Hogyan lehet megtalálni a b4 exponenciális képletet. Geometriai progresszió

Első szint

Geometriai progresszió. Átfogó útmutató példákkal (2019)

Számsor

Tehát üljünk le, és kezdjünk el írni néhány számot. Például:

Bármilyen számot írhat, és annyi lehet, amennyit csak akar (esetünkben őket). Nem számít, hány számot írunk, mindig elmondhatjuk, melyik az első, melyik a második, és így tovább az utolsóig, vagyis megszámozhatjuk őket. Ez egy példa egy számsorozatra:

Számsor számkészlet, amelyek mindegyikéhez egyedi szám rendelhető.

Például a sorrendünkhöz:

A hozzárendelt szám a sorozatban csak egy számra jellemző. Más szavakkal, a sorozatban nincs három másodperces szám. A második szám (mint a -edik szám) mindig egy.

A számmal rendelkező számot a sorozat th tagjának nevezzük.

Általában a teljes szekvenciát valamilyen betűnek hívjuk (például), és ennek a szekvenciának minden tagja ugyanaz a betű, amelynek indexe megegyezik ennek a tagnak a számával:.

A mi esetünkben:

A progresszió leggyakoribb típusai a számtani és a geometriai. Ebben a témában a második fajtáról fogunk beszélni - geometriai progresszió.

Miért van szükségünk egy geometriai progresszióra és annak keletkezési történetére?

Még az ókorban is a pizai Leonardo olasz matematikus (ismertebb nevén Fibonacci) foglalkozott a kereskedelem gyakorlati szükségleteinek megoldásával. A szerzetes szembesült azzal a feladattal, hogy a legkevesebb tömeg segítségével meg lehessen mérni az árut? Fibonacci írásaiban bizonyítja, hogy egy ilyen súlyrendszer optimális: Ez az egyik első olyan helyzet, amikor az embereknek olyan geometriai haladással kellett szembenézniük, amelyről valószínűleg már hallottál, és legalább általános koncepció... Miután teljesen megértette a témát, gondoljon arra, miért optimális egy ilyen rendszer?

Jelenleg az élet gyakorlatában a geometriai fejlődés akkor nyilvánul meg, amikor pénzt bankba fektetnek, amikor a kamat összegét az előző időszak számláján felhalmozott összegre terhelik. Más szavakkal, ha pénzt takarékpénztárban lekötött betétre tesz, akkor egy év múlva a betét az eredeti összegnél többet fog növekedni, azaz az új összeg megegyezik a betét szorzatával. Egy másik évben ez az összeg nő, azaz az akkor kapott összeget megint meg kell szorozni és így tovább. Hasonló helyzetet írnak le az ún kamatos kamat- a százalékot minden alkalommal a számlán szereplő összegből vesszük, figyelembe véve az előző kamatot. Ezekről a feladatokról egy kicsit később beszélünk.

Sokkal többen vannak egyszerű esetek ahol geometriai progressziót alkalmaznak. Például az influenza terjedése: egy személy megfertőzött egy személyt, ők viszont megfertőztek egy másik személyt, és így a fertőzés második hulláma egy személy, és ők viszont megfertőztek egy másikat ... stb. .

Egyébként a pénzügyi piramis, ugyanaz az MMM, egyszerű és száraz számítás, amely egy geometriai progresszió tulajdonságain alapul. Érdekes? Találjuk ki.

Geometriai progresszió.

Tegyük fel, hogy numerikus szekvenciánk van:

Azonnal megválaszolja, hogy ez könnyű, és egy ilyen szekvencia neve számtani haladás a tagok különbségével. Mit szólsz ehhez:

Ha kivonja az előzőt a következő számból, akkor látni fogja, hogy minden egyes alkalommal, amikor új különbséget kapnak (és így tovább), de a sorrend mindenképpen létezik, és könnyen észrevehető - minden következő szám nagyobb, mint az előző egy!

Ezt a fajta számsort hívjuk geometriai progresszióés jelzi.

A geometriai progresszió () egy numerikus szekvencia, amelynek első tagja nem nulla, és a másodiktól kezdve minden tag egyenlő az előzővel, megszorozva ugyanezzel a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.

Korlátozások, amelyek szerint az első kifejezés () nem egyenlő és nem véletlenszerű. Tegyük fel, hogy nincsenek, és az első tag még mindig egyenlő, és q egyenlő, hmm .. hadd, akkor kiderül:

Egyetért abban, hogy ez már nem haladás.

Ahogy el tudod képzelni, ugyanazokat az eredményeket kapjuk, ha ez nulla értéktől eltérő bármely szám, és. Ezekben az esetekben egyszerűen nem lesz progresszió, mivel minden számsor vagy az összes nulla, vagy egy szám lesz, és az összes többi nulla.

Most beszéljünk részletesebben a geometriai progresszió nevezőjéről, vagyis Fr.

Ismételjük meg: egy szám, hányszor változik minden egyes következő kifejezés geometriai progresszió.

Szerinted mi lehet ez? Helyesen, pozitív és negatív, de nem nulla (erről fentebb beszéltünk).

Tegyük fel, hogy van egy pozitívunk. Engedje meg a mi esetünkben is. Mi a második kifejezés és? Könnyen válaszolhat erre:

Minden helyes. Ennek megfelelően, ha, akkor a haladás minden további tagjának ugyanaz a jele - ők pozitív.

Mi van, ha negatív? Például a. Mi a második kifejezés és?

Ez egy teljesen más történet.

Próbáld megszámolni ennek a progressziónak a határidejét. Mennyit kapott? Nekem van. Így ha, akkor a geometriai progresszió tagjainak jelei váltakoznak. Vagyis ha váltakozó előjelekkel rendelkező haladást lát a tagjain, akkor a nevezője negatív. Ez a tudás segíthet kipróbálni önmagát a témával kapcsolatos problémák megoldásakor.

Most gyakoroljunk egy kicsit: próbáld meg meghatározni, hogy melyik számsorozat geometriai haladás, és melyik számtani:

Értetted? Hasonlítsuk össze válaszainkat:

Geometriai progresszió - 3, 6.
Számtani progresszió - 2, 4.
Ez nem aritmetikai vagy geometriai progresszió - 1, 5, 7.

Térjünk vissza az utolsó progressziónkra, és próbáljuk meg megtalálni annak kifejezését ugyanúgy, mint az aritmetikában. Mint sejteni lehet, kétféleképpen lehet megtalálni.

Az egyes kifejezéseket egymás után szorozzuk.

Tehát a leírt geometriai progresszió harmadik tagja egyenlő.

Mint sejteni lehet, most maga fog levezetni egy képletet, amely segít megtalálni a geometriai progresszió bármely tagját. Vagy már kihozta magának, leírva, hogyan lehet lépésről lépésre megtalálni a harmadik tagot? Ha igen, akkor ellenőrizze az érvelés helyességét.

Illusztráljuk ezt egy adott progresszió harmadik tagjának megtalálásával:

Más szavakkal:

Keresse meg önállóan az adott geometriai progresszió tagjának értékét.

Megtörtént? Hasonlítsuk össze válaszainkat:

Felhívjuk figyelmét, hogy pontosan ugyanazt a számot kapta, mint az előző módszerben, amikor egymás után szoroztuk a geometriai progresszió minden előző tagjával.
Próbáljuk meg "deperszonalizálni" ezt a képletet - általános formába hozzuk és megkapjuk:

A levezetett képlet minden pozitív, mind negatív értékre helyes. Ellenőrizze saját maga úgy, hogy kiszámítja a geometriai progresszió tagjait a következő feltételekkel: a.

Számoltál? Hasonlítsuk össze a kapott eredményeket:

Egyetért abban, hogy a progresszió tagját ugyanúgy lehetne megtalálni, mint egy tagot, azonban van helytelen számolás. És ha már megtaláltuk a geometriai progresszió harmadik tagját, akkor mi lehet könnyebb, mint a képlet "levágott" részének használata.

Végtelenül csökkenő geometriai progresszió.

Újabban arról beszéltünk, hogy lehet több és kevesebb, mint nulla vannak azonban olyan speciális jelentések, amelyekre geometriai progressziót hívunk végtelenül csökken.

Szerinted miért ilyen név?
Először írjunk le néhány tagokból álló geometriai haladást.
Tegyük fel, hogy a, akkor:

Látjuk, hogy minden következő kifejezés egy tényezővel kevesebb, mint az előző, de lesz-e szám? Azonnal nemmel válaszol. Ezért a végtelenül csökkenő - csökken, csökken és soha nem lesz nulla.

Ahhoz, hogy világosan megértsük, hogyan néz ki vizuálisan, próbáljunk meg rajzolni egy grafikont a progressziónkról. Tehát esetünkben a képlet a következő formát ölti:

Szokás, hogy függőséget építünk a diagramokra, ezért:

A kifejezés lényege nem változott: az első bejegyzésben megmutattuk egy geometriai progressziótag értékének függését a sorszámától, a második bejegyzésnél pedig egyszerűen egy geometriai progresszió tag értékét vettük fel, és a sorszámot nem hogyan, hanem hogyan jelölték meg. Csak egy grafikon felépítése van hátra.
Lássuk, mit kap. Itt van a grafikon, amelyet kaptam:

Lát? A függvény csökken, nullára hajlik, de soha nem lépi át, ezért végtelenül csökken. Jelöljük meg pontjainkat a grafikonon, és ezzel egyidejűleg mit jelent a koordináta és a jelentés:

Próbáljon sematikusan ábrázolni egy geometriai progresszió grafikonját, ha annak első tagja is megegyezik. Elemezze, mi a különbség az előző diagramunkkal?

Sikerült? Itt van a grafikon, amelyet kaptam:

Most, hogy teljesen megértette a geometriai progresszió témájának alapjait: tudja, mi ez, tudja, hogyan kell megtalálni annak kifejezését, és azt is, hogy mi a végtelenül csökkenő geometriai progresszió, térjünk át a fő tulajdonságára.

Geometriai progresszió tulajdonság.

Emlékszel a számtani progresszió tagjainak tulajdonságára? Igen, igen, hogyan lehet megtalálni a progresszió bizonyos számának értékét, amikor az adott progresszió tagjainak korábbi és későbbi értékei vannak. Emlékezett? Ez:

Most pontosan ugyanazzal a kérdéssel nézünk szembe a geometriai progresszió tagjai előtt. Egy hasonló képlet levezetéséhez kezdjük el a rajzolást és az érvelést. Meglátja, nagyon egyszerű, és ha elfelejti, akkor egyedül is kihozhatja.

Vegyünk egy másik egyszerű geometriai progressziót, amelyben ismerjük és. Hogyan lehet megtalálni? Számtani progresszióval ez könnyű és egyszerű, de mi van itt? Valójában a geometriai viszonyok között sincs semmi bonyolult - csak képlet segítségével fel kell írnia az egyes számunkra megadott értékeket.

Kérdezi, mit kezdjünk ezzel most? Nagyon egyszerű. Először ezeket a képleteket ábrázoljuk az ábrán, és megpróbálunk különféle manipulációkat végezni velük az érték elérése érdekében.

Kivonatkoztatunk a számoktól, amelyeket kapunk, csak arra fogunk összpontosítani, hogy képleten keresztül fejezzük ki őket. Meg kell találnunk a kiemelt értéket narancs szomszédait ismerve. Próbáljunk meg különféle műveleteket végrehajtani velük, amelyek eredményeként megkapjuk.

Kiegészítés.
Próbáljunk meg két kifejezést felvenni, és kapjuk:

Nak,-nek ennek a kifejezésnek amint láthatja, semmilyen módon nem fejezhetjük ki, ezért megpróbálunk egy másik lehetőséget - kivonást.

Kivonás.

Mint láthatja, mi sem tudunk ebből kifejezni, ezért megpróbáljuk ezeket a kifejezéseket megszorozni egymással.

Szorzás.

Most nézze meg alaposan, hogy mi van, szorozva a számunkra kapott geometriai progresszió tagjait a megtaláltakhoz képest:

Kitalálod, miről beszélek? Így van, hogy megtaláljuk, meg kell tennünk Négyzetgyök szorozva egymással a geometriai progresszió keresett számai mellett:

Tessék. Maga következtetett egy geometriai progresszió tulajdonságára. Próbálja meg ezt a képletet beírni Általános nézet... Megtörtént?

Elfelejtette a feltételét? Gondoljon arra, miért fontos, például próbálja meg maga kiszámolni, ha igen. Mi történik ebben az esetben? Így van, teljes hülyeség, mivel a képlet így néz ki:

Ennek megfelelően ne feledkezzen meg erről a korlátozásról.

Most számoljuk meg, hogy mi egyenlő

Helyes válasz - ! Ha a számítás során nem felejtette el a második lehetséges értéket, akkor remek munkatárs vagy, és azonnal továbbléphetsz a képzésre, és ha elfelejtetted, olvasd el az alábbiakban tárgyaltakat, és figyelj arra, miért kell mindkét gyökeret leírni válasz.

Rajzoljuk meg mindkét geometriai progressziónkat - az egyik jelentése van, a másik jelentése pedig, és ellenőrizzük, hogy mindkettőjüknek van-e joga létezni:

Annak ellenőrzéséhez, hogy létezik-e ilyen geometriai progresszió, meg kell-e nézni, hogy az összes adott tag között azonos-e? Számítsa ki az q értéket az első és a második esetre.

Látja, miért kell két választ írni? Mert a szükséges kifejezés jele attól függ, hogy pozitív vagy negatív! És mivel nem tudjuk, mi ő, mindkét választ plusz és mínusz felírással kell megírnunk.

Most, hogy elsajátította a főbb pontokat és levezette a képletet a geometriai progresszió tulajdonságához, keresse meg, ismerje és

Hasonlítsa össze a kapott válaszokat a helyesekkel:

Mit gondolsz, mi lenne, ha nem a kívánt szám mellett szomszédos, hanem attól egyenlő távolságra lévő geometriai progresszió tagjainak értékeit kapnánk. Például meg kell találnunk, és megadjuk és. Használhatjuk-e ebben az esetben a kapott képletet? Próbáld meg ugyanúgy megerősíteni vagy cáfolni ezt a lehetőséget, és írd le, miből állnak az egyes értékek, ahogyan a képlet eredetileg levezetésekor tetted.
Mit csináltál?

Most nézze meg újra alaposan.
és ennek megfelelően:

Ebből arra következtethetünk, hogy a képlet működik nemcsak a szomszédokkal a geometriai haladás előírt feltételeivel, de azzal is egyenlő távolságra a keresett tagoktól.

Így a kezdeti képletünk a következő formát ölti:

Vagyis, ha az első esetben ezt mondtuk, akkor most azt mondjuk, hogy ez bármelyikkel egyenlő lehet természetes szám ami kevesebb. A lényeg az, hogy mindkét megadott számnál ugyanaz legyen.

Gyakorlat konkrét példák, csak legyen rendkívül óvatos!

,. Megtalálni.
,. Megtalálni.
,. Megtalálni.

Eldöntöttem? Remélem, rendkívül figyelmes volt, és észrevett egy kis fogást.

Összehasonlítjuk az eredményeket.

Az első két esetben nyugodtan alkalmazzuk a fenti képletet, és a következő értékeket kapjuk:

A harmadik esetben a számunkra adott számok sorszámának alapos mérlegelésével megértjük, hogy ezek nem azonos távolságra vannak a keresett számtól: ez az előző szám, de a helyzetben eltávolítva van, ezért nem lehetséges hogy alkalmazzam a képletet.

Hogyan oldhatjuk meg? Valójában nem olyan nehéz, mint amilyennek hangzik! Írjuk le veletek, miből áll minden számunkra adott szám és a szükséges szám.

Szóval, megvan és. Lássuk, mit tehet velük? Javaslom, hogy osszam el. Kapunk:

Adatainkat a következő képlettel helyettesítjük:

A következő lépést megtalálhatjuk - ehhez meg kell vennünk a kapott szám kocka gyökerét.

És most még egyszer megnézzük, mi van. Megvan, de meg kell találnunk, és ez viszont egyenlő:

Megtaláltuk a számításhoz szükséges összes adatot. Helyettesítse a képletbe:

Válaszunk: .

Próbáljon meg megoldani egy másik hasonló problémát maga:
Adott:,
Megtalálni:

Mennyit kapott? Nekem van - .

Amint láthatja, valójában szüksége van rá emlékezzen csak egy képletre-. A többit bármikor, nehézségek nélkül, bármikor visszavonhatja. Ehhez csak írja be a legegyszerűbb geometriai haladást egy darab papírra, és írja le, hogy a fenti képlet szerint mindegyik száma egyenlő-e.

A geometriai progresszió tagjainak összege.

Most vegye figyelembe azokat a képleteket, amelyek lehetővé teszik számunkra a geometriai progresszió tagjainak összegének gyors kiszámítását egy adott intervallumban:

A véges geometriai progresszió tagjainak összegére vonatkozó képlet levezetéséhez a magasabb egyenlet minden részét megszorozzuk. Kapunk:

Nézze meg alaposan: mi a közös az utolsó két képletben? Így van, például a közös tagok stb., Kivéve az első és az utolsó tagot. Próbáljuk kivonni az 1.-et a 2. egyenletből. Mit csináltál?

Most fejezze ki a geometriai progresszió kifejezését a képleten keresztül, és az eredő kifejezést cserélje le az utolsó képletünkre:

Csoportosítsa a kifejezést. Meg kell kapnia:

Csak annyi van hátra, hogy kifejezze:

Ennek megfelelően ebben az esetben.

Mi van ha? Milyen formula működik akkor? Képzeljen el egy geometriai haladást a. Írd őt körül? Helyesen egy sor azonos számot, illetve a képlet így fog kinézni:

Számos legenda létezik mind számtani, mind geometriai haladásban. Az egyik Seth legendája, a sakk megalkotója.

Sokan tudják, hogy a sakkjátékot Indiában találták ki. Amikor a hindu király találkozott vele, megörült a szellemességének és a benne lehetséges pozíciók sokféleségének. Megtudta, hogy az egyik alattvalója találta ki, a király úgy döntött, hogy személyesen megjutalmazza. Magához hívta a feltalálót, és megparancsolta, hogy kérjen tőle mindent, amit csak akar, megígérve, hogy a legügyesebb vágyát is teljesíti.

Seta időt kért a gondolkodásra, és amikor másnap Seth megjelent a király előtt, meglepte a királyt kérésének páratlan szerénységével. Azt kérte, hogy adjanak ki első cellaként sakktábla búzaszem, a második búzaszemért, a harmadikért, a negyedikért stb.

A király mérges lett és elűzte Sethet, mondván, hogy a szolga kérése méltatlan a királyi nagylelkűséghez, de megígérte, hogy a szolga megkapja gabonáját a tábla összes cellájáért.

És most a kérdés: a geometriai progresszió tagjainak összegére vonatkozó képlet segítségével számolja ki, hogy Seta hány szemcsét kapjon?

Kezdjük okoskodni. Mivel az állapotnak megfelelően Seth egy búzaszemet kért a sakktábla első négyzetéért, a másodikért, a harmadikért, a negyedikért stb., Látjuk, hogy a probléma egy geometriai progresszióval kapcsolatos. Mi egyenlő ebben az esetben?
Jobb.

A sakktábla összes cellája. Eszerint,. Minden adat megvan, csak a képletbe kell helyettesíteni és kiszámítani.

Hogy legalább egy adott szám "skáláját" képviseljük, a fok tulajdonságainak felhasználásával átalakítjuk:

Természetesen, ha akarsz, vehetsz egy számológépet, és kiszámolhatod, hogy milyen számot kapsz a végén, és ha nem, akkor szót kell fogadnom: a kifejezés végső értéke lesz.
Azaz:

százmilliárd milliárd milliárd milliárd milliárd millió.

Fuh) Ha el akarja képzelni ennek a számnak a hatalmas voltát, akkor becsülje meg, hogy mekkora istállóra lenne szükség a teljes gabonamennyiség tárolásához.
Az istálló m magasságával és m szélességével a hosszát km-ig meg kellene hosszabbítani, azaz kétszer olyan messze, mint a Földtől a Napig.

Ha a cár erős lenne a matematikában, javasolhatja, hogy a tudós maga számolja meg a szemeket, mert millió szem megszámlálásához legalább egy nap fáradhatatlan számlálásra lenne szüksége, és mivel figyelembe kell venni a kvintmilliárdokat, a szemek egész életében számolni kell.

Most oldjunk meg egy egyszerű feladatot a geometriai progresszió tagjainak összegével.
Vasya, az 5 A osztályos tanuló influenzás, de továbbra is iskolába jár. Vasya minden nap két embert fertőz meg, akik viszont további két embert megfertőznek stb. Vannak emberek az osztályban. Hány nap alatt az egész osztály megbetegedik az influenzában?

Tehát a geometriai progresszió első tagja Vasya, vagyis egy személy. a geometriai progresszió tagja, ez az a két ember, akit megérkezése első napján megfertőzött. A progresszió teljes taglétszáma megegyezik az 5A hallgatók számával. Ennek megfelelően olyan progresszióról beszélünk, amelyben:

Helyettesítsük adatainkat a képlettel a geometriai progresszió tagjainak összegével:

Az egész osztály napok alatt megbetegedik. Nem hiszel a képletekben és a számokban? Próbálja meg maga ábrázolni a hallgatók "fertőzését". Megtörtént? Nézze meg, hogy néz ki nekem:

Számolja ki maga, hány napig tartana a tanulók influenzás megbetegedése, ha mindegyik megfertőz egy embert, és van egy ember az osztályban.

Milyen értéket kapott? Kiderült, hogy mindenki egy nap után kezdett beteg lenni.

Amint láthatja, egy ilyen feladat és a hozzá való rajzolás egy piramisra emlékeztet, amelyben minden egyes következő új embert „hoz”. Előbb-utóbb azonban eljön az a pillanat, amikor az utóbbi senkit sem tud vonzani. Esetünkben, ha azt képzeljük, hogy az osztály elszigetelt, akkor az illető személy bezárja a láncot (). Így, ha egy személy részt vett benne pénzügyi piramis, amelyben pénzt kaptak abban az esetben, ha két másik résztvevőt hoz, akkor az illető (vagy általános esetben) nem hozna senkit, illetve mindent elveszítene, amit e pénzügyi átverésbe fektetett.

Minden, ami a fentiekben elhangzott, csökkenő vagy növekvő geometriai progresszióra utal, de, mint emlékszel, van egy különleges fajtánk - egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Hogyan lehet kiszámítani a tagok összegét? És miért van ez a fajta progresszió bizonyos jellemzőkkel? Rendezzük együtt.

Tehát először nézzük meg ismét a végtelenül csökkenő geometriai progresszió ezen ábráját a példánkból:

Most nézzük meg a valamivel korábban kapott geometriai progresszió összegének képletét:
vagy

Mire törekszünk? Így van, a grafikon mutatja, hogy nullára hajlik. Vagyis a, majdnem egyenlő lesz, illetve a kifejezés kiszámításakor majdnem megkapjuk. Ebben a tekintetben úgy gondoljuk, hogy a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének kiszámításakor ez a zárójel elhanyagolható, mivel egyenlő lesz.

- a képlet egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió feltételeinek összege.

FONTOS! A végtelenül csökkenő geometriai progresszió feltételeinek összegére csak akkor használjuk a képletet, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy meg kell találnunk az összeget végtelen tagok száma.

Ha egy adott n számot megadunk, akkor a képletet n tag összegének összegére használjuk, akkor is, ha vagy.

Most gyakoroljuk.

Keresse meg a geometriai progresszió első tagjai összegét a és gombbal.
Keresse meg a végtelenül csökkenő geometriai progresszió feltételeinek összegét a és gombbal.

Remélem, rendkívül figyelmes voltál. Hasonlítsuk össze válaszainkat:

Most már mindent tud a geometriai haladásról, és itt az ideje az elméletről a gyakorlatra lépni. A vizsgán leggyakrabban előforduló geometriai progressziós problémák az összetett kamatproblémák. Róluk szólunk.

Feladatok a kamatos kamat kiszámításához.

Valószínűleg hallott már az úgynevezett kamatos képletről. Érted, mire gondol? Ha nem, akkor találjuk ki, mert miután megértette magát a folyamatot, azonnal megérti, és itt van egy geometriai haladás.

Mindannyian a bankba megyünk, és tudjuk, hogy vannak ilyenek különböző körülmények között betéteken: ez egyszerre futamidő és kiegészítő szolgáltatás, valamint kamat kettővel különböző utak felhalmozódása egyszerű és összetett.

TÓL TŐL egyszerű érdeklődés minden többé-kevésbé világos: a kamatot egyszer kell felszámítani a betéti futamidő végén. Vagyis, ha azt mondjuk, hogy egy évre 100 rubelt teszünk alá, akkor azt csak az év végén írják jóvá. Ennek megfelelően a kaució végére rubelt kapunk.

Kamatos kamat- ez egy olyan lehetőség, amelyben van a kamat tőkésítése, azaz hozzáadásuk a betét összegéhez és az ezt követő jövedelem kiszámításához nem a kezdeti, hanem a betét felhalmozott összegéből. A nagybetűk nem állandóan, hanem bizonyos gyakorisággal fordulnak elő. Az ilyen időszakok általában egyenlőek, és a bankok leggyakrabban egy hónapot, negyedévet vagy évet használnak.

Tegyük fel, hogy ugyanazokat a rubeleket éves kamatlábakkal vetjük be, de a betét havi tőkésítésével. Mit kapunk?

Itt mindent megért? Ha nem, akkor derítsük ki szakaszosan.

Hoztunk rubelt a bankba. A hónap végére a számlánknak tartalmaznia kell egy összeget, amely a rubelinkből és a hozzájuk tartozó kamatokból áll, azaz:

Egyetértek?

Kihelyezhetjük a zárójelbe, majd megkapjuk:

Egyetértek, ez a képlet már jobban hasonlít arra, amit az elején írtunk. Marad az érdeklődés kezelése

A problémafelvetésben elmondjuk nekünk az éves. Mint tudják, nem szorozzuk be - a kamatot átváltjuk tizedesjegyek azaz:

Jobb? Most azt kérdezi, honnan jött a szám? Nagyon egyszerű!
Ismétlem: a probléma állítás kb ÉVI felhalmozódott kamat HAVI... Mint tudják, a hónapok egy évében a bank havi éves kamat egy részét számolja fel tőlünk:

Megértette? Most próbáld meg megírni, hogy fog kinézni a képlet ezen része, ha azt mondom, hogy a kamatot naponta számolják.
Sikerült? Hasonlítsuk össze az eredményeket:

Szép munka! Térjünk vissza a feladatunkhoz: írjuk le, mennyit utalunk a számlánkra a második hónapra, figyelembe véve, hogy a betét felhalmozott összegére kamatot számítunk fel.
Íme, amit kaptam:

Vagy, más szavakkal:

Azt hiszem, hogy már észrevett egy mintát, és geometriai haladást látott mindebben. Írja le, hogy miben lesz egyenlő a tagja, vagy más szavakkal, mennyi pénzt kapunk a hónap végén.
Kész? Ellenőrzés!

Mint látható, ha egy évre pénzt fizet a bankba egyszerű kamatozással, akkor rubelt kap, és ha összetett árfolyamon - rubelt. Az előny kicsi, de ez csak a harmadik évben történik, de hosszabb ideig a kapitalizáció sokkal jövedelmezőbb:

Vizsgáljuk meg az összetett kamatozású problémák egy másik típusát. Azok után, amit kitaláltál, neked elemi lesz. Tehát a feladat:

A Zvezda társaság 2000-ben kezdte meg befektetését az iparban, dollárban tőkével. 2001 óta minden évben nyereséget keres, amely az előző év tőkéjéből származik. Mennyi nyereséget kap a Zvezda társaság 2003 végén, ha a nyereséget nem vonják ki a forgalomból?

A "Zvezda" társaság tőkéje 2000-ben.
- a "Zvezda" társaság tőkéje 2001-ben.
- a "Zvezda" társaság tőkéje 2002-ben.
- a "Zvezda" társaság tőkéje 2003-ban.

Vagy írhatunk röviden:

Esetünkre:

2000, 2001, 2002 és 2003.

Illetőleg:
rubel
Megjegyezzük, hogy ebben a problémában nincs osztásunk sem sem, sem pedig azzal, hogy a százalékot ÉVESEN adjuk meg, és ÉVESEN számoljuk. Vagyis a kamatos kamat problémájának elolvasásakor figyeljen arra, hogy hány százalékot adnak meg, és milyen időszakban számolják fel, és csak ezután folytassa a számításokat.
Most mindent tud a geometriai progresszióról.

Edzés.

Keresse meg az exponenciális kifejezést, ha ismert, és
Keresse meg a geometriai progresszió első feltételeinek összegét, ha ez ismert, és
Az MDM Capital 2003-ban kezdett befektetni az iparban, dollárban tőkével. 2004-től kezdődően minden évben nyereséget keres, amely az előző év tőkéjéből származik. Az "MSK Pénzforgalom»2005-ben 10 000 dollár értékben kezdett befektetni az iparban, 2006-ban kezdett nyereséget elérni. Hány dollár több az egyik vállalat tőkéje, mint a másiké 2007 végén, ha a nyereséget még nem vonták ki a forgalomból?

Válaszok:

Mivel a problémamegállapítás nem állítja, hogy a progresszió végtelen, és meg kell találni a tagok meghatározott számának összegét, a számítás a következő képlet szerint történik:
MDM Capital:
2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% -kal, azaz kétszer növekszik.
Illetőleg:
rubel
MSK pénzforgalom:
2005, 2006, 2007.
- növekszik, azaz idővel.
Illetőleg:
rubel
rubel

Összefoglaljuk.

1) A geometriai progresszió () egy numerikus szekvencia, amelynek első tagja nem nulla, és minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, szorozva ugyanezzel a számmal. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.

2) A geometriai progresszió tagjainak egyenlete -.

3) bármilyen értéket vehet fel, kivéve a és.

ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz a jele - ők pozitív;
ha, akkor a haladás minden további tagja alternatív jelek;
at - a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.

4), mert a geometriai progresszió tulajdonsága (szomszédos tagok)

vagy
, (egyenlő távolságra)

Amikor megtalálja, ne felejtse el ezt két válasz kell.

Például,

5) A geometriai progresszió tagjainak összegét a következő képlettel számoljuk:
vagy

Ha a progresszió végtelenül csökken, akkor:
vagy

FONTOS! Csak akkor használjuk a képletet a végtelenül csökkenő geometriai haladás feltételeinek összegére, ha a feltétel kifejezetten kimondja, hogy végtelen számú kifejezés összegét kell megtalálni.

6) A kamatos kamat problémáit a geometriai progresszió -edik ciklusának képlete alapján is kiszámítják, feltéve, hogy az alapokat nem vonták ki a forgalomból:

GEOMETRIAI FOLYAMAT. RÖVIDEN A FŐRŐL

Geometriai progresszió() egy numerikus szekvencia, amelynek első tagja nem nulla, és minden tag a másodiktól kezdve egyenlő az előzővel, szorozva ugyanezzel a számmal. Ezt a számot hívják a geometriai progresszió nevezője.

A geometriai progresszió nevezője bármilyen értéket vehet fel, kivéve a és.

Ha, akkor a progresszió minden további tagjának ugyanaz a jele - pozitívak;
ha, akkor a progresszió összes következő tagja váltakozó jeleket mutat;
at - a progressziót végtelenül csökkenőnek nevezzük.

Egy geometriai progresszió tagjainak egyenlete - .

A geometriai progresszió tagjainak összege képlettel számítva:
vagy

Lecke és előadás a témáról: "Számszekvenciák. Geometriai progresszió"

További anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsük el elhagyni észrevételeit, véleményeit, kívánságait! Az összes anyagot víruskereső program ellenőrizte.

Taneszközök és szimulátorok az Integral online áruházban 9. évfolyam számára
Fokok és gyökerek Funkciók és grafikonok

Srácok, ma megismerkedünk egy másik típusú progresszióval.
A mai lecke témája a geometriai progresszió.

Geometriai progresszió

Meghatározás. Geometriai progressziónak nevezzük azt a numerikus szekvenciát, amelyben az egyes tagok a másodikból kiindulva egyenlőek az előző és néhány rögzített szám szorzatával.
Állítsuk be rekurzívan a szekvenciánkat: $ b_ (1) = b $, $ b_ (n) = b_ (n-1) * q $,
ahol b és q bizonyos megadott számok. A q számot nevezzük a progresszió nevezőjének.

Példa. 1,2,4,8,16 ... Geometriai progresszió, amelyben az első tag egyenlő eggyel, és $ q = 2 $.

Példa. 8,8,8,8 ... geometriai progresszió, amelyben az első tag nyolc,
és $ q = 1 $.

Példa. 3, -3,3, -3,3 ... geometriai progresszió, amelyben az első tag egyenlő hárommal,
és $ q = -1 $.

A geometriai progressziónak megvan a monotonitás tulajdonságai.
Ha $ b_ (1)> 0 $, $ q> 1 $,
akkor a sorrend növekvő.
Ha $ b_ (1)> 0 $, $ 0 A szekvenciát általában a következőkkel jelöljük: $ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n), ... $.

Valamint számtani progresszió esetén, ha az elemek száma véges egy geometriai progresszióban, akkor a progressziót véges geometriai progressziónak nevezzük.

$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n-2), b_ (n-1), b_ (n) $.
Megjegyezzük, hogy ha a szekvencia geometriai progresszió, akkor a tagok négyzeteinek sorozata szintén geometriai progresszió. A második szekvencia esetében az első kifejezés $ b_ (1) ^ 2 $, a nevező pedig $ q ^ 2 $.

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete

A geometriai progresszió analitikai formában is meghatározható. Nézzük meg, hogyan kell ezt megtenni:
$ b_ (1) = b_ (1) $.
$ b_ (2) = b_ (1) * q $.
$ b_ (3) = b_ (2) * q = b_ (1) * q * q = b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) = b_ (3) * q = b_ (1) * q ^ 3 $.
$ b_ (5) = b_ (4) * q = b_ (1) * q ^ 4 $.
Könnyen észrevesszük a mintát: $ b_ (n) = b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Képletünket "a geometriai progresszió n-edik tagjának képletének" nevezzük.

Térjünk vissza példáinkra.

Példa. 1,2,4,8,16 ... Geometriai progresszió, amelyben az első tag egyenlő eggyel,
és $ q = 2 $.
$ b_ (n) = 1 * 2 ^ (n) = 2 ^ (n-1) $.

Példa. 16,8,4,2,1,1 / 2 ... Geometriai progresszió, amelyben az első tag tizenhat és $ q = \ frac (1) (2) $.
$ b_ (n) = 16 * (\ frac (1) (2)) ^ (n-1) $.

Példa. 8,8,8,8 ... Geometriai progresszió, amelyben az első tag nyolc és $ q = 1 $.
$ b_ (n) = 8 * 1 ^ (n-1) = 8 $.

Példa. 3, -3,3, -3,3 ... Geometriai progresszió, amelyben az első tag három és $ q = -1 $.
$ b_ (n) = 3 * (- 1) ^ (n-1) $.

Példa. Ön megkapja a $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n),… $ geometriai progressziót.
a) Ismert, hogy $ b_ (1) = 6, q = 3 $. Keresse meg a $ b_ (5) $ értéket.
b) Ismert, hogy $ b_ (1) = 6, q = 2, b_ (n) = 768 $. Keresse meg n.
c) Ismert, hogy $ q = -2, b_ (6) = 96 $. Keresse meg a $ b_ (1) $ értéket.
d) Ismert, hogy $ b_ (1) = - 2, b_ (12) = 4096 $. Keresse meg q.

Döntés.
a) $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 = 6 * 3 ^ 4 = 486 $.
b) $ b_n = b_1 * q ^ (n-1) = 6 * 2 ^ (n-1) = 768 $.
$ 2 ^ (n-1) = \ frac (768) (6) = 128 $, mivel $ 2 ^ 7 = 128 => n-1 = 7; n = 8 $.
c) $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 = b_ (1) * (- 2) ^ 5 = -32 * b_ (1) = 96 => b_ (1) = - 3 $.
d) $ b_ (12) = b_ (1) * q ^ (11) = - 2 * q ^ (11) = 4096 => q ^ (11) = - 2048 => q = -2 $.

Példa. A geometriai progresszió hetedik és ötödik tagjának különbsége 192, az ötödik és hatodik progressziójának összege 192. Keresse meg ennek a progressziónak a tizedik tagját.

Döntés.
Tudjuk, hogy: $ b_ (7) -b_ (5) = 192 $ és $ b_ (5) + b_ (6) = 192 $.
Azt is tudjuk: $ b_ (5) = b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) = b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) = b_ (1) * q ^ 6 $.
Azután:
$ b_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 = 192 $.
$ b_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 = 192 $.
Megvan az egyenletrendszer:
$ \ begin (esetek) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = 192 \\ b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) = 192 \ end (esetek) $.
Egyenlő, egyenleteink:
$ b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) = b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ q ^ 2-1 = q + 1 $.
$ q ^ 2-q-2 = 0 $.
Két megoldást kaptunk q: $ q_ (1) = 2, q_ (2) = - 1 $.
Helyettesítse egymás után a második egyenletet:
$ b_ (1) * 2 ^ 4 * 3 = 192 => b_ (1) = 4 $.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 = 192 => $ nincs megoldás.
Azt kaptuk, hogy: $ b_ (1) = 4, q = 2 $.
Keresse meg a tizedik tagot: $ b_ (10) = b_ (1) * q ^ 9 = 4 * 2 ^ 9 = 2048 $.

Véges geometriai progresszió összege

Tegyük fel, hogy véges geometriai progressziónk van. Számoljuk ki a számtani progresszió mellett, valamint a tagok összegét.

Adjunk egy véges geometriai progressziót: $ b_ (1), b_ (2),…, b_ (n-1), b_ (n) $.
Vezesd be tagjai összegének jelölését: $ S_ (n) = b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n) $.
Abban az esetben, ha $ q = 1 $. A geometriai progresszió minden tagja egyenlő az első taggal, akkor nyilvánvaló, hogy $ S_ (n) = n * b_ (1) $.
Tekintsük most a $ q ≠ 1 $ esetet.
Szorozza meg a fenti összeget q-val.
$ S_ (n) * q = (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) * q = b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + b_ (n-1) * q + b_ (n) * q = b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Jegyzet:
$ S_ (n) = b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.

$ S_ (n) * q-S_ (n) = (b_ (2) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n-1) + b_ (n)) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) (q-1) = b_ (n) * q-b_ (1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) * q ^ (n-1) * q-b_ (1)) (q-1) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

$ S_ (n) = \ frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (q-1) $.

Megkaptuk a véges geometriai progresszió összegének képletét.

Példa.
Keresse meg egy geometriai progresszió első hét tagjának összegét, amelyben az első tag 4, a nevező pedig 3.

Döntés.
$ S_ (7) = \ frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) = 2 * (3 ^ (7) -1) = 4372 $.

Példa.
Keresse meg a geometriai progresszió ötödik tagját, amely ismert: $ b_ (1) = - 3 $; $ b_ (n) = - 3072 $; $ S_ (n) = - 4095 $.

Döntés.
$ b_ (n) = (- 3) * q ^ (n-1) = - 3072 $.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$ q ^ (n) = 1024q $.

$ S_ (n) = \ frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) = - 4095 $.
$ -4095 (q-1) = - 3 * (q ^ (n) -1) $.
-4095 $ (q-1) = - 3 * (1024q-1) $.
1365q-1365 = 1024q-1 $.
341q = 1364 USD.
$ q = 4 $.
$ b_5 = b_1 * q ^ 4 = -3 * 4 ^ 4 = -3 * 256 = -768 $.

A geometriai progresszió jellegzetes tulajdonsága

Srácok, megadunk egy geometriai progressziót. Tekintsük ennek három egymást követő tagját: $ b_ (n-1), b_ (n), b_ (n + 1) $.
Tudjuk:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q = b_ (n + 1) $.
Azután:
$ \ frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q = b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Ha a haladás véges, akkor ez az egyenlőség az összes tagra érvényes, az első és az utolsó kivételével.
Ha nem tudod előre, hogy milyen sorrend van, de tudod, hogy: $ b_ (n) ^ (2) = b_ (n-1) * b_ (n + 1) $.
Akkor nyugodtan kijelenthetjük, hogy ez egy geometriai haladás.

A numerikus szekvencia csak akkor geometriai progresszió, ha minden tagjának négyzete megegyezik a progresszió két szomszédos tagjának szorzatával. Ne felejtsük el, hogy a véges progresszióhoz ez a feltétel nem teljesül az első és az utolsó tagok esetében.

Nézzük meg ezt az identitást: $ \ sqrt (b_ (n) ^ (2)) = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | = \ sqrt (b_ (n-1) * b_ (n + 1)) $.
A $ \ sqrt (a * b) $ -t átlagnak nevezzük geometriai számok a és b.

A geometriai progresszió bármely tagjának modulusa megegyezik a vele szomszédos két tag geometriai átlagával.

Példa.
Keresse meg x-et oly módon, hogy $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ három egymást követő exponenciális tag volt.

Döntés.
Használjuk a jellemző tulajdonságot:
$ (2x + 2) ^ 2 = (x + 2) (3x + 3) $.
4x ^ 2 + 8x + 4 = 3x ^ 2 + 3x + 6x + 6 $.
$ x ^ 2-x-2 = 0 $.
$ x_ (1) = 2 $ és $ x_ (2) = - 1 $.
Megoldásaink az eredeti kifejezés egymás utáni helyettesítésével:
$ X = 2 $ értékkel megkapjuk a sorrendet: 4; 6; 9 - egy geometriai progresszió, amelyben $ q = 1,5 $.
$ X = -1 $ értékkel megkapjuk a sorrendet: 1; 0; 0.
Válasz: $ x = 2. $

Feladatok független megoldáshoz

1. Keresse meg a geometriai progresszió nyolcadik első tagját 16; -8; 4; -2….
2. Keresse meg a 11,22,44… geometriai progresszió tizedik tagját!
3. Ismert, hogy $ b_ (1) = 5, q = 3 $. Keresse meg a $ b_ (7) $ értéket.
4. Ismeretes, hogy $ b_ (1) = 8, q = -2, b_ (n) = 512 $. Keresse meg n.
5. Keresse meg a 3; 12; 48… geometriai progresszió első 11 tagjának összegét.
6. Keressen x-et úgy, hogy $ 3x + 4; 2x + 4; x + 5 $ három egymást követő exponenciális tag.

A matematika azaz emberek irányítják a természetet és önmagukat.

Szovjet matematikus, akadémikus A.N. Kolmogorov

Geometriai progresszió.

Az aritmetikai progresszióval kapcsolatos problémák mellett a matematikai felvételi vizsgákon is gyakoriak a geometriai progresszió fogalmához kapcsolódó problémák. Az ilyen problémák sikeres megoldásához ismernie kell a geometriai progresszió tulajdonságait, és jól kell ismernie ezeket.

Ez a cikk a geometriai progresszió alapvető tulajdonságainak bemutatására vonatkozik. A tipikus feladatok megoldására is mutat példákat., matematika felvételi vizsga feladataiból kölcsönözve.

Először megjegyezzük a geometriai progresszió fő tulajdonságait, és a legtöbbet felidézzük fontos képletekés jóváhagyás, ehhez a koncepcióhoz kapcsolódik.

Meghatározás. A numerikus szekvenciát akkor nevezzük geometriai progressziónak, ha mindegyik száma a másodiktól kezdve megegyezik az előzővel, megszorozva ugyanezzel a számmal. A számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének.

Geometriai haladáshoza képletek érvényesek

, (1)

hol. Az (1) képletet a geometriai progresszió általános tagjának képletének nevezzük, a (2) képlet pedig a geometriai progresszió legfőbb tulajdonsága: a progresszió minden egyes eleme egybeesik a szomszédos tagok geometriai átlagával és.

Jegyzet, hogy éppen emiatt a tulajdonság miatt nevezik a tekintett progressziót "geometrikusnak".

A fenti (1) és (2) képletet az alábbiak szerint általánosítjuk:

, (3)

Az összeg kiszámításához az első geometriai progresszió tagjaia képletet alkalmazzuk

Ha jelöljük, akkor

hol. Mivel, akkor a (6) képlet az (5) képlet általánosítása.

Abban az esetben, amikor és geometriai progresszióvégtelenül csökken. Az összeg kiszámításáhoza végtelenül csökkenő geometriai progresszió összes tagjának közül a képletet alkalmazzuk

. (7)

Például , a (7) képlet segítségével megmutathatjuk, mit

hol. Ezeket az egyenlőségeket a (7) képletből kapjuk meg, feltéve, hogy (első egyenlőség) és (második egyenlőség).

Tétel. Ha akkor

Bizonyíték. Ha akkor,

A tétel bebizonyosodott.

Térjünk át a "Geometriai haladás" témakör problémáinak megoldására.

1. példa Adva :, és. Megtalálni .

Döntés. Ha az (5) képletet alkalmazzuk, akkor

Válasz:.

2. példa Hagyd és. Megtalálni .

Döntés. Mivel és, ezért az (5), (6) képleteket fogjuk használni, és megkapjuk az egyenletrendszert

Ha a (9) rendszer második egyenletét elosztjuk az elsővel, akkor vagy. Ezért következik és ... Vegyünk két esetet.

1. Ha, akkor a (9) rendszer első egyenletéből megvan.

2. Ha, akkor.

3. példa Hagyd, és. Megtalálni .

Döntés. A (2) képletből az következik, hogy vagy. Azóta, vagy.

Feltétel szerint. Ezért. Óta és, akkor itt van az egyenletrendszer

Ha a rendszer második egyenletét elosztjuk az elsővel, akkor vagy.

Mivel, akkor az egyenletnek egyetlen megfelelő gyöke van. Ebben az esetben a rendszer első egyenletéből következik.

A (7) képletet figyelembe véve megkapjuk.

Válasz:.

4. példa Adva: és. Megtalálni .

Döntés. Azóta.

Azóta, akkor is

A (2) képlet szerint megvan. E tekintetben az egyenlőségből (10) megkapjuk, ill.

Feltételenként tehát.

5. példa Ismert tény . Megtalálni .

Döntés. A tétel szerint két egyenlőségünk van

Azóta, vagy. Azóta.

Válasz:.

6. példa Adva: és. Megtalálni .

Döntés. Az (5) képletet figyelembe véve megkapjuk

Azóta. Mivel, és akkor.

7. példa Hagyd és. Megtalálni .

Döntés. Az (1) képlet szerint írhatunk

Ezért van vagy. Ismert, hogy és ezért, és.

Válasz:.

8. példa Keresse meg a végtelen csökkenő geometriai progresszió nevezőjét, ha

és.

Döntés. A (7) képletből az következikés ... Ebből és a probléma feltételéből kapjuk meg az egyenletrendszert

Ha a rendszer első egyenlete négyzetes, majd osszuk el a kapott egyenletet a második egyenlettel, akkor megkapjuk

Vagy.

Válasz:.

9. példa Keresse meg az összes olyan értéket, amelynél a szekvencia geometriai haladás.

Döntés. Hagyd, és. A (2) képlet szerint, amely meghatározza a geometriai progresszió fő tulajdonságát, írhat vagy.

Ebből megkapjuk a másodfokú egyenletet, amelynek gyökerei vannakés.

Ellenőrizzük, hogy, majd és; ha, akkor és.

Az első esetben megvanés a másodikban - és.

Válasz:,.

10. példaOldja meg az egyenletet

, (11)

hol és.

Döntés. A (11) egyenlet bal oldala egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, amelyben és, figyelemmel: és.

A (7) képletből az következik, mit ... Ebben a tekintetben a (11) egyenlet formát ölt vagy ... Megfelelő gyökér másodfokú egyenlet egy

Válasz:.

11. példa P sorrend pozitív számok számtani progressziót képez, de - geometriai progresszió, mi köze van hozzá. Megtalálni .

Döntés. Mint számtani szekvencia azután (a számtani progresszió fő tulajdonsága). Amennyiben, akkor vagy. Ez azt jelenti, hogy a geometriai progressziónak megvan a formája... A (2) képlet szerint, akkor ezt leírjuk.

Mivel és akkor ... Ebben az esetben a kifejezés vagy. Feltétel szerint, ezért az egyenletbőlmegkapjuk a megfontolt probléma egyedi megoldását, azaz ...

Válasz:.

12. példa Számolja ki az összeget

. (12)

Döntés. Megszorozzuk az egyenlőség (12) mindkét oldalát 5-tel, és megkapjuk

Ha kivonjuk a kapott kifejezésből (12) azután

vagy.

A számításhoz kicseréljük az (7) képlet értékeit, és megkapjuk. Azóta.

Válasz:.

Az itt megadott problémamegoldási példák hasznosak lehetnek a pályázók számára a felkészülés során felvételi tesztek... A problémamegoldási módszerek mélyebb tanulmányozásához, exponenciálisan összefüggő, használható oktatóanyagok az ajánlott irodalom listájáról.

1. Matematikai feladatok összegyűjtése a műszaki főiskolákra jelentkezők számára / Szerk. M.I. Skanavi. - M.: Béke és oktatás, 2013. - 608 o.

2. Suprun V.P. Matematika középiskolások számára: az iskolai tanterv további szakaszai. - M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Teljes tanfolyam elemi matematika feladatokban és gyakorlatokban. 2. könyv: Számsorok és progressziók. - M.: Edithus, 2015. - 208 o.

Van még kérdése?

Ha segítséget szeretne kapni egy oktatótól - regisztráljon.

Az anyag teljes vagy részleges másolásával meg kell adni a forrásra mutató linket.

Geometriai progresszió nem kevésbé fontos a matematikában, mint a számtan. A geometriai progresszió a b1, b2, ..., b [n] számok sorozata, amelynek minden következő tagját úgy kapjuk meg, hogy az előzőt megszorozzuk egy állandó számmal. Ezt a számot, amely a progresszió növekedési vagy csökkenési sebességét is jellemzi, hívjuk a geometriai progresszió nevezőjeés jelölje

A geometriai progresszió teljes hozzárendeléséhez a nevező mellett ismerni vagy meghatározni kell annak első tagját. A nevező pozitív értékét tekintve a progresszió monoton szekvencia, és ha ez a számsorozat monoton csökken, és ezért monoton növekszik. Azt az esetet, amikor a nevező egyenlő, nem vesszük figyelembe a gyakorlatban, mivel azonos számú szekvenciánk van, és összegzésük nem érdekes.

A geometriai progresszió általános fogalma képlettel számítva

A geometriai progresszió első n tagjának összege képlettel határozta meg

Vizsgálja meg a klasszikus problémák megoldásait geometriai progresszióval. Kezdjük a megértéshez a legegyszerűbbekkel.

1. példa A geometriai progresszió első tagja 27, nevezője 1/3. Keresse meg a geometriai progresszió első hat tagját.

Megoldás: Írjuk fel a probléma állapotát az űrlapba

A számításokhoz a geometriai progresszió n-edik tagjának képletét használjuk

Ennek alapján megtaláljuk a progresszió ismeretlen tagjait

Mint látható, a geometriai progresszió feltételeinek kiszámítása nem nehéz. Maga a progresszió így fog kinézni

2. példa A geometriai progresszió első három tagját megadjuk: 6; -12; 24. Keresse meg a nevezőt és annak hetedik tagját!

Megoldás: Számítsa ki a geomitric progresszió nevezőjét annak meghatározása alapján

Váltakozó geometriai progressziót kaptunk, amelynek nevezője -2. A hetedik tagot a képlet számítja ki

Ez megoldotta a problémát.

3. példa A geometriai progressziót két tagja adja meg ... Keresse meg a progresszió tizedik tagját!

Döntés:

Írjuk a megadott értékeket a képletek segítségével!

A szabályok szerint meg kellene találni a nevezőt, majd meg kell keresni a kívánt értéket, de a tizedik ciklusra

Ugyanez a képlet kapható a bemeneti adatokkal végzett egyszerű manipulációk alapján. Megosztjuk a sorozat hatodik tagját másikkal, ennek eredményeként megkapjuk