Területi axiómák. Komplex szám trigonometrikus jelölése
A komplex szám fogalma elsősorban az egyenlethez kapcsolódik. Nincsenek valós számok, amelyek kielégítenék ezt az egyenletet.
Így a komplex számok a valós számok mezőjének általánosításaként (kiterjesztéseként) keletkeztek, amikor tetszőleges másodfokú (és általánosabb) egyenleteket próbáltunk megoldani új számok hozzáadásával, így a kiterjesztett halmaz olyan számmezőt alkot, amelyben a kivonás művelete. a gyökér mindig megvalósítható lenne.
Meghatározás.Egy szám, melynek négyzete - 1, általában betűvel jelölikén és hívja képzeletbeli egység.
Meghatározás. A komplex számok mezője C az egyenlet gyökerét tartalmazó valós számok mezőjének minimális kiterjesztésének nevezzük.
Meghatározás. Terület VAL VEL hívott komplex számok mezője ha megfelel a következő feltételeknek:
Tétel. (A komplex számok mezőjének létezéséről és egyediségéről). Csak egy van, az egyenlet gyökének jelöléséig komplex számok mezője VAL VEL .
Minden elem egyedileg ábrázolható a következőképpen:
ahol , az egyenlet gyöke én 2 +1=0.
Meghatározás. Bármely elem hívott összetett szám, az x valós számot hívják valódi része z számot és -vel jelöljük, az y valós számot hívjuk képzeletbeli rész z szám, és jelöli.
Így a komplex szám egy rendezett pár, valós számokból álló komplex xés y.
Ha x=0, majd a szám z= 0+iy=iy hívott pusztán képzeletbeli vagy képzeletbeli. Ha y=0, majd a szám z=x+ 0i=x valós számmal azonosítjuk X.
Két komplex szám akkor tekinthető egyenlőnek, ha valós és képzetes részeik egyenlőek:
Egy komplex szám akkor nulla, ha valós és képzetes része is nulla:
Meghatározás. Két olyan komplex számot, amelyek valós része megegyezik, és képzeletbeli részei abszolút értékűek, de előjelük ellentétes, ún. komplex konjugátum vagy egyszerűen konjugált.
A konjugált szám z, jelölése. Így ha , akkor .
1.3. Komplex szám modulusa és argumentuma.
Komplex számok geometriai ábrázolása
Geometriailag egy komplex szám egy síkon (1. ábra) pontként van ábrázolva M koordinátákkal ( x, y).
Meghatározás. Azt a síkot, amelyre a komplex számokat rajzoljuk, hívjuk komplex C sík, Ox és Oy tengelyek, amelyeken a valós számok találhatók és pusztán képzeletbeli számok , hívják érvényesés képzeletbeli tengelyek, ill.
Pont pozíció segítségével is meghatározható poláris koordináták rés φ , azaz a sugárvektor hosszának és a pont sugárvektorának dőlésszögének értékével M(x, y) a pozitív valós féltengelyhez Ó.
Meghatározás. modult komplex szám a komplex számot reprezentáló vektor hossza a koordináta (komplex) síkon.
A komplex szám modulusát betűvel vagy betűvel jelöljük rés egyenlő valós és képzeletbeli részei négyzetösszege négyzetgyökének számtani értékével.
Előadások algebráról és geometriáról. 1. félév.
2. előadás. A komplex számok területe.
2. fejezet A komplex számok mezője.
1. tétel. A komplex számok területének felépítése.
Legyen a valós számok mezőjének derékszögű négyzete, azaz. 
a valós számok rendezett párjainak halmaza. Ezen a halmazon két belső bináris algebrai műveletet határozunk meg, az összeadást és a szorzást a következő szabályok szerint: 
definíció szerint megfogalmazva
(1)
(2)
.
Nyilvánvalóan két pár összege és szorzata ebből 
megint van pár sok 
, mivel A valós számok összege, szorzata és különbsége valós számok. Ily módon 
egy algebrai struktúra két belső bináris algebrai művelettel.
Tétel. 
- terület.
Bizonyíték. Sorozatosan ellenőrizzük a mező mind a kilenc axiómájának teljesülését.
1. Az összeadásra vonatkozó asszociativitás törvénye:
.
Hadd . Majd a párösszeadás definíciójával 
és .
A másik oldalon, 
és .
Mivel R egy mező, a valós számok összeadása megfelel az asszociativitás törvényének, ezért és . Ez magában foglalja a párok egyenlőségét, és ebből következik a , p.t.d. egyenlőség.
2. Null elem megléte:
.
Jelöli 
, ahol 0 a valós számok mezőjének nulla eleme, azaz. nulla szám. Hadd 
egy tetszőleges párja 
. Ezután a párok összeadásának definíciója szerint és . Ennélfogva, 
és pár 
a nulla elem az összeadási művelet tekintetében, amelynek meglétét igazolni kellett.
3. Az ellentétes elem létezése:
.
Hadd 
egy tetszőleges párja 
.
Mutassuk meg, hogy az ellentétes elem a pár
. Valóban, definíció szerint
párokat hozzáadva a következőkkel rendelkezünk:
ÉS . Ez magában foglalja az egyenlőséget, p.t.d.
4. A kommutativitás törvénye az összeadásra vonatkozóan:
.
Hadd 
- két véletlenszerű pár. Ekkor a párösszeadás definíciója szerint a következőt kapjuk:
ÉS . Mivel R egy mező, teljesíti az összeadás és az összeadás kommutativitásának törvényét 
,
, ahonnan a párok egyenlősége következik: és 
stb.
5. Az asszociativitás törvénye a szorzásra vonatkozóan:
.
Hadd . Majd a párok szorzásának definíciója szerint
,
és
Az eredmény egyenlő párok. Ennélfogva, 
stb.
6. Egyetlen elem megléte:
.
Definíció szerint tesszük 
és azt mutasd meg 
az azonosságelem a szorzás szempontjából. Hadd 
. Ekkor a párok szorzásának definíciója szerint . Ily módon 
stb.
7. Inverz elem létezése:
.
Hadd 
és 
, azaz az a és b számok nem egyenlőek egyidejűleg nullával, ami azt jelenti 
. Definíció szerint tesszük 
és mutassuk meg, hogy ez az elem teljesíti az egyenlőséget 
. Valóban, a párok szorzásának definíciója szerint 
,
Így igazoltuk az egyenlőséget 
stb.
8. A kommutativitás törvénye a szorzásra vonatkozóan:
.
Hadd 
- két véletlenszerű pár. Majd a párok szorzásának definíciója szerint
Mivel R egy mező, a valós számok szorzása és összeadása megfelel a kommutativitás törvényének és
,
, ahonnan az egyenlőség következik 
stb.
9. A szorzás eloszlási törvénye az összeadásra vonatkozóan:
és 
.
Hadd . Majd a párok összeadása és szorzása definíciója szerint
,
Itt a szorzás eloszlási törvényét használtuk az összeadásra vonatkozóan, amelynek a valós számok engedelmeskednek. Hasonlóképpen,
,
és
Innentől azt látjuk 
.
A második disztributivitási törvény bizonyítására az igazságosan bevált eloszlási törvényt és a szorzásra vonatkozó kommutativitás törvényét használjuk, amit szintén már bizonyítottunk:
A tétel bizonyítást nyert.
Meghatározás. Terület 
a komplex számok mezőjének, elemeit, a valós számok rendezett párjait pedig komplex számoknak nevezzük.
2. tétel. Komplex számok írásának algebrai formája.
Jelölje 
a mező egy részhalmaza 
, amely azokból a valós számpárokból áll, amelyek második eleme nulla. Hadd 
. Majd a párok összeadás és szorzás szabályai szerint 
,
. Ez lehetővé teszi az ilyen párok azonosítását az első elemükkel és magával a halmazzal 
sok R-vel.
Definíció szerint tesszük 
. Ezért különösen 
,
.
Egy párnak 
speciális jelölést vezetünk be. Definíció szerint tesszük 
. Azután 
(3)
.
A komplex szám írásának ezt a formáját algebrainak nevezzük.
Magát a komplex számok mezőjét C betű jelöli.
.
Jegyezze meg továbbá, hogy. Ez azt jelenti, hogy a komplex szám 
a másodfokú egyenlet gyöke 
. Könnyen belátható, hogy ennek az egyenletnek a második gyöke a komplex szám 
. Igazán, .
Így a komplex számok alábbi definícióját adhatjuk meg.
Meghatározás. A komplex szám a valós számok rendezett párja 
, amit általában így írnak 
, ahol az i elem a másodfokú egyenlet gyöke 
, azaz 
.
Meghatározás. Hadd 
a komplex szám írásának algebrai formája. Az i elemet képzeletbeli egységnek nevezzük. Az a valós számot a z komplex szám valós részének nevezzük, és jelöljük 
. A b valós számot a z komplex szám képzeletbeli részének nevezzük, és jelöljük 
.
Meghatározás. Az olyan komplex számot, amelynek valós része egyenlő nullával, tisztán imagináriusnak nevezzük.
A komplex szám felírásának algebrai formájának definíciójából (lásd a (3) egyenlőséget) közvetlenül következik a két komplex szám egyenlőségének feltétele:
Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlőek, azaz.
.
Itt az & egy kötőszó, egy logikai összekötő "és".
Megjegyzés. A definíciókból az következik 
, azaz Minden valós szám olyan komplex szám, amelynek képzetes része nulla. Bármely komplex szám tekinthető két komplex szám összeadásának eredményének, amelyek közül az egyik valós szám (képzetes része nullával), a másik pedig tisztán képzeletbeli:
3. tétel. Műveletek komplex számokkal algebrai jelölésben.
A párok összeadásának (1) definíciójából és a komplex számok algebrai jelöléséből (3) az algebrai jelölésben a komplex számok összeadásának és szorzásának szabályai következnek. Hadd 
,
tetszőleges komplex számok. Azután
Vegyük észre, hogy ugyanazt az eredményt kaphatjuk a bizonyított tétel segítségével. A komplex számok halmaza egy mezőt alkot. Egy területen az asszociativitás, kommutativitás és disztributivitás törvényei érvényesek. Minden komplex számot a 2. szakasz végén található megjegyzés szerint tekintünk. két komplex szám összeadásának eredménye. Azután
Itt az egyenlőséget használtuk 
.
Így nem kell megjegyezni az összeadás (4) és főleg a szorzás (5) szabályait. Továbbá világos, hogy 
– nulla elem, – ellentétes.
A kivonás műveletét összeadásként definiáljuk az ellenkezőjével:
Példák. egy)., 
,
,
2). Oldja meg az egyenletet a komplex számok mezőjében:
.
Megoldás. A diszkrimináns megtalálása 
. A másodfokú egyenlet gyökeinek képlete szerint megtaláljuk a gyököket:
. Válasz: 
.
Megjegyzés. Itt az egyenlőséget használtuk 
, ahol 
.
Az osztás műveletét bármely K mezőben az inverz elemmel való szorzásként definiáljuk: 
definíció szerint megfogalmazva 
és 
.
Ezt könnyű ellenőrizni 
,
Igazán,
A (6) képletet azonban nem kell megjegyezni. Jobb egy egyszerű szabályt alkalmazni. Ehhez azonban először bemutatunk egy fogalmat.
Meghatározás. Összetett szám 
komplex szám komplex konjugáltjának nevezzük 
.
A definícióból rögtön következik, hogy a szám 
a komplex konjugátuma 
, azaz az egymástól csak a képzeletbeli rész előjelében eltérő számok egymás összetett konjugátumai.
Példa: 
és 
, én és – én, 
stb.
Komplex számok osztási szabálya.
Egy komplex szám egy másikkal való osztásához meg kell szoroznia a tört számlálóját és nevezőjét a nevező komplex konjugátumával.
.
Példák. ,
,
,
.
Megjegyzés. Ha 
, akkor annak komplex konjugátumát jelöljük 
.
4. tétel. Komplex konjugált számok tulajdonságai.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
9. Bármely polinomhoz 
valós együtthatókkal a z komplex változóban
.
Bizonyíték. 1) Hagyjuk 
egy tetszőleges komplex szám. Majd a komplex konjugált szám definíciójával 
satöbbi.
2) Hagyjuk. Aztán és 
. A másik oldalon, 
és 
, honnan az következik 
.
3) Bizonyítsuk be a matematikai indukció módszerével, hogy az egyenlőség tetszőleges számú n tagra igaz.
a) Az indukció alapja.
Nál nél 
,
egyenlőség 
csak bevált.
b) Indukciós hipotézis.
Tegyük fel, hogy az állítás igaz, ha a tagok száma egyenlő 
:.
c) Indukciós átmenet.
Mivel az állítás két kifejezésre igaz, akkor
Innen következik a bizonyítandó egyenlőség.
4) Hagyjuk. Aztán és 
. Másrészt , ahonnan az következik 
.
5) A 3) ponthoz hasonlóan matematikai indukciós módszerrel bizonyítjuk.
6) Hagyjuk 
és k egy tetszőleges természetes szám. Ezután egy szám természetes hatványának meghatározása szerint 
stb.
7) Legyen a valós szám. Azután 
és a komplex konjugált szám definíciója szerint 
stb.
8) Hagyjuk 
. A 4) és 7) pontban már bizonyított tulajdonságokkal 
stb.
9) Legyen z komplex változó és 
polinom egy z komplex változóban valós együtthatókkal:, ahol
valós számok. Ezután a már bevált tulajdonságokat felhasználva a következőket kapjuk:
A tétel bizonyítást nyert.
Példa. Kiszámítja 
.
Megoldás. Jelöli 
. Azután 
,
,
. Ennélfogva, .
5. tétel. A komplex szám természetes gyökének fogalma.
Meghatározás. Hadd 
egy tetszőleges természetes szám. A z komplex szám n-edik gyöke a komplex szám 
, oly módon, hogy 
.
Később a következő tétel kerül bizonyításra, amit egyelőre bizonyítás nélkül elfogadunk.
Tétel. (Egy komplex szám n-edik gyökének létezéséről és számáról.)
Egy komplex számnak pontosan n n-edik gyöke van.
Egy komplex szám n-edik fokának gyökeinek jelölésére a gyök szokásos jelét használjuk. De van egy lényeges különbség. Ha a pozitív valós szám, akkor 
definíció szerint pozitív n-edik gyöket jelöl, ezt aritmetikai gyöknek nevezzük.
Ha n páratlan szám, akkor bármely a valós számnak van egyedi n-edik gyöke. Nál nél 
ez az egyetlen gyökér 
definíció szerint aritmetikai, -val 
ez az egyetlen gyökér 
nem aritmetikai, hanem az ellenkező szám számtani gyökével fejezhető ki: 
, ahol 
számtani, hiszen 
.
Tekintsük az xxy € R valós számok összes lehetséges rendezett párjának (x» Y) R2 halmazát. Az ilyen párokra (a, b) = (c, d) akkor és csak akkor, ha a = c és b - d. Ezen az R2 halmazon mutassuk be az összetétel belső törvényeit összeadási és szorzási műveletek formájában. Az összeadást a £faa egyenlőséggel határozzuk meg, a művelet asszociatív és kommutatív; van (a 4.5 definíció szerint) egy semleges eleme (0, 0), és a 4.6 definíció szerint minden párhoz (a, 6) megadható egy szimmetrikus (ellentétes) elem (-a, -6). Valóban, V(a, 6) £ R2 Sőt, vagy A komplex számok mezője. A szorzást egyenlőséggel határozzuk meg Könnyen ellenőrizhető, hogy az így bevezetett művelet asszociatív, kommutatív és disztributív-e az összeadás tekintetében. Ennek a műveletnek van egy semleges eleme, ami az (1, 0) pár, mivel tehát a bevezetett összeadás és szorzás műveleteihez képest az R2 halmaz egy egységnyi Abel-gyűrű (lásd 4.1. táblázat). u* Az (x, 0) € R2 párok halmaza és az x GR valós számok halmaza között könnyen megállapítható egy az egyhez (x, 0) x) megfeleltetés, amiből az következik, hogy komplex számok. azok. Az ilyen párok összeadása és szorzása ugyanúgy történik, mint a valós számok esetében. Helyettesítsük az (x, 0) alakú párokat valós számokra, pl. (x, 0) helyett egyszerűen x-et írunk, különösen, (1, 0) helyett egyszerűen 1-et. A (0, 1) pár különleges helyet foglal el az R2 halmazban. A (4.3) szerinti tulajdonságokkal rendelkezik és speciális i jelölést kapott, majd a (4.2) és (4.3) figyelembevételével bármely (x, y) ∈ R2 pár ábrázolható komplex számok mezőjeként. . Jelölje z. A z elemet a z elem komplex konjugátumának nevezzük. Figyelembe véve (4.3) z-z = x2 -by2. Ha z nem egyezik a semleges elemmel (0, 0), pl. ha x és y egyszerre nem egyenlő 0-val (2^0-t jelölnek), akkor x2 + + y2 φ 0. Ekkor az elem inverze (szimmetrikus, ellentétes a szorzás műveletével - lásd 4.1) z \u003d x + iy olyan r "1 elem lesz, hogy zz~l = 1 vagy zzz~l = z, azaz (x2 + y2)z~l = x - y Innen -1_ X 2 Y \ Ezért, a gf O bármely elemének inverze van az svb-hez képest a szorzás műveletét illetően, és az R2 halmaz a rajta egyesített összeadási és szorzási műveletekkel a (4.1) és (4.3) szerint egy mező (lásd a 4.1 táblázatot). ) A komplex számok mezőjének (vagy halmazának) nevezzük, és C-vel jelöljük. B A fenti egy az egyhez megfelelés alapján (r, 0) € R2 ++ x € R a komplex számok törtére egy valós számok mezőjének kiterjesztése. C bármely r elemét komplex számnak nevezzük, és z = x + iy> formában való ábrázolása, ahol x, y £ R és i2 = -l, - a komplex számot algebrai formában ábrázolta. Ebben az esetben £-t a komplex szám valós részének nevezzük, és Re z-vel jelöljük, y-t pedig képzeletbeli résznek és Imz-vel jelöljük (t-t képzeletbeli egységnek). Vegyük észre, hogy egy komplex szám imaginárius része valós szám. Az y elnevezés nem teljesen sikeres, de a történelmi hagyomány előtti tisztelgésként a mai napig megmaradt. A „komplex szám”44 kifejezést JI francia matematikus vezette be 1803-ban. Carnot (1753-1823), de K. Gauss 1828-tól kezdte szisztematikusan használni ezt a kifejezést a kevésbé sikeres „képzetes szám”44 helyettesítésére. Az orosz matematikai irodalomban a XIX. az „összetett szám” kifejezést használta44. Már R. Descartes-nál is szembehelyezkedik egy komplex szám valós és képzetes része. Később a francia reele (valóságos) és imagimaire (képzelt) szavak első betűi lettek ezeknek a részeknek a jelölései, bár sok matematikus tisztázatlannak, sőt titokzatosnak és misztikusnak tartotta a képzeletbeli mennyiségek lényegét. Tehát I. Newton nem vette be őket a szám fogalmába, G. Leibniz pedig a kifejezéshez tartozik: „A képzeletbeli számok az isteni szellem csodálatos és csodálatos menedékei, szinte olyanok, mint a lét kétéltűje a nemléttel44. Mivel az összes lehetséges valós számpár R2 halmaza azonosítható a síkon lévő pontokkal, minden z komplex szám =? x + iy az y) pontnak felel meg (4.1. ábra), ami lehetővé teszi, hogy egy komplex szám ábrázolásának geometriai alakjáról beszéljünk. Ha a komplex számokat a sík pontjaival azonosítjuk, azt komplex síknak vagy komplex számok síkjának nevezzük. A valós számok az x tengelyre kerülnek, azaz. z számok, amelyekre lmz = y = 0, és az Oy tengelyen - z = iy számok, amelyeket tisztán képzeletbelinek neveznek, amelyekre Re r = x = 0. Poeto-ábra. A 4.1. ábrán látható, hogy a komplex síkban lévő koordinátatengelyeket valósnak, illetve imaginárisnak nevezzük. A z és z összetett konjugált elemeknek megfelelő sík pontjai (komplex konjugált számok) szimmetrikusak a valós tengelyre, a z és -z -t képviselő pontok pedig szimmetrikusak az origóra. Távolság Komplex számok mezője. A síkon egy z = x + iy komplex számot ábrázoló M(x, y) pontot az origóból a komplex szám modulusának nevezzük, és \z\ vagy r. A szög, amely a sugárvektort alkotja Az Ox tengely pozitív irányú M pontját komplex szám argumentumának nevezzük, és jelöli Argz vagy (p) (lásd 4.1. ábra). A szög mérése ugyanúgy történik, mint a trigonometriában: a szögváltozás pozitív irányát az óramutató járásával ellentétes iránynak tekintjük. Nyilvánvaló, hogy Arg z nem egyedileg definiált, de egy olyan tagig, amely 2n többszöröse. z - 0, az Args értéke nincs definiálva.Az ennek a számnak megfelelő pontot (az origót) csak a \z\ = r = 0 feltétel. Így a komplex síkon minden z komplex számhoz tartozik az M(x, y) pont sugárvektora, amely polárkoordinátákkal állítható be: az r ^ 0 poláris sugár , egyenlő a komplex szám modulusával, és ennek a komplex számnak az argumentumának főértékével egybeeső polárszög.A trigonometria iskolai tantárgyából ismert trigonometrikus függvények és inverzeik definíciói szerint (lásd a z pontot a komplex síkon van x=rcosy>= X A komplex szám argumentumának főértékére vonatkozó korlátozásokat figyelembe véve azt kapjuk, hogy ha x > 0, ha x 0, ha x = 0 és y. (4.6) ebből következik, hogy pr a + tsiny> jelölés avomer, (4.8) Egy komplex szám ábrázolásának trigonometrikus alakjának nevezzük. Az algebrai ábrázolásmódról a trigonometrikus formára való átmenethez használja a (4.5) és (4.7) ”-t, a fordított átmenethez pedig - (4.6). Vegye figyelembe, hogy két nem nulla komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha a moduljaik egyenlőek, és az argumentumok olyan tagokkal különböznek, amelyek 2n többszörösei. A (4.1) szerint a z \ és r2 komplex számok összege komplex szám lesz és különbségük - Ezekből a képletekből következik, hogy a komplex számok összeadása (vagy kivonása) hasonló a számok összeadásához (vagy kivonásához). vektorokat a komplex síkban a paralelogramma szabály szerint (4.2. ábra) ( miközben a vektorok megfelelő koordinátáit összeadjuk vagy kivonjuk). Ezért a komplex számok modulusaira az a háromszögegyenlőtlenségek alakban érvényesek (a háromszög egyik oldalának hossza nem nagyobb, mint a másik két oldala hosszának összege). Ezzel azonban véget is ér a komplex számok és vektorok analógiája. A komplex számok összege vagy különbsége lehet valós szám (például összetett konjugált számok összege r-f z = = 2x, x = Rez e R). A (4.3) szerint a z\ és z2 komplex számok szorzata komplex szám. a Z1/22 hányados V*2 φ 0 esetén egy -r komplex szám, amely kielégíti a z^z = z\ egyenlőséget. Miután ennek az egyenlőségnek mindkét részét megszorozzuk 22-vel, azt kapjuk, hogy egy z komplex számot n € N hatványra emelve z önmagával n-szeres szorzata, figyelembe véve azt a tényt, hogy k 6 esetén N a komplex számok mezője. A trigonometrikus jelölés (4.8) lehetővé teszi a komplex számok szorzásának, osztásának és hatványozásának egyszerűsítését. Tehát z\ \u003d r\ (cos (p\ + isiny?i) és Z2 \u003d Г2 (co + -f isin no (4.3)) esetén megállapítható, hogy a komplex síkon (4.3. ábra) a szorzás megfelel az OM szakasz szöggel való elforgatásához (az óramutató járásával ellentétes irányban 0-nál) és a hosszának r2 = \z2\-szeres változásához; hatványozás n £ N z önmagával n-szeres szorzataként, félig nay A angol matematikus tiszteletére A de Moivre (1667-1754) ezt az összefüggést Moivre-képletnek nevezik, amely egy komplex számot pozitív egész hatványra emel. /n, vagy ahogy mondani szokták egy komplex szám n-edik gyökének kivonása.fok, azaz = w, ha wn = z. Legyen) Ekkor a (4.13)-ból megvan, és a komplex számok egyenlőségét figyelembe véve, get A (4.14) kifejezésből hívjuk a pozitív egész hatvány gyökének komplex számból való kinyerésére szolgáló Moivre-képletből származik, ebből következik, hogy az y/z lehetséges értékei közül a k = 0-nak megfelelő n érték eltérő lesz, n - 1. $fz minden n különböző értékének ugyanaz a modulusa, és argumentumaik szögekben különböznek, amelyek 2jr/n többszörösei. Az értékek a komplex sík azon pontjainak felelnek meg, amelyek egy szabályos n-szög csúcsaiban vannak beírva egy 1/f sugarú körbe, amelynek középpontja az origóban van. Ebben az esetben az egyik csúcs sugárvektora szöget (p/n) zár be az Ox tengellyel.(4.13) és (4.14)-ből következik a z /0 komplex szám g racionális hatványra emelésének képlete. € Q. Beli g = m/n, ahol m € Z és n € N, (4.7) figyelembevételével kapjuk (Ezért trigonometrikus formában. A (4.11) és (4.12) szerint azt találjuk: (4.13) felhasználásával , z\-t n = 4 hatványra emeljük, a (4.14) alkalmazásával z2-ből kivonjuk az n = 3 fokú gyökét. A számítások eredményeit a 4.4 ábra mutatja. megfelelnek az ABC szabályos háromszög sugarú körbe írt csúcsainak és ezen csúcsok poláris szögeinek \u003d i * / 18, 4\u003e v \u003d 13m / 18 és \u003d 25m / 18 (vagy - \u013) ^/18).
Területi axiómák. A komplex számok mezője. Komplex szám trigonometrikus jelölése.
A komplex szám egy formájú szám, ahol és valós számok, az ún képzeletbeli egység. A számot hívják valódi része ( ) komplex szám, a számot hívják képzeletbeli rész ( ) összetett szám.
Egy csomó azonos komplex számokáltalában "félkövér" vagy vastagított betűvel jelölik
Komplex számok jelennek meg összetett sík:
A komplex sík két tengelyből áll:
– valós tengely (x)
– képzeletbeli tengely (y)
A valós számok halmaza a komplex számok halmazának részhalmaza
Műveletek komplex számokkal
Két komplex szám összeadásához adja hozzá valós és imaginárius részeit.
Komplex számok kivonása
A művelet hasonló az összeadáshoz, az egyetlen jellemzője, hogy a részfejet zárójelbe kell venni, majd ezeket a zárójeleket szabványos módon előjelváltással kell megnyitni.
Komplex számok szorzása
zárójeleket nyisson a polinomok szorzási szabálya szerint
Komplex számok osztása
A számok felosztása megtörténik úgy, hogy a nevezőt és a számlálót megszorozzuk a nevező konjugált kifejezésével.
A komplex számok a valós számok számos tulajdonságával rendelkeznek, amelyek közül a következőket jegyezzük meg, ún fő-.
1) (a + b) + c = a + (b + c) (összeadás asszociativitás);
2) a + b = b + a (összeadás kommutativitása);
3) a + 0 = 0 + a = a (semleges elem megléte hozzáadással);
4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (ellentétes elem létezése);
5) a(b + c) = ab + ac ();
6) (a + b)c = ac + időszámításunk előtt (a szorzás eloszlása az összeadás tekintetében);
7) (ab)c = a(időszámításunk előtt) (szorzás asszociativitás);
8) ab = ba (szorzás kommutativitása);
9) a∙1 = 1∙a = a (semleges elem létezése szorzással);
10) bármely a≠ 0 b, mit ab = ba = 1 (inverz elem létezése);
11) 0 ≠ 1 (nincs név).
Azon tetszőleges természetű objektumok halmazát, amelyeken az összeadás és szorzás műveletei vannak definiálva, amelyek rendelkeznek a jelzett 11 tulajdonsággal (amelyek jelen esetben axiómák), ún. terület.
A komplex számok mezője felfogható a valós számok mezőjének kiterjesztéseként, amelyben a polinomnak gyöke van
Bármely komplex szám (nulla kivételével) felírható trigonometrikus formában: 
, hol van komplex szám modulusa, a - komplex szám argumentum.
Egy komplex szám modulusa a koordináták kezdőpontja és a komplex sík megfelelő pontja közötti távolság. Egyszerűen fogalmazva, modulus a hossz sugárvektor, amely a rajzon pirossal van jelölve.
Egy komplex szám modulusát általában a következővel jelöljük: vagy
A Pitagorasz-tétel segítségével könnyen levezethető egy képlet a komplex szám modulusának meghatározására: . Ez a képlet érvényes bármilyen jelentése "a" és "legyen".
Egy komplex szám argumentuma hívott injekció között pozitív tengely a valós tengely és az origótól a megfelelő pontig húzott sugárvektor. Az argumentum nincs megadva az egyes számhoz: .
Egy komplex szám argumentumát általában a következővel jelöljük: vagy
Legyen és φ = arg z. Ekkor az argumentum definíciója szerint a következőt kapjuk:
Mátrixok gyűrűje a valós számok mezeje felett. Alapműveletek mátrixokkal. Működési tulajdonságok.
Mátrix Az m´n méretű, ahol m a sorok száma, n az oszlopok száma, meghatározott sorrendbe rendezett számtáblázatnak nevezzük. Ezeket a számokat mátrixelemeknek nevezzük. Az egyes elemek helyét egyedileg határozza meg annak a sornak és oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában található. A mátrixelemeket ij -vel jelöljük, ahol i a sorszám, j pedig az oszlop száma.
Meghatározás. Ha a mátrix oszlopainak száma egyenlő a sorok számával (m=n), akkor a mátrix ún. négyzet.
Meghatározás. Mátrix megtekintése:
= E,
hívott identitásmátrix.
Meghatározás. Ha a mn = a nm, akkor a mátrixot hívják szimmetrikus.
Példa. 
- szimmetrikus mátrix
Meghatározás.
Négyzet alakú mátrix 
hívott átlós mátrix.
Mátrix szorzása számmal
Mátrix szorzása számmal(jelölés: ) olyan mátrix felépítése, amelynek elemeit úgy kapjuk meg, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk ezzel a számmal, azaz a mátrix minden eleme egyenlő
A mátrixok számmal való szorzásának tulajdonságai:
· tizenegy A = A;
2. (λβ)A = λ(βA)
3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
Mátrix összeadás
Mátrix összeadás egy olyan mátrix megtalálásának művelete, amelynek minden eleme egyenlő a mátrixok összes megfelelő elemének páronkénti összegével, vagyis a mátrix minden eleme egyenlő
Mátrix hozzáadásának tulajdonságai:
1. kommutativitás: A+B = B+A;
2. asszociativitás: (A+B)+C =A+(B+C);
3. összeadás nulla mátrixszal: A + Θ = A;
4. ellentétes mátrix megléte: A+(-A)=Θ;
A lineáris műveletek minden tulajdonsága megismétli a lineáris tér axiómáit, ezért igaz a következő tétel:
Az összes azonos méretű mátrix halmaza m x n mezőről származó elemekkel P(minden valós vagy komplex szám mezője) lineáris teret képez a P mező felett (minden ilyen mátrix ennek a térnek a vektora). Azonban elsősorban a terminológiai félreértések elkerülése érdekében kerüljük a gyakori kontextusokban előforduló mátrixokat anélkül, hogy szükség lenne (ami a legelterjedtebb szabványos alkalmazásokban nem létezik) és a vektorok hívására szolgáló kifejezés használatának egyértelmű meghatározása.
Mátrixszorzás
Mátrixszorzás(jelölése: , ritkán szorzójellel) - egy mátrix kiszámítására szolgáló művelet van, amelynek minden eleme egyenlő az első tényező megfelelő sorában és a második oszlopában lévő elemek szorzatainak összegével.
A mátrixban lévő oszlopok számának meg kell egyeznie a mátrixban lévő sorok számával, vagyis a mátrixnak egyetért mátrixszal. Ha a mátrix dimenziója , - , akkor a szorzatuk dimenziója .
Mátrix szorzás tulajdonságai:
1.asszociativitás (AB)C = A(BC);
2. nem kommutativitás (általában): AB BA;
3. A szorzat kommutatív identitásmátrixszal történő szorzás esetén: AI=IA;
4. eloszlás: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
5. asszociativitás és kommutativitás egy számmal való szorzás tekintetében: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Mátrix transzpozíció.
Az inverz mátrix megtalálása.
Egy négyzetmátrix akkor és csak akkor invertálható, ha nem szinguláris, azaz a determinánsa nem egyenlő nullával. Nem négyzetes mátrixokhoz és degenerált mátrixokhoz nincsenek inverz mátrixok.
Mátrix rangtétel
Az A mátrix rangja a nullától eltérő moll maximális rendje
A mátrix rangját meghatározó mollot Basis Minornak nevezik. A BM-et alkotó sorokat és oszlopokat alapsoroknak és oszlopoknak nevezzük.
Jelölés: r(A), R(A), A tartomány.
Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy egy mátrix rangjának értéke nem haladhatja meg a legkisebb méretet.
Bármely mátrix esetében a mellék-, sor- és oszloprangsorok azonosak.
Bizonyíték. Legyen a mátrix minor rangja A egyenlő r . Mutassuk meg, hogy a sor rangja is egyenlő r . Ehhez feltételezhetjük, hogy a reverzibilis moll M rendelés r az elsőben van r mátrix sorok A . Ebből következik, hogy az első r mátrix sorok A lineárisan függetlenek és a melléksorok halmaza M lineárisan független. Hadd a -- hosszúságú húr r , elemekből áll én -a mátrix sora , amelyek ugyanabban az oszlopban találhatók, mint a minor M . Mivel a kisebb húrok M képezik az alapját k r , azután a -- kisebb karakterláncok lineáris kombinációja M . Kivonás ebből én -adik sor A az elsőnek ugyanaz a lineáris kombinációja r mátrix sorok A . Ha az eredmény egy nem null elemet tartalmazó karakterlánc a számmal rendelkező oszlopban t , akkor fontolja meg a kiskorút M 1 rendelés r+1 mátrixok A , hozzáadva a moll soraihoz a mátrix th sorát A és a mátrix mellékoszlopaihoz - A (azt mondják, hogy kiskorú M 1 kapott szegély minor M keresztül én -edik sor és t -a mátrix oszlopa A ). A mi választásunk szerint t , ez a moll invertálható (elegendő ennek a mollnak az utolsó sorából kivonni az első sor lineáris kombinációját r sorokat, majd bontsa ki a determinánsát az utolsó sorra, hogy megbizonyosodjon arról, hogy ez a determináns egy nem nulla skaláris tényezőig megegyezik a minor determinánsával. M . Definíció szerint r egy ilyen helyzet lehetetlen, és ezért az átalakulás után én -adik sor A nulla lesz. Más szóval, az eredeti én -th row az első lineáris kombinációja r mátrix sorok A . Megmutattuk, hogy az első r sorok alkotják a mátrix sorkészlet alapját A , vagyis a kisbetűs rang A egyenlő r . Annak bizonyítására, hogy az oszlop rangja r , elég felcserélni a "sorokat" és az "oszlopokat" a fenti okfejtésben. A tétel bizonyítást nyert.
Ez a tétel azt mutatja, hogy nincs értelme különbséget tenni a mátrix három rangja között, és a következőkben a mátrix rangja alatt fogjuk megérteni a sorrangot, emlékezve arra, hogy az egyenlő az oszlop és a mellékrangokkal (a jelölés r(A) -- mátrix rang A ). Azt is megjegyezzük, hogy a rangtétel bizonyításából az következik, hogy egy mátrix rangja egybeesik a mátrix bármely invertálható molljának dimenziójával úgy, hogy az őt körülvevő összes moll (ha létezik egyáltalán) degenerált.
Kronecker-Capelli tétel
Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens, ha főmátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, és a rendszernek egyedi megoldása van, ha a rang egyenlő az ismeretlenek számával, és egy végtelen számú megoldás, ha a rang kisebb, mint az ismeretlenek száma.
Szükség
Legyen következetes a rendszer. Aztán vannak olyan számok, hogy . Ezért az oszlop a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja. Abból, hogy egy mátrix rangja nem változik, ha egy sort (oszlopot) törölünk a sorai (oszlopai) rendszeréből, vagy olyan sort (oszlopot), amely más sorok (oszlopok) lineáris kombinációja, az következik, hogy .
Megfelelőség
Hadd . Vegyünk néhány alapvető minort a mátrixban. Mivel , akkor ez lesz a mátrix alapmollja is . Ekkor a bázis-moll tétel szerint a mátrix utolsó oszlopa az alaposzlopok, azaz a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja lesz. Ezért a rendszer szabad tagjainak oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja.
Következmények
· A rendszer fő változóinak száma megegyezik a rendszer rangjával.
· Egy közös rendszer akkor lesz definiálva (a megoldása egyedi), ha a rendszer rangja megegyezik az összes változó számával.
Kis alaptétel.
Tétel. Egy tetszőleges A mátrixban minden oszlop (sor) olyan oszlopok (sorok) lineáris kombinációja, amelyekben az alap minor található.
Így egy tetszőleges A mátrix rangja megegyezik a mátrixban található lineárisan független sorok (oszlopok) maximális számával.
Ha A négyzetmátrix és detA = 0, akkor legalább az egyik oszlop a többi oszlop lineáris kombinációja. Ugyanez igaz a húrokra is. Ez az állítás a lineáris függés tulajdonságából következik, ahol a determináns nulla.
7. SLU megoldás. Cramer-módszer, mátrix-módszer, Gauss-módszer.
Cramer módszere.
Ez a módszer is csak olyan lineáris egyenletrendszerek esetén alkalmazható, ahol a változók száma egybeesik az egyenletek számával. Ezenkívül korlátozásokat kell bevezetni a rendszer együtthatóira vonatkozóan. Szükséges, hogy minden egyenlet lineárisan független legyen, azaz. egyetlen egyenlet sem lenne a többi egyenlet lineáris kombinációja.
Ehhez szükséges, hogy a rendszer mátrixának determinánsa ne legyen egyenlő 0-val.
Valójában, ha a rendszer bármely egyenlete a többi egyenlete lineáris kombinációja, akkor ha bármely sor elemeit hozzáadjuk egy másik sor elemeihez, valamilyen számmal megszorozva, lineáris transzformációkkal, akkor nulla sort kapunk. A determináns ebben az esetben egyenlő lesz nullával.
Tétel. (Cramer szabálya):
Tétel. N egyenletrendszer n ismeretlennel
ha a rendszer mátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor egyedi megoldása van, és ezt a megoldást a következő képletekkel találjuk meg:
x i = D i /D, ahol
D = det A, és D i a rendszermátrixból kapott mátrix determinánsa, ha az i oszlopot b i szabad tagokból álló oszlopra cseréljük.
D i = 
Mátrix módszer lineáris egyenletrendszerek megoldására.
A mátrix módszer olyan egyenletrendszerek megoldására alkalmazható, ahol az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával.
A módszer alkalmas alacsony rendű rendszerek megoldására.
A módszer a mátrixszorzás tulajdonságainak alkalmazásán alapul.
Legyen adott az egyenletrendszer:
Mátrixok összeállítása: A = 
; B = ; X = .
Az egyenletrendszer felírható: A×X = B.
Végezzük el a következő transzformációt: A -1 ×A×X = A -1 ×B, mert A -1 × A = E, majd E × X = A -1 × B
X \u003d A -1 × B
A módszer alkalmazásához meg kell találni az inverz mátrixot, amely számítási nehézségekkel járhat a magasrendű rendszerek megoldásában.
Meghatározás. Az n ismeretlennel rendelkező m egyenletrendszert általában a következőképpen írják fel:
, (1)
ahol a ij együtthatók és b i állandók. A rendszer megoldásai n szám, amelyek a rendszerbe behelyettesítve minden egyenletét azonossággá alakítják.
Meghatározás. Ha egy rendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös. Ha a rendszernek nincs megoldása, akkor hívják összeegyeztethetetlen.
Meghatározás. A rendszer ún bizonyos ha csak egy megoldása van és bizonytalan ha egynél több.
Meghatározás. Az (1) alakú lineáris egyenletrendszerhez a mátrix
A = 
a rendszer mátrixának és a mátrixnak nevezzük
A*= 
a rendszer kiterjesztett mátrixának nevezzük
Meghatározás. Ha b 1 , b 2 , …,b m = 0, akkor a rendszer meghívásra kerül homogén. a homogén rendszer mindig konzisztens.
Rendszerek elemi átalakításai.
Az elemi átalakítások a következők:
1) A másik egyenlet megfelelő részeinek összeadása az egyik egyenlet mindkét részéhez, szorozva ugyanazzal a számmal, amely nem egyenlő nullával.
2) Egyenletek permutációja helyenként.
3) Az egyenletrendszerből való eltávolítása, amelyek minden x azonosságai.
A Gauss-módszer egy klasszikus módszer lineáris algebrai egyenletrendszer (SLAE) megoldására. Ez a változók egymást követő eliminálásának módszere, amikor az egyenletrendszert elemi transzformációk segítségével egy háromszög alakú ekvivalens rendszerre redukálják, amelyből az összes többi változót egymás után, az utolsótól kezdve (szám szerint) megtaláljuk. ) változók
Hadd nézzen ki így az eredeti rendszer
A mátrixot a rendszer fő mátrixának, a szabad tagok oszlopának nevezik.
Ezután a sorok feletti elemi transzformációk tulajdonsága szerint ennek a rendszernek a főmátrixa redukálható lépcsőzetes formára (ugyanazokat a transzformációkat kell alkalmazni a szabad tagok oszlopára):
Ezután a változókat hívják fő változók. Az összes többit hívják ingyenes.
Ha legalább egy szám , ahol , akkor a vizsgált rendszer inkonzisztens, pl. neki nincs megoldása.
Bármelyiknek engedje meg.
A szabad változókat az egyenlőségjeleken túlra visszük, és a rendszer minden egyenletét elosztjuk a bal szélső ( , ahol a sor száma) együtthatójával:
Ha minden lehetséges értéket hozzárendelünk a (2) rendszer szabad változóihoz, és az új rendszert a fő ismeretlenek vonatkozásában alulról felfelé (vagyis az alsó egyenletből a felsőbe) oldjuk meg, akkor azt kapjuk, hogy ennek a SLAE-nek az összes megoldását. Mivel ezt a rendszert az eredeti (1) rendszer feletti elemi transzformációkkal kaptuk, ezért az ekvivalenciatétel alapján az elemi transzformációknál az (1) és (2) rendszerek ekvivalensek, azaz megoldásaik halmazai egybeesnek.
Következmények:
1: Ha egy közös rendszerben minden változó fő, akkor egy ilyen rendszer határozott.
2: Ha a rendszerben a változók száma meghaladja az egyenletek számát, akkor egy ilyen rendszer vagy határozatlan vagy inkonzisztens.
Algoritmus
Az SLAE Gauss-módszerrel történő megoldásának algoritmusa két szakaszra oszlik.
Az első szakaszban az úgynevezett direkt mozgatást hajtják végre, amikor a sorok közötti elemi transzformációkkal a rendszert lépcsőzetes vagy háromszög alakúra hozzuk, vagy megállapítják, hogy a rendszer inkonzisztens. Ugyanis a mátrix első oszlopának elemei közül egy nullától eltérő egyest választunk, a sorok permutálásával a legfelső pozícióba kerül, és a permutáció után kapott első sort kivonjuk a fennmaradó sorokból, megszorozva. minden egyes sor első elemének az első sor első eleméhez viszonyított arányával egyenlő értékkel, nullázva ezzel az alatta lévő oszlopot. A jelzett átalakítások elvégzése után az első sort és az első oszlopot gondolatban áthúzzuk, és addig folytatjuk, amíg egy nulla méretű mátrix nem marad. Ha az első oszlop elemei között néhány iterációnál nem találtunk nullától eltérő egyet, akkor lépjen a következő oszlopra, és hajtson végre hasonló műveletet.
A második szakaszban az úgynevezett fordított mozgást hajtják végre, melynek lényege, hogy az összes kapott alapváltozót nem alapváltozókkal fejezzük ki, és egy alapvető megoldási rendszert hozzunk létre, vagy ha minden változó alapváltozó, majd numerikusan fejezzük ki a lineáris egyenletrendszer egyetlen megoldását. Ez az eljárás az utolsó egyenlettel kezdődik, amelyből a megfelelő alapváltozót kifejezzük (és ott csak egy van), és behelyettesítjük az előző egyenletekbe, és így tovább, felfelé haladva a „lépéseket”. Minden sor pontosan egy alapváltozónak felel meg, így minden lépésnél, az utolsó (legfelső) kivételével, a helyzet pontosan megismétli az utolsó sor esetét.
Vektorok. Alapfogalmak. Skaláris szorzat, tulajdonságai.
Vektor irányított szakasznak (rendezett pontpárnak) nevezzük. A vektorokra is vonatkozik. nulla vektor, amelynek kezdete és vége azonos.
Hossz (modul) vektor a vektor eleje és vége közötti távolság.
A vektorokat ún kollineáris ha azonos vagy párhuzamos vonalakon helyezkednek el. A nulla vektor kollineáris bármely vektorral.
A vektorokat ún egysíkú ha létezik olyan sík, amellyel párhuzamosak.
A kollineáris vektorok mindig koplanárisak, de nem minden koplanáris vektor kollineáris.
A vektorokat ún egyenlő ha kollineárisak, azonos irányúak és azonos az abszolút értékük.
Bármely vektor redukálható közös origóra, pl. az adatokkal megegyezően és közös origóval rendelkező vektorokat szerkeszteni. A vektoregyenlőség definíciójából az következik, hogy bármely vektornak végtelen sok vele egyenlő vektora van.
Lineáris műveletek vektorok feletti összeadást és számmal való szorzást nevezzük.
A vektorok összege a vektor - 
Munka - 
, miközben kollineáris.
A vektor egyirányú a vektorral ( ), ha a > 0.
A vektor ellentétes a ( ¯ ) vektorral, ha a< 0.
Vektor tulajdonságai.
1) + = + - kommutativitás.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – asszociativitás
6) (a + b) = a + b - disztributivitás
7) a( + ) = a + a
1) Alap a térben tetszőleges 3 nem egysíkú vektort nevezünk, meghatározott sorrendben.
2) Alap a síkon van bármely 2 nem kollineáris vektor meghatározott sorrendben.
3)Alap bármely nem nulla vektor meghívásra kerül a vonalon.
Ha 
bázis az és térben, akkor az a, b és g számokat hívjuk komponensek vagy koordináták vektorok ezen az alapon.
Ezzel kapcsolatban a következőket írhatjuk tulajdonságait:
egyenlő vektoroknak ugyanazok a koordinátái,
ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor az összetevőit is megszorozzuk ezzel a számmal,
ha vektorokat adunk hozzá, akkor a megfelelő komponenseik is hozzáadódnak.
; 
;
A vektorok lineáris függése.
Meghatározás.
Vektorok 
hívott lineárisan függő, ha van ilyen lineáris kombináció , ha egy i egyszerre nem egyenlő nullával, azaz. 
.
Ha csak akkor, ha a i = 0 teljesül, akkor a vektorokat lineárisan függetlennek nevezzük.
1. tulajdonság. Ha a vektorok között van nullvektor, akkor ezek a vektorok lineárisan függőek.
2. tulajdonság. Ha egy vagy több vektort hozzáadunk a lineárisan függő vektorok rendszeréhez, akkor a kapott rendszer is lineárisan függő lesz.
3. tulajdonság. Egy vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha az egyik vektort a többi vektor lineáris kombinációjára bontjuk.
4. tulajdonság. Bármely 2 kollineáris vektor lineárisan függő, és fordítva, bármely 2 lineárisan függő vektor kollineáris.
5. ingatlan. Bármely 3 koplanáris vektor lineárisan függő, és fordítva, bármely 3 lineárisan függő vektor egysíkú.
6. ingatlan. Bármely 4 vektor lineárisan függ.
Vektor hossza koordinátákban definíció szerint a vektor kezdő- és végpontja közötti távolság. Ha az A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) térben két pont adott, akkor .
Ha az M(x, y, z) pont osztja az AB szakaszt l / m arányban, akkor ennek a pontnak a koordinátái a következők:
Egy adott esetben a koordináták a szegmens közepeígy helyezkednek el:
x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.
Lineáris műveletek vektorokon koordinátákban.
Koordinátatengelyek forgatása
Alatt fordulat A koordinátatengelyek olyan koordináta-transzformációt értenek, amelyben mindkét tengelyt azonos szöggel forgatjuk el, miközben az origó és a lépték változatlanok maradnak.
Kapjunk egy új O 1 x 1 y 1 rendszert az Oxy rendszer α szöggel történő elforgatásával.
Legyen Μ a sík tetszőleges pontja, (x; y) - koordinátái a régi rendszerben és (x"; y") - az új rendszerben.
Bemutatunk két polárkoordináta-rendszert közös O pólusú és Ox és Οx 1 poláris tengellyel (a skála ugyanaz). Az r poláris sugár mindkét rendszerben azonos, és a poláris szögek rendre α + j és φ, ahol φ a poláris szög az új poláris rendszerben.
A poláris koordinátákról a derékszögű koordinátákra való átmenet képletei szerint megvan
De rcosj = x" és rsinφ = y". Így
Az így kapott képleteket ún tengelyforgatási képletek . Lehetővé teszik egy tetszőleges M pont régi koordinátáinak (x; y) meghatározását ugyanazon M pont új koordinátáiból (x"; y"), és fordítva.
Ha az új O 1 x 1 y 1 koordinátarendszert a koordinátatengelyek párhuzamos átvitelével és a tengelyek ezt követő α szöggel történő elforgatásával kapjuk meg a régi Oxy-ból (lásd a 30. ábrát), akkor egy segédrendszer bevezetésével ez könnyen megoldható. hogy megkapjuk a képleteket
egy tetszőleges pont régi x és y koordinátáit az új x" és y" koordinátáival kifejezve.
Ellipszis
Az ellipszis egy síkban lévő pontok halmaza, az egyes pontoktól való távolság összege
két megadott pontig állandó. Ezeket a pontokat gócoknak és
vannak kijelölve F1és F2, a köztük lévő távolság 2s,és az egyes pontoktól a távolságok összege
trükkök - 2a(feltétel szerint 2a>2c). Építünk egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy F1és F2 az x tengelyen voltak, és az origó egybeesett a szegmens közepével F1F2. Vezessük le az ellipszis egyenletét. Ehhez vegyünk egy tetszőleges pontot M(x, y) ellipszis. Definíció szerint: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).
|F1M|=(x+ c)2 + y 2 ; |F2M| = (x- c)2 + y 2
(x+ c)2 + y 2 + (x- c)2 + y 2 =2a(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x- c)2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(x- c)2 + y 2
a2-cx=a(x- c)2 + y 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
mivel 2a>2c(a háromszög két oldalának összege nagyobb, mint a harmadik oldala), akkor a2-c2>0.
Hadd a2-c2=b2
Az (a, 0), (−a, 0), (b, 0) és (−b, 0) koordinátájú pontokat az ellipszis csúcsainak nevezzük, az a érték az ellipszis fő féltengelye, és a b érték a kisebb féltengelye. Az F1(c, 0) és F2(−c, 0) pontokat fókuszoknak nevezzük
ellipszis, és az F1 fókuszt jobbra, az F2 fókuszt pedig balra. Ha az M pont az ellipszishez tartozik, akkor az |F1M| távolságok és |F2M| fókuszsugárnak nevezzük, és r1-el, illetve r2-vel jelöljük. Az e \u003d c / a értéket az ellipszis excentricitásának nevezzük. Egyenesek x =a/e egyenletekkel
és x = −a/e az ellipszis direktrixeinek nevezzük (e = 0 esetén az ellipszisnek nincs direktrixe).
A sík általános egyenlete
Tekintsünk egy elsőfokú általános egyenletet három x, y és z változóval:
Feltéve, hogy például az A, B vagy C együtthatók legalább egyike nem egyenlő nullával, a (12.4) egyenletet átírjuk a következő alakba.
