Sin sinx függvénygráf. Függvények y = sin x, y = cos x, y = mf (x), y = f (kx), y = tg x, y = ctg x

Funkcióy = bűnx

A függvénygrafikon egy szinusz.

A szinuszok teljes, nem ismétlődő részét szinuszos hullámnak nevezzük.

A szinuszhullám félhullámát szinuszhullám (vagy ív) félhullámának nevezzük.

Funkció tulajdonságaiy = bűnx:

3) Ez egy furcsa függvény. 4) Ez egy folyamatos funkció. - az abszcissza tengelyével: (πn; 0), - ordináta tengelyével: (0; 0). 6) A [-π / 2; π / 2] a függvény a [π / 2; 3π / 2] - csökken. 7) Időközönként a függvény pozitív értékeket vesz fel. Az intervallumokon [-π + 2πn; 2πn] függvény negatív értékeket vesz fel. 8) A növekvő függvény intervallumai: [-π / 2 + 2πn; π / 2 + 2πn]. A függvény intervallumainak csökkentése: [π / 2 + 2πn; 3π / 2 + 2πn]. 9) A függvény minimális pontjai: -π / 2 + 2πn. A függvény maximális pontjai: π / 2 + 2πn legmagasabb érték 1.

Egy függvény ábrázolása y= bűn x kényelmes a következő mérlegek használata:

Egy ketrecben lévő lapon két cella hosszát vesszük a szegmens egységének.

Tengelyen x mérje meg a π hosszúságot. Ebben az esetben a kényelem kedvéért a 3.14 -et 3 -ként ábrázoljuk - azaz tört nélkül. Ezután egy cellában lévő lapon π 6 cella lesz (háromszor 2 sejt). És minden cella megkapja a saját logikai nevét (az elsőtől a hatodikig): π / 6, π / 3, π / 2, 2π / 3, 5π / 6, π. Ezek az értékek x.

Az y tengelyen jelölje be az 1-et, amely két cellát tartalmaz.

Készítsük el a függvényértékek táblázatát értékeink segítségével x:

			√3 - 2		√3 - 2

Ezután készítsünk grafikont. Félhullámot kap, amelynek legmagasabb pontja (π / 2; 1). Ez a függvény grafikonja y= bűn x a szegmensen. Adjunk hozzá egy szimmetrikus félhullámot az ábrázolt gráfhoz (szimmetrikus az origóra, vagyis a -π szegmensre). Ennek a félhullámnak a csúcsa az x tengely alatt van (-1; -1) koordinátákkal. Az eredmény egy hullám. Ez a függvény grafikonja y= bűn x a szegmensen [-π; π].

Folytathatja a hullámot, ha a szegmensre építi [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] stb. Mindezen szegmenseken a függvény grafikonja ugyanúgy fog kinézni, mint a [-π; π]. Folyamatos hullámos vonalat kap, ugyanazokkal a hullámokkal.

Funkcióy = kötözősalátax.

A függvény grafikonja szinuszos (néha koszinusznak is nevezik).

Funkció tulajdonságaiy = kötözősalátax:

1) A függvény tartománya valós számok halmaza. 2) A függvény értéktartománya a [–1; egy] 3) Ez páros függvény. 4) Ez egy folyamatos funkció. 5) A grafikon metszéspontjainak koordinátái: - az abszcissza tengelyével: (π / 2 + πn; 0), - ordináta tengelyével: (0; 1). 6) A szegmensen a függvény csökken, a [π; 2π] - növekszik. 7) A [-π / 2 + 2πn intervallumokon; A π / 2 + 2πn] függvény pozitív értékeket vesz fel. [Π / 2 + 2πn időközönként; A 3π / 2 + 2πn] függvény negatív értékeket vesz fel. 8) Növekvő intervallumok: [-π + 2πn; 2πn]. Csökkenő intervallumok :; 9) A függvény minimális pontjai: π + 2πn. A függvény maximális pontjai: 2πn. 10) A funkció felül és alul korlátozott. A függvény legkisebb értéke -1, a legmagasabb érték 1. 11) Ezt periodikus funkció 2π periódussal (T = 2π)

Funkcióy = mf(x).

Vegyük az előző funkciót y= cos x... Mint már tudja, grafikonja szinuszhullám. Ha ennek a függvénynek a koszinuszát megszorozzuk egy bizonyos számmal m, akkor a hullám el fog nyúlni a tengelytől x(vagy zsugorodik, m értékétől függően).
Ez az új hullám az y = mf (x) függvény grafikonja lesz, ahol m bármely valós szám.

Így az y = mf (x) függvény a szokásos y = f (x) függvény, megszorozva m -el.

Ham< 1, то синусоида сжимается к оси x tényező szerintm. Ham> 1, akkor a szinuszot kifeszítik a tengelytőlx tényező szerintm.

Ha nyújtást vagy összenyomást végez, először csak egy szinusz félhullámát építheti fel, majd fejezze be a teljes grafikont.

Funkcióy = f(kx).

Ha a függvény y =mf(x) a szinusz tengelytől való megnyúlásához vezet x vagy a tengelyre való összenyomódás x, akkor az y = f (kx) függvény a tengelytől való nyújtáshoz vezet y vagy a tengelyre való összenyomódás y.

Sőt, k bármely valós szám.

0 -kor< k< 1 синусоида растягивается от оси y tényező szerintk. Hak> 1, akkor a szinusz a tengelyhez préselődiky tényező szerintk.

Ennek a függvénynek az ábrázolásakor először felrajzolhat egy szinuszos félhullámot, majd felhasználhatja a teljes diagram elkészítéséhez.

Funkcióy = tgx.

Funkciódiagram y= tg x egy tangentoid.

Elég, ha a grafikon egy részét ábrázoljuk a 0 és π / 2 közötti intervallumba, majd szimmetrikusan folytathatjuk a 0 és 3π / 2 közötti intervallumban.

Funkció tulajdonságaiy = tgx:

Funkcióy = ctgx

Funkciódiagram y= ctg x szintén tangentoid (néha cotangentoidnak is nevezik).

Funkció tulajdonságaiy = ctgx:

Lecke és prezentáció a témáról: "y = sin (x). Definíciók és tulajdonságok"

További anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtse el megjegyzéseit, véleményeit, kívánságait hagyni! Az összes anyagot egy víruskereső program ellenőrizte.

Kézikönyvek és szimulátorok az Integral online áruházban 10 -es évfolyamtól 1C -tól
Megoldjuk a geometriai feladatokat. Interaktív építési feladatok a 7-10
Szoftverkörnyezet "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Amit tanulmányozni fogunk:

• Az Y = sin (X) függvény tulajdonságai.
• Funkciódiagram.
• Hogyan készítsünk grafikont és annak skáláját.
• Példák.

Szinusz tulajdonságok. Y = sin (X)

Srácok, már megismerkedtünk egy numerikus argumentum trigonometrikus függvényeivel. Emlékszel rájuk?

Nézzük meg közelebbről az Y = sin (X) függvényt

Írjuk le a funkció néhány tulajdonságát:
1) A definíció tartománya - valós számok halmaza.
2) A funkció páratlan. Emlékezzünk a definícióra páratlan függvény... A függvényt páratlannak nevezzük, ha az egyenlőség fennáll: y (-x) = - y (x). Mint emlékezünk a szellemképletből: sin (-x) = - sin (x). A definíció teljesült, így Y = sin (X) páratlan függvény.
3) Az Y = sin (X) függvény növekszik a szegmensen, és csökken a [π / 2; π]. Amikor az első negyed mentén haladunk (az óramutató járásával ellentétes irányban), az ordináta növekszik, és amikor a második negyed mentén haladunk, akkor csökken.

4) Az Y = sin (X) függvény felül és lent korlátozott. Ez a tulajdonság abból a tényből következik, hogy
-1 ≤ sin (X) ≤ 1
5) A függvény legkisebb értéke -1 (x = - π / 2 + πk esetén). A függvény legnagyobb értéke 1 (x = π / 2 + πk esetén).

Az 1-5 tulajdonságok segítségével ábrázoljuk az Y = sin (X) függvényt. Grafikonunkat sorban építjük fel tulajdonságaink felhasználásával. Kezdjük grafikon készítését egy szegmensre.

Speciális figyelemérdemes figyelni a skálára. Az ordinátatengelyen kényelmesebb 2 cellával egyenlő egységszegmenst venni, az abszcissza tengelyen pedig π / 3 egységszegmens (két cella) felvételét (lásd az ábrát).

Ábrázolja a szinusz x függvényt, y = sin (x)

Számítsuk ki a függvény értékeit a szegmensünkben:

Építsünk gráfot pontjaink alapján, figyelembe véve a harmadik tulajdonságot.

Konverziós táblázat szellemképletekhez

Használjuk a második tulajdonságot, amely azt mondja, hogy a függvényünk páratlan, ami azt jelenti, hogy szimmetrikusan tükröződhet az eredetről:

Tudjuk, hogy sin (x + 2π) = sin (x). Ez azt jelenti, hogy a szegmensen [- π; π] a gráf ugyanúgy néz ki, mint a [π; 3π] vagy vagy [-3π; - π] és így tovább. Továbbra is óvatosan kell átrajzolni az előző ábrán látható grafikont a teljes abszcissza tengelyen.

Az Y = sin (X) függvény grafikonját szinusznak nevezzük.

Írjunk még néhány tulajdonságot a felépített grafikon szerint:
6) Az Y = sin (X) függvény az űrlap bármely szegmensén növekszik: [- π / 2 + 2πk; π / 2 + 2πk], k egész szám, és az űrlap bármelyik intervallumán csökken: [π / 2 + 2πk; 3π / 2 + 2πk], k egész szám.
7) Az Y = sin (X) függvény folyamatos függvény. Nézzük meg a függvény grafikonját, és győződjünk meg arról, hogy függvényünknek nincsenek megszakításai, ami folytonosságot jelent.
8) Értéktartomány: szegmens [- 1; egy]. Ez jól látható a függvény grafikonjából is.
9) Y = sin (X) függvény periodikus függvény. Nézzük meg újra a grafikont, és nézzük meg, hogy a függvény bizonyos időközönként ugyanazokat az értékeket veszi fel.

Példák szinusz problémákra

1. Oldja meg a sin (x) = x-π egyenletet

Megoldás: Készítsünk 2 grafikont a függvényről: y = sin (x) és y = x-π (lásd az ábrát).
Grafikonjaink egy A pontban metszik egymást (π; 0), ez a válasz: x = π

2. Ábrázolja az y = sin (π / 6 + x) -1 függvényt!

Megoldás: A kívánt grafikont úgy kapjuk meg, hogy az y = sin (x) függvény grafikonját π / 6 egységgel balra és 1 egységgel lefelé mozgatjuk.

Megoldás: Készítsünk gráfot a függvényről, és vegyük figyelembe a [π / 2; 5π / 4].
A függvény grafikonja azt mutatja, hogy a legnagyobb és a legkisebb értékeket a szegmens végén, a π / 2 és az 5π / 4 pontban érik el.
Válasz: sin (π / 2) = 1 a legnagyobb érték, sin (5π / 4) = legkisebb érték.

Szinuszfeladatok a független megoldásért

• Oldja meg az egyenletet: sin (x) = x + 3π, sin (x) = x-5π
• Az y = sin (π / 3 + x) -2 függvény ábrázolása
• Az y = sin (-2π / 3 + x) +1 ábrázolása
• Keresse meg az y = sin (x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét egy intervallumon
• Keresse meg az y = sin (x) függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [- π / 3; 5π / 6]

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik az összes bemutatási lehetőséget. Ha érdekel ez a munka kérjük, töltse le a teljes verziót.

A vas rozsdásodik, nem talál hasznot magának,
az álló víz rothad vagy megfagy a hidegben,
és az ember elméje, amely nem talál hasznot magának, elsorvad.
Leonardo da Vinci

Használt technológiák: problématanulás, kritikus gondolkodás, kommunikatív kommunikáció.

Célok:

• A tanulásban való kognitív érdeklődés kialakulása.
• Az y = sin x függvény tulajdonságainak tanulmányozása.
• Gyakorlati ismeretek kialakítása az y = sin x függvény grafikonjának felépítéséhez a vizsgált elméleti anyag alapján.

Feladatok:

1. Használja az y = sin x függvény tulajdonságaival kapcsolatos ismeretek meglévő potenciálját adott helyzetekben.

2. Alkalmazza az y = sin x függvény analitikai és geometriai modelljei közötti összefüggések tudatos létrehozását.

Fejlessze a kezdeményezést, bizonyos hajlandóságot és érdeklődést a megoldás megtalálása iránt; a döntési képesség, ne álljon meg itt, védje meg álláspontját.

A kognitív tevékenység, a felelősségérzet, az egymás iránti tisztelet, a kölcsönös megértés, a kölcsönös támogatás, az önbizalom elősegítése; kommunikációs kultúra.

Az órák alatt

1. szakasz. Az alapismeretek aktualizálása, motiváció új anyag tanulmányozására

"Belépés a leckébe".

3 kijelentés van a táblán:

1. A sin t = a trigonometriai egyenletnek mindig van megoldása.
2. Egy páratlan függvény ábrázolható az y tengely körüli szimmetria átalakításával.
3. Menetrend trigonometrikus függvényábrázolható egy fő félhullám segítségével.

A tanulók párban vitatják meg: Helyesek -e az állítások? (1 perc). A kezdeti megbeszélés eredményeit (igen, nem) ezután be kell írni a táblázatba az "Előtte" oszlopba.

A tanár kitűzi a lecke céljait.

2. Ismeretek frissítése (frontálisan a trigonometrikus kör modelljén).

Az s = sin t függvénnyel már találkoztunk.

1) Milyen értékeket vehet fel a t változó. Mi ennek a funkciónak a hatóköre?

2) Milyen intervallumban vannak a sin t kifejezés értékei. Keresse meg az s = sin t függvény legnagyobb és legkisebb értékeit.

3) Oldja meg a sin t = 0 egyenletet!

4) Mi történik egy pont ordinátájával, amikor az az első negyedben mozog? (az ordinátus nő). Mi történik egy pont ordinátájával, amikor a második negyedben mozog? (az ordinátus fokozatosan csökken). Hogyan függ ez össze a függvény monotonitásával? (az s = sin t függvény a szegmensen növekszik és a szegmensen csökken).

5) Írjuk fel az s = sin t függvényt a számunkra szokásos formában y = sin x (a szokásos xOy koordinátarendszerben építjük fel), és állítsunk össze egy táblázatot ennek a függvénynek az értékeiről.

NS	0
nál nél	0			1			0

2. szakasz. Észlelés, megértés, elsődleges konszolidáció, akaratlan memorizálás

4. szakasz. A tudás és a tevékenységi módszerek elsődleges rendszerezése, ezek átadása és alkalmazása új helyzetekben

6. szám: 10.18 (b, c)

5. szakasz. Végső ellenőrzés, korrekció, értékelés és önértékelés

7. Visszatérve az állításokhoz (a lecke kezdete), beszélje meg az y = sin x trigonometriai függvény tulajdonságait, és töltse ki a táblázat "Utána" oszlopát.

8. D / z: 10. szakasz, 10.7. A), 10.8. B), 10.11. B), 10.16. A)

Ebben a leckében közelebbről megvizsgáljuk az y = sin x függvényt, annak fő tulajdonságait és a grafikont. A lecke elején megadjuk az y = sin t on trigonometriai függvény definícióját koordináta körés vegye figyelembe a függvény grafikonját egy körön és egy egyenes vonalon. Mutassuk meg a függvény periodicitását a grafikonon, és vegyük figyelembe a függvény fő tulajdonságait. A lecke végén számos egyszerű feladatot fogunk megoldani egy függvény grafikonja és tulajdonságai segítségével.

Téma: Trigonometrikus függvények

Lecke: y = sinx függvény, alapvető tulajdonságai és grafikonja

Egy függvény mérlegelésekor fontos, hogy minden argumentumértékhez egyetlen függvényértéket rendeljünk. Ez megfelelőségi törvényés függvénynek nevezzük.

Határozzuk meg a levelezési törvényt.

Bármely valós szám az egységkör egyetlen pontjának felel meg.A pontnak egyetlen ordinátája van, amelyet a szám szinuszának nevezünk (1. ábra).

Minden argumentumérték egyetlen függvényértékhez van társítva.

A szinusz definíciójából nyilvánvaló tulajdonságok következnek.

Az ábra ezt mutatja mivel ez az egységkör pontjának ordinátája.

Tekintsük a függvény grafikonját. Emlékezzünk az érvelés geometriai értelmezésére. Az érv a középszög, radiánban mérve. A tengelyen valós számokat vagy szögeket ábrázolunk radiánban, a tengelyen a függvény megfelelő értékeit.

Például az egységkörön lévő szög a grafikon egy pontjának felel meg (2. ábra)

Megkaptuk a függvény grafikonját az oldalon De a szinusz periódusának ismeretében megjeleníthetjük a függvény grafikonját a definíció teljes területén (3. ábra).

A függvény fő periódusa Ez azt jelenti, hogy a gráfot meg lehet szerezni egy szegmensen, majd folytathatjuk a definíció teljes tartományával.

Vegye figyelembe a funkció tulajdonságait:

1) Hatály:

2) Értéktartomány:

3) A funkció páratlan:

4) A legkisebb pozitív időszak:

5) A grafikon és az abszcissza tengely metszéspontjainak koordinátái:

6) A gráf és az y tengely metszéspontjának koordinátái:

7) Azok az intervallumok, amikor a függvény pozitív értékeket vesz fel:

8) Azok az intervallumok, amikor a függvény negatív értékeket vesz fel:

9) Növekvő intervallumok:

10) Csökkenő intervallumok:

11) Minimális pontok:

12) Minimális funkció:

13) Maximális pontok:

14) Maximális funkció:

Megvizsgáltuk a függvény tulajdonságait és annak grafikonját. A tulajdonságok többször használatosak a problémák megoldásakor.

Bibliográfia

1. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Tankönyv az oktatási intézmények számára (profil szint), szerk. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2009.

2. Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profil szint), szerk. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Schwarzburd S.I. Algebra és számítás a 10. évfolyamhoz ( oktatóanyag iskolák és osztályok diákjai számára, akik előrehaladott matematikai tanulmányokkal rendelkeznek.)- M.: Oktatás, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Az algebra és a matematikai elemzés mélyreható tanulmányozása. -M.: Enlightenment, 1997.

5. Matematikai feladatok gyűjteménye a felsőoktatási intézményekbe jelentkezőknek (az MI Skanavi szerkesztésében) .- M .: Felsőiskola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebrai szimulátor. -K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Feladatok az algebrában és az elemzés elvei (kézikönyv az általános oktatási intézmények 10-11. Évfolyamos diákjainak) .- M.: Oktatás, 2003.

8. Karp A.P. Problémák gyűjteménye az algebrában és az elemzés elvei: tankönyv. juttatás 10-11 évfolyamra elmélyítéssel tanulmány Matematika.-M.: Oktatás, 2006.

Házi feladat

Algebra és az elemzés kezdete, 10. évfolyam (két részben). Problémakönyv oktatási intézmények számára (profil szint), szerk.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosina, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

További webes erőforrások

3. Oktatási portál hogy felkészüljön a vizsgákra ().