Hogyan írjunk monomit szabványos formában. Monomiális redukálása standard formára, példák, megoldások
A monom fogalma
A monomiális definíció: A monomiális egy algebrai kifejezés, amely csak szorzást használ.
A monom szabványos formája
Mi a monomiális standard formája? A monomot szabványos formában írjuk, ha numerikus tényezője van először és ezt a tényezőt a monom együtthatójának nevezzük, akkor a monomban csak egy van, a monom betűi ábécé sorrendbe vannak rendezve és minden betű csak egyszer jelenik meg.
Példa egy standard formátumú monomióra:
itt az első helyen a szám, a monom együtthatója, és ez a szám csak egy a mi monomunkban, minden betű csak egyszer fordul elő, és a betűk ábécé sorrendbe vannak rendezve, jelen esetben ez a latin ábécé.
Egy másik példa a szabványos formájú monomokra:
minden betű csak egyszer fordul elő, latin ábécé sorrendben vannak, de hol van a monom együtthatója, pl. a numerikus tényező legyen az első? Itt egyenlő eggyel: 1adm.
Lehet-e negatív egy monom együtthatója? Igen, talán, például: -5a.
Lehet-e egy monom együtthatója tört? Igen, talán, például: 5.2a.
Ha egy monomiális csak egy számból áll, pl. nincs benne betű, hogyan tudom szabványos formába vinni? Bármely szám, amely szám, már szabványos formában van, például: az 5-ös szám egy standard formájú monom.
A monomok redukálása szabványos formára
Hogyan lehet egy monomit szabványos formára hozni? Nézzünk példákat.
Legyen adott a 2a4b monomiális, szabványos formába kell hoznunk. Két numerikus tényezőjét megszorozzuk, és 8ab-t kapunk. Most a monom szabványos formában van írva, azaz. csak egy numerikus tényezője van, először írva, a monom minden betűje csak egyszer fordul elő, és ezek a betűk ábécé sorrendbe vannak rendezve. Tehát 2a4b = 8ab.
Adott: 2a4a monomiális, állítsa a monomiált szabványos formába. A 2 és 4 számokat megszorozzuk, az aa szorzatot 2 második hatványával helyettesítve. Kapunk: 8a 2 . Ez a monom szabványos formája. Tehát 2a4a = 8a 2 .
Hasonló monomok
Mik a hasonló monomok? Ha a monomiumok csak együtthatókban különböznek egymástól, vagy egyenlőek, akkor hasonlónak nevezzük őket.
Példa hasonló monomokra: 5a és 2a. Ezek a monomiumok csak együtthatókban különböznek, ami azt jelenti, hogy hasonlóak.
Az 5abc és a 10cba monomiumok hasonlóak? Tegyük a második monomit normál formára, és kapjunk 10abc-t. Most már láthatjuk, hogy az 5abc és 10abc monomiumok csak az együtthatójukban különböznek, ami azt jelenti, hogy hasonlóak.
Monomok hozzáadása
Mennyi a monomok összege? Csak hasonló monomokat tudunk összeadni. Nézzünk egy példát a monomok hozzáadására. Mennyi az 5a és 2a monomiumok összege? Ezeknek a monomoknak az összege egy hozzájuk hasonló monom lesz, amelynek együtthatója megegyezik a tagok együtthatóinak összegével. Tehát a monomok összege 5a + 2a = 7a.
További példák monomok hozzáadására:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Újra. Csak hasonló monomokat adhat hozzá; az összeadás az együtthatók hozzáadásával jár.
Monomok kivonása
Mi a különbség a monomok között? Csak hasonló monomokat vonhatunk ki. Nézzünk egy példát a monomok kivonására. Mi a különbség az 5a és a 2a monomiumok között? Ezeknek a monomoknak a különbsége egy hozzájuk hasonló monom lesz, amelynek együtthatója megegyezik ezen monomok együtthatóinak különbségével. Tehát a monomiálisok különbsége 5a - 2a = 3a.
További példák a monomok kivonására:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Monomiálisok szorzása
Mi a monomiális szorzat? Nézzünk egy példát:
azok. a monomiumok szorzata egyenlő egy olyan monomimmal, amelynek faktorai az eredeti monomiumok tényezőiből állnak össze.
Egy másik példa:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Hogyan született ez az eredmény? Minden tényező „a”-t tartalmaz a hatványnak: az elsőben - „a” a 2 hatványa, a másodikban pedig az „a” az 5 hatványa. Ez azt jelenti, hogy a szorzat az „a”-t tartalmazza a hatványnak. 7-ből, mert az azonos betűk szorzásakor a hatványaik kitevői felfelé fordulnak:
A 2 * a 5 = a 7 .
Ugyanez vonatkozik a „b” tényezőre is.
Az első tényező együtthatója kettő, a másodiké pedig egy, így az eredmény 2 * 1 = 2.
Így lett kiszámolva az eredmény: 2a 7 b 12.
Ezekből a példákból jól látható, hogy a monomok együtthatóit megszorozzuk, és az azonos betűket a hatványaik összegével helyettesítjük a szorzatban.
Egytagú olyan kifejezés, amely két vagy több tényező szorzata, amelyek mindegyike betűvel, számjegyekkel vagy hatványokkal kifejezett szám (nem negatív egész kitevővel):
2a, a 3 x, 4ABC, -7x
Mivel az azonos tényezők szorzata hatványként írható fel, egyetlen hatvány (nem negatív egész kitevővel) is monom:
(-4) 3 , x 5 ,
Mivel egy betűvel vagy számokkal kifejezett szám (egész vagy tört) felírható ennek a számnak eggyel szorzataként, bármely egyedi szám monomiálisnak is tekinthető:
x, 16, -a,
A monom szabványos formája
A monom szabványos formája egy olyan monom, amelynek csak egy numerikus tényezője van, amelyet először kell beírni. Minden változó ábécé sorrendben van, és csak egyszer szerepel egy monomban.
A számok, a változók és a változók hatványai is a standard alakú monomokhoz tartoznak:
7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - szabvány formájú monomok.
A standard alakú monom numerikus tényezőjét ún a monom együtthatója. Az 1-gyel és -1-gyel egyenlő monomiális együtthatókat általában nem írják fel.
Ha egy szabványos formájú monomnak nincs numerikus tényezője, akkor feltételezzük, hogy a monom együtthatója egyenlő 1-gyel:
x 3 = 1 x 3
Ha egy szabványos formájú monomnak nincs numerikus tényezője, és mínuszjel előzi meg, akkor feltételezzük, hogy a monom együtthatója -1:
-x 3 = -1 · x 3
Egy monom redukálása szabványos formára
A monom szabványos formába állításához a következőket kell tennie:
- Ha több van belőlük, szorozza meg a numerikus tényezőket. Emeljen egy numerikus tényezőt hatványra, ha van kitevője. Tedd először a numerikus tényezőt.
- Szorozza meg ugyanazokat a változókat úgy, hogy minden változó csak egyszer jelenjen meg a monomban.
- Rendezd a változókat a numerikus tényező után ábécé sorrendbe!
Példa. Mutassa be a monomit szabványos formában:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 időszámításunk előtt· 0,5 ab 3
Megoldás:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 időszámításunk előtt· 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c
Egy monom ereje
Egy monom ereje a benne szereplő összes betű kitevőjének összege.
Ha egy monomiális szám, azaz nem tartalmaz változókat, akkor a fokát nullával egyenlőnek tekintjük. Például:
Az 5, -7, 21 nulla fokos monomiumok.
Ezért a monom mértékének meghatározásához meg kell határoznia a benne szereplő betűk kitevőjét, és össze kell adnia ezeket a kitevőket. Ha egy betű kitevője nincs megadva, akkor az egyenlő eggyel.
Példák:
Szóval hogy vagy x a kitevő nincs megadva, ami azt jelenti, hogy egyenlő 1-gyel. A monom nem tartalmaz más változókat, ami azt jelenti, hogy foka egyenlő 1-gyel.
Egy monom csak egy változót tartalmaz a második hatványhoz, ami azt jelenti, hogy ennek a monomiálisnak a foka 2.
3) ab 3 c 2 d
Index a egyenlő 1, kitevő b- 3, jelző c- 2, indikátor d- 1. Ennek a monomiálisnak a mértéke egyenlő ezen mutatók összegével.
Megjegyeztük, hogy bármilyen monom lehet szabványos formába hozza. Ebben a cikkben meg fogjuk érteni, mit nevezünk egy monom szabványos formába hozásának, milyen műveletek teszik lehetővé ennek a folyamatnak a végrehajtását, és megfontoljuk a példákra vonatkozó megoldásokat részletes magyarázattal.
Oldalnavigáció.
Mit jelent egy monom szabványos formára redukálása?
Kényelmes a monomokkal dolgozni, ha szabványos formában írják őket. A monomokat azonban gyakran a szabványostól eltérő formában adják meg. Ezekben az esetekben identitástranszformációk végrehajtásával mindig át lehet lépni az eredeti monomból a szabványos alak monomijává. Az ilyen átalakítások végrehajtásának folyamatát a monom szabványos formára való redukálásának nevezzük.
Foglaljuk össze a fenti érveket. Csökkentse a monomit szabványos formára- ez azt jelenti, hogy azonos átalakításokat kell végrehajtani vele, hogy szabványos formát öltsön.
Hogyan lehet egy monomit szabványos formára hozni?
Ideje kitalálni, hogyan lehet a monomokat szabványos formára redukálni.
A definícióból ismert, hogy a nem szabványos formájú monomiumok számok, változók és hatványaik szorzatai, esetleg ismétlődők. A standard alakú monom pedig csak egy számot és nem ismétlődő változókat vagy azok hatványait tartalmazhatja. Most már meg kell értenünk, hogyan lehet az első típusú termékeket a második típusba hozni?
Ehhez a következőket kell használnia a monom szabványos formára való redukálásának szabálya két lépésből áll:
- Először a numerikus tényezők, valamint az azonos változók és hatványaik csoportosítását hajtjuk végre;
- Másodszor a számok szorzatát kiszámítjuk és alkalmazzuk.
A megadott szabály alkalmazása következtében minden monom szabványos formára csökken.
Példák, megoldások
Nem marad más hátra, mint megtanulni az előző bekezdés szabályának alkalmazását a példák megoldása során.
Példa.
Csökkentse a monomiális 3 x 2 x 2-t szabványos formára.
Megoldás.
Csoportosítsuk a numerikus tényezőket és a tényezőket x változóval. A csoportosítás után az eredeti monomiális alakja (3·2)·(x·x 2) . Az első zárójelben lévő számok szorzata 6-tal egyenlő, és a hatványok azonos alapokkal való szorzására vonatkozó szabály lehetővé teszi, hogy a második zárójelben lévő kifejezést x 1 +2=x 3 alakban ábrázoljuk. Ennek eredményeként 6 x 3 szabványos polinomot kapunk.
Íme egy rövid összefoglaló a megoldásról: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2) = 6 x 3.
Válasz:
3 x 2 x 2 = 6 x 3.
Tehát ahhoz, hogy egy monomot szabványos formára hozzon, képesnek kell lennie a tényezők csoportosítására, a számok szorzására és a hatványokkal való munkavégzésre.
Az anyag egységesítése érdekében oldjunk meg még egy példát.
Példa.
Mutassa be a monomit szabványos formában, és adja meg együtthatóját.
Megoldás.
Az eredeti monom jelölésében egyetlen számtényező szerepel −1, tegyük az elejére. Ezek után külön csoportosítjuk a tényezőket az a változóval, külön a b változóval, és nincs mivel csoportosítani az m változót, hagyjuk úgy, ahogy van, 
. A zárójelben lévő hatványokkal végzett műveletek végrehajtása után a monomiális a számunkra szükséges szabványos formát ölti, amelyből láthatjuk a monom együtthatóját, amely egyenlő -1. A mínusz egy mínuszjellel helyettesíthető: .
ÉN. Azokat a kifejezéseket, amelyek számokból, változókból és ezek hatványaiból állnak a szorzás műveletével, monomiálisoknak nevezzük.
Példák a monomokra:
A) a; b) ab; V) 12; G)-3c; d) 2a 2 ∙(-3,5b) 3 ; e)-123,45xy 5 z; és) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3).
II. Az ilyen típusú monomokat, amikor a numerikus tényező (együttható) áll az első helyen, majd a változók következnek a hatványaikkal, a monomiális standard típusnak nevezzük.
Így a fent, a betűk alatt megadott monomokat a B C), G)És e) szabványos formában írva, és a monomokat a betűk alatt d)És és) szabványos formára kell hozni, azaz olyan alakra, ahol a numerikus tényező áll az első helyen, ezt követik a betűtényezők kitevőikkel, és a betűtényezők ábécé sorrendben vannak. Mutassuk be a monomokat d)És és) a standard nézetre.
d) 2a 2 ∙(-3,5b) 3=2a 2∙(-3,5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3,5∙3,5∙3,5∙b 3 = -85,75a 2b 3;
és) 8ac∙2,5a 2∙(-3c 3)=-8∙2,5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.A monomiális változók kitevőinek összegét a monom fokának nevezzük.
Példák. Milyen fokozatúak a monomiumok? a) - g)?
a) a. Első;
b) ab. Második: A első fokon és b az első hatványra - a mutatók összegére 1+1=2 ;
V) 12. Nulla, mivel nincsenek betűtényezők;
G) -3c. Első;
d) -85,75a 2 b 3 .Ötödik. Ezt a monomiumot lecsökkentettük szabványos formára, megtettük A másodfokúra és b a harmadikban. Adjuk össze a mutatókat: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Hetedik. Összeadtuk a betűtényezők kitevőit: 1+5+1=7 ;
és) -60a 3 c 3 . Hatodszor, mivel a betűtényezők kitevőinek összege 3+3=6 .
IV. Az azonos betűrésszel rendelkező monomokat hasonló monomoknak nevezzük.
Példa. Jelölje meg a hasonló monomokat az adott monomok között! 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4.1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 év.
Mutassuk be a monomokat 1), 4) És 5) a standard nézetre. Ekkor a monomiális adatok sora így fog kinézni:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4.1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 év.
Hasonlóak lesznek azok, amelyeknek azonos a betűrésze, pl. 1) és 3) ; 2) és 4); 5) és 6).
1) 3a 2 b 2 c és 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4.1a 3 bc és 4) 98,7a 3 bc;
5) 10a 4 x és 6) -2,3a 4x.
