Képlet derékszög kiszámításához. Hogyan találhatom meg egy derékszögű háromszög oldalait? A geometria alapjai
Amelynek (a, b, c) oldalhossza ismert, használjuk a koszinusz tételt. Azt állítja, hogy a négyzet mindkét oldal hossza egyenlő az összeggel a másik kettő hosszának négyzete, amelyből ugyanazon két oldal hosszának kettős szorzatát kivontuk a köztük lévő szög koszinuszával. Ezzel a tétellel bármelyik csúcsnál kiszámolhatja a szöget, fontos, hogy csak az oldalakhoz viszonyított helyét ismerje. Például a b és c oldalak közötti α szög meghatározásához a tételt a következőképpen kell felírni: a² = b² + c² - 2 * b * c * cos (α).
Fejezd ki a kívánt szög koszinuszát a képletből: cos (α) = (b² + c²-a²) / (2 * b * c). Alkalmazza az inverz koszinusz függvényt az egyenlőség mindkét oldalára - inverz koszinusz. Lehetővé teszi a szög értékének visszaállítását fokban a koszinusz értékből: arccos (cos (α)) = arccos ((b² + c²-a²) / (2 * b * c)). A bal oldal egyszerűsíthető, és a b és c oldalak közötti szög kiszámítása a végső formát ölti: α = arccos ((b² + c²-a²) / 2 * b * c).
Egy derékszögű háromszög hegyesszögeinek értékének megtalálásához nem szükséges minden oldal hosszának ismerete, elég kettő. Ha ez a két oldal láb (a és b), ossza el a kívánt szöggel (α) szemközti oldal hosszát a másik hosszával. Ez megadja az érintő értéket kívánt szög tg (α) = a / b, és az inverz függvényt - az arktangenst az egyenlőség mindkét oldalára - és a bal oldalt egyszerűsítve, mint az előző lépésben, adja ki a végső képletet: α = arctan (a / b).
Ha az ismert oldalak az (a) láb és a (c) hipotenusz, akkor az ezen oldalak által alkotott szög (β) kiszámításához használja a koszinuszfüggvényt és annak inverzét, az inverz koszinuszát. A koszinusz a láb hosszának az alsó részhez viszonyított aránya határozza meg, és a végső képlet a következőképpen írható fel: β = arccos (a / c). Ugyanabból a kezdeti hegyesszögből (α) számítani, amely az ismert szárral szemben fekszik, használja ugyanazt az arányt, cserélje ki az inverz koszinuszot az arcszinuszra: α = arcsin (a / c).
Források:
- háromszög képlet 2 oldallal
2. tipp: Hogyan találjuk meg a háromszög sarkait az oldalak hossza alapján
Több lehetőség is van a háromszög összes szögének értékének megtalálására, ha három szögének a hossza ismert. a felek... Az egyik módszer két különböző területképlet használata háromszög... A számítások egyszerűsítése érdekében a szinusztételt és a szögösszegre vonatkozó tételt is alkalmazhatjuk háromszög.
Utasítás
Használjon például két területképletet háromszög, amelyek közül az egyik csak három jól ismert a felek s (Gerona), a másikban pedig kettő a felek s és a köztük lévő szög szinusza. Különböző párok használata a második képletben a felek, akkor képes lesz meghatározni az egyes szögek nagyságát háromszög.
Oldja meg a problémát Általános nézet... A Heron képlete határozza meg a területet háromszög, hogyan Négyzetgyök egy fél kerület szorzatából (az összes fele a felek) a félperiméter és mindegyike közötti különbségre a felek... Ha az összeggel helyettesítjük a felek, akkor a képlet a következőképpen írható fel: S = 0,25 ∗ √ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c) C egyéb a felek s területen háromszög a kettő szorzatának feleként fejezhető ki a felek a köztük lévő szög szinuszával. Például azért a felek a és b között γ szöggel ez a képlet a következőképpen írható fel: S = a ∗ b ∗ sin (γ). Cseréljük le az egyenlőség bal oldalát a Heron-képlettel: 0,25 ∗ √ (a + b + c) ∗ (b + c-a) ∗ (a + c-b) ∗ (a + b-c) = a ∗ b ∗ sin (γ). Ebből az egyenlőségből származtassa a képletet
A háromszög egy primitív sokszög, amelyet a síkon három pont és három, ezeket a pontokat páronként összekötő szakasz határol. A háromszög szögei élesek, tompaszögűek és egyenesek. A háromszög szögeinek összege folytonos és egyenlő 180 fokkal.
Szükséged lesz
- Geometriai és trigonometriai alapismeretek.
Utasítás
1. Jelöljük az a = 2, b = 3, c = 4 háromszög oldalainak hosszát és u, v, w szögeit, amelyek mindegyike éppen ellenkezőleg az egyik oldalon fekszik. A koszinusztétel szerint egy háromszög oldalának hosszának négyzete egyenlő a másik 2 oldal hosszának négyzeteinek összegével, mínusz ezen oldalak kettős szorzata a köztük lévő szög koszinuszával. Vagyis a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc * cos (u). Helyettesítsük be ebben a kifejezésben az oldalak hosszát, és kapjuk: 4 = 9 + 16 - 24cos (u).
2. Fejezzük ki a kapott cos (u) egyenlőségből. A következőt kapjuk: cos (u) = 7/8. Ezután megtaláljuk a tényleges u szöget. Ehhez számítsa ki az arccost (7/8). Vagyis az u szög = arccos (7/8).
3. Hasonlóképpen a többi oldalt a többiekkel kifejezve megtaláljuk a fennmaradó szögeket.
Jegyzet!
Egy szög értéke nem haladhatja meg a 180 fokot. Az arccos () jel nem tartalmazhat 1-nél nagyobb és -1-nél kisebb számot.
Hasznos tanács
Mindhárom szög megtalálásához nem szükséges mindhárom oldalt kifejezni, csak 2 szöget találhatunk, a harmadikat pedig úgy kaphatjuk meg, hogy a maradék 2 értékét 180 fokból kivonjuk. Ez abból a tényből következik, hogy a háromszög összes szögének összege folytonos érték, és egyenlő 180 fokkal.
Az életben sokszor meg kell küzdenünk matematikai problémákkal: az iskolában, az egyetemen, majd segítünk a gyerekünknek a házi feladatban. Bizonyos szakmákban az emberek napi szinten találkoznak a matematikával. Ezért hasznos megjegyezni vagy felidézni a matematikai szabályokat. Ebben a cikkben ezek egyikét elemezzük: a láb megtalálását derékszögű háromszög.
Mi az a derékszögű háromszög
Kezdésként emlékezzünk arra, hogy mi az a derékszögű háromszög. Egy derékszögű háromszög az geometriai alakzat három olyan szakaszból áll, amelyek olyan pontokat kötnek össze, amelyek nem egy egyenesen fekszenek, és ennek az ábrának az egyik sarka 90 fokos. A derékszöget bezáró oldalakat lábnak, a szemközti oldalt pedig lábnak nevezzük derékszög- a hipotenusz.
Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát
Számos módja van a láb hosszának meghatározására. Ezeket szeretném részletesebben megvizsgálni.
Pitagorasz-tétel egy derékszögű háromszög lábának megtalálására
Ha ismerjük a hipotenuszt és a lábszárat, akkor a Pitagorasz-tétel segítségével megtudhatjuk az ismeretlen láb hosszát. Így hangzik: "A hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével." Képlet: c² = a² + b², ahol c a hypotenus, a és b a lábak. Átalakítjuk a képletet, és megkapjuk: a² = c²-b².
Példa. A befogó 5 cm, a láb 3 cm Átalakítjuk a képletet: c² = a² + b² → a² = c²-b². Ezután eldöntjük: a² = 5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a = √16; a = 4 (cm).
Trigonometrikus arányok a derékszögű háromszög lábának meghatározásához
Ismeretlen lábat is találhat, ha van másik oldala és bármilyen éles sarok derékszögű háromszög. Négy lehetőség van a láb megtalálására trigonometrikus függvények: szinusz, koszinusz, érintő, kotangens. A problémák megoldásában az alábbi táblázat segít nekünk. Tekintsük ezeket a lehetőségeket.
Határozzuk meg egy derékszögű háromszög lábát szinusz segítségével
A szög szinusza (sin) a szemközti láb és a hipotenusz aránya. Képlet: sin = a / c, ahol a az adott szöggel szemközti szár, c pedig a befogó. Ezután átalakítjuk a képletet, és megkapjuk: a = sin * c.
Példa. A hipotenusz 10 cm, az A szög 30 fok. A táblázat szerint kiszámítjuk az A szög szinuszát, ez egyenlő 1/2-vel. Ezután a transzformált képlet segítségével megoldjuk: a = sin∠А * c; a = 1/2*10; a = 5 (cm).
Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát a koszinusz segítségével!
A szög koszinusza (cos) a szomszédos láb és az alsó rész aránya. Képlet: cos = b / c, ahol b az adott szöggel szomszédos szár, c pedig a befogó. Alakítsuk át a képletet, és kapjuk: b = cos * c.
Példa. Az A szög 60 fok, a befogó 10 cm. A táblázat szerint kiszámítjuk az A szög koszinuszát, ez 1/2. Ezután eldöntjük: b = cos∠A * c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).
Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát az érintő segítségével!
A szög érintője (tg) az ellenkező láb és a szomszédos szár aránya. Képlet: tg = a / b, ahol a a sarokkal szemközti láb, b pedig a szomszédos láb. Átalakítjuk a képletet, és megkapjuk: a = tg * b.
Példa. Az A szög egyenlő 45 fokkal, az alsó szög egyenlő 10 cm. A táblázat szerint kiszámítjuk az A szög érintőjét, ez egyenlő a Megoldás: a = tg∠A * b; a = 1*10; a = 10 (cm).
Keresse meg egy derékszögű háromszög lábát a kotangens segítségével!
A szög kotangense (ctg) a szomszédos láb és a szemközti szár aránya. Képlet: ctg = b / a, ahol b a sarokkal szomszédos láb, a az ellentétes láb. Más szavakkal, a kotangens egy „fordított érintő”. A következőt kapjuk: b = ctg * a.
Példa. Az A szög 30 fok, a szemközti szár 5 cm. A táblázat szerint az A szög érintője √3. Számítsuk ki: b = ctg∠A * a; b = √3 * 5; b = 5√3 (cm).
Tehát most már tudja, hogyan kereshet egy lábat egy derékszögű háromszögben. Amint látja, ez nem olyan nehéz, a lényeg az, hogy emlékezzen a képletekre.
A geometriában gyakran vannak problémák a háromszögek oldalaival kapcsolatban. Például gyakran meg kell találni egy háromszög oldalát, ha a másik kettő ismert.
A háromszögek egyenlő szárúak, egyenlő oldalúak és nem oldalúak. Az összes változat közül az első példában egy téglalap alakút választunk (egy ilyen háromszögben az egyik szög 90 °, a vele szomszédos oldalakat lábaknak, a harmadikat hipotenusznak nevezzük).
Gyors navigáció a cikkben
Egy derékszögű háromszög oldalainak hossza
A probléma megoldása a nagy matematikus, Pythagoras tételéből következik. Azt mondja, hogy egy derékszögű háromszög szárainak négyzetösszege megegyezik a befogójának négyzetével: a² + b² = c²
- Határozzuk meg az a lábhossz négyzetét;
- Keresse meg a b láb négyzetét;
- Összeadjuk őket;
- A kapott eredményből kivonjuk a másodfokú gyökeret.
Példa: a = 4, b = 3, c =?
- a² = 4² = 16;
- b² = 3² = 9;
- 16+9=25;
- √25 = 5. Vagyis ennek a háromszögnek a befogójának hossza 5.
Ha a háromszögnek nincs derékszöge, akkor a két oldal hossza nem elegendő. Ehhez egy harmadik paraméterre van szükség: ez lehet a szög, a háromszög területének magassága, a beleírt kör sugara stb.
Ha ismert a kerülete
Ebben az esetben a feladat még könnyebb. A kerület (P) a háromszög összes oldalának összege: P = a + b + c. Így dönt egy egyszerű Matematikai egyenlet megkapjuk az eredményt.
Példa: P = 18, a = 7, b = 6, c =?
1) Oldja meg az egyenletet úgy, hogy az összes ismert paramétert az egyenlőségjel egyik oldalára viszi át:
2) Helyettesítse az értékeket, és számítsa ki a harmadik oldalt:
c = 18-7-6 = 5, összesen: a háromszög harmadik oldala 5.
Ha ismert a szög
A háromszög harmadik oldalának a szög és két másik oldal alapján történő kiszámításához a megoldást a trigonometrikus egyenlet kiszámítására redukáljuk. A háromszög oldalai és a szög szinusza közötti kapcsolat ismeretében könnyen kiszámítható a harmadik oldal. Ehhez mindkét oldalt négyzetre kell vágnia, és össze kell adnia az eredményeket. Ezután vonjuk le az oldalak kapott szorzatából, megszorozva a szög koszinuszával: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)
Ha ismert a terület
Ebben az esetben egy képlet nem elég.
1) Először kiszámítjuk a sin γ-t, kifejezve azt a háromszög területére vonatkozó képletből:
sin γ = 2S / (a * b)
2) A következő képlet segítségével kiszámítjuk az azonos szög koszinuszát:
sin² α + cos² α = 1
cos α = √ (1 - sin² α) = √ (1- (2S / (a * b)) ²)
3) És ismét a szinuszok tételét használjuk:
C = √ ((a² + b²) -a * b * cosα)
C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a * b)) ²))
A változók értékeit behelyettesítve ebben az egyenletben megkapjuk a választ a problémára.
Online számológép.
Háromszögek megoldása.
A háromszög megoldása az, hogy megtaláljuk mind a hat elemét (azaz három oldalát és három szögét) bármely három adott háromszöget meghatározó elem segítségével.
Ez a matematikai program megtalálja a \ (c \) oldalt, a \ (\ alfa \) és \ (\ béta \) szögeket a felhasználó által megadott oldalak mentén \ (a, b \), valamint a köztük lévő szöget \ (\ gamma \)
A program nem csak választ ad a problémára, hanem megjeleníti a megoldás keresésének folyamatát is.
Ez az online számológép hasznos lehet középiskolás diákok számára a felkészülés során vezérlés működikés vizsgák, amikor a tudás ellenőrzése előtt a vizsga, a szülők, hogy ellenőrizzék a megoldást számos probléma matematika és algebra. Vagy talán túl drága önnek oktatót felvenni vagy új tankönyveket vásárolni? Vagy csak a lehető leggyorsabban szeretné megtenni házi feladat matematikában vagy algebrában? Ebben az esetben részletes megoldással is használhatja programjainkat.
Így Ön saját maga és/vagy fiatalabb testvérei tanítását tudja lefolytatni, miközben a megoldandó problémák területén az iskolai végzettség növekszik.
Ha nem ismeri a számok bevitelére vonatkozó szabályokat, javasoljuk, hogy ismerkedjen meg velük.
Számbeviteli szabályok
A számok nem csak egészben, hanem töredékben is beállíthatók.
A tizedes tört egész és tört részek ponttal vagy vesszővel választhatók el egymástól.
Például beléphet tizedesjegyek szóval 2,5 vagy 2,5
Azt találtuk, hogy egyes, a probléma megoldásához szükséges szkriptek nem lettek betöltve, és előfordulhat, hogy a program nem működik.
Lehet, hogy az AdBlock engedélyezve van.
Ebben az esetben kapcsolja ki, és frissítse az oldalt.
A megoldás megjelenítéséhez engedélyeznie kell a JavaScriptet.
Íme a JavaScript engedélyezése a böngészőben.
Mivel Sokan vannak, akik szeretnék megoldani a problémát, a kérése sorban áll.
Néhány másodperc múlva az alábbiakban megjelenik a megoldás.
Kérlek várj mp...
Ha te hibát észlelt a döntésben, akkor erről írhatsz a Visszajelzési űrlapon.
Ne felejtsd el jelezze, melyik feladatot te döntöd el és mit írja be a mezőkbe.
Játékaink, rejtvényeink, emulátoraink:
Egy kis elmélet.
Szinusztétel
Tétel
A háromszög oldalai arányosak a szemközti szögek szinuszaival:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$
Koszinusz tétel
Tétel
Legyen az ABC háromszögben AB = c, BC = a, CA = b. Azután
A háromszög oldalának négyzete a másik két oldal négyzeteinek összege, mínusz ezen oldalak szorzata és a köztük lévő szög koszinusza.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$
Háromszögek megoldása
A háromszög megoldása az, hogy megtaláljuk mind a hat elemét (azaz három oldalát és három szögét) bármely három adott háromszöget meghatározó elem segítségével.
Tekintsünk három feladatot egy háromszög megoldására. Ebben az esetben az ABC háromszög oldalaira a következő jelölést fogjuk használni: AB = c, BC = a, CA = b.
Egy háromszög két oldalán és a köztük lévő szög megoldása
Adott: \ (a, b, \ szög C \). Keresse meg \ (c, \ szög A, \ szög B \)
Megoldás
1. A koszinusztétel alapján azt kapjuk, hogy \ (c \):
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
3. \ (\ B szög = 180 ^ \ kör - \ A szög - \ C szög \)
Háromszög megoldása oldal és szomszédos sarkok szerint
Adott: \ (a, \ szög B, \ szög C \). Keresse meg \ (\ szög A, b, c \)
Megoldás
1. \ (\ A szög = 180 ^ \ kör - \ B szög - \ C szög \)
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
Háromszög megoldása három oldalról
Adott: \ (a, b, c \). Keresse meg \ (\ szög A, \ szög B, \ szög C \)
Megoldás
1. A koszinusz tétellel kapjuk:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
2. Hasonlóképpen megtaláljuk a B szöget.
3. \ (\ C szög = 180 ^ \ kör - \ A szög - \ B szög \)
Kétoldali háromszög és egy ismert oldallal szemközti szög megoldása
Adott: \ (a, b, \ szög A \). Keresse meg \ (c, \ szög B, \ szög C \)
Megoldás
1. A szinusztétellel azt kapjuk, hogy \ (\ sin B \) kapjuk:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ jobbra \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$
Vezessük be a jelölést: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). A D számtól függően a következő esetek lehetségesek:
Ha D> 1, akkor ilyen háromszög nem létezik, mert \ (\ sin B \) nem lehet nagyobb 1-nél
Ha D = 1, akkor csak egy \ (\ szög B: \ quad \ sin B = 1 \ jobbra nyíl \ szög B = 90 ^ \ kör \)
Ha D Ha D 2. \ (\ C szög = 180 ^ \ kör - \ A szög - \ B szög \)
3. A szinusztétel segítségével számítsuk ki a c oldalt:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
