, amelyet az ábrán bemutatunk, $ (\\ rm y \u003d asin) formájában írható (\\ frac (2 \\ pi) (\\ lambda) \\ jobbra) x $. Győződjön meg róla, hogy helyettesíti a $ \\ x $ koordinátaértékeket, amely $ $ \\ frac (\\ lambda) (4) $; $ \\ Frac (\\ lambda) (2) $; $ \\ Frac (0,75) (\\ lambda) $.

4. ábra.

A $ Y bal egyenlet (X \\ Jobb) $ egy lapos sikertelen hullám nem függ a $ T $ -tól, ez azt jelenti, hogy a $ t $ idő választható önkényes. Válassza ki az időpontot $ t $

\\ [\\ Omega t \u003d \\ frac (3) (2) \\ Pi - (\\ Varphi) _0 \\] \\

Helyettesítse ezt az értéket az egyenlethez:

\\ \\ [\u003d Acos \\ maradt (2 \\ pi - \\ frac (\\ frac (\\ pi) (2) - \\ lib (\\ frac (2 \\ pi) (\\ lambda) \\ jobb) x \\ jobbra) \u003d Acos \\ maradt (2 \\ pi - bal (bal (\\ frac (\\ frac (2 \\ pi) (\\ lambda) \\ jobbra) x + \\ frac (\\ pi) (2) \\ jobb) \\ jobb) \u003d \\] \\ [\u003d acos \\ t balra (\\ frac (2 \\ pi) (\\ lambda) \\ jobbra) x + \\ frac (\\ pi) (2) \\ jobbra) \u003d asin \\ balra (\\ frac (2 \\ pi) (\\ lambda) \\ jobbra) x \\] \\ \\ \\ mathbf x) (\\ mathbf \u003d) \\ frac ((\\ mathbf 3)) ((\\ Mathbf 4)) (\\ Mathbf \\ lambda) (\\ Mathbf \u003d) (\\ Mathbf 18) (\\ Mathbf 18), (\\ MATHBF 75) (\\ mathbf \\ cm, \\ \\ \\) (\\ mathbf y) (\\ mathbf \u003d \\) (\\ mathbf 0), (\\ mathbf 2) (\\ mathbf 2) (\\ CDOT) (\\ mathbf sin) \\ frac ((\\ Mathbf) 3))) ((Mathbf 2)) (\\ mathbf \\ pi) (\\ mathbf \u003d -) (\\ Mathbf 0), (\\ Mathbf 2) \\]

Válasz: $ asin \\ maradt (\\ frac (2 \\ pi) (\\ lambda) \\ jobbra) x $

Mechanika

UDC 531.01 / 534.112

Longitudinal Rod csomag ingadozások

A.M. Pavlov, A.n. Tomna

MSTU őket. HIRDETÉS Bauman, Moszkva, Orosz Föderáció E-mail: [E-mail védett]; [E-mail védett]

A folyékony rakéták dinamikájában a rakéta mozgásának ellenállásának problémája a hosszirányú rugalmas oszcilláció előfordulásában játszódik le. Az ilyen oszcillációk megjelenése az ön-oszcilláció létrehozásához vezethet, amelyek a rakéta hosszirányban történő instabilitása esetén gyors megsemmisítést eredményezhetnek. A köteglet-rendszer hosszú távú oszcillációinak feladata van kialakítva, a rúdcsomagot számított modellként használják. Elfogadják, hogy a folyadék a "fagyasztott" rakéta tartályaiban, azaz. A saját folyadékmozgásait nem veszik figyelembe. A vizsgált probléma teljes energiájának egyenlegének törvényét megfogalmazzák, és az üzemeltetői megfogalmazást adják. Numerikus példát adunk meg, amelyre a frekvenciákat meghatározzák, saját oszcillációjuk formáit építették és elemezték.

Kulcsszavak: hosszirányú oszcillációk, frekvencia és forma oszcilláció, rúdcsomag, teljes energiaszerkezet törvény, önbecsülés operátor, oszcillációs spektrum, pogo.

A rudak rendszere hosszanti rezgések A.m. Pavlov, al. Temnov.

Bauman Moszkva Állami Műszaki Egyetem, Moszkva, Orosz Föderáció E-mail: [E-mail védett]; [E-mail védett]

A folyékony üzemanyag-rakéták dinamikájának kérdései A mozgás stabilitásának problémája a rakéta számára fontos szerepet játszik a hosszanti rugalmas rezgések alkalmazásával. Az ilyen jellegű vibrációk előfordulása önbriftációt idézhet fel, amelyek a rakéta instabilitását a hosszirányú irányban a rakéta instabilitás esetén okozhatják. A csomagkapcsolt rendszeren alapuló folyékony üzemanyag-rakéta hosszirányú rezgéseinek problémáját számítógéppálcákkal formulázták számítási modellként. Feltételezzük, hogy a rakéta tartályokban lévő folyadék "fagyasztott", vagyis. A folyadék megfelelő mozgásait nem tartalmazza. Ehhez a problémaért az energiatakarékosság elvét megfogalmazták, és az üzemeltetői elrendezést adták. Numerikus példa van, amelyre meghatározták a frekvenciákat, a saját rezgésformákat építették és elemezték.

Kulcsszavak: hosszirányú rezgések, saját módok és frekvenciák, rudak modell, energiatakarékosság elv, selfadjoint operátor, vibrációs spektrum, pogo.

Bevezetés Jelenleg a kötegelt elrendezésű rakéta-hordozók (pH) azonos oldali blokkokkal gyakran használják külföldön a hasznos rakomány eltávolítható pályáján, egyenletesen elosztva a központi egység körül.

A kötegelt struktúrák oszcillációinak vizsgálata az oldalsó és a központi blokkok dinamikus hatásával kapcsolatos bizonyos nehézségekkel szembesül. Abban az esetben, szimmetria, a pH-elrendezés komplex, térbeli interakció a csomag strukturális blokkok osztható véges számú fajta rezgések, amelyek közül az egyik hosszirányú rezgések a központi és oldalsó blokkokat. A hasonló design hosszanti oszcillációinak matematikai modelljét a vékonyfalú rudak csomagolásában részletesen figyelembe veszik. Ábra. 1. A központi rendszer. Ez a cikk a hosszirányú elméleti rúd és számítási eredményeket biztosítja

az A.a. által elvégzett vizsgálatot kiegészítő rudak csomagjának jég ingadozása Lehetséges.

A probléma megfogalmazása. Tekintsük a rúdcsomag más hosszirányú oszcillációit, amelyek egy azonos hosszúságú L0 és N hosszú rúdból állnak, J \u003d L, (L0\u003e Lj), J \u003d 1, 2, ..., N, az a (Xa) pontban kötve \u003d L) (1. ábra) központi rugós elemekkel merevséggel k.

Bevezetünk egy fix referenciarendszer OH-t, és feltételezzük, hogy az EFJ (X) rudak, az elosztott MJ (X) és az q (x, t) perturbáció rúdjai korlátozott funkciók vannak az X koordináta esetében:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Legyen az UJ (x, T), amelyet az egyenletek határoznak meg, a rudak keresztmetszeteinek hosszanti oszcillációiban merülnek fel a koordinátákkal

mj (x) ^ - ¿(efj (x) ^ \u003d qj (x, t), j \u003d 0,1, 2, ..., n, (2)

határfeltételek a normál erők távollétére a rudak végein

3 \u003d 0, x \u003d 0, ^ \u003d 1, 2,

0, x \u003d 0, x \u003d l0;

a rudakban felmerülő normál erők egyenlőségének feltételei,

Ef-3 \u003d f x \u003d l

a tavaszi elemek rugalmasságának ereje

Fppj \u003d k (sh (ha) - sh (¡,)); (négy)

Euodh (ha-0) - efodh (ha + 0) \u003d, x \u003d ha;

a movementek egyenlőségének feltétele a központi rúd pontján

Uh (ha-o) \u003d sh (ha + o) és a kezdeti feltételek

U (x, 0) - u (x); , _

u (x, 0) \u003d uh (x),

ahol u (x, 0) \u003d "d ^ 1 (x, 0).

A teljes energia egyensúlyának törvénye. Szorzás, (2) az Egyesült Királyságban (X, £), integráljuk az egyes rudak hosszát, és meghatározzuk az eredményeket a határfeltételek (3) és a koordinációs feltétel (4) segítségével. Ennek eredményeként kapunk

((1 ^ [(DIL 2)

tk (x) "bt" (x +

dT | 2 ^ J 3 W V DT

N x "h 2 .. n" i.

1 ^ g "", f dp3 \\, 1 ^ gj

1 n / * i dpl 2 1 n fl j

EF3 DX + 2 ^ Nem (X - -) (NO - UJ) 2 DX

\u003d / ^ (x, £) nekik (x, £) (x, (6)

ahol 8 (x - ¡y) - Diaca delta funkció. A (6) egyenletben az első kifejezés a kíváncsi konzolokban a rendszer T (¿) kinetikus energiája, a második - a PR (£) potenciális energiája a rudak deformációja miatt és a harmadik A PC (£) tavaszi elemek potenciális energiája, amely rugalmas deformációs rudak jelenlétében rögzíthető formában

PC (*) \u003d 2 £ / su (¡y) 8 (x - ¡1) e ^ (¡y) (do) (¡1)) 2 (x, su \u003d еу.

A (6) egyenlet azt jelzi, hogy a mechanikai rendszer által vizsgált időtartamú teljes energia változása egyenlő a hatalommal

külső befolyás. Külső perturbáció hiányában Q (x, T) A teljes energia fenntartásának törvényét kapjuk meg:

T (t) + PR (T) + PC (t) \u003d t (0) + PR (0) + PC (0).

Kezelői nyilatkozat. Az energiaegyensúly törvénye azt jelzi, hogy az UJ (X, T) függvények a HILRERT SPACE L2J (m3 (x)) elemeinek tekinthetők, az I Scalar hosszában definiálva termék

(US, VK) j \u003d j mj (x) USVKDX 0

és a megfelelő normát.

Bemutatjuk a Hilbert tér H, egyenlő az L2J ortogonális összeggel, H \u003d L20 F L21 F ... F L2N, a vektor funkció U \u003d (UO, UI, ..., ENSZ) t és az üzemeltető a térben H az arány szerint

AU \u003d diag (A00U0, A11U1, ..., Annun).

mJ (x) dx \\ j dx "

az operátorok

set B (A33) C funkciók kielégítő feltételek (3) és (4).

A kezdeti probléma (1) - (5) a kezdeti feltételekkel együtt rögzül

Ai \u003d f (*), és (0) \u003d I0, 17 (0) \u003d и1, (7)

ahol f (*) \u003d (felfelé (*), 51 (*), ..., gödrök (¿)) t.

Lemma. 1. Ha az első két feltétel (1) elvégezhető, az A kezelő az evolúciós problémában (7) egy korlátlan, önbecsülés, pozitívan definiálva az űrben

(AI, K) n \u003d (és, AK) N, (AI, és) I\u003e C2 (és és) I.

2. Az A operátor energiaterületet generál egy olyan normával, amely megegyezik a rúdcsomag oszcillációjának potenciális energiájának kettős értékével

3 \\ ^ i h) 2 \u003d 2p\u003e 0. (8)

IIUIia \u003d £ / ef ^^ j dx + k £ (uo - u) 2 \u003d 2p\u003e 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v) h \u003d / m (x) (- ^ | (efo (x) ^ j) vo (x) dx +

+ £ jm (x) (- JX) | (EF- (x) dndxa)) v- (x) dx \u003d ... \u003d

Efo (x) uo (x) vo (x) dx - efo (x) u) (x) vo (x)

J efo (x) uo (x) vo (x) dx - efo (x) uo (x)? O (x)

+ ^^ / ef- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ ef- (x) u- (x) v- (x)

J EFO (x) uo (x) v "(x) DX - EFO (XA - 0) UO (XA - 0) VO (XA) + 0

EFO (XA + 0) UO (XA + 0) VO (XA) - £ EF- (/ -) U- (/ -) V- (/ -) +

J EF- (x) U- (x) V- (x) dx \u003d j efo (x) uo (x) uo (x) dx + - \u003d 100

+ £ / ef., - (x) U- (x) g? - (x) dx + o

O (xa) -

£ ef- (/ -) U- (/ -) V? "- (/ -) \u003d efo (x) uo (x) v?" O (x) dx + - \u003d 10

+ £ / ef- (x) u- (x) v- (x) dx + - \u003d 1 0 -

+ £ K (UO (Xa) - U- (/ -)) (VO (Xa) - V- (/ -) \u003d (U, A?) H

(Au, u) h \u003d ... \u003d i ef0 (x) u "2 (x) dx - ef0 (x) u0 (x) u0 (x)

J ef0 (x) u "0 (x) dx - ef0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / efj (x) u "2 (x) dx - ^^ efj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF ° (x) u" 2 (x) dx 4EF0 (x) u "2 (x) dx + £ jefj (x) u" 2 (x) dx

Y ^ k (U0 (L) UJ (L) - U2 (/)) + U0 (L) ^ K (U0 (L) - UJ (L) \u003d

EF0 (x) u "2 (x) dx + / ef0 (x) u" 0 (x) dx +

S / efj (x) u "2 (x) dx + k ^ (U0 (L) - UJ (L) 2\u003e C2 (U, U) H

Az eredményekből következik, hogy az A operátor energia normáját a (8) képlet szerint fejezzük ki.

Az evolúciós probléma megoldhatósága. A következő tételeket megfogalmazzuk.

MEGJEGYZÉS 1. Hagyja el a feltételeket

U0 £ d (A1 / 2), U0 £ h, f (t) £ c (; h),

ezután a probléma (7) van egy gyenge az u (t) a képlet által meghatározott szegmensen

U (t) \u003d U0 COS (TA1 / 2) + U1 SIN (TA1 / 2) + / SIN ((T - S) A1 / 2) A-1 / 2F (S) DS.

5 A külső Perturbation F (£) hiányát az energiatakarékosság törvénye végzi

1 II. 1 / 2U2 \u003d 1

1 II A1 / 2U 0 | H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Saját ingadozások a rúdcsomagban. Veszünk, hogy a külső erők területe nem befolyásolja a rúdrendszert: f (t) \u003d 0. Ebben az esetben a rudakat szabadnak hívják. A rudak szabad mozgása az Exp (IWT) törvény alatt, hívja a saját oszcillációjukat. (7) u (f, t) \u003d u (g) \u200b\u200beiwí, az A kezelő spektrális feladatait kapjuk:

AU - AEU \u003d 0, L \u003d SH2. (kilenc)

A kezelő tulajdonságai lehetővé teszik, hogy megfogalmazza a spektrum tételét és a saját funkcióinak tulajdonságait.

Tétel 2. A spektrális probléma (9) a rúdcsomag saját oszcillációján van egy diszkrét pozitív spektrum

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

és az eInenfunkciók rendszere (UK (G)) ^ \u003d 0, teljes és ortogonális a H és ha teremben, és az ortogonalitás következő képletei:

(UFE, USA) H \u003d £ m (xj ufejmsjdx \u003d j \u003d 0 0

(UK \u003d £ / c ^) D * +

K ("FEO - MFEJ) (USO -) \u003d Afeífes. J \u003d I.

A spektrális probléma tanulmányozása egy homogén rúdcsomag esetében. Az M- (W, £) mozgásainak függvényét M- (F, £) \u003d m- (g) formájában, a változók elválasztása után spektrális feladatokat kapunk minden rúd számára:

^ Oi + lm \u003d 0, ^ \u003d 0,1,2, ..., n (10)

ki írja a mátrix formában

4 £ +, hogy \u003d 0,

A \u003d -, -, ..., ..., -

\\ T0 t1 t2 t

és \u003d (és0, és1, és2, ..., és ") t.

A kapott eredmények megoldása és elemzése. Jelölje meg a központi rudat a telken, mint i01 és a helyszínen I02 (G). Ugyanakkor az I02 funkció esetében a koordináták származása a koordináta pontjára kerül. Minden rúd esetében képzeljük el az egyenlet (10) oldatát

Ismeretlen konstansok keresése (11), használjuk a fent megfogalmazott határfeltételeket. A homogén határfeltételektől néhány konstansot definiálhat, nevezetesen:

C02 \u003d C12 \u003d C22 \u003d C32 \u003d C42 \u003d ... \u003d CN 2 \u003d 0.

Ennek eredményeképpen az N + 3 konstansok: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41, ..., CN1. Ehhez megoldjuk az N + 3 egyenlet N + 3 ismeretlen.

A kapott rendszert a mátrix formában írjuk: (a) (c) \u003d (0). Itt (c) \u003d (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41, ..., CN 1) t - ismeretlen vektor; A) - jellemző mátrix,

cos (L1) EF0 L SIN (L1) +

L sin (l (zo - 1)) l cos (l (zO - 1)) 0 00 0 \\ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

a \u003d e- ^ ^ a-l ^; B \u003d -k CO8 ((40-01L) 1/2 ^;

7 \u003d (A4 "-1 L) 1/2 AP ((egy" 1L) 1/2 + ov ((egy "1L) 1/2;

(~ 1/2 ~ l \u003d ^ l]; a--: 3 \u003d 0.

Ha változót kereshet, állandó C01 € m. Van két lehetőség: C01 \u003d 0; C01 \u003d 0.

Legyen C01 \u003d 0, majd C03 \u003d C04 \u003d 0. Ebben az esetben egy nem triviális oldat nyerhető, ha a 7 \u003d 0 (12) további feltétel végrehajtásakor 7 \u003d 0

£ C-1 \u003d 0, (13)

amely a harmadik rendszeregyenletből (12) származhat. Ennek eredményeként egyszerű frekvenciaegyenletet kapunk

EP (egy "1 l) 1/2 W ((A" 1 ^ 1/2 P +

zz Y \\ v zz

K cos ^ (a- / a) 1/2 ^ \u003d 0, j g,

egybeesik a rúd frekvenciaegyenletével, amely az egyik végén elasztikusan rögzített, ami az első részrendszernek tekinthető.

Ebben az esetben a (13) kielégítő oldalsó rudak összes lehetséges kombinációja különböző fáziskombinációknak megfelelő csoportokra osztható (a vizsgált esetben a fázist az S.D jel határozza meg). Ha megegyezik az oldalsó rudak, akkor két lehetőségünk van:

1) SD \u003d 0, majd az ilyen P kombinációk száma a különböző N-hez a p \u003d n 2 képlet alapján számítható, ahol a maradék nélküli hasadási funkció;

2) A konstansok bármely (vagy bármilyen) 0-nak felel meg, majd növeli a lehetséges kombinációk számát, és meghatározható a képlet

£ [(n - m) div 2].

Legyen COI \u003d 0, majd CN \u003d C21 \u003d C31 \u003d C41 \u003d ... \u003d CN1 \u003d C01 (-B / T), ahol B és Y azok a komplexek (12). A rendszerből (12) is: C03 \u003d C01 COS (L /); C04 \u003d C03 TG (L (/ 0 - /)) \u003d C01 COS (A /) X X TG (L (/ 0 - /)), OK. Minden konstans C01-en keresztül fejeződik ki. A frekvenciaegyenlet képezi a nézetet

EFO U-O1 L TG A-1 L) "(LO-L)) -

K2 cos | í a! -, 1 l

Példaként tekintse meg a rendszert négy oldalsó rúddal. A fentiekben ismertetett módszer mellett ehhez a példához lehet rögzíteni a teljes rendszer frekvenciaegyenletét, kiszámíthatja a mátrix meghatározó anyagát, és nulla értékkel. Úgy véljük, nézetünk

Y4 (l sin (L (/ O - /)) COS (L /) EFA +

L COS (L (/ O - /)) (EFA SIN (L /) + 4V)) -

4AVT3L COS (L (/ 0 - /)) \u003d 0.

A fent említett esetekben a transzcendentális frekvenciaegyenletek grafikonjai a 4. ábrán bemutathatók. 2. A forrásadatokként a következőket fogadták el: EF \u003d 2 109 N; EF0 \u003d 2,2 109 N; k \u003d 7 107 N / m; M \u003d 5900 kg / m; Mo \u003d 6000 kg / m; / \u003d 23; / O \u003d 33 m. A vizsgált áramkör rezgéseinek első három frekvenciájának értékei az alábbiakban vannak megadva:

n .......................................

És örülök ..............................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Ábra. 2. A transzcendentális frekvenciaegyenletek grafikonjai a COI \u003d 0 (i) és a COI \u003d 0 (2)

A kapott oldatoknak megfelelő oszcillációk formáit (általában az oszcilláció alakja nem normalizált). Az első, második, harmadik, negyedik, 13 és 14 frekvenciáknak megfelelő oszcillációk formái az 1. ábrán láthatóak. 3. Az oszcillációk első frekvenciáján az oldalsó rudak ugyanolyan formában ingadoznak, de párban az antifázisban

3. ábra. Az első V \u003d 3,20 Hz (A), a második v \u003d 5,02 Hz (B), a harmadik v \u003d 10,02 Hz (B), a negyedik v \u003d 13,60-nak megfelelő laterális (1) és Hz (g), 13. v \u003d 45,90 Hz (D) és 14. v \u003d 50,88 Hz (E) frekvenciák

(3. ábra, A), a második központi rúdra oszcillációt tesz lehetővé, és az oldali ingadozások ugyanolyan formában vannak a fázisban (3. ábra, b). Meg kell jegyezni, hogy a figyelembe vett rúdrendszer oszcillációjának első és második frekvenciája megfelel a szilárd anyagból álló rendszer ingadozásainak.

Amikor a rendszer ingadozik a harmadik saját frekvenciával, megjelenik az első csomópontok (3. ábra, b). A harmadik és a későbbi frekvenciák (3. ábra, D) megfelelnek a rendszer rugalmas ingadozásainak. A rugalmas elemek hatásának csökkenésével járó oszcillációk gyakoriságának növekedésével nőnek, az oszcilláció gyakorisága és alakja részleges (3. ábra, D, E).

Funkciógörbék, amelyek metszéspontjait az abszcissza tengellyel a transzcendentális egyenletek megoldásai, az 1. ábrán mutatjuk be. 4. Az ábrák szerint a rendszer belső frekvenciái a részleges frekvenciák közelében találhatók. Amint azt fentebb említettük, a gyakoriság növekedésével a részleges növekedéssel rendelkező saját frekvenciák elérése. Ennek eredményeképpen az egész rendszer ingadozik, feltételesen két csoportra osztható: közel az oldalsó rúd részleges frekvenciáihoz és a központi rúd részleges frekvenciáihoz közel álló frekvenciákhoz.

Következtetések. A rúdcsomag hosszanti ingadozásainak feladata. A felemelt határérték problémájának tulajdonságait és saját értékeinek spektrumát ismertetjük. A spektrális problémát az önkényes homogén oldali rudak tetszőleges számára javasoljuk. A numerikus példához az oszcillációk első frekvenciáinak értékei megtalálhatók, és a megfelelő formák épülnek fel. Az oszcillációk formáinak néhány jellemző tulajdonságai is feltártak.

Ábra. 4. olyan funkciók görbéi, amelyek metszéspontja abszcissza tengellyel a transzcendentális egyenletek megoldásai, a sali \u003d 0 (1), a sál \u003d 0 (2) egybeesik az első részrendszerrel (oldalsó rúd, az elasztikus elemre rögzítve az X pontra \u003d i) és a második részrendszer (5) (5) (központi rúd, amely az A ponton négy rugalmas elemre van rögzítve)

IRODALOM

1. Kolesnikov K. A rakéták dinamikája. M.: Gépészmérnöki, 2003. 520 p.

2. Ballisztikus rakéták és hordozó rakéták / um.m. Alifana, A.n. Andreev, v.n. Gushchin és munkatársai: Drop, 2004. 511 p.

3. Rabinovich B.I. Bevezetés az űrhajók hordozó rakétáinak dinamikájába. M.: Gépipar, 1974. 396 p.

4. Paramétervizsgálat a folyékony rakéták Pogo stabilitásáról / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. űrhajó és rakéták. 2011. Vol. 48.. 3. P. 537-541.

5. Balakirev yu.g. Analízisére szolgáló módszerek hosszanti rezgéseinek hordozó rakéta folyékony motorral // Űrhajózási és rakéta oktatás. 1995. No. 5. P. 50-58.

6. Balakirev yu.g. A folyadékcsomag elrendezésének matematikai modelljének jellemzői a modern mérnöki erő erejének kiválasztott problémái. 2008. P. 43-55.

7. DOKUCHAEV L.V. A csomagkapcsolt rakéta dinamikájának dinamikájának vizsgálatainak javítása, figyelembe véve a szimmetria // cosmonautics és a rakétafunkciókat. 2005. No. 2. P. 112-121.

8. Lehetséges A.A. Hozzávetőleges analitikai módszerek kifejlesztése a rugalmas rugalmas kagylók saját és kényszerített oszcillációinak kiszámításához: DIS. ... Dr. Tehn. tudomány M., 2005. 220 s.

9. Crane S.G. Lineáris differenciálegyenletek a Banach terekben. M.: Science, 1967. 464 p.

10. Kopachevsky I.d. A matematikai fizika üzemeltetői módszerei. Simferopol: LLC "forma", 2008. 140 p.

Kolesnikov K. Dinamika rakét. Moszkva, Mashinostroenie publ., 2003. 520 p.

Alifanov O.N., Andreev A.n., Gushchin v.n., eds. BallisticsKie Rakety I Rakety-Nositeli. Moszkva, Drofa Publ., 2003. 511 p.

Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku rakét-nositeley kosmicheskikh appatov. Moszkva, Mashinostroenie publ., 1974. 396 p.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Paramétervizsgálat a folyékony üzemanyag rakéta Pogo stabilitására. J. Spacecraft és rakéták, 2011, vol. 48, ISS. 3, PP. 537-541.

Balakirev yu.g. A Launchuda Wehemles hosszanti vibrációinak elemzésének módszerei folyékony hajtóanyag-motorral. Kosm. I raketostr. , 1995, nem. 5, Pp. 50-58 (Russ.).

Balakirev yu.g. OsoBennosti Matematicheskoy Modelli Zhidkostnoy Rakety Paketnoy Komponovki Kak Ob "Ekta Upravlenii. Sb." Izbravenye Probléma Propnosti Sovremennogo Mashinostiya ". Moszkva, Fizmatlit publ., 2008. 204 p. (Idézett 4355. oldal).

DOKUCHAEV L.V. A fürtözött indító jármű dinamikájának tanulmányozására szolgáló módszerek javítása, figyelembe véve szimmetriájukat. Kosm. I raketostr. , 2005, nem. 2, PP. 112-121 (Russ.).

Pozhalostin A.A. Razrabotka pribizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost "yu. Doc. Tekhn. Nauk.

Kreyn s.g. Lineynye differentsialsial "Nye Uravneniya kontra banakhovykh prostranstvakh. Moszkva, Nauka publ., 1967. 464 p. Kopachevskiy i.d. Operatornye Matody Matematicheskoy Fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140.

A cikk 2014. április 28-án kapott

Pavlov Arseny Mikhailovich - A tanszék hallgatója "Space Abers és Carrier rakéták" MSTU őket. HIRDETÉS Bauman. Specializálódott rakéta és űr technológia.

MSTU őket. HIRDETÉS Baumash, Orosz Föderáció, 105005, Moszkva, 2. Bauman St., 5.

Pavlov A.M. - A Bauman Moszkva Állami Műszaki Egyetem "űrhajó és indító járművek" tanszéke. Szakember a rakéta-space technológia területén. Bauman Moszkva Állami Műszaki Egyetem, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moszkva, 105005 Orosz Föderáció.

Alexander Nikolayevich - Kand. fizikai szőnyeg. Tudományok, egyetemi docens a tanszék "űrhajó és Carrier rakéták" mstu őket. HIRDETÉS Bauman. A szerző több mint 20 tudományos munka a folyékony és gázmechanika és a rakéta-space technológia területén. MSTU őket. HIRDETÉS Baumash, Orosz Föderáció, 105005, Moszkva, 2. Bauman St., 5.

Temnov a.n. - Cand. Sci. (Phys.-matematika.), Assoc. A Bauman Moszkva Állami Műszaki Egyetem "SpaceCraft és indító járművek" tanszéke. Több mint 20 kiadvány szerzője a folyadék- és gázmechanika és a rakéta-space technológia területén.

Bauman Moszkva Állami Műszaki Egyetem, 2-ya Baumanskaya ul. 5, Moszkva, 105005 Orosz Föderáció.