Hogyan lehet megérteni a páros vagy páratlan függvényt. Páros és páratlan függvények

Egy függvény páratlansága és páratlansága az egyik fő tulajdonsága, és az egyenletesség a matematika iskolai kurzusának lenyűgöző részét foglalja el. Nagymértékben meghatározza a függvény viselkedésének jellegét, és nagyban megkönnyíti a megfelelő gráf felépítését.

Határozzuk meg a függvény paritását. Általánosságban elmondható, hogy a vizsgált függvényt akkor is figyelembe kell venni, ha a definíciós tartományában található független változó (x) ellentétes értékei esetén az y (függvény) megfelelő értékei egyenlőek.

Adjunk egy szigorúbb definíciót. Tekintsünk néhány f (x) függvényt, amely a D tartományban van definiálva. Ez akkor is így lesz, ha bármely, a definíciós tartományban található x pontra:

• -x (ellentétes pont) is az adott hatókörbe tartozik,

• f(-x) = f(x).

A fenti definícióból következik az ilyen függvény definíciós tartományához szükséges feltétel, nevezetesen a szimmetria az O ponthoz képest, amely a koordináták origója, hiszen ha valamely b pont benne van a definíciós tartományban páros funkció, akkor a megfelelő - b pont is ezen a területen található. A fentiekből tehát az következik, hogy a páros függvénynek az ordináta tengelyére (Oy) szimmetrikus alakja van.

Hogyan határozzuk meg egy függvény paritását a gyakorlatban?

Adjuk meg a h(x)=11^x+11^(-x) képlettel. A definícióból közvetlenül következő algoritmust követve mindenekelőtt annak definíciós területét vizsgáljuk. Nyilvánvalóan az argumentum összes értékére definiálva van, vagyis az első feltétel teljesül.

A következő lépés az (x) argumentum behelyettesítése az ellenkező értékével (-x).
Kapunk:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Mivel az összeadás teljesíti a kommutatív (eltolódási) törvényt, nyilvánvaló, hogy h(-x) = h(x) és az adott funkcionális függés páros.

Ellenőrizzük a h(x)=11^x-11^(-x) függvény egyenletességét. Ugyanezt az algoritmust követve h(-x) = 11^(-x) -11^x kapjuk. Kivéve a mínuszt, ennek eredményeként megvan
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Ezért h(x) páratlan.

Egyébként emlékeztetni kell arra, hogy vannak olyan függvények, amelyeket nem lehet e szempontok szerint besorolni, nem nevezik sem párosnak, sem páratlannak.

Még a függvényeknek is van számos érdekes tulajdonsága:

• hasonló függvények hozzáadása eredményeként egy párost kapunk;
• az ilyen függvények kivonása eredményeképpen egy párost kapunk;
• páros, szintén páros;
• két ilyen függvény szorzásának eredményeként egy párost kapunk;
• a páratlan és páros függvények szorzásának eredményeként páratlant kapunk;
• a páratlan és páros függvények felosztása eredményeként egy páratlant kapunk;
• egy ilyen függvény deriváltja páratlan;
• Ha egy páratlan függvényt négyzetre emelünk, akkor párost kapunk.

Egy függvény paritása felhasználható egyenletek megoldásában.

Egy olyan egyenlet megoldásához, mint a g(x) = 0, ahol az egyenlet bal oldala páros függvény, elég lesz megoldást találni a változó nemnegatív értékeire. Az egyenlet kapott gyökeit ellentétes számokkal kell kombinálni. Egyikük ellenőrzés alatt áll.

Ugyanezt sikeresen alkalmazták a megoldásra nem szabványos feladatok paraméterrel.

Például van-e olyan értéke az a paraméternek, amely miatt a 2x^6-x^4-ax^2=1 egyenletnek három gyöke lenne?

Ha figyelembe vesszük, hogy a változó páros hatványokban lép be az egyenletbe, akkor egyértelmű, hogy az x -x-re cserélése nem változtatja meg az adott egyenletet. Ebből következik, hogy ha egy bizonyos szám a gyöke, akkor az ellenkező szám is. A következtetés nyilvánvaló: az egyenlet nullától eltérő gyökerei „párokban” szerepelnek a megoldások halmazában.

Nyilvánvaló, hogy maga a 0 nem az, vagyis egy ilyen egyenlet gyökeinek száma csak páros lehet, és természetesen a paraméter egyetlen értékére sem lehet három gyöke.

De a 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 egyenlet gyökeinek száma páratlan lehet, és a paraméter bármely értékére. Valóban, könnyen ellenőrizhető, hogy egy adott egyenlet gyökhalmaza "párokban" tartalmaz-e megoldásokat. Ellenőrizzük, hogy a 0 gyökér-e. Ha behelyettesítjük az egyenletbe, 2=2-t kapunk. Így a "páros" mellett a 0 egy gyök is, ami a páratlan számukat bizonyítja.

Funkciókutatás.

1) D(y) - Definíciós tartomány: az x változó összes értékének halmaza. amely alatt az f(x) és g(x) algebrai kifejezéseknek van értelme.

Ha a függvényt egy képlet adja meg, akkor a definíciós tartomány a független változó összes olyan értékéből áll, amelyre a képletnek van értelme.

2) A függvény tulajdonságai: páros/páratlan, periodicitás:

páratlanés még függvényeknek nevezzük, amelyek grafikonjai szimmetrikusak az argumentum előjelének változására vonatkozóan.

páratlan függvény- függvény, amely a független változó előjelének megváltozásakor az értéket az ellenkezőjére változtatja (a koordináták középpontjára szimmetrikusan).

Egyenletes funkció- olyan függvény, amely nem változtatja meg értékét a független változó előjelének megváltozásakor (szimmetrikus az y tengelyre).

Se nem páros, se nem páratlan függvény (funkció Általános nézet) olyan függvény, amelynek nincs szimmetriája. Ez a kategória olyan funkciókat tartalmaz, amelyek nem tartoznak az előző 2 kategóriába.

A fenti kategóriák egyikébe sem tartozó függvényeket hívjuk meg se páros, se nem páratlan(vagy általános függvények).

Páratlan függvények

Egy páratlan hatvány ahol egy tetszőleges egész szám.

Egyenletes funkciókat

Páros hatvány ahol egy tetszőleges egész szám.

Periodikus funkció egy olyan függvény, amely megismétli az értékeit az argumentum bizonyos szabályos intervallumában, azaz nem változtatja meg az értékét, ha valamilyen rögzített nullától eltérő számot adunk az argumentumhoz ( időszak függvények) a teljes definíciós tartományban.

3) A függvény nullái (gyökei) azok a pontok, ahol eltűnik.

A grafikon és a tengely metszéspontjának megtalálása Oy. Ehhez ki kell számítania az értéket f(0). Keresse meg a grafikon és a tengely metszéspontjait is Ökör, miért kell megtalálni az egyenlet gyökereit f(x) = 0 (vagy győződjön meg arról, hogy nincsenek gyökök).

Azokat a pontokat, ahol a gráf metszi a tengelyt, nevezzük függvény nullák. A függvény nulláinak megtalálásához meg kell oldani az egyenletet, vagyis meg kell találni azok az x értékek, amelynél a függvény eltűnik.

4) A jelek állandóságának intervallumai, a bennük lévő jelek.

Intervallumok, ahol az f(x) függvény megtartja előjelét.

Az állandósági intervallum az intervallum minden ponton, ahol függvény pozitív vagy negatív.

Az x tengely felett.

tengely ALATT.

5) Folytonosság (a folytonossági pontok, a folytonossági jelleg, aszimptoták).

folyamatos funkció- „ugrások” nélküli függvény, vagyis olyan, amelyben az argumentum kis változtatásai kis mértékben változnak a függvény értékében.

Kivehető töréspontok

Ha a függvény határa létezik, de a függvény ezen a ponton nincs definiálva, vagy a határérték nem egyezik a függvény értékével ezen a ponton:

,

akkor a pontot nevezik töréspont függvények (komplex elemzésben eltávolítható szinguláris pont).

Ha "javítjuk" a függvényt egy eltávolítható folytonossági hiány pontján és helyezzük el , akkor egy olyan függvényt kapunk, amely ezen a ponton folytonos. Egy függvény ilyen műveletét ún a funkció kiterjesztése folyamatosra vagy a funkció kiterjesztése folytonosság által, ami a pont nevét indokolja, pontként egyszer használatos rés.

Az első és a második típusú megszakítási pontok

Ha a függvénynek egy adott pontban megszakadása van (azaz egy adott pontban a függvény határértéke hiányzik, vagy nem esik egybe a függvény adott pontban lévő értékével), akkor numerikus függvényekre két lehetőség van. numerikus függvények létezésével kapcsolatos egyoldalú korlátok:

ha mindkét egyoldalú határérték létezik és véges, akkor egy ilyen pontot nevezünk az első fajtájú töréspont. Az eltávolítható megszakítási pontok az első típusú szakadási pontok;

ha az egyoldali határértékek közül legalább az egyik nem létezik, vagy nem véges érték, akkor egy ilyen pontot ún. a második típusú töréspont.

Aszimptota - egyenes, amelynek az a tulajdonsága, hogy a görbe egy pontjától mért távolság ez egyenes nullára hajlik, ahogy a pont az ág mentén a végtelenbe mozog.

függőleges

Függőleges aszimptota - határvonal .

A függőleges aszimptota meghatározásakor általában nem egy határt, hanem két egyoldalút (bal és jobb) keresnek. Ennek célja annak meghatározása, hogy a függvény hogyan viselkedik, amikor különböző irányokból megközelíti a függőleges aszimptotát. Például:

Vízszintes

Vízszintes aszimptota - egyenes fajok, a létezés függvényében határ

.

ferde

Ferde aszimptota - egyenes fajok, a létezés függvényében határait

Megjegyzés: Egy függvénynek legfeljebb két ferde (vízszintes) aszimptotája lehet.

Megjegyzés: ha a fent említett két határérték közül legalább az egyik nem létezik (vagy egyenlő azzal), akkor a (vagy ) pontban lévő ferde aszimptóta nem létezik.

ha a 2.), akkor , és a határértéket a vízszintes aszimptota képlet határozza meg, .

6) A monotonitás intervallumainak megtalálása. Keresse meg egy függvény monotonitási intervallumát f(x) (azaz növekedési és csökkenési időközök). Ez a származék előjelének vizsgálatával történik f(x). Ehhez keresse meg a származékot f(x) és oldja meg az egyenlőtlenséget f(x)0. Azokon az intervallumokon, ahol ez az egyenlőtlenség teljesül, a függvény f(x) növekszik. Ahol a fordított egyenlőtlenség érvényesül f(x)0, függvény f(x) csökken.

Lelet helyi extrémum. Ha megtaláltuk a monotonitás intervallumait, azonnal meghatározhatjuk egy lokális szélsőség azon pontjait, ahol a növekedést csökkenés váltja fel, vannak lokális maximumok, és ahol a csökkenést növekedés váltja fel, helyi minimumok. Számítsa ki a függvény értékét ezeken a pontokon! Ha egy függvénynek vannak olyan kritikus pontjai, amelyek nem lokális szélsőpontok, akkor célszerű ezeken a pontokon is kiszámítani a függvény értékét.

Az y = f(x) függvény legnagyobb és legkisebb értékének megkeresése egy szakaszon(folytatás)

1. Keresse meg egy függvény deriváltját: f(x). 2. Keresse meg azokat a pontokat, ahol a derivált nulla: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Határozza meg a pontok tulajdonjogát x 1 ,x 2 , … szegmens [ a; b]: hagyjuk x 1a;b, a x 2a;b .

Egy függvényt párosnak (páratlannak) nevezünk, ha bármely és az egyenlőség esetén

.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre
.

Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

6.2. példa. Vizsgálja meg a páros vagy páratlan függvényeket

1)
; 2)
; 3)
.

Megoldás.

1) A függvény definíciója a
. Találjuk ki
.

Azok.
. Eszközök, adott funkciót egyenlő.

2) A függvény definiálva van

Azok.
. Így ez a függvény páratlan.

3) a függvény definiálva van, azaz. számára

,
. Ezért a függvény nem páros és nem páratlan. Nevezzük általános függvénynek.

3. Egy függvény vizsgálata monotonitásra.

Funkció
növekedésnek (csökkenőnek) nevezzük bizonyos intervallumon, ha ebben az intervallumban mindegyik nagyobb érték argumentum a függvény nagyobb (kisebb) értékének felel meg.

Az egyes intervallumokon növekvő (csökkenő) funkciókat monotonnak nevezzük.

Ha a funkció
intervallumon differenciálható
és pozitív (negatív) származéka van
, majd a függvény
növekszik (csökken) ebben az intervallumban.

6.3. példa. Keresse meg a függvények monotonitási intervallumait

1)
; 3)
.

Megoldás.

1) Ez a függvény a teljes számtengelyen van definiálva. Keressük a származékot.

A derivált nulla, ha
és
. Meghatározási tartomány - numerikus tengely, pontokkal osztva
,
intervallumokhoz. Határozzuk meg az egyes intervallumokban a derivált előjelét.

Az intervallumban
a derivált negatív, a függvény ezen az intervallumon csökken.

Az intervallumban
a derivált pozitív, ezért a függvény ezen az intervallumon növekszik.

2) Ezt a függvényt akkor határozzuk meg, ha
vagy

.

Minden intervallumban meghatározzuk a négyzetháromtag előjelét.

Így a funkció hatóköre

Keressük a származékot
,
, ha
, azaz
, de
. Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban
.

Az intervallumban
a derivált negatív, ezért a függvény az intervallumon csökken
. Az intervallumban
a derivált pozitív, a függvény az intervallumon növekszik
.

4. Egy extrémum függvényének vizsgálata.

Pont
a függvény maximális (minimális) pontjának nevezzük
, ha van a pontnak ilyen környéke hogy mindenkinek
ez a környék kielégíti az egyenlőtlenséget

.

Egy függvény maximum és minimum pontját szélsőséges pontoknak nevezzük.

Ha a funkció
azon a ponton szélsősége van, akkor a függvény deriváltja ezen a ponton nulla vagy nem létezik (a szélsőség létezésének szükséges feltétele).

Kritikusnak nevezzük azokat a pontokat, ahol a derivált egyenlő nullával vagy nem létezik.

5. Elegendő feltétel az extrémum létezéséhez.

1. szabály. Ha az átmenet során (balról jobbra) a kritikus ponton keresztül derivált
megváltoztatja a jelet "+"-ról "-"-ra, majd a pontra funkció
maximummal rendelkezik; ha "-"-től "+"-ig, akkor a minimum; ha
nem vált előjelet, akkor nincs véglet.

2. szabály. Hadd a ponton
a függvény első deriváltja
nulla
, és a második derivált létezik, és nem nulla. Ha
, azután a maximum pont, ha
, azután a függvény minimumpontja.

Példa 6.4 . Fedezze fel a maximális és minimális funkciókat:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Megoldás.

1) A függvény meghatározott és folyamatos az intervallumon
.

Keressük a származékot
és oldja meg az egyenletet
, azaz
.innen
kritikus pontok.

Határozzuk meg a derivált előjelét az intervallumokban,
.

Pontokon való áthaladáskor
és
a derivált „–”-ról „+”-ra változtatja az előjelet, ezért az 1. szabály szerint
a minimum pontok.

Amikor áthalad egy ponton
deriváltja megváltoztatja az előjelet "+"-ról "-"-ra, tehát
a maximális pont.

,
.

2) A függvény meghatározott és folytonos az intervallumban
. Keressük a származékot
.

Az egyenlet megoldásával
, megtalálja
és
kritikus pontok. Ha a nevező
, azaz
, akkor a származék nem létezik. Így,
- harmadik kritikus pont. Határozzuk meg a derivált előjelét intervallumokban.

Ezért a függvénynek minimuma van a ponton
, maximum pontokon
és
.

3) Egy függvény definiált és folytonos, ha
, azaz nál nél
.

Keressük a származékot

.

Keressük a kritikus pontokat:

Pontok környékei
nem tartoznak a definíció tartományába, tehát nem extrémum t. Tehát vizsgáljuk meg a kritikus pontokat
és
.

4) A függvény meghatározott és folyamatos az intervallumon
. A 2. szabályt használjuk. Keresse meg a deriváltot
.

Keressük a kritikus pontokat:

Keressük a második származékot
és határozzuk meg annak előjelét a pontokban

Pontokban
funkciónak van minimuma.

Pontokban
funkciónak van maximuma.

Funkció az egyik legfontosabb matematikai fogalom. Funkció - változó függőség nál nél változóból x, ha minden érték x egyetlen értéknek felel meg nál nél. változó x független változónak vagy argumentumnak nevezzük. változó nál nél függő változónak nevezzük. A független változó összes értéke (változó x) alkotják a függvény tartományát. Minden érték, amelyet a függő változó felvesz (változó y), alkotják a függvény tartományát.

Függvénygrafikon hívja meg az összes pont halmazát Koordináta sík, melynek abszcisszái egyenlőek az argumentum értékeivel, az ordinátái pedig a függvény megfelelő értékeivel, vagyis a változó értékei az abszcissza mentén vannak ábrázolva x, és a változó értékeit az y tengely mentén ábrázoljuk y. Egy függvény ábrázolásához ismerni kell a függvény tulajdonságait. A függvény főbb tulajdonságait az alábbiakban tárgyaljuk!

Függvénygrafikon ábrázolásához javasoljuk a Graphing Functions Online programunkat. Ha bármilyen kérdése van az oldalon található anyag tanulmányozása során, bármikor felteheti azokat fórumunkon. A fórumon segítséget kapsz matematika, kémia, geometria, valószínűségszámítás és sok más tantárgy feladatmegoldásában is!

A függvények alapvető tulajdonságai.

1) A funkció hatóköre és funkciótartománya.

Egy függvény hatóköre az argumentum összes érvényes érvényes értékének halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f(x) meghatározott.
Egy függvény tartománya az összes valós érték halmaza y hogy a függvény elfogadja.

V elemi matematika a függvényeket csak valós számok halmazán tanulmányozzuk.

2) Funkció nullák.

Értékek x, ahol y=0, nak, nek hívják függvény nullák. Ezek a függvény grafikonjának az x tengellyel való metszéspontjainak abszcisszán.

3) Egy függvény előjelállandóságának intervallumai.

Egy függvény előjelállandóságának intervallumai ilyen értékintervallumok x, amelyen a függvény értékei y vagy csak pozitív vagy csak negatív hívják a függvény előjelállandóságának intervallumai.

4) A függvény monotonitása.

Növelő függvény (bizonyos intervallumban) - olyan függvény, amelyben az argumentum nagyobb értéke ebből az intervallumból a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (bizonyos intervallumban) - olyan függvény, amelyben ebből az intervallumból az argumentum nagyobb értéke a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Páros (páratlan) függvények.

A páros függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x f(-x) = f(x). A páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciós tartománya szimmetrikus az origóhoz és bármely függvényhez x a definíció tartományából az egyenlőség f(-x) = - f(x). Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra.

Egyenletes funkció
1) A definíciós tartomány szimmetrikus a (0; 0) ponthoz képest, vagyis ha a pont a a definíció tartományába tartozik, akkor a pont -a szintén a definíció tartományába tartozik.
2) Bármilyen értékre x f(-x)=f(x)
3) Egy páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre.

páratlan függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíciós tartomány a (0; 0) ponthoz képest szimmetrikus.
2) bármilyen értékre x, amely a definíció, az egyenlőség tartományába tartozik f(-x)=-f(x)
3) Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóhoz (0; 0).

Nem minden függvény páros vagy páratlan. Funkciók Általános nézet sem nem párosak, sem nem páratlanok.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

Egy függvényt korlátosnak nevezünk, ha van ilyen pozitív szám M olyan, hogy |f(x)| ≤ M x összes értékére. Ha nincs ilyen szám, akkor a függvény korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f(x) függvény periodikus, ha létezik olyan T szám, amely nem nulla, így a függvény tartományából származó bármely x esetén f(x+T) = f(x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvények időszakosak. (Trigonometrikus képletek).

Funkció f periodikusnak nevezzük, ha létezik olyan szám, amely bármely esetén x a definíció tartományából az egyenlőség f(x)=f(x-T)=f(x+T). T a függvény periódusa.

Minden periodikus függvénynek végtelen számú periódusa van. A gyakorlatban általában a legkisebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periódusos függvény értékei a periódussal megegyező intervallum után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.

Amelyek bizonyos fokig ismerősek voltak számodra. Ott is feljegyezték, hogy a funkciótulajdonságok állománya fokozatosan bővül. Ebben a részben két új ingatlanról lesz szó.

1. definíció.

Az y \u003d f (x), x є X függvény akkor is meghívásra kerül, ha az X halmaz bármely x értékére igaz az f (-x) \u003d f (x) egyenlőség.

2. definíció.

Az y \u003d f (x), x є X függvényt páratlannak nevezzük, ha az X halmaz bármely x értékére igaz az f (-x) \u003d -f (x) egyenlőség.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 4 páros függvény.

Megoldás. Van: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. De (-x) 4 = x 4 . Ezért bármely x esetén az f (-x) = f (x) egyenlőség, azaz. a függvény páros.

Hasonlóképpen igazolható, hogy az y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 függvények párosak.

Bizonyítsuk be, hogy y = x 3 páratlan függvény.

Megoldás. Van: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. De (-x) 3 = -x 3 . Ezért bármely x esetén az f (-x) \u003d -f (x) egyenlőség, azaz. a függvény páratlan.

Hasonlóképpen bebizonyítható, hogy az y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 függvények páratlanok.

Ön és én többször is meggyőztük magunkat arról, hogy a matematikában az új kifejezések leggyakrabban „földi” eredetűek, pl. valamilyen módon megmagyarázhatók. Ez igaz a páros és páratlan függvényekre is. Lásd: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 páratlan függvények, míg y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 páros függvények. Általánosságban elmondható, hogy bármely y \u003d x "alakú függvényre (az alábbiakban ezeket a függvényeket külön tanulmányozzuk), ahol n egy természetes szám, arra a következtetésre juthatunk: ha n - páratlan szám, akkor az y \u003d x "függvény páratlan; ha n páros szám, akkor az y \u003d xn függvény páros.

Vannak olyan függvények is, amelyek nem párosak és nem páratlanok. Ilyen például az y \u003d 2x + 3 függvény. Valóban, f (1) \u003d 5 és f (-1) \u003d 1. Mint látható, itt tehát az f (-x) azonosság sem ) \u003d f ( x), sem az f(-x) = -f(x) azonosságot.

Tehát egy függvény lehet páros, páratlan vagy egyik sem.

Annak a kérdésnek a vizsgálatát, hogy egy adott függvény páros-e vagy páratlan, általában a paritási függvény vizsgálatának nevezik.

Az 1. és 2. definíció a függvény értékeivel foglalkozik az x és -x pontokban. Ez feltételezi, hogy a függvény mind az x, mind az -x pontban definiálva van. Ez azt jelenti, hogy az -x pont az x ponttal egyidejűleg a függvény tartományába tartozik. Ha egy X numerikus halmaz minden x elemével együtt az ellentétes -x elemet tartalmazza, akkor X-et szimmetrikus halmaznak nevezzük. Tegyük fel, hogy (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) szimmetrikus halmazok, míg )