Lineáris egyenlőtlenségek. Átfogó útmutató (2019)
Óra és előadás a témában: "Példák lineáris egyenlőtlenségekre és megoldásuk"
Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.
Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 9. osztály számára
1C oktatási komplexum: "Algebrai feladatok paraméterekkel, 9-11. osztály" Szoftverkörnyezet "1C: Matematikai konstruktor 6.1"
Lineáris egyenletek (áttekintés)
Srácok, folytatjuk a 9. osztály algebratanfolyamának tanulmányozását. Tanfolyamunk tanulmányozása során sok új izgalmas probléma megoldását tanuljuk meg.
Ismételjük meg egy kicsit.
Emlékszel mi van lineáris egyenlet?
A $ax+b=0$ alakú egyenletet lineárisnak nevezzük, itt az a és b együtthatók valós számok halmazából származnak, vagyis szinte bármilyen számból. Egyébként miért hívják lineárisnak? Így van, ha az egyenletünk megoldásához grafikont rajzolunk, egy egyenest kapunk.
Hogyan oldottuk meg az egyenletünket? Hogy x-szel az egyenlőségjeltől balra balra, x nélkül pedig jobbra vittük át, nem felejtve el megváltoztatni a jelet, vagyis a következő alakú egyenletet kaptuk: $ax=-b$ .
Miután elosztottuk az x-es együtthatóval és megkaptuk az egyenlet megoldását: $x=-\frac(b)(a)$.
Nos, térjünk át tanfolyamunk első témájára.
Emlékeztünk a lineáris egyenletekre, most vezessük be a lineáris egyenlőtlenség fogalmát. Azt hiszem, sejtette, hogy a definíciók nem fognak sokban különbözni.
Az egy változós lineáris egyenlőtlenséget a következőképpen nevezzük egyenlőtlenségeknek: $ax+b>0$, ahol a és b a $(a≠0)$ valós számok halmazából származó értékek. Általában 4 típust lehet írni egyenlőtlenségek:
$ax+b>0\\ax+b
Az x változó azon értékét, amelynél az egyenlőtlenségünk igazzá válik, megoldásnak nevezzük. Érdemes megjegyezni, hogy kétféle megoldás létezik: privát és általános. Az általános megoldás az egyedi megoldások összessége.
Vezessünk be néhány szabályt a lineáris egyenlőtlenségek megoldására:
Az egyenlőtlenség tagjai a lineáris egyenletekhez hasonlóan az egyenlőtlenség előjelének megváltoztatása nélkül átvihetők egyik részből a másikba.
$3x egyenlőtlenség
Az egyenlőtlenség szorozható és osztható ugyanazzal a nullánál nagyobb számmal az egyenlőtlenség előjelének megváltoztatása nélkül. Srácok, ne felejtsd el, hogy az egyenlőtlenség mindkét részét feltétlenül meg kell szorozni vagy el kell osztani!
Egyenlőtlenség $ 3x
Az egyenlőtlenség szorozható vagy osztható negatív szám, nem felejtve el az egyenlőtlenség jelét az ellenkezőjére változtatni. Ennek megfelelően írja elő ≤-től ≥-ig, és fordítva.
Szorozzuk meg a $3x-7 0$ egyenlőtlenséget.
Ha az x változóban lévő egyenlőtlenséget az x-től függő $p(x)$ kifejezéssel osztjuk vagy szorozzuk, amely bármely x-re pozitív, anélkül, hogy az egyenlőtlenség előjelét megváltoztatnánk, akkor az eredetivel egyenértékű egyenlőtlenséget kapunk. egy.
Ha az x változóban lévő egyenlőtlenséget elosztjuk vagy szorozzuk a $p(x)$ kifejezéssel x függvényében, b amely bármely x-re negatív, megváltoztatva az egyenlőtlenség előjelét, akkor az eredetivel egyenértékű egyenlőtlenséget kapunk. .
1. Oldja meg az egyenlőtlenséget: $3x-6
Megoldás:
A megoldási mód hasonló a lineáris egyenletekhez, az egyenlőtlenség jelétől -6-tal jobbra lépünk $3x Az egyenlőtlenségünket eloszthatjuk tetszőleges pozitív szám előjel megváltoztatása nélkül. Osszuk el 3-mal, és kapjuk meg a megoldást: $x Válasz: $x
2. Oldja meg az egyenlőtlenséget: $-3x+6
Megoldás:
Tegyük meg a kezdeti lépéseket: $-3x Oszd el az egyenlőtlenséget -3-mal, ne felejtsd el megváltoztatni az előjelet: $x>2$.
Válasz: $x>2 $.
3. Oldja meg az egyenlőtlenséget: $\frac(x)(4)+\frac((3x-2))(8)>x-\frac(1)(16)$.
Megoldás:
Az egyenlőtlenségünket 16-tal megszorozva a következőt kapjuk: $4x+2(3x-2)>16x-1$.
Csináljuk szükséges intézkedéseket: $4x+6x-4-16x>-1$.
$-6x>3$.
Oszd el az egyenlőtlenséget -6-tal, előjelét változtatva: $x Válasz: $x
4. Oldja meg az egyenlőtlenséget: $|2x-2|
Megoldás:
Az egyenlőtlenséget elosztjuk 2-vel. Kapjuk: $|x-1| Egyenlőtlenségünk megoldása a koordinátaegyenes szakaszaként ábrázolható. A szakasz közepe a $x=1$ pontban lesz, és a szegélyeket 2-vel eltávolítjuk.
Rajzoljuk meg a szegmensünket:
A nyílt intervallum $(-1;3)$ a megoldás az egyenlőtlenségünkre.
Lineáris egyenlőtlenségek problémái
1. Oldja meg az egyenlőtlenséget:a) $2x+5 b) $-4x-9>11.$
c) $-5x+10
2. Oldja meg az egyenlőtlenséget: $\frac(2x)(9)+\frac(2x-4)(3)≤x-\frac(1)(18)$.
3. Oldja meg az egyenlőtlenséget:
$a) |3x-5| b) $|5x|
Az egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségek rendszerei az egyik olyan téma, amelyet a középiskolában algebrából tanítanak. Nehézségi szempontból nem a legnehezebb, mert egyszerű szabályai vannak (ezekről kicsit később). Az iskolások általában könnyen megtanulják az egyenlőtlenségi rendszerek megoldását. Ez annak is köszönhető, hogy a tanárok egyszerűen "kiképezik" diákjaikat ebben a témában. És ezt nem tehetik meg, mert a jövőben más matematikai mennyiségek felhasználásával tanulmányozzák, és ellenőrzik az OGE-t és az egységes államvizsgát is. Az iskolai tankönyvekben az egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségi rendszerek témája nagyon részletesen foglalkozik, így ha tanulmányozni akarja, akkor a legjobb, ha ezekhez folyamodik. Ez a cikk csak nagy anyagokat ír át, és előfordulhatnak benne hiányosságok.
Az egyenlőtlenségek rendszerének fogalma
Ha felé fordulsz tudományos nyelv, akkor definiálhatjuk az "egyenlőtlenségek rendszere" fogalmát. Ez egy olyan matematikai modell, amely számos egyenlőtlenséget ábrázol. Ez a modell természetesen megoldást igényel, és ez lesz az általános válasz a rendszer összes, a feladatban javasolt egyenlőtlenségére (általában ez van beleírva pl.: "Oldja meg a 4 x + 1 > 2 egyenlőtlenségrendszert és 30 - x > 6..."). Mielőtt azonban rátérne a megoldások típusaira és módszereire, meg kell értenie mást is.
Egyenlőtlenségrendszerek és egyenletrendszerek
A tanulás folyamatában új téma nagyon gyakran vannak félreértések. Egyrészt minden világos és inkább nekiállok a feladatok megoldásának, másrészt viszont néhány pillanat az "árnyékban" marad, nem jól érthető. Emellett a már megszerzett tudás egyes elemei összefonhatók újakkal. Ennek az „átfedésnek” az eredményeként gyakran fordulnak elő hibák.
Ezért mielőtt témánk elemzéséhez kezdenénk, érdemes felidéznünk az egyenletek és egyenlőtlenségek közötti különbségeket, rendszereiket. Ehhez még egyszer el kell magyarázni, mik is ezek a matematikai fogalmak. Az egyenlet mindig egyenlőség, és mindig egyenlő valamivel (a matematikában ezt a szót "="" jellel jelölik). Az egyenlőtlenség olyan modell, amelyben az egyik érték nagyobb vagy kisebb, mint a másik, vagy azt az állítást tartalmazza, hogy nem ugyanaz. Így az első esetben az egyenlőségről illik beszélni, a másodiknál pedig bármennyire nyilvánvalóan hangzik is magából a névből, a kiindulási adatok egyenlőtlenségéről. Az egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek gyakorlatilag nem különböznek egymástól, és a megoldási módszerek is megegyeznek. Az egyetlen különbség az, hogy az előbbi egyenlőségeket, míg az utóbbi egyenlőtlenségeket használ.
Az egyenlőtlenségek típusai
Kétféle egyenlőtlenség létezik: numerikus és ismeretlen változós egyenlőtlenség. Az első típus olyan értékeket (számokat) tartalmaz, amelyek nem egyenlőek egymással, például 8 > 10. A második egy ismeretlen változót tartalmazó egyenlőtlenségek (a latin ábécé valamelyik betűje, leggyakrabban X). Ezt a változót meg kell találni. Attól függően, hogy hány van, a matematikai modell különbséget tesz az egy (egy változós egyenlőtlenségrendszert alkotnak) vagy több változó (több változós egyenlőtlenségrendszert alkotnak) között.
Az utolsó két típus felépítésük foka és a megoldás bonyolultsági foka szerint egyszerű és összetett típusra oszlik. Az egyszerűeket lineáris egyenlőtlenségnek is nevezik. Ezek viszont szigorú és nem szigorúra oszlanak. Szigorúan kifejezetten "mondják", hogy egy értéknek vagy kisebbnek vagy többnek kell lennie, tehát ez tiszta egyenlőtlenség. Számos példa van: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 stb. A nem szigorúak közé tartozik az egyenlőség is. Vagyis egy érték lehet nagyobb vagy egyenlő egy másik értéknél ("≥" jel), vagy kisebb vagy egyenlő egy másik értéknél ("≤" jel). A változó még a lineáris egyenlőtlenségekben sem áll a gyökérben, négyzetben, nem osztható semmivel, ezért nevezik "egyszerűnek". Az összetettek ismeretlen változókat tartalmaznak, amelyek megtalálása több matematikai műveletet igényel. Gyakran négyzetben, kockában vagy gyökér alatt vannak, lehetnek modulárisak, logaritmikusak, törtrészesek stb. De mivel a feladatunk az egyenlőtlenségrendszerek megoldásának megértése, ezért lineáris egyenlőtlenségek rendszeréről fogunk beszélni. Előtte azonban érdemes néhány szót ejteni tulajdonságaikról.
Az egyenlőtlenségek tulajdonságai
Az egyenlőtlenségek tulajdonságai a következő rendelkezéseket tartalmazzák:
- Az egyenlőtlenség előjele megfordul, ha az oldalsorváltoztatás műveletét alkalmazzuk (például ha t 1 ≤ t 2, akkor t 2 ≥ t 1).
- Az egyenlőtlenség mindkét része lehetővé teszi, hogy ugyanazt a számot adja hozzá önmagához (például ha t 1 ≤ t 2, akkor t 1 + szám ≤ t 2 + szám).
- Két vagy több azonos irányú előjelű egyenlőtlenség lehetővé teszi bal és jobb oldali részeinek összeadását (például ha t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, akkor t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4 ).
- Az egyenlőtlenség mindkét része ugyanazzal a pozitív számmal szorozható vagy osztható (például ha t 1 ≤ t 2 és a szám ≤ 0, akkor a t 1 szám ≥ a t 2 szám).
- Két vagy több pozitív tagú és azonos irányú előjelű egyenlőtlenség lehetővé teszi, hogy megszorozzák egymást (például ha t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0, majd t 1 t 3 ≤ t 2 t 4).
- Az egyenlőtlenség mindkét része megengedi magát ugyanazzal a negatív számmal szorozni vagy osztani, de az egyenlőtlenség előjele megváltozik (például ha t 1 ≤ t 2 és a szám ≤ 0, akkor a t 1 ≥ szám t 2).
- Minden egyenlőtlenségnek megvan a tranzitivitás tulajdonsága (például ha t 1 ≤ t 2 és t 2 ≤ t 3, akkor t 1 ≤ t 3).
Most, az egyenlőtlenségekkel kapcsolatos elmélet főbb rendelkezéseinek tanulmányozása után, közvetlenül áttérhetünk a rendszereik megoldásának szabályaira.
Egyenlőtlenségi rendszerek megoldása. Általános információ. Megoldások
Mint fentebb említettük, a megoldás a változó azon értékei, amelyek az adott rendszer összes egyenlőtlenségére illeszkednek. Az egyenlőtlenségrendszerek megoldása olyan matematikai műveletek végrehajtása, amelyek végül a teljes rendszer megoldásához vezetnek, vagy igazolják, hogy nincs megoldása. Ebben az esetben a változóról azt mondják, hogy az üres numerikus halmazra vonatkozik (így írva: változót jelölő betű∈ (jel "tartozik") ø (jel "üres halmaz"), például x ∈ ø (ez így szól: "Az "x" változó az üres halmazhoz tartozik"). Az egyenlőtlenségrendszerek megoldásának többféle módja van: grafikus, algebrai, helyettesítési módszer. Meg kell jegyezni, hogy azok matematikai modellek, amelyeknek számos ismeretlen változója van. Abban az esetben, ha csak egy van, az intervallum módszer megfelelő.
Grafikus mód
Lehetővé teszi egy egyenlőtlenségrendszer megoldását több ismeretlennel (kettőből vagy többből). Ennek a módszernek köszönhetően a lineáris egyenlőtlenségek rendszere meglehetősen egyszerűen és gyorsan megoldható, így ez a legelterjedtebb módszer. Ennek az az oka, hogy az ábrázolás csökkenti a matematikai műveletek írásának mennyiségét. Különösen kellemessé válik, ha egy kis szünetet tartunk a tolltól, felveszünk egy ceruzát egy vonalzóval és segítségükkel folytatjuk a további műveleteket, ha sok munka elkészült, és egy kis változatosságra vágyik. Néhányan azonban nem szeretik ezt a módszert, mivel el kell szakadnia a feladattól, és szellemi tevékenységét rajzolásra kell váltania. Ez azonban egy nagyon hatékony módszer.
Egy egyenlőtlenségrendszer grafikus módszerrel történő megoldásához az egyes egyenlőtlenségek minden tagját át kell vinni a bal oldalukra. Az előjelek megfordulnak, jobbra nullát kell írni, majd minden egyenlőtlenséget külön kell írni. Ennek eredményeképpen az egyenlőtlenségekből függvényeket kapunk. Ezután kaphat egy ceruzát és egy vonalzót: most meg kell rajzolnia minden kapott függvény grafikonját. A metszés intervallumában lévő számok teljes halmaza az egyenlőtlenségrendszer megoldása lesz.
Algebrai mód
Lehetővé teszi két ismeretlen változójú egyenlőtlenségrendszer megoldását. Ezenkívül az egyenlőtlenségeknek ugyanazzal az egyenlőtlenségjellel kell rendelkezniük (vagyis vagy csak a "nagyobb" jelet, vagy csak a "kisebb, mint" előjelet stb.) Korlátai ellenére ez a módszer is bonyolultabb. Két szakaszban alkalmazzák.
Az első az egyik ismeretlen változótól való megszabadulás műveleteit tartalmazza. Először ki kell választania, majd ellenőrizze, hogy vannak-e számok a változó előtt. Ha nincs ilyen (akkor a változó egy betűnek fog kinézni), akkor nem változtatunk semmit, ha van (a változó típusa pl. 5y vagy 12y lesz), akkor meg kell győződni hogy minden egyenlőtlenségben a kiválasztott változó előtti szám azonos. Ehhez meg kell szorozni az egyenlőtlenségek minden tagját egy közös tényezővel, például ha az első egyenlőtlenségbe 3y, a másodikba pedig 5y van írva, akkor meg kell szorozni az első egyenlőtlenség összes tagját. 5-tel, a második pedig 3-mal. 15y és 15y lesz.
A döntés második szakasza. Minden egyenlőtlenség bal oldalát át kell vinni a jobb oldalukra úgy, hogy az egyes tagok előjelét az ellenkezőjére változtatjuk, a jobb oldalon nullát kell írni. Ezután jön a szórakoztató rész: megszabadulni a választott változótól (más néven "csökkentés"), miközben összeadja az egyenlőtlenségeket. Kapsz egy egyenlőtlenséget egy változóval, amelyet meg kell oldani. Ezt követően ugyanezt kell tennie, csak egy másik ismeretlen változóval. A kapott eredmények a rendszer megoldása lesz.
Helyettesítési módszer
Lehetővé teszi egy egyenlőtlenségrendszer megoldását, ha lehetséges egy új változó bevezetése. Általában ezt a módszert alkalmazzuk, ha az egyenlőtlenség egyik tagjában az ismeretlen változót a negyedik hatványra emeljük, a másik tagban pedig négyzetre emeljük. Ez a módszer tehát a rendszerbeli egyenlőtlenségek mértékének csökkentését célozza. Az x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 mintaegyenlőtlenséget így a következőképpen oldjuk meg. Egy új változó kerül bevezetésre, például t. Azt írják: "Legyen t = x 2", majd a modellt átírják egy új formában. Esetünkben azt kapjuk, hogy t 2 - t - 1 ≤0. Ezt az egyenlőtlenséget meg kell oldani az intervallum módszerrel (erről kicsit később), majd vissza kell térni az X változóhoz, majd ugyanezt megtenni egy másik egyenlőtlenséggel. A kapott válaszok a rendszer döntése lesz.
Térköz módszer
Ez a legkönnyebb módja az egyenlőtlenségi rendszerek megoldásának, ugyanakkor egyetemes és elterjedt. Középiskolában, sőt középiskolában is használják. Lényege abban rejlik, hogy a tanuló a füzetbe rajzolt számegyenesen egyenlőtlenségi intervallumokat keres (ez nem grafikon, hanem csak egy közönséges egyenes számokkal). Ahol az egyenlőtlenségek intervallumai metszik egymást, ott megtaláljuk a rendszer megoldását. A térköz használatához kövesse az alábbi lépéseket:
- Az egyes egyenlőtlenségek minden tagja átkerül a bal oldalra, az ellenkező előjellel (a jobbra nullát írunk).
- Az egyenlőtlenségeket külön-külön kiírjuk, mindegyik megoldását meghatározzuk.
- Megtalálhatóak a valós egyenes egyenlőtlenségeinek metszéspontjai. Az összes szám ezekben a kereszteződésekben lesz a megoldás.
Melyik módot kell használni?
Nyilvánvalóan a legkönnyebbnek és legkényelmesebbnek tűnik, de van, amikor a feladatok egy bizonyos módszert igényelnek. Leggyakrabban azt mondják, hogy vagy grafikonnal, vagy intervallum módszerrel kell megoldani. Az algebrai módszert és a behelyettesítést rendkívül ritkán vagy egyáltalán nem alkalmazzák, mivel meglehetősen bonyolultak és zavarosak, ráadásul inkább egyenletrendszerek megoldására használják, nem pedig egyenlőtlenségekre, ezért érdemes grafikonok és intervallumok rajzolásához folyamodni. Láthatóságot hoznak, ami nem csak hozzájárul a matematikai műveletek hatékony és gyors elvégzéséhez.
Ha valami nem működik
Egy adott téma algebrai tanulmányozása során természetesen problémák merülhetnek fel annak megértésével. És ez normális, mert agyunk úgy van kialakítva, hogy nem képes egyhuzamban megérteni az összetett anyagot. Gyakran újra kell olvasnia egy bekezdést, igénybe kell vennie egy tanár segítségét, vagy gyakorolnia kell a tipikus problémák megoldását. A mi esetünkben például így néznek ki: "Old meg a 3 x + 1 ≥ 0 és a 2 x - 1 > 3 egyenlőtlenségrendszert". Így a személyes törekvés, a külső személyek segítsége és a gyakorlat segít bármilyen összetett téma megértésében.
Reshebnik?
És a megfejtő könyv is nagyon alkalmas, de nem házi feladat csalásra, hanem önsegítésre. Megtalálható bennük megoldást tartalmazó egyenlőtlenség-rendszerek, rájuk (mint mintákra) tekinthetünk, megpróbálhatjuk megérteni, hogy a megoldás szerzője pontosan hogyan birkózott meg a feladattal, majd megpróbálja egyedül megcsinálni.
következtetéseket
Az algebra az egyik legnehezebb tantárgy az iskolában. Nos, mit tehetsz? A matematika mindig is ilyen volt: van, akinek könnyen, másnak nehéz. De mindenesetre emlékezni kell arra, hogy az általános oktatási programot úgy alakították ki, hogy bármely diák megbirkózik vele. Ezenkívül szem előtt kell tartania az asszisztensek nagy számát. Néhányukat fentebb említettük.
Praktikus munka ebben a témában : "Lineáris egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megoldása"
Cél:
- A tanulók tudásának megismétlése a témában: « Lineáris egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megoldása”.
A lineáris egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek megoldási készségeinek és képességeinek megszilárdítása.
Az ismeretszerzés szintjének meghatározása, a tanulók tevékenységének eredményének értékelése.
Felszerelés: munkafüzetek és füzetek gyakorlati munkákhoz, toll, számológép.
Időtartam: 1 óra
A végrehajtás sorrendje:
Ismerkedjen meg az elméleti anyaggal és a példák megoldásával.
Az elméleti anyag rövid összefoglalása munkafüzetekben (alapfogalmak, definíciók, képletek, példák).
A gyakorlati munka jegyzetfüzetében végezzen gyakorlati munkát.
Elméleti információk:
Lineáris egyenletek.
Típusegyenlet ax+ b=0, ahol a és b - néhány állandót, lineáris egyenletnek nevezzük.
Ha egy 0, akkor a lineáris egyenletnek egyetlen gyöke van: x = .
Ha a=0; b 0, akkor a lineáris egyenletnek nincs megoldása.
Ha a=0; b = 0 majd az eredeti egyenletet átírva a formába fejsze = -b, ezt könnyű belátni bármely x egy lineáris egyenlet megoldása.
Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökök.
Az egyenletek megoldása során a következő tulajdonságokat használjuk:
Ha az egyenletben a tagot egyik részből a másikba visszük át előjelének megváltoztatásával, akkor az adott egyenletet kapunk.
Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor egy egyenletet kapunk, amely ekvivalens az adott számmal.
Példák egyenletek megoldására
| sz. o / P | Példa | Megoldás |
| 2x - 3 + 4 (x - 1) = 5 | Bontsuk ki egymás után a zárójeleket hasonló kifejezéseket és találni x: 2x - 3 + 4x - 4 = 5 2x + 4x = 5 + 4 + 3, X = 2. Válasz: 2. |
|
| 8(11-2x)+40=3(5x-4) | Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét részében, mozgassuk az összes x-szel rendelkező tagot az egyenlet bal oldalára, az x-et nem tartalmazó tagokat pedig a jobb oldalra, kapjuk: x=36 Válasz: 36. |
|
| 2x - 3 + 2 (x - 1) = 4 (x - 1) - 7 | 2x + 2x - 4x = 3 +2 - 4 - 7 0x=-6 Válasz: |
|
| 2x + 3 - 6 (x - 1) = 4 (x - 1) + 5 | 2x - 6x + 3 + 6 = 4 - 4x + 5 |
Kétváltozós egyenletrendszerek
A kétváltozós egyenletrendszer megoldása egy olyan változó értékpár, amely a rendszer minden egyenletét valódi egyenlőséggé alakítja. Egy rendszert megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldást, vagy bebizonyítjuk, hogy nincs ilyen.
Amikor döntenek lineáris rendszerek használja a helyettesítési módszert és az összeadás módszerét.
Megoldási példákrendszerekegyenletek
| Példa | Megoldás |
|
| helyettesítési módszer
. Fejezzük ki az első x egyenletből, és helyettesítsük ezt az értéketa rendszer második egyenletébe kapjuk :
|
||
| A rendszer megoldásához jelentkezzenegyenletösszeadás módszere
. 8x=16, x=2. Az x=2 értéket behelyettesítve az első egyenletbe, 10-y=9, y=1 kapjuk. |
||
| Ez a rendszer ekvivalens egy 2x + y = 5 egyenlettel, mert a második egyenletet az elsőből 3-mal való szorzással kapjuk. Ezért bármely számpár (x; 5-2x) kielégíti azt. A rendszernek végtelen számú megoldása van. |
||
| Szorozzuk meg az első egyenletet -2-vel, és adjuk össze C a második egyenlettel 0×x+0×y=-6. Ezt az egyenletet egyetlen számpár sem teljesíti. C Ezért ennek a rendszernek nincsenek megoldásai. |
Válasz: (2; 3).Lineáris egyenlőtlenségek egy változóval .
Egy ax+b0 alakú egyenlőtlenség (illetve ax+b 0,ax+b 0), ahol a és b valós számok, és a0.
Az egyenlőtlenségeket a következő állítások alapján oldjuk meg.
1. Tétel. Ha az egyenlőtlenség bármely tagját egy változóval az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba visszük át ellenkező előjellel, miközben az egyenlőtlenség előjelét változatlanul hagyjuk, akkor az adott egyenlőtlenséget kapjuk.
2. Tétel. Ha az egyváltozós egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a pozitív számmal, miközben az egyenlőtlenség előjelét változatlanul hagyjuk, akkor az adott egyenlőtlenségnek megfelelő egyenlőtlenséget kapunk.
3. Tétel. Ha az egyváltozós egyenlőtlenség mindkét részét szorozzuk vagy osztjuk ugyanazzal a negatív számmal, miközben az egyenlőtlenség előjelét az ellenkezőjére változtatjuk, akkor az adott egyenlőtlenséget kapjuk.
Megoldási példákegyenlőtlenségek
| Példa | Megoldás |
|
| 2(x-3)+5(1-x) 3(2x-5) | A zárójeleket kinyitva 2x-6 + 5-5x6x-15 kapunk 9x -14 Válasz: . |
|
| Megszabadulunk a nevezőktől, amelyeknél az egyenlőtlenség mindkét részét megszorozzuk pozitív 6-tal, az egyenlőtlenség előjelét változatlanul hagyva: Az utolsó egyenlőtlenség igaz az x bármely értékére, mivel a változó bármely értékére igaznak bizonyul kimondás 0-55. Ezért az egész számsor szolgál megoldásainak halmazaként. |
Egyenlőtlenségek rendszere
Azt mondják, hogy több egyenlőtlenség egy változóval alkot rendszert, ha a feladat egy halmaz megtalálása közös megoldások adott egyenlőtlenségek.
Annak a változónak az értékét, amelynél a rendszer minden egyenlőtlensége valódi numerikus egyenlőtlenséggé változik, az egyenlőtlenségrendszer megoldásának nevezzük.
Az egyenlőtlenségek rendszerének megoldási halmaza a rendszert alkotó egyenlőtlenségek megoldási halmazainak metszéspontja. A rendszert alkotó egyenlőtlenségeket göndör zárójelek kötik össze.
Megoldási példaegyenlőtlenségek rendszerei
| Példa | Megoldás |
|
|
| A számegyenes segítségével azt találjuk, hogy ezeknek a halmazoknak a metszéspontja az intervallum. Válasz: |
Opciók praktikus munka:
| 1.opció | 2. lehetőség |
| 1. Oldja meg az egyenletet! |
|
|
Hogyan oldjuk meg a lineáris egyenlőtlenségeket eggyel típusú változó ax+b>cx+d? Ehhez csak két szabályt használunk. 1) A kifejezések átvihetők az egyenlőtlenség egyik részéből a másikba ellenkező előjellel. Az egyenlőtlenség jele nem változik. 2) Az egyenlőtlenség mindkét része lehet (vagy más változó). Ha pozitív számmal osztunk, az egyenlőtlenség előjele nem változik. Negatív számmal való osztásakor az egyenlőtlenség előjele megfordul. V Általános nézet egy változós lineáris egyenlőtlenség megoldása Cx + d\]" title="(!LANG: Renderelő: QuickLaTeX.com">!} így ábrázolható: 1) Az ismeretleneket az egyik irányba, az ismerteket a másik irányba visszük át ellentétes előjellel: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} 2) Ha az x előtti szám nem egyenlő nullával (a-c≠0), akkor az egyenlőtlenség mindkét részét elosztjuk a-c-vel. Ha a-c>0, az egyenlőtlenség jele nem változik: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Ha a-c<0, знак неравенства изменяется на противоположный: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Ha a-c=0, akkor ez - különleges eset. Külön megvizsgáljuk a lineáris egyenlőtlenségek megoldásának egyes eseteit. Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Ez egy lineáris egyenlőtlenség. Az ismeretlent áthelyezzük az egyik oldalra, az ismertet a másikra ellentétes előjelekkel: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Ossza el az egyenlőtlenség mindkét oldalát az x előtti számmal. Mivel -2<0, знак неравенства изменяется на противоположный: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Mivel a 10 a számegyenesen ponttal van jelölve. , mínusz végtelenig. Mivel az egyenlőtlenség szigorú és a pont ki van lyukadva, válaszul 10-et írunk zárójellel.
Ez egy lineáris egyenlőtlenség. Ismeretlenek - az egyik irányban, ismertek - a másikban ellentétes előjelekkel: Ossza el az egyenlőtlenség mindkét oldalát az x előtti számmal. 10 óta> Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Mivel az egyenlőtlenség nem szigorú, a számegyenesen -2,3-at jelölünk kitöltött ponttal. A -2.3-tól való kikelés jobbra megy, plusz végtelenbe. Mivel az egyenlőtlenség szigorú, és a pont ki van töltve, ezért szögletes zárójellel -2,3-at írunk.
Ez egy lineáris egyenlőtlenség. Ismeretlenek - egyik irányban, ismertek - a másikban ellenkező előjellel. Ossza el az egyenlőtlenség mindkét oldalát az x előtti számmal. 3>0 óta az egyenlőtlenség jele nem változik: Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!} Mivel az egyenlőtlenség szigorú, a számegyenes x=2/3-át egy átszúrt pont jelöli. Mivel az egyenlőtlenség szigorú és a pont kilyukadt, ezért zárójellel 2/3-ot írunk.
Romanishina Dina Solomonovna, a habarovszki 2. számú gimnázium matematikatanára 1. Egyváltozós egyenletek. A változót tartalmazó egyenletet egy változós egyenletnek, vagy egy ismeretlent tartalmazó egyenletnek nevezzük. Például egy változót tartalmazó egyenlet 3(2x+7)=4x-1. Az egyenlet gyöke vagy megoldása egy olyan változó értéke, amelynél az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé válik. Például az 1-es szám a 2x+5=8x-1 egyenlet megoldása. Az x2+1=0 egyenletnek nincs megoldása, mert az egyenlet bal oldala mindig nagyobb, mint nulla. Az (x+3)(x-4)=0 egyenletnek két gyökere van: x1= -3, x2=4. Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nincsenek gyökök. Az egyenleteket ekvivalensnek nevezzük, ha az első egyenlet minden gyöke a második egyenlet gyöke, és fordítva, a második egyenlet minden gyöke az első egyenlet gyöke, vagy ha mindkét egyenletnek nincs gyöke. Például az x-8=2 és az x+10=20 egyenletek ekvivalensek, mert az első x=10 egyenlet gyöke a második egyenlet gyöke, és mindkét egyenletnek ugyanaz a gyöke. Az egyenletek megoldása során a következő tulajdonságokat használjuk: Ha az egyenletben a tagot egyik részből a másikba visszük át előjelének megváltoztatásával, akkor az adott egyenletet kapunk. Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a nullától eltérő számmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor egy egyenletet kapunk, amely ekvivalens az adott számmal. Az ax=b egyenletet, ahol x egy változó, a és b pedig néhány szám, egy változós lineáris egyenletnek nevezzük. Ha a¹0, akkor az egyenletnek egyedi megoldása van .Ha a=0, b=0, akkor x bármely értéke kielégíti az egyenletet. Ha a=0, b¹0, akkor az egyenletnek nincs megoldása, mert A 0x=b nem kerül végrehajtásra a változó egyetlen értékére sem. 1. példa. Oldja meg az egyenletet: -8(11-2x)+40=3(5x-4) Nyissuk meg a zárójeleket az egyenlet mindkét részében, mozgassuk az összes x-szel rendelkező tagot az egyenlet bal oldalára, az x-et nem tartalmazó tagokat pedig a jobb oldalra, kapjuk: 16x-15x=88-40-12 2. példa Oldja meg az egyenleteket: x3-2x2-98x+18=0; Ezek az egyenletek nem lineárisak, de megmutatjuk, hogyan lehet ezeket az egyenleteket megoldani. 3x2-5x=0; x(3x-5)=0. A szorzat egyenlő nullával, ha az egyik tényező nulla, akkor x1=0; x2= . .Az egyenlet bal oldalának faktorálása: x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), azaz. (x-2) (x-3) (x+3)=0. Ez azt mutatja, hogy ennek az egyenletnek a megoldásai az x1=2, x2=3, x3=-3 számok. c) Képzeljük el a 7x-et 3x+4x-ként, akkor a következőt kapjuk: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4) = 0, tehát x1=-3, x2=-4. Válasz: -3; - 4. 3. példa Oldja meg az egyenletet: ½x+1ç+½x-1ç=3. Emlékezzünk vissza egy szám modulusának meghatározására:  Például: ½3½=3, ½0½=0, ½-4½= 4. Ebben az egyenletben a modul jele alatt az x-1 és az x + 1 számok vannak. Ha x kisebb, mint -1, akkor x+1 negatív, akkor ½x+1½=-x-1. És ha x>-1, akkor ½x+1½=x+1. Ha x=-1 ½x+1½=0. Ily módon  Hasonlóképpen  a) Tekintsük ezt az egyenletet½x+1½+½x-1½=3 x£-1 esetén, ez ekvivalens az -x-1-x+1=3, -2x=3, x= egyenlettel. , ez a szám az x£-1 halmazhoz tartozik.b) Legyen -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве. c) Tekintsük az x>1 esetet. x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Ez a szám az x>1 halmazhoz tartozik.Válasz: x1=-1,5; x2=1,5. 4. példa Oldja meg az egyenletet:½x+2½+3½x½=2½x-1½. Mutassuk meg röviden az egyenlet megoldását, a modulus előjelét „intervallumokkal” bővítve. x £-2, -(x + 2) -3x \u003d -2 (x-1), - 4x \u003d 4, x \u003d -2О (-¥; -2] –2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0] 0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1] x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=-4, x=-2W(1; +¥) Válasz: [-2; 0] 5. példa Oldja meg az egyenletet: (a-1) (a + 1) x \u003d (a-1) (a + 2), az a paraméter összes értékére. Ennek az egyenletnek valójában két változója van, de x-et az ismeretlennek, a-t pedig paraméternek tekinti. Az a paraméter bármely értékére meg kell oldani az egyenletet az x változóra vonatkozóan. Ha a=1, akkor az egyenlet alakja 0×x=0, bármelyik szám kielégíti ezt az egyenletet. Ha a \u003d -1, akkor az egyenlet alakja 0 × x \u003d -2, ez az egyenlet egyetlen számnak sem felel meg. Ha a¹1, a¹-1, akkor az egyenletnek egyedi megoldása van .Válasz: ha a=1, akkor x tetszőleges szám; ha a=-1, akkor nincsenek megoldások; ha a¹±1, akkor .2. Kétváltozós egyenletrendszerek. A kétváltozós egyenletrendszer megoldása egy olyan változó értékpár, amely a rendszer minden egyenletét valódi egyenlőséggé alakítja. Egy rendszert megoldani azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes megoldást, vagy bebizonyítjuk, hogy nincs ilyen. Két egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha az első rendszer minden megoldása a második rendszer megoldása, és a második rendszer minden megoldása az első rendszer megoldása, vagy mindkettőnek nincs megoldása. A lineáris rendszerek megoldásánál a helyettesítési módszert és az összeadásos módszert alkalmazzuk. 1. példa Oldja meg az egyenletrendszert: Ennek a rendszernek a megoldására a helyettesítési módszert alkalmazzuk. Fejezzük ki az első x egyenletből, és helyettesítsük ezt az értéket a rendszer második egyenletébe kapjuk ,
 Válasz: (2; 3). 2. példa Oldja meg az egyenletrendszert: Ennek a rendszernek a megoldására az egyenletek összeadásának módszerét alkalmazzuk. 8x=16, x=2. Az x=2 értéket behelyettesítve az első egyenletbe, 10-y=9, y=1 kapjuk. Válasz: (2; 1). 3. példa Oldja meg az egyenletrendszert: Ez a rendszer ekvivalens egy 2x + y = 5 egyenlettel, mert a második egyenletet az elsőből 3-mal való szorzással kapjuk. Ezért bármely számpár (x; 5-2x) kielégíti azt. A rendszernek végtelen számú megoldása van. Válasz: (x; 5-2x), x-bármilyen. 4. példa Oldja meg az egyenletrendszert: Az első egyenletet szorozzuk meg -2-vel és adjuk hozzá a második egyenlethez, így 0×x+0×y=-6 kapjuk. Ezt az egyenletet egyetlen számpár sem teljesíti. Ezért ennek a rendszernek nincsenek megoldásai. Válasz: A rendszernek nincs megoldása. 5. példa Oldja meg a rendszert:  A második egyenletből kifejezzük x = y + 2a + 1-et, és ezt az x értéket behelyettesítjük a rendszer első egyenletébe, így kapjuk . Ha a = -2, az egyenletnek nincs megoldása a = -2, ha a¹-2, akkor .
Válasz: a=-2 esetén a rendszernek nincs megoldása, a¹-2-re a rendszernek van megoldása  .
6. példa Oldja meg az egyenletrendszert:  Adunk egy három egyenletrendszert három ismeretlennel. A Gauss-módszert alkalmazzuk, ami abból áll, hogy az ekvivalens transzformációk az adott rendszert háromszög alakúra hozzák. Adjuk hozzá a második egyenletet az első egyenlethez, megszorozva -2-vel. 2x-2y-2z=-12 3x-3y-3z=-18 végül hozzáadjuk ehhez az egyenlethez az y-z=-1 egyenletet, megszorozva 2-vel, így kapjuk - 4z=-12, z=3. Tehát egy egyenletrendszert kapunk: x+y+z=6z=3, ami ekvivalens a megadottal. Ezt a fajta rendszert háromszögnek nevezik. Válasz: (1; 2; 3). 3. Feladatok megoldása egyenletek és egyenletrendszerek segítségével. Példákkal mutatjuk be, hogyan lehet egyenletekkel és egyenletrendszerekkel megoldani feladatokat. 1. példa Egy 32 kg tömegű ón-rézötvözet 55% ónt tartalmaz. Mennyi tiszta ónt kell hozzáadni az ötvözethez, hogy az új ötvözet 60% ónt tartalmazzon? Megoldás. Legyen az eredeti ötvözethez hozzáadott ón tömege x kg. Ekkor a (32 + x) kg tömegű ötvözet 60% ónt és 40% rezet fog tartalmazni. A kezdeti ötvözet 55% ónt és 45% rezet tartalmazott, i.e. réz volt benne 32 0,45 kg. Mivel a réz tömege az eredeti és az új ötvözetekben azonos, így a 0,45 32 = 0,4 (32 + x) egyenletet kapjuk. Megoldás után azt találjuk, hogy x=4, azaz. 4 kg ónt kell hozzáadni az ötvözethez. 2. példa: Elgondolunk egy kétjegyű számot, amelyben a tízes számjegy 2-vel kisebb, mint az egységek számjegye. Ha ezt a számot elosztjuk a számjegyeinek összegével, akkor a hányados 4 lesz, a maradék pedig 6. Milyen számra gondolunk? Megoldás. Legyen az egységszámjegy x, akkor a tízes számjegye x-2 (x>2), a kigondolt szám pedig 10(x-2)+x=11x-20. Az x-2+x=2x-2 számjegyeinek összege. Ezért a 11x-20-at 2x-2-vel elosztva a hányadosban 4-et kapunk, a maradékban pedig 6-ot. az osztalék egyenlő az osztó szorzatával a hányados plusz a maradékkal. Ezt az egyenletet megoldva x=6-ot kapunk. Tehát a 46-os szám fogant.
Hasonló cikkek
Megbeszélés:
Népszerű az oldalon
2022 rsrub.ru. A modern tetőfedési technológiákról. Építőipari portál. | |
