A trigonometrikus funkció és a gyógyszer kapcsolata. Oktatási projekt "trigonometria a minket körülvevő világban és az emberi életben"
Trigonometria az orvostudománybanVezető: Kozlova Ljudmila Vasziljevna
A munka célja: A trigonometria orvosi alkalmazásának tanulmányozása. Az elvégzett munka után tanulmányoztam a trigonometria alkalmazását az orvostudományban: emberi bioritmusok felrajzolását, kardiológiát. Ez alapot nyújt az emberi szervek képleteinek elkészítéséhez, amelyek később segítséget nyújtanak a betegségek kezelésében. Ez a munka elmondja, hogy az orvostudomány mely területein alkalmazzák a trigonometria ismereteit. Ennek a munkának köszönhetően megtudtam az elektrokardiogram olvasásának alapelveit, és önállóan meg tudom különböztetni a normál vizsgálati eredményt a fényes eltéréstől.
BEVEZETÉS
Relevancia: A trigonometriával először a nyolcadik osztályban találkoztam, amikor elkezdtük tanulmányozni a matematika ezen szakaszának alapjait. A szinusz és a koszinusz meghatározásának legegyszerűbb szabályai nagyon egyszerűnek tűntek számomra, ezért nem keltettek nagy érdeklődést. Később, amikor a tizedik osztályban elkezdtem tanulni, azonnal világossá vált, hogy a trigonometria a matematika hatalmas ága, nagyszámú tudás és elmélet. Később rájöttem, hogy a trigonometriával kapcsolatos ismeretek nagyon általánosak minden tevékenység területén. Széles körben használják a csillagászatban, földrajzban, zeneelméletben, elemzésben pénzügyi piacok, elektronika, valószínűségelmélet, statisztika, biológia, orvostudomány, gyógyszeripar, kémia, kriptográfia és még sok más.
A trigonometria (a görög τρίγωνον (háromszög) és a görög μέτρεο (mérték), azaz a háromszögek mérése alapján) a matematika egyik ága, amely a trigonometrikus függvényeket és azok geometriai felhasználását tanulmányozza.
A "trigonometria" kifejezést 1595 -ben vezette be Bartholomew Pitisk német matematikus és teológus, a trigonometria és a trigonometriai táblázatok tankönyvének szerzője. Század végére. a legtöbb trigonometriai függvény már ismert volt, bár maga a fogalom még nem létezett.
A tudósok feldolgozták a mérési adatokat annak érdekében, hogy naptárat vezessenek, és helyesen határozzák meg a vetés és aratás kezdetének idejét, a vallási ünnepek dátumát. A csillagokat használták a hajó tengeri elhelyezkedésének vagy a karaván mozgásának irányának kiszámításához a sivatagban. Mint tudják, a trigonometriát nemcsak a matematikában, hanem a tudomány más területein is használják. Ez a munka elmondja, hogy az orvostudomány mely területein alkalmazzák a geometria ismereteit.
Az egyik fő alkalmazás a kardiológia. Az EKG -készülékek kardiogramot készítenek az emberekben, szívdobbanásokat rögzítenek. Miután beszéltem egy elektrokardiogram grafikonok olvasásával foglalkozó szakemberrel, rájöttem errea grafikon egy módosított szinusz. És itt a menetrend minden szabálytalansága fontos. Az intervallumok és a fogak száma, a maximális és minimális ugrások, a periódusok hossza: mindez fontos szerepet játszik a diagnózis és a kezelés helyességének meghatározásában.
KÖZPONTI TÉMA
CÉL: A trigonometria gyógyászati felhasználásának tanulmányozása.
FELADATOK:
Fedezze fel a trigonometria történetét.
Tudja meg, hogy az orvostudomány mely területein alkalmazzák a trigonometriát.
Végezze el a munka gyakorlati részét, ismerje meg azt az elvet, amelyre a kardiológusok támaszkodnak az elektrokardiogram grafikonjának olvasásakor.
1.2 TÖRTÉNET
Az első trigonometriai táblázatokat nyilvánvalóan Hipparchos állította össze, aki ma a "trigonometria atyja" néven ismert.
Az ókori görög matematikusok az akkordok technikáját használták a körívek mérésével kapcsolatos konstrukcióikban. A kör középpontjából leesett, az akkordra merőleges félbevágja az ívet és a rajta nyugvó akkordot. A fél akkord felére osztva a félszög szinusa, ezért a szinuszfüggvény „fél akkord” néven is ismert. A matematikai akkordok táblázatának hiányának kompenzálására, Arisztarkhosz korában, egy jól ismert tételt használtak, a modern jelölésben -
ahol 0 °< β < α < 90°,
Az első trigonometriai táblázatokat valószínűleg a nizzai Hipparkhosz állította össze (Kr. E. 180-125). Hipparkhosz volt az első, aki táblázatba foglalta az ívek és akkordok megfelelő értékeit egy szögsorozathoz. A teljes 360 ° -os kör szisztematikus használatát elsősorban Hipparkhosz hozta létre.
Később Claudius Ptolemaiosz (i. Sz. 90 - 168) az "Almagest" -ben kibővítette a Hipparchos "Akkordokat körben" című művét. Az Almagest tizenhárom könyve az összes ókor legjelentősebb trigonometriai munkája. Később Ptolemaiosz levezette a félszög képletét. Ptolemaiosz ezen eredmények felhasználásával készítette el trigonometriai tábláit, amelyek a mai napig nem maradtak fenn.
Az akkordok szinuszokkal való helyettesítése volt a középkori India fő eredménye. A 8. század óta a Közel- és Közel -Kelet országainak tudósai fejlesztették ki a trigonometriát. Miután a muszlim tudósok értekezéseit lefordították latinra, sok ötlet az európai és a világtudomány tulajdonába került.
2. TRIGONOMETRIA AZ ORVOSBAN
2.1 BIORHYTHMS
Bioritmusok - időszakosan ismétlődő változások a biológiai folyamatok és jelenségek jellegében és intenzitásában. Ezek jellemzőek az élő anyagra a szervezet minden szintjén, a molekuláris és a bioszféra között. Egyes biológiai ritmusok viszonylag függetlenek (a szív összehúzódásának gyakorisága, légzés), mások a szervezetek geofizikai ciklusokhoz való alkalmazkodásával járnak - napi (a sejtosztódás intenzitásának ingadozása, az anyagcsere).
Születésnapi ember három, bioritmusok: fizikai, érzelmi és intellektuális.
A fizikai ciklus 23 nap. Ez meghatározza az ember energiáját, erejét, állóképességét, mozgáskoordinációját.
Az érzelmi ciklus (28 nap) meghatározza az idegrendszer állapotát és a hangulatot.
Az intellektuális ciklus (33 nap) meghatározza egy személy kreatív képességét.
A ciklusok bármelyike két félperiódusból áll, pozitív és negatív.
A fizikai ciklus első felében az ember energikus és eléri jobb eredményeket tevékenységükben; a ciklus második felében az energia átadja helyét a lustaságnak.
Az érzelmi ciklus első felében az ember vidám, agresszív, optimista, túlbecsüli képességeit; a második felében ingerlékeny, könnyen ingerlékeny, alábecsüli képességeit, pesszimista, és mindent kritikusan elemz.
1. ábra. Bioritmusok
A bioritmus modell trigonometrikus függvények grafikonjaiból épül fel. Az interneten rengeteg olyan webhely található, amelyek kiszámítják a bioritmusokat. Ehhez meg kell adnia a személy születési dátumát (nap, hónap, év) és az előrejelzés időtartamát.
2.2. SZÍV FORMULA
Shiraz Wahid-Reza Abbasi iráni egyetemi hallgató tanulmányának eredményeként az orvosok először tudták rendszerezni az elektrokardiográfiával kapcsolatos információkat.
A képlet, amelyet Teheránnak hívnak,egy komplex algebrai-trigonometriai egyenlőség, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, beleértve számos további paramétert aritmia esetén történő számításokhoz. Az orvosok szerint ez a képlet nagyban megkönnyíti a szívműködés fő paramétereinek leírásának folyamatát, felgyorsítja a diagnózist és a kezelés megkezdését..
Tovább Ebben a pillanatban a kérdés pontos információi nem ismertek, aktív munka és kutatás folyik ebben a témában.
Orosz tudósok matematikai képletet állítottak elő a szív számára. Ezeknek az egyenleteknek köszönhetően lehetséges kiszámítani, megjósolni és megakadályozni szívbetegség... Oroszországban az egyetlen matematikai élettani laboratórium a Jekatyerinburgi Immunológiai és Élettani Intézetben működik.
A test fiziológiai funkcióinak matematikai leírásának problémája a második legfontosabb probléma az emberi DNS problémája után. A jövőben kiszámítják más emberi szervek képleteit, és az elemi egyenleteket alkalmazó orvosok képesek lesznek bármilyen betegség előrejelzésére és kezelésére.
Az ember a legbonyolultabb mechanizmus, amelyben a fizikai és kémiai folyamatok folyamatosan zajlanak. Ha minden folyamatot lefordítunk az egyenletek nyelvére, akkor egyetlen emberi képletet lehet levezetni.
A matematikusok létrehozták a szívizom modelljét, amelyet a biológusok gyakorlatilag összekapcsoltak a valódi élő szövetekkel. Egy számítógépes programban a tudósok különböző terheléseket helyeznek a szívre, és megfigyelik, hogyan viselkedik. A szív aktivitását utánzó mindenféle algoritmus tanulmányozásával a tudósok valódi előrejelzéseket tudnak tenni.
2. 3. ELEKTROKARDIOGRAM
A 19. század 70 -es éveiben az angol A. Waller gyakorlati célokra alkalmazta, a szív elektromos tevékenységét rögzítő készülék a mai napig szolgálja az embert. Az elektrokardiográfia nyilvánvaló eltéréseket észlelhet a normál szívritmustól, például szívinfarktus, koszorúér -betegség, sinus bradycardia, tachecardia, aritmia, beteg sinus -szindróma stb. Hogyan lehet megkülönböztetni a normál EKG képeket a kifejezett betegségektől?
3. A MUNKA GYAKORLATI RÉSZE
Miután kommunikáltunk kórházunk EKG -átirat -specialistájával, sok hasznos információt tudtam meg a kutatómunkámhoz.
Az elektrokardiogram grafikonja egy módosított szinusz. És itt a menetrend minden szabálytalansága fontos. Az intervallumok és a fogak száma, a maximális és minimális ugrások, a periódusok hossza: mindez fontos szerepet játszik a diagnózis és a kezelés helyességének meghatározásában. Ezért az EKG grafikon mindig grafikonpapírra nyomtatódik.
Az EKG -eredmények dekódolásakor a komponensek közötti intervallumok időtartamát mérik. Ez a számítás szükséges a ritmus gyakoriságának felméréséhez, ahol a különböző vezetékek fogainak alakja és mérete a ritmus jellegét jelzi. elektromos jelenségek a szívizom egyes részeinek szívében és elektromos aktivitásában, vagyis egy elektrokardiogram megmutatja, hogyan működik szívünk egy adott időszakban.
Az EKG szigorúbb dekódolását a fogak területének speciális vezetékek segítségével történő elemzésével és kiszámításával végezzük, azonban a gyakorlatban ezeket megkerülik az elektromos tengely irányának mutatója, amely egy teljes vektor.
Az EKG dekódolásának különböző módjai vannak. Egyes szakértők képletekre támaszkodnak, és mindent kiszámítanak belőlük; így a pulzusszám a következő képlet segítségével számítható ki: aholR- Raz intervallum időtartamát, és egyesek kész adatokat használnak, amit a hazai orvoslás sem tilt. A 2. ábra a pulzusszámítás eredményeit mutatja az intervallumtól függően.
2. ábra
2. ábra A PChS értékelése
3. ábra. A kardiogramok típusai
A 3. ábra háromféle kardiogramot mutat be. Első kardiogram egészséges ember, a második, ugyanazon személy, csak sinus tachycardia esetén, edzés után, és a sinus szívritmuszavaros beteg harmadik kardiogramja.
KIMENET:
Az elvégzett munka után tanulmányoztam a trigonometria alkalmazását az orvostudományban: emberi bioritmusok felrajzolását, kardiológiát. Ez alapot nyújt az emberi szervek képleteinek elkészítéséhez, amelyek később segítséget nyújtanak a betegségek kezelésében. Ennek a munkának köszönhetően megtudtam az elektrokardiogram olvasásának alapelveit, és önállóan meg tudom különböztetni a normál vizsgálati eredményt a fényes eltéréstől.
BIBLIOGRÁFIAI LISTA
Elektrokardiográfia: Tankönyv. juttatás. -5. kiadás. - M.: MEDpress-inform, 2001.- 312 s., Ill.
Online források: Coronal Valve Anatomy / Prof. Dr. med. tudományok Yu.P. Osztrovszkij
A trigonometria alkalmazása a fizikában és problémái
A trigonometriai egyenletek gyakorlati alkalmazása a való életben
Sok területen alkalmazzák a trigonometriát. Például a háromszögelési módszert használják a csillagászatban a közeli csillagok távolságának mérésére, a földrajzban az objektumok közötti távolság mérésére és a műholdas navigációs rendszerekben. A szinusz és a koszinusz alapvető fontosságú a periodikus függvények elméletében, például a hang- és fényhullámok leírásakor.
A trigonometriát a csillagászatban használják (különösen az égitestek helyzetének kiszámításához, amikor gömb trigonometria szükséges), a tengeri és légi navigációban, a zeneelméletben, az akusztikában, az optikában, a pénzügyi piacok elemzésében, az elektronikában, a valószínűségelméletben , statisztikában, biológiában, orvosi képalkotásban (pl. számítógépes tomográfia és ultrahang), gyógyszertárakban, kémiában, számelméletben, meteorológiában, óceánográfiában, sok fizikai tudományok, a földmérésben és a geodézia területén, az építészetben, a fonetikában, a közgazdaságtanban, az elektrotechnikában, a gépészetben, mélyépítés, számítógépes grafikában, térképészetben, kristálytanban, játékfejlesztésben és sok más területen.
A minket körülvevő világban rendszeres időközönként megismétlődő időszakos folyamatokkal kell megbirkóznunk. Ezeket a folyamatokat oszcillálónak nevezik. A különböző fizikai természetű oszcilláló jelenségek engedelmeskednek az általános törvényeknek, és ugyanazok az egyenletek írják le őket. Vannak különböző oszcillációs jelenségek típusai.
A harmonikus oszcilláció az a jelenség, amely bármilyen mennyiségben időszakosan változik, és amelyben az argumentumtól való függés szinusz- vagy koszinuszfüggvény jellegű. Például egy érték, amely az alábbiak szerint változik az idő múlásával:
Ahol x a változó mennyiség értéke, t az idő, A az oszcillációk amplitúdója, ω az oszcillációk ciklikus frekvenciája, az oszcillációk teljes fázisa, r az oszcillációk kezdeti fázisa.
Általános harmonikus rezgés differenciális formában x ’’ + ω²x = 0.
Egy kő a hegy oldalára vetődik a felszínéhez képest α szögben. Határozza meg a kő repülési tartományát, ha a kő kezdeti sebessége v 0, a hegy dőlésszögét a β horizonthoz. Figyelmen kívül hagyja a légellenállást.
Megoldás. A kő bonyolult mozgását a parabola mentén két egyenes vonalú mozgás egymásra helyezéseként kell ábrázolni: az egyik a Föld felszíne mentén, a másik a normál vonal mentén.
Válasszunk egy téglalap alakú koordinátarendszert, amelynek eredete a kő dobásának pontján úgy van, hogy a tengelyek ÖKÖRés OY egybeesett a jelzett irányokkal, és megtaláljuk a v 0 kezdeti sebesség és a g gravitációs gyorsulás vektorok összetevőit a tengelyek mentén. Ezen komponensek tengelyre vetítései ÖKÖRés OY egyenlő:
v 0 cosα v 0; -g sinβ -g cosβ
Ezt követően a komplex mozgást két egyszerűbbnek tekinthetjük: egyformán lassú mozgás a Föld felszíne mentén g sinβ gyorsulással, és ugyanolyan változó mozgás merőleges a hegy lejtőjére g cosβ gyorsulással.
Összeállítjuk a mozgásegyenleteket minden irányban, figyelembe véve azt a tényt, hogy a teljes mozgás t ideje alatt a kő mozgása a normál mentén a felszín felé (a tengely mentén) OY) nullával egyenlőnek bizonyult, és a felület mentén (a tengely mentén) ÖKÖR) - egyenlő s:
A feladat hipotézise szerint v 0, α és β adottak számunkra, ezért az összeállított egyenletekben két ismeretlen mennyiség van, s és t1.
Az első egyenletből meghatározzuk a kő repülési idejét:
Ezt a kifejezést a második egyenletbe behelyettesítve a következőket találjuk:
S = v 0 cosα ∙ =
= 
A fenti probléma megoldását elemezve megállapíthatjuk, hogy a matematikának van apparátusa, és felhasználása a fizika és a matematika közötti tantárgyi kapcsolat megvalósításában a világ egységének megvalósításához és a tudományos ismeretek integrálásához vezet.
A matematika egyfajta nyelvként működik az értelmes fizikai információk kódolásához.
A fizika és a matematika közötti interdiszciplináris kapcsolat használata e két tudomány összehasonlításához vezet, és lehetővé teszi a minőségi elméleti és gyakorlati képzés gyakornokok.
A háromszögek megoldásának szükségességét először a csillagászatban fedezték fel; ezért idővel a csillagászat egyik ágaként kifejlesztették és tanulmányozták a trigonometriát.
A Nap és a Hold helyzetének táblázatai, amelyeket Hipparkhosz állított össze, lehetővé tették a napfogyatkozás kezdetének pillanatainak előrejelzését (1-2 órás hibával). Hipparchos volt az első, aki a gömb trigonometria módszereit alkalmazta a csillagászatban. Növelte a megfigyelések pontosságát a goniometrikus műszerek - szextánsok és kvadránsok - szálainak keresztjének használatával, hogy megvilágítsa. A tudós hatalmas katalógust állított össze az akkori 850 csillag pozíciókról, nagyságuk szerint 6 fokra (csillagnagyság) osztva. Hipparchus bevezette a földrajzi koordinátákat - a szélességet és a hosszúságot, és a matematikai földrajz alapítójának tekinthető. (Kr. e. 190 körül - i. e. 120 körül)
MBOU Tselinnaya Középiskola
Valós életű trigonometriai jelentés
Felkészítve és lebonyolítva
matematikatanár
minősítési kategória
Iljina V.P.
Tselinny, 2014. március
Tartalomjegyzék.
1. Bemutatkozás .
2. A trigonometria létrehozásának története:
Korai századok.
Ókori Görögország.
Középkorú.
Új idő.
A gömbgeometria fejlődésének történetéből.
3. Trigonometria és való élet:
A trigonometria használata a navigációban.
Trigonometria az algebrában.
Trigonometria a fizikában.
Trigonometria az orvostudományban és a biológiában.
Trigonometria a zenében.
Trigonometria az informatikában
Trigonometria az építésben és a geodéziában.
4. Következtetés .
5. Hivatkozások.
Bevezetés
A matematikában régóta megállapították, hogy a matematika szisztematikus tanulmányozása során nekünk - diákoknak háromszor kell találkoznunk trigonometriával. Ennek megfelelően úgy tűnik, hogy tartalma három részből áll. A képzés során ezek a részek időben elkülönülnek egymástól, és nem hasonlítanak egymáshoz mind az alapfogalmak magyarázataiba foglalt jelentésükben, sem a fejlesztés alatt álló készülékben, sem a szolgáltatási funkciókban (alkalmazásokban).
És valójában először találkoztunk trigonometrikus anyaggal a 8. osztályban, amikor a "Derékszögű háromszög oldalai és szögei közötti kapcsolatok" témakört tanulmányoztuk. Tehát megtanultuk, hogy mi a szinusz, a koszinusz és az érintő, megtanultuk, hogyan kell megoldani a sík háromszögeket.
Eltelt azonban egy kis idő, és a 9. osztályban ismét visszatértünk a trigonometriához. De ez a trigonometria nem olyan, mint a korábban tanulmányozott. Arányait most egy kör (egység félkör) segítségével határozzuk meg, nem pedig derékszögű háromszöggel. Bár még mindig szögek függvényeként vannak definiálva, ezek a szögek már önkényesen nagyok.
A 10. osztályba lépve ismét találkoztunk a trigonometriával, és láttuk, hogy ez még bonyolultabbá vált, bevezetésre került a szög radiánmértékének fogalma, és a trigonometrikus azonosságok másképp néznek ki, valamint a problémák megfogalmazása és azok megoldásainak értelmezése. Bevezetik a trigonometrikus függvények grafikonjait. Végül megjelennek a trigonometriai egyenletek. És mindez az anyag az algebra részeként jelent meg előttünk, és nem mint geometria. És nagyon érdekes lett számunkra a trigonometria történetének, alkalmazásának tanulmányozása Mindennapi élet mert a tanár matematikai használata történelmi információk opcionális az óraanyag bemutatásakor. Azonban, ahogy KA Malygin rámutat, "... a történelmi múltba tett kirándulások felelevenítik a leckét, ellazítják a lelki feszültséget, felkeltik az érdeklődést a vizsgált anyag iránt és hozzájárulnak annak tartós asszimilációjához." Ezenkívül a matematikatörténeti anyag nagyon kiterjedt és érdekes, mivel a matematika fejlődése szorosan kapcsolódik a civilizáció fennállásának minden időszakában felmerülő sürgős problémák megoldásához.
Miután megtudtuk a trigonometria megjelenésének történelmi okait, és tanulmányoztuk, hogy a nagy tudósok tevékenységének gyümölcsei hogyan befolyásolták a matematika ezen területének fejlődését és a konkrét problémák megoldását, köztünk, iskolások körében, az a vizsgált tárgy egyre növekszik, és látni fogjuk gyakorlati jelentőségét.
A projekt célja - érdeklődés felkeltése a „trigonometria” témakör tanulmányozása algebra során és az elemzés kezdete a vizsgált anyag alkalmazott jelentésének prizmáján keresztül; trigonometrikus függvényeket tartalmazó grafikus ábrázolások bővítése; a trigonometria alkalmazása olyan tudományokban, mint a fizika, a biológia stb.
A trigonometria kapcsolata a külvilággal, a trigonometria jelentősége számos gyakorlati probléma megoldásában, a trigonometriai függvények grafikai képességei lehetővé teszik az iskolások tudásának „materializálását”. Ez lehetővé teszi, hogy jobban megértse a trigonometria tanulmányozása során szerzett ismeretek létfontosságú szükségességét, növeli az érdeklődést a téma tanulmányozása iránt.
Kutatási célok:
1. Tekintsük a trigonometria kialakulásának és fejlődésének történetét.
2. Mutassa be konkrét példák a trigonometria gyakorlati alkalmazása a különböző tudományokban.
3. Konkrét példákon keresztül feltárni a trigonometrikus függvények használatának lehetőségeit, amelyek lehetővé teszik a "kevéssé érdekes" függvények olyan függvényekké való alakítását, amelyek grafikonjai nagyon eredeti formájúak.
"Egy dolog világos maradt: a világ félelmetes és gyönyörű."
N. Rubcov
Trigonometria - Ez a matematika egyik ága, amely a háromszögek szögei és oldalai hosszúsága közötti kapcsolatot, valamint a trigonometrikus függvények algebrai azonosságait tanulmányozza. Nehéz elképzelni, de ezzel a tudománygal nemcsak a matematika órákon találkozunk, hanem a mindennapi életben is. Lehet, hogy nem is sejtettük ezt, de a trigonometria megtalálható olyan tudományokban, mint a fizika, a biológia, fontos szerepet játszik az orvostudományban, és ami a legérdekesebb, még a zenében és az építészetben sem nélkülözheti. A gyakorlati tartalommal bíró feladatok jelentős szerepet játszanak a matematika tanulmányozása során megszerzett elméleti ismeretek gyakorlati alkalmazásában. Minden matematikahallgatót érdekel, hogy hogyan és hol alkalmazzák a megszerzett ismereteket. A kérdésre a válasz ebben a munkában található.
A trigonometria létrejöttének története
Korai korok
A szögek szokásos mértéke fokokban, percekben és másodpercekben a babiloni matematikából származik (ezeknek az egységeknek az ókori görög matematikába való bevezetését általában az i. E. II. Században írják le).
Ennek az időszaknak a fő eredménye a lábak és a hypotenuse aránya volt egy derékszögű háromszögben, amely később megkapta a nevét.
Ókori Görögország
A trigonometriai összefüggések általános és logikailag koherens bemutatása jelent meg az ókori görög geometriában. A görög matematikusok még nem emelték ki külön tudományként a trigonometriát, számukra ez a csillagászat része volt.
Az ősi trigonometriai elmélet fő vívmánya a megoldás volt Általános nézet a "háromszögek megoldásának" problémája, vagyis a háromszög ismeretlen elemeinek megtalálása három adott eleme alapján (amelyek közül legalább az egyik oldal).
Középkorú
A IV. Században, az ókori tudomány halála után a matematika fejlődésének központja Indiába költözött. Megváltoztatták a trigonometria néhány fogalmát, és közelebb vitték őket a modernhez: például ők vezették be elsőként a koszinuszt.
Az első szakdolgozat a trigonometriáról a közép-ázsiai tudós (X-XI. Század) "The Book of Keys of the Science of Astronomy" (995-996) összetétele volt. A trigonometria teljes folyamata Al -Biruni fő munkáját tartalmazta - "Mas''sood kánonja" (III. Könyv). A szinuszok tábláin kívül (15 "-os lépéssel) Al-Biruni adott érintő táblákat (1 ° -os lépéssel).
Miután a 12.-13. Században az arab értekezéseket latinra fordították, az indiai és a perzsa matematikusok számos elképzelése az európai tudomány tulajdonába került. Úgy tűnik, az európaiak első trigonometriai ismeretsége Ziju -nak köszönhető, amelynek két fordítása a XII.
Az első európai, teljes egészében a trigonometriával foglalkozó művet az angol csillagász gyakran nevezi „Négy értekezés a közvetlen és fordított akkordokról” (1320 körül). A gyakran arabról fordított, de néha eredeti trigonometriai táblázatokat számos más, a 14-15. Századi szerző munkája tartalmazza. Ugyanakkor a trigonometria helyet kapott az egyetemi kurzusok között.
Új idő
A "trigonometria" szó először fordul elő (1505) a német teológus és matematikus, Pitiscus könyvének címében, e szó eredete görögül: háromszög, mérték. Más szóval, a trigonometria a háromszögek mérésének tudománya. Bár a név viszonylag nemrégiben jelent meg, sok olyan fogalom és tény, amelyet ma a trigonometriának tulajdonítanak, már kétezer évvel ezelőtt ismert volt.
A szinusz fogalma hosszú múltra tekint vissza. Valójában a háromszög és a kör szegmenseinek különböző arányai (és valójában trigonometrikus függvények) már a ӀӀӀ. időszámításunk előtt e nagy matematikusok munkáiban Ókori Görögország-Euklidész, Arkhimédész, Perga Apollóniusz. A római korban ezeket a kapcsolatokat már elég szisztematikusan tanulmányozta Menelaosz (Kr. E. Század), bár nem kaptak külön nevet. A szög modern mínuszát például egy fél akkord szorzataként tanulmányozták, amelyen a középső szög nagyságrendileg nyugszik, vagy egy kétszeres ív akkordjaként.
A következő időszakban a matematikát hosszú ideig legaktívabban fejlesztették az indiai és arab tudósok. In ӀV- Vcc. különleges kifejezés jelent meg, különösen a nagy indiai tudós, Aryabhata (476-kb. 550) csillagászati munkáiban, akikről a Föld első indiai műholdját nevezték el.
Később a rövidebb dzsíva nevet vették fel. Arab matematikusok Ιxv. a jiva (vagy jiba) szót az arab jaib (dudor) szó váltotta fel. Amikor arab matematikai szövegeket fordítanak leXΙΙv. ezt a szót felváltotta a latin szinusz (sinus-hajlítás, görbület)
A koszinusz szó sokkal fiatalabb. A koszinusz a latin kifejezés rövidítésekiegészítéssinus, azaz "kiegészítő szinusz" (vagy más módon "egy további ív szinusz"); ne feledjekötözősalátaa= bűn(90 ° - a)).
A trigonometrikus függvények kezelésekor jelentősen túlmutatunk a "háromszögek mérésének" problémáján. Ezért a híres matematikus F. Klein (1849-1925) azt javasolta, hogy a "trigonometrikus" funkciók tantételét másképp nevezzék goniometriának (szög). Ez a név azonban nem fogott meg.
Érintők merültek fel az árnyék hosszának meghatározásának problémájának megoldása kapcsán. Tangent (valamint a cotangent, secant és cosecant) vezették bexv. Abu-l-Wafa arab matematikus, aki összeállította az első táblázatokat az érintők és a kotangensek megtalálására. Ezek a felfedezések azonban sokáig ismeretlenek maradtak az európai tudósok előtt, és az érintőket újra felfedeztékXΙVv. először T. Braverdin angol tudós, később pedig Regiomontan német matematikus, csillagász (1467). Az "érintő" név latin eredetűtanger(érintés), 1583 -ban jelent meg.Tangenslefordítja "érintőnek" (ne feledje: az érintők sora érintő az egységkörhöz)
Modern jelölésarcsinés arctg1772 -ben jelennek meg Scherfer bécsi matematikus és J. L. Lagrange híres francia tudós munkáiban, bár ezeket egy kicsit korábban J. Bernoulli vette figyelembe, aki más szimbolikát használt. De ezek a szimbólumok csak a végén váltak általánosan elfogadottáXVΙΙΙszázadban. A "bár" előtag a latinból származikarcusxpéldául -, ez a szög (és mondhatjuk az ívet), amelynek szinusz egyenlőx.
A trigonometria sokáig a geometria részeként alakult ki, azaz a tényeket, amelyeket most trigonometrikus függvények formájában fogalmazunk meg, geometriai fogalmak és állítások segítségével fogalmazták meg és bizonyították. A trigonometria kifejlesztésének talán legnagyobb ösztönzői a csillagászat problémáinak megoldása kapcsán merültek fel, amelyek nagy gyakorlati érdeklődést mutattak (például a hajó helyének meghatározásával, a napfogyatkozások előrejelzésével stb. Kapcsolatos problémák megoldása).
A csillagászokat a gömbön fekvő nagy körökből álló gömbháromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolat érdekelte. És meg kell jegyezni, hogy az ókor matematikusai sikeresen megbirkóztak azokkal a problémákkal, amelyek sokkal nehezebbek, mint a lapos háromszögek megoldása.
Mindenesetre geometriai formában sok számunkra ismert trigonometriai képletet fedeztek fel és fedeztek fel újra az ókori görög, indiai, arab matematikusok (a trigonometrikus függvények különbségének képletei azonban csakXVΙӀ in. - ezeket Napier angol matematikus származtatta, hogy trigonometrikus függvényekkel egyszerűsítse a számításokat. És az első szinuszrajz 1634 -ben jelent meg)
Alapvető fontosságú volt K. Ptolemaiosz első szinusz -táblázatának összeállítása (sokáig akkordok táblájának nevezték): megjelent egy gyakorlati eszköz számos alkalmazott probléma, és elsősorban csillagászati problémák megoldására.
Amikor kész táblázatokkal foglalkozunk, vagy számológépet használunk, gyakran nem gondolunk arra, hogy volt idő, amikor még nem találták ki az asztalokat. Összeállításukhoz nemcsak nagyszámú számítást kellett elvégezni, hanem táblázatok összeállításának módját is ki kellett találni. Ptolemaiosz táblázatai öt tizedesjegy pontosságúak.
Modern megjelenés a trigonometriát a legnagyobb matematikus adtaXvΙӀΙ század L. Euler (1707-1783), svájci származású, hosszú évekig dolgozott Oroszországban, és tagja volt a Szentpétervári Tudományos Akadémiának. Euler volt az, aki először bevezette a trigonometrikus függvények jól ismert definícióit, elkezdte figyelembe venni egy tetszőleges szögű függvényeket, és redukciós képleteket kapott. Mindez csak kis töredéke annak, amit Eulernek hosszú életében sikerült elérnie a matematikában: több mint 800 dolgozatot hagyott hátra, bizonyított számos tételt, amelyek klasszikussá váltak, a matematika legkülönbözőbb területeivel kapcsolatban. De ha geometriai formában próbál működni trigonometrikus függvényekkel, vagyis ahogy számos matematikus generáció tette Euler előtt, akkor képes lesz értékelni Euler érdemeit a trigonometria rendszerezésében. Euler után a trigonometria új számítási formát kapott: a trigonometriai képletek formális alkalmazásával különféle tényeket kezdtek bizonyítani, a bizonyítások sokkal tömörebbek és egyszerűbbek lettek.
A gömbgeometria fejlődésének történetéből .
Széles körben ismert, hogy az euklideszi geometria az egyik legősibb tudomány: már benIIIszázadban megjelent Euklidész klasszikus műve - "Kezdetek". Kevésbé ismert, hogy a gömb geometria csak valamivel fiatalabb. Első szisztematikus előadása arra utalén- IIszázadban. A "Spherica" című könyvben, amelyet Menelaus görög matematikus írt (énc.), a gömbháromszögek tulajdonságait tanulmányozták; bebizonyosodott különösen, hogy a gömb alakú háromszög szögeinek összege nagyobb, mint 180 fok. Egy másik görög matematikus, Claudius Ptolemaiosz (IIv.). Valójában ő volt az első, aki összeállította a trigonometrikus függvények táblázatait, bevezette a sztereografikus vetítést.
Euklidész geometriájához hasonlóan a gömbgeometria is felmerült a gyakorlati problémák megoldásában, és elsősorban a csillagászatban. Ezekre a feladatokra szükség volt például az utazók és a tengerészek számára, akiket a csillagok vezettek. És mivel a csillagászati megfigyelések során kényelmes feltételezni, hogy a Nap és a Hold, valamint a csillagok az ábrázolt "égi gömb" mentén mozognak, természetes, hogy mozgásuk tanulmányozásához szükség volt a gömb geometriájának ismeretére. Ezért nem véletlen, hogy Ptolemaiosz leghíresebb művét "A csillagászat nagy matematikai konstrukciója 13 könyvben" címmel kapta.
A gömb trigonometria történetének legfontosabb korszaka a Közel -Kelet tudósainak tevékenységéhez kapcsolódik. Indiai tudósok sikeresen megoldották a gömb trigonometria problémáit. A Ptolemaiosz által leírt és a teljes négyszög Menelaosz -tételén alapuló módszert azonban nem használták. A gömbös trigonometriában pedig olyan projekciós módszereket alkalmaztak, amelyek megfeleltek a Ptolemaiosz -féle Analemmában leírtaknak. Ennek eredményeként bizonyos számítási szabályokat kaptak, amelyek lehetővé tették a gömbcsillagászat szinte minden problémájának megoldását. Segítségükkel az ilyen feladat végül a hasonló lapos derékszögű háromszögek összehasonlítására redukálódott. A megoldás során gyakran használták a másodfokú egyenletek elméletét és az egymást követő közelítések módszerét. Példa egy csillagászati problémára, amelyet indiai tudósok az általa kidolgozott szabályok segítségével oldottak meg, az a probléma, amelyet Varahamihira "Panga Siddhantika" című művében vizsgáltak (V- VI). A Nap magasságának megállapításából áll, ha ismert a hely szélessége, a Nap deklinációja és óránkénti szöge. Ennek a feladatnak a megoldása eredményeképpen egy konstrukciósorozat után létrejön egy összefüggés, amely egyenértékű a gömbháromszög modern koszinusz -tételével. Ezt az összefüggést és egy másik, a szinuszok tételével egyenértékű szabályt azonban nem általánosítottak, mint bármely gömbháromszögre alkalmazandó szabályokat.
Az első keleti tudósok között, akik Menelaosz tételének tárgyalásához fordultak, meg kell nevezni Banu Mussa testvéreket - Mohamedet, Hasánt és Ahmadot, Mussa ibn Shakir fiait, akik Bagdadban dolgoztak, és matematikával, csillagászatgal és mechanikával foglalkoztak. . De a legkorábbi fennmaradt írások Menelaosz tételéről Sabit ibn Qorrah (836-901) tanítványuk "Értekezés a szekáns alakjáról"
A Thabit ibn Qorrah értekezése eredeti arab nyelven érkezett hozzánk. És latin fordításbanXIIv. A kremonai Guérando (1114-1187) fordítását széles körben elterjesztették a középkori Európában.
A trigonometria története, mint a háromszög szögei és oldalai közötti kapcsolat tudománya és mások geometriai formák, két évezredet ölel fel. A legtöbb ilyen arány nem fejezhető ki a szokásos algebrai műveletek segítségével, ezért szükség volt speciális trigonometriai függvények bevezetésére, amelyeket eredetileg numerikus táblázatok formájában terveztek.
A történészek úgy vélik, hogy a trigonometriát ősi csillagászok alkották, kicsit később kezdték használni az építészetben. Az idő múlásával a trigonometria hatóköre folyamatosan bővült, ma már szinte minden természettudományt, technológiát és számos más tevékenységi területet is magában foglal.
Alkalmazott trigonometriai problémák nagyon sokfélék - például a gyakorlatban mérhetők a felsorolt értékeken végzett műveletek eredményei (például a szögek összege vagy az oldalak hosszának aránya).
A sík trigonometriájának fejlődésével párhuzamosan a görögök a csillagászat hatására messze haladtak a gömbszerű trigonometriával. Euklidész "elemei" ebben a témában csak egy tételt tartalmaznak a golyók térfogatának arányáról különböző átmérőjű, de a csillagászat és a térképészet igényei a gömb trigonometria és a kapcsolódó területek gyors fejlődését okozták - az égi koordinátarendszer, a térképészeti vetületek elmélete, a csillagászati műszerek technológiája.
tanfolyamok.
A trigonometria és a valós élet
A trigonometriai függvények alkalmazást találtak a matematikai elemzésben, a fizikában, az informatikában, a geodéziában, az orvostudományban, a zenében, a geofizikában és a navigációban.
A trigonometria használata a navigációban
Navigáció (ez a szó a latinból származiknavtiotio- hajón vitorlázás) - az egyik legősibb tudomány. A legelső navigátorok a legegyszerűbb navigációs feladatokkal szembesültek, mint például a legrövidebb útvonal meghatározása és a menetirány kiválasztása. Jelenleg ezeket és más feladatokat nemcsak a tengerészeknek, hanem pilótáknak és űrhajósoknak is meg kell oldaniuk. Nézzük meg részletesebben a navigáció néhány fogalmát és feladatát.
Feladat. A földrajzi koordináták ismertek - a földfelszín A és B pontjainak szélessége és hosszúsága:, és,. Meg kell találni a legrövidebb távolságot az A és B pontok között a földfelszín mentén (a Föld sugara ismertnek tekinthető:R= 6371 km)
Megoldás. Emlékezzünk először arra, hogy az M pont szélessége a földfelszínen az OM sugár által alkotott szög értéke, ahol O a Föld középpontja, az egyenlítői síkkal: ≤, és az egyenlítőtől északra eső szélesség pozitívnak tekintik, és dél felé - negatívnak (1. ábra)
Az M pont hosszúsága a COM és SON síkok közötti kétszögű szög értéke, ahol C a Föld északi pólusa, H pedig a Greenwich -i obszervatóriumnak megfelelő pont: ≤ (a Greenwich -i meridiántól keletre, a hosszúságot pozitívnak tekintik, nyugatra - negatív).
Mint már tudja, a Föld felszínének A és B pontjai közötti legrövidebb távolság az A -t és B -t összekötő nagy kör íveinek közül a kisebbik hossza (az ilyen ívet ortodromiának hívják - görögül lefordítva azt jelenti, hogy "egyenes futás" "). Ezért feladatunk az ABC gömbháromszög AB oldalának hosszának meghatározására szorítkozik (C az északi pólus).
Az ABC háromszög elemeire és a megfelelő háromszögű OABS szögre vonatkozó szabványos jelölést alkalmazva a feladat feltételéből azt találjuk: α = = -, β = (2. ábra).
A C szöget szintén nem nehéz kifejezni az A és B pont koordinátáin keresztül. Értelemszerűen ≤, tehát vagy C szög, ha ≤, vagy - ha. Tudni = a koszinusz-tétel felhasználásával: = + (-). A szög ismeretében megtaláljuk a szükséges távolságot: =.
Trigonometria a navigációban 2.
A hajó útvonalának Gerhard Mercator (1569) vetületében készült térképen történő ábrázolásához meg kellett határozni a szélességet. Ha a Földközi -tengeren vitorlázik a következő útvonalakonXVIIv. szélesség nem volt megadva. Edmond Gunther (1623) elsőként használta a trigonometriai számításokat a navigációban.
A trigonometria segít kiszámítani a szél hatását a repülőgép repülésére. A sebességháromszög a légsebességvektor által alkotott háromszög (V), szélvektor (W), talajsebesség -vektor (V NS ). PU - vágányszög, HC - szélszög, KUV - irányszél.
A navigációs sebesség háromszög elemei közötti kapcsolat a következő:
V NS = V kötözősaláta USA + W kötözősaláta HC; bűn USA = * bűn UV, tg HC =
A navigációs sebesség háromszöget számológépek segítségével, a navigációs vonalzón és megközelítőleg az elmében oldják meg.
Trigonometria az algebrában.
Íme egy példa arra, hogyan lehet trigonometrikus helyettesítéssel komplex egyenletet megoldani.
Az egyenlet megadva
Legyen , kap
;
ahol: vagy
a korlátozásokat figyelembe véve a következőket kapjuk:
Trigonometria a fizikában
Bárhol is kell foglalkoznunk periodikus folyamatokkal és lengésekkel - legyen az akusztika, optika vagy lengő inga, trigonometrikus függvényekkel van dolgunk. Rezgési képletek:
ahol A- a rezgés amplitúdója, - a rezgés szögfrekvenciája, - a rezgés kezdeti szakasza
Oszcillációs fázis.
Amikor a tárgyakat vízbe merítik, nem változtatják meg alakjukat vagy méretüket. Az egész titok az optikai hatás, amely látásunkat másképp érzékeli a tárgyat. A legegyszerűbb trigonometriai képletek és a sugár beesési szögének és törés szinuszának értékei lehetővé teszik az állandó törésmutató kiszámítását, amikor a fénysugár közegről közegre halad. Például a szivárvány annak a ténynek köszönhető, hogy napfény fénytörésnek vetik alá a levegőben lebegő vízcseppekben a törés törvénye szerint:bűn α / bűn β = n 1 / n 2
ahol:
n 1 az első közeg törésmutatója
n 2 a második közeg törésmutatója
α -beesési szög, β - a fény törésszöge.
A napszél töltött részecskéinek behatolását a bolygók légkörének felső rétegeibe a bolygó mágneses mezőjének és a napszélnek a kölcsönhatása határozza meg.
A mágneses térben mozgó töltött részecskékre ható erőt Lorentz -erőnek nevezzük. Arányos a részecske töltésével és a mező vektor szorzatával, valamint a részecske sebességével.
Gyakorlati példaként tekintsünk egy fizikai problémát, amelyet trigonometria segítségével oldanak meg.
Feladat. Egy ferde síkon, amely 24,5 szöget zár be a horizontral O , van egy 90 kg -os test. Keresse meg azt az erőt, amellyel ez a test nyomja a ferde síkot (azaz milyen nyomást gyakorol a test erre a síkra).
Megoldás:
Az X és Y tengelyek kijelölése után elkezdjük építeni az erők tengelyre vetülését, először ezt a képletet használva:
ma = N + mg , akkor nézzük a képet,
NS : ma = 0 + mg sin24,5 0Y: 0 = N - mg cos24,5
0N
= mg kötözősaláta 24,5 0helyettesítjük a tömeget, és azt tapasztaljuk, hogy az erő egyenlő 819 N.
Válasz: 819 N.
Trigonometria az orvostudományban és a biológiában
Az egyik alapvető tulajdonságokaz élő természet a benne lejátszódó folyamatok többségének ciklikus jellege.
Biológiai ritmusok, bioritmusok- ezek többé -kevésbé rendszeres változások a biológiai folyamatok jellegében és intenzitásában.
Alapvető földritmus- napi.
A bioritmus modell trigonometrikus függvények felhasználásával építhető fel.
A bioritmus modell felépítéséhez meg kell adni a személy születési dátumát, a visszaszámlálás dátumát (nap, hónap, év) és az előrejelzés időtartamát (napok száma).
Még az agy egyes területeit is sinusoknak nevezik.
A melléküregek falát az endotéliummal bélelt dura mater alkotja. A szinuszok lumenje tátong, a szelepek és az izomhártya - más vénákkal ellentétben - hiányzik. Az endothellel borított szálas szeptumok a sinusüregben helyezkednek el. Az orrmelléküregekből vér jut a belső nyaki vénákba, emellett tartalék vénás végzettségek révén kapcsolat van a szinuszok és a koponya külső felületének vénái között.
A halak vízben való mozgása a szinusz vagy a koszinusz törvénye szerint történik, ha rögzít egy pontot a farkán, majd fontolja meg a mozgás pályáját.
Úszáskor a hal teste görbe alakot ölt, amely hasonlít a grafikonra
funkciókat y= tgx.
Trigonometria a zenében
Zenét hallgatunk formátumbanmp3.
A hangjel hullám, itt a "grafikonja".
Mint látható, bár nagyon összetett, ez egy szinusz, amely betartja a trigonometria törvényeit.
A moszkvai Művészeti Színházban 2003 tavaszán került sor az „Night Snipers” csoport, a szólista Diana Arbenina „Trigonometry” című albumának bemutatására. Az album tartalma feltárja a "trigonometria" szó eredeti jelentését - a Föld mérését.
Trigonometria az informatikában
A pontos számításokhoz trigonometrikus függvények használhatók.
A trigonometrikus függvények segítségével bármelyiket megközelítheti
(bizonyos értelemben "jó") függvény, kibővítve egy Fourier sorozatban:
a 0 + a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 bűn 2x + a 3 cos 3x + b 3 bűn 3x + ...
A megfelelő számok kiválasztása a 0, a 1, b 1, a 2, b 2, ..., lehetőség van a számítógép szinte minden funkciójának ábrázolására ilyen (végtelen) összeg formájában a szükséges pontossággal.
A trigonometrikus függvények hasznosak, ha grafikus információkkal dolgoznak. Szükséges szimulálni (számítógépen leírni) egy tárgy tengely körüli forgását. Van egy forgatás egy bizonyos szögben. A pontok koordinátáinak meghatározásához szinuszokkal és koszinuszokkal kell megszorozni.
Justin Windell, programozó és tervezőGoogle Grafika Labor , közzétett egy bemutatót, amely példákat mutat be a trigonometrikus függvények dinamikus animációk létrehozására való felhasználására.
Trigonometria az építésben és a geodéziában
Az oldalak hossza és a síkban tetszőleges háromszög szögeinek nagysága bizonyos összefüggésekkel kapcsolódik egymáshoz, amelyek közül a legfontosabbak a koszinuszok és a szinuszok tételei.
2 ab
= =
Ezekben a képletekben ab, c- az ABC háromszög oldalainak hossza, amelyek az A, B, C szögekkel szemben helyezkednek el. Ezek a képletek lehetővé teszik a háromszög három elemének - az oldalak és szögek hosszának - a fennmaradó három elem helyreállítását. Ezeket gyakorlati problémák megoldására használják, például a geodézia területén.
Minden "klasszikus" felmérés trigonometrián alapul. Mivel valójában az ókortól kezdve a földmérők háromszögek "megoldásával" foglalkoztak.
Az épületek, utak, hidak és egyéb építmények építési folyamata feltárási és tervezési munkákkal kezdődik. Az építkezésen minden mérést olyan geodéziai műszerekkel végeznek, mint a teodolit és a trigonometrikus szint. A trigonometrikus szintezéssel a földfelszín több pontja közötti magasságkülönbséget határozzák meg.
Következtetés
A trigonometriát a szögek mérésének szükségessége keltette életre, de idővel a trigonometriai függvények tudományává fejlődött.
A trigonometria szorosan kapcsolódik a fizikához, megtalálható a természetben, a zenében, az építészetben, az orvostudományban és a technológiában.
A trigonometria tükröződik életünkben, és azok a területek, amelyeken fontos szerepet játszik, kibővülnek, ezért törvényeinek ismerete mindenki számára szükséges.
A matematika kapcsolata a külvilággal lehetővé teszi a tanulók számára, hogy „materializálják” a tudást. Ez segít jobban megérteni az iskolában megszerzett ismeretek létfontosságú fontosságát.
Gyakorlati tartalmú matematikai probléma (alkalmazott probléma) alatt olyan problémát értünk, amelynek cselekménye feltárja a matematika alkalmazását a kapcsolódó tudományos diszciplínákban, a technológiában és a mindennapi életben.
A trigonometria kialakulásának történelmi okairól, fejlődéséről és gyakorlati alkalmazásáról szóló történet ösztönzi hallgatóinkat - a tanult tantárgy iránti érdeklődés alakítja világképünket és emeli az általános kultúrát.
Ez a munka hasznos lesz olyan középiskolásoknak, akik még nem látták a trigonometria teljes szépségét, és nem ismerik a környező életben való alkalmazásának területeit.
Bibliográfia:
"Fiatalság, kreativitás, keresés"
MBOU "Tyrian középiskola"
Kutatómunka a témában
"Trigonometria és trigonometriai egyenletek"
Elvégeztem a munkát
évfolyam tanulója
Subbotin Anton.
Felügyelő
matematikatanár
Kezikova L.N.
Netrizovo
Terv.
Bevezetés. P. 3.
A trigonometria története. P. 4.
Trigonometriai egyenletek. P. 7.
3.2. Séma a trigonometriai egyenletek megoldására. P. kilenc.
3.3. Kiegészítő érv bemutatása. P. tizenegy.
3.4. Univerzális trigonometrikus helyettesítés. P. 12.
3.5. Trigonometriai egyenletek megoldása
képletek. P. tizennégy.
3.6. Trigonometriai egyenletek megoldása
faktorizáció. P. 15.
3.7 Homogén trigonometriai egyenletek megoldása. P. 16.
3.8. Nem szabványos trigonometriai megoldás
egyenletek. P. 17.
A trigonometria gyakorlati alkalmazása. P. 19.
4.2. Trigonometria a biológiában. P. 21.
4.3 A trigonometria az orvostudományban P. 22.
Következtetés. P. 23.
Bibliográfia. P. 24.
Vvenni
Kutatási objektum: trigonometria és trigonometriai egyenletek.
Kutatási tárgy: a trigonometria gyakorlati alkalmazása.
A kutatás célja: kép létrehozása a trigonometria fogalmainak megjelenéséről és az alkalmazási példák azonosítása.
A trigonometria története
E szó eredete görögül: τρίγωνον - háromszög, μετρεω - mérték. Más szóval, a trigonometria a háromszögek mérésének tudománya. A trigonometria megjelenése a földméréssel, a csillagászatgal és az építéssel függ össze. Bár a név viszonylag nemrégiben merült fel, sok fogalom és tény, amelyek ma a trigonometriához kapcsolódnak, már 2000 évvel ezelőtt ismertek voltak.
A szinusz fogalma hosszú múltra tekint vissza. Valójában a háromszög és a kör szegmenseinek különböző arányaival (és lényegében a trigonometrikus függvényekkel) már a 3. században találkozunk. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. az ókori Görögország nagy matematikusainak munkáiban - Euklidész, Arkhimédész, Perga Apollóniusz. A római korban ezeket a kapcsolatokat már elég szisztematikusan tanulmányozta Menelaus (Kr. U. 1. század), bár nem kaptak külön nevet. Az α szög modern szinuszát például fél akkordként, amelyen az α érték középső szöge nyugszik, vagy kettős ív akkordjaként vizsgáljuk.
A következő időszakban a matematikát hosszú ideig legaktívabban fejlesztették az indiai és arab tudósok. Különösen a 4-5 században jelent meg egy különleges kifejezés a nagy indiai tudós, Aryabhata (476-c. 550) csillagászati munkáiban, akikről a Föld első indiai műholdját nevezték el. A szegmenst ardhajivának nevezte (ardha-fele, íj jiva-íjja, amely akkordra hasonlít). Később a rövidebb dzsíva nevet vették fel. Arab matematikusok a IX. a jiva (vagy jiba) szót az arab jaib (dudor) szó váltotta fel. Arab matematikai szövegek fordításakor a XII. ezt a szót felváltotta a latin szinusz (szinusz-kanyar, görbület).
A koszinusz szó sokkal fiatalabb. A koszinusz a komplementlisinus latin kifejezés rövidítése, azaz "További szinusz" (vagy más módon "egy további ív szinusz"; ne feledje, cosα = sin (90 ° - a)).
Először találtak módszereket a háromszögek megoldására a háromszög oldalai és szögei közötti függőségek alapján az ókori görög csillagászok, Hipparkhosz (Kr. E. 2. század) és Claudius Ptolemaiosz (Kr. U. 2. század). Később a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggést trigonometriai függvényeknek nevezték.
Jelentősen hozzájárult a trigonometria fejlesztéséhez Al-Batani (850-929) és Abu-al-Wafa, Mohamed-bin Mohamed (940-998) arab tudósok, akik 10 '-enként összeállították a szinuszok és érintők táblázatát. 1/604 pontossággal. A sines tételét már ismerte Bhaskara indiai tudós (sz. 1114, a halál éve ismeretlen) és Nasireddin Tusi Muhamed (1201-1274) azerbajdzsáni csillagász és matematikus. Ezenkívül Nasireddin Tusi "A Traktátus a teljes négyoldalúságról" című művében önálló tudományágként vázolta fel a lapos és gömb alakú trigonometriát.
Érintők merültek fel az árnyék hosszának meghatározásának problémájának megoldása kapcsán. Az érintőt (valamint a kotangent) a 10. században vezette be Abu a-Wafa arab matematikus, aki összeállította az első táblázatokat is az érintők és a kotangensek megtalálására. Ezek a felfedezések azonban sokáig ismeretlenek maradtak az európai tudósok előtt, és az érintőket csak a XIV. Században fedezte fel újra a német matematikus, Regimontan csillagász (1467). Bebizonyította az érintő tételt. A Regiomontanus részletes trigonometriai táblázatokat is összeállított; munkáinak köszönhetően a lapos és gömb alakú trigonometria önálló tudományággá vált Európában.
A "érintő" név, amely a latin tangerből (tapintáshoz) származik, 1583 -ban jelent meg. A Tangens fordítása "érintés" (az érintők sora érintő az egységkörhöz).
A trigonometriát tovább fejlesztették a kiváló csillagászok, Nicolaus Copernicus (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601) és Johannes Kepler (1571-1630) munkáiban, valamint François Vieta (1540-1603) matematikus munkáiban. ), aki három adatból teljesen megoldotta a lapos vagy gömb alakú háromszög minden elemének meghatározásának problémáját.
A trigonometria sokáig tisztán geometriai volt, vagyis a tényeket, amelyeket most trigonometrikus függvények szerint fogalmazunk meg, geometriai fogalmak és állítások segítségével fogalmazták meg és bizonyították. A középkorban is így volt, bár néha elemzési módszereket is alkalmaztak benne, különösen a logaritmusok megjelenése után. A trigonometria fejlesztésének talán legnagyobb ingerei a csillagászatban felmerülő feladatok megoldása kapcsán merültek fel, ami nagy gyakorlati érdeklődést keltett (például a hajó helyének meghatározásával, a sötétedés előrejelzésével stb. Kapcsolatos problémák megoldására). A csillagászokat érdekelte a gömbháromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolat. És meg kell jegyezni, hogy az ókor matematikusai sikeresen megbirkóztak a kitűzött feladatokkal.
A 17. századtól kezdve a trigonometriai függvényeket kezdték alkalmazni egyenletek, mechanikai problémák, optika, villamos energia, rádiótechnika, oszcillációs folyamatok, hullámterjedés, különböző mechanizmusok mozgásának leírására, váltakozó elektromos áram tanulmányozására stb. A trigonometriai függvények átfogóak és mélyen kutatottak, és minden matematika számára nélkülözhetetlenné váltak.
Trigonometrikus egyenletek
A legegyszerűbb trigonometriai egyenletek
Itt bármilyen egész értéket felvehet, mindegyik megfelel az egyenlet egy bizonyos gyökének; ebben a képletben (valamint más olyan képletekben, amelyekkel elemi trigonometriai egyenleteket oldanak meg) hívják paraméter... Általában leírják, ezáltal hangsúlyozzák, hogy a paraméter bármilyen egész értéket felvehet.
Az egyenlet megoldásait, ahol a képlet tartalmazza
Különös figyelmet fordítunk a legegyszerűbb trigonometriai egyenletek néhány speciális esetére, amikor a megoldás általános képletek használata nélkül írható fel:
Séma a trigonometriai egyenletek megoldására
adott egyenlet megoldása elemi egyenletek megoldására redukálódik. Megoldási eszközök: átalakítások, faktorizálás, ismeretlenek pótlása. Irányelv: ne veszítsd el a gyökereket. Ez azt jelenti, hogy a következő egyenlet (ek) re való áttéréskor nem félünk a felesleges (idegen) gyökerek megjelenésétől, hanem csak arra figyelünk, hogy a „láncunk” minden egyes egyenlete (vagy elágazás esetén egyenlethalmaz) az előző következménye. Az egyik lehetséges módszerek a gyökerek kiválasztása az érvényesítés. Rögtön megjegyezzük, hogy a trigonometrikus egyenletek esetében a gyökérválasztással és a hitelesítéssel kapcsolatos nehézségek általában erősen megnőnek az algebrai egyenletekhez képest. Végül is ellenőriznie kell egy sorozatot, amely végtelen számú tagból áll.
Külön meg kell említeni az ismeretlenek helyettesítését a trigonometriai egyenletek megoldásakor. A legtöbb esetben a szükséges csere után kiderül algebrai egyenlet... Ezenkívül az egyenletek nem olyan ritkák, hogy bár trigonometrikusak megjelenés, lényegében nem azok, mert az első lépés - a változók változása - után algebraira változnak, és a trigonometriához való visszatérés csak az elemi trigonometriai egyenletek megoldásának szakaszában következik be.
Emlékeztessük még egyszer: az ismeretlen cseréjét a lehető leghamarabb el kell végezni, a helyettesítés után kapott egyenletet a végéig meg kell oldani, beleértve a gyökerek kiválasztásának szakaszát is, és csak ezután térjünk vissza az eredeti ismeretlenhez.
A trigonometriai egyenletek egyik jellemzője, hogy sok esetben a válasz különböző módon írható. Még egy egyenlet megoldására is a válasz így írható:
1) két sorozat formájában: ,,;
2) szabványos formában, amely a fenti sorozatok kombinációja:,;
3) mivel, akkor a válasz írható formában ,. (A jövőben a paraméter ,, vagy a válaszrekord jelenléte automatikusan azt jelenti, hogy ez a paraméter elfogad minden lehetséges egész értéket. (A kivételekről lesz szó.)
Nyilvánvaló, hogy a felsorolt három eset nem meríti ki a vizsgált egyenletre adott válasz rögzítésének minden lehetőségét (végtelen sok van belőlük).
Általában a választ a 2. bekezdés alapján írják. Hasznos megjegyezni a következő ajánlást: ha a munka nem fejeződik be az egyenlet megoldásával, akkor is szükség van a kutatások elvégzésére, a gyökerek kiválasztására, akkor a legkényelmesebb forma (1) bekezdésben megadott jelölés. (Hasonló ajánlást kell adni az egyenlethez.)
Kiegészítő érv bemutatása
Példa. Oldja meg a 12cosx - 5sinx = -13 egyenletet
Megoldás: osszuk el az egyenlet mindkét oldalát, kapjuk
cosx - sinx = -1.
A cos = 12/13, sin = 5/13 rendszer egyik megoldása = = arccos (12/13). Ezt szem előtt tartva írjuk fel az egyenletet a következő formában:
és az érvek összegének koszinuszára vonatkozó képletet alkalmazva azt kapjuk
Hol, azaz
Ez a képlet megadja az eredeti egyenlet összes megoldását.
Univerzális trigonometrikus helyettesítés
Meg kell jegyezni, hogy a képletek használata az eredeti egyenlet ODZ -jének beszűküléséhez vezethet, mivel nincs meghatározva a pontokban, ezért ilyen esetekben ellenőrizni kell, hogy a szögek a eredeti egyenlet.
Példa. Oldjuk meg az egyenletet 
Megoldás:
A függvényhívás feltételezi, hogy, azaz.
Az univerzális trigonometrikus szubsztitúció képletei szerint az eredeti egyenlet a következő formában jelenik meg:
;
;
|:2
;
|
; |
vagy |
; |
|
,; |
,; |
Válasz:,; ,.
Trigonometriai egyenletek megoldása képletek segítségével
Példa.
1) Egyenletek, amelyek négyzetre csökkennek.
Ez az egyenlet másodfokú a cosxban. Bevezetjük a cosx = y változók változását, majd megkapjuk az egyenletet :. A gyökerei ,. Így a megoldás két egyenlet megoldására redukálódik:
cosx = 1 gyökerei,
A cosx = -2 -nek nincs gyökere.
2) Egyenletek, amelyek elismerik a fok csökkentését.
A fokozat csökkentése a következő képletek segítségével történik:
|
cos2α = 2cos 2 α - 1 |
cos2α = 1-2sin 2 α |
.
Kifejezzük cos2x -ben.
Trigonometriai egyenletek megoldása faktorizáció segítségével
Példa.
|
1) sin2x + cosx = 0 2sinxcosx + cosx = 0 cosx (2sinx + 1) = 0 , |
2) cos3x + sin5x = 0
|
Homogén trigonometriai egyenletek megoldása
Megoldás. Ez az egyenlet a második fok homogénje. Az egyenlet mindkét értékét elosztjuk a következővel: tg.
Akkor tg
, , ; , , .
Válasz. 
.
Nem szabványos trigonometriai egyenletek megoldása
Megoldás. Változtassuk meg a kifejezést:
Az egyenletet így írjuk fel:
A trigonometria alkalmazása a művészetben és az építészetben
A szobor építésében az arány tökéletes volt. Amikor azonban a szobrot magas talapzatra emelték, csúnyán nézett ki. A szobrásznő nem vette figyelembe, hogy perspektívában sok részlet csökken a látóhatár felé, és ha alulról felfelé néz, az ideálissága benyomása már nem keletkezik. Sok számítást végeztek, hogy a figura nagy magasságból arányos legyen. Alapvetően a megfigyelési módszerre épültek, vagyis közelítő szemmel történő mérésre. Azonban bizonyos arányok különbségének együtthatója lehetővé tette, hogy az alak közelebb kerüljön az ideálhoz. Így, ismerve a szobor és a nézőpont közötti közelítő távolságot, nevezetesen a szobor tetejétől az emberi szemig és a szobor magasságát, táblázat segítségével kiszámíthatjuk a tekintet beesési szögének szinuszát ( ugyanezt tehetjük az alsó nézőponttal), ezáltal megtalálva a pontlátást (1. ábra)
A 2. ábrán a helyzet megváltozik, mivel a szobrot az AC magasságára emelik, és az NS növekszik, lehetséges a C szög koszinuszának értékeinek kiszámítása, a táblázat szerint. a tekintet beesési szöge. A folyamat során kiszámíthatja az AH -t, valamint a C szög szinuszát, amely lehetővé teszi az eredmények ellenőrzését az alapvető trigonometrikus azonosság használatával kötözősaláta 2 + bűn 2 = 1.
Összehasonlítva az AN méréseit az első és a második esetben, megtalálhatja az arányossági együtthatót. Ezt követően kapunk egy rajzot, majd egy szobrot, ha felemelik, vizuálisan az alak közelebb lesz az ideálhoz
RIZS. 1
A
VAL VEL
H
A
RIZS. 2
H
VAL VEL
Trigonometria a biológiában.
Ökológiai ritmusok: napi, szezonális (éves), árapály- és holdciklusok
Fiziológiai ritmusok: nyomásritmus, szívverés, vérnyomás, három bioritmus, amely a "három bioritmus elmélete"
A három ritmus elmélete.
A fizikai ciklus 23 nap. Meghatározza az energiát, erőt, állóképességet, mozgáskoordinációt
Az érzelmi ciklus 28 nap. Az idegrendszer és a hangulat állapota
Az értelmi ciklus 33 nap. Meghatározza egy személy kreatív képességét
Trigonometria az orvostudományban.
Béta ritmus - 14-30 Hz, aktív szellemi tevékenység
Theta ritmus-4-8 Hz, alváshoz közeli állapot, félálom
Delta ritmus - 1-4 Hz, mély alvás
Sok embernek meg kell csinálnia a szív kardiogramját, de kevesen tudják, hogy az emberi szív kardiogramja szinusz vagy koszinusz grafikonja.
Következtetés
Többet megtudtam a trigonometria történetéről.
Szisztematizált módszerek trigonometriai egyenletek megoldására.
Megismertem a trigonometria alkalmazását az építészetben, a biológiában, az orvostudományban.
Bibliográfia.
1. A. N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin és mtsai. "Algebra és az elemzés kezdete" Tankönyv az oktatási intézmények 10-11. Évfolyamához, M., Oktatás, 2010.
2. Glazer G.I. Az iskolai matematika története: VII-VIII. - M.: Oktatás, 1982.
3. Glazer G.I. A matematika története az iskolában: IX-X évfolyam. - M.: Oktatás, 1983.
4. Rybnikov K.A. Matematikatörténet: Tankönyv. - M.: A Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1994.
Bevezetés
A környező világ valódi folyamatait általában nagyszámú változó és összefüggés köti össze. Ezeket a függőségeket függvényekkel írhatja le. A "funkció" fogalma nagy szerepet játszott és játszik a valós világ megismerésében. A funkciók tulajdonságainak ismerete lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük a lejátszódó folyamatok lényegét, megjósoljuk fejlődésük menetét és irányítsuk őket. A tanulási funkciók ide vonatkozó mindig.
Cél: feltárni a trigonometrikus függvények kapcsolatát a környező világ jelenségeivel és megmutatni, hogy ezeket a funkciókat széles körben használják az életben.
feladatokat:
1. A projekt témájában irodalom és távoli hozzáférés forrásainak tanulmányozása.
2. Tudja meg, milyen természeti törvényeket fejeznek ki trigonometrikus függvények.
3. Keressen példákat a trigonometrikus függvények használatára a környező világban.
4. Elemezze és rendszerezze a rendelkezésre álló anyagot.
5. Készítse elő az előkészített anyagot az információs projekt követelményeinek megfelelően.
6. Elektronikus prezentáció kidolgozása a projekt tartalmának megfelelően.
7. Beszéljen a konferencián az elvégzett munka eredményeivel.
Az előkészítő szakaszban Találtam anyagot erről a témáról, és megismerkedtem vele, hipotéziseket állítottam fel, megfogalmaztam projektem célját. Elkezdtem keresni a szükséges információkat, tanulmányoztam a témámhoz tartozó szakirodalmat és a távoli hozzáférésű források anyagait.
A fő színpadon, kiválasztották és információkat gyűjtöttek a témában, elemezték a talált anyagokat. Kitaláltam a trigonometrikus függvények fő felhasználási módjait. Minden adatot összegeztünk és rendszereztünk. Ezután kidolgozták az információs projekt teljes végleges változatát, bemutatót tartottak a kutatási témáról.
Az utolsó szakaszban a versenyre bemutatott munka bemutatását elemezték. Ebben a szakaszban az összes kitűzött feladat végrehajtásán is dolgozni kellett, összefoglalni, vagyis felmérni tevékenységüket.
A nap felkelése és lenyugvása, a holdfázisok megváltoztatása, az évszakok, a szívverés, a szervezet életciklusai, a kerék forgása, a tenger dagálya és apálya - ezeknek a változatos folyamatoknak a modelljeit trigonometrikus függvények írják le.
Trigonometria a fizikában.
A technológiában és a körülöttünk lévő világban gyakran rendszeres időközönként ismétlődő (vagy majdnem periodikus) folyamatokkal kell megküzdenünk. Az ilyen folyamatokat oszcillálónak nevezik. A különböző fizikai természetű oszcilláló jelenségek engedelmeskednek az általános törvényeknek. Például egy áramkör áramának ingadozása és egy matematikai inga ingadozása ugyanazokkal az egyenletekkel írható le. Az oszcillációs törvények általánossága lehetővé teszi számunkra, hogy egyetlen szempontból vegyük figyelembe a különböző természetű oszcillációs folyamatokat. A testek transzlációs és forgómozgásai mellett a mechanikában az oszcilláló mozgások is érdekesek.
Mechanikai rezgések testek mozgásának nevezzük, amelyek pontosan (vagy hozzávetőlegesen) ismétlődnek rendszeres időközönként. Az oszcillációkat végző test mozgástörvényét egy bizonyos időszakos x = f (t) időfüggvény segítségével határozzuk meg. Ennek a funkciónak a grafikus ábrázolása vizuálisan ábrázolja az oszcillációs folyamat időbeli lefolyását. Egy példa erre a hullámra a feszített gumiszalag vagy zsinór mentén haladó hullámok.
Egyszerű oszcilláló rendszerek például a rugón lévő súly vagy a matematikai inga (1. ábra).
1. ábra. Mechanikus vibrációs rendszerek.
A mechanikai rezgések, mint bármely más fizikai jellegű rezgési folyamat, szabadok és kényszeríthetők. Szabad rezgések hatására lépnek fel belső erők rendszer, miután a rendszert kihozták az egyensúlyból. A rugóra eső terhelés vagy az inga rezgései szabad ingadozások. A külső időszakosan változó erők hatására bekövetkező oszcillációkat erőszaknak nevezzük.
A 2. ábra a harmonikus rezgéseket végző test koordinátáinak, sebességének és gyorsulásának grafikonjait mutatja.
Az oszcillációs folyamat legegyszerűbb típusa az egyszerű harmonikus rezgések, amelyeket az alábbi egyenlet ír le:
x = m cos (ωt + f 0).
2- ábra Az x (t) koordináták grafikonjai, az υ (t) sebesség
és harmonikus rezgéseket végző test a (t) gyorsulása.
Hang hullámok vagy az emberi fül által érzékelt hullámokat szokás hangnak nevezni.
Ha a szilárd, folyékony vagy gáz halmazállapotú közeg valamilyen helyén részecskék rezgései gerjednek, akkor a közeg atomjainak és molekuláinak kölcsönhatása miatt a rezgések véges sebességgel kezdenek átjutni egyik pontból a másikba. A rezgések közegben való terjedésének folyamatát hullámnak nevezzük.
Az egyszerű harmonikus vagy szinuszos hullámok jelentős érdeklődést mutatnak a gyakorlatban. Jellemzőjük az A részecske rezgési amplitúdója, f frekvenciája és λ hullámhossza. A szinuszos hullámok homogén közegben terjednek, állandó sebességgel υ.
Ha az emberek látása képes lenne hangot, elektromágneses és rádióhullámokat látni, akkor számos mindenféle szinusz körül látnánk.
Bizonyára mindenki többször megfigyelte azt a jelenséget, amikor a vízbe esett tárgyak azonnal megváltoztatták méretüket és arányukat. Érdekes jelenség, hogy vízbe meríti a kezét, és azonnal más személy kezévé válik. Miért történik? Erre a kérdésre a választ és a jelenség részletes magyarázatát, mint mindig, a fizika adja meg - egy tudomány, amely szinte mindent meg tud magyarázni, ami körülvesz minket ezen a világon.
Tehát valójában vízbe merítve a tárgyak természetesen nem változtatják sem méretüket, sem körvonalaikat. Ez csak optikai hatás, vagyis vizuálisan másképp érzékeljük ezt az objektumot. Ez a fénysugár tulajdonságainak köszönhető. Kiderült, hogy a fény terjedési sebességét nagymértékben befolyásolja a közeg úgynevezett optikai sűrűsége. Minél sűrűbb ez az optikai közeg, annál lassabban halad a fénysugár.
De a fénysugár sebességének változása még nem magyarázza meg teljesen azt a jelenséget, amelyet figyelembe veszünk. Van még egy tényező. Tehát amikor egy fénysugár áthalad a kevésbé sűrű optikai közeg, például a levegő és egy sűrűbb optikai közeg, például a víz közötti határon, a fénysugár egy része nem hatol be az új közegbe, hanem visszaverődik. felület. A fénysugár másik része belsejébe hatol, de már irányt változtat.
Ezt a jelenséget a fénytörésnek nevezik, és a tudósok már régóta képesek nemcsak megfigyelni, hanem pontosan kiszámítani is a törés szögét. Kiderült, hogy a legegyszerűbb trigonometriai képletek, valamint a beesési szög és a törésszög szinuszának ismerete lehetővé teszi, hogy megtudjuk az állandó törésmutatót a fénysugár egyik közegből a másikba való átmenetéhez. Például a levegő törésmutatója rendkívül kicsi, 1.0002926, a víz törésmutatója valamivel magasabb - 1.332986, a gyémánt megtöri a fényt 2.419 együtthatóval és a szilícium - 4.010.
Ez a jelenség áll az ún Szivárvány elméletek. A szivárvány elméletet először 1637 -ben René Descartes adta. A szivárványt olyan jelenségnek magyarázta, amely az esőcseppekben a fény visszaverődéséhez és töréséhez kapcsolódik.
A szivárvány annak a ténynek köszönhető, hogy a napfény megtörik a levegőben lebegő vízcseppekben a törés törvénye szerint:
ahol n 1 = 1, n 2 ≈1.33 a levegő és a víz törésmutatója, α a beesési szög, és β a fénytörési szög.
A trigonometria alkalmazása a művészetben és az építészetben.
Mióta az ember elkezdett létezni a földön, a tudomány lett az alapja a mindennapi élet és az élet más területeinek javításának. Mindennek az alapja, amit az ember teremt, a természeti és matematikai tudományok különböző irányai. Az egyik a geometria. Az építészet nem az egyetlen tudományterület, amely trigonometriai képleteket használ. A legtöbb kompozíciós döntés és rajz elkészítése pontosan a geometria segítségével történt. De az elméleti adatok keveset jelentenek. Tekintsünk egy példát egy szobor építésére, amelyet a művészet aranykorának francia mestere készített.
A szobor építésében az arány tökéletes volt. Amikor azonban a szobrot magas talapzatra emelték, csúnyán nézett ki. A szobrásznő nem vette figyelembe, hogy perspektívában sok részlet csökken a látóhatár felé, és ha alulról felfelé néz, az ideálissága benyomása már nem keletkezik. Sok számítást végeztek, hogy a figura nagy magasságból arányos legyen. Alapvetően a megfigyelési módszerre épültek, vagyis közelítő szemmel történő mérésre. Azonban bizonyos arányok különbségének együtthatója lehetővé tette, hogy az alak közelebb kerüljön az ideálhoz. Így, ismerve a szobor és a nézőpont közötti közelítő távolságot, nevezetesen a szobor tetejétől az emberi szemig és a szobor magasságát, táblázat segítségével kiszámíthatjuk a tekintet beesési szögének szinuszát, ezzel megtalálva egy nézőpontot (4. ábra).
Az 5. ábrán a helyzet megváltozik, mivel a szobrot az AC magasságára emelik, és az NS növekszik, lehetőség van a C szög koszinuszának értékeinek kiszámítására, a táblázat szerint megtaláljuk a a tekintet előfordulása. A folyamat során kiszámíthatja az AH -t, valamint a C szög szinuszát, amely lehetővé teszi az eredmények ellenőrzését az alapvető trigonometrikus azonosság használatával cos 2 a + sin 2 a = 1.
Összehasonlítva az AN méréseit az első és a második esetben, megtalálhatja az arányossági együtthatót. Ezt követően kapunk egy rajzot, majd egy szobrot, ha felemelik, vizuálisan az alak közelebb lesz az ideálhoz
Az ikonikus épületeket világszerte matematikával tervezték, amely építészeti zseninek tekinthető. Néhány figyelemre méltó példa az ilyen épületekre: Gaudí Gyermekiskola Barcelonában, Mary Axe Felhőkarcoló Londonban, Bodegas Isios Pincészet Spanyolországban, Restaurant Los Manantiales Argentínában. Ezen épületek tervezésekor a trigonometria sem volt nélkülözhetetlen.
Trigonometria a biológiában.
Az élő természet egyik alapvető tulajdonsága a benne lejátszódó folyamatok többségének ciklikus jellege. Kapcsolat van az égitestek és az élő szervezetek mozgása között a Földön. Az élő szervezetek nemcsak a Nap és a Hold fényét és melegét ragadják meg, hanem birtokolják is különféle mechanizmusok, amelyek pontosan meghatározzák a Nap helyzetét, reagálva az árapály ritmusára, a Hold fázisaira és bolygónk mozgására.
A biológiai ritmusok, bioritmusok többé -kevésbé rendszeres változások a biológiai folyamatok természetében és intenzitásában. A létfontosságú tevékenységek ilyen változásainak képessége öröklődik, és szinte minden élő szervezetben megtalálható. Megfigyelhetők egyes sejtekben, szövetekben és szervekben, egész szervezetekben és populációkban. A bioritmusok fel vannak osztva fiziológiai, a másodperc törtrészétől a több percig tartó periódusok, és ökológiai, bármilyen ritmussal egybeeső időtartam környezet... Ide tartoznak a napi, szezonális, éves, árapályos és hold ritmusai... A fő földi ritmus napi, a Föld tengelye körüli forgása miatt, ezért az élő szervezetben szinte minden folyamatnak napi rendszeressége van.
A bolygónk számos környezeti tényezője, elsősorban a fényviszonyok, a hőmérséklet, a levegő nyomása és páratartalma, a légköri és elektromágneses mezők, a tengeri árapályok és apályok, természetes módon változnak.
Hetvenöt százalék vízből állunk, és ha a telihold idején a világóceánok vizei 19 méterrel emelkednek a tengerszint felett, és elkezdődik az árapály, akkor a testünkben lévő víz is a testünk felső részeire rohan. És a magas vérnyomásban szenvedők gyakran tapasztalják a betegség súlyosbodását ezekben az időszakokban, és a természettudósok, akik gyűjtik gyógynövények, pontosan tudják, hogy a hold melyik fázisában kell gyűjteni a „csúcsokat - (gyümölcsöket)”, és miben - a „gyökereket”.
Észrevetted, hogy bizonyos időkben az életed megmagyarázhatatlan ugrásokat hajt végre? Hirtelen a semmiből - eluralkodnak az érzelmek. Fokozódik az érzékenység, amit hirtelen teljes apátia válthat fel. Kreatív és eredménytelen napok, boldog és boldogtalan pillanatok, hangulatingadozások. Megjegyezzük, hogy az emberi test képességei rendszeresen változnak. Ez a tudás képezi a „három bioritmus elméletének” alapját.
Fizikai bioritmus- szabályozza a fizikai aktivitást. A fizikai ciklus első felében az ember energikus, és a legjobb eredményeket éri el tevékenységében (a második felében - az energia átadja helyét a lustaságnak).
Érzelmi ritmus- tevékenységének időszakaiban nő az érzékenység, javul a hangulat. Az ember izgatottá válik különböző külső kataklizmákra. Ha jó kedve van, kastélyokat épít a levegőbe, álmodik a szerelemről és a szerelemről. Az érzelmi bioritmus csökkenésével a mentális erő csökken, a vágy és az örömteli hangulat eltűnik.
Intelligens bioritmus - rendelkezik memóriával, tanulási képességgel, logikus gondolkodás... A tevékenység fázisában van egy emelkedés, a második fázisban pedig a kreatív tevékenység csökkenése, nincs szerencse és siker.
A három ritmus elmélete.
· 
A fizikai ciklus 23 nap. Meghatározza az energiát, erőt, állóképességet, mozgáskoordinációt
· Érzelmi ciklus - 28 nap. Az idegrendszer és a hangulat állapota
· Szellemi ciklus - 33 nap. Meghatározza egy személy kreatív képességét
A trigonometria a természetben is megtalálható. A halak mozgása a vízben a szinusz vagy a koszinusz törvénye szerint történik, ha rögzítünk egy pontot a farkán, majd figyelembe vesszük a mozgás pályáját. Úszáskor a hal teste görbe alakot ölt, amely hasonlít az y = tgx függvény grafikonjára.
Egy madár repülése során a szárnyak csapkodásának pályája egy szinuszot képez.
Trigonometria az orvostudományban.
Shiraz Vahid-Reza Abbasi iráni egyetemi hallgató tanulmányának eredményeként az orvosok először tudták megszervezni a szív elektromos aktivitásával kapcsolatos információkat, vagy más szóval az elektrokardiográfiát.
A Teherán nevű formulát a földrajzi orvoslás 14. konferenciáján, majd a számítástechnika kardiológiában történő használatáról szóló, 28. konferencián mutatták be az általános tudományos közösségnek Hollandiában.
Ez a képlet egy komplex algebrai-trigonometriai egyenlőség, amely 8 kifejezésből, 32 együtthatóból és 33 alapvető paraméterből áll, beleértve számos további paramétert az aritmia esetén történő számításokhoz. Az orvosok szerint ez a képlet nagyban megkönnyíti a szívműködés fő paramétereinek leírásának folyamatát, ezáltal felgyorsítja a diagnózist és a tényleges kezelés megkezdését.
Sok embernek meg kell csinálnia a szív kardiogramját, de kevesen tudják, hogy az emberi szív kardiogramja szinusz vagy koszinusz grafikonja.
A trigonometria segít agyunknak a tárgyaktól való távolság meghatározásában. Amerikai tudósok azzal érvelnek, hogy az agy a tárgyak távolságát a Föld síkja és a látássík közötti szög mérésével becsüli meg. Ez a következtetés egy kísérletsorozat után született, amelynek résztvevőit arra kérték, hogy ezt a szöget növelő prizmákon keresztül nézzék meg a körülöttük lévő világot.
Ez a torzulás ahhoz vezetett, hogy a prizmák kísérleti hordozói közelebbinek észlelték a távoli tárgyakat, és nem tudtak megbirkózni a legegyszerűbb tesztekkel. A kísérletekben részt vevők közül néhányan még előre is hajoltak, és próbálták testüket merőlegesen igazítani a föld helytelenül ábrázolt felszínéhez. 20 perc után azonban megszokták torz felfogásés minden probléma megszűnt. Ez a körülmény jelzi annak a mechanizmusnak a rugalmasságát, amellyel az agy a vizuális rendszert a változó külső körülményekhez igazítja. Érdekes megjegyezni, hogy a prizmák eltávolítása után egy ideig az ellenkező hatást figyelték meg - a távolság túlbecsülését.
Az új tanulmány eredményei - ahogy az várható is - érdekesek lesznek a robotok számára navigációs rendszereket tervező mérnökök, valamint a legreálisabb virtuális modellek létrehozásán dolgozó szakemberek számára. Az orvostudomány területén is lehetségesek alkalmazások, az agy bizonyos területein sérült betegek rehabilitációjában.
Következtetés
Jelenleg a geometria, a fizika és a mérnökség szinte minden területén trigonometriai számításokat alkalmaznak. Nagy jelentősége van a háromszögelés technikájának, amely lehetővé teszi a közeli csillagoktól való távolság mérését a csillagászatban, a földrajzi tájékozódási pontok között és a műholdas navigációs rendszerek vezérlését. Szintén figyelemre méltó a trigonometria alkalmazása olyan területeken, mint a zeneelmélet, akusztika, optika, pénzügyi piacelemzés, elektronika, valószínűségelmélet, statisztika, orvostudomány (beleértve az ultrahangot (ultrahangot) és a számítógépes tomográfiát), gyógyszeripar, kémia, számelmélet, szeizmológia, meteorológia, óceanológia, térképészet, a fizika számos ága, topográfia és geodézia, építészet, közgazdaságtan, elektronika, gépészet, számítógépes grafika, kristálytan.
Következtetések:
· Megtudtuk, hogy a trigonometriát a szögek mérésének szükségessége hozta létre, de idővel a trigonometriai függvények tudományává fejlődött.
· Bebizonyítottuk, hogy a trigonometria szoros kapcsolatban áll a fizikával, a biológiával, és előfordul a természetben, az építészetben és az orvostudományban.
· Úgy gondoljuk, hogy a trigonometria tükröződik az életünkben, és azok a területek, amelyeken fontos szerepet játszik, kibővülnek.
Irodalom
1. Alimov Sh.A. et al. "Algebra és az elemzés kezdete" Tankönyv az oktatási intézmények 10-11. Évfolyamához, M., Oktatás, 2010.
2. Vilenkin N.Ya. Funkciók a természetben és a technológiában: Könyv. az extra osztályokért. olvasmányok IX-XX cl. - 2. kiadás, Rev.-M: Enlightenment, 1985.
3. Üvegező G.I. A matematika története az iskolában: IX-X évfolyam. - M.: Oktatás, 1983.
4. Maslova T.N. "A tanuló matematikai kézikönyve"
5. Rybnikov K.A. Matematikatörténet: Tankönyv. - M.: A Moszkvai Állami Egyetem Kiadója, 1994.
6. Study.ru
7. Math.ru "könyvtár"
