A másodfokú függvény páros vagy páratlan. Páros és páratlan függvények

Show elrejtése

A funkció beállításának módjai

A függvényt a következő képlettel adjuk meg: y = 2x ^ (2) -3. Ha bármilyen értéket hozzárendel az x független változóhoz, akkor a képlet segítségével kiszámíthatja az y függő változó megfelelő értékeit. Például, ha x = -0,5, akkor a képletet használva azt találjuk, hogy y megfelelő értéke y = 2 \ cdot (-0,5) ^ (2) -3 = -2,5.

Ha az y = 2x ^ (2) -3 képletben az x argumentum által elfogadott bármely értéket figyelembe vesszük, akkor csak egy függvényértéket számíthatunk ki, amely megfelel annak. A függvény táblázatként ábrázolható:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

A táblázat segítségével kitalálhatja, hogy az −1 argumentum értékéhez a −3 függvény értéke megfelel; és az x = 2 érték y = 0 -nak felel meg, és így tovább. Fontos tudni azt is, hogy a táblázatban szereplő argumentum minden értékének csak egy függvény értéke felel meg.

A függvények grafikonok segítségével is definiálhatók. A gráf segítségével megállapítható, hogy a függvény melyik értéke felel meg x bizonyos értékének. Leggyakrabban ez lesz a függvény hozzávetőleges értéke.

Páros és páratlan függvény

A funkció az akár funkció amikor f (-x) = f (x) a tartomány bármely x-jére. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az Oy tengelye körül.

A funkció az páratlan függvény amikor f (-x) = - f (x) a tartomány bármely x -jére. Egy ilyen függvény szimmetrikus lesz az O origóval (0; 0).

A funkció az nem is, sem páratlanés hívott funkció Általános nézet amikor nem szimmetrikus tengely vagy origó körül.

Vizsgáljuk meg az alábbi függvényt a paritás szempontjából:

f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7)

D (f) = (- \ infty; + \ infty) szimmetrikus doménnel az origó körül. f (-x) = 3 \ cdot (-x) ^ (3) -7 \ cdot (-x) ^ (7) = -3x ^ (3) + 7x ^ (7) = - (3x ^ (3) -7x ^ (7)) = -f (x).

Ezért az f (x) = 3x ^ (3) -7x ^ (7) függvény páratlan.

Periodikus funkció

Az y = f (x) függvényt, amelynek bármelyik x-re érvényes az f (x + T) = f (x-T) = f (x) egyenlősége, az periodikus funkció T \ neq 0 periódussal.

Egy függvény grafikonjának megismétlése az abszcissza tengely bármely szegmensében, amelynek hossza T.

Azok az intervallumok, ahol a függvény pozitív, azaz f (x)> 0, az abszcisszatengely azon szegmensei, amelyek megfelelnek a függvénygráf azon pontjainak, amelyek az abszcissza tengelye felett helyezkednek el.

f (x)> 0 be (x_ (1); x_ (2)) \ csésze (x_ (3); + \ infty)

Rések, ahol a függvény negatív, azaz f (x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f (x)< 0 на (- \ infty; x_ (1)) \ csésze (x_ (2); x_ (3))

Korlátozott funkció

Alul határolt az y = f (x), x \ függvényt szokás meghívni X -ben, ha van egy A szám, amelyre az f (x) \ geq A egyenlőtlenség érvényes bármely X \ X -ben.

Példa egy alulról határolt függvényre: y = \ sqrt (1 + x ^ (2)), mivel y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ geq 1 bármely x esetén.

A tetején határolt az y = f (x), x \ függvényt akkor hívjuk meg X -ben, ha létezik olyan B szám, amelyre érvényes az X (x) \ neq B egyenlőtlensége bármely x \ X -ben.

Példa egy alulról korlátozott függvényre: y = \ sqrt (1-x ^ (2)), x \ in [-1; 1] mivel y = \ sqrt (1 + x ^ (2)) \ neq 1 bármely x \ esetén [-1; 1].

Korlátozott szokás hívni egy y = f (x), x \ függvényt X -ben, ha van egy K> 0 szám, amelynél \ egyenlőtlenség \ bal | f (x) \ jobb | \ neq K bármely x -re X -ben.

Példa egy korlátozott függvényre: y = \ sin x a teljes számtengelyre van határolva, mivel \ bal | \ sin x \ jobb | \ neq 1.

Növekvő és csökkenő funkció

Szokás olyan függvényről beszélni, amely a vizsgált intervallumon belül nő, mint növekvő funkció amikor egy nagyobb x érték megfelel az y = f (x) függvény nagyobb értékének. Ebből következik, hogy a vizsgált intervallumból az x_ (1) és x_ (2) és x_ (1)> x_ (2) argumentum két tetszőleges értékét y (x_ (1))> y (x_ (2)).

A függvényt, amely a vizsgált intervallumon csökken, ún csökkenő funkció akkor, amikor egy nagyobb x érték megfelel az y (x) függvény kisebb értékének. Ebből következik, hogy a vizsgált intervallumból az x_ (1) és x_ (2) és x_ (1)> x_ (2) argumentum két tetszőleges értékét y (x_ (1)) lesz< y(x_{2}) .

Gyökeres funkció szokás hívni azokat a pontokat, ahol az F = y (x) függvény metszi az abszcissza tengelyt (ezeket az y (x) = 0 egyenlet megoldásának eredményeként kapjuk).

a) Ha páros függvény növekszik x> 0 esetén, akkor x esetén csökken< 0

b) Ha a páros függvény x> 0 esetén csökken, akkor x esetén nő< 0

c) Mikor x> 0 esetén páratlan függvény növekszik, akkor x -re is nő< 0

d) Ha egy páratlan függvény x> 0 esetén csökken, akkor x esetén csökken< 0

Funkció szélsőségek

A függvény minimális pontja y = f (x) szokás ilyen pontot x = x_ (0) hívni, amelyben a szomszédságának más pontjai is lesznek (kivéve az x = x_ (0) pontot), és számukra akkor az f ( x)> f (x_ (0)). y_ (min) - a függvény kijelölése min.

A függvény maximális pontja y = f (x) szokás hívni egy ilyen pontot x = x_ (0), amelyben a szomszédságának más pontjai lesznek (kivéve az x = x_ (0) pontot), és számukra akkor az f ( x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Szükséges állapot

Fermat tétele szerint: f "(x) = 0, ha az x ((0) pontban differenciálható f (x) függvénynek ezen a ponton extremuma van.

Elégséges állapot

1. Amikor a derivált előjele pluszról mínuszra változik, akkor x_ (0) lesz a minimális pont;
2. x_ (0) - csak akkor lesz maximális pont, ha a derivált mínuszról pluszra változtatja az előjelet, amikor áthalad az álló x_ (0) ponton.

A függvény legnagyobb és legkisebb értéke az intervallumban

Számítási lépések:

1. Az f "(x) származékot keressük;
2. Megtalálja a függvény álló és kritikus pontjait, és kiválasztja a szegmenshez tartozóakat;
3. Az f (x) függvény értékei álló és kritikus pontokés a szegmens végei. A kapott eredmények közül a kisebb lesz a legkisebb érték funkciókat, és több - a legnagyobb.

Funkció az egyik legfontosabb matematikai fogalom. Funkció - Változó függőség nál nél változótól x ha minden érték NS egyetlen értéknek felel meg nál nél... Változó NS független változónak vagy argumentumnak nevezzük. Változó nál nél függő változónak nevezzük. A független változó összes értéke (változó x) alkotják a függvény tartományát. Minden érték, amely a függő változó (változó y), alkotják a függvény értéktartományát.

Funkciódiagram hívja az összes pont halmazát Koordináta sík, amelynek abszcisszái megegyeznek az argumentum értékeivel, és az ordináták megegyeznek a függvény megfelelő értékeivel, vagyis a változó értékeit az abszcissza tengelye mentén ábrázolják x, és az ordinátus a változó értékeit képviseli y... A függvénygráf ábrázolásához ismernie kell a függvény tulajdonságait. A függvény fő tulajdonságait később tárgyaljuk!

Egy függvény ábrázolásához javasoljuk a Graphing Functions Online programunk használatát. Ha kérdései vannak az ezen az oldalon található anyagok tanulmányozása során, akkor bármikor felteheti őket fórumunkon. Szintén a fórumon segítenek megoldani a matematika, kémia, geometria, valószínűségelmélet és sok más tantárgy feladatait!

A funkciók alapvető tulajdonságai.

1) Funkciótartomány és funkciótartomány.

A függvény hatóköre az argumentum érvényes érvényes értékeinek halmaza x(változó x), amelyhez a függvény y = f (x) meghatározott.
A függvény értéktartománya az összes valós érték halmaza y hogy a függvény elfogadja.

BAN BEN elemi matematika függvényeket csak a valós számok halmazán tanulmányozzuk.

2) Funkció nullák.

Az értékek NS ahol y = 0 nak, nek hívják függvény nullák... Ezek a függvény grafikonja és az Ox tengely metszéspontjainak abszcisszái.

3) A funkció állandóságának intervallumai.

A függvény állandó jeleinek intervallumai - ilyen értékközök x, amelyen a függvény értékei y vagy csak pozitívnak, vagy csak negatívnak nevezik a függvény állandóságának intervallumai.

4) A funkció monotonitása.

A növekvő függvény (egy bizonyos intervallumban) olyan függvény, amelynél az argumentum nagyobb értéke ebből az intervallumból a függvény nagyobb értékének felel meg.

Csökkenő függvény (egy bizonyos intervallumban) - olyan függvény, amelyben az argumentum nagyobb értéke ebből az intervallumból a függvény kisebb értékének felel meg.

5) Paritás (páratlan) függvény.

A páros függvény olyan függvény, amelynek meghatározási tartománya szimmetrikus az eredetre és bármelyikre NS f (-x) = f (x)... Menetrend akár funkció szimmetrikus az ordinátatengely körül.

A páratlan függvény olyan függvény, amelynek definíciótartománya szimmetrikus az eredetre és bármelyikre NS a meghatározás területéről, az egyenlőségről f (-x) = - f (x). A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóval kapcsolatban.

Még funkció is
1) A definíció tartománya szimmetrikus a (0; 0) pont körül, vagyis ha a pont a a definíció tartományába tartozik, akkor a lényeg -a szintén a meghatározás területéhez tartozik.
2) Bármilyen értékre x f (-x) = f (x)
3) A páros függvény grafikonja szimmetrikus az Oy tengelye körül.

Páratlan függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1) A definíció tartománya szimmetrikus a (0; 0) pont körül.
2) bármilyen értékre x a definíció, az egyenlőség területéhez tartozik f (-x) = - f (x)
3) A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóval (0; 0).

Nem minden funkció páratlan vagy páratlan. Funkciók Általános nézet sem páratlanok, sem páratlanok.

6) Korlátozott és korlátlan funkciók.

A funkciót korlátozottnak nevezzük, ha van ilyen pozitív szám M olyan, hogy | f (x) | ≤ M x minden értéke esetén. Ha nincs ilyen szám, akkor a funkció korlátlan.

7) A függvény periodicitása.

Egy f (x) függvény periodikus, ha van egy nullától eltérő T szám, és a függvény bármelyik x -jére a következő áll fenn: f (x + T) = f (x). Ezt a legkisebb számot a függvény periódusának nevezzük. Minden trigonometrikus függvények időszakosak. (Trigonometriai képletek).

Funkció f periodikusnak nevezzük, ha van olyan szám, amely bármelyikre vonatkozik x a tartományból, az egyenlőség f (x) = f (x-T) = f (x + T). T a funkció időszaka.

Bármely periodikus függvénynek végtelen periódushalmaza van. A gyakorlatban általában a legrövidebb pozitív időszakot veszik figyelembe.

A periodikus függvény értékei a periódussal megegyező intervallum után ismétlődnek. Ezt grafikonok készítésekor használják.

Vissza előre

Figyelem! A dia előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül jelentenek minden megjelenítési lehetőséget. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a függvény egyenletességének és furcsaságának fogalmának kialakítása, e tulajdonságok definiálásának és használatának képessége, amikor funkciók feltárása, ábrázolás;
• a tanulók kreatív tevékenységének fejlesztése, logikus gondolkodás, az összehasonlítás, általánosítás képessége;
• kemény munka, matematikai kultúra nevelése; fejleszteni a kommunikációs készségeket .

Felszerelés: multimédiás telepítés, interaktív tábla, segédanyagok.

A munka formái: frontális és csoport a keresési és kutatási tevékenységek elemeivel.

Információs források:

1. Algebra9 osztály A.G. Mordkovich. Tankönyv.
2. Algebra 9. fokozat A.G. Mordkovich. Problémakönyv.
3. Algebra 9. fokozat. Feladatok a tanulók tanulásához és fejlődéséhez. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

AZ Osztályok alatt

1. Szervezeti pillanat

Az óra céljainak kitűzése.

2. Házi feladat ellenőrzése

Szám 10.17 (Problémakönyv 9kl. A. G. Mordkovich).

de) nál nél = f(NS), f(NS) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D ( f) = [– 2; + ∞)
2. E ( f) = [– 3; + ∞)
3. f(NS) = 0 erre NS ~ 0,4
4. f(NS)> 0 erre NS > 0,4 ; f(NS) < 0 при – 2 < NS < 0,4.
5. A funkció a gombbal növekszik NS € [– 2; + ∞)
6. A funkció alulról korlátozott.
7. nál nél naim = - 3, nál nél naib nem létezik
8. A funkció folyamatos.

(Használta a függvénykutatási algoritmust?) Csúszik.

2. Nézzük meg a táblázatot, amelyet a dián kértek.

Töltse ki az asztalt
	Tartomány	Funkció nullák	Az állandóság intervallumai		A gráf metszéspontjainak koordinátái Oy -val
		x = –5, x = 2	x € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5; 3) U U (2; ∞)	х € (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		х € (–∞; –5) U U (2; ∞)	x € (–5; 2)

3. Tudásfrissítés

- Adott funkciók.
- Adja meg az egyes funkciók hatókörét.
- Hasonlítsa össze az egyes függvények értékét minden argumentumértékpár esetében: 1 és - 1; 2 és - 2.
- A definíció területén e funkciók közül melyiket érik el az egyenlőségek? f(– NS) = f(NS), f(– NS) = – f(NS)? (írja be a kapott adatokat a táblázatba) Csúszik

		f(1) és f(– 1)	f(2) és f(– 2)	grafikonok	f(– NS) = –f(NS)	f(– NS) = f(NS)
1. f(NS) =
2. f(NS) = NS 3
3. f(NS) = | NS |
4.f(NS) = 2NS – 3
5. f(NS) =	NS ≠ 0
6. f(NS)=	NS > –1		és nincs meghatározva.

4. Új anyag

- Előadó ez a munka, srácok, azonosítottunk még egy olyan tulajdonságot, amely ismeretlen számotokra, de nem kevésbé fontos, mint a többi - a páros és páratlan függvény. Írja le a lecke témáját: "Páros és páratlan függvények", a mi feladatunk az, hogy megtanuljuk, hogyan határozzuk meg a függvény párosát és páratlanságát, hogy megtudjuk ennek a tulajdonságnak a jelentőségét a függvények tanulmányozásában és az ábrázolásban.
Tehát keressük a definíciókat a tankönyvben, és olvassuk el (110. o.) ... Csúszik

Def. egy Funkció nál nél = f (NS) a halmazon megadott X -et hívjuk még ha bármilyen értékre NSЄ X végrehajtásra kerül egyenlőség f (–x) = f (x). Példákat mutatni.

Def. 2 Funkció y = f (x) a halmazon megadott X hívjuk páratlan ha bármilyen értékre NSЄ X az f (–x) = –f (x) egyenlőség érvényes. Példákat mutatni.

Hol találkoztunk az "páros" és a "páratlan" kifejezésekkel?
Ön szerint melyik funkció lesz egyenletes? Miért? Mik a furcsaak? Miért?
Az űrlap bármely funkciójához nál nél= x n, ahol n- egész számmal vitatható, hogy a függvény páratlan n- páratlan, és a funkció páros n- még.
- Funkciók megtekintése nál nél= és nál nél = 2NS- 3 sem páros, sem páratlan, hiszen az egyenlőség nem teljesül f(– NS) = – f(NS), f(– NS) = f(NS)

A függvény páros vagy páratlan kérdésének tanulmányozását nevezzük paritás függvény vizsgálatának. Csúszik

Az 1. és 2. definíció az x és - x függvény értékeivel foglalkozott, így feltételezzük, hogy a függvény az értékhez is definiált NS, és - NS.

Def 3. Ha egy numerikus halmaz minden egyes x elemével együtt az ellentétes -x elemet is tartalmazza, akkor a halmazt NS szimmetrikus halmaznak nevezzük.

Példák:

(–2; 2), [–5; 5]; (∞; ∞) szimmetrikus halmazok, és [–5; 4] aszimmetrikusak.

- A páros függvények meghatározási területe szimmetrikus halmaz? A furcsa?
- Ha D ( f) Egy aszimmetrikus halmaz, akkor milyen függvény?
- Így, ha a függvény nál nél = f(NS) Páros vagy páratlan, akkor a D definíció tartománya ( f) Szimmetrikus halmaz. Fordítva is igaz, ha egy függvény tartománya szimmetrikus halmaz, akkor páros vagy páratlan?
- Tehát a szimmetrikus tartományhalmaz jelenléte szükséges feltétel, de nem elegendő.
- Tehát hogyan vizsgálja meg a függvény paritásosságát? Próbáljunk algoritmust összeállítani.

Csúszik

Algoritmus egy függvény paritás elemzésére

1. Határozza meg, hogy a függvényterület szimmetrikus -e. Ha nem, akkor a függvény nem páros és nem páratlan. Ha igen, akkor folytassa az algoritmus 2. lépésével.

2. Írjon kifejezést f(–NS).

3. Hasonlítsa össze f(–NS).és f(NS):

• ha f(–NS).= f(NS), akkor a függvény páros;
• ha f(–NS).= – f(NS), akkor a függvény páratlan;
• ha f(–NS) ≠ f(NS) és f(–NS) ≠ –f(NS), akkor a függvény nem páros és nem páratlan.

Példák:

Vizsgálja meg a paritás függvényét a) nál nél= x 5 +; b) nál nél=; ban ben) nál nél= .

Megoldás.

a) h (x) = x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) U (0; + ∞), szimmetrikus halmaz.

2) h ( - x) = (–x) 5 + - x5 - = - (x 5 +),

3) h ( - x) = - h (x) => függvény h (x)= x 5 + páratlan.

b) y =,

nál nél = f(NS), D (f) = (–∞; –9)? (–9; + ∞), aszimmetrikus halmaz, tehát a függvény nem páros és nem páratlan.

ban ben) f(NS) =, y = f (x),

1) D ( f) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

2. lehetőség

1. Szimmetrikus -e az adott halmaz: a) [–2; 2]; b) (∞; 0], (0; 7)?

de); b) y = x · (5 - x 2). 2. Vizsgálja meg a paritás függvényét:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. ábrán. ábrázolta nál nél = f(NS), mindenkinek NS kielégíti a feltételt NS? 0.
Ábrázoljon függvénygráfot! nál nél = f(NS), ha nál nél = f(NS) Egyenletes függvény.

3. ábrán. ábrázolta nál nél = f(NS), ha minden x megfelel az x feltételnek? 0.
Ábrázoljon függvénygráfot! nál nél = f(NS), ha nál nél = f(NS) Furcsa függvény.

A kölcsönös ellenőrzése csúszik.

6. Otthoni feladat: №11.11, 11.21,11.22;

A paritás tulajdonság geometriai jelentésének bizonyítása.

*** (A USE opció beállítása).

1. Az y = f (x) páratlan függvény a teljes számegyenesen van definiálva. Az x változó bármely nem negatív értéke esetén ennek a függvénynek az értéke egybeesik a g ( NS) = NS(NS + 1)(NS + 3)(NS- 7). Keresse meg a h (függvény értékét NS) = = NS = 3.

7. Összefoglalás

Az y változó függését az x változótól, amelyben x minden értéke y egyetlen értékének felel meg, függvénynek nevezzük. A jelölés y = f (x). Mindegyik függvény számos alapvető tulajdonsággal rendelkezik, például monotonitás, paritás, periodicitás és mások.

Tekintsük részletesebben a paritás tulajdonságot.

Az y = f (x) függvény akkor is meghívásra kerül, ha az alábbi két feltételnek megfelel:

2. A függvény értékének a függvény tartományához tartozó x pontban meg kell egyeznie a függvény értékével az -x pontban. Vagyis a függvény tartományából származó x ponthoz a következő egyenlőséget kell teljesíteni: f (x) = f (-x).

Páros függvénydiagram

Ha páros függvény grafikonját építi fel, akkor az Oy tengelye szimmetrikus lesz.

Például az y = x ^ 2 függvény páros. Nézzük meg. A definíciós terület a teljes számtengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O ponttal.

Vegyünk tetszőleges x = 3 -at. f (x) = 3 ^ 2 = 9.

f (-x) = (- 3) ^ 2 = 9. Ezért f (x) = f (-x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban az y = x ^ 2 függvény grafikonja látható.

Az ábra azt mutatja, hogy a grafikon szimmetrikus az Oy tengelye körül.

Páratlan függvény grafikon

Az y = f (x) függvényt páratlannak nevezzük, ha az alábbi két feltételnek megfelel:

1. Ennek a függvénynek a tartományának szimmetrikusnak kell lennie az O ponthoz képest. Vagyis, ha valamely a pont a függvény tartományához tartozik, akkor a megfelelő -a pontnak is az adott függvény tartományához kell tartoznia.

2. Bármely x ponthoz a függvény tartományából a következő egyenlőséget kell teljesíteni: f (x) = -f (x).

A páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az O pontra - az origóra. Például az y = x ^ 3 függvény páratlan. Nézzük meg. A definíciós terület a teljes számtengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus az O ponttal.

Vegyünk tetszőleges x = 2 -t. f (x) = 2 ^ 3 = 8.

f (-x) = (-2) ^ 3 = -8. Ezért f (x) = -f (x). Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban az y = x ^ 3 függvény grafikonja látható.

Az ábra jól mutatja, hogy az y = x ^ 3 páratlan függvény szimmetrikus az origóval kapcsolatban.