Számítsa ki két változó komplex függvényének deriváltját! Részleges származékok

Adott egy komplex függvény deriváltjának képletének bizonyítása. Részletesen megvizsgáljuk azokat az eseteket, amikor egy komplex függvény egy vagy két változótól függ. Az általánosítás tetszőleges számú változó esetére történik.

Tartalom

Lásd még: Példák a komplex függvény deriváltjának képletére

Alapképletek

Itt bemutatjuk az alábbi képletek származtatását egy komplex függvény deriválására.
Ha akkor
.
Ha akkor
.
Ha akkor
.

Egy változó komplex függvényének deriváltja

Legyen egy x változó függvénye komplex függvényként ábrázolva a következő formában:
,
hol és van néhány funkció. A függvény az x változó valamely értékére differenciálható. A függvény a változó értékére differenciálható.
Ekkor a komplex (összetett) függvény az x pontban differenciálható, és deriváltját a következő képlet határozza meg:
(1) .

Az (1) képlet a következőképpen is felírható:
;
.

Bizonyíték

Vezessük be a következő jelölést.
;
.
Itt van a változók függvénye és van egy változók függvénye és . De kihagyjuk ezeknek a függvényeknek az argumentumait, hogy ne zavarjuk a számításokat.

Mivel a és függvények az x, illetve a pontokban differenciálhatók, ezért ezekben a pontokban vannak ezeknek a függvényeknek a deriváltjai, amelyek a következő határértékek:
;
.

Vegye figyelembe a következő funkciót:
.
Az u változó fix értékére a függvénye. Ez nyilvánvaló
.
Azután
.

Mivel a függvény a pontban differenciálható függvény, ezért abban a pontban folytonos. Ezért
.
Azután
.

Most megtaláljuk a származékot.

.

A képlet bevált.

Következmény

Ha az x változó függvénye egy komplex függvény komplex függvényeként ábrázolható
,
akkor származékát a képlet határozza meg
.
Itt van néhány differenciálható függvény.

Ennek a képletnek a bizonyítására szekvenciálisan kiszámítjuk a deriváltot egy komplex függvény differenciálási szabálya szerint.
Tekintsünk egy összetett függvényt
.
A származéka
.
Vegye figyelembe az eredeti funkciót
.
A származéka
.

Komplex függvény deriváltja két változóban

Most hagyjuk, hogy egy komplex függvény több változótól függjön. Először fontolja meg két változó komplex függvényének esete.

Legyen az x változótól függő függvény két változó komplex függvénye a következő formában:
,
ahol
és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
két változó függvénye, amely a pontban differenciálható. Ekkor a komplex függvény a pont valamelyik szomszédságában van definiálva, és van egy deriváltja, amelyet a következő képlet határoz meg:
(2) .

Bizonyíték

Mivel a és függvények a pontban differenciálhatók, ennek a pontnak a szomszédságában vannak definiálva, a pontban folytonosak, és a pontban léteznek deriváltjaik, amelyek a következő határértékek:
;
.
Itt
;
.
Ezeknek a funkcióknak a folytonossága miatt egy ponton a következőkkel rendelkezünk:
;
.

Mivel a függvény a pontban differenciálható, ennek a pontnak a szomszédságában van definiálva, ebben a pontban folytonos, és növekménye a következőképpen írható fel:
(3) .
Itt

- a függvény növelése, ha argumentumait a és értékekkel növekszik;
;

- a függvény parciális deriváltjai a és változók tekintetében.
Az és fix értékeire, és vannak függvényei az és a változóknak. Általában nullára állnak, mint és:
;
.
Azóta és azóta
;
.

Funkciónövekedés:

. :
.
Helyettesítő (3):



.

A képlet bevált.

Több változó összetett függvényének deriváltja

A fenti levezetés könnyen általánosítható arra az esetre, amikor egy komplex függvény változóinak száma kettőnél több.

Például ha f értéke három változó függvénye, azután
,
ahol
, és vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
egy differenciálható függvény, három változóban, a , , pontban.
Ezután a függvény differenciálhatóságának definíciójából a következőt kapjuk:
(4)
.
Mivel a folytonosság miatt
; ; ,
azután
;
;
.

A (4)-et elosztva a határértékig a következőt kapjuk:
.

És végül fontolja meg a legáltalánosabb eset.
Legyen egy x változó függvénye n változó komplex függvénye a következő formában:
,
ahol
vannak differenciálható függvények az x változó valamely értékére;
- n változó differenciálható függvénye egy pontban
, , ... , .
Azután
.

Lásd még:

A részleges deriváltokat több változós függvényeket tartalmazó hozzárendeléseknél használjuk. A keresés szabályai pontosan ugyanazok, mint egy változó függvényei esetében, azzal a különbséggel, hogy az egyik változót a differenciálás időpontjában állandónak (konstans számnak) kell tekinteni.

Képlet

A $ z(x,y) $ két változó függvényének parciális deriváltjait a következő $ z"_x, z"_y $ formában írjuk le, és a képletekkel találjuk meg:

Elsőrendű parciális származékai

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Másodrendű parciális származékai

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

vegyes származéka

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Komplex függvény parciális deriváltja

a) Legyen $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, akkor a komplex függvény deriváltját a következő képlet határozza meg:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Legyen $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, akkor a függvény parciális deriváltjait a következő képlettel találjuk meg:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Egy implicit módon adott függvény parciális deriváltjai

a) Legyen $ F(x,y(x)) = 0 $, majd $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Legyen $ F(x,y,z)=0 $, majd $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Megoldási példák

1. példa

Keresse meg a $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ elsőrendű parciális deriváltokat

Megoldás

Ahhoz, hogy megtaláljuk a részleges deriváltot $ x $ vonatkozásában, feltételezzük, hogy $ y $ egy állandó érték (szám): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Ha meg szeretné keresni egy függvény parciális deriváltját a $ y $ vonatkozásában, adja meg a $ y $-t konstansként: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ha nem tudja megoldani problémáját, küldje el nekünk. Részletes megoldást adunk. Képes lesz megismerkedni a számítás menetével és információkat gyűjteni. Ez segít abban, hogy időben kreditet kapjon a tanártól!

Válasz

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

2. példa

Keresse meg egy másodrendű függvény parciális deriváltjait $ z = e^(xy) $

Megoldás

Először meg kell találni az első származékokat, majd ezek ismeretében megtalálhatja a másodrendű származékokat. Legyen $ y $ állandó: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Most állítsuk be a $ x $-t állandó értékként: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Az első származékok ismeretében hasonlóképpen megtaláljuk a másodikat is. $y$ állandó beállítása: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ ​​x $ állandó beállítása: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Most meg kell találni a vegyes származékot. Megkülönböztetheti $ z"_x $ $ y $-hoz képest, vagy $ z"_y $ $ x $-hoz képest, mivel a $ z""_(xy) = z""_(yx ) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Válasz

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

4. példa

Legyen $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definiáljon egy implicit függvényt $ F(x,y,z) = 0 $. Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat.

Megoldás

A függvényt a következő formátumba írjuk: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $, és megkeressük a származékokat: $$ z"_x (y,z - állandó) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - állandó) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Válasz

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Legyen definiálva a z - f(x, y) függvény valamelyik D tartományban az xOy síkon. Vegyünk egy belső pontot (x, y) a D tartományból, és adjunk x-nek olyan Ax növekményt, hogy az (x + Ax, y) pont 6 D legyen (9. ábra). Nevezzük az értéket a z függvény x-hez viszonyított részleges növekményének. Az arány összeállítása Adott (x, y) pont esetén ez az arány a Definíció függvénye. Ha Ax -* 0 esetén a ^ relációnak véges határértéke van, akkor ezt a határértéket a z = /(x, y) függvény parciális deriváltjának nevezzük az x független változóhoz képest az (x, y) pontban, és jfc (vagy /i(x, jj ), vagy z "x (x, Ugyanígy, definíció szerint, vagy ami ugyanaz, analóg módon Ha és n független változó függvénye, akkor /i(x, jj ), vagy z "x (x, azonos módon) szimbólummal jelöljük, akkor megjegyezve hogy Arz-t az y változó értékével változatlan, Atz-t pedig az x változó értékével számoljuk, a parciális deriváltak definíciói a következőképpen fogalmazhatók meg: Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése. több változó függvénye Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Elegendő feltételek több változó függvényének differenciálhatóságához Teljes differenciál. ) ennek a függvénynek az x-re vonatkozó közönséges deriváltjának nevezzük, amelyet azzal a feltételezéssel számolunk, hogy y konstans; a z - / (x.) függvény parciális deriváltja y-hoz képest , y) a származéka y-hoz képest, azzal a feltételezéssel számolva, hogy x konstans. Ebből következik, hogy a parciális deriváltak számítási szabályai egybeesnek az egy változó függvényére bizonyított szabályokkal. Példa. Határozzuk meg egy függvény parciális deriváltjait 4 Vannak helyettesítések*. Egy y = /(x, y) függvény létezése a parciális deriváltak adott pontjában az összes argumentumhoz képest nem jelenti a függvény folytonosságát ezen a ponton. Tehát a függvény nem folytonos a 0(0,0) pontban. Ezen a ponton azonban ennek a függvénynek parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Ez abból következik, hogy /(x, 0) = 0 és /(0, y) = 0, tehát két változó függvény parciális deriváltjainak geometriai jelentése Legyen az S felület a háromdimenziós térben az egyenlet adja meg, ahol f(x, y) egy függvény, folytonos valamilyen D tartományban, és ott parciális deriváltjai vannak x és y vonatkozásában. Nézzük meg ezeknek a deriváltaknak a geometriai jelentését abban a Mo(x0, y0) 6 D pontban, amelyre az f(x0)yo) pont felel meg a z = f(x)y felületen). Amikor az M0 pontban megtaláljuk a parciális deriváltot, feltételezzük, hogy z csak az x argumentum függvénye, míg az y argumentum állandó értéket y \u003d yo, azaz az fi (x) függvényt geometriailag az L görbe ábrázolja. , amely mentén az S felületet az y sík \u003d kb. Az egyik változó függvénye deriváltjának geometriai jelentése miatt f \ (xo) = tg a, ahol a az a szög, amelyet az L egyenes érintője a JV0 pontban az Ox tengellyel zár be (10. ábra). . De így Így a parciális derivált ($|) egyenlő az Ox tengely és az N0 pontban lévő érintő a szög érintőjével a felület z \u003d / (x, y) metszetében kapott görbére. az y sík által.. Hasonlóképpen azt is megkapjuk, hogy §6. Több változóból álló függvény differenciálhatósága Legyen a z = /(x, y) függvény az xOy síkon valamilyen D tartományban definiálva. Vegyünk egy (x, y) € D pontot, és adjuk meg a választott x és y értékeket tetszőleges Ax és Dy növekményekkel, de úgy, hogy a pont legyen. Meghatározás. Az r = /(x, y) függvényt differenciálható * pontnak (x, y) € 2E nevezzük, ha ennek a függvénynek a teljes növekménye, amely megfelel az argumentumok Dx, Dy növekményeinek, úgy ábrázolható, mint ahol A és B nem függenek Dx-től és D y-tól (de általában függnek x-től és y-tól), míg a(Ax, Dy) és f(Ax, Dy) nullára hajlamosak, míg Ax és Dy nullára hajlamosak. . Ha a z = /(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban, akkor a függvény növekményének A Dx 4 - VDy részét, amely Dx és Dy függvényében lineáris, teljes differenciálnak nevezzük. ennek a függvénynek az (x, y) pontjában, és dz szimbólummal jelöljük: Tanim mód, példa. Legyen r = x2 + y2. Bármely ponton (r, y) és bármely Dx és Dy esetén itt van. ebből következik, hogy a és /3 nullára hajlamos, ahogy az Ax és Dy nullára. Definíció szerint ez a függvény az xOy sík bármely pontján differenciálható. Itt jegyezzük meg, hogy indoklásunkban formálisan nem zártuk ki azt az esetet, amikor a Dx, Dy növekmény külön-külön vagy akár mindkettő egyszerre nulla. Az (1) képlet tömörebben írható fel, ha bevezetjük a kifejezést (a pontok közötti távolság J 0 és Dy 0, vagy röviden, ha p 0. Az (1) képlet, amely azt a feltételt fejezi ki, hogy a z = f(xt y) függvény differenciálható legyen az (x, y) pontban, most felírható. 4. Tétel. Ha az r = f(x, y) függvény valamely ponton differenciálható, akkor abban a pontban folytonos.4 Ha az r = f(x, y) függvény differenciálható az (x, y) pontban, akkor az i függvény növekményének összege ezen a ponton""e, amely megfelel az argumentumok j és dy növekményeinek, az /(x, y) alakban ábrázolható folytonos . Legyen a z = /(x, y) függvény egy (x, y) pontban differenciálható. Ekkor ennek a függvénynek a Dx növekménye, amely megfelel az argumentumok Dx, Ay növekményeinek, az (1) formában ábrázolható. Az (1) Dx Ф 0, Dn \u003d 0 egyenlőséget felvéve, honnan kapjuk Mivel az utolsó egyenlőség jobb oldalán az A érték nem függ attól, Ez azt jelenti, hogy az (x, y) pontban van egy az r \u003d / (x, y) függvény parciális deriváltja x-hez képest, és hasonló érveléssel látjuk, hogy (x, van egy parciális deriváltja a zу függvénynek, és a tételből következik, hogy Hangsúlyozzuk, hogy Tétel Az 5. ábra csak az (x, y) pontban állítja a parciális deriváltak létezését, de a folytonosságukról nem mond semmit 6.2 Elégséges feltételek több változó függvényének differenciálhatóságához Mint ismeretes, szükséges és elégséges feltétele a változók differenciálhatóságának. egy változó y = f(x) függvénye az xo pontban az /"(x) derivált véges létezése az x0 pontban. Abban az esetben, ha a függvény több változótól függ, sokkal bonyolultabb a helyzet : két független x, y változó z = /(x, y) függvényére nincsenek szükséges és elégséges feltételei a differenciálhatóságnak; van l keresse meg a szükséges feltételeket (vö. fent) és külön - elegendő. A több változó függvényei differenciálhatóságának ezeket az elégséges feltételeit a következő tétel fejezi ki. Tétel c. Ha egy függvénynek vannak /£ és f"v parciális deriváltjai a vékony egyenes (xo, y0) szomszédságában, és ha ezek a deriváltok magában a pontban (xo, y0) folytonosak, akkor a z = f(x, y) függvény ) pontban differenciálható (x- Példa Tekintsünk függvényt Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Több változó függvényének differenciálhatóságának elegendő feltételei Összesen differenciál Parciális differenciálok Komplex függvény deriváltjai Mindenhol definiálva A parciális deriváltak definíciója alapján ennek a függvénynek a ™-je van a 0(0, 0) pontban, és ennek a növekménye élesedik 0 és Du 0. Ekkor az (1) képletből megkapjuk. Ezért az / (x, y) \u003d függvények nem differenciálhatók a 0 (0, 0) pontban, bár ezen a ponton fa és f "r"-t kapunk. Megszerzett az eredményt az magyarázza, hogy az f"z és f"t deriváltak a 7. § pontjában nem folytonosak. teljes differenciálmű. Részleges differenciálok Ha az r - f(z> y) függvény differenciálható, akkor az utolsó dz differenciája a növekményeik: Ezt követően a függvény teljes differenciáljának képlete veszi a példát. Legyen i - 1l(x + y2). Majd Hasonlóképpen, ha u =) n független változóból álló differenciálható függvény, akkor a kifejezést a z = f(x, y) függvény x változóhoz viszonyított sovány differenciáljának nevezzük; a kifejezést az y változó z = /(x, y) függvényének parciális differenciáljának nevezzük. A (3), (4) és (5) képletekből következik, hogy egy függvény teljes differenciája a részdifferenciálok összege: Vegye figyelembe, hogy a z = /(x, y) függvény teljes Az növekménye általánosságban elmondható. , nem egyenlő a részleges növekedések összegével. Ha egy (x, y) pontban a z = /(x, y) függvény differenciálható és a dz Φ 0 differenciál ebben a pontban, akkor teljes növekménye csak az aAx 4 utolsó tagok összegével tér el a lineáris részétől. - /? 0 és Ay --> O a lineáris rész tagjainál magasabb rendű végtelen kicsinyek. Ezért, ha dz Ф 0, egy differenciálható függvény növekményének lineáris részét a függvény növekményének fő részének nevezzük, és egy közelítő képletet használunk, amely minél pontosabb, minél kisebb a növekmény növekményének abszolút értéke. az érveket. 8. §. Egy komplex függvény deriváltjai 1. Legyen a függvény definiálva az xOy síkon valamilyen D tartományban, és az x, y változók mindegyike a t argumentum függvénye: Feltesszük, hogy amikor t változik a intervallum (a megfelelő pontok (x, y) nem mennek ki a D tartományon kívülre. Ha az értékeket behelyettesítjük a z = / (x, y) függvénybe, akkor egy t változó komplex függvényét kapjuk. a megfelelő értékekre a / (x, y) függvény differenciálható, akkor a t pontban lévő komplex függvénynek deriváltja van és M Adjunk t-nek egy Dt növekményt. Ekkor x és y kap néhány Ax és Dy növekményt. Ennek eredményeként, ha (J)2 + (Dy)2 ∆ 0, akkor a z függvény is kap némi Dt növekményt, ami a z = /(x , y) függvény differenciálhatósága miatt az (x, y) úgy ábrázolható, mint ahol a) nullára hajlamos, mivel Ax és Du nullára irányul. Kibővítjük a és /3 definícióját Ax = Ay = 0 esetén a beállításával. Akkor a( folytonos lesz, ha J = Dy = 0. Tekintsük az adott összefüggést állandónak, feltétel szerint vannak határok a létezésétől ^ deriváltak és a £ pontban ebből az következik, hogy az x = y(t) és y = függvények ebben a pontban folytonosak, ezért 0-nál J és Dy is nullára irányul, ami viszont a(Ax, Dy) és P(Ax, Ay) nullára hajlamos, így a (2) egyenlőség 0-nál lévő jobb oldalának határértéke egyenlő tehát a (2) bal oldalának határértéke 0-nál létezik, azaz , e) a (2) egyenlőségben egyenlő az At -» 0 határértékhez való átlépése, megkapjuk a szükséges képletet Abban az esetben, ha következésképpen z x komplex függvénye, megkapjuk , y)-t x felett, in amelynek számítása az y argumentumot állandónak veszi az /(x, y) kifejezésben. És ott van a z függvény teljes deriváltja az x független változóra vonatkozóan, amelynek kiszámításakor az /(x, y) kifejezésben szereplő y-t már nem vesszük állandónak, hanem az x függvényének tekintjük. : y = tp(x)t és ezért z függőségét teljes mértékben figyelembe vesszük. Példa. Keresse meg és jg, ha 2. Tekintsük most egy több változóból álló komplex függvény differenciálását. Tegyük fel, hogy a (() pontban folytonos parciális deriváltak vannak u, 3? és a megfelelő pontban (x, y), ahol az f(x, y) függvény differenciálható. ilyen feltételek mellett a t7) pontban lévő z = z(() y) komplex függvénynek származékai és u vannak, és ezekre a deriváltokra kifejezéseket találunk. Megjegyzendő, hogy ez az eset nem különbözik jelentősen a már vizsgált esettől. Valóban, ha z-t £-hoz képest differenciáljuk, akkor a második független rj változót állandónak vesszük, aminek eredményeként x és y ugyanannak az x" = c), y = c) változónak a függvényei lesznek ebben a műveletben, a Φ derivált kérdését pedig pontosan úgy oldjuk meg, mint a derivált kérdését a (3) képlet deriválásánál. A (3) képlet felhasználásával és a benne szereplő g és ^ származékokat formálisan az u, illetve a származékokkal helyettesítve, szerezni Ha egy komplex függvényt „Képletekkel határozzuk meg úgy, hogy ha a megfelelő feltételek teljesülnek, akkor az adott esetben, amikor And = ahol Parciális deriváltok Két változó függvényének parciális deriváltjainak geometriai jelentése Több változó függvényének differenciálhatósága Egy függvény differenciálhatóságának szükséges feltételei Elegendő feltételek több változó függvényének differenciálhatóságához Teljes differenciál Részleges differenciálok Egy komplex függvény deriváltjai vannak Itt m a függvény teljes parciális deriváltja és az x független változóra vonatkozóan, figyelembe véve x és attól való teljes függését, beleértve és azon keresztül z = z(x, y),

Tétel.Legyen u = f(x, y) a D és let tartományban van megadva x = x(t) És y = y(t) a területen meghatározott , és mikor , akkor x és y a D területhez tartozik . Legyen egy u függvény differenciálható egy M pontban 0 (x 0 , y 0 , z 0), és x függvények(t) és at(t) a megfelelő t pontban differenciálhatók 0 , akkor az u = f komplex függvény [x(t), y(t)]=F (t) differenciálható a t 0 és a következő egyenlőség áll fenn:

.

Bizonyíték. Mivel u feltételesen differenciálható a pontban ( x 0 , y 0), akkor a teljes növekményét a következőképpen ábrázoljuk

Ezt az arányt elosztva -vel, a következőt kapjuk:

Térjünk át a határértékre és kapjuk meg a képletet

.

Megjegyzés 1. Ha u= u(x, y) És x= x, y= y(x), akkor a függvény teljes deriváltja u változó szerint x

vagy .

Az utolsó egyenlőség felhasználható az alakban implicit módon adott változó függvényének megkülönböztetésére vonatkozó szabály bizonyítására. F(x, y) = 0, ahol y= y(x) (lásd a 3. témakört és a 14. példát).

Nekünk van: . Innen . (6.1)

Térjünk vissza a 3. témakör 14. példájához:

;

.

Amint látja, a válaszok ugyanazok.

2. megjegyzés. Legyen u = f (x, y), ahol x= x(t , v), nál nél= nál nél(t , v). Ekkor u végső soron két változó komplex függvénye tÉs v . Ha most az u függvény egy pontban differenciálható M 0 (x 0 , y 0), és a függvények xÉs nál nél differenciálhatók a megfelelő ponton ( t 0 , v 0), akkor a vonatkozásban parciális deriváltokról beszélhetünk tÉs v komplex függvényből egy pontban ( t 0 , v 0). De ha a t-re vonatkozó parciális deriváltról beszélünk a megadott pontban, akkor a második v változót állandónak tekintjük és egyenlőnek v 0 . Ezért csak egy komplex függvény deriváltjáról beszélünk t vonatkozásában, ezért használhatjuk a származtatott formulát. Így kapjuk:

És .

13. példa Keresse meg egy függvény teljes deriváltját u = x y, ahol x= bűn t, y= kötözősaláta t .

41. Több változóból álló függvény szélsőértéke.

Több változó függvényének szélsőértéke. Az extrémum létezésének szükséges és elégséges feltételei

Definíció 7. Egy pontot akkor nevezünk egy függvény minimum (maximum) pontjának, ha van a pontnak olyan környéke, hogy ebből a szomszédságból minden pontra igaz a () egyenlőtlenség.

A függvény minimum és maximum pontjait szélsőséges pontoknak, az ezekben a pontokban lévő függvényértékeket pedig extrémáknak (minimum és maximum) nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy a függvény minimuma és maximuma lokális jellegű, mivel a függvény értékét egy pontban összehasonlítják a kellően közeli pontokban lévő értékeivel.

1. tétel (extrémum szükséges feltételei). Ha egy differenciálható függvény szélsőpontja, akkor a parciális deriváltjai és ebben a pontban egyenlők nullával: .

Azokat a pontokat, ahol az elsőrendű parciális deriváltak nullával egyenlők, kritikusnak vagy stacionáriusnak nevezzük. A kritikus pontokon a függvénynek lehet szélsősége, de lehet, hogy nem.

2. tétel (elegendő feltétel egy szélsőséghez). Legyen a függvény: a) a kritikus pont valamely szomszédságában definiálva, ahol és; b) folytonos másodrendű parciális deriváltjai vannak. Ekkor, ha, akkor a pontban lévő függvénynek van egy szélsője: maximum, ha A<0; минимум, если А>0; ha, akkor a függvénynek nincs szélső értéke a pontban. Ebben az esetben a szélsőség meglétének kérdése nyitva marad.

Egy szélsőség két változójának függvényének tanulmányozásakor ajánlatos a következő sémát használni:

1. Keresse meg az elsőrendű parciális deriváltokat: és.

2. Oldja meg az egyenletrendszert, és keresse meg a függvény kritikus pontjait!

3. Keresse meg a másodrendű parciális deriváltokat: , .

4. Számítsa ki a másodrendű parciális deriváltak értékeit minden kritikus pontban, és megfelelő feltételek mellett vonjon le következtetést a szélsőség jelenlétéről!

5. Keresse meg a függvény szélsőértékét!

6. példa: Keresse meg egy függvény szélsőértékeit.

Megoldás. 1. Találunk parciális származékokat és:

2. A kritikus pontok meghatározásához az egyenletrendszert oldjuk meg

A rendszer első egyenletéből azt találjuk, hogy: . Ha y talált értékét behelyettesítjük a második egyenletbe, azt kapjuk

Az értékeknek megfelelő y értékek megkeresése. Az értékeket behelyettesítve az egyenletbe a következőt kapjuk: .

Így két kritikus pontunk van: és.

3. Másodrendű parciális származékokat találunk:

4. Minden kritikus pontban kiszámítjuk a másodrendű parciális deriváltak értékét. Egy pontra a következőket kaptuk:

akkor nincs extrémum a ponton.

és innentől

Ezért a szélsőség elégséges feltétele miatt a függvénynek egy pontban van minimuma, mivel ezen a ponton és.

1°

1°. Egy független változó esete. Ha z=f(x,y) az x és y argumentumok differenciálható függvénye, amelyek viszont a független változó differenciálható függvényei t: , akkor a komplex függvény deriváltja képlettel lehet kiszámítani

Példa. Keresse meg , ha , hol .

Megoldás. Az (1) képlet szerint a következőket kapjuk:

Példa. Keresse meg a parciális derivált és a teljes derivált, ha .

Megoldás. .

A (2) képlet alapján megkapjuk .

2°. Több független változó esete.

Legyen z=f(x;y ) - két változó függvénye xÉs y, amelyek mindegyike a független változó függvénye t : x =x (t ), y =y (t). Ebben az esetben a függvény z=f(x (t);y (t)) egy független változó komplex függvénye t; változók x és y köztes változók.

Tétel. Ha z == f(x; y) - egy ponton differenciálható M(x; y)D funkció és x =x (t)És nál nél =y (t) - a független változó differenciálható függvényei t, akkor a komplex függvény deriváltja z(t) == f(x (t);y (t)) képlettel számítjuk ki

Különleges eset:z = f(x; y), ahol y = y(x), azok. z= f(x;y (x)) - egy független változó komplex függvénye X. Ez az eset az előzőre redukálódik, és a változó szerepe t játszik X. A (3) képlet szerint a következőket kapjuk:

.

Az utolsó képlet az ún képletek a teljes származékhoz.

Általános eset:z = f(x;y ), ahol x =x (u ;v),y=y (u ;v ). Ekkor z = f(x (u ;v);y (u ;v))- független változók komplex függvénye ÉsÉs v. Részleges származékai és a (3) képlet segítségével az alábbiak szerint találhatók meg. Rögzítő v, kicseréljük benne a megfelelő parciális származékokra

Tehát a (z) összetett függvény deriváltja az egyes független változókra vonatkozóan (ÉsÉs v) egyenlő ennek a függvénynek a (z) parciális deriváltjainak szorzatainak összegével a közbenső változóihoz képest (x és y) származékaikhoz a megfelelő független változó tekintetében (u és v).

Minden figyelembe vett esetben a képlet

(a teljes differenciál invarianciájának tulajdonsága).

Példa. Keresse meg és ha z = f(x ,y ), ahol x =uv , .

Megoldás. A (4) és (5) képlet alkalmazásával kapjuk:

Példa. Mutassuk meg, hogy a függvény teljesíti az egyenletet .

Megoldás. A függvény egy köztes argumentumon keresztül függ x-től és y-tól, tehát

A parciális deriváltokat behelyettesítve az egyenlet bal oldalába, a következőt kapjuk:

Vagyis a z függvény kielégíti az adott egyenletet.

Egy függvény adott irányú és gradiensének deriváltja

1°. Egy függvény származéka adott irányban. derivált függvények z= f(x,y) ebben az irányban hívott , ahol és a függvény értékei az és pontokban. Ha a z függvény differenciálható, akkor a képlet

hol vannak az irányok közötti szögek lés a megfelelő koordinátatengelyek. Az adott irányú derivált a függvény ilyen irányú változási sebességét jellemzi.

Példa. Keresse meg a z \u003d 2x 2 - Zu 2 függvény deriváltját a P (1; 0) pontban abban az irányban, amely 120°-os szöget zár be az OX tengellyel.

Megoldás. Keressük meg ennek a függvénynek a parciális deriváltjait és azok értékét a P pontban.