A rendszer nulla megoldása. Homogén lineáris algebrai egyenletrendszerek

Problémájára részletes megoldást rendelhet!!!

Hogy megértsük, mi az alapvető döntési rendszer kattintással megnézheti az oktatóvideót ugyanerről a példáról. Most térjünk át az összes szükséges munka tényleges leírására. Ez segít részletesebben megérteni a kérdés lényegét.

Hogyan találhatunk alapvető megoldási rendszert egy lineáris egyenletre?

Vegyük például a következő lineáris egyenletrendszert:

Keressünk megoldást erre a lineáris egyenletrendszerre. Kezdjük azzal, hogy mi fel kell írni a rendszer együtthatóinak mátrixát.

Alakítsuk át ezt a mátrixot háromszög alakúvá. Az első sort változtatás nélkül átírjuk. És minden olyan elemet, amely $ a_ (11) $ alatt van, nullává kell tenni. Ha a $ a_ (21) $ elem helyére nullát szeretne tenni, vonja ki az elsőt a második sorból, és írja be a különbséget a második sorba. Ahhoz, hogy a $ a_ (31) $ elem helyett nulla legyen, vonja ki az elsőt a harmadik sorból, és írja be a különbséget a harmadik sorba. Ahhoz, hogy a $ a_ (41) $ elem helyett nulla legyen, vonja ki az első szorzatot 2-vel a negyedik sorból, és írja be a különbséget a negyedik sorba. Ahhoz, hogy a $ a_ (31) $ elem helyett nulla legyen, vonjuk ki az első szorzatot 2-vel az ötödik sorból, és írjuk be a különbséget az ötödik sorba.

Az első és a második sort változtatás nélkül átírjuk. És minden olyan elemet, amely $ a_ (22) $ alatt van, nullává kell tenni. Ahhoz, hogy a $ a_ (32) $ elem helyett nulla legyen, vonja ki a második szorzatot 2-vel a harmadik sorból, és írja be a különbséget a harmadik sorba. Ahhoz, hogy a $ a_ (42) $ elem helyett nulla legyen, vonja ki a másodikat 2-vel szorozva a negyedik sorból, és írja be a különbséget a negyedik sorba. Ahhoz, hogy a $ a_ (52) $ elem helyett nulla legyen, vonjuk ki az ötödik sorból a másodikat szorozva 3-mal, és írjuk be a különbséget az ötödik sorba.

Ezt látjuk az utolsó három sor ugyanaz, ezért ha kivonja a harmadikat a negyedikből és az ötödikből, akkor ezek nullává válnak.

E mátrix szerint írjunk fel egy új egyenletrendszert.

Látjuk, hogy csak három lineárisan független egyenletünk van, és öt ismeretlenünk, tehát az alapvető megoldási rendszer két vektorból fog állni. Szóval mi az utolsó két ismeretlent jobbra kell mozgatnia.

Most elkezdjük kifejezni azokat az ismeretleneket, amelyek a bal oldalon vannak, azokon keresztül, amelyek a jobb oldalon vannak. Kezdjük az utolsó egyenlettel, először kifejezzük $ x_3 $, majd a kapott eredményt behelyettesítjük a második egyenletbe és kifejezzük $ x_2 $, majd az első egyenletbe és itt fejezzük ki $ x_1 $. Így a bal oldalon lévő összes ismeretlen a jobb oldalon lévő ismeretleneken keresztül fejeződik ki.

Ezt követően $ x_4 $ és $ x_5 $ helyett tetszőleges számokat helyettesíthetünk, és megtaláljuk a $ x_1 $, $ x_2 $ és $ x_3 $ értékeket. Mind az öt szám lesz az eredeti egyenletrendszerünk gyökere. Olyan vektorok megkeresése, amelyek benne vannak FSR be kell cserélnünk 1-et a $ x_4 $ helyett, és be kell cserélnünk 0-val a $ x_5 $ helyett, keressük meg a $ x_1 $, $ x_2 $ és $ x_3 $ értéket, majd fordítva: $ x_4 = 0 $ és $ x_5 = 1 $.

Rendszer m lineáris egyenletek c n ismeretlennek hívják lineáris homogén rendszer egyenletek, ha minden szabad tag nulla. Egy ilyen rendszer így néz ki:

ahol és ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - adott számok; x i- ismeretlen.

A lineáris homogén egyenletrendszer mindig konzisztens, hiszen r(A) = r(). Mindig legalább nulla ( jelentéktelen) oldat (0; 0;…; 0).

Nézzük meg, hogy a homogén rendszereknek milyen feltételek mellett vannak nullától eltérő megoldásai.

1. tétel. Egy lineáris homogén egyenletrendszernek akkor és csak akkor van nullától eltérő megoldása, ha a főmátrixának rangja r kevesebb az ismeretlen n, azaz r < n.

□ 1). Legyen a lineáris homogén egyenletrendszernek nullától eltérő megoldása. Mivel a rang nem haladhatja meg a mátrix méretét, akkor nyilvánvalóan r ≤ n... Legyen r = n... Aztán az egyik kiskorú mérete n n nem nulla. Ezért a megfelelő lineáris egyenletrendszernek egyedi megoldása van: ,,. Ez azt jelenti, hogy a triviális megoldásokon kívül nincs más megoldás. Tehát, ha van nem triviális megoldás, akkor r < n.

2). Legyen r < n... Ekkor a homogén rendszer, mivel konzisztens, határozatlan. Ennélfogva végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai is vannak. ■

Tekintsünk egy homogén rendszert n lineáris egyenletek c n ismeretlen:

(2)

2. tétel. Homogén rendszer n lineáris egyenletek c n Az ismeretleneknek (2) akkor és csak akkor vannak nem nulla megoldásai, ha a determinánsa egyenlő nullával: = 0.

□ Ha a (2) rendszernek nincs nullától eltérő megoldása, akkor = 0. For for esetén a rendszernek csak egyedi nulla megoldása van. Ha = 0, akkor a rang r a rendszer főmátrixa kisebb, mint az ismeretlenek száma, azaz. r < n... És ezért a rendszernek végtelen számú megoldása van, pl. nullától eltérő megoldásai is vannak. ■

Jelöljük az (1) rendszer megoldását NS 1 = k 1 , NS 2 = k 2 , …, x n = k n mint egy húr .

A lineáris homogén egyenletrendszer megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

1. Ha a húr az (1) rendszer megoldása, akkor a sor az (1) rendszer megoldása.

2. Ha a vonalak és az (1) rendszer megoldásai, akkor bármely értékre val vel 1 és val vel A 2. ábrán látható lineáris kombinációjuk megoldást jelent az (1) rendszerre is.

Ezen tulajdonságok érvényességét úgy ellenőrizheti, hogy közvetlenül behelyettesíti őket a rendszer egyenleteibe.

A megfogalmazott tulajdonságokból következik, hogy a lineáris homogén egyenletrendszer megoldásainak bármely lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása is.

Lineárisan független megoldások rendszere e 1 , e 2 , …, e r hívott alapvető ha az (1) rendszer minden megoldása ezen megoldások lineáris kombinációja e 1 , e 2 , …, e r.

3. tétel. Ha rang r az (1) lineáris homogén egyenletrendszer változóinak együtthatói mátrixa kisebb, mint a változók száma n, akkor az (1) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere abból áll n - r megoldásokat.

Ezért közös döntés A lineáris homogén egyenletrendszer (1) alakja:

ahol e 1 , e 2 , …, e r- a (9) rendszer bármely alapvető megoldási rendszere, val vel 1 , val vel 2 , …, p- tetszőleges számok, R = n - r.

4. tétel.Általános rendszermegoldás m lineáris egyenletek c n ismeretlenek egyenlő a megfelelő lineáris homogén egyenletrendszer (1) általános megoldásának és e rendszer tetszőleges konkrét megoldásának (1) összegével.

Példa. Oldja meg a rendszert

Megoldás. Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

A 2. Tétel szerint a rendszernek csak egy triviális megoldása van: x = y = z = 0.

Példa. 1) Keresse meg a rendszer általános és specifikus megoldásait

2) Keressen egy alapvető döntési rendszert!

Megoldás. 1) Ehhez a rendszerhez m = n= 3. Meghatározó

a 2. Tétel szerint a rendszernek vannak nem nulla megoldásai.

Mivel csak egy független egyenlet van a rendszerben

x + y – 4z = 0,

akkor abból fejezzük ki x =4z- y... Ahonnan végtelen számú megoldást kapunk: (4 z- y, y, z) - ez a rendszer általános megoldása.

Nál nél z= 1, y= -1, akkor egy konkrét megoldást kapunk: (5, -1, 1). Elhelyezés z= 3, y= 2, akkor a második konkrét megoldást kapjuk: (10, 2, 3) stb.

2) Az általános megoldásban (4 z- y, y, z) változók yés z szabadok, és a változó NS- tőlük függ. A megoldások alapvető rendszerének megtalálásához értékeket rendelünk a szabad változókhoz: először y = 1, z= 0, akkor y = 0, z= 1. Olyan partikuláris megoldásokat kapunk (-1, 1, 0), (4, 0, 1), amelyek a megoldások alapvető rendszerét alkotják.

Illusztrációk:

Rizs. 1 Lineáris egyenletrendszerek osztályozása

Rizs. 2 Lineáris egyenletrendszerek vizsgálata

Előadások:

Megoldás SLAE_mátrix módszer

Megoldás SLAE_Cramer metódusa

Megoldás SLAE_Gaussian metódus

Csomagok matematikai feladatok megoldásához Mathematica, MathCad: analitikus és numerikus megoldások keresése lineáris egyenletrendszerekre

Ellenőrző kérdések:

1. Adja meg a lineáris egyenlet definícióját!

2. Milyen formája van a rendszernek? m lineáris egyenletek -val n ismeretlen?

3. Mit nevezünk lineáris egyenletrendszerek megoldásának?

4. Milyen rendszereket nevezünk egyenértékűnek?

5. Melyik rendszert nevezzük inkonzisztensnek?

6. Milyen rendszert nevezünk ízületnek?

7. Melyik rendszert nevezzük határozottnak?

8. Milyen rendszert nevezünk határozatlannak

9. Sorolja fel a lineáris egyenletrendszerek elemi transzformációit!

10. Sorolja fel az elemi mátrix transzformációkat!

11. Fogalmazzon meg tételt az elemi transzformációk lineáris egyenletrendszerre való alkalmazásáról

12. Milyen rendszerek oldhatók meg mátrix módszerrel?

13. Milyen rendszereket lehet megoldani Cramer módszerével?

14. Milyen rendszerek oldhatók meg Gauss-módszerrel?

15. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása során merül fel

16. Ismertesse a mátrix módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására!

17. Ismertesse Cramer módszerét lineáris egyenletrendszerek megoldására!

18. Ismertesse a Gauss-módszert lineáris egyenletrendszerek megoldására!

19. Milyen rendszereket lehet megoldani az inverz mátrix segítségével?

20. Soroljon fel 3 lehetséges esetet, amely lineáris egyenletrendszerek Cramer módszerével történő megoldása során merül fel

Irodalom:

1. Felsőfokú matematika közgazdászoknak: Tankönyv egyetemeknek / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Friedman. Szerk. N.Sh. Kremer. - M .: UNITI, 2005 .-- 471 p.

2. Felsőfokú matematika általános tantárgy közgazdászoknak: Tankönyv. / Szerk. AZ ÉS. Ermakova. –M .: INFRA-M, 2006. - 655 p.

3. Feladatgyűjtemény a felsőbb matematikából közgazdászoknak: Tankönyv / Szerkesztése V.I. Ermakova. M .: INFRA-M, 2006 .-- 574 p.

4. Gmurman VE Útmutató a valószínűségszámítás és a magmatikus statisztika problémák megoldásához. - M .: Felsőiskola, 2005 .-- 400 p.

5. Gourmet. VE Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. - M .: Felsőiskola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Felsőfokú matematika gyakorlatokban és feladatokban. Ch. 1, 2. - M .: Ónix 21. század: Béke és oktatás, 2005 .-- 304 p. 1. rész; - 416 p. 2. rész.

7. Matematika a közgazdaságtanból: Tankönyv: 2 órában / A.S. Solodovnikov, V.A. Babajcev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M .: Pénzügy és Statisztika, 2006.

8. Shipachev V.S. Felsőfokú matematika: Tankönyv diákoknak. egyetemek - M .: Felsőiskola, 2007 .-- 479 p.

Hasonló információk.

Homogén lineáris algebrai egyenletrendszerek

Az órákon belül Gauss módszerés Nem kompatibilis rendszerek / rendszerek közös megoldással mérlegeltük inhomogén lineáris egyenletrendszerek, ahol ingyenes tag(ami általában a jobb oldalon van) legalább egy az egyenletek közül nem nulla volt.
És most, egy jó bemelegítés után a mátrix rangja, tovább csiszoljuk a technikát elemi átalakulások tovább homogén lineáris egyenletrendszer.
Az első bekezdésekben az anyag unalmasnak és hétköznapinak tűnhet, de ez a benyomás megtévesztő. A technikák továbbfejlesztése mellett sok új információ is lesz, ezért kérjük, próbálja meg ne hanyagolni a cikkben szereplő példákat.

Mi az a homogén lineáris egyenletrendszer?

A válasz önmagát sugallja. Egy lineáris egyenletrendszer homogén, ha a szabad tag ből a rendszer egyenletei egyenlő nullával. Például:

Ez teljesen egyértelmű egy homogén rendszer mindig kompatibilis, vagyis mindig van megoldás. És mindenekelőtt az ún jelentéktelen megoldás ... A triviális, azoknak, akik egyáltalán nem értik a melléknév jelentését, azt jelenti, bespontov. Persze nem akadémikus, de érthető =) ... Minek vergődni, nézzük meg, van-e más megoldása ennek a rendszernek:

1. példa

Megoldás: homogén rendszer megoldásához meg kell írni rendszermátrixés elemi transzformációk segítségével lépésenkénti formába hozza. Kérjük, vegye figyelembe, hogy nem kell ide írni a függőleges sávot és a szabad tagok nulla oszlopát - végül is bármit csinál a nullákkal, azok nullák maradnak:

(1) Az első sort –2-vel szorozva hozzáadtuk a másodikhoz. Az első sort –3-mal szorozva hozzáadtuk a harmadikhoz.

(2) A második sor -1-gyel szorozva hozzáadásra került a harmadik sorhoz.

A harmadik sort 3-mal osztani nem sok értelme van.

Az elemi átalakítások eredményeként egy ekvivalens homogén rendszert kaptunk , és a Gauss-módszer fordított menetét alkalmazva könnyen ellenőrizhető, hogy a megoldás egyedi-e.

Válasz:

Fogalmazzunk meg egy nyilvánvaló kritériumot: a homogén lineáris egyenletrendszer rendelkezik csak triviális megoldás, ha rendszermátrix rang(ebben az esetben 3) egyenlő a változók számával (ebben az esetben - 3 db).

Rádióvevőnket felmelegítjük és az elemi átalakulások hullámára hangoljuk:

2. példa

Oldjon meg egy homogén lineáris egyenletrendszert!

Cikkből Hogyan találhatom meg a mátrix rangját? emlékezzünk a racionális módszerre a mátrixszámok egyidejű csökkentésére. Ellenkező esetben nagy és gyakran harapós halakat kell feldarabolnia. Hozzávetőleges minta a feladatból az óra végén.

A nullák jók és kényelmesek, de a gyakorlatban sokkal gyakoribb az eset, amikor a rendszer mátrixának sorai lineárisan függő... És akkor elkerülhetetlen a közös megoldás kialakulása:

3. példa

Oldjon meg egy homogén lineáris egyenletrendszert!

Megoldás: felírjuk a rendszer mátrixát, és elemi transzformációk segítségével lépésenkénti formába hozzuk. Az első művelet nem csak egyetlen érték megszerzésére irányul, hanem az első oszlopban lévő számok csökkentésére is:

(1) A harmadik sort -1-gyel szorozva hozzáadtuk az első sorhoz. A második sort hozzáadtuk a harmadik sorhoz, szorozva –2-vel. A bal felső sarokban egy "mínuszos" egységet kaptam, ami sokszor sokkal kényelmesebb a további átalakításokhoz.

(2) Az első két sor megegyezik, az egyiket törölték. Őszintén szólva, nem siettem el a megoldást – egyszerűen megtörtént. Ha az átalakításokat sablonban hajtja végre, akkor lineáris kapcsolat vonalak kicsit később jelennek meg.

(3) A második sort 3-mal szorozva hozzáadtuk a harmadik sorhoz.

(4) Az első sor jele megváltozott.

Az elemi átalakítások eredményeként egy ekvivalens rendszert kaptunk:

Az algoritmus pontosan ugyanúgy működik, mint a heterogén rendszerek... A "lépéseken ülve" változók a főbbek, a "lépéseket" nem kapó változó szabad.

Fejezzük ki az alapváltozókat egy szabad változóval:

Válasz: közös döntés:

Az általános képletben egy triviális megoldás szerepel, ezt nem szükséges külön leírni.

Az ellenőrzést is a szokásos séma szerint végezzük: a kapott általános megoldást be kell cserélni a rendszer minden egyenletének bal oldalára, és minden helyettesítésre törvényes nullát kapunk.

Ezen lehetne csendben és békésen befejezni, de gyakran egy homogén egyenletrendszer megoldását kell ábrázolni vektoros formában használva alapvető döntési rendszer... Kérjük, átmenetileg felejtse el analitikus geometria, hiszen most az általános algebrai értelemben vett vektorokról lesz szó, amit kicsit nyitottam egy cikkben mátrix rang... Nem kell eltakarni a terminológiát, minden nagyon egyszerű.

A homogén rendszer mindig konzisztens, és van egy triviális megoldása
... Egy nemtriviális megoldás létezéséhez szükséges, hogy a mátrix rangja kevesebb volt, mint az ismeretlenek száma:

.

Alapvető döntési rendszer homogén rendszer
oszlopvektorok formájában megjelenő megoldások rendszerének nevezzük
amelyek megfelelnek a kanonikus alapnak, azaz. alapja, amelyben tetszőleges állandók
felváltva eggyel, a többi nullával egyenlő.

Ekkor a homogén rendszer általános megoldása a következőképpen alakul:

ahol
- tetszőleges állandók. Más szavakkal, az általános megoldás a megoldások alapvető rendszerének lineáris kombinációja.

Így az alapmegoldásokat az általános megoldásból kaphatjuk meg, ha a szabad ismeretlenekhez felváltva egységértéket rendelünk, feltéve, hogy az összes többi nullával egyenlő.

Példa... Keressünk megoldást a rendszerre

Fogadjuk el, majd a következő formában kapjuk meg a megoldást:

Most építsünk fel egy alapvető döntési rendszert:

.

Az általános megoldást a következő formában írjuk le:

A homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Más szóval, a megoldások bármely lineáris kombinációja egy homogén rendszerhez ismét megoldás.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel

A lineáris egyenletrendszerek megoldása évszázadok óta foglalkoztatja a matematikusokat. Az első eredmények a 18. században születtek. 1750-ben G. Kramer (1704-1752) publikálta munkáit a négyzetmátrixok determinánsairól, és algoritmust javasolt az inverz mátrix megtalálására. 1809-ben Gauss felvázolt egy új megoldási módszert, az eliminációs módszert.

A Gauss-módszer, vagy az ismeretlenek egymás utáni kiküszöbölésének módszere abból áll, hogy elemi transzformációk segítségével egy egyenletrendszert egy ekvivalens, lépcsőzetes (vagy háromszög alakú) rendszerré redukálunk. Az ilyen rendszerek lehetővé teszik az összes ismeretlen szekvenciális megtalálását meghatározott sorrendben.

Tegyük fel, hogy az (1) rendszerben
(ami mindig lehetséges).

(1)

Sorra megszorozva az első egyenletet az ún megfelelő számok

és összeadva a szorzás eredményét a rendszer megfelelő egyenleteivel, egy ekvivalens rendszert kapunk, amelyben az első kivételével minden egyenletből hiányozni fog az ismeretlen NS 1

(2)

Most megszorozzuk a (2) rendszer második egyenletét megfelelő számokkal, feltételezve, hogy

,

és hozzáadva az alárendeltekhez, kizárjuk a változót az összes egyenlet közül, a harmadikkal kezdve.

Ezt a folyamatot folytatva, miután
lépést kapunk:

(3)

Ha a számok közül legalább az egyik
nem egyenlő nullával, akkor a megfelelő egyenlőség inkonzisztens és az (1) rendszer inkonzisztens. Megfordítva, bármilyen közös számrendszerhez
egyenlők nullával. Szám nem más, mint az (1) rendszer mátrixának rangja.

Az (1) rendszerből a (3) rendszerbe való átmenetet nevezzük közvetlen pálya a Gauss-módszer, és az ismeretlenek megtalálása a (3)-ból - fordított .

Megjegyzés : Kényelmesebb nem magukkal az egyenletekkel, hanem az (1) rendszer kiterjesztett mátrixával végrehajtani a transzformációkat.

Példa... Keressünk megoldást a rendszerre

.

Írjuk fel a rendszer kiterjesztett mátrixát:

.

Adja hozzá a 2, 3, 4 sorokhoz az elsőt, szorozva (-2), (-3), (-2) értékkel:

.

Cseréljük fel helyenként a 2. és 3. sort, majd a kapott mátrixban adjuk hozzá a 2. sort a 4. sorhoz, megszorozva :

.

Adja hozzá a 4. sorhoz a 3. sor szorzatát
:

.

Ez nyilvánvaló
ezért a rendszer kompatibilis. A kapott egyenletrendszerből

inverz helyettesítéssel találjuk meg a megoldást:

,
,
,
.

2. példa Keressen megoldást a rendszerre:

.

Nyilvánvaló, hogy a rendszer nem kompatibilis, hiszen
, a
.

A Gauss-módszer előnyei :

Kevésbé időigényes, mint Cramer módszere.

Egyértelműen megállapítja a rendszer kompatibilitását, és lehetővé teszi a megoldás megtalálását.

Lehetővé teszi bármely mátrix rangjának meghatározását.

1. példa Keressen egy általános megoldást és néhány alapvető megoldási rendszert a rendszer számára

Megoldás számológéppel keresse meg. A megoldási algoritmus ugyanaz, mint a lineáris inhomogén egyenletrendszereknél.
Csak sorokkal operálva megtaláljuk a mátrix rangját, az alapmollt; függő és szabad ismeretleneket deklarálunk és általános megoldást találunk.

Az első és a második sor arányos, az egyiket töröljük:

.
Függő változók - x 2, x 3, x 5, szabad - x 1, x 4. Az első 10x 5 = 0 egyenletből azt találjuk, hogy x 5 = 0, akkor
; .
Az általános megoldás a következő:

Találunk egy alapvető megoldási rendszert, amely (n-r) megoldásokból áll. Esetünkben n = 5, r = 3, ezért a megoldások alapvető rendszere két megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük. Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből álló mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz x 2, x 3, x 5. A legegyszerűbb nem nulla determináns az.
Tehát az első megoldás: , a második az .
Ez a két döntés alkotja az alapvető döntési rendszert. Vegye figyelembe, hogy az alaprendszer nem egyedi (bárhány nullától eltérő determináns lehet).

2. példa Találja meg az általános megoldást és a rendszer alapvető döntési rendszerét
Megoldás.



,
ebből következik, hogy a mátrix rangja egyenlő 3-mal és egyenlő az ismeretlenek számával. Ez azt jelenti, hogy a rendszerben nincsenek szabad ismeretlenek, ezért van egy egyedi megoldása - egy triviális.

Gyakorlat . Lineáris egyenletrendszer feltárása és megoldása.
4. példa

Gyakorlat . Keressen általános és specifikus megoldásokat minden rendszerhez.
Megoldás.Írjuk ki a rendszer fő mátrixát:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Hozzuk a mátrixot háromszög alakúra. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel a mátrix egy sorának nullától eltérő számmal való megszorzása és egy másik sorhoz való hozzáadás a rendszer számára azt jelenti, hogy az egyenletet megszorozzuk ugyanazzal a számmal, és összeadjuk egy másik egyenlettel, ami nem változtatja meg a megoldást. a rendszer.
Szorozzuk meg a 2. sort (-5)-tel. Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Szorozzuk meg a 2. sort (6-tal). Szorozzuk meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:
Keressük meg a mátrix rangját.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

A kiemelt moll a legmagasabb rendű (a lehetséges mollok közül), és nem nulla (egyenlő a szemközti átlón lévő elemek szorzatával), ezért rang (A) = 2.
Ez a minor alap. Tartalmazza az x 1, x 2 ismeretlenek együtthatóit, ami azt jelenti, hogy az x 1, x 2 ismeretlenek függőek (alap), az x 3, x 4, x 5 pedig szabadok.
Átalakítjuk a mátrixot úgy, hogy csak az alapmoll marad a bal oldalon.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
22x2 = 14x4 - x 3 - 24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Az ismeretlenek kiküszöbölésével azt találjuk nem triviális megoldás:
Az x 1, x 2 és szabad x 3, x 4, x 5 függő változókat kifejező relációkat kaptunk, azaz közös döntés:
x 2 = 0,64 x 4 - 0,0455 x 3 - 1,09 x 5
x 1 = -0,55x4 - 1,82x3 - 0,64x5
Találunk egy alapvető megoldási rendszert, amely (n-r) megoldásokból áll.
Esetünkben n = 5, r = 2, ezért a megoldások alaprendszere 3 megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük.
Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből álló mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 3-mal.
A szabad ismeretleneknek elegendő x 3, x 4, x 5 értékeket megadni a 3. rendű determináns nullától eltérő soraiból, és kiszámolni x 1, x 2-t.
A legegyszerűbb nem nulla determináns az azonosságmátrix.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Feladat . Találja meg a megoldások alapvető halmazát egy homogén lineáris egyenletrendszerre.