Fok - tulajdonságok, szabályok, műveletek és képletek. Számfok: definíciók, jelölések, példák
Ennek az anyagnak a keretében elemezzük, hogy mi a szám foka. Az alapvető definíciókon kívül megfogalmazzuk, hogy milyen fokok a természetes, egész, racionális és irracionális kitevők. Mint mindig, minden fogalmat példákkal fogunk illusztrálni.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Először a természetes kitevővel rendelkező diploma alapvető definícióját fogalmazzuk meg. Ehhez emlékeznünk kell a szorzás alapvető szabályaira. Tisztázzuk előre, hogy egyelőre egy valós számot veszünk alapul (jelöljük a betűvel), és mutatóként - természetes számot (jelöljük n betűvel).
1. definíció
Az n természetes hatványú a szám hatalma az n -edik számú tényező szorzata, amelyek mindegyike egyenlő az a számmal. A diplomát így írják: a n, és képlet formájában összetétele a következőképpen ábrázolható:
Például, ha a kitevő 1, a bázis pedig a, akkor az a első hatványát úgy írjuk a 1... Tekintettel arra, hogy a a szorzó értéke és 1 a tényezők száma, arra következtethetünk a 1 = a.
Általánosságban elmondhatjuk, hogy a diploma a jelölés kényelmes formája egy nagy szám egyenlő tényezők. Tehát az űrlap bejegyzése 8 8 8 8-re redukálható 8 4 ... Körülbelül ugyanúgy a termék segít elkerülni a nagyszámú kifejezés írását (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); ezt már elemeztük a természetes számok szorzásának szentelt cikkben.
Hogyan lehet helyesen leolvasni a diplomát? Az általánosan elfogadott opció "a n erejéig". Vagy mondhatod, hogy "n -edik fok" vagy "n -edik fok". Ha mondjuk a példa tartalmazza a bejegyzést 8 12 , "8 -tól 12. hatalomig", "8 -tól 12 -ig" vagy "12. hatalom 8 -ig" olvashatjuk.
A szám második és harmadik hatalmának jól bevált nevei vannak: négyzet és kocka. Ha látjuk a második fokozatot, például a 7 -es számot (7 2), akkor azt mondhatjuk, hogy "7 négyzet" vagy "7 szám négyzete". Hasonlóképpen, a harmadik fokozat így olvasható: 5 3 "5 -ös számú kocka" vagy "5 -ös kocka". Lehetőség van azonban a "második / harmadik fokú" szabványos készítmény használatára is, nem lesz hiba.
1. példa
Elemezzük a természetes mutatóval rendelkező diploma példáját: for 5 7 öt lesz az alap, hét pedig a mutató.
Az alapnak nem kell egész számnak lennie: a fokozathoz (4 , 32) 9 az alap a 4, 32 tört, a kitevő pedig kilenc. Ügyeljen a zárójelre: ilyen bejegyzés történik minden fokozathoz, amelynek alapjai eltérnek a természetes számoktól.
Például: 1 2 3, ( - 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.
Mire szolgálnak zárójelek? Segítenek elkerülni a számítási hibákat. Tegyük fel, hogy két bejegyzésünk van: (− 2) 3 és − 2 3 ... Az első közülük negatív szám mínusz kettőt jelent, amelyet a természetes kitevővel hármasra emelnek; a második a fokozat ellentétes értékének megfelelő szám 2 3 .
Néha a könyvekben megtalálható a szám mértékének kissé eltérő helyesírása - a ^ n(ahol a a bázis és n a kitevő). Azaz 4 ^ 9 ugyanaz, mint 4 9 ... Ha n egy többjegyű szám, zárójelben van. Például: 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). De használni fogjuk a jelölést a n mint gyakoribb.
Könnyű kitalálni, hogyan kell kiszámítani egy diploma értékét természetes kitevővel a definíciójából: csak meg kell szorozni egy n -edik alkalommal. Erről bővebben egy másik cikkünkben írtunk.
A diploma fogalma ellentéte egy másik matematikai fogalomnak - egy szám gyökere. Ha ismerjük a fok és a kitevő értékét, kiszámíthatjuk az alapját. A diploma bizonyos speciális tulajdonságokkal rendelkezik, amelyek hasznosak a problémák megoldásában, amelyeket külön anyagban tárgyaltunk.
A kitevőkben nemcsak a természetes számok állhatnak, hanem általában minden egész érték, beleértve a negatívokat és a nullákat is, mert ezek is az egész számok halmazába tartoznak.
2. definíció
A pozitív egész kitevőjű szám hatalma képletként jeleníthető meg: 
.
Ezenkívül n bármely pozitív egész szám.
Foglalkozzunk a nulla fok fogalmával. Ehhez egy olyan megközelítést használunk, amely figyelembe veszi a fokok hányadosának tulajdonságát egyenlő alapon... A következőképpen van megfogalmazva:
3. definíció
Egyenlőség a m: a n = a m - n a feltételek mellett igaz lesz: m és n természetes számok, m< n , a ≠ 0 .
Az utolsó feltétel fontos, mert elkerüli a nullával való osztást. Ha m és n értéke egyenlő, akkor a következő eredményt kapjuk: a n: a n = a n - n = a 0
De ugyanakkor a n: a n = 1 az egyenlő számok hányadosa a nés a. Kiderül, hogy bármely nulla szám nulla foka egyenlő eggyel.
Ez a bizonyítás azonban nem vonatkozik nulláról nulla fokra. Ehhez szükségünk van a fokok egy másik tulajdonságára - az egyenlő bázisú fokok szorzatainak tulajdonságára. Ez így néz ki: a m a n = a m + n .
Ha n értéke 0, akkor a m a 0 = a m(ez az egyenlőség is bizonyítja számunkra, hogy a 0 = 1). De ha a is nulla, akkor egyenlőségünk formát ölt 0 m 0 0 = 0 m, Ez igaz lesz minden n természetes értékre, és nem mindegy, hogy pontosan mi a fok értéke 0 0 , azaz bármely számmal egyenlő lehet, és ez nem befolyásolja az egyenlőség hűségét. Ezért az űrlap jelölése 0 0 nincs különleges jelentése, és nem tulajdonítjuk neki.
Kívánt esetben könnyen ellenőrizhető a 0 = 1 konvergál a fok tulajdonsággal (a m) n = a m n feltéve, hogy a fok alapja nem nulla. Így minden nulla szám nulla kitevőjű foka egyenlő eggyel.
2. példa
Nézzünk egy példát konkrét számokkal: 5 0 - Mértékegység, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1, és az érték 0 0 határozatlan.
A nulla fok után nekünk kell kitalálnunk, hogy mi a negatív fok. Ehhez szükségünk van az azonos bázisú fokok szorzatának ugyanazon tulajdonságára, amelyet fentebb már használtunk: a m · a n = a m + n.
Vegyük be a feltételt: m = - n, akkor a ne legyen nulla. Ebből következik, hogy a - n a n = a - n + n = a 0 = 1... Kiderül, hogy egy n és a - n kölcsönösen fordított számokkal rendelkezünk.
Ennek eredményeképpen az a negatív egész hatvány nem más, mint az 1 a n töredéke.
Ez a megfogalmazás megerősíti, hogy egy egész negatív negatív kitevőjű fok esetében ugyanazok a tulajdonságok érvényesek, mint a természetes kitevőjű fokok (feltéve, hogy az alap nem nulla).
3. példa
A negatív n egész számmal rendelkező a hatalma 1 a n törtként ábrázolható. Így a - n = 1 a n a feltétel mellett a ≠ 0és n - bármilyen természetes szám.
Szemléltessük gondolatainkat konkrét példákkal:
4. példa
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
A bekezdés utolsó részében mindent megpróbálunk egy képletben ábrázolni, amit elmondtak:
4. definíció
Az a szám hatalma természetes kitevővel: z = az, e, l és z - egész szám pozitív 1, z = 0 és a ≠ 0, (és és z = 0 és a = 0 esetén 0 0, a hatványozás értékei 0 0 nem (ha z egész szám, és a = 0 0 z értéket ad, ego z in n in n e n d e d e n t)
Mik a racionális kitevő fokok?
Elemeztük azokat az eseteket, amikor a kitevő egész számot tartalmaz. Azonban akkor is emelhet egy számot hatványra, ha töredék száma van a kitevőjében. Ezt racionális kitevő foknak nevezik. Ebben az alfejezetben bebizonyítjuk, hogy ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkezik, mint a többi fok.
Mit racionális számok? Halmazuk egész és tört számokat is tartalmaz, míg a tört számok közönséges törtekként (pozitív és negatív) is ábrázolhatók. Fogalmazzuk meg az a szám fokának meghatározását m / n tört kitevővel, ahol n természetes szám, m pedig egész szám.
Van egy bizonyos fokú töredék kitevője a m n. Ahhoz, hogy a fokozatok tulajdonsága teljesüljön, az a m n n = a m n · n = a m egyenlőségnek igaznak kell lennie.
Tekintettel az n -edik gyök definíciójára és arra, hogy a m n n = a m, elfogadhatjuk az a m n = a m n feltételt, ha a m n -nek van értelme az adott m, n és a értékekre.
Az egész kitevőjű fok fenti tulajdonságai akkor lesznek igazak, ha a m n = a m n.
Az okfejtésünkből a fő következtetés a következő: néhány a / m töredékkifejezésű a szám hatalma az a szám n -edik gyöke m -ig. Ez akkor igaz, ha a megadott m, n és a értékeknél az a m n kifejezés megtartja jelentését.
1. Korlátozhatjuk a fokozat bázisának értékét: vegyünk egy a-t, amely m pozitív értékei esetén 0-nál nagyobb vagy egyenlő, negatív esetén pedig szigorúan kevesebbet (mivel m ≤ 0 esetén kap 0 m, de ez a fokozat nincs meghatározva). Ebben az esetben a tört kitevőjű diploma meghatározása a következőképpen fog kinézni:
Töredékes kitevője m / n egyeseknek pozitív szám a a m hatványára emelt n -edik gyökere. Képlet formájában ez a következőképpen ábrázolható:
Egy nulla bázisú fok esetében ez a pozíció is megfelelő, de csak akkor, ha kitevője pozitív szám.
A nullás bázissal és m / n töredékes pozitív kitevővel rendelkező fok kifejezhető
0 m n = 0 m n = 0 pozitív egész m és természetes n feltétel mellett.
Negatív aránnyal m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
Vegyünk észre egy pontot. Mióta bevezetettük azt a feltételt, hogy a nagyobb vagy egyenlő nullával, néhány esetet elvetettünk.
Az a m n kifejezés néha értelmes az a és néhány m egyes negatív értékei esetén. Tehát a helyes bejegyzések ( - 5) 2 3, ( - 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, amelyekben a bázis negatív.
2. A második megközelítés az a m n gyök külön vizsgálata, páros és páratlan kitevőkkel. Akkor még egy feltételt kell bevezetnünk: az a hatványát, amelynek kitevőjében letörölhető közönséges tört van, a hatalmának tekintjük, amelynek kitevőjében ott van a megfelelő redukálhatatlan tört. Később elmagyarázzuk, miért van szükségünk erre az állapotra, és miért olyan fontos. Így ha van egy rekordunk a m k n k, akkor azt m n -re csökkenthetjük, és egyszerűsíthetjük a számításokat.
Ha n - páratlan szám, és m értéke pozitív, a bármely nem-negatív szám, akkor a m n-nek van értelme. A nemnegatív a feltételre van szükség, mivel egyenletes gyöke negatív szám ne távolítsa el. Ha m értéke pozitív, akkor a lehet negatív vagy nulla, mivel páratlan gyök kivonható bármely valós számból.
Egyesítsük a fenti definíció összes adatát egy rekordban:
Itt m / n egy redukálhatatlan törtet jelent, m bármely egész szám, és n bármely természetes szám.
5. definíció
Bármilyen közönséges törlendő m · k n · k tört esetén a kitevő egy m n -tel helyettesíthető.
Az a szám ereje m / n redukálhatatlan tört kitevővel - m n -ként fejezhető ki a következő esetekben: - bármely valós a esetén pozitív m egész érték és n páratlan természetes érték. Példa: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1)- 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
Minden nem nulla valós a, egész szám esetén negatív értékeket m és páratlan n értékek, például 2 - 5 3 = 2 - 5 3, ( - 5, 1) - 2 7 = ( - 5, 1) - 2 7
Bármely nem negatív a, pozitív m és akár n egész szám esetén, például 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.
Bármely pozitív a, egész negatív m és akár n esetén, például 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3 ,.
Más értékek esetén a tört kitevő nincs meghatározva. Példák az ilyen fokozatokra: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
Most magyarázzuk el a fent említett feltétel fontosságát: miért cseréljük le a törtet egy lemondható kitevőre, egy törtet egy redukálhatatlanra. Ha ezt nem tettük volna meg, akkor ilyen helyzeteket kaptunk volna, mondjuk 6/10 = 3/5. Ekkor igaznak kell lennie (- 1) 6 10 =- 1 3 5, de- 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, és (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.
A tört kitevőjű fokozat definíciója, amelyet az elsőnek adtunk, kényelmesebb a gyakorlatban használni, mint a második, ezért továbbra is használni fogjuk.
6. definíció
Így az a pozitív szám fokát m / n tört kitevővel 0 m n = 0 m n = 0 határozza meg. Negatív esetén a az a m n jelölés értelmetlen. A nulla hatványa pozitív töredékes kitevők esetén m / nértéke 0 m n = 0 m n = 0, negatív töredékes kitevők esetén nem határozzuk meg a nulla fokát.
A következtetésekben megjegyezzük, hogy bármilyen törtjelzőt írhat vegyes számként és tizedes törtként is: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.
Számításkor jobb a kitevőt cserélni közönséges tört majd használja a fok definícióját tört kitevővel. A fenti példákhoz a következőket kapjuk:
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Melyek a fokok egy irracionális és érvényes kitevővel
Mik a valós számok? A készletük racionális és irracionális számokat is tartalmaz. Ezért ahhoz, hogy megértsük, mi a valós mutatóval rendelkező fokozat, racionális és irracionális mutatókkal kell definiálnunk a fokozatokat. Fent már említettük a racionálisakat. Foglalkozzunk az irracionális mutatókkal lépésről lépésre.
5. példa
Tegyük fel, hogy van egy irracionális a számunk és annak tizedes közelítéseinek a 0, a 1, a 2 ,. ... ... ... Vegyük például az a = 1,67175331 értéket. ... ... , azután
a 0 = 1,6, a 1 = 1,67, a 2 = 1,671 ,. ... ... , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753 ,. ... ...
Közelítéssorozatot társíthatunk a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... ... Ha emlékszel arra, amit korábban mondtunk a számok felépítéséről racionális fok, akkor ezeknek a fokoknak az értékeit magunk is kiszámíthatjuk.
Vegyük például a = 3, akkor a a 0 = 31,67, a a 1 = 31,6717, a a 2 = 31,671753 ,. ... ... stb.
A fokok sorozata számra redukálható, ami a fok értéke lesz a bázissal és irracionális kitevővel. Ennek eredményeként: olyan fokú irracionális kitevővel, mint 3 1, 67175331. ... 6, 27 -re csökkenthető.
7. definíció
A pozitív szám a fokát az irracionális a kitevővel a -ként írjuk fel. Értéke az a a 0, a a 1, a a 2 ,. ... ... , ahol 0, 1, 2 ,. ... ... az irracionális a szám egymást követő tizedes közelítései. A nulla alapú fokot pozitív irracionális mutatók esetén is meg lehet határozni, míg 0 a = 0 Tehát, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. A negatívoknál pedig ezt nem lehet megtenni, mivel például a 0 - 5, 0 - 2 π érték nincs meghatározva. Az irracionális teljesítményre emelt egység például egység marad, és az 1 2, 1 5 in 2 és 1 - 5 értéke 1.
Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűkombinációt
Teljesítmény képletek az összetett kifejezések csökkentésének és egyszerűsítésének folyamatában, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában használják.
Szám c egy n-a szám hatodik hatalma a amikor:
Műveletek fokozattal.
1. Fokok szorzata azonos bázissal, mutatóik összeadódnak:
a mA n = a m + n.
2. Az azonos bázisú fokok felosztásakor a mutatóikat kivonják:
3. A termék mértéke 2 ill több tényezők egyenlőek ezeknek a tényezőknek az erejével:
(abc ...) n = a n b n c n ...
4. A tört hatalma megegyezik az osztalék és az osztó erejének arányával:
(a / b) n = a n / b n.
5. Fokozattal fokozva a kitevőket megszorozzuk:
(a m) n = a m n.
A fenti képlet mindegyike igaz balról jobbra, és fordítva.
Például. (2 · 3 · 5/15) ² = 2² · 3² · 5²/15² = 900/225 = 4.
Gyökérműveletek.
1. Több tényező szorzatának gyöke megegyezik ezen tényezők gyökereinek szorzatával:
2. A kapcsolat gyökere megegyezik az osztalék és a gyök osztójának arányával:
3. Amikor a gyökeret hatványra emelik, elegendő a gyökszámot erre a hatványra emelni:
4. Ha növeli a gyök fokát n egyszer és egyben beépíteni n-a gyökszám hatodik hatványa, akkor a gyökérték nem változik:
5. Ha csökkenti a gyök fokát n egyszer és egyidejűleg vonja ki a gyökeret n-a gyök számának hatodik hatalma, akkor a gyök értéke nem változik:
Fok negatív kitevővel. A nem pozitív (egész) kitevőjű szám hatványát úgy határozzuk meg, hogy az osztva van ugyanazon szám hatalmával, ha kitevője egyenlő abszolút érték nem pozitív mutató:
Képlet a m: a n = a m - n nem csak arra használható m> n, de az is m< n.
Például. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Tehát a képlet a m: a n = a m - n igazságossá vált, amikor m = n, a nulla fok jelenléte szükséges.
Nulla fokozat. Bármely nulla szám teljesítménye nulla kitevővel egyenlő.
Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Töredékes kitevő. Valós szám felállításához de mértékig m / n, ki kell vonnia a gyökeret n-fokozata m-ennek a számnak a hatodik hatalma de.
Az algebra, sőt minden matematika egyik fő jellemzője a fok. Természetesen a 21. században minden számítást el lehet végezni egy online számológépen, de jobb, ha az agy fejlődése megtanulja, hogyan kell ezt saját maga csinálni.
Ebben a cikkben megvizsgáljuk a meghatározással kapcsolatos legfontosabb kérdéseket. Ugyanis meg fogjuk érteni, hogy mi ez általában és mik a fő funkciói, mik a tulajdonságai a matematikában.
Nézzünk példákat arra, hogyan néz ki a számítás, mik az alapképletek. Elemezzük a mennyiségek fő típusait, és miben különböznek más funkcióktól.
Nézzük meg, hogyan lehet megoldani a különböző problémákat ezzel az értékkel. Mutassuk példákkal, hogyan lehet nulla teljesítményre emelni, irracionális, negatív stb.
Hatványozás számológép online
Mekkora a szám foka
Mit jelent a "hatalomra emelni egy számot" kifejezés?
Az a szám n hatványa sorban n -szeres értékű tényezők szorzata.
Matematikailag így néz ki:
a n = a * a * a *… a n.
Például:
- 2 3 = 2 a harmadik lépésben. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4 lépésben. kettő = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5 lépésben. négy = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 = 10 5 lépésben. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 = 10 4 lépésben. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
Az alábbi táblázat 1 és 10 közötti négyzeteket és kockákat tartalmaz.
Osztályozási táblázat 1 -től 10 -ig
Az alábbiakban bemutatjuk a természetes számok pozitív hatványokra történő emelésének eredményeit - "1 -ről 100 -ra".
| Ch-lo | 2. cikk | 3. cikk |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
Teljesítmény tulajdonságai
Mi jellemző egy ilyen matematikai függvényre? Tekintsük az alapvető tulajdonságokat.
A tudósok a következőket állapították meg minden fokozatra jellemző jelek:
- a n * a m = (a) (n + m);
- a n: a m = (a) (n-m);
- (a b) m = (a) (b * m).
Vizsgáljuk meg példákkal:
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Másrészt 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
Hasonlóképpen: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. Ellenkező esetben 2 3-2 = 2 1 = 2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. És ha más? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
Mint látható, a szabályok működnek.
De mi van összeadással és kivonással? Ez egyszerű. Először a hatványozást hajtják végre, és csak ezután az összeadást és kivonást.
Nézzünk néhány példát:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16. Kérjük, vegye figyelembe: a szabály nem működik, ha először kivonja: (5 - 3) 2 = 2 2 = 4.
De ebben az esetben először ki kell számolnia az összeadást, mivel zárójelben vannak műveletek: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
Hogyan kell előállítani számítások több nehéz esetek ? Az eljárás ugyanaz:
- ha vannak zárójelek - velük kell kezdeni;
- majd hatványozás;
- majd hajtsa végre a szorzás, osztás műveleteit;
- összeadás, kivonás után.
Vannak olyan tulajdonságok, amelyek nem minden fokozatra jellemzőek:
- Az a szám n-edik gyöke az m hatványhoz így lesz írva: a m / n.
- Töredék hatványra emelésekor: mind a számlálóra, mind a nevezőre vonatkozik ez az eljárás.
- Amikor különböző számok szorzatát hatványra emelik, a kifejezés e számok szorzatának felel meg egy adott hatványra. Vagyis: (a * b) n = a n * b n.
- Ha egy számot negatív lépésre emel., El kell osztania 1-et egy számmal, amely ugyanabban a st-no-ban van, de "+" jellel.
- Ha a tört nevezője negatív hatványú, akkor ez a kifejezés egyenlő lesz a számláló és a pozitív hatványú nevező szorzatával.
- Bármilyen szám a 0 fokban = 1, és lépésben. 1 = magadnak.
Ezek a szabályok egyedi esetekben fontosak, az alábbiakban részletesebben megvizsgáljuk őket.
Fok negatív kitevővel
Mi a teendő, ha a fok mínusz, azaz ha a kitevő negatív?
A 4. és 5. tulajdonság alapján(lásd a fenti pontot), kiderül:
A (- n) = 1/A n, 5 (-2) = 1/5 2 = 1/25.
És fordítva:
1 / A (- n) = A n, 1/2 (-3) = 2 3 = 8.
És ha töredék?
(A/B) (- n) = (B/A) n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.
Fokozat természetes kitevővel
Fokozatként értjük, egész számokkal egyenlő mutatókkal.
Dolgok, amikre emlékezni kell:
A 0 = 1, 10 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... stb.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... stb.
Ezenkívül, ha (-a) 2 n +2, n = 0, 1, 2 ... akkor az eredmény " +" előjellel lesz. Ha egy negatív számot páratlanra emelnek, akkor fordítva.
Az általános tulajdonságok és az összes fent leírt sajátosság is jellemző rájuk.
Töredékfok
Ezt a nézetet a következő séma írhatja fel: A m / n. Ez így hangzik: az A szám n-edik gyöke az m hatványhoz.
Töredékes kitevővel bármit megtehet: csökkentse, ossza szét, emelje fel más mértékben stb.
Irracionális fokozat
Legyen α irracionális szám és A ˃ 0.
Ahhoz, hogy megértsük a diploma lényegét egy ilyen mutatóval, vegye figyelembe a lehetséges eseteket:
- A = 1. Az eredmény egyenlő lesz 1. Mivel van axióma - 1 minden fokban egyenlő eggyel;
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - racionális számok;
- 0˂А˂1.
Ebben az esetben éppen ellenkezőleg: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 ugyanazon feltételek mellett, mint a második bekezdésben.
Például a kitevő π. Ez racionális.
r 1 - ebben az esetben 3;
r 2 - 4 lesz.
Ekkor A = 1 esetén 1 π = 1.
A = 2, majd 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
А = 1/2, majd (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
Ezeket a fokozatokat a fent leírt matematikai műveletek és sajátosságok jellemzik.
Következtetés
Összefoglalva - mire szolgálnak ezek az értékek, mi az előnye az ilyen funkcióknak? Természetesen mindenekelőtt leegyszerűsítik a matematikusok és programozók életét a példák megoldásakor, mivel lehetővé teszik a számítások minimalizálását, az algoritmusok csökkentését, az adatok rendszerezését és még sok mást.
Hol lehet még hasznos ez a tudás? Bármely dolgozó specialitás: orvostudomány, farmakológia, fogászat, építőipar, mérnöki tudomány, tervezés, tervezés stb.
Első szint
Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)
Miért van szükség diplomákra? Hol lesznek hasznosak számodra? Miért kell időt szánnia arra, hogy tanulmányozza őket?
Mindent megtudni a diplomákról, mire valók, hogyan kell felhasználni tudását Mindennapi élet olvassa el ezt a cikket.
És persze a fokozatok ismerete közelebb visz sikeres szállítás OGE vagy USE, és felvételi álmai egyetemére.
Menjünk ... (Menjünk!)
Fontos jegyzet! Ha képletek helyett hülyeséget lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja meg a CTRL + F5 (Windows) vagy a Cmd + R (Mac) billentyűkombinációt.
ELSŐ SZINT
A hatványozás ugyanaz a matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.
Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni egyszerű példák... Figyelj. A példák elemiek, de fontos dolgokat magyaráznak.
Kezdjük az összeadással.
Nincs mit megmagyarázni. Már mindent tud: nyolcan vagyunk. Mindegyikben két üveg kóla található. Mennyi kóla van összesen? Így van - 16 üveg.
Most a szorzás.
Ugyanaz a kóla példa másként is írható :. A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálnak egy módot arra, hogy gyorsan "megszámolják" őket. Esetünkben észrevették, hogy a nyolc ember mindegyikének ugyanannyi kólásüvege van, és kitalálták a szorzás nevű technikát. Egyetértek, ez egyszerűbbnek és gyorsabbnak tekinthető, mint.
Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla... Természetesen mindent megtehet lassabban, nehezebben és hibákkal! De…
Itt a szorzótábla. Ismétlés.
És még egy, szebb:
Mi más trükkös trükkök lusta matematikusok találták ki a számlákat? Jobb - számot hatalomra emelve.
Szám emelése hatalomra
Ha ötször meg kell szoroznia egy számot, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek arra, hogy kettő az ötödik fok. És fejben megoldják az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hibák nélkül.
Csak annyit kell tennie, hogy ne feledje, mi van kiemelve a számok hatványainak táblázatában... Hidd el, ettől sokkal könnyebb lesz az életed.
Egyébként miért hívják a másodfokot négyzet számok, a harmadik - kocka? Mit jelent? Ez egy nagyon jó kérdés. Most négyzetek és kockák is lesznek.
Életpélda # 1
Kezdjük egy négyzettel vagy egy szám második hatványával.
Képzeljünk el egy négyzetméteres medencét. A medence a vidéki házban van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De ... medence fenék nélkül! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence aljának területét.
Egyszerűen megszámolhatja az ujját bökve, hogy a medence alja méterről méter kockákból áll. Ha méterenként van csempe, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű ... De hol láttál ilyen csempéket? A csempe inkább cm -es cm -es lesz, és akkor gyötrődni fog "az ujjad számolásával". Akkor szaporodnia kell. Tehát a medence aljának egyik oldalán csempéket (darabokat), a másikon pedig csempéket fogunk elhelyezni. Ha megszorozzuk, csempéket kapunk ().
Észrevette, hogy ugyanazt a számot megszoroztuk magunkkal, hogy meghatározzuk a medence aljának területét? Mit jelent? Ha ugyanazt a számot megszorozzuk, használhatjuk a "hatványozás" technikát. (Természetesen, ha csak két számmal rendelkezik, akkor is megszorozhatja vagy hatványra emelheti őket. De ha sok van, akkor a hatványra emelés sokkal könnyebb, és a számítások során is kevesebb a hiba. vizsga, ez nagyon fontos).
Tehát harminc másodfokú lesz (). Vagy mondhatod, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, a szám második hatalma mindig négyzetként ábrázolható. Ezzel szemben, ha négyzetet lát, az MINDIG a szám második hatalma. A négyzet a szám második hatványának ábrázolása.
Példa a valós életre # 2
Itt egy feladat az Ön számára, számolja meg, hány négyzet van a sakktáblán a szám négyzete segítségével ... A cellák egyik oldalán és a másik oldalon is. Számuk megszámlálásához meg kell szorozni nyolcat nyolccal vagy ... ha ezt észreveszi Sakktábla egy négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolcas lehet. Kapsz sejteket. () Így?
3. életpélda
Most a kocka vagy a szám harmadik hatalma. Ugyanaz a medence. De most meg kell tudnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számítani a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként be kell mérni köbméter... Váratlanul, ugye?) Rajzoljon medencét: az alsó egy méter méretű és egy méter mély, és próbálja meg kiszámítani, hány méter kocka kerül a medencébe.
Mutasd az ujjad és számolj! Egy, kettő, három, négy ... huszonkettő, huszonhárom ... Mennyi lett belőle? Nem veszett el? Nehéz számolni az ujjával? Így hát! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal ... Könnyebb, nem?
Most képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt is leegyszerűsítik. Mindent egy akcióra redukáltak. Észrevették, hogy a hossz, a szélesség és a magasság egyenlő, és hogy ugyanazt a számot önmagában meg kell szorozni ... Mit jelent ez? Ez azt jelenti, hogy kihasználhatja a diplomát. Tehát, amit egykor az ujjával számolt, azt egyetlen műveletben végzik el: a kocka háromja egyenlő. Így van írva :.
Csak marad emlékezz a fokok táblázatára... Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz vagy, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, akkor az ujjával folytathatja a számolást.
Nos, annak érdekében, hogy végre meggyőzze Önt arról, hogy a diplomákat tétlenek és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, és nem azért, hogy problémákat okozzanak nektek, íme még néhány példa az életből.
4. életpélda
Van egymillió rubel. Minden év elején minden millióból újabb milliót keres. Vagyis minden millióan megduplázódnak minden év elején. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és „az ujjaddal számolsz”, akkor nagyon szorgalmas ember vagy és .. hülye. De nagy valószínűséggel pár másodperc múlva válaszolsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kétszer kettő ... a második évben - még kettő történt, a harmadik évben ... Állj! Észrevette, hogy a szám egyszer önmagában megszorozódik. Tehát kettő az ötödik hatalomhoz millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és azokat a milliókat megkapja az, aki gyorsabban számol ... Érdemes megjegyezni a számok fokát, mit gondolsz?
5. életpélda
Milliója van. Minden év elején minden millió után még kettőt keres. Remek, nem? Minden millió triplázik. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Számoljunk. Az első év - szorozd meg, majd az eredmény mással ... Már unalmas, mert már mindent megértettél: háromszor önmagában megszorozódik. Tehát a negyedik hatalom egymillióval egyenlő. Csak emlékeznie kell arra, hogy három -negyedik hatalom az vagy.
Most már tudod, hogy ha számot emelsz hatalomra, nagyban megkönnyíted az életedet. Vessünk egy pillantást arra, hogy mit lehet tenni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.
Feltételek és fogalmak ... nehogy összezavarodjanak
Tehát először határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi a kitevő? Ez nagyon egyszerű - ez az a szám, amely a szám erejének "tetején" van. Nem tudományos, de érthető és könnyen megjegyezhető ...
Nos, ezzel egy időben ilyen fokú bázis? Még egyszerűbb az a szám, amely alul, az alján található.
Itt van egy rajz, hogy biztos legyen.
Általánosságban elmondható, hogy általánosítás és jobb emlékezés érdekében ... A "" alapú és "" mutatóval rendelkező diplomát "fokozatként" kell olvasni, és a következőképpen írják:
Számfok természetes kitevővel
Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi az természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok a számok, amelyeket az objektumok listázásakor használnak: egy, kettő, három ... Amikor számolunk objektumokat, nem azt mondjuk: "mínusz öt", "mínusz hat", "mínusz hét". Azt sem mondjuk: "egyharmad", vagy "nulla pont, öt tized". Ezek nem természetes számok. Szerintetek milyen számok?
Az olyan számok, mint a mínusz öt, mínusz hat, mínusz hét, arra utalnak egész számok.Általánosságban elmondható, hogy az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számokat (azaz mínuszjellel) és egy számot. A nullát könnyű megérteni - ilyenkor nincs semmi. Mit jelentenek a negatív ("mínusz") számok? De elsősorban az adósságok jelzésére találták ki: ha rubel van a telefonon, az azt jelenti, hogy rubellel tartozik az üzemeltetőnek.
A törtek racionális számok. Szerinted hogyan jöttek létre? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nincs természetes számuk a hossz, súly, terület stb. És rájöttek racionális számok... Érdekes, igaz?
Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden: végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.
Összefoglaló:
Határozzuk meg a fok fogalmát, amelynek kitevője egy természetes szám (azaz egész és pozitív).
- Bármely szám az első hatványban egyenlő önmagával:
- Egy szám négyzetre állítása annyit jelent, mint önmagát megszorozni:
- Egy szám kockázása annyit jelent, mint önmagát háromszor megszorozni:
Meghatározás. Ha egy számot természetes erőre emelünk, az azt szorozza meg, hogy a számot többszöröse:
.
Teljesítmény tulajdonságai
Honnan jöttek ezek az ingatlanok? Most megmutatom.
Nézzük: mi az és ?
Definíció szerint:
Hány tényező van összesen?
Ez nagyon egyszerű: szorzókat adtunk a szorzókhoz, és az összeg szorzó.
De definíció szerint ez egy szám foka egy kitevővel, vagyis a bizonyításhoz szükséges.
Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.
Megoldás:
Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.
Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen azonos alapokkal kell rendelkeznie!
Ezért egyesítjük a fokozatokat az alappal, de továbbra is külön tényező:
csak a fokok szorzatára!
Ezt semmi esetre sem írhatja le.
2. az -egy szám hatodik hatalma
Csakúgy, mint az előző tulajdonság esetében, térjünk rá a fok definíciójára:
Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagunkkal, azaz a definíció szerint ez a szám hatalma:
Lényegében ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelesítésének". De soha ne tegye ezt összesen:
Emlékezzünk a rövidített szorzási képletekre: hányszor akartuk írni?
De végül is ez nem igaz.
Fok negatív bázissal
Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.
De mi legyen az alap?
Fokban természetes mutató lehet az alap bármilyen szám... Valójában bármely számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy akár páros.
Gondoljuk át, mely jelek ("" vagy "") rendelkeznek pozitív és negatív számokkal?
Például pozitív vagy negatív lesz a szám? DE? ? Az elsővel minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.
De a negatív egy kicsit érdekesebb. Végül is egy egyszerű szabályra emlékezünk a 6. osztályból: "mínusz mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor működik.
Döntse el önállóan, hogy az alábbi kifejezéseknek milyen jele lesz:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Sikerült?
Íme a válaszok: Az első négy példában remélhetőleg minden világos? Csak nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Az 5. példában minden szintén nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: nem mindegy, hogy az alap egyenlő - a fokozat egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.
Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).
6. példa) már nem olyan egyszerű!
6 példa edzésre
A megoldás elemzése 6 példa
A nyolcadik fokon kívül mit látunk itt? Felidézzük a 7. osztályos programot. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, nevezetesen a négyzetek különbsége! Kapunk:
Óvatosan nézzük a nevezőt. Nagyon hasonlít a számláló egyik szorzójára, de mi a baj? Hibás sorrend. Ha megfordítják őket, akkor a szabály alkalmazható.
De hogyan kell ezt megtenni? Nagyon egyszerűnek bizonyul: a nevező egyenletes foka segít nekünk.
A kifejezések varázslatosan megfordulnak. Ez a "jelenség" egyenletes mértékben alkalmazható minden kifejezésre: szabadon megváltoztathatjuk a zárójelben lévő jeleket.
De fontos megjegyezni: minden jel egyszerre változik!
Térjünk vissza a példához:
És ismét a képlet:
Egész a velük szemben lévő természetes számokat hívjuk (vagyis "" előjellel) és a számot.
pozitív egész szám, de nem különbözik a természettől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.
Most nézzünk néhány új esetet. Kezdjük egy egyenlő mutatóval.
A nulla fok bármelyike egyenlő eggyel:
Mint mindig, tegyük fel magunknak a kérdést: miért van ez így?
Fontolja meg bizonyos fokú alapot. Vegyük például és szorozzuk meg:
Tehát megszoroztuk a számot, és ugyanazt kaptuk, mint volt -. És melyik számot kell szorozni, hogy ne változzon semmi? Így van, tovább. Eszközök.
Ugyanezt megtehetjük tetszőleges számmal:
Ismételjük meg a szabályt:
A nulla fok bármelyike egyenlő eggyel.
De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (alapként).
Egyrészt bármilyen mértékűnek kell lennie - bármennyit is szaporít magával, akkor is nullát kap, ez egyértelmű. Másrészt, mint minden nulla fokú számnak, ennek is egyenlőnek kell lennie. Tehát ebből melyik igaz? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem avatkoznak be, és nem voltak hajlandók a nullát nullára emelni. Vagyis most nem csak osztani lehet nullával, hanem fel is emelhetjük nulla hatványra.
Menjünk tovább. A természetes számok és számok mellett a negatív számok egész számokhoz tartoznak. Annak megértéséhez, hogy mi a negatív kitevő, tegyük ugyanazt, mint legutóbb: megszorozzunk egy normál számot ugyanazzal a negatív kitevővel:
Innen már könnyű kifejezni, amit keres:
Most a kapott szabályt tetszőleges mértékben kiterjesztjük:
Tehát fogalmazzunk meg egy szabályt:
A negatív hatványú szám inverz a pozitív hatványban lévő számmal. De ugyanakkor az alap nem lehet nulla:(mert nem lehet osztani).
Összefoglaljuk:
I. A kifejezés nincs megadva abban az esetben. Ha akkor.
II. Bármely szám nulla fokig egyenlő eggyel :.
III. Egy szám, amely nem nulla, negatív hatványban inverz pozitív számmal azonos számmal :.
A független megoldás feladatai:
Nos, mint általában, példák a független megoldásra:
Feladatok elemzése a független megoldás érdekében:
Tudom, tudom, a számok szörnyűek, de a vizsgán mindenre fel kell készülni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásukat, ha nem tudta megoldani őket, és a vizsgán megtanulja, hogyan kell könnyen megbirkózni velük!
Bővítsük tovább a kitevőként "alkalmas" számkört.
Most fontolja meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?
Válasz: mindaz, ami törtként ábrázolható, ráadásul hol és egész szám.
Hogy megértsük, mi az Töredékfok Tekintsük a törtet:
Emeljük fel az egyenlet mindkét oldalát a hatványra:
Most emlékezzünk a szabályra "Fokozat fokozat":
Milyen számot kell hatalomra emelni, hogy megkapjuk?
Ez a megfogalmazás a th gyök definíciója.
Hadd emlékeztessem: a szám () hatványának gyökere egy szám, amely hatványra emelve egyenlő.
Vagyis az -edik hatvány gyökere a hatványozás fordított művelete :.
Kiderül, hogy. Nyilván ezt különleges eset bővíthető :.
Most hozzáadjuk a számlálót: mi ez? A válasz könnyen megkapható a fok-fokozat szabály segítségével:
De lehet az alap bármilyen szám? Végül is a gyökér nem vonható ki minden számból.
Egyik sem!
Ne feledje a szabályt: minden szám, amely páros hatványra emelkedik, pozitív szám. Vagyis a negatív számokból nem nyerhet ki egyenletes fokú gyökereket!
Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet tömeges hatványra emelni páros nevezővel, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.
Mi lesz a kifejezéssel?
De itt merül fel a probléma.
A szám ábrázolható más, törölhető törtként, például, vagy.
És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, de ez csak két különböző rekord ugyanannak a számnak.
Vagy egy másik példa: egyszer, akkor írhat. De ha másképpen írjuk le a mutatót, és ismét kellemetlenséget kapunk: (vagyis teljesen más eredményt kaptunk!).
Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében fontolóra vesszük csak pozitív radix tört kitevővel.
Tehát, ha:
- - természetes szám;
- - egész szám;
Példák:
A racionális kitevők nagyon hasznosak a gyökeres kifejezések konvertálásához, például:
5 példa edzésre
Edzés 5 példájának elemzése
És most a legnehezebb. Most elemezzük irracionális fokozat.
A fokozatok minden szabálya és tulajdonsága itt pontosan megegyezik a racionális kitevőjű diplomával, kivéve
Valójában definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyek nem ábrázolhatók törtként, ahol teljes számok (azaz az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).
Amikor természetes, egész és racionális mutatóval tanulmányozzuk a diplomákat, minden alkalommal egyfajta "képet", "analógiát" vagy ismertebb leírást alkottunk.
Például a természetes kitevő egy önmagában többszörösen megszorzott szám;
...nulla fokos szám- ez egy szám önmagával egyszer megszorozva, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egyfajta "üres szám" ", nevezetesen a szám;
...egész negatív negatív kitevő- mintha valamiféle "fordított folyamat" zajlott volna le, vagyis a számot nem önmagában szaporították, hanem megosztották.
Egyébként a tudományban gyakran használnak komplex mutatóval rendelkező diplomát, vagyis a mutató nem is valós szám.
De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, lehetősége lesz arra, hogy megértse ezeket az új fogalmakat az intézetben.
HOVA BIZTOSAN MEGMENNÉL! (ha megtanulod megoldani az ilyen példákat :))
Például:
Döntse el maga:
A megoldások elemzése:
1. Kezdjük a hatalom hatalomra emelésének már megszokott szabályával:
Most nézd meg a mutatót. Emlékeztet valamire? Felidézzük a rövidített szorzás képletét, a négyzetek különbségét:
Ebben az esetben,
Kiderül, hogy:
Válasz: .
2. A törteket kitevőkben ugyanabba a formába hozzuk: vagy tizedes, vagy mindkettő közönséges. Vegyük például:
Válasz: 16
3. Semmi különös, a fokozatok szokásos tulajdonságait alkalmazzuk:
HALADÓ SZINT
A diploma meghatározása
A diploma a következő formája :, ahol:
- — fokozat alapja;
- - kitevő.
Fok természetes kitevővel (n = 1, 2, 3, ...)
Ha egy számot természetes erőre emelünk, az azt jelenti, hogy megszorozzuk a számot magával:
Egész fok (0, ± 1, ± 2, ...)
Ha a kitevő az egész pozitív szám:
Erekció nullára:
A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen mértékben - ezt, másrészt - bármilyen számot a fokig - ezt.
Ha a kitevő az egész negatív szám:
(mert nem lehet osztani).
Még egyszer a nullákról: a kifejezés esetenként nincs meghatározva. Ha akkor.
Példák:
Racionális fokozat
- - természetes szám;
- - egész szám;
Példák:
Teljesítmény tulajdonságai
A problémák megoldásának megkönnyítése érdekében próbáljuk megérteni: honnan jöttek ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.
Nézzük: mi az és mi?
Definíció szerint:
Tehát a kifejezés jobb oldalán a következő terméket kapjuk:
De definíció szerint ez egy kitevőjű szám ereje, azaz:
Q.E.D.
Példa : Egyszerűsítse a kifejezést.
Megoldás : .
Példa : Egyszerűsítse a kifejezést.
Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen azonos alapokkal kell rendelkezniük. Ezért egyesítjük a fokozatokat az alappal, de továbbra is külön tényező:
Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak fokok szorzatára!
Semmiképpen ne írjak ilyet.
Csakúgy, mint az előző tulajdonság esetében, térjünk rá a fok definíciójára:
Ezt a darabot így rendezzük át:
Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagunkkal, azaz a definíció szerint ez a szám hatalma:
Lényegében ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelesítésének". De soha ne tegye ezt összesen :!
Emlékezzünk a rövidített szorzási képletekre: hányszor akartuk írni? De végül is ez nem igaz.
Negatív alapú diploma.
Eddig csak arról beszéltünk, hogyan kellene index fokozat. De mi legyen az alap? Fokban természetes indikátor lehet az alap bármilyen szám .
Valójában bármely számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy akár páros. Gondoljuk át, mely jelek ("" vagy "") rendelkeznek pozitív és negatív számokkal?
Például pozitív vagy negatív lesz a szám? DE? ?
Az elsővel minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.
De a negatív egy kicsit érdekesebb. Végül is egy egyszerű szabályra emlékezünk a 6. osztályból: "mínusz mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk a () -vel, akkor -.
És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással a jel megváltozik. Lehet ilyeneket megfogalmazni egyszerű szabályok:
- még fok, - szám pozitív.
- Negatív szám növelve páratlan fok, - szám negatív.
- A pozitív szám bármilyen mértékben pozitív szám.
- A nulla minden teljesítményhez nulla.
Döntse el önállóan, hogy az alábbi kifejezéseknek milyen jele lesz:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Sikerült? Íme a válaszok:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Remélem, az első négy példában minden világos? Csak nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.
Az 5. példában minden szintén nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: nem mindegy, hogy az alap egyenlő - a fokozat egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem egyenlő, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).
A 6. példa már nem ilyen egyszerű. Itt meg kell találnia, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszik, világossá válik, hogy ez, és ezért az alap nullánál kisebb... Vagyis a 2. szabályt alkalmazzuk: az eredmény negatív lesz.
És ismét a fok definícióját használjuk:
Minden a megszokott módon van - írjuk le a fokozatok definícióját, és osszuk egymást, osszuk párokra és kapjuk:
Mielőtt megvizsgálnánk az utolsó szabályt, oldjunk meg néhány példát.
Számítsa ki a kifejezések értékeit:
Megoldások :
A nyolcadik fokon kívül mit látunk itt? Felidézzük a 7. osztályos programot. Szóval, emlékszel? Ez a rövidített szorzás képlete, nevezetesen a négyzetek különbsége!
Kapunk:
Óvatosan nézzük a nevezőt. Nagyon hasonlít a számláló egyik szorzójára, de mi a baj? Hibás sorrend. Ha felcserélnék őket, a 3. szabály alkalmazható lenne, de hogyan lehet ezt megtenni? Nagyon egyszerűnek bizonyul: a nevező egyenletes foka segít nekünk.
Ha megszorozzuk, akkor semmi sem változik, ugye? De most kiderül a következő:
A kifejezések varázslatosan megfordulnak. Ez a "jelenség" egyenletes mértékben alkalmazható minden kifejezésre: szabadon megváltoztathatjuk a zárójelben lévő jeleket. De fontos megjegyezni: minden jel egyszerre változik! Nem helyettesíthető azzal, hogy csak egy hátrányt változtatunk meg, amit nem akarunk!
Térjünk vissza a példához:
És ismét a képlet:
Tehát most az utolsó szabály:
Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen, mint általában: bővítsük a fokozat fogalmát és egyszerűsítsük:
Most nyissuk ki a zárójeleket. Hány levél lesz? szorzók szerint - hogy néz ki? Ez nem más, mint egy művelet definíciója szorzás: csak szorzók voltak. Vagyis definíció szerint ez egy szám foka egy kitevővel:
Példa:
Irracionális fokozat
A középfokú fokokra vonatkozó információk mellett itt található az irracionális kitevőjű fok. A fokok minden szabálya és tulajdonsága itt pontosan megegyezik a racionális kitevőjű fokozattal, kivéve - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyek nem ábrázolhatók törtként, ahol és ha egész számok ( azaz az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).
Amikor természetes, egész és racionális mutatóval tanulmányozzuk a diplomákat, minden alkalommal egyfajta "képet", "analógiát" vagy ismertebb leírást alkottunk. Például a természetes kitevő egy önmagában többszörösen megszorzott szám; a nulla fokos szám mintegy önmagával egyszer megszorozott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy az "üres szám" fajtája, nevezetesen a szám; egy egész negatív negatív kitevőjű fokozat olyan, mintha valamiféle "fordított folyamat" történt volna, vagyis a számot nem önmagával szoroztuk, hanem osztottuk.
Rendkívül nehéz elképzelni egy fokozatot irracionális kitevővel (mint ahogy egy 4 dimenziós teret is). Inkább pusztán matematikai objektum, amelyet a matematikusok hoztak létre, hogy kiterjesszék a fok fogalmát a számok teljes terére.
Egyébként a tudományban gyakran használnak komplex mutatóval rendelkező diplomát, vagyis a mutató nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, lehetősége lesz arra, hogy megértse ezeket az új fogalmakat az intézetben.
Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Minden erőnkkel igyekszünk megszabadulni tőle! :)
Például:
Döntse el maga:
| 1) | 2) | 3) |
Válaszok:
- Felidézzük a négyzetek különbségének képletét. Válasz:.
- A törteket ugyanabba a formába hozzuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkettőt közönséges. Kapjuk például :.
- Semmi különös, a szokásos fok tulajdonságait alkalmazzuk:
A SZAKASZ ÖSSZEGZÉSE ÉS ALAPVETŐ FORMULÁI
Fokozat formájának kifejezése :, ahol:
Egész fokozat
fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).
Racionális fokozat
fok, amelynek kitevője a negatív és tört számok.
Irracionális fokozat
fok, amelynek kitevője végtelen tizedes tört vagy gyök.
Teljesítmény tulajdonságai
A fokozatok jellemzői.
- Negatív szám növelve még fok, - szám pozitív.
- Negatív szám növelve páratlan fok, - szám negatív.
- A pozitív szám bármilyen mértékben pozitív szám.
- A nulla bármilyen fokkal egyenlő.
- Bármely szám nulla fokig egyenlő.
MOST A SZAVA ...
Hogy tetszik a cikk? Írd le kommentben, tetszik -e vagy sem.
Meséljen nekünk a diplomával kapcsolatos tapasztalatairól.
Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.
Írd meg kommentben.
És sok sikert a vizsgákhoz!
A negatív hatványozás a matematika egyik alapeleme, amellyel gyakran találkoznak az algebrai feladatok megoldása során. Az alábbiakban részletes utasítás található.
Hogyan lehet negatív hatalomra emelni - elmélet
Amikor számok vagyunk a szokásos hatványhoz, többszörösen megszorozzuk az értékét. Például 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Negatív tört esetén az ellenkezője igaz. Általános forma a képlet szerint a következő alakú lesz: a -n = 1 / a n. Így ahhoz, hogy egy számot negatív hatványra emeljünk, el kell osztanunk az egységet a megadott számmal, de már pozitív hatványra.
Hogyan lehet negatív hatalomra emelni - példák a szokásos számokra
A fenti szabályt szem előtt tartva oldjunk meg néhány példát.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Válasz: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
A válasz -4 -2 = 1/16.
De miért ugyanaz a válasz az első és a második példában? A tény az, hogy amikor egy negatív számot páros hatványra emelünk (2, 4, 6 stb.), Akkor az előjel pozitív lesz. Ha a diploma páros, akkor a mínusz maradt:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Hogyan lehet negatív hatványra emelni - számok 0 -tól 1 -ig
Emlékezzünk vissza, hogy amikor egy 0 -tól 1 -ig terjedő számot pozitív hatványra emelünk, az érték a teljesítmény növekedésével csökken. Például 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
3. példa: Számítson ki 0,5-2
Megoldás: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Válasz: 0,5 -2 = 4
Elemzés (műveletsor):
- Fordítunk decimális 0,5 és töredéke 1/2. Így könnyebb.
1/2 növelése negatív hatványra. 1 / (2) -2. Ha az 1 -t elosztjuk 1/(2) 2 -vel, akkor 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 -et kapunk
4. példa: Számítson ki 0,5-3 -at
Megoldás: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
5. példa: Számítsa ki -0,5 -3
Megoldás: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/( -1/2) 3 = 1/( -1/8) = -8
Válasz: -0,5 -3 = -8
A 4. és az 5. példa alapján több következtetést vonunk le:
- A 0 -tól 1 -ig terjedő pozitív számhoz (4. példa), amelyet negatív hatványra emelünk, a hatvány egyenletessége vagy furcsasága nem fontos, a kifejezés értéke pozitív lesz. Sőt, minél nagyobb a fok, annál nagyobb az érték.
- A 0 -tól 1 -ig terjedő negatív számhoz (5. példa), amelyet negatív hatványra emelünk, a hatvány párossága vagy páratlansága nem számít, a kifejezés értéke negatív lesz. Sőt, minél magasabb a fokozat, annál alacsonyabb az érték.
Hogyan lehet negatív hatalomra emelni - hatványt tört számként
Az ilyen típusú kifejezések a következő alakúak: a -m / n, ahol a közönséges szám, m a fok számlálója, n a fok nevezője.
Vegyünk egy példát:
Számítsa ki: 8 -1/3
Megoldás (műveletsor):
- Ne feledje a szám negatív hatványra emelésének szabályát. Kapjuk: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Figyeljük meg, hogy a nevező 8, mint töredékhatalom. A törtteljesítmény kiszámításának általános nézete a következő: a m / n = n √8 m.
- Így 1 / (8) 1/3 = 1 / (3 √8 1). Nyolc kockagyökét kapjuk, ami 2. Ez alapján 1 / (8) 1/3 = 1 / (1/2) = 2.
- Válasz: 8 -1/3 = 2
