Mi a különbség a tiszta és a keresztirányú hajlítás között? Szilárdsági anyagok tipikus problémáinak megoldása

KN / m intenzitású elosztott teherrel és kN koncentrált nyomatékkal terhelt konzolos gerendákhoz a megengedett kN / cm2 tangenciális feszültség mellett tangenciális feszültségek vannak. A gerenda méretei m; m; m.

Tervezési modell az egyenes keresztirányú hajlítási feladathoz

Rizs. 3.12

A megoldás az "egyenes keresztirányú hajlítás" problémára

Támogató reakciók meghatározása

A vízszintes reakció a beágyazásban nulla, mivel a z irányú külső terhelések nem hatnak a gerendára.

Kiválasztjuk a tömítésben fellépő fennmaradó reaktív erők irányait: irányítsuk a függőleges reakciót például lefelé, a pillanatot pedig az óramutató járásával megegyező irányba. Értéküket a statika egyenletei határozzák meg:

Ezeket az egyenleteket összeállítva az óramutató járásával ellentétes forgásban a nyomatékot tekintjük pozitívnak, az erő vetületét pedig akkor pozitívnak, ha annak iránya egybeesik az y tengely pozitív irányával.

Az első egyenletből megtaláljuk a pillanatot a befejezésben:

A második egyenletből - függőleges reakció:

A pillanatnyi és a függőleges reakcióra kapott pozitív értékek a befejezésben azt jelzik, hogy kitaláltuk az irányukat.

A gerenda rögzítésének és terhelésének jellegének megfelelően a hosszát két részre osztjuk. Az egyes szakaszok határai mentén négy keresztmetszetet vázolunk (lásd 3.12. ábra), amelyekben a metszetek (ROSU) módszerével kiszámítjuk a nyíróerők és a hajlítónyomatékok értékeit.

1. szakasz. Gondolatban dobjuk el a gerenda jobb részét. Cserélje ki hatását a fennmaradó bal oldalon nyíróerővel és hajlítónyomatékkal. Értékük kiszámításának kényelme érdekében a gerenda kidobott jobb oldalát egy papírlappal lefedjük, a lap bal szélét a vizsgált szakaszhoz igazítva.

Emlékezzünk vissza, hogy a bármely keresztmetszetben fellépő nyíróerőnek ki kell egyensúlyoznia az összes külső erőt (aktív és reaktív), amely a gerenda vizsgált (azaz látható) részére hat. Ezért a nyíróerőnek egyenlőnek kell lennie az általunk látott erők algebrai összegével.

Adjuk meg a nyíróerő előjeleinek szabályát is: a gerenda vizsgált részére ható külső erő, amely ezt a részt a metszethez képest az óramutató járásával megegyezően "forgatni" akarja, pozitív nyíróerőt okoz a szakaszban. Az ilyen külső erő a definíció algebrai összegében pluszjellel szerepel.

Esetünkben csak a támasz reakcióját látjuk, amely az első szakaszhoz (a papírlap széléhez viszonyítva) az általunk látott gerendarészt az óramutató járásával ellentétes irányba forgatja. Ezért

kN.

A hajlítónyomatéknak bármely szakaszon ki kell egyensúlyoznia a számunkra látható külső erők által létrehozott nyomatékot a vizsgált szakaszhoz képest. Következésképpen egyenlő az összes erőkifejtés nyomatékának algebrai összegével, amelyek a vizsgált nyaláb részére hatnak a vizsgált szakaszhoz (más szóval a papírlap széléhez) képest. Ebben az esetben a külső terhelés, amely a gerenda figyelembe vett részét domborúsággal lefelé hajlítja, pozitív hajlítónyomatékot okoz a szakaszon. Az ilyen terhelés által létrehozott pillanat pedig a definíció algebrai összegében pluszjellel szerepel.

Két erőfeszítést látunk: a reakciót és a befejezés pillanatát. Az erőnek azonban az 1. szakaszhoz viszonyított válla nullával egyenlő. Ezért

kN m.

Azért vettük a plusz jelet, mert a reaktív nyomaték a nyaláb látható részét dudorral lefelé hajlítja.

2. szakasz. Mint korábban, a gerenda teljes jobb oldalát lefedjük egy papírral. Most az első szakasztól eltérően az erőnek van válla: m. Ezért

kN; kN m.

3. szakasz A gerenda jobb oldalát bezárva azt találjuk

kN;

4. szakasz. Zárja le a gerenda bal oldalát egy levéllel. Azután

kN m.

kN m.

.

A talált értékek felhasználásával ábrázoljuk a nyíróerők (3.12. ábra, b) és a hajlítónyomatékok (3.12. ábra, c) diagramjait.

A tehermentes szakaszok alatt a nyíróerő diagram a gerenda tengellyel párhuzamosan, a q megosztott terhelés alatt pedig egy ferde egyenes mentén halad felfelé. A diagramon látható támaszreakció alatt ennek a reakciónak az értékével, azaz 40 kN-nal lefelé ugrás történik.

A hajlítónyomaték-diagramon a támasztó reakció alatti csavarodást látjuk. A hajlítási szög a támasz reakciója felé irányul. Elosztott q terhelés mellett a diagram egy másodfokú parabola mentén változik, amelynek konvexitása a terhelés felé irányul. A diagram 6. szakaszában van egy szélsőség, mivel a nyíróerő diagramja ezen a helyen nulla értéken megy át.

Határozza meg a gerenda szükséges keresztmetszeti átmérőjét

A normál feszültségszilárdsági állapot a következő:

,

hol van a gerenda ellenállási nyomatéka hajlítás közben. Egy kör keresztmetszetű gerendánál ez egyenlő:

.

Abszolút értékben a legnagyobb hajlítónyomaték a gerenda harmadik szakaszában jelentkezik: kN cm.

Ezután a kívánt gerenda átmérőt a képlet határozza meg

cm.

Elfogadjuk mm. Azután

kN / cm2 kN / cm2.

A "túlfeszültség" az

,

mit szabad.

Ellenőrizzük a gerenda szilárdságát a legnagyobb nyírófeszültséghez

A körgerenda keresztmetszetében fellépő legnagyobb nyírófeszültségeket a képlet számítja ki

,

hol van a keresztmetszeti terület.

A diagram szerint a legnagyobb algebrai értékű nyíróerő az kN. Azután

kN / cm2 kN / cm2,

vagyis a nyírófeszültségekre vonatkozó szilárdsági feltétel is teljesül, mégpedig nagy ráhagyással.

Példa az "egyenes keresztirányú hajlítás" probléma megoldására 2. sz

Egy probléma példa feltétele egyenes keresztirányú kanyarban

KN/m intenzitású, kN koncentrált erővel és kN koncentrált nyomatékkal terhelt, elfordíthatóan alátámasztott gerendához a megengedett nyírófeszültség kN/cm2. Nyaláb fesztáv m.

Példa egy egyenes kanyar probléma - tervezési modell

Rizs. 3.13

Példa megoldása egy egyenes kanyar feladatra

Támogató reakciók meghatározása

Egy adott csuklósan alátámasztott gerendához három támasztóreakciót kell találni:, és. Mivel csak a tengelyére merőleges függőleges terhelések hatnak a gerendára, az A rögzített forgócsapágy vízszintes reakciója nulla:.

A függőleges reakciók irányait és tetszőlegesen választjuk meg. Például irányítsuk mindkét függőleges reakciót felfelé. Értékük kiszámításához állítsunk fel két statikaegyenletet:

Emlékezzünk vissza, hogy az eredő lineáris terhelés, egyenletesen elosztva egy l hosszúságú szakaszon, egyenlő, azaz egyenlő a terhelés diagramjának területével, és ennek a diagramnak a súlypontjára vonatkozik, azaz a hossz közepén.

;

kN.

Ellenőrizzük:.

Emlékezzünk vissza, hogy az y tengely pozitív irányával egybeeső erőket pluszjellel vetítjük (vetítjük) erre a tengelyre:

az igaz.

Nyíróerők és hajlítónyomatékok ábrázolása

A gerenda hosszát külön szakaszokra osztjuk. Ezeknek a szakaszoknak a határai a koncentrált (aktív és/vagy reaktív) erőfeszítések alkalmazási pontjai, valamint az elosztott terhelés hatásának kezdetének és végének megfelelő pontok. A mi problémánkban három ilyen terület van. Ezeknek a szakaszoknak a határai mentén hat keresztmetszetet vázolunk fel, amelyekben kiszámítjuk a nyíróerők és a hajlítónyomatékok értékeit (3.13. ábra, a).

1. szakasz. Gondolatban dobjuk el a gerenda jobb részét. Az ezen a szakaszon fellépő nyíróerő és hajlítónyomaték kiszámításának kényelme érdekében a gerenda általunk eldobott részét egy papírlappal fedjük le, a papírdarab bal szélét magával a metszethez igazítva.

A nyíróerő a nyalábszakaszban egyenlő az összes általunk látott külső erő (aktív és reaktív) algebrai összegével. Ebben az esetben a támasz és a q lineáris terhelés reakcióját látjuk, végtelenül kis hosszon elosztva. Az eredő lineáris terhelés nulla. Ezért

kN.

A pluszjelet azért veszik, mert az erő a nyaláb látható részét az első szakaszhoz (a papírlap széléhez) képest az óramutató járásával megegyező irányba forgatja.

A hajlítási nyomaték a gerenda szakaszában egyenlő az összes általunk látott erő nyomatékának algebrai összegével a vizsgált szakaszhoz (vagyis a papírlap széléhez) képest. Látjuk a támasz és a q lineáris terhelés reakcióját végtelenül kis hosszon elosztva. Az erőnek azonban nulla a válla. Az eredő lineáris terhelés is nulla. Ezért

2. szakasz. Mint korábban, a gerenda teljes jobb oldalát lefedjük egy papírral. Most azt látjuk, hogy a reakció és a q terhelés egy hosszúságú szakaszra hat. Az eredő lineáris terhelés egyenlő. Egy szakasz közepén van rögzítve. Ezért

Emlékezzünk vissza, hogy a hajlítónyomaték előjelének meghatározásakor gondolatban megszabadítjuk a gerenda számunkra látható részét minden tényleges tartórögzítéstől, és úgy képzeljük el, mintha a vizsgált szakaszban (vagyis a papírlap bal szélén) lenne befogva. lelkileg merev pecsétként ábrázoljuk).

3. rész. Csukja be a jobb oldalt. Kapunk

4. szakasz. Zárja le a gerenda jobb oldalát egy lappal. Azután

Most, hogy ellenőrizzük a számítások helyességét, a gerenda bal oldalát fedjük le egy papírral. Látjuk a P koncentrált erőt, a jobb oldali támasz reakcióját és a q lineáris terhelést végtelenül kis hosszon elosztva. Az eredő lineáris terhelés nulla. Ezért

kN m.

Vagyis minden helyes.

5. szakasz. Mint korábban, zárja le a gerenda bal oldalát. Lesz

kN;

kN m.

6. szakasz. Ismét zárja be a gerenda bal oldalát. Kapunk

kN;

A talált értékek felhasználásával ábrázoljuk a nyíróerők (3.13. ábra, b) és a hajlítónyomatékok (3.13. ábra, c) diagramjait.

Ügyelünk arra, hogy a tehermentes szakasz alatt a nyíróerő diagram a gerenda tengellyel párhuzamosan, a q megosztott terhelés alatt pedig lefelé dőlő egyenes mentén fusson. A diagramon három ugrás található: a reakció alatt - felfelé 37,5 kN-nal, a reakció alatt - felfelé 132,5 kN-nal, és a P erő alatt - 50 kN-nal lefelé.

A hajlítónyomatékok diagramján a koncentrált P erő és a támasztóreakciók alatti töréseket látjuk. A hajlítások szögei ezekre az erőkre irányulnak. A q intenzitású elosztott terhelés hatására a diagram egy másodfokú parabola mentén változik, amelynek konvexitása a terhelés felé irányul. A koncentrált pillanat alatt - 60 kN · m ugrás, azaz magának a pillanatnak a nagyságával. A diagram 7. szakaszában van egy szélsőség, mivel ennek a szakasznak a nyíróerő diagramja átmegy a nulla értéken (). Határozza meg a távolságot a 7. szakasz és a bal oldali támasz között.

A 17. §-hoz hasonlóan feltételezzük, hogy a rúd keresztmetszetének két szimmetriatengelye van, amelyek közül az egyik a hajlítási síkban fekszik.

Egy rúd keresztirányú hajlítása esetén a keresztmetszetében érintőleges feszültségek keletkeznek, és a rúd deformációja esetén nem marad sík, mint a tiszta hajlításnál. Szilárd keresztmetszetű rúdnál azonban elhanyagolható a keresztirányú hajlítás során fellépő tangenciális feszültségek hatása, és megközelítőleg abból indulhatunk ki, hogy csakúgy, mint a tiszta hajlításnál, a rúd keresztmetszete az alakváltozás során is sík marad. Ekkor a 17. §-ban levezetett feszültségekre és görbületekre vonatkozó képletek hozzávetőlegesen érvényben maradnak. Pontosak a rúd hosszában állandó oldalirányú erő (1102) adott esetére.

A tiszta hajlítással ellentétben a keresztirányú hajlításnál a hajlítónyomaték és a görbület nem marad állandó a rúd hosszában. A keresztirányú hajlításnál a fő feladat az elhajlás meghatározása. Kisebb elhajlások meghatározásához használhatja a hajlított rúd görbületének ismert hozzávetőleges függését az 11021 alakváltozástól. E függés alapján a hajlított rúd görbülete x c ​​és az elhajlás V e az anyag kúszása okozta x c = = összefüggéssel függnek össze dV

Ebben az összefüggésben a görbületet a (4.16) képlettel helyettesítve megállapítjuk, hogy

Az utolsó egyenlet integrálása lehetővé teszi a gerenda anyagának kúszásából adódó elhajlás meghatározását.

A hajlított rúd kúszása problémájának fenti megoldását elemezve arra a következtetésre juthatunk, hogy teljesen egyenértékű egy olyan anyagból készült rúd hajlítási feladatának megoldásával, amelynek feszítési-nyomás diagramja egy teljesítményfüggvénnyel közelíthető. Ezért a kúszás miatti elhajlások meghatározása a vizsgált esetben a Mohr integrál segítségével is elvégezhető a Hooke-törvénynek nem engedelmeskedő anyagból készült rudak elmozdulásának meghatározására.... Jelentése W O függ a keresztmetszet méretétől, alakjától és elhelyezkedésétől a tengelyhez képest.

A gerendára ható keresztirányú erő jelenléte a keresztmetszetekben, illetve a tangenciális feszültségek párosítási törvénye szerint a hosszmetszetekben érintőleges feszültségek előfordulásával jár. A nyírófeszültségeket D. I. Zhuravsky képlete határozza meg.

A keresztirányú erő eltolja a vizsgált szakaszt a szomszédoshoz képest. A hajlítónyomaték, amely a gerenda keresztmetszetében fellépő elemi normálerőkből áll, elforgatja a keresztmetszetet a szomszédoshoz képest, ami a gerenda tengelyének görbületét, azaz elhajlását okozza.

Ha egy gerenda tiszta hajlításon megy keresztül, akkor a gerenda teljes hosszában vagy minden szakaszon annak külön szakaszán állandó nagyságú hajlítónyomaték hat, és ennek a szakasznak bármely szakaszában a nyíróerő nullával egyenlő. Ebben az esetben a gerenda keresztmetszetein csak normál feszültségek keletkeznek.

A hajlítás fizikai jelenségeinek mélyebb megértéséhez, valamint a szilárdság és merevség számításánál felmerülő problémák megoldásának módszertanához szükséges a síkszelvények geometriai jellemzőinek jól elsajátítása, nevezetesen: metszetek statikus nyomatékai, tehetetlenségi nyomatékai. legegyszerűbb alakú és összetett metszetű metszetek, alakzatok súlypontjának meghatározása, metszetek és fő tehetetlenségi tengelyek fő tehetetlenségi nyomatékai, centrifugális tehetetlenségi nyomaték, tehetetlenségi nyomaték változása a tengelyek forgatásakor, tételek a tengelyek átviteléről tengelyek.

Ennek a szakasznak a tanulmányozása során meg kell tanulnia, hogyan kell helyesen ábrázolni a hajlítónyomatékokat és a nyíróerőket, meghatározni a veszélyes szakaszokat és a bennük ható feszültségeket. A feszültségek meghatározásán kívül meg kell tanulnia az elmozdulások (a gerenda elhajlások) meghatározását a hajlítás során. Ehhez a gerenda görbe tengelyének (rugalmas vonal) általános alakban felírt differenciálegyenletét használjuk.

Az elhajlások meghatározásához a rugalmas egyenes egyenletet integráljuk. Ebben az esetben helyesen kell meghatározni az integrációs állandókat VAL VELés D a gerenda alátámasztási feltételei alapján (peremfeltételek). A nagyságrend ismeretében VAL VELés D, meghatározhatja a sugár tetszőleges szakaszának elfordulási és elhajlási szögét. A komplex ellenállás vizsgálata általában ferde hajlítással kezdődik.

A ferde hajlítás jelensége különösen a lényegesen eltérő fő tehetetlenségi nyomatékú szakaszokon veszélyes; az ilyen keresztmetszetű gerendák jól működnek a legnagyobb merevségű síkban történő hajlításnál, de a külső erők síkjának a legnagyobb merevség síkjához viszonyított kis dőlésszöge esetén is jelentős többletfeszültségek, deformációk keletkeznek a gerendákban. Egy kör keresztmetszetű gerendánál a ferde hajlítás lehetetlen, mivel az ilyen keresztmetszet összes központi tengelye a fő, és a semleges réteg mindig merőleges lesz a külső erők síkjára. A ferde hajlítás szintén lehetetlen négyszögletes gerendánál.

Excentrikus feszítés vagy összenyomás esetén a feszültségek meghatározásakor ismerni kell a szakasz fő központi tengelyeinek helyzetét; ezekről a tengelyekről számítják az erő alkalmazási pontjának és a feszültségek meghatározásának pontjának távolságait.

Az excentrikusan kifejtett nyomóerő húzófeszültséget okozhat a rúd keresztmetszetében. Ebben a tekintetben az excenteres összenyomás különösen veszélyes a törékeny anyagból készült rudak esetében, amelyek gyengén ellenállnak a húzóerőknek.

Összegzésképpen az összetett ellenállás esetét kell vizsgálni, amikor a test egyszerre több alakváltozást tapasztal: például csavarással együtt hajlítás, hajlítással együtt feszítés-kompresszió stb. Nem szabad megfeledkezni arról, hogy a különböző síkban ható hajlítónyomatékok vektorokhoz hasonlóan összeadhatók.