Tört lineáris függvény létrehozása. Tanórán kívüli lecke - tört lineáris függvény
Ebben a leckében töredékeket fogunk vizsgálni lineáris függvény, a problémákat lineáris törtfüggvény, modulus, paraméter segítségével oldjuk meg.
Téma: Ismétlés
Lecke: Frakcionális lineáris függvény
1. Egy lineáris törtfüggvény fogalma és grafikonja
Meghatározás:
Az űrlap függvényét tört-lineárisnak nevezzük:
Például:
Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris törtfüggvénynek a grafikonja egy hiperbola.
Vegyük ki a kettőt a számlálóban a zárójeleken kívül, így kapjuk:
A számlálóban és a nevezőben is van x. Most alakítsuk át úgy, hogy a kifejezés megjelenik a számlálóban:
Most csökkentsük a tört kifejezést kifejezésenként:
Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.
A bizonyítás második módját is kínálhatjuk, nevezetesen a számláló elosztásával a nevezővel egy oszlopban:
Kapott:
2. Egy lineáris törtfüggvény grafikonjának vázlatának felépítése
Fontos, hogy könnyen fel lehessen rajzolni egy lineáris törtfüggvényt, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.
1. példa - Vázoljon fel egy függvény grafikonját:
Mi már átalakultunk ezt a funkciótés kapott:
Ennek a grafikonnak az elkészítéséhez nem fogjuk eltolni a tengelyeket vagy magát a hiperbolát. Normál függvényábrázolási módszert használunk állandó előjelű intervallumok jelenlétében.
Az algoritmus szerint járunk el. Először vizsgáljuk meg az adott függvényt.
Így három intervallum van az állandóságban: a szélső jobboldalon () a függvénynek pluszjele van, majd a jelek váltakoznak, mivel minden gyöknek van első foka. Tehát az intervallumon a függvény negatív, az intervallumon a függvény pozitív.
A grafikon vázlatát az ODZ gyökerei és töréspontjai közelében építjük fel. Megvan: mivel a függvény előjele pluszról mínuszra változik, a görbe először a tengely felett helyezkedik el, majd nullán áthalad, majd az x tengely alatt helyezkedik el. Ha egy tört nevezője gyakorlatilag nulla, az azt jelenti, hogy amikor az argumentum értéke háromra hajlik, akkor a tört értéke a végtelenségig. Ebben az esetben, amikor az argumentum a bal oldali hármashoz közeledik, a függvény negatív, és hajlamos a mínusz végtelenre, jobb oldalon a függvény pozitív, és kimegy a plusz végtelenből.
Most felépítjük a függvény grafikonjának vázlatát a végtelenül távoli pontok közelében, vagyis amikor az érv a plusz vagy mínusz végtelenség felé hajlik. Ebben az esetben az állandó kifejezések figyelmen kívül hagyhatók. Nekünk van:
Így van vízszintes és függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3; 2) pont. Illusztráljuk:
Rizs. 1. Például a hiperbol grafikonja
3. Töredékes lineáris függvény modulussal, annak grafikonja
A töredékes lineáris problémákat bonyolíthatja egy modul vagy paraméter jelenléte. Például egy függvény grafikonjának ábrázolásához a következő algoritmust kell követnie:
Rizs. 2. Illusztráció az algoritmushoz
A kapott gráfnak olyan ágai vannak, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.
1. Alkalmazza a megadott modult. Ebben az esetben a grafikon x tengely feletti részei változatlanok maradnak, és azok, amelyek a tengely alatt vannak, az x tengely körül tükröződnek. Kapunk:
Rizs. 3. Illusztráció az algoritmushoz
2. példa - Funkciódiagram ábrázolása:
Rizs. 4. Funkciódiagram például 2
4. Lineáris törtegyenlet megoldása paraméterrel
Tekintsük a következő feladatot - függvénygráf készítését. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:
1. Ábrázolja az almodul függvényét!
Tegyük fel, hogy megkapta a következő grafikont:
Rizs. 5. Illusztráció az algoritmushoz
1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsuk ki a modult.
Így az argumentum nem negatív értékeihez tartozó függvény értékei nem változnak. A második egyenlethez tudjuk, hogy azt az y tengely körüli szimmetrikus leképezéssel kapjuk. grafikonunk van a függvényről:
Rizs. 6. Illusztráció az algoritmushoz
3. példa - Funkciódiagram ábrázolása:
Az algoritmus szerint először fel kell építeni egy grafikont a szubmoduláris függvényről, mi már felépítettük (lásd 1. ábra)
Rizs. 7. Funkciódiagram például 3
4. példa - Keresse meg egy paraméterrel rendelkező egyenlet gyökereinek számát:
Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlet megoldása egy paraméterrel azt jelenti, hogy minden paraméterértéket végig kell menni, és mindegyikre választ kell adni. A módszertan szerint járunk el. Először felépítjük a függvény grafikonját, ezt az előző példában már megtettük (lásd a 7. ábrát). Ezután bontsa fel a gráfot egyenes vonalcsaládon keresztül a különböző, keresse meg a metszéspontokat, és írja le a választ.
A grafikonra nézve kiírjuk a választ: for és az egyenletnek két megoldása van; amikor az egyenletnek van egy megoldása; at, az egyenletnek nincs megoldása.
1. Tört lineáris függvény és annak gráfja
Az y = P (x) / Q (x) alakú függvényt, ahol P (x) és Q (x) polinomok, frakcionális racionális függvénynek nevezzük.
Valószínűleg már ismeri a racionális számok fogalmát. Hasonlóképpen racionális funkciókat Olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.
Ha egy töredék racionális függvény két lineáris függvény - az elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz űrlap funkciója
y = (ax + b) / (cx + d), akkor tört lineárisnak nevezzük.
Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben, c ≠ 0 (különben a függvény lineáris lesz y = ax / d + b / d), és hogy a / c ≠ b / d (egyébként függvény állandó). A lineáris törtfüggvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d / c. A lineáris tört tört függvények grafikonjai formailag nem különböznek az y = 1 / x grafikontól. A görbét, amely az y = 1 / x függvény grafikonja, hívjuk túlzás... Az x in korlátlan növekedésével abszolút érték az y = 1 / x függvény korlátlanul csökken az abszolút értékben, és a grafikon mindkét ága megközelíti az abszcissza tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról közelít. Azok az egyenesek, amelyekhez a hiperbola ágai közelednek aszimptoták.
1. példa.
y = (2x + 1) / (x - 3).
Megoldás.
Válasszuk ki az egész részt: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Most már könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1 / x függvény grafikonjából kapjuk a következő átalakításokkal: 3 egységszegmens jobbra tolása, az Oy tengelye mentén 7 -szeres nyújtás és 2 eltolás egység szegmensek felfelé.
Bármilyen y = (ax + b) / (cx + d) tört hasonló módon írható, kiemelve az "egész részt". Következésképpen az összes lineáris tört tört függvény grafikonja a hiperbolák különböző módon eltolódnak a koordináta tengely mentén, és az Oy tengelye mentén húzódnak.
Bármely tetszőleges lineáris törtfüggvény grafikonjának ábrázolásához egyáltalán nem szükséges a funkciót meghatározó tört átalakítása. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elegendő megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez ágai közelednek - az x = -d / c és y = a / c hiperbola aszimptotáit.
2. példa.
Keresse meg az y = (3x + 5) / (2x + 2) függvény grafikonjának aszimptotáit.
Megoldás.
A függvény nem definiált, ha x = -1. Ezért az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptóta megkereséséhez nézzük meg, hogy az y (x) függvény értékei mikhez közelítenek, amikor az x argumentum abszolút értékben növekszik.
Ehhez ossza el a tört számlálóját és nevezőjét x -szel:
y = (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).
Ahogy x → ∞, a tört 3/2 -re hajlik. Ezért a vízszintes aszimptóta az y = 3/2 egyenes.
3. példa.
Ábrázoljuk az y = (2x + 1) / (x + 1) függvényt!
Megoldás.
Válasszuk ki a tört "egész részét":
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =
2 - 1 / (x + 1).
Most már könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1 / x függvény grafikonjából kapjuk a következő átalakításokkal: eltolás 1 egységgel balra, szimmetrikus leképezés az Ox vonatkozásában és eltolás 2 egység szegmenssel felfelé az Oy tengely mentén.
D tartomány (y) = (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).
Az értéktartomány E (y) = (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).
Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ökör: (-1/2; 0). A függvény a definíció tartományának minden egyes intervallumában növekszik.
Válasz: 1. ábra.
2. Töredékes racionális függvény
Tekintsük az y = P (x) / Q (x) alakú töredékes racionális függvényt, ahol P (x) és Q (x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.
Példák az ilyen racionális függvényekre:
y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vagy y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Ha az y = P (x) / Q (x) függvény az elsőnél magasabb fokú két polinom hányadosa, akkor a gráfja általában nehezebb lesz, és pontosan kell ábrázolni, minden részlettel együtt néha nehéz. Azonban gyakran elegendő olyan technikák alkalmazása, amelyek hasonlóak azokhoz, amelyekkel fentebb már találkoztunk.
Legyen a tört szabályos (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P (x) / Q (x) = A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 +… + A m1 / (x - K 1) +… +
L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms -1 +… + L ms / (x - K s) +… +
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +… + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +… +
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 +… + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Nyilvánvaló, hogy egy töredék-racionális függvény grafikonja az elemi törtek gráfjainak összegeként kapható.
Töredékes racionális függvények ábrázolása
Fontolja meg a töredékes racionális függvény grafikonjainak létrehozásának több módját.
4. példa.
Ábrázoljuk az y = 1 / x 2 függvényt!
Megoldás.
Az y = x 2 függvény grafikonját használjuk az y = 1 / x 2 gráf ábrázolásához, és a grafikonok "felosztásának" technikáját használjuk.
D tartomány (y) = (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).
Értéktartomány E (y) = (0; + ∞).
A tengelyekkel nincs metszéspont. A funkció egyenletes. Növeli az összes x-et az intervallumból (-∞; 0), csökkenti x esetén 0-tól + ∞-ig.
Válasz: 2. ábra.
5. példa.
Ábrázolja az y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) függvényt.
Megoldás.
D tartomány (y) = (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).
y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = - (x - 1) / 3 = -x / 3 + 1/3.
Itt a faktorizálás, redukció és lineáris függvényre redukálás trükkjét használtuk.
Válasz: 3. ábra.
6. példa.
Ábrázolja az y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) függvényt.
Megoldás.
A definíció tartománya D (y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az ordinátatengelyre. A grafikon felépítése előtt alakítsuk át újra a kifejezést, kiemelve az egész részt:
y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).
Vegye figyelembe, hogy a tört-racionális függvény képletében az egész rész kiválasztása az egyik fő a gráfok felépítésében.
Ha x → ± ∞, akkor y → 1, azaz az y = 1 egyenes a vízszintes aszimptóta.
Válasz: 4. ábra.
7. példa.
Tekintsük az y = x / (x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, azaz a grafikon jobb felének legmagasabb pontja. A grafikon pontos ábrázolásához a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvaló, hogy a görbénk nem tud "magasra emelkedni", mert a nevező meglehetősen gyorsan kezdi megelőzni a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet -e 1. Ehhez meg kell oldanunk az x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0. egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valós gyöke. Ez azt jelenti, hogy feltételezésünk nem helyes. Hogy megtalálja a legtöbbet nagyon fontos függvény, meg kell találnia, hogy az A = x / (x 2 + 1) egyenlet melyik legnagyobb A -n oldja meg a megoldást. Cserélje ki az eredeti egyenletet másodfokú egyenletre: Ax 2 - x + A = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 - 4A 2 ≥ 0. Innen találjuk a legnagyobb A = 1/2 értéket. 
Válasz: 5. ábra, max y (x) = ½.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan ábrázolja a függvénygráfokat?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!
blog. webhely, az anyag teljes vagy részleges másolásával, a forrás linkre van szükség.
“ALSÓ ALAPOKTATÁSI ISKOLA "BALTASIN ÖNKORMÁNYZAT
TATARSTAN KÖZTÁRSASÁG
Leckefejlesztés - 9. évfolyam
Téma: Töredékes - Lineáris Funkció
minősítési kategória
GarifullindeVasúténRifkatovna
201 4
Az óra témája: Tört - lineáris függvény.
A lecke célja:
Oktatási: A diákok megismertetése a fogalmakkaltört - lineáris függvény és aszimptoták egyenlete;
Fejlesztés: Technikák kialakítása logikus gondolkodás, a téma iránti érdeklődés fejlesztése; fejleszteni a definíciós terület meghatározását, a tört -lineáris függvény jelentésterületét és a grafikon felépítéséhez szükséges készségeket;
- motivációs cél:a tanulók matematikai kultúrájának ápolása, a figyelem, a téma iránti tanulmány iránti érdeklődés fenntartása és fejlesztése az alkalmazáson keresztül különböző formák a tudás elsajátítása.
Felszerelés és irodalom: Laptop, projektor, interaktív tábla, koordinátatér és az y = függvény grafikonja , tükröződési térkép, multimédiás prezentáció,Algebra: tankönyv egy általános általános iskola 9. osztályához / Yu.N. Makarychev, N. G. Mendyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; szerkesztette S. A. Telyakovsky / M: "Oktatás", 2004 kiegészítésekkel.
Az óra típusa:
lecke a tudás, készségek, készségek fejlesztéséről.
Az órák alatt.
Szervezési pillanat:
Cél: - a szóbeli számítási készségek fejlesztése;
az új téma tanulmányozásához szükséges elméleti anyagok és definíciók megismétlése.
Jó napot! A leckét a házi feladat ellenőrzésével kezdjük:
Figyelem a képernyőre (1-4 dia):
1. Feladat.
Kérjük, válaszoljon a funkció ütemezése szerint 3 kérdésre (keresse meg a függvény legnagyobb értékét, ...)
( 24 )
-2. Feladat. Számítsa ki a kifejezés értékét:
-
=
-3. Feladat: Keresse meg a gyökerek háromszorosát másodfokú egyenlet:
NS 2 -671 ∙ X + 670 = 0.
A másodfokú egyenlet együtthatóinak összege nulla:
1 + (- 671) +670 = 0. Ezért x 1 = 1 és x 2 = Következésképpen,
3 ∙ (x 1 + x 2 )=3∙671=2013
És most írjuk le a válaszokat mind a 3 feladatra egymás után a pontokon keresztül. (2013.12.24.)
Eredmény: Igen, így van! És akkor a mai lecke témája:
Tört - lineáris függvény.
Az útra való belépés előtt a vezetőnek ismernie kell a szabályokat úti forgalom: tiltó és megengedő jelek. Ma emlékeznünk kell néhány tiltó és megengedő jelre is. Figyelem a képernyőre! (6. dia
)
Következtetés:
A kifejezés értelmetlen;
Helyes kifejezés, válasz: -2;
helyes kifejezés, válasz: -0;
nem osztható nullával 0!
Figyelje meg, hogy minden helyesen van rögzítve? (dia - 7)
1) ; 2) = ; 3) = a .
(1) valódi egyenlőség, 2) = - ; 3) = - a )
II. Új téma tanulása: (dia - 8).
Cél: Tanítani a definíciós régió és a tört-lineáris függvény értéktartományának megtalálásának készségeit, felépíteni annak grafikonját a függvénygráf párhuzamos átvitelével az abszcissza és az ordinátatengely mentén.
Határozza meg, hogy melyik függvénygrafikon van beállítva Koordináta sík?
A függvény grafikonja a koordinátasíkon van beállítva.
Kérdés
Várt válasz
Keresse meg a függvény tartományát, (D( y)=?)
X ≠ 0, vagy(-∞; 0] UUU
Mozgassa a függvény grafikonját párhuzamos fordítással az Ox (abszcissza) 1. tengelye mentén jobbra;
Milyen függvényt ábrázoltak?
Mozgassa a függvénygráfot párhuzamos fordítással az Oy (ordináta) tengely mentén 2 egységgel felfelé;
Most milyen funkciót rajzoltál?
Rajzoljon egyenes vonalakat x = 1 és y = 2
Mit gondolsz? Milyen közvetlen vonalakat kaptunk veled?
Ezek egyenesek, amelyhez a függvény gráfjának görbéjének pontjai a végtelenbe haladva közelednek.
És hívják őket- aszimptoták.
Vagyis a hiperbola egyik aszimptotája az y tengelyével párhuzamosan fut, attól jobbra 2 egység távolságra, a második aszimptóta pedig az x tengelyével párhuzamosan, felette 1 egység távolságra.
Szép munka! És most zárjuk le:
A lineáris törtfüggvény grafikonja egy hiperbola, amely az y = hiperbolából kaphatópárhuzamos fordításokat használva a koordináta tengelyek mentén. Ehhez a lineáris törtfüggvény képletét a következő formában kell ábrázolni: y =
ahol n az egységek száma, amellyel a hiperbola jobbra vagy balra tolódik, m az egységek száma, amellyel a hiperbola felfelé vagy lefelé tolódik. Ebben az esetben a hiperbola aszimptotái eltolódnak az x = m, y = n egyenesre.
Mondjunk példákat egy tört lineáris függvényre:
; .
Egy lineáris törtfüggvény az y = alak függvénye , ahol x egy változó, a, b, c, d néhány szám, és c ≠ 0, ad - bc ≠ 0.
≠ 0 éshirdetés- időszámításunk előtt≠ 0, mivel с = 0 esetén a függvény lineáris függvénnyé alakul.
Hahirdetés- időszámításunk előtt= 0, akkor kap egy törlendő törtet, ami egyenlő (azaz állandó).
A lineáris törtfüggvény tulajdonságai:
1. Ahogy az argumentum pozitív értékei nőnek, a függvény értékei csökkennek és nullára hajlanak, de pozitívak maradnak.
2. A függvény pozitív értékeinek növekedésével az argumentum értékei csökkennek és nullára hajlanak, de pozitívak maradnak.
III - az átadott anyag megszilárdítása.
Cél: - készségek és prezentációs készségek fejlesztéseegy lineáris törtfüggvény képletei az űrlaphoz:
Megerősíteni az aszimptóta -egyenletek készítésének és a töredékes lineáris függvény ábrázolásának készségeit.
Példa -1:
Megoldás: A transzformációk segítségével ezt a függvényt ábrázoljuk a formában .
=
(10. dia)
Testnevelés:
(a bemelegítést az ügyeletes végzi)
Cél: - a mentális stressz megszüntetése és a tanulók egészségi állapotának erősítése.
Munka a tankönyvvel: №184.
Megoldás: A transzformációk segítségével ezt a függvényt y = k / (x-m) + n alakban ábrázoljuk.
=
de x ≠ 0.
Felírjuk az aszimptóta egyenletét: x = 2 és y = 3.
Ezért a függvény grafikonja az Ökör tengelye mentén 2 egység távolságra mozog tőle jobbra és az Oy tengelye mentén 3 egység távolságra felette.
Csoportmunka:
Cél: - a mások meghallgatására és ugyanakkor konkrét véleménynyilvánítására vonatkozó készségek kialakítása;
vezetésre képes személyiség nevelése;
a matematikai beszéd kultúrájának ápolása a diákok körében.
1. lehetőség
Adott egy funkció:
.
.
2. lehetőség
A funkció adott
1. Csökkentse a lineáris tört tört függvényt a standard formára, és írja le az aszimptoták egyenletét.
2. Keresse meg a függvény tartományát
3. Keresse meg a függvény értékkészletét
1. Csökkentse a lineáris tört tört függvényt a standard formára, és írja le az aszimptoták egyenletét.
2. Keresse meg a függvény tartományát.
3. Keresse meg a függvény értékkészletét.
(Az a csoport, amelyik befejezte a munkát, először a táblára készül a csoportmunka megvédésére. A munka elemzése megtörténik.)
IV. Összegezve a leckét.
Cél: - elméleti és gyakorlati tevékenységek elemzése az osztályteremben;
A tanulók önértékelési képességének kialakítása;
A tanulók tevékenységének és tudatának reflexiója, önértékelése.
És így, kedves tanítványaim! A lecke a végéhez közeledik. Ki kell töltenie a reflexió kártyát. Gondosan és olvashatóan írja le véleményét
Vezetéknév és név ________________________________________
Tanulmányi lépések
Az óra szakaszainak összetettségi szintjének meghatározása
A mi háromunk
Tevékenységének értékelése az órán, 1-5 pont
könnyen
Sze nehéz
nehéz
Szervezeti szakasz
Új anyag tanulása
A tört -lineáris függvény grafikonjának felépítésének képességeinek kialakítása
Csoportokban dolgozni
Általános vélemény a leckéről
Házi feladat:
Cél: - a téma elsajátításának szintjének ellenőrzése.
[10. o. *, # 180 (a), 181 (b).]
Felkészülés a GIA -ra: (Dolgozik "Virtuális választható " )
A feladat a GIA sorozatból (23. szám -maximális pontszám):
Ábrázoljuk az Y = függvényt!
és határozza meg, hogy a c mely értékeinél az y = c egyenesnek pontosan egy közös pontja van a gráffal.
A kérdéseket és feladatokat 14.00 és 14.30 óra között tesszük közzé.
Kezdőlap> IrodalomÖnkormányzati oktatási intézmény
"24 -es számú középiskola"
Problémás - elvont munka
az algebráról és az elemzés elveiről
Töredékes racionális függvénygráfok
A 11. osztályos tanulók Tovchegrechko Natalya Sergeevna munkavezető Parsheva Valentina Vasilievna matematikatanár, a legmagasabb képesítési kategória tanára
Severodvinsk
Tartalom 3 Bevezetés 4 Fő rész. Töredékes racionális függvények grafikonjai 6 Következtetés 17 Hivatkozások 18Bevezetés
A rajzolási függvények egyike érdekes témák az iskolai matematikában. Korunk egyik legnagyobb matematikusa, Izrael Moisejevics Gelfand ezt írta: „A grafikázás folyamata a képletek és leírások geometriai képpé alakításának módja. Ez - ábrázolás - egy módja annak, hogy lássuk a képleteket és függvényeket, és nyomon kövessük, hogyan változnak ezek a függvények. Például, ha y = x 2 van írva, akkor azonnal megjelenik egy parabola; ha y = x 2 -4, akkor egy parabola négy egységgel csökken; ha y = 4-x 2, akkor látja, hogy az előző parabola le van fordítva. Ez a képesség, hogy egyszerre lássuk a képletet és annak geometriai értelmezését, nemcsak a matematika, hanem más tantárgyak számára is fontos. Ez egy olyan készség, amely egy életen át veled marad, akárcsak a kerékpározás, a gépelés vagy az autóvezetés. " A matematika órákon főleg a legegyszerűbb grafikonokat készítjük - az elemi függvények grafikonjait. Csak a 11. osztályban derivált segítségével tanultak meg összetettebb függvényeket felépíteni. Könyvek olvasásakor:- AZON. Vircsenko, I. I. Lyashko, K.I. Svetsov. Könyvtár. Funkciódiagramok. Kijev "Naukova Dumka" 1979 V.S. Kramor. Ismételjük és rendszerezzük az algebra iskolai tanfolyamát és az elemzés kezdetét. Moszkva "Oktatás" 1990 Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. Algebra - 8. évfolyam. Az iskola tankönyvének további fejezetei. Moszkvai "Oktatás", 1998 IM Gelfand, E.G. Glagoleva, E. E. Shnol. Funkciók és ütemtervek (alapvető technikák). MCNMO Kiadó, Moszkva 2004 S.М. Nikolsky. M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Sevkin. Algebra és az elemzés kezdete: tankönyv a 11. évfolyamhoz.
Láttam, hogy a grafikonok összetett funkciókat derivált használata nélkül építhet, azaz elemi módokon. Ezért esszém témáját választottam: "Töredékes - racionális függvény grafikonjai".
Fő rész. Töredékes racionális függvénygráfok
1. Tört - lineáris függvény és annak gráfja
Találkoztunk már az y = k / x alakú függvénnyel, ahol k ≠ 0, tulajdonságai és grafikonja. Figyeljünk ennek a funkciónak az egyik jellemzőjére. Y = k / x függvény a halmazon pozitív számok rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy az argumentum értékeinek korlátlan növelésével (amikor x hajlamos plusz a végtelenhez) a függvények értékei, miközben pozitívak maradnak, hajlamosak a nullára. Az argumentum pozitív értékeinek csökkenésével (amikor x nullára hajlik) a függvény értékei korlátlanul nőnek (y hajlamos plusz végtelenre). Hasonló kép figyelhető meg a készletnél negatív számok... A grafikonon (1. ábra) ezt a tulajdonságot abban fejezik ki, hogy a hiperbola pontjai, amint a végtelenségig (jobbra vagy balra, felfelé vagy lefelé) az origóból mozognak, végtelenül megközelítik az egyenest: az x tengely, amikor │x│ hajlamos plusz végtelenségre, vagy az y tengely, amikor │x│ hajlik a nullára. Ezt a vonalat nevezik a görbe aszimptotái.Rizs. egy
Az y = k / x hiperbolának két aszimptotája van: az x tengely és az y tengely. Az aszimptoták fogalma fontos szerepet játszik számos funkció ábrázolásában. A számunkra ismert függvénygráfok transzformációit felhasználva az y = k / x hiperbolát a koordináta síkban jobbra vagy balra, felfelé vagy lefelé mozgathatjuk. Ennek eredményeként új grafikonokat kapunk a függvényekről. 1. példa. Legyen y = 6 / x. Ezt a hiperbolát 1,5 egységgel toljuk jobbra, majd a kapott grafikont 3,5 egységgel felfelé. Ezzel az átalakítással az y = 6 / x hiperbola aszimptotái is eltolódnak: az x tengely az y = 3,5, az y tengely az y = 1,5 egyenesbe fordul (2. ábra). A függvény, amelynek grafikonját felépítettük, a képlettel határozható meg
.
A képlet jobb oldalán lévő kifejezést töredékként ábrázoljuk:
Ez azt jelenti, hogy a 2. ábra a képlet által megadott függvény grafikonját mutatja
.
Ennek a törtnek van számlálója és nevezője is - lineáris binomiálisok x -hez képest. Az ilyen függvényeket lineáris törtfüggvényeknek nevezzük.
, ahol x egy változó, a,b, c, d- megadott számok, valamint ≠ 0 és
időszámításunk előtt- hirdetés≠ 0 -t lineáris törtfüggvénynek nevezzük. Vegye figyelembe, hogy a definícióban szereplő követelmény, hogy c ≠ 0 és
bc-ad ≠ 0 elengedhetetlen. C = 0 és d ≠ 0 esetén vagy bc-ad = 0 esetén lineáris függvényt kapunk. Valóban, ha c = 0 és d ≠ 0, akkor
.
Ha bc-ad = 0, ≠ 0-val kifejezve b ebből az egyenlőségből a, c és d kifejezéssel, és helyettesítve a képletben, akkor a következőt kapjuk:
Tehát az első esetben lineáris függvényt kaptunk Általános nézet 
, a második esetben - az állandó 
... Most mutassuk meg, hogyan kell ábrázolni egy lineáris törtfüggvényt, ha azt az űrlap képlete adja meg 
2. példa.Ábrázoljuk a függvényt 
, azaz formában ábrázoljuk 
: válassza ki a tört egész részét, elosztva a számlálót a nevezővel, így kapjuk:
Így, 
... Látjuk, hogy ennek a függvénynek a grafikonja az y = 5 / x függvény grafikonjából nyerhető két egymást követő műszak használatával: az y = 5 / x hiperbola eltolása jobbra 3 egységgel, majd a kapott hiperbola eltolása 
Ezekkel az eltolásokkal az y = 5 / x hiperbola aszimptotái is elmozdulnak: az x tengely 2 egységgel feljebb, az y tengely pedig 3 egységgel jobbra. A grafikon ábrázolásához szaggatott vonallal rajzoljuk meg az aszimptotákat a koordinátasíkban: egy egyenes y = 2 és egy egyenes x = 3. Mivel a hiperbola két ágból áll, majd mindegyik megalkotásához két táblázatot fogunk összeállítani: egyet x -hez<3, а другую для x>3 (azaz az első az aszimptoták metszéspontjától balra, a második pedig tőle jobbra):
Bármilyen tört 
hasonló módon írható, kiemelve annak egész részét. Következésképpen az összes lineáris tört tört függvény grafikonja különböző módon párhuzamosan eltolt hiperbolák koordináta tengelyekés az Oy tengelye mentén húzódott.
3. példa.
Ábrázoljuk a függvényt 
Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elegendő megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez ágai (aszimptotái) közelednek, és még néhány pontot. Először keressük meg a függőleges aszimptotát. A függvény nincs meghatározva, ahol 2x + 2 = 0, azaz x = -1. Ezért az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptóta megtalálásához meg kell vizsgálnia, hogy a függvények értékei hogyan közelítenek, amikor az argumentum növekszik (abszolút értékben), a második tagok a tört számlálójában és nevezőjében 
viszonylag kicsi. ezért
.
Ezért a vízszintes aszimptóta az y = 3/2 egyenes. Határozzuk meg hiperbolánk metszéspontjait a koordináta -tengelyekkel. X = 0 esetén y = 5/2. A függvény nulla, ha 3x + 5 = 0, azaz x = -5/3. A rajzon megjelölve a pontokat (-5/3; 0) és (0; 5/2), és rajzolva a talált vízszintes és függőleges aszimptotákat, grafikont készítünk (4. ábra).
Általában a vízszintes aszimptóta megtalálásához el kell osztani a számlálót a nevezővel, majd y = 3/2 + 1/(x + 1), y = 3/2 a vízszintes aszimptóta.
2. Töredékes racionális függvény
Tekintsük a töredékes racionális függvényt
,
Amelyben a számláló és a nevező polinom, illetve n m-edik fok... Legyen a tört szabályos (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:
Ahol k 1 ... k s a Q (x) polinom gyöke, m 1 ... m s szorzattal, és a trinomiálisok konjugációs pároknak felelnek meg összetett gyökerek Q (x) többszörös m 1 ... m t a forma töredéke
Hívják alapvető racionális törtek az első, a második, a harmadik és a negyedik típus. Itt A, B, C, k valós számok; m és m természetes számok, m, m> 1; a valódi x 2 + px + q együtthatójú trinomiálisnak képzeletbeli gyökei vannak.nyilvánvaló, hogy egy töredékes racionális függvény gráfja az elemi törtek gráfjainak összegeként kapható. Funkciódiagram
Az 1 / x m (m ~ 1, 2, ...) függvény grafikonjából az abszcissza tengelye mentén párhuzamos fordítással kapjuk, jobbra │k│ skálaegységekkel. Az űrlap függvénygrafikája
Könnyen felépíthető, ha a nevezőben kiválasztja a teljes négyzetet, majd elvégzi az 1 / x 2 függvény grafikonjának megfelelő kialakítását. Függvény ábrázolása
két funkciójú grafikonok szorzatának felépítésére redukálódik:
y= Bx+ Cés
Megjegyzés... Függvény ábrázolása
ahol a d-b c
0
, 
,
ahol n - természetes szám, végrehajtható általános séma függvénykutatás és ábrázolás egyesekben konkrét példák sikeresen készíthet gráfot a megfelelő gráf -transzformációk végrehajtásával; a legjobb mód adja meg a magasabb matematika módszereit. 1. példa.Ábrázolási funkció
.
Miután kiválasztottuk az egész részt, megkapjuk
.
Töredék 
elemi törtek összegeként jelenik meg:
.
Készítsünk grafikonokat a függvényekről:
Ezen grafikonok hozzáadása után megkapjuk az adott függvény grafikonját:
A 6., 7., 8. ábrák a rajzolási függvényekre mutatnak példákat 
és 
. 2. példa. Függvény ábrázolása 
:
(1); 
(2); 
(3); (4)
: 
(1); 
(2); 
(3); (4)
Következtetés
Absztrakt munka elvégzésekor:-tisztázta a tört-lineáris és töredék-racionális függvényekről alkotott fogalmaimat: 1. definíció. A lineáris törtfüggvény az űrlap függvénye, ahol x egy változó, a, b, c és d számokat adnak meg, with 0 és bc-ad ≠ 0. 2. definíció. A töredék racionális függvény a forma függvényeAhol n Generált egy algoritmust ezen függvények ábrázolásához; Tapasztalatot szerzett a grafikon funkciókban, mint például: Megtanult további irodalommal és anyagokkal dolgozni, tudományos információkat válogatni; - tapasztalatokat szerzett a grafikai munka számítógépen történő elvégzésében; - megtanult problémabsztrakt munkákat írni. Megjegyzés. A 21. század előestéjén a beszéd és a találgatások soha véget nem érő áramlata ereszkedett ránk az információs autópályáról és a technológia következő korszakáról. A 21. század előestéjén a beszéd és a találgatások soha véget nem érő áramlata ereszkedett ránk az információs autópályáról és a technológia következő korszakáról. Ez a gyűjtemény az ötödik kiadás, amelyet a Moszkvai Városi Pedagógiai Gimnázium-Laboratórium 1505. számú csapata készített ……. A munka kísérlet a matematika és a tapasztalat kapcsolatának különböző megközelítéseinek nagyarányú összehasonlítására, amelyek elsősorban a priori és az empirizmus keretei között alakultak ki. A töredékes lineáris függvényt a 9. osztályban tanulmányozzák, miután néhány más típusú függvényt tanulmányoztak. Ezt tárgyaljuk a lecke elején. Itt az y = k / x függvényről beszélünk, ahol k> 0. A szerző szerint az adott funkciót az iskolások korábban figyelembe vették. Ezért ismerik a tulajdonságait. De egy tulajdonságot, amely jelzi ennek a függvénynek a grafikonjának jellemzőit, a szerző javasolja emlékezni és részletesen megfontolni ebben a leckében. Ez a tulajdonság tükrözi a függvény értékének közvetlen függését a változó értékétől. Nevezetesen, ha a pozitív x végtelenre hajlik, akkor a függvény értéke is pozitív, és hajlamos a 0. Ha negatív x hajlik a végtelenbe, akkor y értéke negatív és 0 -ra hajlik. Továbbá a szerző megjegyzi, hogy ez a tulajdonság hogyan jelenik meg a diagramon. A diákok így fokozatosan ismerkednek meg az aszimptoták fogalmával. E fogalom általános megismerése után következik annak egyértelmű meghatározása, amelyet világos kerettel emelnek ki. Az aszimptóta fogalmának bevezetése és annak meghatározása után a szerző felhívja a figyelmet arra, hogy az y = k / x hiperbolának k> 0 esetén két aszimptotája van: ezek az x és y tengelyek. Pontosan ugyanez a helyzet az y = k / x függvénnyel a k esetében<0: функция имеет две асимптоты. Amikor a fő pontokat előkészítik, a tudást frissítik, a szerző azt javasolja, hogy folytassák az új típusú függvények közvetlen tanulmányozását: egy lineáris törtfüggvény tanulmányozását. Kezdetben javasoljuk, hogy fontolja meg a lineáris törtfüggvény példáit. Egy ilyen példával élve a szerző bemutatja, hogy az első fokú lineáris kifejezések vagy más szóval polinomok működnek számlálóként és nevezőként. A számláló esetében nemcsak az elsőfokú polinom működhet, hanem a nullától eltérő szám is. Ezután a szerző bemutatja a lineáris törtfüggvény általános formáját. Ugyanakkor részletesen leírja a rögzített függvény minden összetevőjét. Azt is megmagyarázza, hogy mely együtthatók nem lehetnek 0 -val. A szerző leírja ezeket a korlátozásokat, és bemutatja, mi történhet, ha ezek az együtthatók nullának bizonyulnak. Ezt követően a szerző megismétli, hogy az y = f (x) + n függvény grafikonját hogyan kapjuk meg az y = f (x) függvény grafikonjából. Ebben a témában egy lecke is megtalálható az adatbázisunkban. Azt is megjegyzi, hogyan lehet az y = f (x) függvény ugyanazon grafikonjából felépíteni az y = f (x + m) függvény grafikonját. Mindezt egy konkrét példával mutatjuk be. Itt javasolt egy adott függvény grafikonjának felépítése. Az egész építkezés szakaszosan halad. Kezdetben azt javasoljuk, hogy egy integrált részt válasszanak ki egy adott algebrai törtből. A szükséges átalakítások elvégzése után a szerző egy egész számot kap, amelyet a törthez adunk hozzá a számmal megegyező számlálóval. Tehát egy függvény gráfja, amely töredék, kettős párhuzamos átvitel segítségével felépíthető az y = 5 / x függvényből. Itt a szerző megjegyzi, hogy az aszimptoták hogyan fognak mozogni. Ezt követően felépül egy koordináta -rendszer, az aszimptoták új helyre kerülnek. Ekkor két értéktábla készül az x> 0 változóhoz és az x változóhoz<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции. Ezután egy másik példát vizsgálunk, ahol egy függvény jelölésében egy mínusz van egy algebrai tört előtt. De ez nem különbözik az előző példától. Minden műveletet ugyanúgy hajtanak végre: a függvényt olyan formába konvertálják, ahol az egész rész kiemelve van. Ezután az aszimptotákat átviszik, és a függvényt ábrázolják. Ezzel befejeződött az anyag magyarázata. Ez a folyamat 7:28 percig tart. Körülbelül mennyi ideig tart egy tanárnak egy rendszeres leckében, hogy elmagyarázza az új anyagot. De ehhez jó előre fel kell készülnie. De ha ezt a videóleckét veszi alapul, akkor a leckére való felkészülés minimális időt és erőfeszítést igényel, és a diákoknak tetszeni fog az új tanítási módszer, amely videoleckét néz.
;A választható kurzusok a gimnazisták oktatási-kognitív és oktatási-kutatási tevékenységeinek szervezésének egyik formája
DokumentumMatematika és tapasztalat
Könyv
