Négyzet alakú figurák kockás papíron. Teljes útmutató (2019)

A Föld mérésének ismerete az ókorban jelent meg, és fokozatosan formálódott a geometria tudományában. TÓL TŐL görög Ezt a szót "földmérési"-nek fordítják.

A Föld sík területének hosszának és szélességének mértéke a terület. A matematikában általában a latin S betűvel (az angol "square" - "terület", "négyzet" szóból) vagy a görög σ (szigma) betűvel jelölik. S jelöli egy ábra területét egy síkon vagy egy test felületét, σ pedig a területet keresztmetszet vezetékek a fizikában. Ezek a fő szimbólumok, bár lehetnek mások is, például az anyagok szilárdsága terén, A a profil keresztmetszete.

Számítási képletek

Az egyszerű ábrák területeinek ismeretében megtalálhatja az összetettebbek paramétereit.. Az ókori matematikusok képleteket dolgoztak ki, amelyekkel könnyen kiszámíthatók. Ilyen alakok a háromszög, a négyszög, a sokszög, a kör.

Egy összetett lapos figura területének meghatározásához számos egyszerű formára kell bontani, például háromszögekre, trapézokra vagy téglalapokra. Ezután a matematikai módszerek egy képletet képeznek ennek az ábrának a területén. Hasonló módszert alkalmaznak nemcsak a geometriában, hanem a matematikai elemzésben is a görbék által határolt ábrák területeinek kiszámítására.

Háromszög

Kezdjük a legegyszerűbb formával - egy háromszöggel. Téglalap alakúak, egyenlő szárúak és egyenlő oldalúak. Vegyünk egy tetszőleges ABC háromszöget, amelynek oldala AB=a, BC=b és AC=c (∆ ABC). Területének megtalálásához idézzük fel az iskolai matematika tantárgyból ismert szinusz- és koszinusztételeket. Minden számítástól eltekintve a következő képletekhez jutunk:

• S=√ - mindenki által ismert Heron-képlet, ahol p=(a+b+c)/2 - egy háromszög fél kerülete;
• S=a h/2, ahol h az a oldalra süllyesztett magasság;
• S=a b (sin γ)/2, ahol γ az a és b oldalak közötti szög;
• S=a b/2, ha ∆ ABC négyszögletes (itt a és b lábak);
• S=b² (sin (2 β))/2, ha ∆ ABC egyenlő szárú (itt b az egyik „csípő”, β a háromszög „csípői” közötti szög);
• S=a² √¾ ha ∆ ABC egyenlő oldalú (itt a a háromszög oldala).

Négyszög

Legyen egy ABCD négyszög AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Egy tetszőleges 4-szög S területének megkereséséhez fel kell osztani egy átlóval két olyan háromszögre, amelyek S1 és S2 területei általában nem egyenlőek.

Ezután a képletek segítségével számolja ki és adja össze, azaz S=S1+S2. Ha azonban a quad egy bizonyos osztályba tartozik, akkor a területét a korábban ismert képletekkel találhatja meg:

• S=(a+c) h/2=eh, ha a négyes trapéz (itt a és c az alapok, e a trapéz középvonala, h a trapéz egyik alapjára süllyesztett magasság ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ha ABCD paralelogramma (itt φ az a és b oldalak szöge, h az a oldalra süllyesztett magasság, d1 és d2 átlók);
• S=a b=d²/2, ha ABCD egy téglalap (d egy átló);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ha ABCD rombusz (a a rombusz oldala, φ az egyik sarka, P a kerülete);
• S=a²=P²/16=d²/2, ha az ABCD négyzet.

Poligon

Az n-szög területének meghatározásához a matematikusok a legegyszerűbb egyenlő háromszögekre bontják, megkeresik mindegyik területét, majd összeadják őket. De ha a sokszög a szabályosok osztályába tartozik, akkor a képletet használják:

S=anh/2=a² n/=P²/, ahol n a sokszög csúcsainak (vagy oldalainak) száma, a az n-szög oldala, P a kerülete, h az apotéma, azaz a a sokszög közepétől annak egyik oldaláig 90°-os szögben húzott szakasz.

Egy kör

A kör egy tökéletes sokszög végtelen számú oldallal.. Ki kell számolnunk a jobb oldali kifejezés határát a sokszög terület képletében, ahol az n oldalak száma a végtelen felé tart. Ebben az esetben a sokszög kerülete egy R sugarú kör hosszává változik, amely a körünk határa lesz, és egyenlő lesz P=2 π R értékkel. Helyettesítsük be ezt a kifejezést a fenti képletbe. Kapunk:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Határozzuk meg ennek a kifejezésnek az n→∞ határértékét. Ehhez figyelembe vesszük, hogy lim (cos (180°/n)) n→∞ esetén cos 0°=1 (lim a határ előjele), és lim = lim n→∞ esetén egyenlő 1/π (a fokmértéket radiánra fordítottuk, a π rad=180° arányt használva, és az első figyelemre méltó határértéket lim (sin x)/x=1 x→∞-nél alkalmaztuk). A kapott értékeket az S utolsó kifejezésébe behelyettesítve megkapjuk jól ismert képlet:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Egységek

Rendszeres és nem rendszerszintű mértékegységeket alkalmazunk. A rendszeregységekre SI (System International) néven hivatkozunk. Ez egy négyzetméter (négyzetméter, m²) és az abból származó mértékegységek: mm², cm², km².

Négyzetmilliméterben (mm²) mérik például a vezetékek keresztmetszeti területét az elektrotechnikában, négyzetcentiméter(cm²) - gerenda szakaszok be szerkezeti mechanika, ban ben négyzetméter(m²) - lakások vagy házak, négyzetkilométerben (km²) - földrajzi területek.

Néha azonban nem rendszerszintű mértékegységeket használnak, mint például: szövés, ar (a), hektár (ha) és acre (ac). A következő arányokat adjuk meg:

• 1 szövés \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0,01 ha;
• 1 ha = 100 a = 100 hektár = 10000 m² = 0,01 km² = 2,471 as;
• 1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 hektár = 0,405 ha.

Végtelen számú síkfigura létezik különböző formák, helyesen és helytelenül egyaránt. Az összes figura közös tulajdonsága, hogy mindegyiknek van területe. Az ábrák területei a sík ezen ábrák által elfoglalt részének bizonyos mértékegységekben kifejezett méretei. Ez az érték mindig kifejezve van pozitív szám. A mértékegység annak a négyzetnek a területe, amelynek oldala egyenlő egy hosszegységgel (például egy méter vagy egy centiméter). Bármely ábra területének hozzávetőleges értéke kiszámítható úgy, hogy megszorozzuk azon egységnégyzetek számát, amelyekre osztva van egy négyzet területével.

A fogalom további meghatározásai a következők:

1. Az egyszerű ábrák területei olyan skaláris pozitív mennyiségek, amelyek teljesítik a feltételeket:

Az egyenlő számoknak egyenlő területei vannak;

Ha egy alakzatot részekre (egyszerű ábrákra) osztunk, akkor területe ezen figurák területének összege;

Az oldalsó mértékegységgel rendelkező négyzet területegységként szolgál.

2. A figurák területei összetett forma(sokszögek) - pozitív mennyiségek, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Az egyenlő sokszögek területei azonosak;

Ha egy sokszög több másik sokszögből áll, akkor területe megegyezik az utóbbiak területének összegével. Ez a szabály nem átfedő sokszögekre igaz.

Axiómaként elfogadott az az állítás, hogy az ábrák (sokszögek) területei pozitív értékek.

A kör területének meghatározását külön adjuk meg, mint azt az értéket, amelyre egy adott kör körbe írt területe hajlik - annak ellenére, hogy az oldalainak száma a végtelenbe hajlik.

A figurák területei szabálytalan alakú(tetszőleges számadatok) nem rendelkeznek definícióval, csak a számítási módszereket határozzák meg.

A területszámítás már az ókorban is fontos gyakorlati feladat volt a méret meghatározásánál földterületek. A területszámítás több száz évre vonatkozó szabályait görög tudósok fogalmazták meg, és Eukleidész Elemeiben tételként fogalmazták meg. Érdekes módon a bennük lévő egyszerű figurák területeinek meghatározására vonatkozó szabályok megegyeznek a jelenlegivel. A görbe vonalú körvonalú területeket a határátmenet segítségével számítottuk ki.

Az egyszerű téglalapok, négyzetek területének kiszámítása, amely mindenki számára ismerős az iskolából, meglehetősen egyszerű. Még csak nem is szükséges memorizálni a tartalmazót betűjelölésekábra terület képletek. Csak emlékezzen néhányra egyszerű szabályok:

2. Egy téglalap területét úgy számítjuk ki, hogy a hosszát megszorozzuk a szélességével. Ebben az esetben szükséges, hogy a hosszúságot és a szélességet azonos mértékegységekben fejezzük ki.

3. Kiszámítjuk egy összetett ábra területét úgy, hogy több egyszerűre osztjuk, és összeadjuk a kapott területeket.

4. A téglalap átlója két háromszögre osztja, amelyek területei egyenlőek és egyenlőek a területének felével.

5. Egy háromszög területét a magasság és az alap szorzatának feleként számítjuk ki.

6. A kör területe megegyezik a sugár négyzetének és a jól ismert "π" szám szorzatával.

7. A paralelogramma területét a szomszédos oldalak és a közöttük lévő szög szinuszának szorzataként számítjuk ki.

8. A rombusz területe ½ az átlók szinuszos szorzatának eredménye belső sarok.

9. A trapéz területét úgy kapjuk meg, hogy a magasságát megszorozzuk a középvonal hosszával, amely megegyezik az alapok számtani átlagával. Egy másik lehetőség a trapéz területének meghatározására, hogy megszorozzuk átlóit és a közöttük lévő szög szinuszát.

Gyerekek bent Általános Iskola az áttekinthetőség érdekében gyakran adnak feladatokat: keresse meg a papírra rajzolt ábra területét egy palettával vagy egy átlátszó papírlappal, cellákra osztva. Egy ilyen papírlapot ráhelyezünk a mért ábrára, megszámoljuk a körvonalába illeszkedő teli cellák (területegységek) számát, majd a hiányosak számát, amelyet kettéosztunk.

Határozott integrál. Hogyan számítsuk ki az ábra területét

Most rátérünk az integrálszámítás alkalmazásaira. Ebben a leckében egy tipikus és leggyakoribb feladatot elemezünk. Hogyan használjunk határozott integrált egy síkfigura területének kiszámításához. Végül, akik értelmet keresnek a magasabb matematikában – hátha megtalálják. Sose tudhatod. Közelebb kell kerülnünk az életben vidéki nyaralóövezet elemi függvényeket, és egy meghatározott integrál segítségével keresse meg a területét.

Az anyag sikeres elsajátításához a következőket kell tennie:

1) Értse a határozatlan integrált legalább középszinten. Ezért a bábáknak először el kell olvasniuk a leckét Nem.

2) Legyen képes a Newton-Leibniz képlet alkalmazására és a határozott integrál kiszámítására. Melegen kovácsoljuk baráti kapcsolatokat határozott integrálokkal az oldalon találhatók Határozott integrál. Megoldási példák.

Valójában ahhoz, hogy megtalálja az ábra területének, nem kell annyi ismerete a határozatlan és határozott integrálról. A „terület kiszámítása határozott integrál segítségével” feladat mindig egy rajz elkészítését foglalja magában, Sokkal több aktuális kérdés tudásod és rajzkészséged lesz. Ebben a tekintetben hasznos frissíteni a fő elemi függvények grafikonjainak memóriáját, és legalább egy egyenest, parabolát és hiperbolát építeni. Ez megtehető (sokak számára szükséges) segítségével módszertani anyag valamint a gráfok geometriai transzformációiról szóló cikkek.

Tulajdonképpen már iskolás kora óta mindenki ismeri azt a problémát, hogy a területet határozott integrál segítségével kell megtalálni, és kicsit megelőzzük az iskolai tananyagot. Lehet, hogy ez a cikk egyáltalán nem létezik, de tény, hogy a probléma 100-ból 99 esetben fordul elő, amikor egy diákot lelkesedéssel gyötör egy gyűlölt torony, hogy elsajátítsa a felsőbb matematikai kurzust.

A workshop anyagait egyszerűen, részletesen és minimális elméleti ismeretekkel mutatjuk be.

Kezdjük egy görbe trapézzel.

Görbe vonalú trapéz lapos alaknak nevezzük, amelyet a tengely, az egyenesek és a függvény grafikonja határol egy olyan szakaszon, amely nem változtat előjelet ezen az intervallumon. Helyezzük el ezt az ábrát nem kevesebb abszcissza:

Azután egy görbe vonalú trapéz területe számszerűen egyenlő egy bizonyos integrállal. Minden határozott integrálnak (ami létezik) nagyon jó geometriai jelentése van. A leckén Határozott integrál. Megoldási példák Azt mondtam, hogy a határozott integrál egy szám. És most itt az ideje, hogy leszögezzen egy másik hasznos tényt. Geometria szempontjából a határozott integrál a TERÜLET.

Azaz, a határozott integrál (ha létezik) geometriailag megfelel valamelyik ábra területének. Vegyük például a határozott integrált. Az integrandus egy görbét definiál a tengely felett elhelyezkedő síkon (aki akarja, az elkészítheti a rajzot), maga a határozott integrál pedig numerikus területtel egyenlő megfelelő görbe vonalú trapéz.

1. példa

Ez egy tipikus feladatmeghatározás. Először és döntő pillanat megoldások - rajz. Sőt, a rajzot meg kell építeni JOBB.

Terv készítésekor a következő sorrendet javaslom: először jobb az összes sort (ha van ilyen) és csakis megszerkeszteni Azután- parabolák, hiperbolák, egyéb függvények grafikonjai. A függvénygrafikonokat jövedelmezőbb összeállítani pontról pontra, pontszerű építés technikájával a referenciaanyagban található Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai. Ott is találhat olyan anyagokat, amelyek nagyon hasznosak a leckénkkel kapcsolatban - hogyan lehet gyorsan felépíteni egy parabolát.

Ebben a problémában a megoldás így nézhet ki.
Készítsünk rajzot (megjegyezzük, hogy az egyenlet határozza meg a tengelyt):

Görbe trapézt nem fogok kikelni, nyilvánvaló, hogy itt milyen területről van szó. A megoldás így folytatódik:

A szegmensen található a függvény grafikonja tengely felett, ezért:

Válasz:

Akinek nehézséget okoz a határozott integrál kiszámítása és a Newton-Leibniz képlet alkalmazása , hivatkozzon az előadásra Határozott integrál. Megoldási példák.

A feladat elvégzése után mindig hasznos megnézni a rajzot, és rájönni, hogy a válasz valódi-e. Ebben az esetben „szemmel” megszámoljuk a rajz celláinak számát - nos, körülbelül 9 lesz beírva, ez igaznak tűnik. Teljesen egyértelmű, hogy ha mondjuk a válaszunk lenne: 20 négyzetegység, akkor nyilvánvalóan valahol hiba történt - 20 cella egyértelműen nem fér bele a kérdéses ábrába, legfeljebb egy tucat. Ha a válasz nemleges, akkor a feladatot is rosszul oldották meg.

2. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a vonalak , , és a tengely határol

Ez egy példa erre önálló döntés. Komplett megoldásés a válasz a lecke végén.

Mi a teendő, ha a görbe vonalú trapéz található tengely alatt?

3. példa

Számítsa ki az ábra vonalakkal és koordinátatengelyekkel határolt területét!

Megoldás: Készítsünk rajzot:

Ha a görbe vonalú trapéz található tengely alatt(vagy által legalább, nem magasabb adott tengely), akkor területe a következő képlettel kereshető:
Ebben az esetben:

Figyelem! Ne keverje össze a két típusú feladatot:

1) Ha csak egy határozott integrált kell megoldani, geometriai jelentés nélkül, akkor az lehet negatív.

2) Ha egy figura területét egy határozott integrál segítségével kérik meg, akkor a terület mindig pozitív! Ezért jelenik meg a mínusz az imént vizsgált képletben.

A gyakorlatban az ábra leggyakrabban a felső és az alsó félsíkon is elhelyezkedik, ezért a legegyszerűbb iskolai feladatoktól kezdve áttérünk az értelmesebb példákra.

4. példa

Keresse meg egy lapos alakzat területét, amelyet vonalak határolnak, .

Megoldás: Először be kell fejeznie a rajzot. Általánosságban elmondható, hogy területfeladatokban rajz készítésekor leginkább az egyenesek metszéspontjaira vagyunk kíváncsiak. Keressük meg a parabola és az egyenes metszéspontját. Ezt kétféleképpen lehet megtenni. Az első módszer analitikus. Megoldjuk az egyenletet:

Ezért az integráció alsó határa, az integráció felső határa.
A legjobb, ha nem használja ezt a módszert, ha lehetséges..

Sokkal jövedelmezőbb és gyorsabb a vonalak pontról pontra építése, miközben az integráció határai mintha „maguktól” derülnének ki. A súgó részletesen tárgyalja a különböző diagramok pontonkénti felépítési technikáját Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai. Ennek ellenére a határértékek meghatározásának analitikus módszerét olykor még mindig alkalmazni kell, ha például elég nagy a gráf, vagy a menetes konstrukció nem tárta fel az integráció határait (lehet töredékes vagy irracionális). És egy ilyen példát is megvizsgálunk.

Visszatérünk a feladatunkhoz: racionálisabb először egyenest és csak utána parabolát szerkeszteni. Készítsünk egy rajzot:

Ismétlem, hogy pontszerű konstrukcióval az integráció határait legtöbbször „automatikusan” találják ki.

És most a munkaképlet: Ha van valamilyen folyamatos függvény az intervallumon nagyobb vagy egyenlő valamilyen folytonos függvényt, akkor az ábrának ezen függvények grafikonjai és egyenesek által határolt területe a következő képlettel kereshető:

Itt már nem kell arra gondolni, hogy hol található az ábra - a tengely felett vagy a tengely alatt, és durván szólva, számít, hogy melyik diagram van FENT(egy másik grafikonhoz képest), és melyik van ALUL.

A vizsgált példában nyilvánvaló, hogy a szakaszon a parabola az egyenes felett helyezkedik el, ezért le kell vonni

A megoldás befejezése így nézhet ki:

A kívánt alakzatot felülről egy parabola, alulról pedig egyenes vonal határolja.
A szegmensen a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Valójában egy görbe vonalú trapéz területének iskolai képlete az alsó félsíkban (lásd a 3. egyszerű példát) különleges eset képletek . Mivel a tengelyt az egyenlet adja, és a függvény grafikonja található nem magasabb akkor tengelyek

És most néhány példa egy független megoldásra

5. példa

6. példa

Keresse meg az ábra területét, amelyet a vonalak zárnak be, .

Egy bizonyos integrál segítségével történő területszámítási feladatok megoldása során néha előfordul vicces eset. A rajz helyesen készült, a számítások helyesek voltak, de figyelmetlenség miatt ... rossz figura területét találta meg, így többször is elcseszte engedelmes szolgád. Íme egy valós eset:

7. példa

Számítsa ki az ábra területét, amelyet a , , , vonalak határolnak.

Megoldás: Először készítsünk rajzot:

…Eh, a rajz szar lett, de úgy tűnik, minden olvasható.

Az a figura, amelynek területét meg kell találnunk, kék színű.(gondosan nézze meg a feltételt – mennyire korlátozott a szám!). De a gyakorlatban a figyelmetlenség miatt gyakran előfordul egy „hiba”, hogy meg kell találnia az ábra árnyékolt területét. zöldben!

Ez a példa abból a szempontból is hasznos, hogy az ábra területét két határozott integrál segítségével számítják ki. Igazán:

1) A tengely feletti szakaszon egy egyenes grafikon található;

2) A tengely feletti szakaszon egy hiperbola gráf található.

Nyilvánvaló, hogy a területeket hozzá lehet (és kell) hozzáadni, ezért:

Válasz:

Térjünk át még egy értelmes feladatra.

8. példa

Számítsa ki egy vonallal határolt ábra területét,
Mutassuk be az egyenleteket „iskola” formában, és készítsünk pontról pontra rajzot:

A rajzból látható, hogy a felső határunk „jó”: .
De mi az alsó határ? Világos, hogy ez nem egész szám, de mi? Lehet ? De hol a garancia arra, hogy a rajz tökéletes pontossággal készül, könnyen kiderülhet. Vagy root. Mi van, ha a grafikont egyáltalán nem állítottuk be?

Ilyen esetekben több időt kell fordítani, és analitikusan finomítani kell az integráció határait.

Keressük meg az egyenes és a parabola metszéspontját.
Ehhez megoldjuk a következő egyenletet:


,

Igazán, .

A további megoldás triviális, a lényeg, hogy ne keveredjünk össze a cserékben és az előjelekben, a számítások itt nem a legegyszerűbbek.

A szegmensen , a megfelelő képlet szerint:

Válasz:

Nos, a lecke végén két feladatot tartunk nehezebbnek.

9. példa

Számítsa ki az alakzat területét, amelyet vonalak határolnak , ,

Megoldás: Rajzolja be ezt az ábrát a rajzon.

A fenébe, elfelejtettem aláírni a menetrendet, és újraírtam a képet, bocsánat, nem hotz. Nem rajz, egyszóval ma van a nap =)

A pontszerű építkezéshez tudnia kell kinézet szinuszoidok (és általában hasznos tudni az összes elemi függvény grafikonja), valamint néhány szinuszérték, ezek megtalálhatók trigonometrikus táblázat. Egyes esetekben (mint ebben az esetben) megengedett egy sematikus rajz elkészítése, amelyen elvileg helyesen kell megjeleníteni a grafikonokat és az integrációs határértékeket.

Az integrációs korlátokkal itt nincs gond, ezek közvetlenül a feltételből következnek: - "x" nulláról "pi"-re változik. További döntést hozunk:

A szegmensen a függvény grafikonja a tengely felett helyezkedik el, ezért:

Terület geometriai alakzat - egy geometriai alakzat numerikus jellemzője, amely ennek az alaknak a méretét mutatja (a felület zárt körvonala által határolt része). A terület nagyságát a benne lévő négyzetegységek száma fejezi ki.

Háromszög terület képletek

1. Háromszög terület képlete az oldalra és a magasságra
   Egy háromszög területe egyenlő egy háromszög oldalának hosszának és az erre az oldalra húzott magasság hosszának a szorzatával
   
2. Egy háromszög területének képlete adott három oldallal és a körülírt kör sugarával
   
3. A képlet egy háromszög területének három oldalával és egy beírt kör sugarával
   Egy háromszög területe egyenlő a háromszög fél kerületének és a beírt kör sugarának szorzatával.
   
ahol S a háromszög területe,
- a háromszög oldalainak hossza,
- a háromszög magassága,
- az oldalak közötti szög és
- a beírt kör sugara,
R - a körülírt kör sugara,

Négyzetterület képletek

1. A négyzet területének képlete egy oldal hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az oldalhosszának négyzetével.
2. A négyzet területének képlete az átló hosszának függvényében
   négyzet alakú terület egyenlő az átlója hosszának négyzetének felével.
   

   S=	1	2
   	2

ahol S a négyzet területe,
a négyzet oldalának hossza,
a négyzet átlójának hossza.

Téglalap terület képlete

Téglalap terület egyenlő a két szomszédos oldala hosszának szorzatával

ahol S a téglalap területe,
a téglalap oldalainak hossza.

A paralelogramma területének képletei

1. Párhuzamos terület képlete az oldal hosszára és magasságára
   Párhuzamos terület
2. A paralelogramma területének képlete adott két oldal és a köztük lévő szög
   Párhuzamos terület egyenlő az oldalai hosszának a szorzatával a köztük lévő szög szinuszával.
   

   a b sinα

ahol S a paralelogramma területe,
a paralelogramma oldalainak hossza,
a paralelogramma magassága,
a paralelogramma oldalai közötti szög.

A rombusz területének képletei

1. A rombusz terület képlete adott oldalhossz és magasság
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának és az erre az oldalra süllyesztett magasságának szorzatával.
2. A rombusz területének képlete az oldalhossz és a szög alapján
   Rombusz terület egyenlő az oldala hosszának négyzetének és a rombusz oldalai közötti szög szinuszának szorzatával.
3. A rombusz területének képlete az átlóinak hosszából
   Rombusz terület egyenlő az átlói hosszának a felével.
ahol S a rombusz területe,
- a rombusz oldalának hossza,
- a rombusz magasságának hossza,
- a rombusz oldalai közötti szög,
1, 2 - az átlók hossza.

Trapézfelület képletek

1. Heron képlete a trapézhoz

   ahol S a trapéz területe,
   - a trapéz alapjainak hossza,
   - a trapéz oldalainak hossza,