Mekkora a prizma teljes felülete. Szabályos négyszög alakú prizma térfogata és felülete

Polyhedra

A sztereometria tanulmányozásának fő tárgya a térbeli testek. Test a tér egy bizonyos felület által határolt része.

Poliéder testnek nevezzük, amelynek felülete véges számú lapos sokszögből áll. A poliédert konvexnek nevezzük, ha a felületén minden lapos sokszög síkjának egyik oldalán helyezkedik el. Az ilyen sík közös részét és a poliéder felületét ún él... A domború politóp felülete lapos, domború sokszög. Az arcok oldalait ún poliéder élek a csúcsok pedig a poliéder csúcsai.

Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek az arca. 12 élt (a négyzetek oldalait) és 8 csúcsot (a négyzetek tetejét) tartalmaz.

A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk tanulmányozni.

Prizma

A prizma meghatározása és tulajdonságai

Prizma sokszögnek nevezzük, amely két párhuzamos síkban fekvő síkbeli sokszögből áll, párhuzamos fordítással kombinálva, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szegmensből. A sokszögeket ún prizma bázisok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szegmensek a prizma oldalsó élei.

A prizma magassága az alapjai síkjai közötti távolság (). Az a szegmens, amely a prizma két csúcsát összeköti, amelyek nem ugyanazon oldalhoz tartoznak, ún átlós prizma(). A prizmát nevezik n-szög ha n-gon van a tövében.

Bármely prizma a következő tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek abból adódnak, hogy a prizma alapjai párhuzamos fordítással vannak igazítva:

1. A prizma alapjai egyenlők.

2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlők.

A prizma felülete bázisokból és oldalsó felület... A prizma oldalfelülete paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területeinek összege.

Egyenes prizma

A prizmát ún egyenes ha őt oldalsó bordák merőleges az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát nevezik ferde.

Az egyenes prizma lapjai téglalapok. Az egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.

Teljes prizma felület az oldalfelület és az alapok területeinek összege.

Helyes prizma egyenes prizmának nevezzük, szabályos sokszöggel az alján.

Tétel 13.1... Az egyenes prizma oldalfelületének területe egyenlő a kerület szorzatával a prizma magasságával (vagy, ami azonos, az oldalsó élével).

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldalfelületei téglalapok, amelyek alapjai a prizma alján lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalfelület:

,

hol van az egyenes prizma alapjának kerülete.

Paralelepipedon

Ha a prizma alapjain paralelogrammák vannak, akkor az ún paralelepipedon... Egy párhuzamos cső minden oldala paralelogramma. Ebben az esetben a párhuzamos csövek szemközti oldala párhuzamos és egyenlő.

Tétel 13.2... A párhuzamos csövek átlói egy pontban metszik egymást, és a metszéspont feleződik.

Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és. Mert a párhuzamos csövek lapjai paralelogrammák, majd és ezért T szerint körülbelül két egyenes párhuzamos a harmadikval. Ezenkívül ez azt jelenti, hogy a vonalak és ugyanabban a síkban (síkban) fekszenek. Ez a sík metszi a párhuzamos síkokat és párhuzamos vonalak mentén és. Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága szerint az átlói és metszéspontjai, valamint a metszéspont felére van osztva, ezt kellett bizonyítanunk.

Azokat a négyszögletes párhuzamosokat, amelyek alapja téglalap, nevezzük téglalap alakú párhuzamos... Egy téglalap alakú párhuzamos cső minden oldala téglalap. Egy téglalap alakú párhuzamos cső nem párhuzamos éleinek hosszát annak nevezzük lineáris méretek(mérések). Három ilyen méret létezik (szélesség, magasság, hossz).

Tétel 13.3... Egy téglalap alakú párhuzamos csövön bármelyik átló négyzete egyenlő három dimenzió négyzeteinek összegével (a T Pythagoras kétszeres alkalmazása segítségével bizonyított).

Téglalap alakú párhuzamos, amelyben minden éle egyenlő, az ún kocka.

Feladatok

13.1 Hány átló van n- szögprizma

13.2 Ferde háromszögprizmában az oldalbordák közötti távolságok 37, 13 és 40. Keresse meg a távolságot a nagyobb oldalszél és az ellenkező oldalélek között.

13.3 A szabályos háromszög alakú prizma alsó talpának oldalán keresztül egy sík rajzolódik ki, amely metszi az oldalfelületeket a szegmensek mentén, amelyek szöge. Keresse meg e sík dőlésszögét a prizma alapjához.

Meghatározás.

Ez egy hatszög, amelynek alapjai két egyenlő négyzet, az oldallapok pedig egyenlő téglalapok.

Oldalsó borda- Ezt közös oldala két szomszédos oldallap

Prizma magasság a prizma alapjaira merőleges szegmens

Átlós prizma- szegmens, amely összeköti az alapok két csúcsát, amelyek nem ugyanazon oldalhoz tartoznak

Átlósík- sík, amely áthalad a prizma átlóján és az oldaléleken

Átlós szakasz- a prizma és az átlósík metszéspontjának határai. A szabályos négyszög prizma átlós metszete téglalap

Merőleges szakasz (ortogonális szakasz) egy prizma és az oldaléleire merőleges sík metszéspontja

Szabályos négyszög alakú prizma elemei

Az ábrán két szabályos négyszög alakú prizma látható, amelyeket a megfelelő betűk jelölnek:

• Az ABCD és az A 1 B 1 C 1 D 1 bázisok egyenlők és párhuzamosak egymással
• Oldallapok AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C és CC 1 D 1 D, mindegyik téglalap
• Oldalfelület - a prizma összes oldallapjának területeinek összege
• Teljes felület - az összes alap és oldalfelület területeinek összege (az oldalfelület és az alapok területének összege)
• Oldalsó bordák AA 1, BB 1, CC 1 és DD 1.
• Átlós B 1 D
• Alapátló BD
• BB 1 D 1 D átlós szakasz
• Merőleges szakasz A 2 B 2 C 2 D 2.

Szabályos négyszög alakú prizma tulajdonságai

• Az alap két egyenlő négyzet
• Az alapok párhuzamosak egymással
• Az oldallapok téglalap alakúak
• Az oldallapok egyenlők egymással
• Az oldallapok merőlegesek az alapokra
• Az oldalsó bordák párhuzamosak és egyenlők
• Merőleges metszet merőleges minden oldalélekre és párhuzamos az alapokkal
• A merőleges szakasz sarkai egyenesek
• A szabályos négyszög prizma átlós metszete téglalap
• Az alapokkal párhuzamos merőleges (merőleges szakasz)

Szabályos négyszögprizma képletei

Utasítások a problémák megoldásához

A témával kapcsolatos problémák megoldásakor " szabályos négyszög alakú prizma"érthető, hogy:

Helyes prizma- prizma, amelynek tövében szabályos sokszög található, és az oldalélek merőlegesek az alapsíkra. Azaz egy szabályos négyszög alakú prizma tartalmazza az alapját négyzet... (lásd a fenti szabályos négyszögprizma tulajdonságait) jegyzet... Ez a lecke része a geometriai feladatokkal (szakaszsztereometria - prizma). Itt vannak azok a feladatok, amelyek nehézségeket okoznak a megoldásban. Ha olyan geometriai problémát kell megoldania, amely nincs itt, írjon róla a fórumban. A kitermelési művelet jelzésére négyzetgyök a problémamegoldásokban a szimbólumot használják√ .

Egy feladat.

Szabályos négyszög alakú prizmában az alapterület 144 cm 2, a magassága pedig 14 cm Keresse meg a prizma átlóját és a teljes felületet.

Megoldás.
A szabályos négyszög négyzet.
Ennek megfelelően az alap oldala egyenlő lesz

√144 = 12 cm.
Honnan lesz egy szabályos téglalap alakú prizma alapjának átlója
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Átlós helyes prizma derékszögű háromszöget alkot az alap átlójával és a prizma magasságával. Ennek megfelelően a Pitagorasz -tétel szerint egy adott szabályos négyszög alakú prizma átlója egyenlő lesz:
√ ((12√2) 2 + 14 2) = 22 cm

Válasz Mérete: 22 cm

Egy feladat

Határozza meg a szabályos négyszög alakú prizma teljes felületét, ha az átlója 5 cm, az oldallapjának átlója pedig 4 cm.

Megoldás.
Mivel egy szabályos négyszög alakú prizma tövében van egy négyzet, megtaláljuk az alap oldalát (a -val jelölve) a Pitagorasz -tétel szerint:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Az oldallap magassága (h -val jelölve) ekkor egyenlő lesz:

H 2 + 12,5 = 42
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

A teljes felület megegyezik az oldalfelület összegével és az alapterület kétszeresével

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4,43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7 * 25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Válasz: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

"A Pitagorasz -tétel tanulsága" - A Pitagorasz -tétel. Határozza meg a KMNP négyszög nézetét. Bemelegítés. Ismerkedés a tétellel. Határozza meg a háromszög típusát: Óravázlat: Történelmi háttér. A legegyszerűbb feladatok megoldása. És talál egy 125 láb hosszú létrát. Számítsa ki az ABCD trapéz CF magasságát! Bizonyíték. Képek megjelenítése. A tétel bizonyítása.

"Prizma térfogata" - A prizma fogalma. Egyenes prizma. Az eredeti prizma térfogata megegyezik az S · h szorzattal. Hogyan lehet megtalálni az egyenes prizma hangerejét? A prizma egyenes háromszög alakú prizmákra osztható, h magassággal. Az ABC háromszög magasságának rajzolása. A probléma megoldása. A lecke céljai. Melyek a fő lépések a közvetlen prizma -tétel bizonyításában? A prizma térfogatára vonatkozó tétel tanulmányozása.

"Poliéderprizma" - Adja meg a poliéder definícióját. DABC - tetraéder, domború poliéder. Prizmák alkalmazása. Hol használják a prizmákat? Az ABCDMP egy nyolcszög, amely nyolc háromszögből áll. ABCDA1B1C1D1 - párhuzamos, domború poliéder. Konvex poliéder. A poliéder fogalma. Az A1A2..AnB1B2..Bn poliéder prizma.

"Prizma 10. fokozat" - A prizma egy poliéder, amelynek arca párhuzamos síkban van. Prizma használata a mindennapi életben. S oldal. = P alapú. + h Egyenes prizmához: Spp = Pbasis. h + 2S bázisok. Hajlamos. Helyes. Egyenes. Prizma. A terület megtalálásának képletei. Prizma alkalmazása az építészetben. Sp.p = S oldal. + 2S alapú.

"A Pitagorasz -tétel bizonyítása" - Geometriai bizonyítás. A Pitagorasz -tétel jelentése. Pitagorasz tétel. Euklidész bizonyítéka. "BAN BEN derékszögű háromszög a hypotenuse négyzete megegyezik a lábak négyzeteinek összegével. " A tétel bizonyítása. A tétel jelentése abban rejlik, hogy a geometria tételének nagy része ebből vagy annak segítségével vezethető le.

Bármilyen sokszög feküdhet a prizma tövében - háromszög, négyszög stb. Mindkét alap pontosan azonos, és ennek megfelelően, amelyekkel a párhuzamos felületek szögei össze vannak kötve, mindig párhuzamosak. A szabályos prizma tövében egy szabályos sokszög található, vagyis az, amelyben minden oldal egyenlő. Egyenes prizmában az oldalfelületek közötti élek merőlegesek az alapra. Ebben az esetben egy tetszőleges számú szögű sokszög feküdhet az egyenes prizma tövében. Azt a hasábot, amelynek paralelogramma az alapja, párhuzamosnak nevezzük. Téglalap - különleges eset paralelogramma. Ha ez az ábra az alapnál fekszik, és az oldallapok derékszögben helyezkednek el az alappal, akkor a párhuzamos csöveket téglalap alakúnak nevezzük. Ennek a geometriai testnek a második neve téglalap alakú.

Hogy néz ki

Négyszögletes prizmák vették körül modern ember elég keveset. Ez például a szokásos karton a cipő alól, a számítógép alkatrészei stb. Nézz körül. Még egy szobában is sok téglalap alakú prizmát fog látni. Ez egy számítógépház, könyvespolc, hűtőszekrény, szekrény és sok más tárgy. A forma elsősorban azért népszerű, mert lehetővé teszi a hely lehető leghatékonyabb kihasználását, függetlenül attól, hogy a belső teret díszíti, vagy kartonba csomagolja a dolgokat költözés előtt.

Téglalap alakú prizma tulajdonságai

A téglalap alakú prizma számos speciális tulajdonsággal rendelkezik. Bármely arcpár szolgálhat, mivel az összes szomszédos felület azonos szögben helyezkedik el egymáshoz, és ez a szög 90 °. A téglalap alakú prizma térfogata és felülete könnyebben kiszámítható, mint bármely más. Vegyen bármilyen tárgyat téglalap alakú prizma alakjában. Mérje meg hosszát, szélességét és magasságát. A hangerő megtalálásához elegendő ezeket a méréseket megszorozni. Vagyis a képlet így néz ki: V = a * b * h, ahol V a térfogat, a és b az alap oldalai, h az a magasság, amellyel ez a geometriai test egybeesik az oldalsó éllel. Az alapterület kiszámítása az S1 = a * b képlet segítségével történik. Oldalsó felület esetén először ki kell számítani az alap kerületét a P = 2 (a + b) képlet segítségével, majd megszorozni a magassággal. Kiderül, hogy az S2 = P * h = 2 (a + b) * h képlet. A téglalap alakú prizma teljes felületének kiszámításához adja hozzá kétszer az alapterületet és az oldalfelületet. Az S = 2S1 + S2 = 2 * a * b + 2 * (a + b) * h = 2 képletet kapja

Előadás: Prizma, alapjai, oldalsó bordái, magassága, oldalfelület; egyenes prizma; helyes prizma

Prizma

Ha az előző kérdésekből lapos számokat tanult velünk, akkor teljesen készen áll a térfogati számok tanulmányozására. Az első szilárd anyag, amelyet megtanulunk, egy prizma lesz.

Prizma Egy terjedelmes test, amely nagyszámú arcokat.

Ennek az ábrának két sokszöge van az alapjain, amelyek párhuzamos síkokban helyezkednek el, és minden oldallapja paralelogramma.

1. ábra. 2

Tehát nézzük meg, miből áll egy prizma. Ehhez figyeljen az 1. ábrára

Amint korábban említettük, a prizmának két, egymással párhuzamos bázisa van - ezek az ABCEF és a GMNJK ötszögek. Sőt, ezek a sokszögek egyenlők egymással.

A prizma összes többi oldalát oldallapoknak nevezik - paralelogrammákból állnak. Például BMNC, AGKF, FKJE stb.

Az összes oldallap közös felületét ún oldalsó felület.

Minden szomszédos oldalpárnak van közös oldala. Ezt a közös oldalt élnek nevezik. Például MV, CE, AB stb.

Ha a prizma alsó és felső bázisát merőleges köti össze, akkor a prizma magasságának nevezzük. Az ábrán a magasság OO 1 egyenesként van jelölve.

A prizmáknak két fő típusa van: ferde és egyenes.

Ha a prizma oldalélei nem merőlegesek az alapokra, akkor az ilyen prizmát nevezzük ferde.

Ha a prizma minden éle merőleges az alapokra, akkor az ilyen prizmát nevezzük egyenes.

Ha a prizmák alapjai hazudnak szabályos sokszögek(azok, akiknek oldala egyenlő), akkor ilyen prizmát hívnak helyes.

Ha a prizma alapjai nem párhuzamosak egymással, akkor az ilyen prizmát hívják megcsonkított.

A 2. ábrán láthatja

Képletek a prizma térfogatának, területének megkeresésére

Három fő képlet létezik a hangerő megtalálására. Alkalmazásukban különböznek egymástól:

Hasonló képletek a prizma felületének megkereséséhez: