Az aszimptota tört lineáris függvénye. A függvények ábrázolása az iskolai matematika egyik legérdekesebb témája.

Ebben a leckében egy lineáris-tört függvényt fogunk megvizsgálni, problémákat oldunk meg egy lineáris-tört függvény, modulus, paraméter segítségével.

Téma: Ismétlés

Lecke: Lineáris törtfüggvény

Meghatározás:

Az alak függvényét tört-lineárisnak nevezzük:

Például:

Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris törtfüggvénynek a grafikonja hiperbola.

Vegyük ki a számlálóból a zárójelen kívüli kettőt, így kapjuk:

A számlálóban és a nevezőben is szerepel x. Most alakítsuk át úgy, hogy a kifejezés megjelenjen a számlálóban:

Most csökkentsük a tört tagot tagonként:

Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.

Felajánlhatunk egy másik bizonyítási módot, nevezetesen a számláló elosztását a nevezővel egy oszlopban:

Megérkezett:

Fontos, hogy könnyen meg lehessen rajzolni egy lineáris törtfüggvényt, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.

1. példa – Vázolja fel egy függvény grafikonját:

Már átalakultunk ezt a funkciótés megkapta:

Ennek a gráfnak az elkészítéséhez nem fogjuk eltolni a tengelyeket vagy magát a hiperbolát. Szabványos függvényábrázolási módszert használunk állandó előjelű intervallumok jelenlétével.

Az algoritmus szerint járunk el. Először vizsgáljuk meg az adott függvényt.

Így három állandósági intervallumunk van: a jobb szélen () a függvénynek pluszjele van, majd az előjelek váltakoznak, mivel minden gyök első foka. Tehát az intervallumon a függvény negatív, az intervallumon a függvény pozitív.

Megépítjük a gráf vázlatát az ODZ gyökereinek és töréspontjainak környezetében. Megvan: mivel a pontban a függvény előjele pluszról mínuszra változik, a görbe először a tengely felett helyezkedik el, majd áthalad a nullán, majd az x tengely alatt helyezkedik el. Ha egy tört nevezője gyakorlatilag nulla, az azt jelenti, hogy ha az argumentum értéke háromra hajlik, a tört értéke a végtelenbe hajlik. Ebben az esetben, amikor az argumentum a bal oldali hármashoz közelít, a függvény negatív, és a mínusz végtelenbe hajlik, a jobb oldalon a függvény pozitív és kimegy a plusz végtelenből.

Most elkészítjük a függvény grafikonjának vázlatát végtelenül távoli pontok környezetében, pl. amikor az érv közelít a plusz-mínusz végtelenhez. Ebben az esetben az állandó tagok figyelmen kívül hagyhatók. Nekünk van:

Így van egy vízszintes és egy függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3; 2) pont. Illusztráljuk:

Rizs. 1. Hiperbola grafikonja például 1

Feladatok a tört lineáris függvény modul vagy paraméter jelenléte bonyolíthatja. Például egy függvény grafikonjának ábrázolásához a következő algoritmust kell követnie:

Rizs. 2. Az algoritmus illusztrációja

Az eredményül kapott gráfnak vannak olyan ágai, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.

1. Alkalmazza a megadott modult. Ebben az esetben a gráf azon részei, amelyek az x tengely felett vannak, változatlanok maradnak, a tengely alatti részei pedig tükröződnek az x tengely körül. Kapunk:

Rizs. 3. Az algoritmus illusztrációja

2. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Rizs. 4. Függvénygráf például 2

Tekintsük a következő feladatot - függvénygrafikon ábrázolása. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:

1. Ábrázolja az almodul függvényt

Tegyük fel, hogy a következő grafikont kaptad:

Rizs. 5. Az algoritmus illusztrációja

1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsa ki a modult.

Így az argumentum nem negatív értékeinek függvényértékeinél nem történik változás. A második egyenletről tudjuk, hogy az y tengely körüli szimmetrikus leképezéssel kapjuk. van egy grafikonunk a függvényről:

Rizs. 6. Az algoritmus illusztrációja

3. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Az algoritmus szerint először meg kell építeni a szubmoduláris függvény grafikonját, ezt már elkészítettük (lásd 1. ábra)

Rizs. 7. Függvénygráf például 3

4. példa - keresse meg egy egyenlet gyökeinek számát egy paraméterrel:

Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlet paraméterrel történő megoldása azt jelenti, hogy végig kell menni az összes paraméterértéken, és mindegyikre meg kell adni a választ. A módszertan szerint járunk el. Először elkészítjük a függvény grafikonját, ezt már megtettük az előző példában (lásd 7. ábra). Ezután szét kell bontani a grafikont a különböző a-hoz tartozó egyenesek családjával, meg kell keresni a metszéspontokat, és fel kell írni a választ.

A grafikonra nézve kiírjuk a választ: for és az egyenletnek két megoldása van; ha az egyenletnek egy megoldása van; at, az egyenletnek nincs megoldása.

Ebben a leckében egy lineáris-tört függvényt fogunk megvizsgálni, problémákat oldunk meg egy lineáris-tört függvény, modulus, paraméter segítségével.

Téma: Ismétlés

Lecke: Lineáris törtfüggvény

Meghatározás:

Az alak függvényét tört-lineárisnak nevezzük:

Például:

Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris törtfüggvénynek a grafikonja hiperbola.

Vegyük ki a számlálóból a zárójelen kívüli kettőt, így kapjuk:

A számlálóban és a nevezőben is szerepel x. Most alakítsuk át úgy, hogy a kifejezés megjelenjen a számlálóban:

Most csökkentsük a tört tagot tagonként:

Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.

Felajánlhatunk egy másik bizonyítási módot, nevezetesen a számláló elosztását a nevezővel egy oszlopban:

Megérkezett:

Fontos, hogy könnyen meg lehessen rajzolni egy lineáris törtfüggvényt, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.

1. példa – Vázolja fel egy függvény grafikonját:

Ezt a függvényt már átalakítottuk, és megkaptuk:

Ennek a gráfnak az elkészítéséhez nem fogjuk eltolni a tengelyeket vagy magát a hiperbolát. Szabványos függvényábrázolási módszert használunk állandó előjelű intervallumok jelenlétével.

Az algoritmus szerint járunk el. Először vizsgáljuk meg az adott függvényt.

Így három állandósági intervallumunk van: a jobb szélen () a függvénynek pluszjele van, majd az előjelek váltakoznak, mivel minden gyök első foka. Tehát az intervallumon a függvény negatív, az intervallumon a függvény pozitív.

Megépítjük a gráf vázlatát az ODZ gyökereinek és töréspontjainak környezetében. Megvan: mivel a pontban a függvény előjele pluszról mínuszra változik, a görbe először a tengely felett helyezkedik el, majd áthalad a nullán, majd az x tengely alatt helyezkedik el. Ha egy tört nevezője gyakorlatilag nulla, az azt jelenti, hogy ha az argumentum értéke háromra hajlik, a tört értéke a végtelenbe hajlik. Ebben az esetben, amikor az argumentum a bal oldali hármashoz közelít, a függvény negatív, és a mínusz végtelenbe hajlik, a jobb oldalon a függvény pozitív és kimegy a plusz végtelenből.

Most elkészítjük a függvény grafikonjának vázlatát végtelenül távoli pontok környezetében, pl. amikor az érv közelít a plusz-mínusz végtelenhez. Ebben az esetben az állandó tagok figyelmen kívül hagyhatók. Nekünk van:

Így van egy vízszintes és egy függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3; 2) pont. Illusztráljuk:

Rizs. 1. Hiperbola grafikonja például 1

A tört lineáris feladatokat bonyolíthatja egy modul vagy paraméter jelenléte. Például egy függvény grafikonjának ábrázolásához a következő algoritmust kell követnie:

Rizs. 2. Az algoritmus illusztrációja

Az eredményül kapott gráfnak vannak olyan ágai, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.

1. Alkalmazza a megadott modult. Ebben az esetben a gráf azon részei, amelyek az x tengely felett vannak, változatlanok maradnak, a tengely alatti részei pedig tükröződnek az x tengely körül. Kapunk:

Rizs. 3. Az algoritmus illusztrációja

2. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Rizs. 4. Függvénygráf például 2

Tekintsük a következő feladatot - függvénygrafikon ábrázolása. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:

1. Ábrázolja az almodul függvényt

Tegyük fel, hogy a következő grafikont kaptad:

Rizs. 5. Az algoritmus illusztrációja

1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsa ki a modult.

Így az argumentum nem negatív értékeinek függvényértékeinél nem történik változás. A második egyenletről tudjuk, hogy az y tengely körüli szimmetrikus leképezéssel kapjuk. van egy grafikonunk a függvényről:

Rizs. 6. Az algoritmus illusztrációja

3. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Az algoritmus szerint először meg kell építeni a szubmoduláris függvény grafikonját, ezt már elkészítettük (lásd 1. ábra)

Rizs. 7. Függvénygráf például 3

4. példa - keresse meg egy egyenlet gyökeinek számát egy paraméterrel:

Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlet paraméterrel történő megoldása azt jelenti, hogy végig kell menni az összes paraméterértéken, és mindegyikre meg kell adni a választ. A módszertan szerint járunk el. Először elkészítjük a függvény grafikonját, ezt már megtettük az előző példában (lásd 7. ábra). Ezután szét kell bontani a grafikont a különböző a-hoz tartozó egyenesek családjával, meg kell keresni a metszéspontokat, és fel kell írni a választ.

A grafikonra nézve kiírjuk a választ: for és az egyenletnek két megoldása van; ha az egyenletnek egy megoldása van; at, az egyenletnek nincs megoldása.

1. Tört lineáris függvény és grafikonja

Az y = P (x) / Q (x) alakú függvényt, ahol P (x) és Q (x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

A koncepcióval racionális számok valószínűleg már ismeritek egymást. Hasonlóképpen racionális függvények Olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény két lineáris függvény - elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz. a forma funkciója

y = (ax + b) / (cx + d), akkor tört lineárisnak nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax / d + b / d), és hogy a / c ≠ b / d (egyébként a függvény egy állandó ). A lineáris törtfüggvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d / c. A lineáris-törtfüggvények grafikonjai formailag nem különböznek az általad ismert y = 1 / x grafikontól. Meghívjuk azt a görbét, amely az y = 1 / x függvény grafikonja túlzás... Az x in korlátlan növelésével abszolút érték az y = 1 / x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a grafikon mindkét ága megközelíti az abszcissza tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. Azokat az egyeneseket, amelyekhez a hiperbola megközelítés ágait nevezzük aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x - 3).

Megoldás.

Jelöljük ki a teljes részt: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Most már könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1 / x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 3 egységnyi szegmenssel jobbra tolva, az Oy tengely mentén 7-szeresre nyújtva és eltolva 2 egység szegmenssel feljebb.

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört hasonló módon felírható, kiemelve az "egész részt". Következésképpen az összes lineáris-törtfüggvény grafikonja hiperbola, amely különböző módon van eltolva. koordináta tengelyekés az Oy tengely mentén húzódott.

Egy tetszőleges lineáris törtfüggvény grafikonjának ábrázolásához egyáltalán nem szükséges a függvényt meghatározó tört transzformációja. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai közelítenek - az x = -d / c és y = a / c hiperbola aszimptotáit.

2. példa

Keresse meg az y = (3x + 5) / (2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

A függvény definiálatlan, ha x = -1. Ezért az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézzük meg, hogy mi közeledik az y (x) függvény értékei, amikor az x argumentum abszolút értékben nő.

Ehhez osszuk el a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5 / x) / (2 + 2 / x).

Ha x → ∞, a tört 3/2-re fog hajlani. Ezért a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1) / (x + 1) függvényt!

Megoldás.

Jelöljük ki a tört "egész részét":

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1) =

2 - 1 / (x + 1).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1 / x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységgel balra való eltolás, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest és eltolás 2 egységszegmenssel felfelé az Oy tengely mentén.

D tartomány (y) = (-∞; -1) ᴗ (-1; + ∞).

Az értéktartomány: E (y) = (-∞; 2) ᴗ (2; + ∞).

A tengelyekkel való metszéspontok: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány mindegyik intervallumában növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört racionális függvény

Tekintsünk egy y = P (x) / Q (x) alakú tört racionális függvényt, ahol P (x) és Q (x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y = (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vagy y = (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y = P (x) / Q (x) függvény két, az elsőnél magasabb fokú polinom hányadosa, akkor a gráfja általában nehezebb lesz, és néha nehéz pontosan ábrázolni, minden részletével együtt néha nehéz. Gyakran azonban elég azokhoz hasonló technikákat alkalmazni, amelyekkel fentebb már találkoztunk.

Legyen a tört szabályos (n< m). Известно, что любую несократимую racionális tört Egyedülálló módon ábrázolható véges számú elemi tört összegeként, amelynek alakját a Q (x) tört nevezőjének valós tényezők szorzatára való kiterjesztésével határozzuk meg:

P (x) / Q (x) = A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 +… + A m1 / (x - K 1) +… +

L 1 / (x - K s) ms + L 2 / (x - K s) ms-1 +… + L ms / (x - K s) +… +

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 +… + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) +… +

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 +… + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört-racionális függvény gráfja megkapható az elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört racionális függvény gráfjainak összeállítására.

4. példa

Ábrázoljuk az y = 1 / x 2 függvényt.

Megoldás.

Az y = x 2 függvény grafikonját használjuk az y = 1 / x 2 grafikon ábrázolásához, és a grafikonok "osztásának" technikáját alkalmazzuk.

D tartomány (y) = (-∞; 0) ᴗ (0; + ∞).

Értéktartomány E (y) = (0; + ∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól + ∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) függvényt.

Megoldás.

D tartomány (y) = (-∞; 3) ᴗ (3; + ∞).

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) = (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) = - (x - 1) / 3 = -x / 3 + 1/3.

Itt a faktoring, a törlés és a linearizálás trükkjét alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa

Ábrázolja az y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) függvényt!

Megoldás.

Definíciós tartomány D (y) = R. Mivel a függvény páros, a grafikon szimmetrikus az ordinátatengelyre. A gráf felépítése előtt transzformáljuk újra a kifejezést, kiemelve a teljes részt:

y = (x 2 - 1) / (x 2 + 1) = 1 - 2 / (x 2 + 1).

Vegyük észre, hogy a tört-racionális függvény képletében az egész rész kiválasztása az egyik fő szempont a gráfok felépítésében.

Ha x → ± ∞, akkor y → 1, azaz az y = 1 egyenes a vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa.

Tekintsük az y = x / (x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a grafikon jobb felének legmagasabb pontja. Ennek a grafikonnak a pontos ábrázolásához a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvalóan a mi görbénk nem "emelkedhet" nagyon magasra, mert a nevező meglehetősen gyorsan kezdi "előzni" a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldani az x 2 + 1 = x, x 2 - x + 1 = 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyöke. Ez azt jelenti, hogy a feltevésünk nem helytálló. Egy függvény legnagyobb értékének megtalálásához meg kell találni, hogy az A = x / (x 2 + 1) egyenletnek melyik legnagyobb A-nál lesz megoldása. Cserélje ki az eredeti egyenletet másodfokúra: Ax 2 - x + A = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 - 4A 2 ≥ 0. legnagyobb érték A = 1/2.

Válasz: 5. ábra, max y (x) = ½.

Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell függvénygrafikonokat ábrázolni?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.hu oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásával a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

fejsze +b
A lineáris törtfüggvény az alak függvénye y = --- ,
cx +d

ahol x- változó, a,b,c,d- néhány szám ráadásul c ≠ 0, hirdetés -időszámításunk előtt ≠ 0.

A lineáris törtfüggvény tulajdonságai:

A lineáris törtfüggvény grafikonja egy hiperbola, amely az y = k / x hiperbolából a koordinátatengelyek mentén végzett párhuzamos fordítások segítségével kapható meg. Ehhez a lineáris-tört függvény képletét a következő formában kell ábrázolni:

k
y = n + ---
x - m

ahol n- azon egységek száma, amelyekkel a hiperbola jobbra vagy balra tolódik, m- az egységek száma, amellyel a hiperbola felfelé vagy lefelé tolódik. Ebben az esetben a hiperbola aszimptotái az x = m, y = n egyenesekre tolódnak el.

Az aszimptota egy egyenes vonal, amelyet a görbe pontjai közelítenek, miközben a végtelenbe távolodnak (lásd az alábbi ábrát).

A párhuzamos elválasztáshoz lásd az előző részeket.

1. példa Keresse meg a hiperbola aszimptotáit, és ábrázolja a függvénygrafikont:

x + 8
y = ---
x – 2

Megoldás:

k
A törtet n + --- alakban ábrázoljuk
x - m

Ezért x A + 8 a következő formában van írva: x - 2 + 10 (azaz a 8-at –2 + 10-ként ábrázoljuk).

x+ 8 x - 2 + 10 1 (x - 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2

Miért öltötte magára ezt a formát a kifejezés? A válasz egyszerű: végezze el az összeadást (mindkét kifejezést közös nevezőre hozva), és visszatér az előző kifejezéshez. Vagyis az adott kifejezés átalakításának eredménye.

Tehát megkaptuk az összes szükséges értéket:

k = 10, m = 2, n = 1.

Így megtaláltuk a hiperbolánk aszimptotáit (feltéve, hogy x = m, y = n):

Vagyis a hiperbola egyik aszimptotája párhuzamosan fut a tengellyel y tőle 2 egységnyi távolságra jobbra, és a második aszimptota a tengellyel párhuzamosan fut x 1 egység felette.

Készítsünk grafikont ennek a függvénynek. Ehhez tegyük a következőket:

1) be fogunk költeni Koordináta sík az aszimptoták pontozott vonala az x = 2 egyenes és az y = 1 egyenes.

2) mivel a hiperbola két ágból áll, ezért ezeknek az ágaknak az elkészítéséhez két táblázatot állítunk össze: egyet x-re<2, другую для x>2.

Először is kiválasztjuk az x értékeit az első opcióhoz (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 - 2 = –1
–3 – 2

Más értékek önkényes választása x(például -2, -1, 0 és 1). Számítsa ki a megfelelő értékeket! y... Az összes kapott számítás eredményét beírjuk a táblázatba:

Most hozzunk létre egy táblázatot az x> 2 opcióhoz:

Ebben a leckében egy lineáris-tört függvényt fogunk megvizsgálni, problémákat oldunk meg egy lineáris-tört függvény, modulus, paraméter segítségével.

Téma: Ismétlés

Lecke: Lineáris törtfüggvény

1. A lineáris törtfüggvény fogalma és grafikonja

Meghatározás:

Az alak függvényét tört-lineárisnak nevezzük:

Például:

Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris törtfüggvénynek a grafikonja hiperbola.

Vegyük ki a számlálóból a zárójelen kívüli kettőt, így kapjuk:

A számlálóban és a nevezőben is szerepel x. Most alakítsuk át úgy, hogy a kifejezés megjelenjen a számlálóban:

Most csökkentsük a tört tagot tagonként:

Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.

Felajánlhatunk egy másik bizonyítási módot, nevezetesen a számláló elosztását a nevezővel egy oszlopban:

Megérkezett:

2. Lineáris törtfüggvény grafikonjának vázlata

Fontos, hogy könnyen meg lehessen rajzolni egy lineáris törtfüggvényt, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.

1. példa – Vázolja fel egy függvény grafikonját:

Ezt a függvényt már átalakítottuk, és megkaptuk:

Ennek a gráfnak az elkészítéséhez nem fogjuk eltolni a tengelyeket vagy magát a hiperbolát. Szabványos függvényábrázolási módszert használunk állandó előjelű intervallumok jelenlétével.

Az algoritmus szerint járunk el. Először vizsgáljuk meg az adott függvényt.

Így három állandósági intervallumunk van: a jobb szélen () a függvénynek pluszjele van, majd az előjelek váltakoznak, mivel minden gyök első foka. Tehát az intervallumon a függvény negatív, az intervallumon a függvény pozitív.

Megépítjük a gráf vázlatát az ODZ gyökereinek és töréspontjainak környezetében. Megvan: mivel a pontban a függvény előjele pluszról mínuszra változik, a görbe először a tengely felett helyezkedik el, majd áthalad a nullán, majd az x tengely alatt helyezkedik el. Ha egy tört nevezője gyakorlatilag nulla, az azt jelenti, hogy ha az argumentum értéke háromra hajlik, a tört értéke a végtelenbe hajlik. Ebben az esetben, amikor az argumentum a bal oldali hármashoz közelít, a függvény negatív, és a mínusz végtelenbe hajlik, a jobb oldalon a függvény pozitív és kimegy a plusz végtelenből.

Most elkészítjük a függvény grafikonjának vázlatát végtelenül távoli pontok közelében, vagyis amikor az argumentum a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik. Ebben az esetben az állandó tagok figyelmen kívül hagyhatók. Nekünk van:

Így van egy vízszintes és egy függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3; 2) pont. Illusztráljuk:

Rizs. 1. Hiperbola grafikonja például 1

3. Tört lineáris függvény modulussal, grafikonja

A tört lineáris feladatokat bonyolíthatja egy modul vagy paraméter jelenléte. Például egy függvény grafikonjának ábrázolásához a következő algoritmust kell követnie:

Rizs. 2. Az algoritmus illusztrációja

Az eredményül kapott gráfnak vannak olyan ágai, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.

1. Alkalmazza a megadott modult. Ebben az esetben a gráf azon részei, amelyek az x tengely felett vannak, változatlanok maradnak, a tengely alatti részei pedig tükröződnek az x tengely körül. Kapunk:

Rizs. 3. Az algoritmus illusztrációja

2. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Rizs. 4. Függvénygráf például 2

4. Lineáris törtegyenlet megoldása paraméterrel

Tekintsük a következő feladatot - függvénygrafikon ábrázolása. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:

1. Ábrázolja az almodul függvényt

Tegyük fel, hogy a következő grafikont kaptad:

Rizs. 5. Az algoritmus illusztrációja

1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsa ki a modult.

Így az argumentum nem negatív értékeinek függvényértékeinél nem történik változás. A második egyenletről tudjuk, hogy az y tengely körüli szimmetrikus leképezéssel kapjuk. van egy grafikonunk a függvényről:

Rizs. 6. Az algoritmus illusztrációja

3. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Az algoritmus szerint először meg kell építeni a szubmoduláris függvény grafikonját, ezt már elkészítettük (lásd 1. ábra)

Rizs. 7. Függvénygráf például 3

4. példa - keresse meg egy egyenlet gyökeinek számát egy paraméterrel:

Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlet paraméterrel történő megoldása azt jelenti, hogy végig kell menni az összes paraméterértéken, és mindegyikre meg kell adni a választ. A módszertan szerint járunk el. Először elkészítjük a függvény grafikonját, ezt már megtettük az előző példában (lásd 7. ábra). Ezután szét kell bontani a grafikont a különböző a-hoz tartozó egyenesek családjával, meg kell keresni a metszéspontokat, és fel kell írni a választ.

A grafikonra nézve kiírjuk a választ: for és az egyenletnek két megoldása van; ha az egyenletnek egy megoldása van; at, az egyenletnek nincs megoldása.