Számkör a koordináta síkon. Számkör

A 10. évfolyamon sok időt szentelnek a számkörnek. Ez annak köszönhető, hogy ennek a matematikai objektumnak a matematika egész lefolyása szempontjából jelentősége van.

A taneszközök helyes kiválasztása nagyon fontos az anyag jó asszimilációjához. A leghatékonyabb ilyen eszközök közé tartoznak a videó oktatóanyagok. Mostanában elérték a népszerűségük csúcsát. Ezért a szerző nem maradt el az időktől, és egy ilyen csodálatos kézikönyvet dolgozott ki a matematika tanárainak segítésére - egy oktatóvideót a témában "Számkör Koordináta sík».

Ez az óra 15:22 percet vesz igénybe. Gyakorlatilag ez az a maximális idő, amelyet a tanár egy adott témában önmagyarázó anyaggal tölthet. Mivel ennyi időbe telik az új anyag elmagyarázása, ki kell választani a leghatékonyabb feladatokat és gyakorlatokat a konszolidációhoz, és ki kell emelni egy másik leckét is, ahol a diákok megoldják a témával kapcsolatos feladatokat.

A lecke egy számkör rajzolásával kezdődik egy koordináta -rendszerben. A szerző felépíti ezt a kört, és elmagyarázza tetteit. Ezután a szerző megnevezi a számkör metszéspontjait a koordináta -tengelyekkel. Az alábbiakban elmagyarázzuk, hogy milyen koordináták lesznek a kör pontjai a különböző negyedekben.

Ezt követően a szerző felidézi, hogyan néz ki egy kör egyenlete. És a hallgatóknak két modellt mutatnak be, amelyek egy kör néhány pontjának képét mutatják. Ennek köszönhetően a következő lépésben a szerző megmutatja, hogyan találhatók meg a kör pontjainak a koordinátái, amelyek megfelelnek a sablonokon megjelölt bizonyos számoknak. Ez egy táblázatot ad a kör egyenletében szereplő x és y változók értékeiről.

Ezenkívül javasoljuk, hogy fontolja meg egy példát, ahol meg kell határozni a kör pontjainak koordinátáit. Mielőtt elkezdené megoldani a példát, bevezetünk néhány megjegyzést, amely segít a megoldásban. És ekkor egy teljes, jól felépített és illusztrált megoldás jelenik meg a képernyőn. Itt vannak táblázatok is, amelyek megkönnyítik a példa lényegének megértését.

Ezután további hat példát veszünk figyelembe, amelyek kevésbé fáradságosak, mint az első, de nem kevésbé fontosak és tükrözik a lecke fő gondolatát. Itt a megoldások teljes terjedelmében, részletes történettel és vizuális elemekkel kerülnek bemutatásra. Ugyanis a megoldás a megoldás menetét illusztráló képeket és a tanulók matematikai műveltségét formáló matematikai jelölést tartalmaz.

A tanár azokra a példákra szorítkozhat, amelyeket az órán figyelembe vesznek, de ez nem elegendő az anyag magas színvonalú asszimilációjához. Ezért rendkívül fontos a konszolidációhoz szükséges feladatok kiválasztása.

Az óra nemcsak a tanárok számára lehet hasznos, akiknek ideje állandóan korlátozott, hanem a diákoknak is. Különösen azok számára, akik családi oktatásban részesülnek, vagy önképzésben vesznek részt. Az anyagokat azok a tanulók használhatják, akik lemaradtak a leckéről ebben a témában.

SZÖVEGKÓD:

A lecke témája: "SZÁMKÖR A KOORDINÁTUS SÍKBAN"

Már ismerjük az xOy derékszögű derékszögű koordinátarendszert. Ebben a koordináta -rendszerben úgy helyezzük el a numerikus kört, hogy a kör középpontja igazodjon az origóhoz, és sugara skálaszegmensként kerüljön felvételre.

A számkör A kiindulópontja az (1; 0) koordinátákkal rendelkező ponttal, B - a (0; 1) ponttal, C - (-1; 0) (mínusz egy, nulla) és D - (0; - 1) (nulla, mínusz eggyel).

(lásd 1. kép)

Mivel a számkör minden pontjának megvannak a koordinátái az xOy rendszerben (x a játékról), akkor az első negyed pontjai esetén az ikx nagyobb nullánál, a játék pedig nullánál nagyobb;

Az ikh második negyede nullánál kisebbés a játék nagyobb, mint a nulla,

a harmadik negyedév pontjai esetén ikx kisebb nullánál, y pedig nullánál kisebb,

és a negyedik negyedévben ik nagyobb nullánál, és ig kisebb nullánál

A számkör bármely E (x; y) pontjában (x, y koordinátákkal) a -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 egyenlőtlenségek teljesülnek (x nagyobb vagy egyenlő mínusz eggyel, de kisebb vagy egyenlő; a játék nagyobb, mint bármelyik egyenlő mínusz eggyel, de kevesebb vagy egyenlő eggyel).

Emlékezzünk vissza, hogy az R sugarú kör egyenlete az origó középpontjában x 2 + y 2 = R 2 (x négyzet plusz y négyzet egyenlő er négyzet). És az egységkörre R = 1, tehát x 2 + y 2 = 1

(x négyzet plusz ig négyzet egyenlő).

Keressük meg a numerikus kör pontjainak koordinátáit, amelyeket két elrendezésben mutatunk be (lásd 2., 3. ábra)

Legyen a megfelelő E pont

(pi négyszer) - az első negyedév közepe az ábrán látható. Az E ponttól ejtjük az EK merőlegeset az OA egyenesre, és tekintsük az OEK háromszöget. AOE szög = 45 0, mivel az AE ív az AB ív fele. Következésképpen az OEK háromszög egyenlő szárú téglalap alakú háromszög, OK = EK. Ez azt jelenti, hogy az E pont abszcissza és ordinátája egyenlő, azaz x egyenlő y -val. Az E pont koordinátáinak megtalálásához oldjuk meg az egyenletrendszert: (x egyenlő igrek -el - a rendszer első egyenlete és x a négyzet plusz az igr négyzet egy - a rendszer második egyenlete). a rendszer második egyenlete x helyett y helyettesítője 2y 2 = 1 (két játék négyzete egyenlő eggyel), honnan y = = (a játék egyenlő egy osztva kettő gyökével egyenlő a kettő gyökére osztva kettővel) (az ordináta pozitív). Ez azt jelenti, hogy a téglalap alakú koordinátarendszerben az E pontnak vannak koordinátái (,) (kettő gyöke kettővel osztva, kettő gyöke osztva kettővel).

Hasonló módon érvelve megkeressük az első elrendezés más számaihoz tartozó pontok koordinátáit, és megkapjuk: a (-,) koordinátákkal rendelkező pont megfelel (mínusz kettő gyöke kettővel osztva, kettő osztva kettővel); mert -( -, -) (mínusz kettő gyökere osztva kettővel, mínusz kettő gyökere osztva kettővel); mert (hét pi négyszer) (,) (kettő gyökere osztva kettővel, mínusz kettő gyökere osztva kettővel).

A D pont feleljen meg (5. ábra). Hagyjuk el a merőleget DP (de ne) -től OA -ig, és tekintsük az ODP háromszöget. Ennek az OD háromszögnek a hipotenúza megegyezik az egységkör sugarával, azaz egy, és a DOP szög harminc fok, mivel az ív AD = digi AB (a de egyenlő a harmada), és az AB ív kilencven fok. Ezért DP = (de pe egyenlő egy másodperccel egy másodpercig). A Pitagorasz -tételt alkalmazva OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe négyzet egyenlő o de négyzet mínusz de pe négyzet), de OR = x (o pe egyenlő x). Ezért x 2 = OD 2 - DP 2 =

tehát x 2 = (x négyzet egyenlő háromnegyeddel) és x = (x egyenlő három gyöke kettővel).

X pozitív, mert az első negyedévben van. Megkaptuk, hogy egy téglalap alakú koordináta -rendszerben a D pontnak van koordinátája (,) három gyöke osztva kettővel, egy másodperccel.

Hasonló módon érvelve megkeressük a második elrendezés más számának megfelelő pontok koordinátáit, és az összes kapott adatot táblázatokba írjuk:

Nézzünk néhány példát.

1. példa. Keresse meg a numerikus kör pontjainak koordinátáit: a) С 1 ();

b) C2 (); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse egy harmincöt pi-nek négyszer felel meg, tse kettő mínusz negyvenkilenc pi-nek hárommal, tse három negyvenegy pi-nek, tse négy mínusz huszonhat pi-nek felel meg).

Megoldás. A korábban kapott állítást fogjuk használni: ha a számkör D pontja megfelel a t számnak, akkor ez megfelel a t + 2πk alakú tetszőleges számnak is (te plusz két csúcs), ahol ka bármely egész szám, azaz kϵZ (ka a zethez tartozik).

a) Kapjuk = ∙ π = (8 +) ∙ π = + 2π ∙ 4 pi szerint három pi négyszer plusz két pi négyszerese szorzat) Ez azt jelenti, hogy a harmincöt pi négyes szám a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a három pi négyes számnak. Az 1. táblázat segítségével kapjuk a С 1 () = С 1 (-;) értéket.

b) Hasonlóképpen, a С 2 koordináták: = ∙ π = - (16 + ∙ π = + 2π ∙ ( - 8). Ezért a szám

a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a szám. És a számkörön lévő szám megegyezik a számmal

(a második elrendezés és a 2. táblázat megjelenítése). Egy ponthoz x =, y =.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Ezért a 41π szám a numerikus kör ugyanazon pontjának felel meg, mint a π szám - ez egy pont (-1; 0).

d) - 26π = 0 + 2π ∙ ( - 13), vagyis a - 26π szám a numerikus kör ugyanazon pontjának felel meg, mint a nulla szám - ez egy pont koordinátákkal (1; 0).

2. példa Keresse meg a számkörön az y = ordinátájú pontokat

Megoldás. Az y egyenes = két pontban metszi a számkört. Egy pont egy számnak felel meg, a második pont egy számnak,

Ezért minden pontot úgy kapunk meg, hogy hozzáadunk egy 2πk fordulatot, ahol k megmutatja, hogy mennyit teljes forradalmak pontot tesz, azaz kapunk,

és tetszőleges szám esetén az űrlap + 2πk összes számát. Gyakran ilyen esetekben azt mondják, hogy két értéksorozatot kaptunk: + 2πk, + 2πk.

3. példa Keresse meg a számkörön az x = abszcisszájú pontokat, és írja le, hogy melyik t számnak felel meg.

Megoldás. Egyenes NS= két pontban metszi a számkört. Egy pont egy számnak felel meg (lásd a második elrendezést),

és ebből adódóan az űrlap tetszőleges száma + 2πk. A második pont pedig egy számnak felel meg, tehát a + 2πk alakú tetszőleges számnak. Ez a két értéksor lefedhető egy rekorddal: ± + 2πk (plusz mínusz két pi három plusz két csúccsal).

PÉLDA 4. Keresse meg a számozott körön az ordináttal ellátott pontokat nál nél> és írja le, hogy melyik számnak felel meg.

Az y egyenes = metszi a számkört két M és P pontban. Az y> egyenlőtlenség pedig az MP nyitott ív pontjainak felel meg, ez azt jelenti, hogy ívek vége nélkül (azaz u nélkül), amikor a körön az óramutató járásával ellentétesen mozognak , az M pontból kiindulva és a P pontban fejeződik be. Ezért az МР ív analitikus ábrázolásának magja az egyenlőtlenség< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

5. példa. Keressen pontokat ordinátával egy számkörön nál nél < и записать, каким числам t они соответствуют.

Az y = egyenes metszeti a számkört két M és P pontban, és az y egyenlőtlenséget< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

6. példa Keresse meg a számkörön abszcisszával rendelkező pontokat NS> és írja le, hogy melyik számnak felel meg.

Az x = egyenes metszeti a számkört két M és P pontban. Az x> egyenlőtlenség a PM nyitott ív pontjainak felel meg, amikor a kör körül az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, a kezdet a P pontban, és az M pontban végződik. , ami megfelel. Ennélfogva a PM ív elemző jelölésének magja az egyenlőtlenség< t <

(te több mint mínusz két pi háromszor, de kevesebb, mint két pi háromszor), és maga az ív analitikai rekordja + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

7. PÉLDA Keresse meg a számkörön abszcisszával rendelkező pontokat NS < и записать, каким числам t они соответствуют.

Az x egyenes = metszi a számkört két M és P pontban. X egyenlőtlenség< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te több mint két pi háromszor, de kevesebb, mint négy pi háromszor), és az ív elemzési rekordja + 2πk alakú< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

A magánélet fontos számunkra. Ezért kidolgoztunk egy adatvédelmi irányelvet, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi irányelveinket, és ha kérdése van, tudassa velünk.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra utalnak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Bármikor felkérhetjük Önt, hogy adja meg személyes adatait, amikor kapcsolatba lép velünk.

Az alábbiakban néhány példa látható, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Ha kérelmet hagy az oldalon, különböző információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e -mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba lépjünk Önnel, és egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről számoljunk be.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és üzenetek küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok elvégzésére, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk az általunk nyújtott szolgáltatásokat, és javaslatokat tegyünk Önnek a szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyen vagy hasonló promóciós eseményen, akkor az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk a programok adminisztrálására.

Információk közzététele harmadik feleknek

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Ha szükséges - a törvénnyel, bírósági végzéssel, bírósági eljárásban és / vagy az Orosz Föderáció területén található állami hatóságok nyilvános kérései vagy kérései alapján - személyes adatainak közzététele. Továbbá nyilvánosságra hozhatunk Önről információkat, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen közzététel biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb társadalmilag fontos okokból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy értékesítés esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk egy megfelelő harmadik félnek - a jogutódnak.

A személyes adatok védelme

Teszünk óvintézkedéseket - beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai - is, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint az illetéktelen hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A vállalati szinten tiszteletben kell tartani a magánéletét

Annak érdekében, hogy személyes adatai biztonságban legyenek, a titoktartási és biztonsági szabályokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan nyomon követjük a titoktartási intézkedések végrehajtását.

Számkör Egy egységkör, amelynek pontjai bizonyos valós számoknak felelnek meg.

Az egységkör 1 sugarú kör.

A számkör általános nézete.

1) Sugárát mértékegységként vesszük.

2) A vízszintes és függőleges átmérők a számkört négy negyedre osztják (lásd az ábrát). Ezeket első, második, harmadik és negyedik negyedévnek nevezik.

3) A vízszintes átmérőt AC jelöléssel látjuk el, A a jobb szélső pont.
A függőleges átmérőt BD jelöli, B a legmagasabb pont.
Illetőleg:

az első negyedév az AB ív

második negyedév - ív Kr. e

harmadik negyedév - íves CD

negyedik negyedév - ív DA

4) A számkör kezdőpontja az A pont.

A számlálás a számkör mentén az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes irányban is elvégezhető.
Visszaszámlálás az A pontból az óramutató járásával ellentétes irányban pozitív irányba.
Az A pontból az óramutató járásával megegyező irányban történő olvasást hívjuk negatív irányba.

Számkör a koordináta síkon.

A számkör sugarának középpontja megfelel az origónak (0 szám).

A vízszintes átmérő megfelel a tengelynek x, függőleges - tengelyek y.

A számkör A kezdőpontja a tengelyen van xés rendelkezik koordinátákkal (1; 0).

Az értékekxésy számkörök negyedében:

A számkör alapértékei:

A számkör fő pontjainak neve és helye:

Hogyan kell megjegyezni a számkör nevét.

Van néhány egyszerű minta, amelyek segítenek könnyen megjegyezni a számkör alapneveit.

Mielőtt elkezdenénk, emlékezzünk: a számlálást pozitív irányban, azaz az A (2π) pontból az óramutató járásával ellentétes irányban hajtjuk végre.

1) Kezdjük a koordináta tengelyek szélső pontjaival.

A kiindulási pont 2π (a tengely jobb szélső pontja) NS egyenlő 1).

Mint tudod, 2π a kerülete. Ez azt jelenti, hogy a kör fele 1π vagy π. Tengely NS felére osztja a kört. Ennek megfelelően a tengely bal szélső pontja NS egyenlő -1 -nek nevezzük π.

A tengely legmagasabb pontja nál nél 1 -gyel felezi a felső félkört felére. Tehát, ha a félkör π, akkor a félkör fele π / 2.

Ugyanakkor a π / 2 egy negyed kör is. Három ilyen negyedet számolunk az elsőtől a harmadikig - és elérjük a tengely legalacsonyabb pontját nál nél egyenlő -1. De ha háromnegyed részt tartalmaz, akkor a neve 3π / 2.

2) Most térjünk át a többi pontra. Kérjük, vegye figyelembe: minden ellentétes pont azonos számlálóval rendelkezik - és ezek ellentétes pontok és a tengelyhez képest nál nél, valamint a tengelyek középpontjához és a tengelyhez képest NS... Ez segít abban, hogy zsúfolás nélkül megismerjük pontértéküket.

Csak emlékeznie kell az első negyedév pontjainak jelentésére: π / 6, π / 4 és π / 3. És akkor "látunk" néhány mintát:

- Az y tengelyről a második negyed pontjain, szemben az első negyedév pontjaival, a számlálók számai 1 -gyel kisebbek, mint a nevezők értékei. Vegyük például a π / 6 pontot. Ellenkező pontja a tengelyhez képest nál nél szintén 6 van a nevezőben, és 5 a számlálóban (1 kevesebb). Vagyis ennek a pontnak a neve: 5π / 6. A π / 4 -gyel ellentétes pontban a nevezőben 4, a számlálóban 3 (1 -nél kevesebb, mint 4) - vagyis ez a 3π / 4 pont.
A π / 3 -val ellentétes pontban a nevezőben 3, a számlálóban 1 -gyel kevesebb: 2π / 3.

- A koordináta tengelyek középpontjáról az ellenkezője igaz: az ellentétes pontok számlálóiban (a harmadik negyedévben) a számok 1 -gyel többek, mint a nevezők értéke. Vegye ismét a π / 6 pontot. A vele ellentétes pont a középponthoz képest szintén 6 a nevezőben, és a számlálóban lévő szám 1 -gyel több - azaz 7π / 6.

A π / 4 ponttal ellentétes pontban is 4 van a nevezőben, és a számlálóban a szám 1 -gyel több: 5π / 4.
A π / 3 ponttal ellentétes pontban a nevezőben is 3 van, a számlálóban pedig 1 -gyel több: 4π / 3.

- A tengelyről NS(negyedik negyed) a dolog bonyolultabb. Itt hozzá kell adnia egy számot a nevező értékéhez, amely 1 -gyel kevesebb - ez az összeg megegyezik az ellenkező pont számlálójának numerikus részével. Kezdjük újra a π / 6 -tal. Adjuk hozzá a 6 nevezőhöz egy számot, amely 1 -gyel kisebb ennél a számnál - azaz 5. Kapjuk: 6 + 5 = 11. Ez azt jelenti, hogy a tengelyhez képest ellenkezője NS a pontban a nevezőben 6, a számlálóban 11 lesz - azaz 11π / 6.

Π / 4 pont. A nevező értékéhez hozzáadjuk a számot eggyel kevesebbel: 4 + 3 = 7. Ez azt jelenti, hogy a tengelyhez képest ellentétes vele NS a pont a 4 nevezőben és a 7 számlálóban van, azaz 7π / 4.
Π / 3 pont. A nevező 3. Adjunk eggyel kevesebb számot a 3 -hoz - vagyis a 2. -et kapjuk. Ez azt jelenti, hogy az ellenkező pontban 5 van a számlálóban - és ez az 5π / 3 pont.

3) Még egy minta a negyedek közepe pontjaihoz. Világos, hogy nevezőjük 4. Ügyeljen a számlálókra. Az első negyed közepének számlálója 1π (de nem szokás 1 -et írni). A második negyed közepének számlálója 3π. A harmadik negyed közepének számlálója 5π. A negyedik negyed közepének számlálója 7π. Kiderül, hogy a negyedek közepének számlálóiban az első négy páratlan szám szerepel növekvő sorrendben:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Ez is nagyon egyszerű. Mivel minden negyed középpontjában 4 van a nevezőben, már tudjuk a teljes nevüket: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.

A számkör jellemzői. Összehasonlítás a számsorral.

Mint tudod, a számegyenesen minden pont egyetlen számnak felel meg. Például, ha egy egyenes A pontja 3, akkor már nem lehet más számmal egyenlő.

A számkörön minden más, mivel ez egy kör. Például, hogy eljusson a kör A pontjából az M pontba, megteheti, mint egy egyenes vonalon (csak egy ív áthaladása után), vagy megkerülheti az egész kört, majd eljuthat az M ponthoz. Következtetés:

Legyen M pont egyenlő valamilyen t számmal. Mint tudjuk, a kerület 2π. Ez azt jelenti, hogy a t kör pontját kétféleképpen írhatjuk fel: t vagy t + 2π. Ezek egyenértékű értékek.
Vagyis t = t + 2π. Az egyetlen különbség az, hogy az első esetben azonnal az M ponthoz érkeztél, anélkül, hogy kört csináltál volna, a második esetben pedig kört kötöttél, de végül ugyanazon az M ponton kötöttél ki. Van kettő, három és kettő száz ilyen kör .... Ha a körök számát a betűvel jelöli k, akkor új kifejezést kapunk:
t = t + 2π k.

Ezért a képlet:

Számkör -egyenlet
(a második egyenlet a "Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens" szakaszban található):

x 2 + y 2 = 1

Ha egy egységszámkört egy koordináta síkra helyez, akkor megtalálja a pontjaihoz tartozó koordinátákat. A számkör úgy van elhelyezve, hogy középpontja egybeesik a sík kiindulási pontjával, vagyis az O ponttal (0; 0).

Általában az egységszám körön a körön lévő pontok az eredetből származnak

• negyed - 0 vagy 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• negyedév közepén - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• a negyedek harmada - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

A koordináta síkon, amelyen az egységkör fenti helye látható, megtalálhatja a kör ezen pontjainak megfelelő koordinátákat.

A negyedek végeinek koordinátái nagyon könnyen megtalálhatók. A kör 0 pontjában az x koordináta 1, y pedig 0. Jelölhető A (0) = A (1; 0).

Az első negyedév vége a pozitív y tengelyen lesz. Ezért B (π / 2) = B (0; 1).

A második negyed vége a negatív abszcisszán van: C (π) = C (-1; 0).

A harmadik negyed vége: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

De hogyan találja meg a negyedek középpontjainak koordinátáit? Ehhez építsen derékszögű háromszöget. A hipotenúza egy szegmens a kör középpontjától (vagy eredetétől) a negyedkör közepéig. Ez a kör sugara. Mivel a kör egység, a hipotenúz 1. Ezután a kör pontjából merőlegeset húzunk bármelyik tengelyre. Legyen az x tengely felé. Kiderül egy derékszögű háromszög, amelynek lábainak hossza a kör pontjának x és y koordinátája.

A negyed kör 90º. Fél negyede pedig 45 fok. Mivel a hypotenuse a negyed közepének pontjához van húzva, a hypotenuse és az origóból kinyúló láb közötti szög 45º. De bármely háromszög szögeinek összege 180º. Ezért a hypotenuse és a másik láb közötti szög is 45º. Kiderül, hogy egyenlő szárú háromszög.

A Pitagorasz -tételből megkapjuk az x 2 + y 2 = 1 2 egyenletet. Mivel x = y és 1 2 = 1, az egyenlet x 2 + x 2 = 1 -re egyszerűsödik. Megoldásával x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2 kapunk.

Így a pont koordinátái M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

A többi negyed középpontjának pontjainak koordinátáiban csak a jelek változnak, és az értékek modulusai változatlanok maradnak, mivel a derékszögű háromszög csak megfordul. Kapunk:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

A kör negyedének harmadik részeinek koordinátáinak meghatározásakor derékszögű háromszöget is felépítünk. Ha a π / 6 pontot vesszük, és merőlegeset rajzolunk az x tengelyre, akkor a hypotenuse és az x tengelyen fekvő láb közötti szög 30º lesz. Ismeretes, hogy a 30 fokos szöggel szemben fekvő láb egyenlő a hypotenuse felével. Tehát megtaláltuk az y-koordinátát, ez ½.

Ismerve a hypotenuse és az egyik láb hosszát, a Pitagorasz -tétel szerint találunk egy másik lábat:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2

Így T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).

Az első negyedév második harmadának pontjára (π / 3) jobb, ha a tengelyre merőlegeset az y tengelyre rajzoljuk. Ekkor a kiindulási szög is 30º lesz. Itt az x koordináta ½, y pedig √3 / 2 lesz: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).

A harmadik negyedév többi pontján a koordináta -értékek jelei és sorrendje megváltozik. Minden pont, amely közelebb van az x tengelyhez, x-koordinátás modulus lesz √3 / 2. Azok a pontok, amelyek közelebb vannak az y tengelyhez, y-értékük √3 / 2 lesz abszolút értékben.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)

A prezentációk előnézetének használatához hozzon létre egy Google -fiókot (fiókot), és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Számkör a koordináta síkban

Ismételjük meg: Az egységkör egy számkör, amelynek sugara 1. R = 1 C = 2 π + - y x

Ha a számkör M pontja a t számnak felel meg, akkor a t + 2 π k alakú számnak is megfelel, ahol k bármely egész szám (k ϵ Z). M (t) = M (t + 2 π k), ahol k ϵ Z

Alapvető elrendezések Első elrendezés 0 π y x Második elrendezés y x

x y 1 A (1, 0) B (0, 1) C ( - 1, 0) D (0, -1) 0 x> 0 y> 0 x 0 x 0 y

Keressük meg a pontnak megfelelő M pont koordinátáit. 1) 2) x y M P 45 ° O A

Az első elrendezés fő pontjainak koordinátái 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A Keresse meg a pontnak megfelelő M pont koordinátáit. 1) 2) 30 °

М P Keressük meg a pontnak megfelelő М pont koordinátáit. 1) 2) 30 ° x y O A B

A szimmetria tulajdonság segítségével megtaláljuk azoknak a pontoknak a koordinátáit, amelyek y x többszörösei

A második elrendezés fő pontjainak koordinátái x y x y y x

Példa Keresse meg egy pont koordinátáit egy számkörön. Megoldás: P y x

Példa Keresse meg a pontokat az ordináttal a számkörön Megoldás: y x ​​x y x y

Gyakorlatok: Keresse meg a numerikus kör pontjainak koordinátáit: a), b). Keresse meg az abszcisszával rendelkező pontokat a számkörön.

A főpontok koordinátái 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 Az első elrendezés főpontjainak koordinátái xyxy A fő koordinátái a második elrendezés pontjai

A témáról: módszertani fejlesztések, előadások és jegyzetek

Didaktikai anyag az algebráról és az elemzés elveiről a 10. osztályban (profil szint) "Numerikus kör a koordinátasíkon"

1.1. Opció. Keressen egy pontot a számkörön: A) -2∏ / 3B) 72. A számkör melyik negyede tartozik a 16.3. Ponthoz.