Melyik prizmát nevezzük helyesnek. A prizma alapterülete: háromszögtől sokszögig
A sztereometriai kurzus iskolai tantervében a térfogati ábrák tanulmányozása általában egy egyszerű geometriai testtel kezdődik - egy prizma poliéderével. Alapjainak szerepét 2 egyenlő, párhuzamos síkban elhelyezkedő sokszög tölti be. Különleges eset a szabályos négyszögű prizma. Alapjai 2 egyforma szabályos négyszög, amelyekre az oldalsó oldalak merőlegesek, paralelogramma (vagy téglalap, ha a prizma nem ferde) formájában.
Hogy néz ki egy prizma
A szabályos négyszög alakú prizmát hatszögnek nevezzük, amelynek alapjaiban 2 négyzet található, az oldallapokat pedig téglalapok ábrázolják. Ennek egy másik neve geometriai alakzat- egyenes paralelepipedon.
Az alábbiakban egy négyszögű prizmát ábrázoló rajz látható.
A képen is látható alapvető elemek amelyből a geometriai test áll... Szokás hivatkozni rájuk:
Néha a geometriai problémákban megtalálhatjuk a szakasz fogalmát. A definíció így hangzik: a metszet a térfogati test minden olyan pontja, amely egy vágási síkhoz tartozik. A metszet merőleges (90 fokos szögben metszi az alakzat éleit). Egy téglalap alakú prizmánál egy átlós szakaszt is figyelembe kell venni (a megépíthető szakaszok maximális száma 2), amely áthalad az alap 2 élén és átlóján.
Ha a metszet úgy van megrajzolva, hogy a vágási sík ne legyen párhuzamos sem az alapokkal, sem az oldalfelületekkel, az eredmény egy csonka prizma.
A redukált prizmatikus elemek megtalálásához különféle összefüggéseket és képleteket használnak. Némelyikük a planimetria során ismert (például egy prizma alapterületének meghatározásához elegendő felidézni a négyzet területének képletét).
Felület és térfogat
A prizma térfogatának a képlet segítségével történő meghatározásához ismernie kell alapterületét és magasságát:
V = S fő h
Mivel a szabályos tetraéder prizma alapja egy oldalú négyzet a, a képletet részletesebben is leírhatod:
V = a² h
Ha kockáról beszélünk - egyenlő hosszúságú, szélességű és magasságú szabályos prizmáról, akkor a térfogatot a következőképpen számítjuk ki:
Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet megtalálni a prizma oldalsó felületének területét, el kell képzelni a kibontását.
A rajz azt mutatja, hogy az oldalfelület 4 egyenlő téglalapból áll. Területét az alap kerületének és az ábra magasságának szorzataként számítjuk ki:
Sside = P fő h
Figyelembe véve, hogy a négyzet kerülete az P = 4a, a képlet a következő alakot ölti:
Sside = 4a h
Egy kockához:
Oldal = 4a²
A prizma teljes felületének kiszámításához adjon hozzá 2 alapterületet az oldalsó területhez:
S teljes = S oldal + 2 S fő
A négyszögletű szabályos prizmára vonatkozóan a képlet a következő:
S összesen = 4a · h + 2a²
Egy kocka felületéhez:
S összesen = 6a²
A térfogat vagy a felület ismeretében kiszámíthatja egyedi elemek geometrikus test.
Prizmaelemek keresése
Gyakran előfordulnak olyan problémák, amikor adott a térfogat, vagy ismert az oldalfelület értéke, ahol meg kell határozni az alap oldalhosszát vagy a magasságot. Ilyen esetekben a képletek származtathatók:
- alapoldal hossza: a = S oldal / 4h = √ (V / h);
- magasság vagy oldalborda hossza: h = S oldal / 4a = V / a²;
- alapterület: Sosn = V/h;
- oldalsó arc területe: S oldal. gr = S oldal / 4.
Annak meghatározásához, hogy mekkora területe van egy átlós szakasznak, ismernie kell az átló hosszát és az ábra magasságát. Egy négyzetre d = a√2. Ezért:
Sdiag = ah√2
A prizma átlójának kiszámításához használja a következő képletet:
dprize = √ (2a² + h²)
A fenti arányok alkalmazásának megértéséhez gyakorolhat és megoldhat néhány egyszerű feladatot.
Példák a feladatokra megoldásokkal
Íme néhány feladat a matematika államzáró vizsgákon.
1. Feladat.
A homokot egy szabályos négyszög alakú prizma formájú dobozba öntik. A szintmagassága 10 cm. Mekkora lesz a homok szintje, ha egy ugyanolyan alakú, de 2-szer hosszabb talphosszúságú edénybe tolja?
Ezt a következőképpen kell indokolni. Az első és a második tartályban lévő homok mennyisége nem változott, azaz térfogata bennük egybeesik. Kijelölheti az alap hosszát a... Ebben az esetben az első dobozban az anyag térfogata:
V₁ = ha² = 10a²
A második doboznál az alaphossz 2a, de a homokszint magassága ismeretlen:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Amennyiben V1 = V2, egyenlőségjelet tehet a következő kifejezésekkel:
10a² = 4ha²
Miután az egyenlet mindkét oldalát a²-vel töröljük, a következőt kapjuk:
Ennek eredményeként új szint homok lesz h = 10/4 = 2,5 cm.
2. feladat.
Az ABCDA₁B₁C₁D₁ a helyes prizma. Ismeretes, hogy BD = AB₁ = 6√2. Határozza meg a test teljes felületét.
Az ismert elemek könnyebb megértése érdekében ábrázolhat egy ábrát.
Mivel a helyes prizmáról beszélünk, arra a következtetésre juthatunk, hogy az alapnál van egy négyzet, amelynek átlója 6√2. Az oldallap átlója azonos értékű, ezért az oldallap is négyzet alakú, egyenlő a talajjal... Kiderült, hogy mindhárom méret - hosszúság, szélesség és magasság - egyenlő. Megállapítható, hogy az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy kocka.
Bármely él hosszát az ismert átlón keresztül határozzuk meg:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
A teljes felületet a kocka képlete határozza meg:
S összesen = 6a² = 6 6² = 216
3. feladat.
A szoba felújítás alatt áll. Ismeretes, hogy a padlója négyzet alakú, 9 m² területű. A szoba magassága 2,5 m Mennyibe kerül a legalacsonyabb egy szoba tapétázása, ha 1 m² 50 rubel?
Mivel a padló és a mennyezet négyzetek, azaz szabályos négyszögek, falai pedig vízszintes felületekre merőlegesek, megállapíthatjuk, hogy szabályos prizmáról van szó. Meg kell határozni az oldalsó felületének területét.
A szoba hossza a a = √9 = 3 m.
A területre tapétát ragasztanak Oldal = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².
A legalacsonyabb tapéta költség ebben a szobában lesz 50 30 = 1500 rubel.
Így a téglalap alakú prizmán történő feladatok megoldásához elegendő egy négyzet és egy téglalap területének és kerületének kiszámítása, valamint saját képletek a térfogat és a felület meghatározásához.
Hogyan találjuk meg a kocka területét
Hogy néz ki
Téglalap alakú prizmák körülvéve modern ember elég kevés. Ilyen például a szokásos karton cipők alól, számítógép alkatrészek stb. Nézz körül. Még egy szobában is valószínűleg sok téglalap alakú prizmát fog látni. Ez egy számítógépház, egy könyvespolc, egy hűtőszekrény, egy gardrób és sok más elem. A forma rendkívül népszerű, főként azért, mert a lehető leghatékonyabb helykihasználást teszi lehetővé, akár a belső teret díszítjük, akár a dolgokat költözés előtt kartondobozokba pakoljuk.A téglalap alakú prizma tulajdonságai
A téglalap alakú prizmának számos sajátos tulajdonsága van. Bármely oldalpár szolgálhat, mivel az összes szomszédos felület azonos szögben helyezkedik el egymással, és ez a szög 90 °. Egy téglalap alakú prizma térfogata és felülete könnyebben kiszámítható, mint bármely másé. Vegyünk bármilyen téglalap alakú prizma alakú tárgyat. Mérje meg a hosszát, szélességét és magasságát. A térfogat meghatározásához elegendő ezeket a méréseket megszorozni. Vagyis a képlet így néz ki: V = a * b * h, ahol V a térfogat, a és b az alap oldalai, h a magasság, amely ennél a geometriai testnél egybeesik az oldaléllel. Az alapterület kiszámítása az S1 = a * b képlet alapján történik. Oldalfelület esetén először ki kell számítani az alap kerületét a P = 2 (a + b) képlettel, majd meg kell szorozni a magassággal. Kiderül, hogy az S2 = P * h = 2 (a + b) * h képlet. Adja hozzá az alapterület és az oldalfelület kétszeresét a téglalap alakú prizma teljes felületének kiszámításához. A következő képletet kapjuk: S = 2S1 + S2 = 2 * a * b + 2 * (a + b) * h = 2A különböző prizmák nem egyformák. Ugyanakkor sok a közös bennük. A prizma alapterületének meghatározásához ki kell találnia, hogy milyen fajtája van.
Általános elmélet
Prizma bármely poliéder, amelynek oldalai paralelogramma alakúak. Sőt, bármely poliéder megjelenhet az alapján - a háromszögtől az n-szögig. Ráadásul a prizma alapjai mindig egyenlőek egymással. Ez nem vonatkozik az oldalfelületekre – ezek mérete jelentősen eltérhet.
A problémák megoldása során nem csak a prizma alapterületével találkozunk. Szükséges lehet az oldalfelület ismerete, vagyis minden olyan felület, amely nem alap. Teljes felület máris egyesülni fog a prizmát alkotó összes arc.
Néha a magasság megjelenik a feladatokban. Ez merőleges az alapokra. A poliéder átlója egy olyan szakasz, amely páronként összeköt két olyan csúcsot, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz.
Meg kell jegyezni, hogy az egyenes vagy ferde prizma alapterülete nem függ a köztük és az oldallapok közötti szögtől. Ha azonos alakúak a felső és az alsó élek, akkor területük egyenlő lesz.
Háromszög prizma
Az alján egy három csúcsú alak, azaz egy háromszög van. Köztudott, hogy más. Ha akkor elég megjegyezni, hogy a területét a lábak szorzatának fele határozza meg.
A matematikai jelölés így néz ki: S = ½ av.
A bázis területének megtudásához Általános nézet, jól jönnek majd a képletek: Gém és az, amiben az oldal felét a hozzá húzott magasságba veszik.
Az első képletet így kell felírni: S = √ (p (p-a) (p-ben) (p-c)). Ez a bejegyzés egy fél kerületet (p) tartalmaz, azaz három oldal összegét osztva kettővel.
Második: S = ½ n a * a.
Ha meg akarja tudni egy háromszög alakú prizma alapterületét, amely szabályos, akkor a háromszög egyenlő oldalú. Van rá egy képlet: S = ¼ a 2 * √3.
Négyszögletű prizma
Alapja az ismert négyszögek bármelyike. Lehet téglalap vagy négyzet, paralelepipedon vagy rombusz. A prizma alapterületének kiszámításához minden esetben más képletre lesz szüksége.
Ha az alap téglalap, akkor a területét a következőképpen határozzuk meg: S = ab, ahol a, b a téglalap oldalai.
Ha négyszögletű prizmáról van szó, a szabályos prizma alapterületét a négyzet képletével számítjuk ki. Mert ő az, akiről kiderül, hogy alul van. S = a 2.
Abban az esetben, ha az alap paralelepipedon, akkor a következő egyenlőségre lesz szükség: S = a * na. Előfordul, hogy a paralelepipedon oldala és az egyik sarok adott. Ezután a magasság kiszámításához egy további képletet kell használnia: n a = b * sin A. Ezenkívül az A szög szomszédos a "b" oldallal, és a magasság n ellentétes ezzel a szöggel.
Ha a prizma alján rombusz van, akkor a terület meghatározásához ugyanaz a képlet szükséges, mint a paralelogramma esetében (hiszen ez a speciális esete). De használhatod ezt is: S = ½ d 1 d 2. Itt d 1 és d 2 a rombusz két átlója.
Szabályos ötszögletű prizma
Ebben az esetben a sokszöget háromszögekre osztjuk, amelyek területét könnyebb kideríteni. Bár előfordul, hogy a figurák különböző számú csúcsúak lehetnek.
Mivel a prizma alapja szabályos ötszög, öt egyenlő oldalú háromszögre osztható. Ezután a prizma alapterülete egyenlő egy ilyen háromszög területével (a képlet fent látható), megszorozva öttel.
Normál hatszögletű prizma
Az ötszögű prizmánál leírt elv szerint az alap hatszög 6 egyenlő oldalú háromszögre osztható. Az ilyen prizma alapterületének képlete hasonló az előzőhöz. Csak benne kell hattal szorozni.
A képlet így fog kinézni: S = 3/2 és 2 * √3.
Feladatok
№ 1. Adott egy helyes egyenes. Átlója 22 cm, a poliéder magassága 14 cm. Számítsa ki a prizma alapjának és a teljes felületének területét!
Megoldás. A prizma alapja négyzet, oldala azonban nem ismert. Értékét a négyzet átlójából (x), amely a prizma átlójához (d) és magasságához (h) viszonyít. x 2 = d 2 - n 2. Másrészt ez az "x" szakasz egy háromszög hipotenusza, amelynek lábai egyenlők a négyzet oldalával. Vagyis x 2 = a 2 + a 2. Így kiderül, hogy a 2 = (d 2 - n 2) / 2.
Cserélje be d helyett 22-t, és cserélje ki az "n"-et annak értékére - 14, akkor kiderül, hogy a négyzet oldala 12 cm. Most csak nézze meg az alap területét: 12 * 12 = 144 cm 2 .
A teljes felület területének meghatározásához hozzá kell adni az alapterület kétszeresét és négyszereznie kell az oldalt. Ez utóbbit könnyen megtalálhatjuk a téglalap képletével: szorozzuk meg a poliéder magasságát és az alap oldalát. Vagyis 14 és 12, ez a szám 168 cm 2 lesz. teljes terület A prizma felülete 960 cm 2.
Válasz. A prizma alapterülete 144 cm2. A teljes felület 960 cm2.
№ 2. Dana Az alapon egy háromszög fekszik, melynek oldala 6 cm. Ebben az esetben az oldallap átlója 10 cm. Számítsa ki a területeket: alap és oldalfelület!
Megoldás. Mivel a prizma helyes, az alapja az egyenlő oldalú háromszög... Ezért a területe egyenlő 6 négyzettel, megszorozva ¼-vel és 3 négyzetgyökével. Egyszerű számítással a következő eredményt kapjuk: 9√3 cm 2. Ez a prizma egyik alapterülete.
Minden oldallap egyforma, és téglalap 6 és 10 cm-es oldalakkal. Területük kiszámításához elegendő ezeket a számokat megszorozni. Majd szorozd meg hárommal, mert pontosan annyi oldallapja van a prizmának. Ekkor az oldalfelület 180 cm 2 sebnek bizonyul.
Válasz. Területek: alap - 9√3 cm 2, a prizma oldalfelülete - 180 cm 2.
Meghatározás. Prizma egy poliéder, amelynek minden csúcsa két párhuzamos síkban található, és ugyanabban a két síkban van két prizmalap, amelyek egyenlő sokszögűek. párhuzamos oldalak, és minden él, amely nem esik ezeken a síkon, párhuzamos.
Két egyenlő arcot nevezünk prizma alapok(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
A prizma összes többi lapját hívják oldalsó arcok(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Minden oldalfelület kialakul a prizma oldalfelülete .
A prizma minden oldallapja paralelogramma .
Azokat a bordákat, amelyek nem fekszenek az alapokban, a prizma oldalsó bordáinak nevezzük ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Átlós prizma szakasznak nevezzük, amelynek végei egy prizma két csúcsa, amelyek nem az egyik lapján fekszenek (AD 1).
A prizma alapjait összekötő és mindkét alapra egyidejűleg merőleges szakasz hosszát ún. a prizma magassága .
Kijelölés:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1... (Először az egyik alap csúcsait jelöljük bejárási sorrendben, majd ugyanabban a sorrendben a másiké; mindkét oldalél végeit ugyanazokkal a betűkkel jelöljük, csak az egyik alapban lévő csúcsokat jelöljük index nélküli betűkkel, a másikban pedig indexszel jelölik)
A prizma nevéhez az alján fekvő ábra szögeinek számához kapcsolódik, például az 1. ábrán egy ötszög fekszik az alapnál, ezért a prizmát ún. ötszögletű prizma... De azóta egy ilyen prizmának 7 lapja van, akkor az heptaéder(2 lap - prizma alapja, 5 lap - paralelogramma, - oldallapjai)
Egyenes prizmák közül kiemelkedik privát nézet: helyes prizmák.
Az egyenes prizmát ún helyes, ha alapjai szabályos sokszögek.
Paralelepipedon
Paralelepipedon egy négyszögű prizma, melynek alján egy paralelogramma (ferde paralelepipedon) található. Egyenes paralelepipedon- egy paralelepipedonnal oldalbordák merőleges az alapsíkra.Téglalap alakú paralelepipedon - egyenes paralelepipedon, melynek alapja téglalap.
Tulajdonságok és tételek:
A paralelepipedon egyes tulajdonságai hasonlóak a paralelogramma ismert tulajdonságaihoz Az egyenlő méretű téglalap alakú paralelepipedon ún. kocka
.Egy kockának minden lapja egyenlő négyzetekkel.Az átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével. 
,
ahol d a négyzet átlója;
a tér a - oldala.
A prizma ötletét a következő adja:
- különféle építészeti szerkezetek;
- Gyerekjátékok;
- csomagoló dobozok;
- design elemek stb.
A prizma teljes és oldalsó felületének területe
A prizma teljes felülete az összes lapja területének összege Oldalsó felület oldallapjai területének összegének nevezzük a prizma alapjai egyenlők a sokszöggel, akkor területük egyenlő. EzértS teljes = S oldal + 2S fő,
ahol S tele- teljes felület, S oldal- az oldalfelület területe, S fő- alapterület
Egy egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával.
S oldal= P fő * h,
ahol S oldal- az egyenes prizma oldalfelületének területe,
P main - az egyenes prizma alapjának kerülete,
h az egyenes prizma magassága, egyenlő az oldalsó éllel.
Prizma térfogata
A prizma térfogata megegyezik az alapterület és a magasság szorzatával.
Poliéder
A sztereometria tanulmányozásának fő tárgya a térbeli testek. Test a tér egy bizonyos felület által határolt része.
Poliéder testnek nevezzük, amelynek felülete véges számú lapos sokszögből áll. A poliédert konvexnek nevezzük, ha felületén minden lapos sokszög síkjának egyik oldalán helyezkedik el. Egy ilyen sík és egy poliéder felületének közös részét ún él... A konvex politóp lapjai lapos konvex sokszögek. Az arcok oldalát ún poliéder éleiés a csúcsok vannak a poliéder csúcsai.
Például egy kocka hat négyzetből áll, amelyek a lapjai. 12 élt (a négyzetek oldalát) és 8 csúcsot (a négyzetek tetejét) tartalmaz.
A legegyszerűbb poliéderek a prizmák és a piramisok, amelyeket tovább fogunk vizsgálni.
Prizma
A prizma meghatározása és tulajdonságai
Prizma poliédernek nevezzük, amely két párhuzamos síkban fekvő sík sokszögből áll, amelyek párhuzamos transzlációval kombinálódnak, és ezeknek a sokszögeknek a megfelelő pontjait összekötő összes szakaszból. A sokszögeket hívják prizma alapok, és a sokszögek megfelelő csúcsait összekötő szakaszok a prizma oldalsó élei.
A prizma magassága alapjai síkjai közötti távolságnak nevezzük (). A prizma két olyan csúcsát összekötő szakaszt nevezzük, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz átlós prizma(). A prizmát ún n-oldalas ha n-szög van a tövében.
Bármely prizma a következő tulajdonságokkal rendelkezik, abból a tényből adódóan, hogy a prizma alapjai párhuzamos átvitellel vannak igazítva:
1. A prizma alapjai egyenlők.
2. A prizma oldalélei párhuzamosak és egyenlőek.
A prizma felülete alapokból és oldalsó felület. Oldalsó felület A prizma paralelogrammákból áll (ez a prizma tulajdonságaiból következik). A prizma oldalfelületének területe az oldallapok területének összege.
Egyenes prizma
A prizmát ún egyenes ha oldalélei merőlegesek az alapokra. Ellenkező esetben a prizmát ún ferde.
Az egyenes prizma lapjai téglalapok. Az egyenes prizma magassága megegyezik az oldallapjaival.
Teljes prizma felület az oldalfelület és az alapok területének összegének nevezzük.
Helyes prizma egyenes prizmának nevezzük szabályos sokszög a bázison.
13.1. Tétel... Az egyenes prizma oldalsó felületének területe megegyezik a kerületének a prizma magasságával (vagy, ami megegyezik, az oldalsó élével) való szorzatával.
Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok, amelyek alapjai a prizma alapjain lévő sokszögek oldalai, a magasságok pedig a prizma oldalélei. Ekkor definíció szerint az oldalsó felület:
,
ahol az egyenes prizma alapjának kerülete.
Paralelepipedon
Ha a prizma alapjaiban paralelogrammák vannak, akkor ún paralelepipedon... A paralelepipedon minden lapja paralelogramma. Ebben az esetben a paralelepipedon szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlőek.
13.2. Tétel... A paralelepipedon átlói egy pontban metszik egymást, és a metszéspont feleződik.
Bizonyíték. Vegyünk például két tetszőleges átlót, és. Mivel a paralelepipedon lapjai paralelogrammák, akkor és, tehát T szerint körülbelül két, a harmadikkal párhuzamos egyenes. Ezenkívül ez azt jelenti, hogy a vonalak és a vonalak ugyanabban a síkban (síkban) fekszenek. Ez a sík párhuzamos síkokat metszi és párhuzamos egyenesek mentén és. Így a négyszög paralelogramma, és a paralelogramma tulajdonsága alapján átlói és metszéspontjai metszik egymást, és a metszéspontot felezik, ezt kellett bizonyítani.
Egy téglalap alakú paralelepipedont, amelynek alapja téglalap, nevezzük téglalap alakú paralelepipedon... A téglalap alakú paralelepipedon minden lapja téglalap. A téglalap alakú paralelepipedon nem párhuzamos éleinek hosszát nevezzük annak lineáris méretek(mérések). Három ilyen méret létezik (szélesség, magasság, hosszúság).
13.3. Tétel... Egy téglalap alakú paralelepipedonban bármely átló négyzete egyenlő a három dimenziójának négyzeteinek összegével 
(T Pythagoras kétszeres alkalmazásának segítségével bizonyítva).
Olyan téglalap alakú paralelepipedont nevezünk, amelynek minden éle egyenlő kocka.
Feladatok
13.1 Hány átlót tesz n- szögprizma
13.2 Egy ferde háromszög prizmában az oldalbordák közötti távolságok 37, 13 és 40. Határozzuk meg a nagyobb oldalél és a szemközti oldalél közötti távolságot!
13.3 A szabályos háromszög prizma alsó alaplapjának oldalán keresztül egy síkot húzunk, amely metszi az oldallapokat a szakaszok mentén, és az ezek közötti szöget bezárja. Határozza meg ennek a síknak a dőlésszögét a prizma alapjához képest.
