Lineáris törtfüggvény vizsgálata. A függvények ábrázolása az iskolai matematika egyik legérdekesebb témája.

1. Lineáris törtfüggvény és grafikonja

Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

Egy koncepcióval racionális számok valószínűleg már ismeri. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény a kettő hányadosa lineáris függvények– elsőfokú polinomok, i.e. nézet funkció

y = (ax + b) / (cx + d), akkor tört lineárisnak nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d), és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény egy állandó ). A lineáris-tört függvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A lineáris-törtfüggvények grafikonjai formailag nem különböznek az általunk ismert y = 1/x gráftól. Meghívjuk azt a görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja túlzás. x korlátlan növelésével abszolút érték az y = 1/x függvény abszolút értéke korlátlanul csökken, és a gráf mindkét ága megközelíti az abszcissza tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. A hiperbola ágai által megközelített egyeneseket annak nevezzük aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x - 3).

Megoldás.

Jelöljük ki az egész részt: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: eltolás 3 egységnyi szegmenssel jobbra, nyújtás az Oy tengely mentén 7-szeresre és eltolás 2 egység szegmenssel feljebb.

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört ugyanúgy felírható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes lineáris-törtfüggvény grafikonja hiperbola, különböző módon eltolva. koordinátatengelyekés az Oy tengely mentén húzódott.

Valamely tetszőleges lineáris-tört függvény grafikonjának ábrázolásához egyáltalán nem szükséges a függvényt meghatározó tört transzformációja. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai közelítenek - az x = -d/c és y = a/c hiperbola-aszimptotákat.

2. példa

Határozzuk meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

A függvény nincs definiálva, ha x = -1. Ezért az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézze meg, hogy az y(x) függvény értékei mihez közelednek, amikor az x argumentum abszolút értéke nő.

Ehhez elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Mint x → ∞, a tört 3/2-re hajlik. Ezért a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!

Megoldás.

Kiválasztjuk a tört „egész részét”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Most már könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységnyi balra eltolás, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest és eltolás 2 egységnyi intervallumból felfelé az Oy tengely mentén.

Definíciós tartomány D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány mindegyik intervallumán növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört-racionális függvény

Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vagy y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y = P(x) / Q(x) függvény két, az elsőnél magasabb fokú polinom hányadosa, akkor a gráfja általában bonyolultabb lesz, és néha nehéz lehet pontosan megépíteni. , minden részlettel. Gyakran azonban elég azokhoz hasonló technikákat alkalmazni, amelyekkel fentebb már találkoztunk.

Legyen a tört megfelelő (n< m). Известно, что любую несократимую racionális törtábrázolható, ráadásul egyedi módon, véges számú elemi tört összegeként, amelynek formáját a Q(x) tört nevezőjének valós tényezők szorzatára való kiterjesztésével határozzuk meg:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény gráfja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört-racionális függvény ábrázolására.

4. példa

Ábrázoljuk az y = 1/x 2 függvényt.

Megoldás.

Az y \u003d x 2 függvény grafikonját használjuk az y \u003d 1 / x 2 grafikon ábrázolásához, és a grafikonok „osztásának” módszerét használjuk.

D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Értéktartomány E(y) = (0; +∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) függvényt.

Megoldás.

D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Itt a faktoring, redukció és lineáris függvényre redukció technikáját alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa

Ábrázolja az y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) függvényt.

Megoldás.

A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az y tengelyre. Az ábrázolás előtt ismét átalakítjuk a kifejezést az egész rész kiemelésével:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Figyeljük meg, hogy a tört racionális függvény képletében az egész rész kiválasztása az egyik fő grafikon ábrázolásakor.

Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz, az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa

Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legmagasabb pont a grafikon jobb felében. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvaló, hogy a görbénk nem "kúszhat" nagyon magasra, hiszen a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldani az x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyökere. Tehát a feltevésünk téves. Hogy megtalálja a legtöbbet nagyon fontos függvény függvényében meg kell találnia, hogy melyik legnagyobb A-ra lesz megoldása az A \u003d x / (x 2 + 1) egyenletnek. Cseréljük le az eredeti egyenletet másodfokúra: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 - 4A 2 ≥ 0. Innen kapjuk a legnagyobb A \u003d 1/2 értéket.

Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell függvénygrafikonokat készíteni?
Segítséget kérni egy oktatótól -.
Az első óra ingyenes!

blog.site, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

1. Lineáris törtfüggvény és grafikonja

Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

Valószínűleg már ismeri a racionális számok fogalmát. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény két lineáris függvény - elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz. nézet funkció

y = (ax + b) / (cx + d), akkor tört lineárisnak nevezzük.

Vegye figyelembe, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d), és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény egy állandó ). A lineáris-tört függvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A lineáris-törtfüggvények grafikonjai formailag nem különböznek az általunk ismert y = 1/x gráftól. Meghívjuk azt a görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja túlzás. Ha x abszolút értékben korlátlanul nő, az y = 1/x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a grafikon mindkét ága megközelíti az abszcissza tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. A hiperbola ágai által megközelített egyeneseket annak nevezzük aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x - 3).

Megoldás.

Jelöljük ki az egész részt: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört ugyanúgy felírható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes lineáris-törtfüggvény grafikonja a koordinátatengelyek mentén különféle módon eltolt és az Oy tengely mentén kifeszített hiperbolák.

2. példa

Határozzuk meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

Ehhez elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Mint x → ∞, a tört 3/2-re hajlik. Ezért a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!

Megoldás.

Kiválasztjuk a tört „egész részét”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Definíciós tartomány D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány mindegyik intervallumán növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört-racionális függvény

Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vagy y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Legyen a tört megfelelő (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény gráfja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört-racionális függvény ábrázolására.

4. példa

Ábrázoljuk az y = 1/x 2 függvényt.

Megoldás.

Az y \u003d x 2 függvény grafikonját használjuk az y \u003d 1 / x 2 grafikon ábrázolásához, és a grafikonok „osztásának” módszerét használjuk.

D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Értéktartomány E(y) = (0; +∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) függvényt.

Megoldás.

D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Itt a faktoring, redukció és lineáris függvényre redukció technikáját alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa

Ábrázolja az y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) függvényt.

Megoldás.

A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az y tengelyre. Az ábrázolás előtt ismét átalakítjuk a kifejezést az egész rész kiemelésével:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Figyeljük meg, hogy a tört racionális függvény képletében az egész rész kiválasztása az egyik fő grafikon ábrázolásakor.

Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz, az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa

Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legmagasabb pont a grafikon jobb felében. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvaló, hogy a görbénk nem "kúszhat" nagyon magasra, hiszen a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldani az x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyökere. Tehát a feltevésünk téves. A függvény legnagyobb értékének megtalálásához meg kell találnia, hogy az A \u003d x / (x 2 + 1) egyenletnek melyik legnagyobb A-ra lesz megoldása. Cseréljük le az eredeti egyenletet másodfokúra: Ax 2 - x + A \u003d 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 - 4A 2 ≥ 0. Innen kapjuk a legnagyobb A \u003d 1/2 értéket.

Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell függvénygrafikonokat készíteni?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Ebben a leckében egy lineáris-tört függvényt fogunk megvizsgálni, problémákat oldunk meg egy lineáris-tört függvény, modul, paraméter segítségével.

Téma: Ismétlés

Lecke: Lineáris törtfüggvény

Meghatározás:

A lineáris-tört függvényt a forma függvényének nevezzük:

Például:

Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris-tört függvénynek a grafikonja hiperbola.

Vegyük ki a számlálóból a kettőt, így kapjuk:

Van x a számlálóban és a nevezőben is. Most úgy alakítjuk át, hogy a kifejezés megjelenjen a számlálóban:

Most csökkentsük a tört tagot tagonként:

Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.

Felajánlhatunk egy másik bizonyítási módot is, nevezetesen, hogy a számlálót a nevezővel osztjuk oszlopra:

Megérkezett:

Fontos, hogy könnyen meg lehessen építeni egy lineáris-törtfüggvény grafikonját, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.

1. példa – vázoljon fel egy függvénygrafikont:

Már áttértünk ezt a funkciótés megkapta:

Ennek a gráfnak az elkészítéséhez nem fogjuk eltolni a tengelyeket vagy magát a hiperbolát. A függvénygráfok elkészítésének standard módszerét használjuk, állandósági intervallumok jelenlétével.

Az algoritmus szerint járunk el. Először megvizsgáljuk az adott függvényt.

Így három állandósági intervallumunk van: a jobb szélen () a függvénynek pluszjele van, majd az előjelek váltakoznak, mivel minden gyökérnek van első foka. Tehát az intervallumon a függvény negatív, az intervallumon a függvény pozitív.

Megépítjük a gráf vázlatát az ODZ gyökereinek és töréspontjainak környezetében. Megvan: mivel a pontban a függvény előjele pluszról mínuszra változik, akkor a görbe először a tengely felett van, majd átmegy a nullán, majd az x tengely alatt helyezkedik el. Ha egy tört nevezője gyakorlatilag nulla, akkor amikor az argumentum értéke háromra hajlik, a tört értéke a végtelenbe hajlik. Ebben az esetben, amikor az argumentum a bal oldali hármashoz közelít, a függvény negatív, és a mínusz végtelen felé tart, a jobb oldalon a függvény pozitív, és a plusz végtelenből lép ki.

Most elkészítjük a függvény grafikonjának vázlatát végtelenül távoli pontok környezetében, pl. amikor az érvelés a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik. Ebben az esetben az állandó tagok figyelmen kívül hagyhatók. Nekünk van:

Így van egy vízszintes és egy függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3;2) pont. Illusztráljuk:

Rizs. 1. Hiperbola grafikonja például 1

Feladatok a tört lineáris függvény bonyolíthatja egy modul vagy paraméter jelenléte. Például egy függvénygráf felépítéséhez a következő algoritmust kell követnie:

Rizs. 2. Az algoritmus illusztrációja

Az eredményül kapott gráfnak vannak olyan ágai, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.

1. Alkalmazza a megadott modult. Ebben az esetben a gráf azon részei, amelyek az x tengely felett vannak, változatlanok maradnak, a tengely alatti részei pedig tükröződnek az x tengelyhez képest. Kapunk:

Rizs. 3. Az algoritmus illusztrációja

2. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Rizs. 4. Függvénygráf például 2

Tekintsük a következő feladatot - függvénygrafikon ábrázolása. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:

1. Ábrázolja a szubmoduláris függvényt

Tegyük fel, hogy a következő grafikonunk van:

Rizs. 5. Az algoritmus illusztrációja

1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsa ki a modult.

Így az argumentum nem negatív értékeivel rendelkező függvényértékeknél nem lesz változás. A második egyenletről tudjuk, hogy azt az y tengely körüli szimmetrikus leképezéssel kapjuk. van egy grafikonunk a függvényről:

Rizs. 6. Az algoritmus illusztrációja

3. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Az algoritmus szerint először egy szubmoduláris függvénygráfot kell ábrázolni, ezt már felépítettük (lásd 1. ábra)

Rizs. 7. Függvénygráf például 3

4. példa - keresse meg egy egyenlet gyökeinek számát egy paraméterrel:

Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlet paraméterrel történő megoldása azt jelenti, hogy a paraméter összes értékét át kell ismételni, és mindegyikre megadni a választ. A módszertan szerint járunk el. Először elkészítjük a függvény grafikonját, ezt már megtettük az előző példában (lásd 7. ábra). Ezután ki kell vágnia a grafikont egy sorcsaláddal különböző a-hoz, meg kell keresnie a metszéspontokat, és ki kell írnia a választ.

A grafikonra nézve kiírjuk a választ: for és az egyenletnek két megoldása van; esetén az egyenletnek egy megoldása van; esetén az egyenletnek nincs megoldása.

A lineáris-tört függvényt a 9. osztályban tanulmányozzák, miután néhány más típusú függvényt is tanulmányoztak. Erről lesz szó a lecke elején. Itt az y=k/x függvényről beszélünk, ahol k>0. A szerző szerint ezzel a funkcióval korábban az iskolások is foglalkoztak. Ezért ismerik tulajdonságait. De egy tulajdonságot, amely a függvény grafikonjának jellemzőit jelzi, a szerző javasolja, hogy ebben a leckében felidézzük és részletesen megfontoljuk. Ez a tulajdonság a függvény értékének a változó értékétől való közvetlen függőségét tükrözi. Ugyanis a végtelenbe hajló pozitív x esetén a függvény értéke is pozitív, és 0-ra hajlik. Ha negatív x mínusz végtelenbe hajlik, y értéke negatív és 0-ra hajlik.

Továbbá a szerző megjegyzi, hogy ez a tulajdonság hogyan jelenik meg a grafikonon. Így a tanulók fokozatosan megismerkednek az aszimptota fogalmával. A fogalom általános megismerése után következik a világos definíciója, amelyet világos keret emel ki.

Az aszimptota fogalmának bemutatása és meghatározása után a szerző felhívja a figyelmet arra, hogy a k>0 y=k/xhiperboláknak két aszimptotájuk van: ezek az x és az y tengelyek. Pontosan ugyanez a helyzet az y=k/xfor k függvénnyel<0: функция имеет две асимптоты.

A főbb pontok előkészítése, az ismeretek frissítése után a szerző azt javasolja, hogy folytassuk egy új típusú függvény közvetlen tanulmányozását: egy lineáris-tört függvény tanulmányozását. Kezdetben azt javasoljuk, hogy vegyünk példákat egy lineáris-tört függvényre. Egy ilyen példával a szerző bemutatja, hogy a számláló és a nevező lineáris kifejezések vagy más szóval elsőfokú polinomok. A számláló esetében nem csak egy elsőfokú polinom működhet, hanem a nullától eltérő bármely szám is.

Továbbá a szerző továbbmegy a lineáris-törtfüggvény általános formájának bemutatására. Ugyanakkor részletesen leírja a rögzített funkció egyes összetevőit. Azt is elmagyarázza, hogy mely együtthatók nem lehetnek egyenlők 0-val. A szerző leírja ezeket a korlátozásokat, és bemutatja, mi történhet, ha ezek az együtthatók nullának bizonyulnak.

Ezt követően a szerző megismétli, hogy az y=f(x)+n függvény grafikonját hogyan kapjuk meg az y=f(x) függvény grafikonjából. Adatbázisunkban egy lecke is található a témában. Azt is megjegyzi, hogy az y=f(x) függvény ugyanabból a grafikonjából hogyan lehet felépíteni az y=f(x+m) függvény grafikonját.

Mindezt egy konkrét példával szemléltetjük. Itt egy bizonyos függvény ábrázolását javasoljuk. Minden építkezés szakaszosan történik. Kezdetben azt javasoljuk, hogy válasszunk egy egész részt egy adott algebrai törtből. A szükséges átalakítások elvégzése után a szerző egy egész számot kap, amelyet a számmal megegyező számlálóval adunk a törthez. Tehát egy tört függvény gráfja az y=5/x függvényből kettős párhuzamos fordítással összeállítható. Itt a szerző megjegyzi, hogyan fognak mozogni az aszimptoták. Ezt követően koordinátarendszert építenek, az aszimptoták új helyre kerülnek. Ezután két értéktáblázat készül az x>0 és az x változóhoz<0. Согласно полученным в таблицах точкам, на экране ведется построение графика функции.

Ezen kívül még egy példát veszünk figyelembe, ahol az algebrai tört előtt mínusz van a függvény jelölésében. De ez nem különbözik az előző példától. Minden műveletet hasonló módon hajtanak végre: a funkció olyan formává alakul, ahol a teljes rész kiemelve van. Ezután az aszimptotákat átadjuk, és a függvény grafikonját ábrázoljuk.

Ezzel az anyag magyarázata véget is ért. Ez a folyamat 7:28 percig tart. Körülbelül ennyi időbe telik egy tanárnak egy rendes leckében, hogy elmagyarázza az új anyagot. De ehhez jó előre fel kell készülni. De ha ezt a videóleckét vesszük alapul, akkor a leckére való felkészülés minimális időt és erőfeszítést igényel, és a tanulóknak tetszeni fog az új tanítási módszer, amely videóleckét kínál.

Ebben a leckében egy lineáris-tört függvényt fogunk megvizsgálni, problémákat oldunk meg egy lineáris-tört függvény, modul, paraméter segítségével.

Téma: Ismétlés

Lecke: Lineáris törtfüggvény

1. A lineáris-tört függvény fogalma és grafikonja

Meghatározás:

A lineáris-tört függvényt a forma függvényének nevezzük:

Például:

Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris-tört függvénynek a grafikonja hiperbola.

Vegyük ki a számlálóból a kettőt, így kapjuk:

Van x a számlálóban és a nevezőben is. Most úgy alakítjuk át, hogy a kifejezés megjelenjen a számlálóban:

Most csökkentsük a tört tagot tagonként:

Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.

Felajánlhatunk egy másik bizonyítási módot is, nevezetesen, hogy a számlálót a nevezővel osztjuk oszlopra:

Megérkezett:

2. Lineáris-törtfüggvény grafikonjának vázlata

Fontos, hogy könnyen meg lehessen építeni egy lineáris-törtfüggvény grafikonját, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.

1. példa – vázoljon fel egy függvénygrafikont:

Ezt a függvényt már átalakítottuk, és a következőt kaptuk:

Az algoritmus szerint járunk el. Először megvizsgáljuk az adott függvényt.

Most egy vázlatot készítünk a függvény grafikonjáról a végtelenben lévő pontok közelében, vagyis amikor az argumentum a plusz vagy mínusz végtelen felé hajlik. Ebben az esetben az állandó tagok figyelmen kívül hagyhatók. Nekünk van:

Így van egy vízszintes és egy függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3;2) pont. Illusztráljuk:

Rizs. 1. Hiperbola grafikonja például 1

3. Lineáris törtfüggvény modulussal, grafikonja

A lineáris tört függvénnyel kapcsolatos problémákat bonyolíthatja egy modul vagy paraméter jelenléte. Például egy függvénygráf felépítéséhez a következő algoritmust kell követnie:

Rizs. 2. Az algoritmus illusztrációja

Az eredményül kapott gráfnak vannak olyan ágai, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.

Rizs. 3. Az algoritmus illusztrációja

2. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Rizs. 4. Függvénygráf például 2

4. Lineáris-tört egyenlet megoldása paraméterrel

Tekintsük a következő feladatot - függvénygrafikon ábrázolása. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:

1. Ábrázolja a szubmoduláris függvényt

Tegyük fel, hogy a következő grafikonunk van:

Rizs. 5. Az algoritmus illusztrációja

1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsa ki a modult.

Rizs. 6. Az algoritmus illusztrációja

3. példa – ábrázoljon egy függvénygrafikont:

Az algoritmus szerint először egy szubmoduláris függvénygráfot kell ábrázolni, ezt már felépítettük (lásd 1. ábra)

Rizs. 7. Függvénygráf például 3

4. példa - keresse meg egy egyenlet gyökeinek számát egy paraméterrel:

A grafikonra nézve kiírjuk a választ: for és az egyenletnek két megoldása van; esetén az egyenletnek egy megoldása van; esetén az egyenletnek nincs megoldása.

Hasonló cikkek