Számkör a koordinátasíkon. Trigonometrikus kör

Meghatározás... Ha a számkör M pontja megfelel a t számnak, akkor az M pont abszcisszáját a t szám koszinuszának nevezzük, és jelöljük cos t, és az M pont ordinátáját a t szám szinuszának nevezzük, és jelöljük sin t.
Ha M (t) = M (x; y), akkor x = költség, y = szintetikus.

A 10. osztályban sok időt szentelnek a számkörnek. Ez annak köszönhető, hogy ennek a matematikai objektumnak a matematika egész lefolyása szempontjából jelentősége van.

A taneszközök helyes kiválasztása nagyon fontos az anyag jó asszimilációjához. A leghatékonyabb ilyen eszközök közé tartoznak a videó oktatóanyagok. Nemrégiben elérték népszerűségük csúcsát. Ezért a szerző nem maradt el az időktől, és egy ilyen csodálatos kézikönyvet dolgozott ki a matematika tanárainak segítésére - egy videó bemutatót a "Számkör a koordinátasíkon" témában.

Ez az óra 15:22 percet vesz igénybe. Gyakorlatilag ez az a maximális idő, amelyet egy tanár egy adott témára vonatkozó, magától értetődő anyagra fordíthat. Mivel ennyi időbe telik az új anyagok elmagyarázása, ki kell választani a leghatékonyabb feladatokat és gyakorlatokat a konszolidációhoz, és ki kell emelni egy másik leckét is, ahol a diákok megoldják a témával kapcsolatos feladatokat.

A lecke egy számkör rajzolásával kezdődik egy koordináta -rendszerben. A szerző felépíti ezt a kört, és elmagyarázza tetteit. Ezután a szerző megnevezi a számkör metszéspontjait a koordináta -tengelyekkel. Az alábbiakban elmagyarázzuk, hogy milyen koordináták lesznek a kör pontjai a különböző negyedekben.

Ezt követően a szerző felidézi, hogyan néz ki egy kör egyenlete. És a hallgatóknak két modellt mutatnak be, amelyek egy kör néhány pontjának képét mutatják. Ennek köszönhetően a következő lépésben a szerző megmutatja, hogyan találhatók meg a kör pontjainak koordinátái, amelyek megfelelnek a sablonokon megjelölt bizonyos számoknak. Ez egy táblázatot ad a kör egyenletében szereplő x és y változók értékeiről.

Továbbá azt javasoljuk, hogy vegyenek figyelembe egy példát, ahol meg kell határozni a kör pontjainak koordinátáit. Mielőtt elkezdené megoldani a példát, bevezetünk néhány megjegyzést, amely segít a megoldásban. És ekkor egy teljes, jól felépített és illusztrált megoldás jelenik meg a képernyőn. Vannak táblázatok is, amelyek megkönnyítik a példa lényegének megértését.

Ezután további hat példát veszünk figyelembe, amelyek kevésbé fáradságosak, mint az első, de nem kevésbé fontosak és tükrözik a lecke fő gondolatát. Itt a megoldások teljes terjedelmében, részletes történettel és vizuális elemekkel kerülnek bemutatásra. Ugyanis a megoldás a megoldás menetét illusztráló képeket és a tanulók matematikai műveltségét képező matematikai rekordot tartalmaz.

A tanár azokra a példákra szorítkozhat, amelyeket az órán figyelembe vesznek, de ez nem elegendő az anyag magas színvonalú asszimilációjához. Ezért rendkívül fontos a konszolidációhoz szükséges feladatok kiválasztása.

Az óra nemcsak a tanárok számára lehet hasznos, akiknek ideje állandóan korlátozott, hanem a diákoknak is. Különösen azok számára, akik családi oktatásban részesülnek, vagy önképzésben vesznek részt. Az anyagokat azok a tanulók használhatják, akik lemaradtak a leckéről ebben a témában.

SZÖVEGKÓD:

A lecke témája: "SZÁMKÖR A KOORDINÁTUS SÍKBAN"

Már ismerjük az xOy derékszögű derékszögű koordinátarendszert. Ebben a koordináta -rendszerben úgy helyezzük el a numerikus kört, hogy a kör középpontja igazodjon az origóhoz, és sugara skálaszegmensként kerüljön felvételre.

A számkör A kiindulópontja az (1; 0) koordinátákkal rendelkező ponttal, B - a (0; 1) ponttal, C - (-1; 0) (mínusz egy, nulla) és D - (0; - 1) (nulla, mínusz eggyel).

(lásd 1. kép)

Mivel a számkör minden pontjának megvannak a koordinátái az xOy rendszerben (x a játékról), akkor az első negyed pontjai esetén az ikx nagyobb nullánál, a játék pedig nullánál nagyobb;

Az ikh második negyedében nullánál kisebbés a játék nagyobb, mint a nulla,

a harmadik negyedév pontjai esetén ikx kisebb nullánál, és y kisebb nullánál,

és a negyedik negyedévben ik nagyobb nullánál, és ig kisebb nullánál

A számkör bármely E (x; y) pontjában (x, y koordinátákkal) a -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 egyenlőtlenségek teljesülnek (x nagyobb vagy egyenlő mínusz eggyel, de kisebb vagy egyenlő; a játék nagyobb, mint bármelyik egyenlő mínusz eggyel, de kevesebb vagy egyenlő eggyel).

Emlékezzünk vissza, hogy az R sugarú kör egyenlete az origó közepén x 2 + y 2 = R 2 (x négyzet plusz y négyzet egyenlő er négyzet). És az egységkörre R = 1, tehát x 2 + y 2 = 1

(x négyzet plusz ig négyzet egyenlő).

Keressük meg a numerikus kör pontjainak koordinátáit, amelyeket két elrendezésben mutatunk be (lásd 2., 3. ábra)

Legyen a megfelelő E pont

(pi négyig) - az első negyedév közepe az ábrán látható. Az E ponttól ejtjük az EK merőlegeset az OA egyenesre, és tekintsük az OEK háromszöget. AOE szög = 45 0, mivel az AE ív az AB ív fele. Következésképpen az OEK háromszög egyenlő szárú téglalap alakú háromszög, OK = EK. Ez azt jelenti, hogy az E pont abszcissza és ordinátája egyenlő, azaz x egyenlő y -val. Az E pont koordinátáinak megtalálásához megoldjuk az egyenletrendszert: (x egyenlő a játékkal - a rendszer első egyenlete és x a négyzet és a játék négyzete egy - a rendszer második egyenlete). a rendszer második egyenlete x helyett y -t helyettesítünk, 2y 2 = 1 -et kapunk (két játék négyzete egyenlő eggyel), honnan y = = (a játék egyenlő eggyel osztva kettő gyökével egyenlő a kettő gyökével osztva kettővel) (az ordináta pozitív). Ez azt jelenti, hogy a téglalap alakú koordinátarendszer E pontjában vannak koordináták (,) (kettő gyöke osztva kettővel, kettő gyöke osztva kettővel) .

Hasonló módon érvelve megkeressük az első elrendezés más számaihoz tartozó pontok koordinátáit, és megkapjuk: a (-,) koordinátákkal rendelkező pont megfelel (mínusz kettő gyöke kettővel osztva, kettő osztva kettővel); mert -( -, -) (mínusz kettő gyökere osztva kettővel, mínusz kettő gyökere osztva kettővel); mert (hét pi négyszer) (,) (kettő gyökere osztva kettővel, mínusz kettő gyökere osztva kettővel).

A D pont feleljen meg (5. ábra). Hagyjuk a merőleget DP (de ne) -től OA -ig, és tekintsük az ODP háromszöget. Ennek az OD háromszögnek a hipotenúza megegyezik az egységkör sugarával, azaz egy, és a DOP szög harminc fok, mivel az ív AD = digi AB (a de egyenlő a harmada), és az AB ív kilencven fok. Ezért DP = (de pe egyenlő egy másodperccel egy másodperccel egyenlő). A Pitagorasz -tételt alkalmazva OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe négyzet egyenlő o de négyzet mínusz de pe négyzet), de OR = x (o pe egyenlő x). Ezért x 2 = OD 2 - DP 2 =

ennélfogva x 2 = (x négyzet egyenlő háromnegyeddel) és x = (x egyenlő három gyöke kettővel).

X pozitív, mert az első negyedévben van. Megkaptuk, hogy egy téglalap alakú koordináta -rendszerben a D pontnak van koordinátája (,), három gyöke osztva kettővel, egy másodperccel.

Hasonló módon érvelve megtaláljuk a második elrendezés más számaihoz tartozó pontok koordinátáit, és az összes kapott adatot táblázatokba írjuk:

Nézzünk néhány példát.

1. példa. Keresse meg a numerikus kör pontjainak koordinátáit: a) С 1 ();

b) C2 (); c) C3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse egy harmincöt pi-nek négyszer felel meg, tse kettő mínusz negyvenkilenc pi-nek háromszor, tse három negyvenegy pi-nek, tse négy mínusz huszonhat pi-nek felel meg).

Megoldás. A korábban kapott állítást fogjuk használni: ha a számkör D pontja megfelel a t számnak, akkor ez megfelel a t + 2πk alakú tetszőleges számnak is (te plusz két csúcs), ahol ka bármely egész szám, azaz kϵZ (ka a zethez tartozik).

a) Kapjuk = ∙ π = (8 +) ∙ π = + 2π ∙ 4 pi szerint három pi négyszer plusz két pi négyszerese szorzat) Ez azt jelenti, hogy a harmincöt pi négyes szám a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a három pi négyes számnak. Az 1. táblázat segítségével kapjuk a С 1 () = С 1 (-;) értéket.

b) Hasonlóképpen, a С 2 koordináták: = ∙ π = - (16 + ∙ π = + 2π ∙ ( - 8). Ezért a szám

a számkör ugyanazon pontjának felel meg, mint a szám. És a számkörön lévő szám megegyezik a számmal

(Mutassa be a második elrendezést és a 2. táblázatot). Egy ponthoz x =, y =.

c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. Ezért a 41π szám a numerikus kör ugyanazon pontjának felel meg, mint a π szám - ez egy pont (-1; 0).

d) - 26π = 0 + 2π ∙ ( - 13), vagyis a szám - 26π a numerikus kör ugyanazon pontjának felel meg, mint a nulla szám - ez egy pont koordinátákkal (1; 0).

2. példa Keresse meg a számkörön az y = ordinátájú pontokat

Megoldás. Az y egyenes = két pontban metszi a számkört. Egy pont egy számnak felel meg, a második pont egy számnak,

Ezért az összes pontot úgy kapjuk meg, hogy hozzáadunk egy teljes fordulatot 2πk, ahol k megmutatja, hogy egy pont hány teljes fordulatot tesz meg, azaz kapunk,

és bármely szám esetén a + 2πk alakú összes szám. Gyakran ilyen esetekben azt mondják, hogy két értéksorozatot kaptunk: + 2πk, + 2πk.

3. példa Keresse meg a számkörön az x = abszcisszájú pontokat, és írja le, hogy melyik t számnak felel meg.

Megoldás. Egyenes NS= két pontban metszi a számkört. Egy pont egy számnak felel meg (lásd a második elrendezést),

és ebből adódóan az űrlap tetszőleges száma + 2πk. A második pont pedig egy számnak felel meg, tehát a + 2πk alak tetszőleges számának. Ez a két értéksor lefedhető egy rekorddal: ± + 2πk (plusz mínusz két pi három plusz két csúccsal).

4. PÉLDA Keressük meg a számozott körön az ordináttal ellátott pontokat nál nél> és írja le, hogy melyik számnak felel meg.

Az y egyenes = metszi a számkört két M és P pontban. Az y> egyenlőtlenség pedig az MP nyitott ív pontjainak felel meg, ez azt jelenti, hogy ívek vége nélkül (azaz u nélkül), amikor a körön az óramutató járásával ellentétesen mozognak , az M pontból kiindulva és a P pontban fejeződik be. Ezért az МР ív analitikus ábrázolásának magja az egyenlőtlenség< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

5. példa. Keressen pontokat ordinátával egy számkörön nál nél < и записать, каким числам t они соответствуют.

Az y = egyenes metszeti a számkört két M és P pontban, és az y egyenlőtlenséget< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

6. PÉLDA Keresse meg a számkörön abszcisszával rendelkező pontokat NS> és írja le, hogy melyik számnak felel meg.

Az x = egyenes metszeti a számkört két M és P pontban. Az x> egyenlőtlenség a PM nyitott ív pontjainak felel meg, amikor a kör körül az óramutató járásával ellentétes irányban mozog, a kezdet a P pontban, és az M pontban végződik. , ami megfelel. Ennélfogva a PM ív elemző jelölésének magja az egyenlőtlenség< t <

(te több mint mínusz két pi háromszor, de kevesebb, mint két pi háromszor), és maga az ív analitikai rekordja + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

7. példa Keresse meg a számkörön abszcisszával rendelkező pontokat NS < и записать, каким числам t они соответствуют.

Az x egyenes = metszi a számkört két M és P pontban. X egyenlőtlenség< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(te több mint két pi háromszor, de kevesebb, mint négy pi háromszor), és maga az ív analitikai rekordja + 2πk alakú< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).

Ha egy egységszámkört egy koordináta síkra helyez, akkor a pontjaihoz koordináták találhatók. A számkör úgy van elhelyezve, hogy középpontja egybeesik a sík kiindulási pontjával, vagyis az O ponttal (0; 0).

Általában az egységszám körön a körön lévő pontok az eredetétől függően vannak megjelölve

• negyed - 0 vagy 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• negyedév közepén - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• a negyedek harmada - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

A koordináta síkon, amelyen az egységkör fenti helye látható, megtalálhatja a kör ezen pontjainak megfelelő koordinátákat.

A negyedek végeinek koordinátái nagyon könnyen megtalálhatók. A kör 0 pontjában az x koordináta 1, y pedig 0. Jelölhető A (0) = A (1; 0).

Az első negyedév vége a pozitív y tengelyen lesz. Ezért B (π / 2) = B (0; 1).

A második negyed vége a negatív abszcisszán van: C (π) = C (-1; 0).

A harmadik negyed vége: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

De hogyan találja meg a negyedek középpontjainak koordinátáit? Ehhez építsen derékszögű háromszöget. A hipotenúza egy szegmens a kör középpontjától (vagy eredetétől) a negyedkör közepéig. Ez a kör sugara. Mivel a kör egység, a hipotenúz 1. Ezután a kör pontjából merőlegeset húzunk bármelyik tengelyre. Legyen az x tengely felé. Kiderül egy derékszögű háromszög, amelynek lábainak hossza a kör pontjának x és y koordinátája.

A negyed kör 90º. Fél negyede pedig 45 fok. Mivel a hypotenuse a negyed közepének pontjához van húzva, a hypotenuse és az origóból kinyúló láb közötti szög 45º. De bármely háromszög szögeinek összege 180º. Ezért a hypotenuse és a másik láb közötti szög is 45º. Kiderül, hogy egyenlő szárú háromszög.

A Pitagorasz -tételből megkapjuk az x 2 + y 2 = 1 2 egyenletet. Mivel x = y és 1 2 = 1, az egyenlet x 2 + x 2 = 1 -re egyszerűsödik. Megoldásával x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2 kapunk.

Így a pont koordinátái M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

A többi negyed középpontjának pontjainak koordinátáiban csak a jelek változnak, és az értékek modulusai változatlanok maradnak, mivel a derékszögű háromszög csak megfordul. Kapunk:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

A kör negyedének harmadik részeinek koordinátáinak meghatározásakor derékszögű háromszöget is felépítünk. Ha a π / 6 pontot vesszük és merőlegeset rajzolunk az x tengelyre, akkor a hypotenuse és az x tengelyen fekvő láb közötti szög 30º lesz. Ismeretes, hogy a 30 fokos szöggel szemben fekvő láb egyenlő a hypotenuse felével. Ezért megtaláltuk az y koordinátát, ez ½.

Ismerve a hypotenuse és az egyik láb hosszát, a Pitagorasz -tétel szerint találunk egy másik lábat:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3 / 2

Így T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).

Az első negyedév második harmadának pontjára (π / 3) jobb, ha a tengelyre merőlegeset az y tengelyre rajzoljuk. Ekkor a kiindulási szög is 30º lesz. Itt az x koordináta ½, y pedig √3 / 2 lesz: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).

A harmadik negyedév többi pontján a koordináta -értékek jelei és sorrendje megváltozik. Minden pont, amely közelebb van az x tengelyhez, x-koordinátás modulus lesz √3 / 2. Azok a pontok, amelyek közelebb vannak az y tengelyhez, y-értékük √3 / 2 lesz abszolút értékben.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)

Számkör Egy egységkör, amelynek pontjai bizonyos valós számoknak felelnek meg.

Az egységkör 1 sugarú kör.

A számkör általános nézete.

1) Sugárát mértékegységnek vesszük.

2) A vízszintes és függőleges átmérők a számkört négy negyedre osztják (lásd az ábrát). Ezeket első, második, harmadik és negyedik negyedévnek nevezik.

3) A vízszintes átmérőt AC jelöléssel látjuk el, A a jobb szélső pont.
A függőleges átmérőt BD jelöli, B a legmagasabb pont.
Illetőleg:

az első negyedév az AB ív

második negyedév - ív Kr. e

harmadik negyedév - CD ív

negyedik negyedév - ív DA

4) A számkör kezdőpontja az A pont.

A számlálás a számkör mentén az óramutató járásával megegyező és az óramutató járásával ellentétes irányban is elvégezhető.
Visszaszámlálás az A pontból az óramutató járásával ellentétes irányban pozitív irányba.
Az A pontból az óramutató járásával megegyező irányban történő olvasást hívjuk negatív irányba.

Számkör a koordinátasíkon.

A számkör sugarának középpontja megfelel az origónak (0 szám).

A vízszintes átmérő megfelel a tengelynek x, függőleges - tengelyek y.

A számkör A kezdőpontja a tengelyen van xés rendelkezik koordinátákkal (1; 0).

Az értékekxésy számkörök negyedében:

A számkör alapértékei:

A számkör fő pontjainak neve és helye:

Hogyan kell megjegyezni a számkör nevét.

Van néhány egyszerű minta, amelyek segítségével könnyen megjegyezheti a számkör alapneveit.

Mielőtt elkezdenénk, emlékezzünk vissza: a számlálást pozitív irányban, azaz az A (2π) pontból az óramutató járásával ellentétes irányban hajtjuk végre.

1) Kezdjük a koordináta tengelyek szélső pontjaival.

A kiindulási pont 2π (a tengely jobb szélső pontja) NS egyenlő 1).

Mint tudod, 2π a kerülete. Ez azt jelenti, hogy a kör fele 1π vagy π. Tengely NS felére osztja a kört. Ennek megfelelően a tengely bal szélső pontja NS egyenlő -1 -nek π -nek nevezzük.

A tengely legmagasabb pontja nál nél 1 -gyel felezi a felső félkört. Tehát, ha a félkör π, akkor a félkör fele π / 2.

Ugyanakkor a π / 2 egy negyed kör is. Három ilyen negyedet számolunk az elsőtől a harmadikig - és elérjük a tengely legalacsonyabb pontját nál nél egyenlő -1. De ha háromnegyed részt tartalmaz, akkor a neve 3π / 2.

2) Most térjünk át a többi pontra. Kérjük, vegye figyelembe: minden ellentétes pont azonos számlálóval rendelkezik - és ezek ellentétes pontok és a tengelyhez képest nál nél, valamint a tengelyek középpontjához és a tengelyhez képest NS... Ez segít abban, hogy zsúfolás nélkül megismerjük pontértéküket.

Csak emlékeznie kell az első negyedév pontjainak jelentésére: π / 6, π / 4 és π / 3. És akkor "látunk" néhány mintát:

- Az y tengelyről a második negyed pontjain, szemben az első negyedév pontjaival, a számlálók számai 1 -gyel kisebbek, mint a nevezők értékei. Vegyük például a π / 6 pontot. Ellenkező pontja a tengelyhez képest nál nél szintén 6 van a nevezőben, és 5 a számlálóban (1 kevesebb). Vagyis ennek a pontnak a neve: 5π / 6. A π / 4 -gyel ellentétes pontban a nevezőben 4, a számlálóban 3 (1 -nél kevesebb, mint 4) - vagyis ez a 3π / 4 pont.
A π / 3 -val ellentétes pontban a nevezőben 3, a számlálóban 1 -gyel kevesebb: 2π / 3.

- A koordináta tengelyek középpontjáról az ellenkezője igaz: az ellentétes pontok számlálóiban (a harmadik negyedévben) a számok 1 -gyel többek, mint a nevezők értéke. Vegye újra a π / 6 pontot. A vele ellentétes pont a középponthoz képest szintén 6 a nevezőben, és a számlálóban a szám 1 -gyel több - azaz 7π / 6.

A π / 4 ponttal ellentétes pontban a nevezőben is 4 van, és a számlálóban a szám 1 -gyel több: 5π / 4.
A π / 3 ponttal ellentétes pontban a nevezőben is 3 van, a számlálóban pedig 1 -gyel több: 4π / 3.

- A tengelyről NS(negyedik negyed) a dolog bonyolultabb. Itt hozzá kell adnia egy számot a nevező értékéhez, amely 1 -gyel kevesebb - ez az összeg megegyezik az ellenkező pont számlálójának numerikus részével. Kezdjük újra a π / 6 -tal. Adjuk hozzá a 6 nevezőhöz egy számot, amely 1 -gyel kisebb ennél a számnál - azaz 5. Kapjuk: 6 + 5 = 11. Ez azt jelenti, hogy a tengelyhez képest ellenkezője NS a pontban a nevezőben 6, a számlálóban 11 lesz - azaz 11π / 6.

Π / 4 pont. A nevező értékéhez 1: 4 + 3 = 7 -gyel kevesebb számot adunk. Ez azt jelenti, hogy a tengelyhez képest ellentétes vele NS pont a 4 nevezőben és a 7 számlálóban van - azaz 7π / 4.
Π / 3 pont. A nevező 3. Adjunk hozzá egy kisebb számot a 3 -hoz - azaz a 2. -et kapjuk. Tehát az ellenkező pont 5 -ös a számlálóban - és ez az 5π / 3 pont.

3) Még egy minta a negyedek közepe pontjaihoz. Világos, hogy a nevezőjük 4. Ügyeljen a számlálókra. Az első negyed közepének számlálója 1π (de nem szokás 1 -et írni). A második negyed közepének számlálója 3π. A harmadik negyed közepének számlálója 5π. A negyedik negyed közepének számlálója 7π. Kiderül, hogy a negyedek közepének számlálóiban az első négy páratlan szám szerepel növekvő sorrendben:
(1) π, 3π, 5π, 7π.
Nagyon egyszerű is. Mivel minden negyed középpontjában 4 van a nevezőben, már tudjuk a teljes nevüket: π / 4, 3π / 4, 5π / 4, 7π / 4.

A számkör jellemzői. Összehasonlítás a számsorral.

Mint tudod, a számegyenesen minden pont egyetlen számnak felel meg. Például, ha egy egyenes A pontja 3, akkor már nem lehet más számmal egyenlő.

A számkörön minden más, mivel ez egy kör. Például annak érdekében, hogy a kör A pontjából az M pontba érkezzen, megteheti, mint egy egyenes vonalon (csak egy ív áthaladása után), vagy megkerülheti az egész kört, majd eljuthat az M ponthoz. Következtetés:

Legyen M pont egyenlő valamilyen t számmal. Mint tudjuk, a kerület 2π. Ez azt jelenti, hogy a t kör pontját kétféleképpen írhatjuk fel: t vagy t + 2π. Ezek egyenértékű értékek.
Vagyis t = t + 2π. Az egyetlen különbség az, hogy az első esetben azonnal az M ponthoz érkeztél, anélkül, hogy kört csináltál volna, a második esetben pedig kört kötöttél, de végül ugyanabban a pontban kötöttél. Kettő, három és kettő száz ilyen kör .... Ha a körök számát a betűvel jelöli k, akkor új kifejezést kapunk:
t = t + 2π k.

Ezért a képlet:

Számkör -egyenlet
(a második egyenlet a "Szinusz, koszinusz, érintő, kotangens" szakaszban található):