Hogyan találjuk meg a komplex szám gyökerét. Fok tetszőleges racionális kitevővel

tól tőlés természetes szám n 2 .

Összetett szám Z hívott gyökérn– c, ha Z n = c.

Keresse meg az összes gyökérértéket n– fokozat egy komplex számból tól től. Legyen c=| c|·(kötözősaláta Arg c+ én· bűn Argtól től), de Z = | Z|·(valos Arg Z + én· bűn Arg Z) , ahol Z gyökér n- fokozat egy komplex számból tól től. Akkor annak kell lennie = c = | c|·(kötözősaláta Arg c+ én· bűn Argtól től). Ebből következik tehát
És n· Arg Z = Argtól től
Arg Z =
(k=0,1,…) . Következésképpen, Z =
(kötözősaláta
+ én· bűn
), (k=0,1,…) . Könnyen belátható, hogy bármelyik érték
, (k=0,1,…) eltér valamelyik megfelelő értéktől
,(k = 0,1,…, n-1) egy többszörösre 2π. Ezért , (k = 0,1,…, n-1) .

Példa.

Számítsa ki (-1) gyökerét.

, magától értetődően |-1| = 1, arg (-1) = π

-1 = 1 (kötözősaláta π + én· bűn π )

, (k = 0, 1).

= én

Fok tetszőleges racionális kitevővel

Vegyünk egy tetszőleges komplex számot tól től. Ha n akkor a természetes szám tól től n = | c| n ·(tól tőlos nArg+-valén· bűn nArgtól től)(6). Ez a képlet abban az esetben is igaz n = 0 (c≠0)
. Legyen n < 0 És n ZÉs c ≠ 0, azután

tól től n =
(cos nArgtól től+i sin nArgtól től) = (cos nArgtól től+ i sin nArgtól től) . Így a (6) képlet bármelyikre érvényes n.

Vegyünk egy racionális számot , ahol q természetes szám, és R egy egész szám.

Aztán alatta fokozat c rértsük meg a számot
.

Ezt értjük ,

(k = 0, 1, …, q-1). Ezeket az értékeket q darab, ha a tört nem csökken.

3. előadás A komplex számok sorozatának határa

A természetes argumentum komplex értékű függvényét nevezzük komplex számok sorozataés jelöltük (tól től n ) vagy tól től 1 , tól től 2 , ..., tól től n . tól től n = a n + b n · én (n = 1,2, ...) komplex számok.

tól től 1 , tól től 2 , … - a sorozat tagjai; tól től n - közös tag

Összetett szám tól től = a+ b· én hívott komplex számsorozat határértéke (c n ) , ahol tól től n = a n + b n · én (n = 1, 2, …) , hol bármely

, ez mindenkinek n > N az egyenlőtlenséget
. Egy véges határértékkel rendelkező sorozatot nevezünk összetartó sorrend.

Tétel.

Annak érdekében, hogy komplex számok sorozata (val n ) (tól től n = a n + b n · én) egy számhoz konvergált = a+ b· én, szükséges és elégséges az egyenlőséghezlim a n = a, lim b n = b.

Bizonyíték.

A tételt a következő nyilvánvaló kettős egyenlőtlenség alapján fogjuk bebizonyítani

, ahol Z = x + y· én (2)

Szükség. Legyen lim(tól től n ) = -val. Mutassuk meg, hogy az egyenlőségeket lim a n = aÉs lim b n = b (3).

Nyilvánvalóan (4)

Mivel
, amikor n → ∞ , akkor a (4) egyenlőtlenség bal oldalából az következik, hogy
És
, amikor n → ∞ . ezért a (3) egyenlőségek érvényesek. A szükségesség bebizonyosodott.

Megfelelőség. Most tartsuk fenn a (3) egyenlőségeket. A (3) egyenlőségből az következik
És
, amikor n → ∞ , ezért a (4) egyenlőtlenség jobb oldala miatt az lesz
, amikor n→∞ , azt jelenti lim(tól től n )=s. Az elégségesség bebizonyosodott.

Tehát egy komplex számsorozat konvergenciájának kérdése egyenértékű két valós számsorozat konvergenciájával, ezért a valós számsorozatok határainak minden alapvető tulajdonsága vonatkozik a komplex számsorozatokra.

Például komplex számsorozatok esetén a Cauchy-kritérium érvényes: annak érdekében, hogy komplex számok sorozata (val n ) konvergálva szükséges és elegendő, hogy bármely

, hogy bármelyn, m > Naz egyenlőtlenséget
.

Tétel.

Legyen komplex számok sorozata (val n ) És (z n ) konvergálnak a és -hozz, akkor az egyenlőséglim(tól től n z n ) = c z, lim(tól től n · z n ) = c· z. Ha ez bizonyosan ismertznem egyenlő 0-val, akkor az egyenlőség
.

számok trigonometrikus formában.

De Moivre formula

Legyen z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) és z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

A komplex számok trigonometrikus alakja kényelmesen használható szorzás, osztás, egész hatványra emelés és n fokú gyök kinyerésének műveleteihez.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

Két komplex szám szorzásakor trigonometrikus formában moduljaikat megszorozzák és argumentumaikat összeadják. Osztásakor moduljaikat felosztják és argumentumaikat kivonják.

A komplex számok szorzására vonatkozó szabály következménye a komplex szám hatványra emelésének szabálya.

z = r(cos  + i sin ).

z n \u003d r n (cos n + isin n).

Ezt az arányt ún De Moivre képlete.

8.1. példa Keresse meg a szorzatot és a számok hányadosát:

És

Megoldás

z1∙z2
∙

=

;

8.2. példa Írj egy számot trigonometrikus formában!

∙
-i) 7.

Megoldás

Jelöli
és z 2 =
– i.

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = argz 1 = arctg ;

z1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 2 7
=

2 9

9. § Komplex szám gyökének kinyerése

Meghatározás. gyökérnkomplex szám hatványa z (jelöli
) egy w komplex szám, amelyre w n = z. Ha z = 0, akkor
= 0.

Legyen z  0, z = r(cos + isin). Jelölje w = (cos + sin), majd írjuk fel a w n = z egyenletet a következő formában

 n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).

Ezért  n = r,

 =

Így w k =
·
.

Ezen értékek között pontosan n különböző érték található.

Ezért k = 0, 1, 2, …, n – 1.

A komplex síkon ezek a pontok egy sugarú körbe írt szabályos n-szög csúcsai.
középpontja az O pont (12. ábra).

12. ábra

9.1. példa Keresse meg az összes értéket
.

Megoldás.

Ezt a számot ábrázoljuk trigonometrikus formában. Keresse meg a modulusát és az argumentumát.

w k =
, ahol k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

Az összetett síkon ezek a pontok egy sugarú körbe írt négyzet csúcsai
középpontjában az origó (13. ábra).

13. ábra 14. ábra

Példa 9.2 Keresse meg az összes értéket
.

Megoldás.

z = - 64 = 64(cos + isin);

w k =
, ahol k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w4 =
; w 5 =
.

A komplex síkon ezek a pontok egy szabályos hatszög csúcsai, amelyek egy 2 sugarú körbe íródnak, és az O (0; 0) pont középpontjában áll - 14. ábra.

10. § A komplex szám exponenciális alakja.

Euler képlet

Jelöli
= cos  + isin  és
= cos  - isin  . Ezeket az arányokat ún Euler-képletek .

Funkció
rendelkezik az exponenciális függvény szokásos tulajdonságaival:

Írjuk fel a z komplex számot z = r(cos + isin) trigonometrikus alakban.

Az Euler-képlet segítségével felírhatjuk:

z = r
.

Ezt a bejegyzést ún tájékoztató formaösszetett szám. Használatával megkapjuk a szorzás, osztás, hatványozás és gyökkivonás szabályait.

Ha z 1 = r 1
és z 2 = r 2
?azután

z 1 z 2 = r 1 r 2
;

·

z n = r n

, ahol k = 0, 1, … , n – 1.

10.1. példaÍrj egy számot algebrai formában!

z=
.

Megoldás.

Példa 10.2 Oldja meg a z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0 egyenletet.

Megoldás.

Bármely összetett együttható esetén ennek az egyenletnek két gyöke van: z 1 és z 1 (esetleg egybeesik). Ezeket a gyökereket ugyanazzal a képlettel találhatjuk meg, mint a valós esetben. Mivel
két értéket vesz fel, amelyek csak előjelben különböznek egymástól, akkor ez a képlet a következő:

Mivel –9 \u003d 9 e  i, akkor az értékek
a számok a következők lesznek:

Azután
És
.

10.3. példa Oldja meg a z 3 +1 = 0 egyenleteket; z 3 = - 1.

Megoldás.

Az egyenlet kívánt gyöke az értékek lesznek
.

Z = –1 esetén r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Feladatok

9 Mutassa be exponenciális formában a számokat:

b) +i;	G) .

10 Írja be a szám exponenciális és algebrai alakjában:

de)	ban ben)
b)	d) 7(cos0 + isin0).

11 Írja le algebrai és geometriai alakzatokkal a számokat:

de)

b)

ban ben)

G)

12 Adott számok

Határozzuk meg őket exponenciális formában
.

13 Egy komplex szám exponenciális alakját használva tegye a következőket:

de)
b)

ban ben)
G)

e)
	.