Amikor a függvény páros és mikor páratlan. Páros és páratlan függvények

A páros és páratlan függvénygrafikonok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

Ha a függvény páros, akkor a grafikonja szimmetrikus az ordináta tengelyére. Ha a függvény páratlan, akkor a grafikonja szimmetrikus az origóra.

Példa.Ábrázolja a \ függvényt (y = \ bal | x \ jobb | \).

Megoldás. Tekintsük a következő függvényt: \ (f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | \), és cserélje be az ellenkezőjét \ (- x \) a \ (x \) helyett. Egyszerű transzformációk eredményeként a következőt kapjuk: $$ f \ bal (-x \ jobb) = \ bal | -x \ jobb | = \ bal | x \ jobb | = f \ bal (x \ jobb) $$ Egyéb szavakat, ha az argumentumot az ellenkező előjelre cseréljük, a függvény nem fog megváltozni.

Ez azt jelenti, hogy ez a függvény páros, és grafikonja szimmetrikus lesz az ordinátatengelyre (függőleges tengelyre). Ennek a függvénynek a grafikonja a bal oldali ábrán látható. Ez azt jelenti, hogy a grafikon ábrázolásakor csak a felét, a második részt (a függőleges tengelytől balra, a jobb oldalra már szimmetrikusan rajzoljuk) tudjuk ábrázolni. Egy függvény szimmetriájának meghatározásával a grafikon ábrázolásának megkezdése előtt nagymértékben leegyszerűsítheti a függvény ábrázolásának vagy vizsgálatának folyamatát. Ha nehéz a bejelentkezés Általános nézet, akkor könnyebben megteheti: helyettesítse be az egyenletbe különböző előjelek azonos értékeit. Például -5 és 5. Ha a függvény értékei megegyeznek, akkor remélheti, hogy a függvény páros lesz. Matematikai szempontból ez a megközelítés nem teljesen helyes, de gyakorlati szempontból kényelmes. Az eredmény megbízhatóságának növelése érdekében több ilyen ellentétes értékpárt helyettesíthet.

Példa.Ábrázolja a \ függvényt (y = x \ bal | x \ jobb | \).

Megoldás. Ellenőrizzük ugyanazt, mint az előző példában: $$ f \ left (-x \ right) = x \ left | -x \ right | = -x \ left | x \ right | = -f \ left (x \ right) ) $$ Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvény páratlan (a függvény előjele az ellenkezőjére változott).

Következtetés: a függvény szimmetrikus az origóra. Csak az egyik felét építheti meg, a másikat szimmetrikusan rajzolhatja meg. Ezt a szimmetriát nehezebb megrajzolni. Ez azt jelenti, hogy a diagramot a lap másik oldaláról nézi, és még fejjel lefelé is fordítja. Vagy ezt is megteheti: vegye a megrajzolt részt és forgassa el az origó körül 180 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányba.

Példa.Ábrázolja a \ függvényt (y = x ^ 3 + x ^ 2 \).

Megoldás. Végezzük el ugyanazt az előjelváltozás ellenőrzését, mint az előző két példában. $$ f \ balra (-x \ jobbra) = \ balra (-x \ jobbra) ^ 3 + \ balra (-x \ jobbra) ^ 2 = -x ^ 2 + x ^ 2 $$ Ennek eredményeként azt kapjuk hogy: $$ f \ left (-x \ right) \ not = f \ left (x \ right), f \ left (-x \ right) \ not = -f \ left (x \ right) $$ Ez azt jelenti hogy a függvény se nem páros, se nem páratlan.

Következtetés: a függvény nem szimmetrikus sem a koordináta-rendszer origójára, sem középpontjára. Ez azért történt, mert ez két függvény összege: páros és páratlan. Ugyanez a helyzet lesz, ha kivonunk két különböző függvényt. De a szorzás vagy az osztás más eredményhez vezet. Például egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlant ad. Vagy a két páratlan hányadosa páros függvényhez vezet.

Meghatározás 1. A függvényt hívjuk még (páratlan ), ha a változó minden értékével együtt
jelentése - x is hozzátartozik
és az egyenlőség

Így egy függvény csak akkor lehet páros vagy páratlan, ha definíciós tartománya szimmetrikus a számegyenes origójára (számok xés - x egyszerre tartoznak
). Például a függvény
nem páros és páratlan, mivel a definíciós tartománya
nem szimmetrikus az eredetre.

Funkció
még azóta is
szimmetrikus az eredetre és.

Funkció
furcsa azóta
és
.

Funkció
nem páros és páratlan, hiszen bár
és szimmetrikus az origóra, a (11.1) egyenlőségek nem teljesülnek. Például,.

A páros függvény grafikonja szimmetrikus a tengelyre OU hiszen ha pont

szintén a grafikához tartozik. Egy páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra, hiszen ha
a gráfhoz tartozik, akkor a pont
szintén a grafikához tartozik.

Egy függvény páros vagy páratlanságának bizonyításakor a következő állítások hasznosak.

Tétel 1. a) Két páros (páratlan) függvény összege páros (páratlan) függvény.

b) Két páros (páratlan) függvény szorzata páros függvény.

c) Egy páros és egy páratlan függvény szorzata páratlan függvény.

d) Ha f- egyenletes funkció a készüléken xés a funkciót g a készleten meghatározott
, majd a függvény
- még.

e) Ha f Páratlan funkció a készüléken xés a funkciót g a készleten meghatározott
és páros (páratlan), akkor a függvény
- Páros Páratlan).

Bizonyíték... Bizonyítsuk be például a b) és d) pontokat.

b) Legyen
és
- páros funkciók. Akkor tehát. Hasonlóan értelmezzük a páratlan függvények esetét is
és
.

d) Hagyjuk f Páros függvény. Azután.

A tétel többi részét hasonló módon bizonyítjuk. A tétel bizonyítva van.

Tétel 2. Bármilyen funkció
a készleten meghatározott x, szimmetrikus az origóra, páros és páratlan függvények összegeként ábrázolható.

Bizonyíték... Funkció
így írható

.

Funkció
- sőt, azóta is
és a funkciót
- Furcsa, mert. Ily módon
, ahol
- még, és
Páratlan függvény. A tétel bizonyítva van.

Meghatározás 2. Funkció
hívott időszakos ha van szám
, olyan, hogy bármely
a számok
és
szintén a domainhez tartozik
és az egyenlőség érvényesül

Ilyen szám T hívott időszak funkciókat
.

Az 1. definíció azt jelenti, hogy ha T- működési időszak
, majd a szám - T is a függvény periódusa
(Csere óta T a - T az egyenlőség megmarad). A matematikai indukció módszerével kimutatható, hogy ha T- működési időszak f, azután
, szintén egy időszak. Ebből következik, hogy ha egy függvénynek van periódusa, akkor végtelen sok periódusa van.

Meghatározás 3. Egy függvény pozitív periódusai közül a legkisebbet nevezzük függvényének a fő időszak.

Tétel 3. Ha T- a funkció fő időszaka f, akkor a fennmaradó időszakok ennek többszörösei.

Bizonyíték... Tegyük fel az ellenkezőjét, vagyis hogy van egy időszak funkciókat f (> 0), nem többszörös T... Aztán felosztás a T a maradékkal azt kapjuk
, ahol
... Így

vagyis - működési időszak f, és
, és ez ellentmond annak a ténynek, hogy T- a funkció fő időszaka f... Az ebből eredő ellentmondás magában foglalja a tétel érvényesítését. A tétel bizonyítva van.

Köztudott, hogy a trigonometrikus függvények periodikusak. Fő időszak
és
egyenlő
,
és
... Keresse meg a függvény periódusát!
... Hadd
- a funkció időtartama. Azután

(mivel
.

oror vagy
.

Jelentése T Az első egyenlőségből meghatározott nem lehet időszak, hiszen attól függ x, azaz függvénye x konstans szám helyett. Az időszakot a második egyenlőség határozza meg:
... Végtelenül sok időszak van, pl
a legkisebb pozitív periódust akkor kapjuk, amikor
:
... Ez a funkció fő időszaka
.

Egy bonyolultabb periodikus függvényre példa a Dirichlet-függvény

Vegye figyelembe, hogy ha T Akkor ez egy racionális szám
és
racionális számok racionális xés irracionális az irracionálissal x... Így

bármely racionális számra T... Ezért bármilyen racionális szám T a Dirichlet-függvény periódusa. Nyilvánvaló, hogy ennek a függvénynek nincs fő periódusa, mivel vannak pozitívak racionális számok, tetszőlegesen közel nullához (például racionális számot készíthetünk a választással n tetszőlegesen közel nullához).

Tétel 4. Ha a függvény f adott a forgatáson xés van egy időszaka Tés a funkciót g adott a forgatáson
, majd a komplex függvény
időszaka is van T.

Bizonyíték... Megvan tehát

vagyis a tétel állítása bebizonyosodott.

Például azóta kötözősaláta x időszaka van
, majd a funkciókat
van időszaka
.

Meghatározás 4. A nem periodikus függvényeket hívjuk nem időszakos .

Hogyan lehet matematikai képleteket beilleszteni egy webhelyre?

Ha valaha egy vagy két matematikai képletet kell hozzáadnia egy weboldalhoz, akkor ezt a legegyszerűbben a cikkben leírtak szerint teheti meg: a matematikai képleteket könnyedén beillesztheti az oldalra képek formájában, amelyeket Wolfram Alpha automatikusan generál. Az egyszerűség mellett ez univerzális módon segít javítani az oldal láthatóságát a keresőkben. Régóta működik (és szerintem örökké is), de erkölcsileg elavult.

Ha rendszeresen használ matematikai képleteket a webhelyén, akkor azt javaslom, hogy használja a MathJax-ot, egy speciális JavaScript-könyvtárat, amely matematikai jelöléseket jelenít meg a webböngészőkben MathML, LaTeX vagy ASCIIMathML jelölést használva.

A MathJax használatának két módja van: (1) egy egyszerű kód segítségével gyorsan csatlakoztathat egy MathJax szkriptet a webhelyéhez, amely a megfelelő időben automatikusan betöltődik egy távoli szerverről (szerverlista); (2) töltse fel a MathJax szkriptet egy távoli szerverről a szerverére, és csatlakoztassa webhelye összes oldalához. A második, bonyolultabb és időigényesebb módszer felgyorsítja az oldalad oldalainak betöltését, és ha a szülő MathJax szerver valamilyen okból átmenetileg elérhetetlenné válik, az semmilyen módon nem érinti a saját oldaladat. Ezen előnyök ellenére az első módszert választottam, mivel az egyszerűbb, gyorsabb és nem igényel technikai ismereteket. Kövesse a példámat, és 5 perc múlva már használhatja a MathJax összes funkcióját a webhelyén.

A MathJax könyvtár szkriptjét egy távoli szerverről csatlakoztathatja a fő MathJax webhelyről vagy a dokumentációs oldalról vett kód két verziójával:

Ezen kódváltozatok egyikét ki kell másolni és be kell illeszteni a weboldal kódjába, lehetőleg a címkék közé és vagy közvetlenül a címke után ... Az első opció szerint a MathJax gyorsabban tölt be és kevésbé lassítja az oldalt. De a második lehetőség automatikusan követi és betölti a MathJax legújabb verzióit. Ha beírja az első kódot, akkor azt rendszeresen frissíteni kell. Ha beilleszted a második kódot, az oldalak lassabban töltődnek be, de nem kell folyamatosan figyelned a MathJax frissítéseit.

A MathJax csatlakoztatásának legegyszerűbb módja a Blogger vagy a WordPress: webhelye irányítópultján adjon hozzá egy widgetet, amely harmadik fél JavaScript kódjának beillesztésére szolgál, másolja bele a fent bemutatott betöltő kód első vagy második verzióját, és helyezze közelebb a widgetet a a sablon eleje (egyébként ez egyáltalán nem szükséges, mert a MathJax szkript aszinkron módon töltődik be). Ez minden. Most tanulja meg a MathML, LaTeX és ASCIIMathML jelölési szintaxisát, és máris beágyazhat matematikai képleteket webhelye weboldalaiba.

Bármely fraktál egy bizonyos szabály szerint épül fel, amelyet következetesen korlátlan számú alkalommal alkalmaznak. Minden ilyen időt iterációnak nevezünk.

A Menger-szivacs elkészítésének iteratív algoritmusa meglehetősen egyszerű: az eredeti 1-es oldalú kockát a lapjaival párhuzamos síkok 27 egyenlő kockára osztják. Egy központi kockát és 6 szomszédos kockát eltávolítunk belőle. Az eredmény egy készlet, amely a maradék 20 kisebb kockából áll. Minden egyes kockával ugyanezt megtéve egy készletet kapunk, amely már 400 kisebb kockából áll. Ezt a folyamatot a végtelenségig folytatva egy Menger szivacsot kapunk.

Diagramok konvertálása.

A funkció szóbeli leírása.

Grafikus mód.

A függvény meghatározásának grafikus módja a legintuitívabb, és gyakran használják a technológiában. A matematikai elemzésben a függvények grafikus definícióját használjuk illusztrációként.

Függvénygrafikon f az összes pont halmaza (x; y) Koordináta sík, ahol y = f (x), és x "átfut" a függvény teljes tartományán.

A koordinátasík egy részhalmaza valamilyen függvény grafikonja, ha legfeljebb egy közös pontja van bármely egyenessel, párhuzamos tengely OU.

Példa. Az alábbiakban látható alakzatok függvénygrafikonjai?

A grafikus feladat előnye az áttekinthetőség. Azonnal láthatja, hogyan viselkedik a függvény, hol növekszik, hol csökken. A függvény néhány fontos jellemzője azonnal felismerhető a grafikonról.

Általánosságban elmondható, hogy a függvények meghatározásának analitikai és grafikus módszerei kéz a kézben járnak. A képletekkel való munka segít grafikon felépítésében. A grafikon pedig sokszor olyan megoldásokat javasol, amelyeket a képletben észre sem veszünk.

Szinte minden tanuló ismeri a függvény meghatározásának három módját, amelyet most megnéztünk.

Próbáljunk meg válaszolni a kérdésre: "Vannak más módok egy függvény meghatározására?"

Van ilyen mód.

A függvény szavakban meglehetősen egyértelműen definiálható.

Például az y = 2x függvény a következő szóbeli leírással adható meg: az x argumentum minden valós értéke a megduplázott értékéhez van társítva. A szabály be van állítva, a függvény be van állítva.

Sőt, szóban is lehet függvényt definiálni, amit rendkívül nehéz, ha nem lehetetlen egy képlettel beállítani.

Például: az x természetes argumentum minden értéke az x értékét alkotó számjegyek összegéhez van társítva. Például, ha x = 3, akkor y = 3. Ha x = 257, akkor y = 2 + 5 + 7 = 14. Stb. Problémás képlettel leírni. De a jelet könnyű megrajzolni.

A verbális leírás módszere meglehetősen ritkán alkalmazott módszer. De néha igen.

Ha létezik x és y közötti egy-egy megfeleltetés törvénye, akkor van függvény. Az, hogy milyen törvény, milyen formában van kifejezve - képlet, tabletta, ütemterv, szavak - nem változtat a dolog lényegén.

Tekintsünk olyan függvényeket, amelyek definíciós tartományai szimmetrikusak az origóra, azaz. bárkinek x a definíciós tartományból a szám (- x) is a definíció tartományába tartozik. Az ilyen funkciók közé tartozik páros és páratlan.

Meghatározás. Az f függvényt hívjuk még ha valamelyikre x az ő definíciós területéről

Példa. Vegye figyelembe a funkciót

Ő páros. Nézzük meg.

Bárkinek xérvényesülnek az egyenlőségek

Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páros. Az alábbiakban ennek a függvénynek a grafikonja látható.

Meghatározás. Az f függvényt hívjuk páratlan ha valamelyikre x az ő definíciós területéről

Példa. Vegye figyelembe a funkciót

Ő furcsa. Nézzük meg.

A definíciós terület a teljes számtengely, ami azt jelenti, hogy szimmetrikus a pontra (0; 0).

Bárkinek xérvényesülnek az egyenlőségek

Így mindkét feltétel teljesül, ami azt jelenti, hogy a függvény páratlan. Az alábbiakban ennek a függvénynek a grafikonja látható.

Az első és a harmadik ábrán látható grafikonok szimmetrikusak az ordináta tengelyére, a második és negyedik ábrán látható grafikonok pedig az origóra.

Az ábrákon látható grafikonok közül melyek a párosak és melyek a páratlanok?