A trigonometrikus függvények jelei. Szinusz, koszinusz, szög érintőjének meghatározásai és jelei

Különböző. Némelyikük arról szól, hogy a koszinusz melyik negyedében pozitív és negatív, melyik negyedében a szinusz pozitív és negatív. Minden egyszerűnek bizonyul, ha tudja, hogyan kell kiszámítani ezen függvények értékét különböző szögekből, és ismeri a függvények grafikonon történő ábrázolásának elvét.

Melyek a koszinusz értékei?

Ha figyelembe vesszük, akkor a következő képarány van, amely meghatározza: a szög koszinusz a a szomszédos BC láb és az AB hypotenuse aránya (1. ábra): cos a= BC / AB.

Ugyanazt a háromszöget használva megtalálhatja a szög, az érintő és a kotangens szinuszát. A szinusz az AC láb lábának ellentétes szöge és az AB hipotenusz aránya lesz. A szög érintőjét akkor találjuk meg, ha a kívánt szög szinuszát elosztjuk az azonos szög koszinuszával; a megfelelő képleteket helyettesítve a szinusz és a koszinusz megtalálására, megkapjuk, hogy tg a= AC / BC. A kotangens, mint az érintő fordított függvénye, így lesz megtalálható: ctg a= BC / AC.

Vagyis azonos szögértékek esetén azt találtuk, hogy derékszögű háromszögben a képarány mindig ugyanaz. Úgy tűnik, hogy kiderült, honnan származnak ezek az értékek, de miért kapnak negatív számokat?

Ehhez figyelembe kell vennie a háromszöget a derékszögű koordinátarendszerben, ahol pozitív és negatív értékek egyaránt jelen vannak.

Világosan a negyedekről, hol van mi

Mik a derékszögű koordináták? Ha kétdimenziós térről beszélünk, akkor két irányított egyenesünk van, amelyek metszik egymást az O pontban - ez az abszcissza tengely (Ox) és az ordinátatengely (Oy). O ponttól az egyenes irányába helyezkednek el pozitív számokés benne hátoldal- negatív. Végső soron ez közvetlenül meghatározza, hogy a koszinusz melyik negyedében pozitív, és melyikben negatív.

Első negyedévben

Ha egy derékszögű háromszöget helyez el az első negyedévben (0 o-tól 90 o-ig), ahol az x és y tengely pozitív értékekkel rendelkezik (az AO és BO szegmensek azon a tengelyen vannak, ahol az értékek " +"előjel"), akkor mi a szinusz, mi a koszinusz is, pozitív értékei lesznek, és pluszjel értéket kapnak. De mi történik, ha a háromszöget áthelyezi a második negyedbe (90o -ról 180o -ra)?

Második negyed

Látjuk, hogy az y tengely mentén az AO lábai kaptak negatív jelentés... Egy szög koszinusa a most ehhez az oldalhoz képest van egy mínusz, és ezért végső értéke negatív lesz. Kiderül, hogy melyik negyedben pozitív a koszinusz, a háromszög helyétől a rendszerben Derékszögű koordináták... És ebben az esetben a szög koszinusz negatív lesz. De a szinusz számára semmi sem változott, mert annak előjelének meghatározásához szükség van az OB oldalra, amely ebben az esetben egy pluszjel mellett maradt. Foglaljuk össze az első két negyedévet.

Ahhoz, hogy megtudja, melyik negyedben pozitív és melyik negatív a koszinusz (valamint a szinusz és más trigonometrikus függvények), meg kell vizsgálnia, milyen jel van hozzárendelve az egyik vagy másik lábhoz. Egy szög koszinuszára a az AO láb fontos, a sinus számára - OB.

Az első negyedév volt az egyetlen, amely válaszol a kérdésre: "Melyik negyedben pozitív és szinusz pozitív egyszerre?" Lássuk tovább, hogy lesznek -e még véletlenek e két függvény jegyében.

A második negyedévben az AO láb negatív értékű lett, ami azt jelenti, hogy a koszinusz is negatív lett. A szinusz pozitív értékét tárolja.

Harmadik negyed

Most mindkét láb AO és OB negatív lett. Emlékezzünk a koszinusz és a szinusz összefüggéseire:

Cos a = AO / AB;

Sin a = VO / AB.

Az AB -nek mindig van pozitív jel ebben a koordináta -rendszerben, mivel nem irányul a tengelyek által meghatározott két oldal egyikére sem. De a lábak negatívak lettek, ami azt jelenti, hogy mindkét funkció eredménye negatív is, mert ha szorzási vagy osztási műveleteket hajtunk végre számokkal, amelyek között egy és egyetlen mínuszjel van, akkor az eredmény is ezzel a jellel lesz.

Az eredmény ebben a szakaszban:

1) Melyik negyedévben pozitív a koszinusz? A három közül az elsőben.

2) Melyik negyedévben a szinusz pozitív? A három közül az elsőben és a másodikban.

Negyedik negyedév (270 o -ról 360 o -ra)

Itt az AO láb ismét megkapja a plusz jelet, és így a koszinuszt is.

A szinusz esetében az esetek továbbra is "negatívak", mert az OB láb az O kiindulási pont alatt maradt.

következtetéseket

Annak megértése érdekében, hogy a koszinusz melyik negyedében pozitív, negatív stb., Emlékeznie kell a koszinusz kiszámításának arányára: a szöggel szomszédos láb, osztva a hipotenűzzel. Néhány tanár azt javasolja, hogy emlékezzen erre: k (osine) = (k) szög. Ha emlékszik erre a "csalásra", akkor automatikusan megérti, hogy a szinusz az ellenkezője és a láb szögének a hipotenúzához viszonyított aránya.

Nehéz megjegyezni, hogy a koszinusz melyik negyedében pozitív és melyik negatív. Sok trigonometrikus függvény létezik, és mindegyiknek megvan a maga jelentése. De ennek ellenére: a szinusz pozitív értékei - 1, 2 negyed (0 o -tól 180 o -ig); koszinuszhoz 1, 4 negyed (0 o -tól 90 o -ig és 270 o -tól 360 o -ig). A többi negyedévben a függvények mínusz értékekkel rendelkeznek.

Talán valakinek könnyebb lesz megjegyezni, hogy a függvénykép szerint melyik jel található.

A szinusz esetében látható, hogy nulla és 180 ° között a címer a sin (x) értékek vonala felett van, ami azt jelenti, hogy a függvény itt is pozitív. A koszinusz esetében ez ugyanaz: melyik negyedben pozitív a koszinusz (7. fotó), és melyik negyedben látható a vonal mozgása a cos (x) tengely felett és alatt. Ennek eredményeként kétféleképpen emlékezhetünk a szinusz, a koszinusz függvények előjelének meghatározására:

1. Egy képzeletbeli kör mentén, amelynek sugara egy , ha nem tesz fenntartást, hogy nem ez a lényeg, a gyerekek összezavarodhatnak).

2. A függvénynek (x) függőségének képe alapján az x argumentumtól, mint az utolsó ábrán.

Az első módszerrel megértheti, hogy pontosan mitől függ a jel, és ezt fentebb részletesen kifejtettük. Az ezen adatok alapján felépített 7. ábra a lehető legjobban megjeleníti a kapott függvényt és annak jeleit.

Ez a cikk három fő tulajdonsággal fog foglalkozni trigonometriai függvények: szinusz, koszinusz, érintő és kotangens.

Az első tulajdonság a függvény előjele attól függően, hogy az egységkör melyik negyedébe tartozik az α szög. A második tulajdonság a periodicitás. E tulajdonság szerint a tigonometrikus függvény nem változtatja meg értékét, ha a szöget egész fordulatszám változtatja. A harmadik tulajdonság határozza meg, hogyan változnak az értékek funkciói a bűn, cos, tg, ctg ellentétes szögekben α és - α.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Gyakran egy matematikai szövegben vagy egy probléma összefüggésében megtalálható a következő kifejezés: "az első, második, harmadik vagy negyedik koordináta negyed szöge". Ami?

Forduljunk az egységkörhöz. Négy negyedre oszlik. Megjelöljük a körön az A 0 (1, 0) kezdőpontot, és az O pont körül α szöggel elforgatva eljutunk az A 1 (x, y) ponthoz. Attól függően, hogy melyik A 1 (x, y) negyedpont fekszik, az α szöget az első, a második, a harmadik és a negyedik negyed szögének nevezzük.

Az egyértelműség kedvéért illusztrációt mutatunk be.

Az α = 30 ° szög az első negyedévben található. Szög - 210 ° a második negyedszög. Az 585 ° szög a harmadik negyed szöge. A 45 ° -os szög a negyedik negyedszög.

Ebben az esetben a ± 90 °, ± 180 °, ± 270 °, ± 360 ° szögek nem tartoznak egyik negyedhez sem, mivel a koordináta tengelyeken fekszenek.

Tekintsük most azokat a jeleket, amelyek szinuszt, koszinuszt, érintőt és kotangent vesznek fel, attól függően, hogy melyik negyedben található a szög.

A szinuszjelek negyedenkénti meghatározásához emlékezzünk a definícióra. A szinusz az A 1 (x, y) pont ordinátája. Az ábra azt mutatja, hogy az első és a második negyedévben pozitív, a harmadik és négyszeres negatív.

A koszinusz az A 1 (x, y) pont abszcisszája. Ennek megfelelően meghatározzuk a körön a koszinusz jeleit. A koszinusz az első és a negyedik negyedévben pozitív, a második és a harmadik negyedévben negatív.

Ahhoz, hogy meghatározzuk az érintő és a kotangens jeleit negyedekben, felidézzük ezen trigonometrikus függvények definícióit is. Az érintő egy pont ordinátájának és az abszcisszának az aránya. Ezért a számok elosztásának szabálya szerint különböző jelek, ha az ordinátának és az abszcisszának ugyanazok a jelei, akkor a kör érintőjele pozitív lesz, és amikor az ordinátának és az abszcisszának különböző jelei vannak, akkor negatív lesz. Hasonló módon határozzák meg a kotangens jeleit negyedben.

Fontos megjegyezni!

1. Az α szög szinuszában 1 és 2 negyedben pluszjel, 3 és 4 negyedben mínuszjel található.
2. Az α szög koszinuszának 1 és 4 negyedében pluszjele van, 2 és 3 negyedében mínuszjel.
3. Az α szög érintőjének 1 és 3 negyedében pluszjele, 2 és 4 negyedben mínuszjele van.
4. Az α szög kotangensének 1 és 3 negyedében pluszjele, 2 és 4 negyedben mínuszjele van.

Periodicitás tulajdonság

A periodicitás tulajdonság a trigonometrikus függvények egyik legnyilvánvalóbb tulajdonsága.

Periodicitás tulajdonság

Amikor a szöget egész számmal változtatjuk teljes forradalmak az adott szög szinusz-, koszinusz-, érintő- és kotangens értéke változatlan marad.

Valójában, amikor a szög egész fordulatszámmal változik, akkor mindig az egységkör A kezdőpontjától az A 1 pontig jutunk el, azonos koordinátákkal. Ennek megfelelően a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens értéke sem változik.

Matematikailag ez a tulajdonság a következőképpen íródott:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Mi ennek a tulajdonságnak a gyakorlati alkalmazása? A periodicitás tulajdonság, mint az öntött képletek, gyakran használják a szinuszok, koszinuszok, érintők és nagy szögek együttes értékeinek kiszámításához.

Íme néhány példa.

sin 13 π 5 = sin 3 π 5 + 2 π = sin 3 π 5

tan (- 689 °) = cser (31 ° + 360 ° (- 2)) = tan 31 ° tan (- 689 °) = cser (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = cser (- 329 °)

Nézzük újra az egységkört.

Az A 1 (x, y) pont annak az eredménye, hogy az A 0 kezdőpontot (1, 0) a kör középpontja körül α szöggel elforgatjuk. Az A 2 pont (x, - y) annak az eredménye, hogy a kezdőpontot - α szöggel elfordítjuk.

Az A 1 és A 2 pontok szimmetrikusak az abszcissza tengelye körül. Abban az esetben, ha α = 0 °, ± 180 °, ± 360 ° A 1 és A 2 pont egybeesik. Legyen az egyik pont koordinátái (x, y), a másik pedig - (x, - y). Emlékezzünk a szinusz, koszinusz, érintő, kotangens definícióira, és írjuk:

sin α = y, cos α = x, t g α = y x, c t g α = x y sin - α = - y, cos - α = x, t g - α = - y x, c t g - α = x - y

Ez magában foglalja a szinuszok, koszinuszok, érintők és ellentétes szögek együttes tulajdonságait.

Szinuszok, koszinuszok, érintők és ellentétes szögekből álló együttesek tulajdonsága

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

E tulajdonság szerint az egyenlőség igaz

sin - 48 ° = - sin 48 °, c t g π 9 = - c t g - π 9, cos 18 ° = cos - 18 °

A figyelembe vett tulajdonságot gyakran használják a gyakorlati problémák megoldására olyan esetekben, amikor meg kell szabadulni a szögek negatív jeleitől a trigonometrikus függvények argumentumaiban.

Ha hibát észlel a szövegben, válassza ki azt, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűkombinációt

A trigonometria mint tudomány az ókori Keletről származik. Az első trigonometriai összefüggéseket csillagászok származtatták, hogy pontos naptárat és csillagorientációt hozzanak létre. Ezek a számítások a gömb trigonometriához kapcsolódtak, míg az iskolai tanfolyamon egy lapos háromszög oldalarányát és szögviszonyait vizsgálják.

A trigonometria a matematika egyik ága, amely a trigonometrikus függvények tulajdonságaival, valamint a háromszögek oldalai és szögei közötti kapcsolattal foglalkozik.

Az I. évezred kultúrájának és tudományának fénykorában a tudás terjedt el Ősi Kelet Görögországba. De a trigonometria fő felfedezései az arab kalifátus embereinek érdeme. Különösen a türkmén tudós, al-Marazvi vezetett be olyan funkciókat, mint az érintő és a kotangens, összeállította az első táblázatokat a szinuszok, érintők és kotangensek számára. A szinusz és a koszinusz fogalmát indiai tudósok vezették be. Nagy figyelmet szentelnek a trigonometriának olyan ókori nagy alakok munkáiban, mint Euklidész, Arkhimédész és Eratoszthenész.

A trigonometria alapvető mennyiségei

A numerikus argumentumok alapvető trigonometrikus függvényei a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens. Mindegyiknek saját grafikonja van: szinuszos, koszinusz, érintő és kotangens.

Ezen mennyiségek értékeinek kiszámítására szolgáló képletek a Pitagorasz -tétel alapján készülnek. Az iskolások jobban tudják ezt a megfogalmazást: "Pitagorasz nadrág, minden irányban egyenlő", mivel a bizonyítékot egyenlő szárúak példáján mutatjuk be derékszögű háromszög.

A szinusz, a koszinusz és más függőségek kapcsolatot hoznak létre az éles szögek és bármely derékszögű háromszög oldalai között. Adjunk képleteket ezen értékek kiszámításához az A szögre, és kövessük a trigonometrikus függvények kapcsolatát:

Mint látható, a tg és a ctg inverz függvények. Ha az a lábat az A bűn és a c hipotenusz szorzataként, a b lábat pedig cos A * c szorzataként ábrázoljuk, akkor az érintőre és a kotangensre a következő képleteket kapjuk:

Trigonometrikus kör

Grafikailag ezen mennyiségek aránya a következőképpen ábrázolható:

A kör ebben az esetben az α szög minden lehetséges értékét képviseli - 0 ° és 360 ° között. Amint az ábrán látható, minden függvény negatív vagy pozitív értéket vesz fel a szög értékétől függően. Például az α sin "+" előjellel lesz jelölve, ha α a kör I és II negyedéhez tartozik, azaz 0 ° és 180 ° között van. Ha α 180 ° és 360 ° között van (III és IV negyed), akkor a sin α csak negatív lehet.

Próbáljunk trigonometrikus táblázatokat készíteni meghatározott szögekhez, és derítsük ki a mennyiségek értékét.

Az α értékeket, amelyek 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° és így tovább, különleges eseteknek nevezzük. A számukra vonatkozó trigonometriai függvények értékeit kiszámítják és speciális táblázatok formájában mutatják be.

Ezeket a szögeket nem véletlenül választották. A táblázatokban a π jelölés a radiánokat jelöli. Rad az a szög, amelynél a körív hossza megfelel a sugarának. Ezt az értéket azért vezettük be, hogy egyetemes függőséget hozzunk létre; radiánban történő számításkor a sugár tényleges hossza cm -ben nem számít.

A trigonometrikus függvények táblázataiban szereplő szögek megfelelnek a radiánok értékeinek:

Tehát nem nehéz kitalálni, hogy 2π teljes kör vagy 360 °.

A trigonometrikus függvények tulajdonságai: szinusz és koszinusz

A szinusz és a koszinusz, az érintő és a kotangens fő tulajdonságainak mérlegelése és összehasonlítása érdekében le kell rajzolnunk azok funkcióit. Ezt kétdimenziós koordináta-rendszerben elhelyezett görbe formájában tehetjük meg.

Tekintsünk egy összehasonlító táblázatot a szinusz és a koszinusz hullám tulajdonságairól:

Szinuszos	Koszinusz
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk esetén, ahol k ϵ Z	cos x = 0, x = π / 2 + πk esetén, ahol k ϵ Z
sin x = 1, x = π / 2 + 2πk esetén, ahol k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk esetén, ahol k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π / 2 + 2πk esetén, ahol k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk esetén, ahol k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, azaz a függvény páratlan	cos (-x) = cos x, azaz a függvény páros
	a függvény periodikus, a legkisebb periódus 2π
sin x ›0, x az I és II negyedhez tartozó vagy 0 ° és 180 ° között (2πk, π + 2πk)	cos x ›0, x az I és IV negyedhez tartozó vagy 270 ° és 90 ° között (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
sin x ‹0, a III és IV negyedhez tartozó x vagy 180 ° és 360 ° között (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹0, x a II és III negyedhez tartozik, vagy 90 ° és 270 ° között (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk)
növekszik az intervallumon [- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk]	növekszik az intervallumon [-π + 2πk, 2πk]
csökken az intervallumokon [π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk]	intervallumokban csökken
derivált (sin x) ’= cos x	derivált (cos x) ’= - sin x

Annak megállapítása, hogy egy függvény páros -e vagy sem, nagyon egyszerű. Elég elképzelni egy trigonometrikus kört trigonometrikus mennyiségek jeleivel, és mentálisan "összeadni" a grafikont az OX tengely körül. Ha a jelek megegyeznek, a függvény páros, különben páratlan.

A radiánok bevezetése, valamint a szinusz és koszinusz fő tulajdonságainak felsorolása lehetővé teszi, hogy a következő mintát adjuk:

Nagyon könnyű ellenőrizni a képlet helyességét. Például x = π / 2 esetén a szinusz 1, mint a koszinusz x = 0. Az ellenőrzés elvégezhető táblázatokra való hivatkozással vagy a függvények görbéinek nyomon követésével adott értékekre.

Tangentoid és Cotangentoid tulajdonságok

Az érintő- és kotangens függvények ábrázolása jelentősen eltér a szinusz és a koszinusz függvényeitől. A tg és ctg értékek inverzek egymással.

1. Y = tg x.
2. A tangentoid hajlamos az y = értékekre x = π / 2 + πk esetén, de soha nem éri el azokat.
3. A tangentoid legkisebb pozitív periódusa π.
4. Tg ( - x) = - tg x, vagyis a függvény páratlan.
5. Tg x = 0, x = πk esetén.
6. A funkció növekszik.
7. Tg x ›0, x ϵ esetén (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, x ϵ esetén (- π / 2 + πk, πk).
9. Származékos (tg x) ’= 1 / cos 2 ⁡x.

Fontolgat grafikus kép cotangenzoids alább a szövegben.

A cotangensoid fő tulajdonságai:

1. Y = ctg x.
2. A szinusz- és koszinuszfüggvényekkel ellentétben az Y tangentoidban felveheti az összes valós szám halmazának értékeit.
3. A cotangensoid hajlik az x = πk y értékekre, de soha nem éri el őket.
4. A kotangensoid legkisebb pozitív periódusa π.
5. Ctg ( - x) = - ctg x, vagyis a függvény páratlan.
6. Ctg x = 0, x = π / 2 + πk esetén.
7. A funkció csökken.
8. Ctg x ›0, x ϵ esetén (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, x ϵ esetén (π / 2 + πk, πk).
10. Származékos (ctg x) ’= - 1 / sin 2 ⁡x Helyes

Az óra típusa: a tudás rendszerezése és a köztes ellenőrzés.

Felszerelés: trigonometrikus kör, tesztek, kártyák feladatokkal.

A lecke céljai: rendszerezze a tanulmányozott elméleti anyagot a szinusz, a koszinusz, a szög érintőjének definícióiról; ellenőrizze az ebben a témában és a gyakorlatban történő alkalmazás asszimilációjának mértékét.

Feladatok:

• Általánosítani és megszilárdítani a szinusz, koszinusz és érintő fogalmát.
• Alakítani komplex bemutató a trigonometrikus függvényekről.
• Hozzájárulni a tanulók vágyainak és szükségleteinek fejlesztéséhez, hogy tanulmányozzák a trigonometrikus anyagot; elősegítik a kommunikációs kultúrát, a csoportmunkát és az önképzést.

„Aki cselekszik és gondolja magát kiskorától kezdve, az az
akkor válik megbízhatóbbá, erősebbé, okosabbá.

(V. Shukshin)

AZ Osztályok alatt

I. Szervezeti pillanat

Az osztályt három csoport képviseli. Minden csoportban van egy tanácsadó.
A tanár közli az óra témáját, céljait és feladatait.

II. Tudásfrissítés (frontális munka az osztállyal)

1) Csoportos munka a feladatokon:

1. Fogalmazza meg a bűnszög definícióját!

- Milyen jelei vannak a bűnnek α minden koordináta negyedévben?
- Milyen értékeknek van értelme a sin α kifejezésnek, és milyen értékeket vehet fel?

2. A második csoport ugyanaz - ugyanazok a kérdések a cos α esetében.

3. A harmadik csoport válaszokat készít a tg α és ctg α kérdésekre.

Ekkor három diák önállóan dolgozik a táblán a kártyákon (különböző csoportok képviselői).

Kártya száma 1.

Praktikus munka.
Az egységkör segítségével számítsa ki a sin α, cos α és tan α értékeket az 50, 210 és - 210 szögekhez.

2. kártya.

Határozza meg a kifejezés előjelét: tg 275; cos 370; bűn 790; tg 4.1 és bűn 2.

Kártya száma 3.

1) Számítsa ki:
2) Hasonlítsa össze: cos 60 és cos 2 30 - sin 2 30

2) szóban:

a) Számos számot javasoltak: 1; 1,2; 3; , 0 ,,- 1. Néhányuk felesleges. Ezek a számok milyen sin α vagy cos α tulajdonságot fejezhetnek ki (akár a sin α, akár a cos α felveheti ezeket az értékeket).
b) Van értelme a kifejezésnek: cos (-); bűn 2; 3. tg: ctg (- 5); ; ctg0;
ctg (- π). Miért?
c) Van -e legkevesebb és legnagyobb érték bűn vagy cos, tg, ctg.
d) Igaz?
1) α = 1000 a II negyed szöge;
2) α = - 330 a IV negyed szöge.
e) A számok az egységkör ugyanazon pontjának felelnek meg.

3) Dolgozzon a táblán

№ 567 (2; 4) - Keresse meg a kifejezés értékét
583 (1-3) Határozza meg a kifejezés előjelét!

Házi feladat: táblázat egy füzetben. 567. szám (1, 3) 578. szám

III. További ismeretek asszimilációja. Trigonometria a tenyerében

Tanár: Kiderült, hogy a szögek szinuszainak és koszinuszainak értékei a tenyerében vannak. Nyújtsa ki a kezét (mindkét kezét), és nyújtsa az ujjait, amennyire csak lehetséges (például egy plakáton). Egy diákot meghívnak. Megmérjük az ujjaink közötti szögeket.
Vegyünk egy háromszöget, ahol van 30, 45 és 60 90 szög, és alkalmazzuk a szög csúcsát a tenyerében lévő hold dombjára. A hold dombja a kisujj kiterjedésének metszéspontjában és hüvelykujj... Kombináljuk az egyik oldalt a kisujjal, a másikat pedig a másik ujjal.
Kiderül a kisujj és hüvelykujj a szög 90, a kis- és a gyűrűsujj között - 30, a kis- és a középső ujj között - 45, a kis- és a mutatóujj között - 60. És ez kivétel nélkül minden emberre vonatkozik

rózsaszín szám 0 - 0 -nak felel meg,
névtelen 1 -es szám - 30 -nak felel meg,
középső szám 2 - 45 -nek felel meg,
indexszám 3 - 60 -nak felel meg,
nagy szám 4 - 90 -nek felel meg.

Így 4 ujjunk van a kezünkön, és emlékezünk a képletre:

Ujj száma	Injekció	Jelentése

Ez csak egy mnemonikus szabály. Általában a sin α vagy cos α értékét fejből kell tudni, de néha ez a szabály segít a nehéz időkben.
Jöjjön egy szabály a cos -ra (szögek változás nélkül, de hüvelykujjból számolva). A fizikai szünet, amely a sin α vagy cos α jelekhez kapcsolódik.

IV. A ZUN asszimilációjának ellenőrzése

Önálló munka visszajelzésekkel

Minden diák kap egy tesztet (4 lehetőség) és egy válaszlapot.

Teszt

1.opció

1) Milyen forgásszög esetén a sugár ugyanabba a helyzetbe kerül, mint amikor 50 -es szögben fordul.
2) Keresse meg a kifejezés értékét: 4cos 60 - 3sin 90.
3) A számok közül melyik nullánál kisebb: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.

2. lehetőség

1) Melyik forgásszögnél veszi a sugár ugyanazt a helyzetet, mint amikor 10 -es szögben fordul.
2) Keresse meg a kifejezés értékét: 4cos 90 - 6sin 30.
3) A számok közül melyik nagyobb nullánál: sin 340, cos 340, sin 240, tg (- 240).

3. lehetőség

1) Keresse meg a kifejezés értékét: 2ctg 45 - 3cos 90.
2) A számok közül melyik kisebb nullánál: sin 40, cos (- 10), tg 210, sin 140.
3) Melyik negyed szöge az α szög, ha sin α> 0, cos α< 0.

4. lehetőség

1) Keresse meg a kifejezés értékét: tg 60 - 6ctg 90.
2) A számok közül melyik kisebb nullánál: sin (- 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Melyik negyed szöge az α szög, ha ctg α< 0, cos α> 0.

A 0	B Bűn50	V 1	G – 350	D – 1	E Kötözősaláta(– 140)
F 3	Z 310	ÉS Mert 140		L 350	M 2
H Mert 340	O – 3	NS Mert 250	R	VAL VEL Bűn 140	T – 310
Van – 2	F 2	NS Tg 50	NS 250 tg	NS Bűn 340	ÉN VAGYOK 4

(szó - trigonometriai kulcs)

V. Információk a trigonometria történetéből

Tanár: A trigonometria a matematika meglehetősen fontos ága az ember életében. Modern megjelenés a trigonometriát a 18. század legnagyobb matematikusa, Leonard Euler adta - származása szerint svájci hosszú évek aki Oroszországban dolgozott és a Szentpétervári Tudományos Akadémia tagja volt. Bemutatta a trigonometriai függvények jól ismert definícióit, amelyeket megfogalmaztak és bebizonyítottak híres képletek, később megtanítjuk őket. Euler élete nagyon érdekes, és azt tanácsolom, hogy ismerje meg Jakovlev "Leonhard Euler" könyvéből.

(Üzenet a srácoktól ebben a témában)

Vi. Lecke összefoglaló

Játék "Noughts and crosses"

A két legaktívabb diák vesz részt. Csoportok támogatják őket. A feladatok megoldását jegyzetfüzetbe írják le.

Feladatok

1) Keresse meg a hibát

a) sin 225 = - 1,1 c) sin 115< О
b) cos 1000 = 2 d) cos (- 115)> 0

2) Fejezze ki a szöget fokban
3) Adja meg 300 -as szöget radiánban
4) Mi a legnagyobb és legkisebb érték kifejezése lehet: 1+ sin α;
5) Határozza meg a kifejezés előjelét: sin 260, cos 300.
6) Melyik negyedévben számkör pont található
7) Határozza meg a kifejezés jeleit: cos 0.3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Számítsa ki:
9) Hasonlítsa össze: sin 2 és sin 350

Vii. A lecke tükröződése

Tanár: Hol találkozhatunk a trigonometriával?
Milyen tanulságok a 9. osztályban, és még most is a bűn α, cos α fogalmát használod; tg a; ctg α és milyen célból?

Lehetővé teszi számos jellemző eredmény megállapítását - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságai... Ebben a cikkben három fő tulajdonságot vizsgálunk meg. Az első az α szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének jeleit jelzi, attól függően, hogy melyik α koordináta negyedszög. Ezután megvizsgáljuk a periodicitás tulajdonságát, amely meghatározza az α szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének értékeinek állandóságát, amikor ezt a szöget egész fordulatszámmal megváltoztatjuk. A harmadik tulajdonság a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékei közötti kapcsolatot fejezi ki.

Ha érdekli a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens függvény tulajdonságai, akkor tanulmányozhatja őket a cikk megfelelő szakaszában.

Oldal navigáció.

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jelek negyedekben

Ebben a bekezdésben az "I., II., III. És IV. Koordináta negyed szöge" kifejezés található. Magyarázzuk el, melyek ezek a szögek.

Vegyük az egységkört, jelöljük meg rajta az A (1, 0) kezdőpontot, és forgassuk el az O pont körül az α szöggel, miközben feltételezzük, hogy eljutunk az A 1 (x, y) ponthoz.

Azt mondják α szög az I, II, III, IV koordináta negyed szöge ha az А 1 pont az I., II., III., IV. negyedben található; ha az α szög olyan, hogy az A 1 pont az Ox vagy Oy koordinátavonalak bármelyikén fekszik, akkor ez a szög nem tartozik a négy negyedek egyikéhez sem.

Az egyértelműség kedvéért grafikus ábrát mutatunk be. Az alábbi rajzokon a forgásszögek 30, –210, 585 és –45 fok, amelyek a koordináta negyedek I., II., III. És IV. Szöge.

Sarok 0, ± 90, ± 180, ± 270, ± 360, ... fok nem tartozik a koordináta negyedek egyikéhez sem.

Most nézzük meg, hogy mely jeleknek van szinusz-, koszinusz-, érintő- és kotangensértéke az α forgásszögből, attól függően, hogy melyik negyed α.

Szinusz és koszinusz esetében ezt könnyű megtenni.

Értelemszerűen az α szög szinusa az A 1 pont ordinátája. Nyilvánvaló, hogy az I. és II. Koordináta negyedévben pozitív, a III. És IV. Negyedévben pedig negatív. Így az α szög szinuszának plusz jele van az I. és II. Negyedben, a mínuszjel pedig a III. És a VI.

Viszont az α szög koszinusza az A 1 pont abszcisszája. Az I. és IV. Negyedévben pozitív, a II. És III. Negyedévben negatív. Következésképpen az α szög koszinuszának értékei az I. és IV. Negyedévben pozitívak, a II. És III. Negyedévben pedig negatívak.

Ahhoz, hogy a jeleket az érintő és a kotangens negyedével határozzuk meg, emlékeznünk kell azok definícióira: az érintő az A1 pont ordinátájának és az abszcisszának az aránya, a kotangens pedig az A1 pont abszcisszájának aránya az ordinátához . Aztán onnan a számok osztásának szabályai azonos és különböző előjelekből következik, hogy az érintőnek és a kotangensnek pluszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordinátája jelei megegyeznek, és mínuszjelekkel rendelkeznek - amikor az abszcissza és a pont ordinátusa Az 1 más. Ezért a szög érintőjének és kotangensének + előjele van az I és III koordináta negyedében, a mínusz előjel pedig a II és IV negyedben.

Valójában például az első negyedévben az x abszcissza és az A 1 pont y ordinátája is pozitív, akkor az x / y hányados és az y / x hányados pozitív, ezért az érintőnek és a kotangensnek + jelek. A második negyedévben pedig az x abszcissza negatív, az y ordináta pedig pozitív, ezért x / y és y / x is negatív, ezért az érintő és a kotangens mínuszjelekkel rendelkezik.

Átmegyünk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens következő tulajdonságára.

Periodicitás tulajdonság

Most elemezzük a szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének legnyilvánvalóbb tulajdonságát. A következőkből áll: ha a szöget egész fordulatszámmal megváltoztatjuk, akkor a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke nem változik.

Ez érthető: amikor a szög egész fordulatszámmal változik, akkor mindig az A kezdőponttól az A1 -es pontig jutunk az egységkörön, ezért a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens értéke változatlan marad, mivel az A 1 pont koordinátái változatlanok maradnak.

A képletek segítségével a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonsága a következőképpen írható fel: sin (α + 2 π z) = sinα, cos (α + 2 π z) = cosα, tg (α + 2 π z) = tgα, ctg (α + 2 π z) = ctgα, ahol α a forgásszög radiánban, z tetszőleges, abszolút érték amely a teljes fordulatok számát jelzi, amellyel az α szög változik, a z szám előjele pedig a forgásirányt.

Ha az α elfordulási szöget fokokban adjuk meg, akkor ezeket a képleteket a következőképpen írjuk át: sin (α + 360 ° z) = sinα, cos (α + 360 ° z) = cosα, tg (α + 360 ° z) = tgα , ctg (α + 360 ° z) = ctgα.

Íme néhány példa ennek a tulajdonságnak a használatára. Például, , mivel , a ... Itt egy másik példa: vagy.

Ezt a tulajdonságot a redukciós képletekkel együtt nagyon gyakran használják a "nagy" szögek szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékeinek kiszámításakor.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonságait néha a periodicitás tulajdonságának nevezik.

A szinuszok, koszinuszok, érintők és ellentétes szögekből álló együttesek tulajdonságai

Legyen А 1 az А kezdőpont (1, 0) O pont α körüli α szöggel való elforgatása eredményeként kapott pont, és az А 2 pont az А pont elforgatásának eredménye az ellenkező −α szögön keresztül az α szög.

Az ellentétes szögű sinusok, koszinuszok, érintők és kotangensek tulajdonsága meglehetősen nyilvánvaló tényen alapul: a fent említett A1 és A2 pontok vagy egybeesnek (at), vagy szimmetrikusan helyezkednek el az Ox tengely körül. Azaz, ha az A1 pontnak vannak koordinátái (x, y), akkor az A2 pontnak (x, −y) koordinátái lesznek. Innen a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói szerint írjuk az egyenlőségeket és.
Ezeket összehasonlítva a forma α és αα szögeivel ellentétes szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek viszonyaihoz jutunk.
Ez a vizsgált tulajdonság képletek formájában.

Íme néhány példa ennek a tulajdonságnak a használatára. Például az egyenlőség igaz és .

Csak annyit kell megjegyeznünk, hogy a szinuszok, koszinuszok, érintők és ellentétes szögekből álló együttesek tulajdonságait, mint az előző tulajdonságot, gyakran használják a szinusz, a koszinusz, az érintő és a kotangens értékeinek kiszámításakor, és lehetővé teszi, hogy teljesen elmeneküljön negatív szögből.

Bibliográfia.

• Algebra: Tankönyv. 9 cl -ért. szerda iskola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky.- M.: Oktatás, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebraés az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl. Általános oktatás. intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorov. - 14. kiadás - M.: Oktatás, 2004. - 384 p.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Tankönyv. 10-11 cl. szerda shk. - 3. kiadás. - M.: Oktatás, 1993 .-- 351 p.: Ill. -ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (kézikönyv műszaki iskolákba jelentkezőknek): Tankönyv. kézikönyv. - M.; Magasabb. shk., 1984.-351 p., ill.