Törtfüggvény ábrázolása. Tanórán kívüli lecke - tört lineáris függvény

Y = függvény és annak grafikonja.

CÉLOK:

1) ismertesse az y = függvény definícióját;

2) megtanítja az y = függvény ábrázolását az Agrapher program segítségével;

3) képessé teszi az y = függvény grafikonjainak vázlatainak felépítésére, a függvények grafikonjainak átalakítási tulajdonságait felhasználva;

I. Új anyag - részletes beszélgetés.

Y: Tekintsük az y =; y =; y =.

Mik a kifejezések e képletek jobb oldalán?

D: E képletek jobb oldala racionális tört alakú, amelyben a számláló elsőfokú binomiális vagy nullától eltérő szám, a nevező pedig elsőfokú binomiális.

D: Az ilyen függvényeket szokás az űrlap képletével beállítani

Tekintsük azokat az eseteket, amikor a) c = 0 vagy c) =.

(Ha a második esetben a diákoknak nehézségeik támadnak, akkor meg kell kérni őket, hogy fejezzék ki val vel adott arányból, majd a kapott kifejezést az (1) képletben) helyettesíteni.

D1: Ha c = 0, akkor y = x + b - lineáris függvény.

D2: Ha =, akkor c =. Az érték helyettesítése val vel az (1) képletbe kapjuk:

Azaz y = lineáris függvény.

Y: Az y = alakú képlet segítségével megadható függvény, ahol az x betű függetlenet jelöl

Ezt a változót, valamint az a, b, c és d betűket tetszőleges számoknak, a c0 és az ad pedig 0 -nak nevezzük, lineáris törtfüggvénynek.

Mutassuk meg, hogy egy lineáris törtfüggvény grafikonja egy hiperbola.

1. példa. Készítsünk egy grafikont az y = függvényből. Válasszuk ki a töredékből az egész részt.

Nálunk: = = = 1 +.

Az y = +1 függvény grafikonja az y = függvény grafikonjából nyerhető két párhuzamos fordítás használatával: 2 egységnyi eltolódás jobbra az X tengely mentén és 1 egységgel felfelé történő eltolás Y tengely. Ezekkel az eltolásokkal az y = hiperbola aszimptotái elmozdulnak: egyenes x = 0 (azaz az y tengely)-2 egység jobbra, és az egyenes y = 0 (azaz az x -axis) - egy egységgel feljebb. A gráf ábrázolása előtt rajzoljuk a aszimptotákat a koordinátasíkra pontozott vonallal: egyenes x = 2 és y = 1 (1a. Ábra). Tekintettel arra, hogy a hiperbola két ágból áll, mindegyikük felépítéséhez az Agrapher program segítségével két táblázatot állítunk össze: az egyik x> 2 -hez, a másik x -hez<2.

NS	1	0	-1	-2	-4	-10
nál nél	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
NS	3	4	5	6	8	12
nál nél	7	4	3	2,5	2	1,6

Jelölje meg (az Agrapher programot használva) a koordináta síkban azokat a pontokat, amelyek koordinátái az első táblázatba vannak írva, és kösse össze őket egy sima folyamatos vonallal. Megkapjuk a hiperbola egyik ágát. Hasonlóképpen, a második táblázat segítségével megkapjuk a hiperbola második ágát (1b. Ábra).

2. példa Készítsünk egy grafikont az y = -függvényből. Vegyük ki az egész részt a törtből úgy, hogy a 2x + 10 binomiális értéket elosztjuk az x + 3 binomiussal. = 2 +. Ezért y = -2.

Az y = --2 függvény grafikonja az y = -függvény grafikonjából nyerhető két párhuzamos fordítás segítségével: 3 egységnyi eltolódás balra és eltolás 2 egységgel lefelé. A hiperbola aszimptotái egyenesek x = -3 és y = -2. Állítsunk össze (az Agrapher program segítségével) táblázatokat x -hez<-3 и для х>-3.

NS	-2	-1	1	2	7
nál nél	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
NS	-4	-5	-7	-8	-11
nál nél	2	0	-1	-1,2	-1,5

Miután a koordináta síkban (az Agrapher program segítségével) pontokat építettünk, és rajtuk keresztül rajzoltuk a hiperbola ágait, megkapjuk az y = - függvény grafikonját (2. ábra).

Nál nél: Mi az a lineáris törtfunkciós gráf?

D: Bármely lineáris törtfüggvény grafikonja egy hiperbola.

D: Hogyan ábrázolhatunk egy lineáris törtfüggvényt?

D: A lineáris törtfüggvény grafikonját az y = függvény grafikonjából kapjuk, a párhuzamos fordításokat használva a koordináta tengelyek mentén, a lineáris törtfüggvény hiperbolájának ágai szimmetrikusak a pont körül (-. Az egyenes x = - a hiperbola függőleges aszimptotájának, az y = egyenest vízszintes aszimptotának nevezzük.

W: Mi a lineáris törtfüggvény tartománya?

D: Mekkora egy lineáris törtfüggvény értéktartománya?

D: E (y) =.

D: A függvény nullákat tartalmaz?

D: Ha x = 0, akkor f (0) =, d. Vagyis a függvény nullákkal rendelkezik - A pont.

D: Van egy lineáris törtfüggvénygráfnak x-metszete?

D: Ha y = 0, akkor x = -. Ezért, ha a, akkor az X tengely metszéspontja koordinátákkal rendelkezik. Ha a = 0, b, akkor a lineáris törtfüggvény grafikonjának nincs metszéspontja az abszcissza tengelyével.

Y: A függvény a teljes definíciós tartomány intervallumában csökken, ha a bc-ad> 0, és nő a teljes definíciós tartomány intervallumaiban, ha a bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

D: Megadható a függvény legnagyobb és legkisebb értéke?

D: A függvénynek nincsenek legnagyobb és legkisebb értékei.

D: Mely sorok a lineáris törtfüggvény grafikonjának aszimptotái?

D: A függőleges aszimptóta az egyenes x = -; a vízszintes aszimptóta pedig az y = egyenes.

(A diákok egy jegyzetfüzetbe írják le a lineáris törtfüggvény általánosító következtetéseit, definícióit és tulajdonságait)

II. Lehorgonyzás.

Lineáris törtfüggvények grafikonjainak felépítésekor és „olvasásakor” az Agrapher program tulajdonságait alkalmazzuk

III. Oktatási önálló munka.

Keresse meg a hiperbola középpontját, aszimptotákat és ábrázolja a függvényt:

a) y = b) y = c) y =; d) y =; e) y =; f) y =;

g) y = h) y = -

Minden tanuló a saját tempójában dolgozik. Szükség esetén a tanár segítséget nyújt kérdések feltevésével, amelyekre adott válaszok segítik a tanulót a feladat helyes elvégzésében.

Laboratóriumi és gyakorlati munka az y = és y = függvények tulajdonságainak, valamint ezen függvények grafikonjainak vizsgálatára.

CÉLKITŰZÉSEK: 1) folytassa az y = és y = függvények grafikonjainak készítéséhez szükséges készségek fejlesztését az Agrapher program segítségével;

2) megszilárdítani a függvények „grafikonok olvasásának” készségeit és a grafikonok változásainak „előrejelzését” a tört -lineáris függvények különböző átalakításai során.

I. Egy lineáris törtfüggvény tulajdonságainak differenciált ismétlése.

Minden diák kap egy kártyát - egy nyomatot a feladatokkal. Minden konstrukciót az Agrapher program segítségével hajtanak végre. Az egyes feladatok eredményeit azonnal megbeszélik.

Minden tanuló az önkontroll segítségével kijavíthatja a feladat során kapott eredményeket, és segítséget kérhet egy tanártól vagy tanítványtól - tanácsadótól.

Keresse meg az X argumentum értékét, amelynél f (x) = 6; f (x) = -2,5.

3. Ábrázolja az y = függvény grafikonját! Határozza meg, hogy a pont tartozik -e ennek a függvénynek a grafikonjához: a) A (20; 0,5); b) B (-30 ;-); c) C (-4; 2,5); d) D (25; 0,4)?

4. Ábrázolja az y függvényt = Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyekben y> 0 és melyik y<0.

5. Ábrázolja az y = függvényt! Keresse meg a függvény tartományát és tartományát.

6. Adja meg a hiperbola aszimptotáit - az y = - függvény grafikonját! Készítse el a grafikont.

7. Ábrázolja az y = függvényt! Keresse meg a függvény nulláit.

II. Laboratóriumi és gyakorlati munka.

Minden tanuló 2 kártyát kap: 1 -es kártya "Utasítás" azzal a tervvel, amely szerint a munka elkészült, és a szöveg a feladattal és a 2 -es kártyaszámmal Funkcióvizsgálati eredmények ”.

Ábrázolja a megadott függvényt.
Keresse meg a függvény hatókörét.
Keresse meg a függvény tartományát.
Adja meg a hiperbola aszimptotáit!
Keresse meg a függvény nulláit (f (x) = 0).
Keresse meg a hiperbola és az x tengely metszéspontját (y = 0).

7. Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyekben: a) y<0; б) y>0.

8. Adja meg a függvény növelési (csökkenési) intervallumait.

I. lehetőség.

Ábrázolja a függvényt az Agrapher program segítségével, és vizsgálja meg annak tulajdonságait:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y =. -öt-

fejsze +b
A lineáris törtfüggvény az űrlap függvénye y = --- ,
cx +d

ahol x- változó, a,b,c,d- néhány számot ráadásul c ≠ 0, hirdetés -időszámításunk előtt ≠ 0.

A lineáris törtfüggvény tulajdonságai:

A lineáris törtfüggvény grafikonja egy hiperbola, amelyet a y = k / x hiperbolából nyerhetünk a koordináta -tengelyek mentén végzett párhuzamos fordítások segítségével. Ehhez a lineáris tört tört függvény képletét a következő formában kell megjeleníteni:

k
y = n + ---
x m

ahol n- azon egységek száma, amelyekkel a hiperbola jobbra vagy balra tolódik, m- azon egységek száma, amelyekkel a hiperbola felfelé vagy lefelé tolódik. Ebben az esetben a hiperbola aszimptotái eltolódnak az x = m, y = n egyenesre.

Az aszimptóta egy egyenes, amelyet a görbe pontjai közelednek, amikor távolodnak a végtelenhez (lásd az alábbi ábrát).

A párhuzamos elválasztáshoz lásd az előző részeket.

1. példa. Keresse meg a hiperbola aszimptotáit, és rajzolja fel a függvénydiagramot:

x + 8
y = ---
x – 2

Megoldás:

k
A törtet n + ---
x m

Ezért x A + 8 a következő formában van írva: x - 2 + 10 (azaz a 8 –2 + 10).

x+ 8 x - 2 + 10 1 (x - 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2

Miért öltött ilyen kifejezést ez a kifejezés? A válasz egyszerű: végezze el a kiegészítést (mindkét kifejezést közös nevezőbe hozza), és visszatér az előző kifejezéshez. Vagyis az adott kifejezés átalakításának eredménye.

Tehát megkaptuk az összes szükséges értéket:

k = 10, m = 2, n = 1.

Így megtaláltuk a hiperbolánk aszimptotáit (feltéve, hogy x = m, y = n):

Vagyis a hiperbola egyik aszimptotája párhuzamosan fut a tengellyel y tőle jobbra 2 egység távolságra, a második aszimptóta pedig párhuzamosan fut a tengellyel x felette 1 egység távolságra.

Készítsünk grafikont erről a függvényről. Ehhez tegyük a következőket:

1) rajzolja meg az aszimptotákat a koordináta síkban pontozott vonallal - az x = 2 egyenes és az y = 1 egyenes.

2) mivel a hiperbola két ágból áll, ezeknek az ágaknak a felépítéséhez két táblázatot állítunk össze: egyet x -hez<2, другую для x>2.

Először válasszuk ki az x értékét az első lehetőséghez (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 - 2 = –1
–3 – 2

Más értékek önkényes kiválasztása x(például -2, -1, 0 és 1). Számítsa ki a megfelelő értékeket y... Az összes kapott számítás eredményét a táblázat tartalmazza:

Most készítsünk táblázatot az x> 2 opcióhoz:

Itt vannak az együtthatók NSés a számlálóban és nevezőben lévő szabad kifejezések valós számokat kapnak. Általános esetben a lineáris törtfüggvény grafikonja az hiperbola.

A legegyszerűbb lineáris törtfüggvény y = -Ön-

emeli fordított arányos kapcsolat; az azt reprezentáló hiperbol a középiskolai tanfolyamból jól ismert (5.5. ábra).

Rizs. 5.5

Példa. 5.3

Ábrázoljon egy lineáris törtfüggvényt:

1. Mivel ennek a törtnek nincs értelme x = 3, azután az X funkció tartománya két végtelen intervallumból áll:
3) és (3; + ° °).

2. Annak érdekében, hogy tanulmányozzuk a függvény viselkedését a definíció tartományának határán (azaz az NS- »3 és NS-> ± ° °), hasznos átalakítani adott kifejezést két kifejezés összegébe az alábbiak szerint:

Mivel az első tag állandó, a függvény viselkedését a határon valójában a második, változó tag határozza meg. Változásának folyamatát tanulmányozva, mikor NS-> 3 és NS-> ± ° °, a következő következtetéseket vonjuk le az adott funkcióra vonatkozóan:

a) x-> 3 esetén jobb oldalon(azaz *> 3 esetén) a függvény értéke korlátlanul nő: nál nél-> + ° °: x-> 3 esetén bal(azaz x y esetén-így a kívánt hiperbola korlátlanul megközelíti az egyenest az x = 3 egyenlettel (bal alsóés jobb felső)és így ez a sor függőleges aszimptóta túlzás;
denevér x ->± ° ° a második tag végtelenül csökken, ezért a függvény értéke kötetlenül közelíti meg az első állandó tagot, azaz az értékhez y = 2. Ebben az esetben a függvény grafikonja korlátlanul közeledik (bal alsó és jobb felső) egyenlet által megadott egyenesre y = 2; így ez a sor vízszintes aszimptóta túlzás.

Megjegyzés. Az ebben a bekezdésben kapott információk a legfontosabbak a sík távoli részében található függvény grafikonjának viselkedésének jellemzéséhez (képletesen szólva, a végtelenben).

3. Beállítás l = 0, azt találjuk y = ~. Ezért a keresett

a perbola keresztezi a tengelyt OU azon a ponton M x = (0;-^).

4. A függvény nulla ( nál nél= 0) lesz NS= -2; ezért ez a hiperbola metszi a tengelyt Ó a М 2 pontban (-2; 0).
5. A tört pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű, és negatív, ha különböző előjelűek. Megoldva a megfelelő egyenlőtlenségi rendszereket, azt találjuk, hogy a függvénynek két pozitív intervalluma van: (-° °; -2) és (3; + ° °) és egy negatív intervallum: (-2; 3).
6. Ha egy függvényt két kifejezés összegeként ábrázolunk (lásd a 2. pontot), akkor könnyen megtalálható két csökkenési intervallum: (- ° °; 3) és (3; + ° °).
7. Nyilvánvaló, hogy ennek a funkciónak nincs szélsősége.
8. Ennek a függvénynek az Y értékhalmaza: (-- °; 2) és (2; + ° °).
9. Nincs paritás, furcsaság vagy periodicitás sem. Az összegyűjtött információ elegendő ahhoz sematikusan

hiperboltot ábrázolni, grafikusan tükrözi ennek a funkciónak a tulajdonságait (5.6. ábra).

Rizs. 5.6

Az eddig tárgyalt függvények meg vannak nevezve algebrai. Térjünk át a mérlegelésre transzcendentális funkciókat.

Ebben a leckében egy lineáris tört tört függvényt veszünk figyelembe, megoldjuk a problémákat lineáris tört törtfüggvény, modulus, paraméter használatával.

Téma: Ismétlés

Lecke: Lineáris törtfunkció

Meghatározás:

Az űrlap függvényét tört-lineárisnak nevezzük:

Például:

Bizonyítsuk be, hogy ennek a lineáris törtfüggvénynek a grafikonja egy hiperbola.

Vegyük ki a kettőt a számlálóban a zárójeleken kívül, így kapjuk:

A számlálóban és a nevezőben is van x. Most alakítsuk át úgy, hogy a kifejezés megjelenik a számlálóban:

Most csökkentsük a tört kifejezést kifejezésenként:

Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek a grafikonja egy hiperbola.

A bizonyítás második módját is kínálhatjuk, nevezetesen a számláló elosztásával a nevezővel egy oszlopban:

Kapott:

Fontos, hogy könnyen fel lehessen rajzolni egy lineáris-tört függvényt, különösen, hogy megtaláljuk a hiperbola szimmetriaközéppontját. Oldjuk meg a problémát.

1. példa - Vázoljon fel egy függvény grafikonját:

Mi már átalakultunk ezt a funkciótés kapott:

Ennek a grafikonnak az elkészítéséhez nem fogjuk eltolni a tengelyeket vagy magát a hiperbolát. Normál függvényábrázolási módszert használunk állandó előjelű intervallumok használatával.

Az algoritmus szerint járunk el. Először vizsgáljuk meg az adott függvényt.

Így három intervallum van az állandóságban: a szélső jobboldalon () a függvénynek pluszjele van, majd a jelek váltakoznak, mivel minden gyöknek van első foka. Tehát az intervallumon a függvény negatív, az intervallumon a függvény pozitív.

A grafikon vázlatát az ODZ gyökerei és töréspontjai közelében építjük fel. Megvan: mivel egy ponton a függvény előjele pluszról mínuszra változik, a görbe először a tengely felett helyezkedik el, majd nullán áthalad, majd az x tengely alatt helyezkedik el. Ha egy tört nevezője gyakorlatilag nulla, az azt jelenti, hogy amikor az argumentum értéke háromra hajlik, akkor a tört értéke a végtelenségig. Ebben az esetben, amikor az argumentum a bal oldali hármashoz közeledik, a függvény negatív, és hajlamos a mínusz végtelenre, jobb oldalon a függvény pozitív, és kimegy a plusz végtelenből.

Most a függvény grafikonjának vázlatát építjük fel a végtelenül távoli pontok közelében, azaz amikor az érv a plusz -mínusz végtelenhez közelít. Ebben az esetben az állandó kifejezések figyelmen kívül hagyhatók. Nekünk van:

Így van vízszintes és függőleges aszimptotánk, a hiperbola középpontja a (3; 2) pont. Illusztráljuk:

Rizs. 1. Például a hiperbol grafikonja

A töredékes lineáris feladatokat bonyolíthatja egy modul vagy paraméter jelenléte. Például egy függvény grafikonjának ábrázolásához a következő algoritmust kell követnie:

Rizs. 2. Illusztráció az algoritmushoz

A kapott gráfnak olyan ágai vannak, amelyek az x tengely felett és az x tengely alatt vannak.

1. Alkalmazza a megadott modult. Ebben az esetben a grafikon x tengely feletti részei változatlanok maradnak, és azok, amelyek a tengely alatt vannak, az x tengely körül tükröződnek. Kapunk:

Rizs. 3. Illusztráció az algoritmushoz

2. példa - Funkciódiagram ábrázolása:

Rizs. 4. Funkciódiagram például 2

Tekintsük a következő feladatot - függvénygráf ábrázolása. Ehhez a következő algoritmust kell követnie:

1. Ábrázolja az almodul függvényét!

Tegyük fel, hogy megkapta a következő grafikont:

Rizs. 5. Illusztráció az algoritmushoz

1. Alkalmazza a megadott modult. Ennek megértéséhez bontsuk ki a modult.

Így az argumentum nem negatív értékeihez tartozó függvény értékei nem változnak. A második egyenlethez tudjuk, hogy azt az y tengely körüli szimmetrikus leképezéssel kapjuk. grafikonunk van a függvényről:

Rizs. 6. Illusztráció az algoritmushoz

3. példa - Funkciódiagram ábrázolása:

Az algoritmus szerint először fel kell építeni egy grafikont a szubmoduláris függvényről, mi már felépítettük (lásd 1. ábra)

Rizs. 7. Funkciódiagram például 3

4. példa - Keresse meg egy paraméterrel rendelkező egyenlet gyökereinek számát:

Emlékezzünk vissza, hogy egy egyenlet megoldása egy paraméterrel azt jelenti, hogy minden paraméterértéket végig kell menni, és mindegyikre választ kell adni. A módszertan szerint járunk el. Először felépítjük a függvény grafikonját, ezt az előző példában már megtettük (lásd a 7. ábrát). Ezután bontsa fel a gráfot egyenes vonalcsaládon keresztül a különböző, keresse meg a metszéspontokat, és írja le a választ.

A grafikonra nézve kiírjuk a választ: for és az egyenletnek két megoldása van; amikor az egyenletnek van egy megoldása; at, az egyenletnek nincs megoldása.