Hogyan írjunk származékot az Excelben. Numerikus megkülönböztetés Excelben

Számos mérnöki probléma megoldása gyakran derivált számítást igényel. Ha van egy képlet, amely leírja a folyamatot, akkor nincs nehézség: vesszük a képletet és kiszámítjuk a deriváltot, ahogy az iskolában tanítottuk, megkeressük a derivált értékeit különböző pontokon, és kész. Az egyetlen nehézség valószínűleg az, hogy megjegyezzük, hogyan kell kiszámítani a származékokat. De mi van akkor, ha csak néhány száz vagy ezer sornyi adatunk van, és nincs képletünk? Leggyakrabban pontosan ez történik a gyakorlatban. Két módot javaslok.

Az első az, hogy a pontkészletünket egy szabványos Excel-függvénnyel közelítjük, azaz kiválasztjuk azt a függvényt, amelyik a legjobban illeszkedik a pontjainkhoz (Excelben ez lineáris függvény, logaritmikus, exponenciális, polinom és hatvány). A második módszer a numerikus differenciálás, amelyhez csak képletbeviteli képességre van szükségünk.

Emlékezzünk arra, hogy általában mi a származék:

Az f (x) függvény deriváltja egy x pontban a függvény x pontban lévő Δf növekménye és az argumentum Δx növekménye arányának határa, amikor az utóbbi nullára hajlik:

Tehát ezt a tudást használjuk fel: egyszerűen csak nagyon kis értékeket veszünk az argumentumnövekményből a derivált kiszámításához, pl. Δx.

Ahhoz, hogy megtaláljuk a derivált közelítő értékét a szükséges pontokban (és pontjaink vannak különböző jelentések deformáció mértéke ε) ezt megteheti. Nézzük meg még egyszer a derivált definícióját, és lássuk, hogy a Δε argumentum kis lépéseivel (azaz a deformáció mértékének kis növekményeivel, amelyeket a tesztelés során rögzítünk) helyettesíthetjük a valós derivált értékét az x pontban. 0 (f'(x 0)=dy/dx (x 0)) az Δy/Δx=(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx arányhoz.

Tehát ez történik:

f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0))/Δx (1)

Ennek a deriváltnak minden pontban kiszámításához két szomszédos pont felhasználásával végezzük a számításokat: az első ε 0 koordinátájú a vízszintes tengely mentén, a második pedig x 0 + Δx koordinátával, azaz. az egyik a derivált, amelyben számítunk, a másik pedig a jobb oldali. Az így kiszámított derivált ún különbségi derivált jobbra (előre) lépésenkéntΔ x.

Megtehetjük az ellenkezőjét is, figyelembe véve a másik két szomszédos pontot: x 0 - Δx és x 0, vagyis azt, amelyik érdekel, és a bal oldaliat. Megkapjuk a számítási képletet különbségi derivált balra (hátra) lépéssel -Δ x.

f’(x 0) ≈(f (x 0) – f (x 0 – Δx))/Δx (2)

Az előző képletek „bal” és „jobb” voltak, de van egy másik képlet, amely lehetővé teszi a számítást központi különbségi derivált 2 Δx lépéssel, és amely leggyakrabban a numerikus megkülönböztetésre használják:

f’(x 0) ≈(f (x 0 + Δx) – f (x 0 – Δx))/2Δx (3)

A képlet ellenőrzéséhez vegyünk egy egyszerű példát az y=x 3 ismert függvénnyel. Építsünk Excelben egy táblázatot két oszlopból: x és y, majd készítsünk egy grafikont a rendelkezésre álló pontok felhasználásával.

Az y=x 3 függvény deriváltja y=3x 2, melynek grafikonja, i.e. parabolát, képleteink segítségével kell megkapnunk.

Próbáljuk meg kiszámítani a központi különbség derivált értékeit az x pontokban. Ezért. A táblázatunk második sorának cellájába írjuk be a (3) képletünket, azaz. a következő képletet az Excelben:

Most egy grafikont készítünk az x meglévő értékeinek és a központi különbség deriváltjának kapott értékeinek felhasználásával:

És itt van a mi kis piros parabolánk! Tehát a képlet működik!

Nos, most áttérhetünk arra a konkrét mérnöki problémára, amelyről a cikk elején beszéltünk - a dσ/dε változásának megállapítására növekvő alakváltozás mellett. A feszültség-nyúlás görbe σ=f (ε) első deriváltját a külföldi szakirodalom „húzódási keményedési sebességnek”, nálunk pedig „keményedési együtthatónak” nevezi. Tehát a tesztek eredményeként van egy adattömbünk, amely két oszlopból áll: az egyik az ε alakváltozási értékekkel, a másik pedig a σ feszültségértékekkel MPa-ban. Vegyük az 1035 acél vagy a 40G acél hideg alakváltozását (lásd az acélanalógok táblázatát) 20°C-on.

C	Mn	P	S	Si	N
0.36	0.69	0.025	0.032	0.27	0.004

Íme a görbénk a „valódi feszültség – valódi alakváltozás” koordinátáiban σ-ε:

Ugyanúgy járunk el, mint az előző példában, és ezt a görbét kapjuk:

Ez a deformáció során bekövetkező keményedési sebesség változása. Hogy mi legyen vele, az egy külön kérdés.

3. példa: Egy automatikus szűrő segítségével válassza ki az 5433-as számú csoportban tanuló diákokat C betűvel kezdődő vezetéknévvel.

Szekvenálás

1. Másolja át az adatbázist (30. ábra) a 3. lapra.

2. Vezetéknév.

3. Válasszon ki egy elemet a listábólSzövegszűrők → Egyéni szűrő. A megjelenő ablakban Egyéni automatikus szűrő válassza ki a kiválasztási feltételt azzal kezdődik, hogy , írja be a kívánt betűt a szemközti mezőbe (ellenőrizze, hogy az elrendezés orosz). Kattintson az OK gombra.

4. Nyissa meg a legördülő listát az oszlopban csoport sz.

5. Válassza ki a kívánt számot.

Az adatbázisrekordok szűrése speciális szűrővel

Speciális szűrő lehetővé teszi a karakterláncok keresését az egyéni automatikus szűrőkhöz képest összetettebb feltételek alapján. A speciális szűrő számos feltételt használ az adatok szűrésére.

Speciális szűrő használatakor azoknak az oszlopoknak a nevei, amelyekre a feltételek be vannak állítva, a forrástábla alá másolódnak. A kiválasztási feltételek az oszlopok neve alatt vannak megadva. Szűrő alkalmazása után csak azok a sorok jeleníthetők meg a képernyőn, amelyek megfelelnek a megadott feltételeknek, és a szűrt adatok átmásolhatók egy másik lapra vagy ugyanazon a munkalap másik területére.

4. példa: Válassza ki az összes olyan tanulót az 5433-as csoportból, akiknek átlagos pontszáma 4,5 vagy annál nagyobb.

Szekvenálás

1. Másolja át az adatbázist (30. ábra) a 4. lapra.

2. Oszlopnevek másolása Csoportszám és átlagpontszám

az eredeti táblázat alatti területre. Az oszlopnevek alatt adja meg a szükséges kiválasztási feltételeket (32. ábra)

Rizs. 32. Excel ablak speciális szűrővel

2. A Rendezés eszköztár Adatok lapján

és szűrés közben válassza a Speciális lehetőséget. Megjelenik egy párbeszédpanel (33. ábra), amelyben az adattartományok láthatók.

Rizs. 33. Speciális szűrőablak

A beviteli mezőben Eredeti tartomány megadja a forrásadatbázist tartalmazó intervallumot. Esetünkben az A1-től I9-ig terjedő cellák tartománya kiemelve van.

A beviteli mezőben Feltételek köre A munkalapon a szükséges feltételeket (C12:D13) tartalmazó cellák tartománya kiemelve.

A beviteli mezőben Helyezze az eredményt tartományba azt az intervallumot jelzi, amelybe a feltételeknek megfelelő sorokat másolják

teriam. Esetünkben a kritériumterület alatti cella van feltüntetve, például A16. Ez a mező csak akkor érhető el, ha a választógomb be van jelölve Másolja az eredményt egy másik helyre.

Jelölőnégyzet Csak egyedi bejegyzések csak nem ismétlődő sorok megjelenítésére tervezték.

Az eredményül kapott táblázat, amely megfelel a szűrési feltételeknek, az ábrán látható. 34.

Rizs. 34. Excel ablak szűrési eredményekkel

1. Hozzon létre saját adatbázist, amelyben a rekordok száma legalább 15, az oszlopok száma pedig legalább 6. Például egy adatbázisÜgyfelek listája (35. ábra).

2. Alkalmazzon három automatikus szűrőt az adatbázisra (külön lapokon). A kritériumok számának legalább kettőnek kell lennie.

3. Alkalmazzon három speciális szűrőt az adatbázisrekordokra, amelyek mindegyikének legalább két feltételt kell tartalmaznia. Helyezzen minden speciális szűrőt egy lapra az eredeti asztal alá.

Rizs. 35. Excel ablak adatbázis kliens listával

5. sz. LABORATÓRIUMI MUNKA

Numerikus differenciálás és egyszerű elemzés funkciókat

Munka célja: Függvény vizsgálata végpontig, a kritikus pont meghatározásának megtanulása.

Egy matematika kurzusból tudjuk, hogy a derivált képlet általában így néz ki:

f "(x) = lim
Δx 0

ahol Δx az argumentum növekménye; x egy nullára hajló szám. A derivált segítségével meghatározhatja egy függvény kritikus pontjait - minimumokat, maximumokat vagy inflexiókat. Ha egy függvény deriváltjának értéke valamilyen x értéknél nulla, akkor ennél az x értéknél a függvénynek van egy kritikus pontja.

1. példa: Az f x = x 2 + 2x 3 függvényt az x 5;5 intervallumon adjuk meg. Vizsgáljuk meg az f(x) függvény viselkedését.

Szekvenálás

1. Legyen Δx = 0,00001. Az A1 cellába írja be: šDx=Ÿ (36. ábra). Jelölje ki a D betűt, kattintson a jobb gombbal a kiválasztott betűre, válassza a Cellák formázását. A Font lapon válassza ki a Szimbólum betűtípust. A D betűből görög ѓў betű lesz. A cellában az igazítás jobbra is elvégezhető. A B1 cellába írja be a 0,00001 értéket.

2. Az A2-F2 cellákban hozzon létre egy táblázat fejlécet, amint az ábra mutatja. 36.

3. A harmadik sortól kezdődő A oszlop tartalmazza az x értékeket. Az A3-tól A13-ig terjedő cellákba írjon be –5 és 5 közötti értékeket.

4. A B3 cellába írja be az =A3^2+2*A3-3 képletet, és nyújtsa ki az x végső értékre (a 13. sorig).

5. Egy függvény deriváltjának meghatározásához és értékeinek egy adott intervallumon történő kiszámításához egy közteset kell készíteni

pontos számításokat. A C3 cellába írja be az x argumentum összegének képletét és Δx növekményét. A képlet így néz ki: =A3+$B$1. Bővítse ki értékét az x argumentum végső értékére.

Rizs. 36. Excel ablak egy függvény viselkedésének tanulmányozásával

6. A D3 cellába írja be a =C3^2+2*C3-3 képletet, amely az x Δx argumentumból számítja ki az f függvény értékét. A kapott értéket kiterjeszti az argumentum végső értékére.

7. Az E3 cellába írja be az (1) derivált képletet, figyelembe véve, hogy f x értékei B3-ban, f x + Δx értékei D3-ban vannak.

A képlet így fog kinézni: =(D3-B3)/$B$1.

8. Határozza meg a függvény viselkedését egy adott intervallumon (növekszik, csökken vagy van). kritikus pont). Ehhez önállóan kell írni egy képletet az F3 cellába, amely meghatározza a függvény viselkedését. A képlet három feltételt tartalmaz:

		f" (x)< 0	– a funkció csökken;
		f" (x) > 0	– a funkció növekszik;
		f" (x) = 0	– van egy kritikus pont*.

9. Rajzoljon grafikonokat f x és f" (x) értékei alapján. A grafikonon (37. ábra) látható, hogy ha egy függvény deriváltjának értéke nulla, akkor a függvénynek ezen a ponton van egy kritikus pontja. .

* A túl nagy számítási hiba miatt előfordulhat, hogy f"(x) értéke nem egyenlő 0-val. De ezt a helyzetet még mindig le kell írni.

Rizs. 37. Diagram egy függvény viselkedésének tanulmányozásához

Önálló munkához szükséges feladatok

Az f(x) függvény az x intervallumon van megadva. Vizsgáljuk meg az f(x) függvény viselkedését. Grafikonok készítése.

			2x2						X[4;4]
								X[5;5]
			2x+2
	f(x)= x3		3x2		2 , x [ 2 ;4 ]
	f(x)= x					X[2;3]
				x 2 + 7

6. sz. LABORATÓRIUMI MUNKA

Egy függvény grafikonjának érintőjének megalkotása

A munka célja: Elsajátítani egy függvény grafikonjának érintője egyenlet értékeinek kiszámítását az x 0 pontban.

Az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenlete egy pontban

1. példa: Az y = x 2 + 2x 3 függvény az x [ 5; 5 ] . Szerkesszük meg a függvény grafikonjának érintőjét az x 0 = 1 pontban.

Sorrend:

1. Számszerűen különböztesse meg ezt a függvényt (lásd Laboratóriumi munka 5. szám). A forrásadatok táblázata az ábrán látható. 38.

Rizs. 38. Kiindulási adatok táblázata

2. Határozza meg x, x 0, f(x 0) és f" (x 0) helyét a táblázatban. Nyilvánvalóan x az értékek

A oszlop, a harmadik sortól kezdve (38. ábra). Ha x 0 = 1, akkor az A9 cella x 0-ként fog működni. Ennek megfelelően az f függvény értéke az x 0 pontban a B9 cellában van, az f értéke pedig (x 0)

– az E9 cellában.

3. Az F oszlopban kiszámítjuk az f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét. Az (1) egyenlet kiszámításakor szükséges, hogy az x 0, f(x 0) és f" (x 0) értéke ne változzon. Ezért az írásban

Az A9, B9 és E9 cellák címének meghatározásához abszolút hivatkozásokat kell használnia ezekre a cellákra. A cellákat a š$Ÿ jellel rögzítjük. A cellák így fognak kinézni: $A$9 , $B$9 és $E$9 .

Rizs. 39. Az f(x) függvény és a gráf érintőjének grafikonja az x=1 pontban

Önálló munkához szükséges feladatok

Az f(x) függvény az x intervallumon van definiálva. Számítsa ki az érintőegyenletet! Szerkessze meg a függvény grafikonjának érintőjét egy adott pontban.

			2x2						X [4;4], x0 = 1
								X [5;5], x0
			2x+2
	f(x)= x3		3x2		2, x [2;4], x0 = 0
	f(x)= x					X [2;3], x0
				x 2 + 7

1. Vedeneeva, E. A. Függvények és képletek Excel 2007. Felhasználói könyvtár / E. A. Vedeneeva. – Szentpétervár: Péter, 2008. – 384 p.

2. Sviridova, M. Yu. Táblázatok Excel / M. Yu. Sviridova. – M.: Academia, 2008. – 144 p.

3. Serogodsky, V. V. Grafikonok, számítások és adatelemzés

V Excel 2007 / V. V. Szerogodszkij, R. G. Prokdi, D. A. Kozlov, A. Yu. Druzhinin. – M.: Tudomány és Technika, 2009. – 336 p.

Hogyan segíthet az Excel egy függvény deriváltjának számításakor? Ha a függvényt egyenlet határozza meg, akkor az analitikus differenciálás és a képlet megszerzése után az Excel segít gyorsan kiszámítani a derivált értékeket a felhasználót érdeklő argumentumértékekhez.

Ha egy függvényt gyakorlati mérésekkel kapunk és táblázatos értékekkel adunk meg, akkor az Excel ebben az esetben jelentősebb segítséget nyújthat a numerikus differenciálás és az eredmények utólagos feldolgozása, elemzése során.

A gyakorlatban a numerikus differenciálás módszerével történő derivált kiszámításának problémája mind a mechanikában (egy objektum sebességének és gyorsulásának meghatározásakor a rendelkezésre álló út- és időmérések segítségével), mind a hőtechnikában (az időbeli hőátadás kiszámításakor) felmerülhet. . Erre például kutak fúrásakor is szükség lehet a fúróval áthaladó talajréteg sűrűségének elemzéséhez, számos ballisztikai probléma megoldásakor stb.

Hasonló helyzet áll elő a komplexen terhelt gerendák kiszámításának „inverz” problémájában, amikor felmerül a vágy, hogy az elhajlások segítségével megtaláljuk az effektív terhelések értékeit.

A cikk második részében, egy „élő” példával, megvizsgáljuk a derivált kiszámítását a numerikus differenciálás közelítő képletével, véges különbségek kifejezéseivel, és megértjük a kérdést - lehetséges véges differencia derivált közelítések segítségével Határozza meg a szelvényekben ható terheléseket a gerenda kihajlásai alapján?

Minimum elmélet.

A derivált egy folyamatot időben vagy térben leíró függvény változási sebességét határozza meg.

A függvény egy pontjában bekövetkező változás és a változó változásának arányának határát, mivel a változó változása nullára hajlik, a folytonos függvény deriváltjának nevezzük.

y’ (x)=lim (Δy /Δx) nál nél Δx →0

Egy függvény deriváltjának geometriai jelentése egy pontban a dőlésszög érintője a függvény grafikonjának érintőjének x tengelyéhez ebben a pontban.

tg(α)=Δy/Δx

Ha a függvény diszkrét (táblázatos), akkor véges különbségek segítségével meghatározzuk deriváltjának közelítő értékét egy pontban.

y’ (x ) i ≈(Δy /Δx )én=(y i +1 -y i -1 )/(x i +1 -x i -1 )

A különbségeket végesnek nevezzük, mert meghatározott, mérhető, véges értékük van, ellentétben a nullára vagy a végtelenre hajló mennyiségekkel.

Az alábbi táblázat számos olyan képletet mutat be, amelyek hasznosak a táblázatos függvények numerikus megkülönböztetésében.

A központi különbségi képletek általában pontosabb eredményeket adnak, de gyakran nem alkalmazhatók az értéktartományok szélén. Ezekben az esetekben hasznosak a bal és jobb oldali véges különbségek közelítései.

A másodrendű derivált számítása a nyalábszakaszok nyomatékszámításának példájával, ismert lehajlásokkal.

Adott:

A két párosított acél (St3) 30M I-gerendából készült, 8 méter hosszú, csuklós támasztékú gerendát 7 db 1 méteres osztású szelemen tartja. A gerenda középső részéhez egy platform felszereléssel van rögzítve. Feltehetően a bevonatból a szelemeneken keresztül a gerendára ható erő minden ponton azonos és egyenlő F 1. A felfüggesztett platformnak súlya van 2*F 2és két ponton rögzítik a gerendához.

Feltételezzük, hogy a gerenda a terhelés alkalmazása előtt abszolút egyenes volt, terhelés után pedig a rugalmas alakváltozás zónájában van.

Az alábbi ábra a probléma számítási diagramját és általános forma diagram.

A következő képernyőkép a forrásadatokat mutatja.

Számított kezdeti adatok:

3. A 30M I-gerenda lineáris tömege:

γ =50,2 kg/m

A gerenda szakasz két I-gerendából áll:

n = 2

Nyaláb fajsúlya:

q =γ *n *g =50,2*2*9,81/1000=0,985 N/mm

5. A 30M I-gerenda szakasz tehetetlenségi nyomatéka:

I x1 =95 000 000 mm 4

Kompozit gerendaszakasz tehetetlenségi nyomatéka:

I x = I x 1 *n = 95 000 000 * 2 = 190 000 000 mm 4

10. Mivel a gerenda a közepéhez képest szimmetrikusan van terhelve, mindkét támasz reakciója azonos, és mindegyik egyenlő a teljes terhelés felével:

R =(q *z max +8*F1 +2*F2)/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 N

A számítás a gerenda saját tömegét veszi figyelembe!

Feladat:

Keresse meg a hajlítónyomaték értékeket M xi gerendaszelvényekben analitikusan az anyagok szilárdsági képletei és a számított elhajlási vonal numerikus megkülönböztetésének módszerével. Hasonlítsa össze és elemezze a kapott eredményeket.

Megoldás:

Először is elvégezzük a számítást Excelben nyíróerők Qy, hajlító pillanatok M x, forgási szögek Ux gerenda és eltérítési tengely Vx a klasszikus anyagszilárdsági képletek szerint minden lépcsős szakaszon h. (Bár elvileg nem lesz szükségünk az erők és szögek értékeire a jövőben.)

A számítási eredmények az I5-L54 cellákban találhatók. Az alábbi képernyőképen a táblázat fele látható, mivel a második részben szereplő értékek tükörképesek vagy hasonlóak a bemutatott értékekhez.

A számításokhoz használt képletek megtekinthetők.

Szóval tudjuk pontos értékeket pillanatok és elhajlások.

Az elméletből tudjuk, hogy:

A forgásszög az elhajlás első deriváltja U = V'.

A pillanat az elhajlás második deriváltja M = V''.

Az erő az elhajlás harmadik deriváltja Q = V'''.

Tegyük fel, hogy a pontos elhajlási értékek oszlopát nem analitikai számításokkal, hanem valós gerendán végzett mérésekkel kaptuk, és más adatunk már nincs. Számítsuk ki az eltérítések pontos értékeinek második deriváltját a (6) képlet segítségével a cikk előző részében található táblázatból, és keressük meg a nyomatékok értékeit a numerikus differenciálás módszerével.

M xi =V y'' ≈((V i +1 -2*V i +V i -1 )/h 2)*E *I x

A számítások eredményét az M5-M54 cellákban látjuk.

A szilárdsági anyagok analitikai képleteivel kiszámított nyomatékok pontos értékei, figyelembe véve a gerenda súlyát, kissé eltérnek a származékok kiszámításához közelítő képletekkel megállapítottaktól. A momentumok nagyon pontosan vannak meghatározva, az N5-N54 cellák százalékában számított relatív hibákból ítélve.

ε =(M x -V y'' )/M x *100%

A feladat megoldva. A másodrendű derivált számítást egy közelítő képlet segítségével végeztük el, centrális véges különbségek felhasználásával, és kiváló eredményt kaptunk.

Tudva pontos lehajlási értékeket, a numerikus differenciálás módszerével nagy pontossággal megkeresheti a szelvényekben ható nyomatékokat és meghatározhatja a gerenda terhelési mértékét!

Azonban...

Sajnos a gyakorlatban nem szabad ilyet gondolni könnyű megkapni komplexen terhelt gerendák lehajlásának szükséges nagy pontosságú mérési eredményei!

Az a tény, hogy az elhajlásméréseket ~1 µm pontossággal kell elvégezni, és igyekezni kell a mérési lépést a lehető legnagyobb mértékben csökkenteni. h, „nulla felé irányítva”, bár ez nem biztos, hogy segít elkerülni a hibákat.

Gyakran a mérési lépés csökkentése az elhajlásmérés jelentős hibáival abszurd eredményekhez vezethet. Nagyon óvatosnak kell lenni a numerikus differenciálás során, hogy elkerüljük a végzetes hibákat.

Ma már léteznek olyan eszközök - lézeres interferométerek, amelyek nagy sebességet, stabilitást és mérési pontosságot biztosítanak akár 1 mikronig, amelyek szoftveresen kiszűrik a zajt, és szoftveresen sok más dolgot is el tudnak végezni, de ezek ára több mint 300 000 dollár...

Nézzük meg, mi történik, ha egyszerűen két tizedesjegyre kerekítjük a példánk elhajlásainak pontos értékét - azaz századmilliméterre -, és a szakaszokban újraszámoljuk a momentumokat ugyanazzal a képlettel a derivált kiszámításához.

Ha korábban a maximális hiba nem haladta meg a 0,7%-ot, most (a keresztmetszetben én=4) meghaladja a 23%-ot, bár a legveszélyesebb szakaszon továbbra is elfogadható ( ε 21=1,813%).

A véges különbségeket használó deriváltak kiszámításának megfontolt numerikus módszere mellett használhat (és gyakran kell is) egy másik módszert - hatványpolinommal végzett méréseket, és analitikusan megkeresi a deriváltokat, majd összehasonlítja a kapott eredményeket. különböző módon. De meg kell érteni, hogy egy közelítő hatványpolinom differenciálása végső soron egy közelítő módszer is, amely jelentősen függ a közelítés pontosságának mértékétől.

A kezdeti adatokat - mérési eredményeket - a legtöbb esetben a számításokban való felhasználás előtt fel kell dolgozni, eltávolítva a logikai sorrendtől eltérő értékeket.

A derivált numerikus módszerekkel történő kiszámítását mindig nagyon körültekintően kell elvégezni!

Kedves Olvasóink, kérjük, írják meg véleményeiket és megjegyzéseiket a cikk alatt egy speciális blokkban a cikk alatt.

Ha tájékoztatást szeretne kapni a blogon megjelenő új cikkekről, iratkozzon fel a közleményekre az oldal tetején vagy közvetlenül a cikk után található ablakban.

Könyörgöm TISZTELETT szerzői mű letöltési fájl példával ELŐFIZETÉS UTÁN cikkhirdetésekre.

A grafikus differenciálás a függvénygráf adott értékek alapján történő ábrázolásával kezdődik. Nál nél kísérleti tanulmány Egy ilyen grafikont rögzítő műszerek segítségével kapunk. Ezután a görbe érintőit rögzített helyzetekben megrajzoljuk, és kiszámítjuk a derivált értékeit az abszcissza tengellyel való érintő által alkotott szög érintőjéhez viszonyítva.

ábrán. 5,8, A Az installáción kísérletileg kapott görbe látható (5.6. ábra). A szöggyorsulás (a kívánt függvény) meghatározása grafikus differenciálással történik az összefüggés szerint:

(5.19)

A görbe érintőjének dőlésszögének érintője egy bizonyos ponton én szegmensek arányaként ábrázolva, ahol NAK NEK– kiválasztott integrációs szegmens (5.8. ábra, b)

Miután ezt a relációt az (5.19) relációval helyettesítjük, azt kapjuk

ahol a szöggyorsulás igénygráfjának ordinátája;

A kívánt grafikon léptéke; SI mértékegységei: = mm; = mm/(rad s -2).

A függvénygrafikont a talált ordinátaértékek felhasználásával állítjuk össze számos pozícióhoz. A görbe pontjait kézzel sima vonallal kötjük össze, majd egy mintával körvonalazzuk.

A vizsgált érintő módszerrel történő grafikus differenciálás viszonylag alacsony pontosságú. Több nagy pontosság akkordmódszerrel végzett grafikus differenciálással (5.8. ábra, VÉs G).

Egy adott görbén több pont van megjelölve 1 ", 2 ", 3" , melyeket akkordok kötnek össze, azaz. cserélje ki a megadott görbét egy vonalláncra. A következő feltevés elfogadható: a görbe egyes szakaszainak közepén elhelyezkedő pontokban az érintők dőlésszöge megegyezik a megfelelő húr dőlésszögével. Ez a feltételezés tartalmaz némi hibát, de csak erre a pontra vonatkozik. Ezek a hibák nem adódnak össze, ami biztosítja a módszer elfogadható pontosságát.

A fennmaradó konstrukciók hasonlóak a korábban a tangens módszerrel történő grafikus differenciálásnál leírtakhoz. Válasszon ki egy szegmenst (mm); szögben ferde sugarakat vezetnek pontokban az ordinátatengellyel való metszéspontig 1 ", 2 ", 3 "..., amelyek átkerülnek az egyes intervallumok közepére húzott ordinátákra. A kapott pontok 1 *, 2 *, 3 * a kívánt függvény pontjai .

A koordinátatengelyek menti léptékeket ezzel a szerkesztési módszerrel ugyanaz az összefüggés (5.21) kapcsolja össze, amelyet a tangens módszerrel végzett grafikus differenciálás esetére származtattunk.

Egy függvény differenciálása f(x), számtömb formájában meghatározott (vagy kiszámított) számszerű differenciálás módszerével hajtjuk végre számítógép segítségével.

Minél kisebb a lépés a számtömbben, annál pontosabban tudja kiszámítani a függvény deriváltjának értékét ebben az intervallumban