Az idő egyenlete. Szerkezetmechanikai alapegyenletek Az idő egyenlete a csillagászatban

Orologi Solari - Magyarázatok, cikkek, képek, példák, számítási eszközök - minden a napórákról. Honlap olasz és angol nyelven.

A BSS a British Gnomonic Society székhelye.

A NASS az Észak-Amerikai Gnómikus Társaság székhelye.

A Napóra-atlasz weboldala az eddigi legsikeresebb kísérlet a napóra adatbázis létrehozására. Tele vannak rajongókkal, vannak fotók és koordináták. Érdekes és fejlődő oldal.

A Shadows program webhelyén a program ingyenes verziójával kiszámolhatja a legegyszerűbb típusú napórákat. A Shadows Pro fizetős verziója lehetővé teszi bármilyen ismert óratípus, valamint az asztrolábiumok kiszámítását. Az oldalon rengeteg fotó és hasznos információ található.

Karl Sabansky Napórák Premier webhelye, kissé komolytalan kialakítása ellenére, tartalmaz hatalmas információ mennyisége a napórával kapcsolatban.
Az összes ismert óratípushoz vannak minták az órák kartonból történő elkészítéséhez, és részletes leírást adnak a munkájuk elveiről. Bár az oldal angol nyelvű, mindenki kitalálhatja, hogyan kell modelleket készíteni.

Idő és analemma egyenlete

A napóra alapvetően különbözik az összes többi időmérő műszertől. A helyzet az, hogy nem ugyanazokat az időtartamokat mérik, mint az összes többi óra, hanem a Nap mozgását, ami nem ugyanaz. Leírjuk az átlagos idő és a szoláris idő közötti különbséget idő egyenleteés körülbelül ±15 perc.

A szoláris idő és a középidő közötti különbség megjelenítése rendkívül nehéz feladat (és büszkeség) minden órásmester számára. A bal oldali fotón Martin Brown Notos mechanikus órája látható, amely a dátum mellett az időegyenlet és a Nap hosszúsági fokának értékét is megjeleníti.

A középidő és a fantomnap



A napelemes órák kivételével minden óra mér ugyanaz időintervallumok és show átlagos idő. Az intervallumok lehetnek órák, percek, másodpercek vagy ezredmásodpercek. Minél kisebb a különbség két azonos mérési intervallum között, annál pontosabb az óra, és így jobb. Ha a Nap olyan lenne, mint egy pontos óra, akkor állandó sebességgel kellene keringenie a Föld körül egy, az Egyenlítő síkjában elhelyezkedő körpályán. A következő okfejtésben egy ilyen Napot fogunk nevezni fantomés a rajzokon szürkével és a betűvel jelöltük f. Minden modern időfelfogásunk és maga a számítási rendszerünk ennek a fantom Napnak a mozgásán alapul, amely a nap 24 órájában állandó sebességgel kering a Föld körül. És ez az év minden napján megtörténik. A valóságban azonban a pálya, amelyen a Nap kering a Föld körül, elliptikus, nem kör alakú. Ezenkívül a Föld forgástengelye körülbelül 23,5°-os szögben hajlik a Nap forgássíkjához (az ekliptikához). Ez a két tényező vezet ahhoz a tényhez, hogy az igazi Nap t másként viselkedik, és a fantomközépidővel együtt létezik igaz idő ami megmutathatja csak napóra.

A fenti ábra a Nap két pozícióját mutatja, amelyek ugyanannak az időpillanatnak felelnek meg. fantom nap f mindig állandó sebességgel mozog az egyenlítő mentén. A pozíciójának megfelelő átlagos helyi időt a szög határozza meg HF, ami déli irányból, azaz délre tolódik el. Ugyanakkor az igazi nap t az ekliptika mentén mozog, amely csak a napéjegyenlőségkor keresztezi az egyenlítőt. Az ábrán az ekliptika és a valódi Nap narancssárgával, a tavaszi napéjegyenlőség pontja pedig γ betűvel van jelölve. A valódi idő a szögnek felel meg h t. Általában ezek a szögek nem esnek egybe, és az időegyenlet így írható fel h t - h f. Az átlagos idő és a valós idő közötti leírt eltérés 6 hónapos periódusú, és évente négyszer nulla: a napéjegyenlőség és a napforduló napjain. Tekintettel arra, hogy az ekliptika nem felel meg az egyenlítőnek (vagyis a Föld tengelyének dőlése miatt), az időegyenlet az év során körülbelül -9,87 percről +9,87 percre változik.

Elliptikus pálya és Kepler törvényei

Az átlagos idő és a valós idő közötti eltérés második oka, az időegyenletek, abban rejlik, hogy a Nap éves mozgása a Föld körül ellipszis alakú, és nem körpályán történik.



A 17. század elején Johannes Kepler német csillagász felfedezte a bolygóforgás három törvényét, amelyek közül az első kettő az időegyenlethez kapcsolódik. Az első törvény az égitestek egymáshoz viszonyított összes lehetséges mozgási pályáját írja le. Különösen, amikor a Nap elliptikus pályán kering a Föld körül, a Föld ennek az ellipszisnek az egyik gócában helyezkedik el, amint az a bal oldali ábrán látható. Ugyanakkor a lényeg 1 megfelel a Nap legnagyobb távolságának a Földtől és ún tetőpont. A pontban elérjük a Föld és a Nap közötti minimális távolságot 2 hívott földközel. A Nap január 3-án van a legközelebb a Földhöz, legtávolabb pedig július 4-én.

Természetesen a Nap annak az elliptikus pályának az egyik gócában van, amelyben a Föld kering körülötte, de a gnomónika szempontjából ez a tény csak megnehezíti a napóra elveinek megértését. Azok számára, akik szívesebben veszik figyelembe a Föld Nap körüli forgását, meg kell jegyezni, hogy a Naphoz legközelebbi pontot ún. napközel, és a legtávolabbi aphelion.

Kepler második törvénye kimondja, hogy amikor a Nap elliptikus pályán mozog, sebessége nem lesz állandó, hanem a perigeus pontnál a Földhöz közeledve nő, az apogeus pontban pedig csökken. Maga a függőség grafikusan is ábrázolható. A nap áthalad a foltokon ABés CD ugyanannyira, ha a megfelelő árnyékolt területek területei egyenlők.



A bal oldali ábra két Nap helyzetét mutatja: a fantomot fés igaz t. Az átlagos időt meghatározó Fantom Nap állandó sebességgel körpályán kering a Föld körül. Az igazi Nap éppen ellenkezőleg, a perigeus pont közelében gyorsul. 2 és lelassul a csúcspontján 1 . Ennek megfelelően a fantom és a valódi Nap hosszúsága, amelyet a tavaszi napéjegyenlőség γ pontjától berajzolt szög fejez ki, eltérő lesz. Az időegyenletben az átlagos idő és a valós idő közötti eltérés arányát a képlet fejezi ki L t - L f. Évente kétszer apogee és perigee idején ez a különbség nullává válik, a fennmaradó időben pedig -7,66 percről +7,66 percre változik.

A fenti ábrákon a pálya ellipticitását szándékosan hangsúlyozzák, bár valójában különcség A Föld keringési pályája mindössze 0,017 Ez azt jelenti, hogy a pálya majdnem egybeesik egy olyan körrel, amelynek excentricitása 0. Ez a „majdnem” azonban komoly változást okoz a Nap ekliptika mentén történő mozgásának sebességében. Januárban a sebesség 1°01" 24 óra alatt, szemben a júliusi 0°57"-vel.

Az időegyenlet grafikonja



Így az időegyenlet alapvetően két inkonzisztenciából áll az átlagos és a valós idő, vagyis a szoláris között. Az első eltérés a Föld tengelyének dőlésszögéből adódik. A második eltérés pedig abból fakad, hogy a Nap nem körpályán, hanem elliptikus pályán mozog. Mivel maguk az eltérések komplexen szinkronizáltak és eltérő jelentéssel bírnak, az eredmény időgráf egyenlete, amely az elején látható, aszimmetrikus a nulla értékre. Az időegyenlet akkor vesz fel pozitív értéket, ha a Nap korábban keresztezi a lokális meridiánt, mint egy átlagos időben egyenletesen mozgó fantom Nap. A negatív érték azt jelenti, hogy a valós időpont késik az átlaghoz képest. A grafikonon látható, hogy az időegyenlet értéke évente négyszer nulla: április 15-én, június 13-án, szeptember 1-jén és december 25-én. Néha az időegyenlet grafikonját megfordítva rajzolják meg, és az időegyenletet az átlagos idő mínusz a valódi idővel ábrázolják.

Valójában sokkal több az eltérés a fantom és a valódi Nap között (a csillagászat jól ismert népszerűsítője, Flamarion a Föld 13 bonyolultabb mozgását írta le), de a fő, ill. érezhető az időegyenlethez való hozzájárulás a Föld pályájával és forgástengelyének dőlésével függ össze.



Néha az időegyenletet analemmatikus "nyolcas" formájában ábrázolják. Az interneten a közzétetthöz hasonló fotókat találhat. Ha a fényképezőgépet állványra helyezi, és minden nap több expozíciós felvételt készít ugyanabban a polgári időben, akkor a Nap egy nyolcas alakot fog leírni az év során. Ezt a figurát hívják analemma. A felvétel helyétől és időpontjától függően a görbe alakja és lejtése eltérő lehet. Például, ha a felmérést 12:00-kor végezték Greenwichben, akkor az analemma szigorúan függőlegesen helyezkedik el.




Néha egy analemmatikus nyolcas alakot ábrázolnak egy napórán, ami lehetővé teszi, hogy megegyezzen az átlagos és a valós időpontban. Ehhez tudnia kell, hogy az átlagos idő szerint dél akkor következik be, amikor a gnomon végéről érkező árnyék keresztezi az analemma megfelelő részét. Ezzel az árnyékkal ugyanakkor meg lehet határozni az évszakot, mivel a fényképen az MSU óráján kell lennie.





Ha olyan napóra készül, amely pontosan mutatja az átlagos időt, akkor ezek jelölésénél az időegyenletet kell figyelembe venni. Ezért az ilyen órákon az óravonalak mindig analemmatikus görbék formájában lesznek. Az átlagos idő napórával történő megjelenítésének másik módja a fényképen látható. Az armillaris féltekén egy szokatlan gnomon található, egy vágott analemmatikus nyolcas alakban. Az íves skála két időpontot ábrázol: felül a polgári átlagot, alul pedig a valódi napenergiát.

Az idő egyenlete az átlagos idő és a valós szoláris idő közötti különbség egyidejűleg.

ȵ = T m - = t m - = - α m

Következésképpen: T m = + ȵ. De = + 12 r ; - mért.

= + 12 r + ȵ.

15. ábra: Az időegyenlet grafikonja: 1 - az idő egyenlete, 2 - a középpont egyenlete, 3 - az ekliptika dőlésszögének egyenlete

Az időgörbe egyenlete két szinuszos összege.

Az egyéves periódusú szinusz a valódi és a középidő közötti különbséget adja meg, a Nap egyenetlen mozgása miatt az ekliptika mentén. Az időegyenletnek ez a része az középponti egyenlet vagy excentricitási egyenlet.

Az ekliptika dőlésének egyenlete a féléves periódusú szinuszos.

Az időegyenletet csillagászati ​​naptárak és évkönyvek teszik közzé.

Megjegyzés: Trópusi év 365,2422 átlagos szoláris napot, 365,2422 sziderális napot tartalmaz.

Egy sziderikus napon a tavaszi napéjegyenlőség pontja 𝛶 visszatér az égi meridiánra. Az átlagos egyenlítői Nap nem éri el, mivel az égi egyenlítő mentén 1 0 -t fog elmozdulni, ami körülbelül 4 perces, pontosabban 3 perces késéshez vezet. 56 mp. Tehát az átlagos napsugárzás hosszabb, mint a csillagé.

Időszámláló rendszerek

Greenwichi középidő (univerzális) - középidő Greenwich földrajzi meridiánján - T 0 .

Őt is hívják globális vagy egyetemes, kijelöl uT.

A λ földrajzi szélességen

T λ = T 0 +λ. T λ = T m

λ>0 Greenwichtől keletre.

Idő T λ egy adott földrajzi meridiánon mérve - helyi idő szerint. Ez az idő kényelmetlen!

1884 fogadott szalagos időszámláló rendszer. Az időszámlálót csak 24-en tartják Jelentősebb földrajzi meridiánok, amelyek körülbelül az egyes időzónák közepén helyezkednek el.

Az időzónák határai csak a nyílt tengereken és óceánokon követik pontosan a földrajzi meridiánokat. A zónák száma 0 és 23 között van. A nulla zóna fő meridiánja a greenwichi meridián.

Normál idő - T n – az öv főmeridiánjának helyi átlagos szoláris ideje. T m – T n = λ – n h . λ – keleti hosszúság Greenwichtől; n h – az egész órák száma megegyezik a zóna számával. T n = T 0 + n h ; T 0 – világ idő.

Rendelési idő - speciális szabályozások vezették be az energiatakarékosság érdekében.

Newtoni vagy efemerisz idő - egységes idő, ami érv a bolygók efemeriszének számításakor, és a Hold és a bolygó mozgása határozza meg.

Az átlagos napnap nem állandó értéknek bizonyul a Föld egyenetlen forgása, a holdi árapály gátló hatásai, (világi változások), a levegő és a lég- és víztömegek szezonális újraeloszlása ​​miatt a Föld felszínén. .

A csillagászati ​​évkönyvekben a Nap, a Hold, a bolygók és a műholdak efemeridjeit az efemerid időrendszerben adják meg. Ezen égitestek helyzetének kiszámításához az egyetemes (egyenetlen) időrendszerben egy T korrekciót vezetnek be, amelyet az elmúlt időpillanatokra határoznak meg.

1900-ban T = 0. 75 éven keresztül a Föld forgási sebessége átlagosan csökkent, ill.

Az időt az "átlagos nap" segítségével követjük nyomon – egy képzeletbeli pont, amely egész évben egyenletesen mozog az égi egyenlítő mentén. De végül is az igazi Nap az ekliptika mentén mozog, és egyenetlenül.

Az időegyenlet az átlagos és a valódi szoláris idő, vagy a valódi és az átlagos Nap jobb felemelkedése közötti különbség. Ez a különbség két okból adódik:

1) A Földnek elliptikus pályája van, és egyenetlenül mozog rajta, maximális sebességgel a perihéliumban (körülbelül január 2-án), a legkisebb sebességgel az aphelionban (kb. július 6-án)

2) Az ekliptika egyenlítőhöz való dőlése miatt a napéjegyenlőségek közelében a Nap sebességének vetülete az egyenlítőre kisebb, mint a napfordulók idején, amikor az egyenlítővel párhuzamosan mozog.

Ezek az eltérések egy meglehetősen összetett görbét alkotnak (sötétvörös vonal a grafikonon).

Ezt a grafikont azonban valójában meglehetősen egyszerű ábrázolni.

A Föld keringésének elliptikussága okozta korrekció periódusa megegyezik a Föld forgási periódusával, i.e. egy év alatt ez a hiba akkor növekszik a leggyorsabban, amikor a Föld a perihéliumban van, a legközelebb a Naphoz, és a legnagyobb sebességgel kering. Ennek a hibának a grafikonja egy szinuszos, amelynek kezdőpontja a perihélium időpontjában van (kék görbe).

Az ekliptika dőléséből adódó korrekció fél éves periódusú, hiszen egy év alatt a Nap a napéjegyenlőségek kétszeresét és a napfordulók kétszeresét múlik el. A grafikonja is szinuszos, csak a nullapontja felel meg a Nap egyenlítői vetületének legnagyobb sebességének - a napforduló napjának (sárga görbe).

Ezeknek az összetevőknek az amplitúdója közel van, és az elsőnél 7,8 fok, a másodiknál ​​10 fok. Most könnyen ábrázolhatjuk az időegyenlet mindkét összetevőjét, és meghatározhatjuk összértéküket. Ez akár grafikusan is megtehető, ha a korrekciós értéket a megfelelő sugarú kör pontjának vetítésével határozzuk meg. Csak a vízszintes tengely felel meg a különböző dátumoknak - december 22-ének és január 2-ának. (Hasonló konstrukció példáját lásd a földrajzi koordináták meghatározásáról szóló munkában - ott így találták meg a Nap deklinációját).

Ezen megfontolások alapján könnyen megszerkeszthető egy matematikai kifejezés az időegyenlet meghatározására:

η=7,8*sin(D-2)+10*sin(2D+10) , ahol

D=(d*360/365) - az átlagos Nap hosszúsági fokának növekedése az év elejétől;

d az év napjának sorszáma.

Ez a képlet empirikus, hozzávetőleges, de 1/2 percnél nem rosszabb pontosságot biztosít, és ami a legfontosabb, hogy levezetjük, csak az átlagos és a valós szoláris idő eltéréseinek okait, valamint a nagyságrendet jellemző két együtthatót kell megérteni. minden korrekcióról.

Általánosságban elmondható, hogy minden egyenlet a serpenyőmérleg matematikai modellje (kar, egyenlő kar, billenő - sok név van), amelyet az ókori Babilonban találtak fel 7000 évvel ezelőtt vagy még korábban. Sőt, még azt is gondolom, hogy az ókori bazárokban használt mérlegek lettek az egyenletek prototípusa. És ha bármelyik egyenletet nem két párhuzamos rúddal összekapcsolt számok és betűk értelmezhetetlen halmazának tekinti, hanem úgy, mint a skálán, akkor minden mással nem lesz probléma:

Bármely egyenlet olyan, mint egy kiegyensúlyozott skála

Történt ugyanis, hogy napról napra egyre több egyenlet van az életünkben, és egyre kevésbé értjük, mi is az egyenlet, és mi a jelentése. Mindenesetre ez a benyomásom támadt, amikor megpróbáltam elmagyarázni a legidősebb lányomnak egy egyszerű matematikai egyenlet jelentését, mint például:

x + 2 = 8 (500.1)

Azok. az iskolában persze elmagyarázzák, hogy ilyenkor azért, hogy megtalálják x, ki kell vonni a 2-t a jobb oldalról:

x = 8-2 (500.3)

Ez persze abszolút helyes cselekvés, de hogy miért kell kivonni, és nem például összeadni vagy osztani, arra az iskolai tankönyvekben nincs magyarázat. Csak van egy szabály, amit hülyén meg kell tanulnod:

Ha egy egyenlet egy tagját egyik részből a másikba visszük át, előjele az ellenkezőjére változik.

És hogyan kell ezt a szabályt megértenie egy 10 éves diáknak, és mi a jelentése, Ön gondolja és dönti el. Sőt, az is kiderült, hogy a közeli hozzátartozóim sem értették meg soha az egyenletek jelentését, hanem egyszerűen megjegyezték a kötelezőt (és különösen a fenti szabályt), és csak azután alkalmazták, ahogy Isten a lelkükre adja. Nem tetszett ez az állapot, ezért úgy döntöttem, megírom ezt a cikket (a legfiatalabb már felnő, pár év múlva újra el kell magyaráznia, és ez hasznos lehet az oldalam néhány olvasójának) .

Azonnal szeretném elmondani, hogy bár 10 évig tanultam az iskolában, soha nem tanítottam a műszaki tudományokhoz kapcsolódó szabályokat és meghatározásokat. Azok. ha valami tiszta, akkor úgyis emlékezni fog rá, ha pedig valami nem tiszta, akkor mi értelme van bezsúfolni anélkül, hogy megértenék a jelentését, ha úgyis elfelejtik? És emellett, ha valamit nem értek, akkor nincs rá szükségem (csak nemrég jöttem rá, hogy ha valamit nem értek az iskolában, akkor az nem az én hibám, hanem a tanárok, a tankönyvek és az általános oktatási rendszer).

Ez a megközelítés sok szabadidőt biztosított számomra, ami gyerekkorban annyira hiányzik mindenféle játékhoz és szórakozáshoz. Ugyanakkor különböző fizika, kémia olimpiákon vettem részt, sőt egy körzeti versenyt is nyertem matematikából. De ahogy telt az idő, az elvont fogalmakkal működő tudományágak száma csak nőtt, és ennek megfelelően az osztályzataim is csökkentek. Az intézet első évében az absztrakt fogalmakkal működő tudományágak száma abszolút többségben volt, és természetesen komplett C hallgató voltam. De aztán, amikor több okból kifolyólag magamnak is meg kellett küzdenem az anyagok szilárdságával előadások és jegyzetek segítsége nélkül, és ezt valahogy megértettem, simán ment a dolog, és piros oklevéllel zárult. Itt azonban most nem erről van szó, hanem arról, hogy a megadott sajátosságok miatt fogalmaim, definícióim jelentősen eltérhetnek az iskolában tanítottaktól.

És most folytassuk

A legegyszerűbb egyenletek, analógia a súlyokkal

Valójában a gyerekeket már óvodás korukban is megtanítják összehasonlítani a különféle tárgyakat, amikor nem is igazán tudnak beszélni. Általában geometriai összehasonlítással kezdik. Például egy gyereknek két kockát mutatnak, és a gyereknek meg kell határoznia, melyik a nagyobb és melyik a kisebb. És ha azonosak, akkor ez egyenlő méret. Ekkor a feladat nehezedik, változatos formájú, különböző színű tárgyakat mutatnak a gyereknek, és egyre nehezebben tudja kiválasztani ugyanazokat a tárgyakat. Nem bonyolítjuk azonban annyira a feladatot, hanem az egyenlőség egyetlen típusára, a pénzsúlyra koncentrálunk.

Ha a mérleg serpenyői azonos vízszintes szinten vannak (az 500.1 ábrán narancssárga és kék színű serpenyőmérlegek nyilai egybeesnek, a vízszintes szintet egy fekete, félkövér vonal jelzi), ez azt jelenti, hogy annyi terhelés van a mérleg jobb serpenyőjét, mint a bal oldali serpenyőt. A legegyszerűbb esetben ezek 1 kg súlyúak lehetnek:

500.1. ábra.

És akkor megkapjuk a legegyszerűbb egyenletet 1 = 1. Ez az egyenlet azonban csak nekem való, a matematikában az ilyen kifejezéseket egyenlőségnek nevezik, de ennek a lényege nem változik. Ha a mérleg bal oldali serpenyőjéről eltávolítjuk a súlyt és bármit ráhelyezünk, akár almát, akár körmöt, akár vörös kaviárt is, és ugyanakkor a mérleg vízszintes szinten van, akkor ez akkor is azt jelenti, hogy 1 kg bármely feltüntetett termék 1 kg súlyának felel meg a mérleg jobb oldalán maradó súlyból. Már csak ezt a kilogrammot kell fizetni az eladó által meghatározott ár szerint. Másik dolog, hogy lehet, hogy nem tetszik az ár, vagy kétségek merülnek fel a súlyok pontosságában - de ezek már olyan gazdasági és jogi viszonyok kérdései, amelyeknek nincs közvetlen kapcsolata a matematikával.

Persze azokban a távoli időkben, amikor megjelentek a serpenyőmérlegek, minden sokkal egyszerűbb volt. Először is, nem volt olyan súlymérték, mint kilogramm, hanem a súlymértékeknek megfelelő pénzegységek, például talentumok, sékelek, fontok, hrivnyák stb. (amúgy sokáig meglepődtem, hogy van egy font - egy pénzegység és egy font - egy súlymérték, van egy hrivnya - egy pénzegység, és egykor a hrivnya volt a súly mértéke, és csak nemrég tudtam meg, hogy a tehetség nem csak a pénz. az ószövetségben említett ókori zsidók mértékegysége, de az ókori Babilonban elfogadott súlymérték is minden a helyére került).

Pontosabban, eleinte súlyok voltak, általában gabonafélék, és csak ezután jelent meg a pénz, amely megfelel ezeknek a súlyoknak. Például 60 szem egy sékelnek (sikl), 60 sékel egy minának, 60 perc pedig egy talentumnak felelt meg. Ezért kezdetben a mérleg segítségével ellenőrizték, hogy a felajánlott pénz hamis-e, majd csak ezután jelentek meg a súlyok, mint a pénz megfelelője, testkészletek és rövidzárak, elektronikus mérlegek és plasztikkártyák, de ez nem változtat a dolog lényegén.

Azokban a távoli időkben az eladónak nem kellett részletesen elmagyaráznia, hogy ez vagy az a termék mennyibe kerül. Elég volt az árusított árut egy mérlegre helyezni, a vevő pedig a pénzt a másodikra ​​- nagyon egyszerűen és egyértelműen, és még a helyi nyelvjárás ismerete sem szükséges, bárhol kereskedhet a világon. De vissza az egyenletekhez.

Ha az (500.1) egyenletet a mérleg helyzetéből vesszük, akkor ez azt jelenti, hogy a mérleg bal oldali serpenyőjén ismeretlen számú kilogramm és további 2 kilogramm, a jobb oldali serpenyőn pedig 8 kilogramm található:

x + 2 kg, = 8 kg, (500.1.2)

jegyzet: Ebben az esetben az aláhúzás a mérleg alját szimbolizálja, papíron történő számításnál ez a vonal inkább a mérleg aljára hasonlíthat. Ráadásul a matematikusok már régóta kitalálnak speciális szimbólumokat - zárójeleket, így minden zárójel a skála oldalának tekinthető, legalábbis az egyenletek jelentésének megértésének első szakaszában. Ennek ellenére elhagyom az aláhúzást a jobb érthetőség kedvéért.

Tehát mit kell tennünk, hogy megtudjunk egy ismeretlen számú kilogrammot? Helyesen! Távolítson el 2 kilogrammot a mérleg bal és jobb oldaláról, ekkor a mérleg ugyanazon a vízszintes szinten marad, vagyis továbbra is egyenlőségünk lesz:

x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)

Illetőleg

x = 8 kg - 2 kg, (500.3.2)

x = 6 kg, (500.4.2)

500.2. ábra.

A matematika gyakran nem kilogrammal, hanem néhány absztrakt dimenzió nélküli egységekkel operál, és akkor például az (500.1) egyenlet megoldása vázlatban így fog kinézni:

x + 2, = 8, (500.1)

x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)

x = 8 - 2 , (500.3)

x = 6 (500.4)

Amit az 500.2. ábra tükröz.

jegyzet: Formálisan a még jobb megértés érdekében az (500.2) egyenlet után egy másik alakegyenletnek kell következnie: x + 2 - 2, = 8 - 2, Ez azt jelenti, hogy az akció véget ért, és ismét egyensúlyi súlyzókkal van dolgunk. Azonban véleményem szerint nincs szükség a megoldás ilyen teljesen teljes nyilvántartására.

A tiszta könyvekben általában egy egyenlet megoldásának rövidített jelölését használják, és nem csak a mérlegek szimbólumait, amelyek véleményem szerint annyira szükségesek az egyenletek tanulmányozásának kezdeti szakaszában, redukálják, hanem akár teljes egyenleteket is. . Tehát az (500.1) egyenlet megoldásának rövidített rekordja tiszta másolatban, a tankönyvekben megadott példák szerint, így fog kinézni:

x + 2 = 8 (500.1.1)

x = 8 - 2 (500.3.1)

x = 6 (500.4)

Ennek eredményeként a súlyokkal való analógia alkalmazásakor a javasolt tankönyvekhez képest további (500.2) egyenletet készítettünk, akár megoldási módszerrel, akár e megoldás írási formájával. Véleményem szerint ez egy egyenlet, ráadásul hozzávetőlegesen ebben a formában leírva, pl. a skálák szimbolikus megjelölésével - ez a hiányzó láncszem, fontos az egyenletek jelentésének megértéséhez.

Azok. az egyenletek megoldásánál semmit nem viszünk át sehova ellenkező előjellel, hanem ugyanazokat a matematikai műveleteket hajtjuk végre az egyenlet bal és jobb oldalával.

Mostanában szokás az egyenletek megoldását a fent megadott rövidített formában írni. Az (500.1.1) egyenletet azonnal követi az (500.3.1) egyenlet, ezért következik az inverz előjelek szabálya, amit azonban sokak számára könnyebb megjegyezni, mint elmélyülni az egyenletek jelentésében.

jegyzet: A felvétel rövidített formája ellen nincs semmi, ráadásul. haladó felhasználók még jobban lerövidíthetik ezt a formát, de ezt csak azután szabad megtenni, ha már világosan megértették az egyenletek általános jelentését.

És a kiterjesztett jelölés lehetővé teszi az egyenletek megoldásának fő szabályainak megértését:

1. Ha ugyanazokat a matematikai műveleteket hajtjuk végre az egyenletek bal és jobb oldalával, akkor az egyenlőség megmarad.

2. Nem mindegy, hogy a figyelembe vett egyenletben melyik a bal és melyik a jobb rész, ezeket szabadon felcserélhetjük.

Ezek a matematikai műveletek bármiek lehetnek. Ugyanazt a számot levonhatjuk a bal és a jobb oldalról is, ahogy fentebb látható. Ugyanazt a számot hozzáadhatjuk az egyenlet bal és jobb oldalához, így:

x - 2 = 8, (500.5.1)

x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)

x = 8 + 2 , (500.5.3)

x = 10 (500.5.4)

Mindkét részt oszthatjuk vagy szorozhatjuk ugyanazzal a számmal, például:

3x = 12, (500.6.1)

3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)

x = 12 : 3 , (500.6.3)

x = 4 (500.6.4)

3x - 6 = 12, (500.7.1)

3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)

3x = 18, (500.7.3)

3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)

x = 6 (500.7.5)

Mindkét részt integrálhatjuk vagy megkülönböztethetjük. A bal és a jobb oldallal azt csinálhatunk, amit akarunk, de ha ezek a műveletek megegyeznek a bal és a jobb oldallal, akkor az egyenlőség megmarad (a mérleg ugyanazon a vízszintes szinten marad).

Természetesen olyan műveleteket kell választania, amelyek lehetővé teszik az ismeretlen érték gyors és egyszerű meghatározását.

Ebből a szempontból a fordított cselekvés klasszikus módszere mintha egyszerűbb lenne, de mi van akkor, ha a gyerek még nem tanulta meg a negatív számokat? Eközben az eredményül kapott egyenletnek a következő alakja van:

5 - x = 3 (500.8)

Azok. ennek az egyenletnek a klasszikus módszerrel történő megoldása során az egyik lehetséges megoldás, amely a legrövidebb jelölést adja, a következő:

- x = 3 - 5 (500.8.2)

- x = - 2 (500.8.3)

x = 2 (500.8.4)

És ami a legfontosabb – hogyan lehet megmagyarázni a gyermeknek, hogy az (500.8.3) egyenlet miért azonos az (500.8.4) egyenlettel?

Ez azt jelenti, hogy ebben az esetben még a klasszikus módszer használatakor sincs értelme spórolni a felvételen, és először meg kell szabadulni a bal oldalon lévő ismeretlen értéktől, amely negatív előjelű.

5 - x = 3 (500.8)

5 = 3 + x (500.8.5)

3 + x = 5 (500.8.6)

x = 5-3 (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

Ebben az esetben a teljes rekord így fog kinézni:

5 - x, = 3, (500.8)

5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)

5 = 3 + x, (500.9.3)

3 + x, = 5, (500.8.6)

3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)

x = 5-3, (500.8.7)

x = 2 (500.8.4)

Újra hozzáteszem. A megoldás teljes feljegyzése nem a tanárok számára szükséges, hanem az egyenletek megoldási módszerének jobb megértéséhez. És amikor felcseréljük az egyenlet bal és jobb oldalát, az olyan, mintha a mérleg nézőpontját a vevő szemszögéből az eladó szemszögébe változtatnánk, ennek ellenére az egyenlőség megmarad.

Sajnos soha nem tudtam rávenni a lányomat, hogy teljes egészében leírja a megoldást, még piszkozatban sem. Vasérve van: "minket nem így tanítottak." Mindeközben az összeállított egyenletek bonyolultsága nő, a találgatások százalékos aránya, hogy milyen műveletet kell végrehajtani az ismeretlen érték meghatározásához, és a becslések csökkennek. Nem tudom mit kezdjek vele...

jegyzet: a modern matematikában szokás különbséget tenni egyenlőségek és egyenletek között, i.e. Az 1 \u003d 1 csak egy numerikus egyenlőség, és ha az egyenlőség egyik részének ismeretlenje van, amelyet meg kell találni, akkor ez már egyenlet. Ami engem illet, az ilyen jelentésmegkülönböztetésnek nem sok értelme van, csak megnehezíti az anyag érzékelését. Úgy gondolom, hogy minden egyenlőség egyenletnek nevezhető, és minden egyenlet egyenlőségen alapul. És emellett felmerül a kérdés x \u003d 6, ez már egyenlőség, vagy még mindig egyenlet?

A legegyszerűbb egyenletek, analógia az idővel

Természetesen a súlyokkal való analógia az egyenletek megoldásában messze nem az egyetlen. Például az egyenletek megoldása is szóba jöhet időbeli vonatkozásban. Ekkor az (500.1) egyenlettel leírt feltétel így hangzik:

Miután hozzáadtuk az ismeretlen összeget x Még 2 db, 8 db van (jelenleg). Minket azonban ilyen vagy olyan okból nem az érdekel, hogy hány lett belőlük, hanem az, hogy hány volt belőlük múlt időben. Ennek megfelelően ahhoz, hogy megtudjuk, hány ilyen egységünk volt, az ellenkező műveletet kell végrehajtanunk, pl. vonjunk ki 2-t 8-ból (500.3 egyenlet). Ez a megközelítés pontosan megfelel a tankönyvekben leírtaknak, de véleményem szerint nem olyan egyértelmű, mint a súlyokkal való analógia. A vélemények azonban ebben a kérdésben eltérőek lehetnek.

Példa egyenlet zárójeles megoldására

Ezt a cikket még nyáron írtam, amikor a lányom 4. osztályt végzett, de alig fél év telt el azóta, hogy az iskolában a következő formájú egyenletek megoldására kérték fel őket:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)

Ezt az egyenletet senki sem tudta megoldani az osztályból, de közben az általam javasolt módszerrel semmi nehéz megoldani, csak a jelölés teljes formája fog túl sok helyet foglalni:

(500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), \u003d 300: 3, (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x), \u003d 100, (500.10.4)

(500.10.5)

75: (50 - 5x), \u003d 100 - 97, (500.10.6)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

(500.10.8)

75, \u003d 3 (50-5x), (500.10.9)

(500.10.10)

75: 3, \u003d 50-5x, (500.10.11)

25, \u003d 50-5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, \u003d 50-25, (500.10.16)

5x = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 25:5, (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Ebben a szakaszban azonban nincs szükség ilyen teljes jelölésre. Mivel a dupla zárójelig jutottunk, nem szükséges külön egyenletet írni a matematikai műveletekre a bal és a jobb oldalon, így a vázlat megoldási bejegyzése így nézhet ki:

97 + 75: (50 - 5x) : 3 = 300 : 3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), \u003d 100, (500.10.4)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 \u003d 100 - 97, (500.10.5)

75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)

75: (50-5x), (50-5x) = 3, (50-5x) (500.10.8)

75, \u003d 3 (50-5x), (500.10.9)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25, \u003d 50-5x, (500.10.12)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, = 50, (500.10.14)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x = 25, (500.10.17)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Összesen ebben a szakaszban 14 egyenletet kellett felírni az eredeti megoldáshoz.

Ebben az esetben az egyenlet megoldásának rekordja egy tiszta másolatban így nézhet ki:

97 + 75: (50 - 5x) = 300:3 (500.10.3)

97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)

75: (50-5x) = 100-97 (500.10.6)

75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)

75 = 3 (50-5x) (500.10.9)

75: 3 = 50-5x (500.10.11)

25 = 50-5x (500.10.12)

25 + 5x = 50 (500.10.14)

5x = 50-25 (500.10.16)

5x = 25 500.10.17)

x=25:5 (500.10.19)

x = 5 (500.10.20)

Azok. a rövidített formában még 12 egyenletet kell készítenünk. Ugyanakkor a felvételi megtakarítás minimális, de egy ötödikesnek valóban gondjai lehetnek a szükséges műveletek megértésével.

P.S. Csak a dupla zárójelek kapcsán kezdett érdeklődni a lány az általam javasolt egyenletek megoldási módszere iránt, de ugyanakkor az ő írásformájában, még a vázlatban is 2-szer kevesebb egyenlet van, mert kihagyja a végsőt. az (500.10.4), (500.10. 7) és hasonló egyenletek, és írás közben azonnal teret enged a következő matematikai műveletnek. Ennek eredményeként a vázlat bejegyzése valahogy így nézett ki:

(97 + 75: (50 - 5x)) 3:3 = 300:3 (500.10.2)

97 + 75: (50 - 5x), - 97 \u003d 100, - 97 (500.10.5)

75: (50-5x), (50-5x) = 3, (50-5x) (500.10.8)

75 , : 3 = 3 (50 - 5x), : 3 (500.10.10)

25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)

25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)

5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)

x = 5 (500.10.20)

Ennek eredményeként mindössze 8 egyenletet kaptunk, ami még a rövidített megoldáshoz szükségesnél is kevesebb. Elvileg nem bánom, csak hasznos lenne.

Tulajdonképpen ennyit szerettem volna elmondani a legegyszerűbb, egy ismeretlen mennyiséget tartalmazó egyenletek megoldásáról. Két ismeretlen mennyiséget tartalmazó egyenletek megoldásához szükséges

Valódi és átlagos szoláris idő rendszerei.

sziderális időrendszer

A sziderális időt s jelöli. A sziderális időrendszer paraméterei a következők:

1) mechanizmus - a Föld forgása a tengelye körül;

2) skála - sziderikus nap, amely megegyezik a tavaszi napéjegyenlőség pontjának két egymást követő felső csúcspontja közötti időintervallumtal a megfigyelési ponton;

3) a kezdőpont az égi szférán - a tavaszi napéjegyenlőség g pontja, a nullpont (a sziderikus nap kezdete) - a g pont felső csúcsának pillanata;

4) számlálási módszer. A sziderális idő mértéke a tavaszi napéjegyenlőség óránkénti szöge, t g. Lehetetlen mérni, de a kifejezés minden csillagra igaz

s = t g = a + t,

ezért a csillag jobb felemelkedésének a ismeretében és óránkénti t szögének kiszámításával meghatározható az s sziderális idő.

A sziderális időrendszert a Föld felszíni pontjainak földrajzi koordinátáinak és a földi objektumok irányának irányszögeinek meghatározására, a Föld napi forgásának egyenetlenségeinek tanulmányozására, valamint egyéb skálák nullpontjainak megállapítására használják. időmérő rendszerek. Ezt a rendszert, bár széles körben használják a csillagászatban, kényelmetlen a mindennapi életben. A nappal és az éjszaka változása a Nap látható napi mozgása miatt nagyon határozott ciklust hoz létre az emberi tevékenységben a Földön. Ezért az idő számítása régóta a Nap napi mozgásán alapul.

Valódi szoláris időrendszer (ill igazi szoláris idő- m ¤) a Nap csillagászati ​​vagy geodéziai megfigyelésére szolgál. Rendszer paraméterek:

1) mechanizmus - a Föld forgása a tengelye körül;

2) skála – valódi napnap – a valódi Nap középpontjának két egymást követő alsó csúcspontja közötti időintervallum;

3) kezdőpont - az igazi Nap korongjának közepe - ¤, nullapont - valódi éjfél, vagy az igazi Nap korongjának középpontjának alsó csúcspontja;

4) számlálási módszer. A valódi napidő mértéke a valódi Nap geocentrikus óraszöge t ¤ plusz 12 óra:

m ¤ = t ¤ + 12 óra .

A valós szoláris idő mértékegysége - egy másodperc, ami egy valódi szoláris nap 1/86400-ának felel meg, nem elégíti ki az időegységre vonatkozó alapvető követelményt - nem állandó.

A valós szoláris időskála inkonzisztenciájának okai a következők:

1) a Nap egyenetlen mozgása az ekliptika mentén a Föld pályájának ellipticitása miatt;

2) a Nap jobb felemelkedésének egyenetlen növekedése az év során, mivel a Nap az ekliptika mentén körülbelül 23,5 0 -os szöget zár be az égi egyenlítő felé.

Ezen okok miatt a valódi szoláris idő rendszerének gyakorlati alkalmazása kényelmetlen. Az egységes szoláris időskálára való áttérés két szakaszban történik.

1. szakasz - átmenet egy fiktív átlagos ekliptikus Napra. Ebben a szakaszban a Nap egyenetlen mozgása az ekliptika mentén kizárt. Az elliptikus pályán az egyenetlen mozgást felváltja a körpályán történő egyenletes mozgás. A valódi Nap és az átlagos ekliptikus Nap akkor esik egybe, amikor a Föld áthalad keringésének perihéliumán és afelionján.

2. szakasz - átmenet az egyenlítői Naphoz. Itt a Nap jobb felemelkedésének az ekliptika dőléséből adódó egyenetlen növekedése kizárt. Az igazi Nap és az egyenlítői átlagos Nap egyszerre halad át a tavaszi és az őszi napéjegyenlőség pontjain.

Ezen akciók eredményeként egy új időmérő rendszer kerül bevezetésre - közepes napidő.

Az átlagos szoláris időt m jelöli. Az átlagos szoláris időrendszer paraméterei:

1) mechanizmus - a Föld forgása a tengelye körül;

2) skála – átlagos nap – az átlagos egyenlítői Nap két egymást követő alsó csúcspontja közötti időintervallum ¤ eq;

3) a kiindulási pont az egyenlítői Nap átlagos ¤ eq, a nullapont az éjfél átlaga, vagy az egyenlítői Nap alsó csúcsának pillanata;

4) számlálási módszer. Az átlagos idő mértéke az egyenlítői Nap átlagos geocentrikus óránkénti szöge t ¤ eq plusz 12 óra.

m \u003d t ¤ egyenérték + 12 óra.

Az átlagos szoláris időt nem lehet közvetlenül megfigyelésekből meghatározni, mivel az egyenlítői Nap egy fiktív pontja az égi szférán. Az átlagos szoláris időt a valódi napidőből számítják ki, amelyet a valódi nap megfigyeléséből határoznak meg. Az m ¤ valódi szoláris idő és az m átlagos szoláris idő közötti különbséget időegyenletnek nevezzük, és h-val jelöljük:

h = m ¤ - m = t ¤ - t ¤ vö. .

Az időegyenletet két szinuszos, éves és féléves periódusú szinusz fejezi ki:

h \u003d h 1 + h 2 "-7,7 m bűn(l + 79 0)+ 9,5 m bűn 2l,

ahol l az átlagos ekliptikus Nap ekliptikai hosszúsága.

A h grafikon két maximummal és két minimummal rendelkező görbe, amely derékszögű koordinátarendszerben a 17. ábrán látható alakkal rendelkezik.