Tulajdonságjelek egyenlő oldalú háromszög definíciója. Szabályos háromszög

7. definíció. Minden olyan háromszöget, amelynek két oldala egyenlő, egyenlő szárúnak nevezzük.
Két egyenlő oldalt laterálisnak, a harmadikat alapnak nevezzük.
8. definíció. Ha egy háromszög mindhárom oldala egyenlő, akkor egy ilyen háromszöget egyenlő oldalúnak nevezünk.
Ez egy egyenlő szárú háromszög részleges képe.
18. tétel. Az egyenlő szárú háromszög alapra süllyesztett magassága egyben az egyenlő oldalak közötti szög felezője, az alap mediánja és szimmetriatengelye.
Bizonyíték. Csökkentsük a magasságot az egyenlő szárú háromszög alapjához. Két egyenlő részre osztja (a láb és a hypotenusa mentén) derékszögű háromszög... Az A és C szögek egyenlőek, és a magasság az alapot is kettéosztja, és az egész szóban forgó ábra szimmetriatengelye lesz.
Ez a tétel a következőképpen is megfogalmazható:
18.1. Tétel. Egy egyenlő szárú háromszög alapra süllyesztett mediánja egyben az egyenlő oldalak közötti szög felezője, az alap magassága és szimmetriatengelye.
18.2. Tétel. Egy egyenlő szárú háromszög alapra süllyesztett felezőpontja egyben az alap magassága, mediánja és szimmetriatengelye.
18.3. Tétel. Egy egyenlő szárú háromszög szimmetriatengelye egyben az egyenlő oldalak, a medián és a magasság közötti szög felezője.
Ezeknek a következményeknek a bizonyítása következik azon háromszögek egyenlőségéből is, amelyekre az egyenlő szárú háromszög fel van osztva.

19. tétel. Egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek egyenlőek.
Bizonyíték. Csökkentsük a magasságot az egyenlő szárú háromszög alapjához. Két egyenlő (a láb és a hipotenusz mentén) derékszögű háromszögre osztja, ami azt jelenti, hogy a megfelelő szögek egyenlőek, azaz. ∠ A = ∠ C
Az egyenlő szárú háromszög kritériumai az 1. tételből és annak következményeiből, valamint a 2. tételből következnek.
20. tétel. Ha ebből a négy egyenesből kettő (magasság, medián, felező, szimmetriatengely) egybeesik, akkor a háromszög egyenlő szárú lesz (ami azt jelenti, hogy mind a négy egyenes egybeesik).
21. tétel. Ha egy háromszög bármely két szöge egyenlő, akkor egyenlő szárú.

Bizonyíték: Hasonlóan a direkt tétel bizonyításához, de a háromszögek egyenlőségének második tesztjét használjuk. A tömegközéppont, a körülírt és beírt körök középpontja és egy egyenlő szárú háromszög magasságainak metszéspontja - mind a szimmetriatengelyén fekszik, azaz. magasan.
Egyenlő oldalú háromszög minden oldalpárja egyenlő szárú. Tekintettel az összes oldal egyenlőségére, egy ilyen háromszög mindhárom szöge egyenlő. Figyelembe véve, hogy bármely háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő, azt látjuk, hogy egy egyenlő oldalú háromszög mindegyik szöge 60 °. Ezzel szemben, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a háromszög minden oldala egyenlő, elegendő ellenőrizni, hogy három szögéből kettő 60 °-os.
22. tétel ... Egy egyenlő oldalú háromszögben minden figyelemre méltó pont egybeesik: a súlypont, a beírt és körülírt körök középpontja, a magasságok metszéspontja (a háromszög ortocentruma).
23. tétel ... Ha a négy pont közül kettő egybeesik, akkor a háromszög egyenlő oldalú, és ennek eredményeként mind a négy megnevezett pont egybeesik.
Valójában egy ilyen háromszög az előző szerint egyenlő szárú bármely oldalpárhoz képest, azaz. egyenlő oldalú. Az egyenlő oldalú háromszöget szabályos háromszögnek is nevezik. Egy egyenlő szárú háromszög területe egyenlő az oldalsó oldal négyzetének és az oldalak közötti szög szinuszának szorzatának felével
Tekintsük ezt a képletet egy egyenlő oldalú háromszögre, akkor az alfa szög 60 fok lesz. Ekkor a képlet így fog kinézni:

d1 tétel ... Egy egyenlő szárú háromszögben az oldalsó oldalakra húzott mediánok egyenlőek.

Bizonyíték: Legyen ABC egyenlő szárú háromszög (AC = BC), AK és BL ennek mediánja. Ekkor az AKB és ALB háromszögek egyenlőek a háromszögek második egyenlőségének jele szerint. Közös AB oldaluk van, az AL és BK oldalak egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög oldaloldalainak felével, a LAB és KBA szögek pedig egyenlő szárú háromszög alapjában bezárt szögek. Mivel a háromszögek egyenlőek, AK és LB oldaluk egyenlő. De AK és LB egy egyenlő szárú háromszög mediánja, amely az oldalsó oldalaihoz húzódik.
d2 tétel ... Egy egyenlő szárú háromszögben az oldalakra húzott felezők egyenlőek.

Bizonyíték: Legyen ABC egyenlő szárú háromszög (AC = BC), AK és BL pedig felezői. Az AKB és ALB háromszögek egyenlőek a háromszög egyenlőség második jelében. Közös AB oldaluk van, a LAB és KBA szögek egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögekkel, az LBA és KAB szögek pedig egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek felével. Mivel a háromszögek egyenlőek, oldalaik AK és LB - az ABC háromszög felezői - egyenlőek. A tétel bizonyítva van.
d3 tétel ... Egy egyenlő szárú háromszögben az oldalsó oldalakra eső magasságok egyenlőek.

Bizonyíték: Legyen ABC egyenlő szárú háromszög (AC = BC), AK és BL a magassága. Ekkor az ABL és a KAB szögek egyenlőek, mivel az ALB és AKB szögek derékszögűek, a LAB és ABK szögek pedig egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögekkel. Ezért az ALB és az AKB háromszögek egyenlőek a háromszögek második egyenlőségének jelében: közös oldal AB, a KAB és LBA szögek egyenlőek a fentiekben, a LAB és KBA szögek pedig egyenlőek egy egyenlő szárú háromszög alapjában. Ha a háromszögek egyenlőek, akkor AK és BL oldaluk is egyenlő. Q.E.D.

A „Get an A” videótanfolyam tartalmazza az összes szükséges témát sikeres szállítás Matematika egységes államvizsga 60-65 pontra. Teljesen a Profil egységes matematika államvizsga 1-13. Matematika alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 pontra szeretnél sikeresen vizsgázni, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!

Vizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. osztályosoknak, valamint pedagógusoknak. Minden, ami a vizsga 1. részének matematikából (első 12 feladat) és 13. feladatának (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont a vizsgán, és ezek nélkül sem százpontos, sem bölcsészhallgató nem tud nélkülözni.

Minden elmélet, amire szüksége van. Gyors módszerek a vizsga megoldásai, csapdái és titkai. A FIPI Feladatbankjából kiszedtem az 1. rész összes vonatkozó feladatát. A tanfolyam teljes mértékben megfelel a 2018-as vizsga követelményeinek.

A tanfolyam 5-öt tartalmaz nagy témákat, egyenként 2,5 óra. Minden téma a semmiből, egyszerű és egyértelmű.

Több száz vizsgafeladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, minden típusú USE megbízás elemzése. Sztereometria. Trükkös trükkök megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria az elejétől a problémaig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Összetett fogalmak vizuális magyarázata. Algebra. Gyökök, fokok és logaritmusok, függvény és derivált. A megoldás alapja nehéz feladatok 2 vizsgarész.

Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek egy adott személy azonosítására vagy a vele való kapcsolatfelvételre használhatók.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor kérést hagy az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről számoljunk be.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékon, versenyen vagy hasonló promóciós eseményen, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk e programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik felek számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - törvényben, bírósági végzésben, bírósági eljárásban, és/vagy nyilvános megkeresés vagy kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - személyes adatainak felfedésére. Akkor is közölhetünk Önnel kapcsolatos információkat, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb társadalmilag fontos okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő harmadik félnek - a jogutódnak.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai jellegűeket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Annak érdekében, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy személyes adatai biztonságban vannak, munkatársaink elé tárjuk a titoktartási és biztonsági szabályokat, és szigorúan figyelemmel kísérjük a titoktartási intézkedések végrehajtását.

Az iskolai geometria tanfolyamon hatalmas időt fordítanak a háromszögek tanulmányozására. A tanulók szögeket számolnak, felezőket és magasságokat építenek, megtudják, hogy az ábrák miben térnek el egymástól, és hogyan találják meg legegyszerűbben területüket és kerületüket. Úgy tűnik, ez nem fog jól jönni az életben, de néha mégis hasznos megtanulni, például, hogyan állapítható meg, hogy egy háromszög egyenlő oldalú vagy tompaszögű. Hogyan lehet ezt megtenni?

A háromszögek típusai

Három pont, amely nem egy egyenesen fekszik, és az ezeket összekötő szakaszok. Úgy tűnik, hogy ez a szám a legegyszerűbb. Mik lehetnek a háromszögek, ha csak három oldaluk van? Valójában jó néhány lehetőség van nagyszámú, és ezek egy része adott Speciális figyelem az iskolai geometria tanfolyam részeként. A szabályos háromszög egyenlő oldalú, azaz minden szöge és oldala egyenlő. Számos figyelemre méltó tulajdonsággal rendelkezik, amelyeket az alábbiakban tárgyalunk.

Az egyenlőszárúnak csak két egyenlő oldala van, és ezek is elég érdekesek. Egy téglalap alakúban, és ahogy sejthető, az egyik sarok egyenes vagy tompa. Lehetnek azonban egyenlő szárúak is.

Van egy speciális, egyiptomi is. Oldalai 3, 4 és 5 egységnyiek. Ráadásul téglalap alakú. Úgy gondolják, hogy az egyiptomi földmérők és építészek aktívan használták derékszögek építésére. Úgy tartják, hogy a híres piramisok az ő segítségével állították fel.

És mégis, a háromszög összes csúcsa ugyanazon az egyenesen feküdhet. Ebben az esetben degeneráltnak nevezzük, míg az összes többi nem degenerált. Ők azok, akik a geometria tanulmányozásának egyik alanyai.

Egyenlő oldalú háromszög

Természetesen mindig a helyes számadatok a legfontosabbak. Tökéletesebbnek, kecsesebbnek tűnnek. A jellemzőik kiszámítására szolgáló képletek gyakran egyszerűbbek és rövidebbek, mint a közönséges alakzatok esetében. Ez vonatkozik a háromszögekre is. Nem meglepő, hogy a geometria tanulmányozása során nagy figyelmet fordítanak rájuk: a tanulókat megtanítják megkülönböztetni a helyes alakzatokat a többitől, és beszélnek néhány érdekes jellemzőjükről.

Jelek és tulajdonságok

Ahogy a névből sejthető, egy egyenlő oldalú háromszög mindkét oldala egyenlő a másik kettővel. Ezenkívül számos olyan tulajdonsággal rendelkezik, amelyeknek köszönhetően megállapítható, hogy az ábra helyes-e vagy sem.

Ha a fenti jelek közül legalább az egyik megfigyelhető, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Mert helyes ábra a fenti állítások mindegyike igaz.

Minden háromszögnek számos figyelemre méltó tulajdonsága van. Először is, a középső vonal, vagyis a két oldalt kettéosztó és a harmadikkal párhuzamos szakasz egyenlő az alap felével. Másodszor, ennek a számnak az összes szögének összege mindig 180 fok. Ezen kívül van még egy furcsa kapcsolat a háromszögekben. Tehát van egy nagyobb szög a nagyobb oldallal szemben, és fordítva. De ennek természetesen semmi köze egy egyenlő oldalú háromszöghez, mert minden szöge egyenlő.

Beírt és körülírt körök

A geometria-tanfolyamon a hallgatók gyakran azt is megvizsgálják, hogy az alakzatok hogyan hatnak egymásra. Különösen a sokszögekbe írt vagy körülírt köröket tanulmányozzák. Miről szól?

A beírt kör olyan kör, amelyre a sokszög minden oldala érintőleges. Leírva - olyan, amelynek minden sarokkal érintkezési pontja van. Minden háromszöghez mindig megépítheti az első és a második kört is, de mindegyik típusból csak egyet. E kettő bizonyítéka

tételek az iskolai geometria tantárgyban hangzanak el.

A háromszögek paramétereinek kiszámítása mellett egyes feladatok magukban foglalják e körök sugarának kiszámítását is. És az alkalmazott képletek
egyenlő oldalú háromszögek a következők:

ahol r a beírt kör sugara, R a körülírt kör sugara, a a háromszög oldalának hossza.

Magasság, kerület és terület kiszámítása

A fő paraméterek, amelyeket az iskolások a geometria tanulmányozása során számítanak ki, szinte minden szám esetében változatlanok maradnak. Ezek a kerület, a terület és a magasság. Különféle képletek léteznek a számítás megkönnyítésére.

Tehát a kerületet, azaz az összes oldal hosszát a következő módon számítják ki:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, ahol a egy szabályos háromszög oldala, R a körülírt kör sugara, r a körülírt kör.

h = (√ ̅3 / 2) * a, ahol a az oldalhossz.

Végül a képletet a standardból származtatjuk, vagyis az alap felének a magasságával való szorzatából.

S = (√ ̅3 / 4) * a 2, ahol a az oldalhossz.

Ez az érték a körülírt kör vagy a beírt kör paraméterei alapján is kiszámítható. Erre is vannak speciális képletek:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3 / 4) * R 2, ahol r és R a beírt, illetve a körülírt kör sugarai.

Épület

Egy másik érdekes problématípus, beleértve a háromszögeket is, azzal a szükséglettel kapcsolatos, hogy egy adott alakzatot minimális halmaz segítségével kell megrajzolni

műszerek: körző és vonalzó osztás nélkül.

Ha csak ezekkel az eszközökkel szeretne szabályos háromszöget felépíteni, több lépést kell követnie.

1. Meg kell rajzolni egy tetszőleges sugarú kört, amelynek középpontja tetszőleges A pontban van.
2. Ezután egyenes vonalat kell húznia ezen a ponton.
3. A kör és az egyenes metszéspontjait B-vel és C-vel kell jelölni. Minden építkezést a lehető legnagyobb pontossággal kell elvégezni.
4. Ezután egy másik, azonos sugarú és középpontú kört kell felépítenie a C pontban vagy egy ívet a megfelelő paraméterekkel. A metszéspontok D és F jelzéssel lesznek megjelölve.
5. A B, F, D pontokat szakaszokkal kell összekötni. Egyenlő oldalú háromszög készül.

Az ilyen problémák megoldása általában az iskolások problémája, de ez a készség hasznos lehet a mindennapi életben.