A rúd peremfeltételeinek hosszirányú rezgései. A tudomány és az oktatás modern problémái

MEGHATÁROZÁS

Hosszanti hullám Olyan hullám, amelynek terjedése során a közeg részecskéi a hullámterjedés irányába elmozdulnak (1. ábra, a).

A longitudinális hullám oka a kompresszió/kiterjesztés, pl. a közeg ellenállása térfogatának változásával szemben. Folyadékokban vagy gázokban az ilyen deformáció a közeg részecskéinek ritkulásával vagy tömörödésével jár együtt. A longitudinális hullámok bármilyen közegben terjedhetnek - szilárd, folyékony és gáznemű közegben.

A longitudinális hullámok például a rugalmas rudak hullámai vagy a hanghullámok gázokban.

Keresztirányú hullámok

MEGHATÁROZÁS

Keresztirányú hullám Olyan hullám, amelynek terjedése során a közeg részecskéi a hullám terjedésére merőleges irányban elmozdulnak (1. ábra, b).

A keresztirányú hullám oka a közeg egyik rétegének a másikhoz viszonyított nyírási deformációja. Amikor nyíróhullám terjed a közegben, gerincek és vályúk keletkeznek. A folyadékok és gázok, a szilárd anyagokkal ellentétben, nem rendelkeznek rugalmassággal a nyírórétegekkel szemben, pl. ne álljon ellen az alakváltozásnak. Ezért a nyíróhullámok csak szilárd testekben terjedhetnek.

A nyíróhullámok példái a szoros kötélen vagy zsinórban haladó hullámok.

A folyadék felszínén a hullámok nem hosszirányúak és nem keresztirányúak. Ha feldobunk egy úszót a víz felszínére, láthatjuk, hogy körkörösen mozog, ringatózva a hullámokon. Így a folyadék felszínén lévő hullámnak keresztirányú és hosszanti komponensei is vannak. Egy folyadék felszínén is megjelenhetnek speciális típusú hullámok - az ún felszíni hullámok... A felületi feszültség hatásának és erejének eredményeként keletkeznek.

Példák problémamegoldásra

1. PÉLDA

Gyakorlat

Határozza meg a nyíróhullám terjedésének irányát, ha az úszó egy adott időpontban az ábrán jelzett sebességű irányt mutat!

Megoldás

Készítsünk rajzot. Rajzoljuk meg a hullám felszínét az úszó közelében egy bizonyos idő elteltével, figyelembe véve, hogy ezalatt az úszó lefelé haladt, mivel az adott pillanatban lefelé irányult. Folytatva a sort jobbra és balra, megmutatjuk a hullám pillanatnyi helyzetét. Ha összehasonlítjuk a hullám helyzetét a kezdeti időpillanatban (folytonos vonal) és az időpillanatban (szaggatott vonal), arra a következtetésre jutunk, hogy a hullám balra terjed.

> Hosszanti hullámok

Tanulmányozás terjedése, iránya és sebessége hosszanti hullám: milyen hullámok longitudinálisak, hogyan terjednek, példák és ingadozások, hogyan keletkeznek, grafikon.

Néha a longitudinális hullámokat kompressziós hullámoknak nevezik. Ingadozzon a terjedés irányában.

Tanulási kihívás

• Határozza meg a longitudinális hullámtípus tulajdonságait és példáit!

Főbb pontok

• A longitudinális hullámok oszcillációi a terjedés irányában történnek, de túl kicsik és egyensúlyi helyzetűek, ezért nem tolják el a tömeget.
• Ez a típus impulzusoknak tekinthető, amelyek energiát szállítanak a terjedési tengely mentén.
• Ezek nyomáshullámokként is érzékelhetők, jellegzetes tömörítéssel és ritkítással.

Feltételek

• Vákuum - az anyag sűrűségének csökkenése (elsősorban folyadék esetében).
• Hosszanti - a tengely hosszának irányában.
• A tömörítés a sűrűség növekedését jelenti.

Példa

Mik a longitudinális hullámok? A hanghullám a legjobb példa. Befogadja a levegő összenyomásából származó impulzusokat.

Hosszanti hullámok

A rezgés irányában a longitudinális hullámok egybeesnek a mozgás irányával. Vagyis a közeg mozgása ugyanazon az oldalon helyezkedik el, mint a hullámmozgás. Néhány longitudinális hullámot kompressziósnak is neveznek. Ha kísérletet szeretne végezni, csak vásároljon egy Slinky játékot (rugós), és tartsa mindkét végén. A kompresszió és az ellazulás pillanatában az impulzus a végére halad.

A Compressed Slinky egy példa a longitudinális hullámra. Ugyanabban az irányban halad, mint a rezgések

A hosszanti (és a keresztirányú) nem tolja el a tömeget. A különbség az, hogy a közegben lévő részecskék, amelyeken keresztül a longitudinális hullám terjed, a terjedési tengely mentén oszcillálnak. Ha visszaemlékezünk a Slinkyre, akkor a tekercsek pontokon oszcillálnak, de nem mozognak a rugó hosszában. Ne felejtsük el, hogy nem tömeget szállítanak ide, hanem energiát impulzus formájában.

Egyes esetekben az ilyen hullámok nyomáshullámként működnek. A hang egy szembetűnő példa. A közeg (leggyakrabban levegő) összenyomásakor keletkeznek. Longitudinális hanghullámok - a nyomáseltérés váltakozása a kiegyensúlyozott nyomástól, ami helyi kompressziós és depressziós területekhez vezet.

A közegben lévő anyagot egy hanghullám időnként kiszorítja és oszcillál. A hang előállításához a levegő részecskéit egy bizonyos mértékig össze kell tömöríteni. Így keletkeznek nyíróhullámok. A fülek érzékenyen reagálnak a különböző nyomásokra, és a hullámokat hangokká alakítják.

Elosztott paraméterekkel rendelkező rendszerek szabad rezgései

A végtelen számú szabadságfokkal rendelkező rendszerek szabad rezgésének folyamatának fő jellemzője a természetes frekvenciák és rezgésmódok számának végtelenségében fejeződik ki. Ehhez matematikai jellegű jellemzők is társulnak: a véges számú szabadságfokú rendszerek rezgéseit leíró közönséges differenciálegyenletek helyett itt parciális differenciálegyenletekkel kell számolnunk. A kezdeti elmozdulásokat és sebességeket meghatározó kezdeti feltételek mellett figyelembe kell venni azokat a peremfeltételeket, amelyek a rendszer rögzítését jellemzik.

6.1. A rudak hosszirányú rezgései

Egy egyenes vonalú rúd hosszirányú rezgéseinek elemzésekor (67. ábra, a) abból indulunk ki, hogy a keresztmetszetek laposak maradnak, és a rúd részecskéi nem végeznek keresztirányú mozgásokat, hanem csak hosszirányban mozognak.

Legyen u - a rúd aktuális szakaszának hosszirányú elmozdulása rezgések során; ez az elmozdulás a szakasz helyétől (x koordináták) és a t időtől függ. Így két változó függvénye van; meghatározása a fő feladat. Egy végtelenül közeli szakasz elmozdulása egyenlő, ezért egy végtelenül kicsi elem abszolút nyúlása egyenlő (67. ábra, b), és relatív nyúlása.

Ennek megfelelően a hosszirányú erő a szakaszban a koordinátával NSígy írható

,(173)

hol van a rúd merevsége feszültségben (kompresszióban). Az N erő két argumentum – koordináták – függvénye is NSés idő t.

Vegyünk egy rúdelemet, amely két végtelenül közeli szakasz között helyezkedik el (67. ábra, c). Az elem bal oldalára N erő, jobbra pedig egy erő hat. Ha a rúd anyagának sűrűségén keresztül jelöljük, akkor a kérdéses elem tömege az. Ezért a tengelyre vetített mozgásegyenlet NS

,

Figyelembe véve (173) és figyelembe véve A= const, kapjuk

A Fourier-módszert követve a (175) differenciálegyenlet sajátos megoldását keressük a formában

,(177)

azok. tegyük fel, hogy mozog u két függvény szorzataként ábrázolható, amelyek közül az egyik csak az argumentumtól függ NS, a másik pedig csak a t érvből. Ekkor ahelyett, hogy két u (x, t) változó függvényét definiálnánk, két X (x) és T (t) függvényt kell meghatározni, amelyek mindegyike csak egy változótól függ.

A (177)-et (174) behelyettesítve kapjuk

ahol a kötőjelek a differenciálás műveletét jelölik x, és pontok – végig t... Írjuk át ezt az egyenletet a következőképpen:

Itt a bal oldal csak x-től, a jobb oldal pedig csak t-től függ. Ennek az egyenlőségnek az azonos teljesítéséhez (bármilyen xés t) szükséges, hogy minden része egyenlő legyen egy állandóval, amelyet a következőkkel jelölünk:

; .(178)

Ez két egyenletet eredményez:

;.(179)

Az első egyenletnek van megoldása:

,(180)

oszcillációs jelleget jelezve, és a (180)-ból látható, hogy az ismeretlen mennyiségnek a szabad rezgések frekvenciájának jelentése van.

A (179) egyenlet második egyenletének van megoldása:

,(181)

a rezgésmód meghatározása.

A mennyiséget meghatározó gyakorisági egyenlet peremfeltételek felhasználásával készül. Ez az egyenlet mindig transzcendentális, és végtelen számú gyökere van. Így a sajátfrekvenciák száma végtelen, és minden frekvenciaérték megfelel a saját T n (t) függvényének, amelyet a függőség határoz meg (180), valamint a saját Xn (x) függvényét, amelyet a (181) függőség határoz meg. A (177) megoldás csak részleges, és nem ad teljes leírást a mozgásról. A teljes megoldást az összes konkrét megoldás egymásra helyezésével kapjuk meg:

.

Az X n (x) függvényeket meghívjuk saját funkciókat feladatokat, és írja le a természetes rezgésmódokat. Nem függenek a kezdeti feltételektől, és teljesítik az ortogonalitási feltételt, aminek A = const alakja van

, ha .

Tekintsük a peremfeltételek néhány változatát.

Horgonyzott rúdvég(68. ábra, a). A végszakaszban az u elmozdulásnak nullának kell lennie; honnan következik, hogy ebben a részben

X = 0 (182)

Szabad botvég(68. ábra, b). A végszakaszban a hosszirányú erő

(183)

egyenlőnek kell lennie nullával, ami akkor lehetséges, ha a végszakaszban X "= 0.

Rugalmasan rögzítve rúdvég(68. c. ábra).

Mozgáskor u végrúd, a támasz rugalmas reakciója lép fel , ahol C about a támasz merevsége. A (183) hosszirányú erőt figyelembe véve megkapjuk a peremfeltételt

ha a támasz a rúd bal végén található (68. ábra, c), és

ha a támasz a rúd jobb végén található (68. ábra, d).

Csomós massza a rúd végén.

A tömeg által kifejtett tehetetlenségi erő:

.

Mivel a (179) egyenletek közül az első szerint a tehetetlenségi erő a formába írható. Megkapjuk a peremfeltételt

,

ha a tömeg a bal végén van (68. ábra, d), és

, (184)

ha a tömeg a jobb végéhez kapcsolódik (68. ábra, e).

Határozzuk meg a konzolrúd sajátfrekvenciáit (68. ábra, a ").

(182) és (183) szerint a peremfeltételek

X = 0, x = 0;

X "= 0 ehhez x =.

Ezeket a feltételeket a (181) megoldással helyettesítve kapjuk

A C0 feltétel a frekvenciaegyenlethez vezet:

Ennek az egyenletnek a gyökerei

(n = 1,2, ...)

határozza meg a természetes frekvenciákat:

(n = 1,2, ...). (185)

Első (legalacsonyabb) frekvencia n = 1-nél:

.

Második frekvencia (n = 2 esetén):

Határozzuk meg egy olyan rúd sajátfrekvenciáit, amelynek végén tömeg van (68. ábra, f).

(182) és (184) szerint van

X = 0, x = 0;

x =-nél.

Ha ezeket a feltételeket behelyettesítjük a (181) megoldásba, a következőt kapjuk:

D = 0; .

Következésképpen, ha a (176)-t figyelembe vesszük, a frekvenciaegyenlet alakja van

.

Itt a jobb oldal a rúd tömegének a végsúly tömegéhez viszonyított aránya.

A kapott transzcendentális egyenlet megoldásához valamilyen közelítő módszert kell alkalmazni.

A és a legfontosabb alsó gyökér értéke 0,32 és 0,65 lesz.

Kis arány mellett a terhelésnek döntő befolyása van, és közelítő megoldással jó eredményeket adunk

.

Változó keresztmetszetű rudaknál, pl. Аconst-nál a (173) és (174)-ből a mozgásegyenletet a következő formában kapjuk meg

.

Ez a differenciálegyenlet nem oldható meg zárt formában. Ezért ilyen esetekben közelítő módszerekhez kell folyamodni a sajátfrekvenciák meghatározásához.

6.2. Tengelyek torziós rezgései

A folytonosan elosztott tömegű tengely torziós rezgéseit (69. ábra, a) olyan egyenletek írják le, amelyek szerkezetükben teljesen egybeesnek a rudak hosszirányú rezgéseinek fenti egyenleteivel.

MV nyomaték az abszcissza szakaszban NS a (173)-hoz hasonló differenciálfüggéssel kapcsolódik a forgásszöghez:

ahol J p-a keresztmetszet poláris tehetetlenségi nyomatéka.

Egy távolabbi szakaszon dx, a nyomaték (69. ábra, b):

A tengely tömegének a tengelyéhez viszonyított tehetetlenségi nyomatékának intenzitását (azaz egy hosszegység tehetetlenségi nyomatékát) jelölve (ahol a tengely anyagának sűrűsége) egy elemi tengelyszakasz mozgásegyenlete. a következőképpen írható:

,

vagy tetszik (174):

.

Helyettesítve itt kifejezés (186), for Jp= const a (175)-hez hasonlóan megkapjuk:

, (187)

A (187) egyenlet általános megoldása a (175) egyenlethez hasonlóan alakja

,

(188)

Ebben az esetben a természetes frekvenciákat és a természetes függvényeket meghatározott peremfeltételek határozzák meg.

A végek rögzítésének fő eseteiben, hasonlóan a hosszanti rezgésekhez, azt kapjuk

a) rögzített vég (= 0): X = 0;

b) szabad vég (M = 0): X" = 0;

v) rugalmasan lehorgonyzott bal vége: CoX = GJpX "(együttmerevségi tényező);

G) rugalmasan lehorgonyzott jobb vége: -CoX = GJpX ";

e) lemez a bal oldalon: (Jo a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a rúd tengelyéhez képest);

f) lemez a jobb oldalon: .

Ha a tengely a bal végén rögzített (x = 0), és a jobb vége (x =) szabad, akkor X = 0 x = 0-nál és X = 0 x =-nél; a sajátfrekvenciákat is hasonlóan határozzuk meg (185 ):

(n = 1,2, ...).

Ha a bal vége rögzített, és a jobb oldalon van egy lemez, akkor a transzcendentális egyenletet kapjuk:

.

Ha a tengely mindkét vége rögzített, akkor a peremfeltételek X = 0 x = 0 és x = esetén. Ebben az esetben a (188)-ból kapjuk

azok.

(n = 1,2, ...),

innen találjuk a természetes frekvenciákat:

Ha a tengely bal vége szabad, és a jobb oldalon van egy tárcsa, akkor X "= 0 x = 0-nál; Jo X = GJpX" x =-nél.

A (188) segítségével azt találjuk

C=0; ,

vagy transzcendentális frekvencia egyenlet:

.

6.3 A gerendák hajlítási rezgései

6.3.1 Az alapegyenlet

A gerendák hajlítása során kialakuló differenciális függőségek az anyagok ellenállásának lefolyásából ismertek:

ahol EJ a hajlítási merevség; y = y (x, t) - eltérítés; M = M (x, t) - hajlítónyomaték; q az elosztott terhelés intenzitása.

(189) és (190) összevonásával kapjuk

.(191)

A szabad rezgések problémájában a rugalmas váz terhelése az elosztott tehetetlenségi erők:

ahol m a nyaláb tömegének intenzitása (tömeg egységnyi hosszonként), és a (191) egyenlet felveszi a formáját

.

Az állandó keresztmetszet speciális esetben, amikor EJ = const, m = const, a következőt kapjuk:

.(192)

A (192) egyenlet megoldásához a fentiek szerint feltesszük:

y= X ( x)× T ( t) (193)

A (193)-at (192) behelyettesítve a következő egyenlethez jutunk:

.

Ennek az egyenlőségnek az azonos teljesüléséhez szükséges, hogy az egyenlőség minden része állandó legyen. Ezt az állandót jelölve két egyenletet kapunk:

.(195)

Az első egyenlet azt jelzi, hogy a mozgás frekvenciával oszcilláló.

A második egyenlet határozza meg a rezgésmódot. A (195) egyenlet megoldása négy állandót tartalmaz, és a következő alakja van

Kényelmes az A. N. Krylov által javasolt általános megoldás írási változata:

(198)

A. N. Krylov funkcióit képviselik.

Vegye figyelembe, hogy S = 1, T = U = V = 0 x = 0 esetén. Az S, T, U, V függvények a következőképpen kapcsolódnak egymáshoz:

Ezért a kifejezés származékait (197) a formában írjuk

(200)

A vizsgált osztály problémáiban a sajátfrekvenciák száma végtelenül nagy; mindegyiknek megvan a maga T n időfüggvénye és saját X n alapfüggvénye. Az általános megoldást a (193) alakú egyedi megoldások egymásra helyezésével kapjuk meg.

.(201)

A természetes frekvenciák és képletek meghatározásához figyelembe kell venni a peremfeltételeket.

6.3.2. Határviszonyok

A sáv mindkét végéhez két peremfeltételt adhat meg .

Szabad botvég(70. ábra, a). A Q = EJX "" "T" nyíróerő és az M = EJX" "T hajlítónyomaték nulla. Ezért a peremfeltételek alakja

X "" = 0; X "" "= 0. (202)

Csuklós rúdvég(70. ábra, b). Az elhajlás y = XT és a hajlítónyomaték M = EJX "" T egyenlő nullával. Ezért a peremfeltételek a következők:

X = 0; X "" = 0. (203)

Becsípett vég(70. ábra c). Az y = XT elhajlás és a forgásszög egyenlő nullával. Határfeltételek:

X = 0; X "= 0. (204)

A rúd végén a tömegnek egy pontsúlya van(70. ábra, d). A tehetetlenségi ereje a (194) egyenlettel a következőképpen írható fel:; egyenlőnek kell lennie a Q = EJX "" "T nyíróerővel, ezért a peremfeltételek a következő alakot veszik fel

; X "" = 0. (205)

Az első feltételben a pluszjelet akkor veszi fel, ha a pontterhelés a sáv bal végéhez, a mínuszjelet pedig, ha a sáv jobb végéhez társítja. A második feltétel a hajlítónyomaték hiányából következik.

Rugalmasan alátámasztott rúdvég(70. ábra, d). Itt a hajlítónyomaték nulla, a nyíróerő Q = EJX "" "T egyenlő a támasz reakciójával (C o a támasz merevségi együtthatója).

Határfeltételek:

X "" = 0; (206)

(a mínusz jelet akkor vesszük, ha a rugalmas támasz balra van, és a pluszjelet, ha jobb).

6.3.3. Frekvenciaegyenlet és sajátformák

A peremfeltételek kiterjesztett jelölése homogén egyenletekhez vezet a C 1, C 2, C 3, C 4 állandókra.

Annak érdekében, hogy ezek az állandók ne legyenek egyenlők nullával, a rendszer együtthatóiból álló determinánsnak nullának kell lennie; ez egy frekvenciaegyenlethez vezet. Ezekben a műveletekben a C 1, C 2, C 3, C 4 közötti kapcsolatok tisztázódnak, azaz. természetes rezgésmódokat határoznak meg (állandó tényezőig).

Kövessük példákon keresztül a gyakorisági egyenletek felállítását.

Egy csuklósan alátámasztott végű gerendához a (203) szerint a következő peremfeltételek vannak: X = 0; X "" = 0 x = 0 és x = esetén. (197) - (200) felhasználásával az első két feltételből kapjuk: C 1 = C 3 = 0. A fennmaradó két feltételt így írhatjuk fel

Ahhoz, hogy C 2 és C 4 ne legyen nulla, a determinánsnak nullának kell lennie:

.

Így a frekvenciaegyenletnek megvan a formája

.

A T és U kifejezéseket behelyettesítve kapjuk

Ekkor a végső frekvenciaegyenlet a következőképpen van felírva:

. (207)

Ennek az egyenletnek a gyökerei a következők:

, (n = 1,2,3, ...).

Ha figyelembe vesszük (196), azt kapjuk

.(208)

Térjünk át saját formáink meghatározására. A fent leírt homogén egyenletek a következő összefüggést jelentik a C 2 és C 4 állandók között:

.

Következésképpen a (197) felveszi a formát

(207) szerint van

,(209)

ahol egy új állandó, amelynek értéke definiálatlan marad mindaddig, amíg a kezdeti feltételeket figyelembe nem veszik.

6.3.4. A mozgás meghatározása kezdeti feltételekkel

Ha meg kell határozni a kezdeti zavarást követő mozgást, akkor a nyaláb minden pontjára meg kell adni mind a kezdeti elmozdulásokat, mind a kezdeti sebességeket:

(210)

és használja a megfelelő formák ortogonalitás tulajdonságát:

.

Az általános megoldást (201) a következőképpen írjuk:

.(211)

A sebességet a kifejezés határozza meg

.(212)

A (211) és (212) egyenlet jobb oldalán, a bal oldalon pedig a feltételezett ismert kezdeti elmozdulásokat és sebességeket behelyettesítve megkapjuk.

.

Ezeket a kifejezéseket megszorozzuk és a teljes hosszon integráljuk

(213)

A jobb oldali végtelen összegek az ortogonalitás tulajdonsága miatt eltűntek. A (213) képletekből az állandók és

(214)

Most ezeket az eredményeket a (211) oldattal kell helyettesíteni.

Ismételten hangsúlyozzuk, hogy a saját formák léptékének megválasztása jelentéktelen. Ha például saját alakjának (209) kifejezésében egy szor nagyobb értéket veszünk helyette, akkor a (214) szor kisebb eredményeket ad; a (211) oldatban való helyettesítés után ezek a különbségek kioltják egymást. Ennek ellenére gyakran használnak normalizált sajátfüggvényeket, úgy választják meg a léptéküket, hogy a kifejezések nevezője (214) egyenlő legyen az egységgel, ami leegyszerűsíti a kifejezéseket és.

6.3.5. Állandó hosszirányú erő hatása

Tekintsük azt az esetet, amikor egy oszcilláló nyaláb N hosszirányú erőt fejt ki, amelynek nagysága a rezgési folyamat során nem változik. Ebben az esetben a statikus hajlítási egyenlet bonyolultabbá válik, és alakot ölt (feltéve, hogy a nyomóerőt pozitívnak tekintjük)

.

A merevségi állandót feltételezve és figyelembe véve megkapjuk a szabad rezgések egyenletét

.(215)

Egy adott megoldást továbbra is elfogadunk a formában.

Ekkor a (215) egyenlet két egyenletre bomlik:

Az első egyenlet a megoldás vibrációs jellegét fejezi ki, a második a rezgésmódot határozza meg, és lehetővé teszi a frekvenciák megtalálását is. Írjuk át így:

(216)

ahol K a (196) képlet határozza meg, és

A (216) egyenlet megoldásának alakja van

Tekintsük azt az esetet, amikor a rúd mindkét végén csuklós támaszték van. Feltételek a bal oldalon adni. Ugyanazokat a feltételeket a jobb oldalon teljesítve azt kapjuk

Az értékekhez tartozó együtthatókból álló determinánst nullával egyenlővé tesszük és megkapjuk az egyenletet

Ennek a frekvenciaegyenletnek a gyökerei a következők:

Ezért a sajátfrekvenciát az egyenletből határozzuk meg

.

Ezért (217) figyelembe véve azt találjuk

.(219)

Nyújtáskor a frekvencia nő, összenyomva pedig csökken. Amikor az N nyomóerő megközelíti a kritikus értéket, a gyök nullára hajlik.

6.3.6. Láncerők hatása

Korábban a hosszirányú erőt adottnak és a rendszer elmozdulásától függetlennek tekintették. Egyes gyakorlati problémáknál az oldalirányú rezgések folyamatát kísérő hosszirányú erő a gerenda meghajlásakor keletkezik, és támaszreakció jellegű. Vegyünk például egy gerendát két csuklós rögzített tartón. Amikor meghajlik, a támasztékok vízszintes reakciói lépnek fel, ami a gerenda megnyúlását okozza; a megfelelő vízszintes erőt általában ún lánc erőfeszítés... Ha a gerenda oldalirányban rezeg, akkor a láncerő idővel megváltozik.

Ha egy t pillanatban a nyaláb elhajlásait egy függvény határozza meg, akkor a tengely nyúlása a képlettel meghatározható

.

A megfelelő lánckifejezést Hooke törvénye alapján találjuk meg

.

Ezt az eredményt (215) helyettesítjük az N hosszirányú erő helyett (az előjelet figyelembe véve)

.(220)

A kapott nemlineáris integro-differenciál az egyenlet behelyettesítéssel egyszerűsödik

,(221)

ahol az idő dimenzió nélküli függvénye, amelynek maximális értéke tetszőleges számmal, például eggyel egyenlő; rezgés amplitúdója.

Ha (221)-et (220) helyettesítünk, megkapjuk a közönséges differenciálegyenletet

,(222)

amelyek együtthatóinak jelentése a következő:

;.

A (222) differenciálegyenlet nemlineáris, ezért a szabad rezgések gyakorisága az amplitúdójuktól függ.

A keresztirányú rezgési frekvencia pontos megoldása a forma

ahol a keresztirányú rezgések gyakorisága, a láncerők figyelembevétele nélkül számítva; egy korrekciós tényező, amely a rezgés amplitúdójának és a keresztmetszet forgási sugarának arányától függ; az értéket a referencia irodalom adja meg.

Ha a keresztmetszet amplitúdója és forgási sugara összehasonlítható, akkor a frekvencia korrekciója jelentőssé válik. Ha például egy kerek rúd rezgési amplitúdója megegyezik az átmérőjével, akkor és a frekvencia majdnem kétszerese, mint a támasztékok szabad elmozdulása esetén.

Az eset a forgási sugár nulla értékének felel meg, amikor a gerenda hajlítási merevsége eltűnően kicsi - egy húr. Ebben az esetben a képlet bizonytalanságot ad. Ezt a bizonytalanságot kiterjesztve megkapjuk a húr rezgési frekvenciájának képletét

.

Ez a képlet arra az esetre vonatkozik, amikor a feszültség az egyensúlyi helyzetben nulla. A húrrezgések problémáját gyakran más feltételezések alapján vetik fel: úgy gondolják, hogy az elmozdulások kicsik, és a húzóerő adott és változatlan marad a rezgések során.

Ebben az esetben a gyakoriság képlete alakja

ahol N állandó húzóerő.

6.4. A viszkózus súrlódás hatása

Korábban azt feltételezték, hogy a rudak anyaga tökéletesen rugalmas és nincs súrlódás. Tekintsük a belső súrlódás hatását, feltételezve, hogy viszkózus; akkor a feszültségek és az alakváltozások kapcsolatát az összefüggések írják le

;.(223)

Hagyja, hogy egy elosztott paraméterekkel rendelkező rúd szabad hosszirányú rezgéseket hajtson végre. Ebben az esetben a hosszirányú erőt a következőképpen írjuk fel

A rúdelem mozgásegyenletéből a következő összefüggést kaptuk (174)

Ha itt (224) helyettesítjük, elérkezünk a fő differenciálegyenlethez

,(225)

amely a viszkózus súrlódási erők hatását kifejező második tagban különbözik a (175)-től.

A Fourier-módszert követve a (225) egyenletre a formában keresünk megoldást

,(226)

ahol a függvény csak az x koordináták, a függvény pedig csak a t idő.

Ezenkívül a sorozat minden tagjának ki kell elégítenie a probléma peremfeltételeit, és a teljes összegnek is ki kell elégítenie a kezdeti feltételeket. A (226) behelyettesítése (225)-be, és megköveteli, hogy az egyenlőség bármely számra teljesüljön r, kapunk

,(227)

ahol a gondolatjelek a koordináta mentén történő differenciálást jelölik x, és pontok - differenciálás a t idő függvényében.

(227) elosztása a szorzattal , elérkezünk az egyenlőséghez

,(228)

a bal oldal, ami csak a koordinátán múlhat x, és a jobb - csak a t. A (228) egyenlőség azonos teljesüléséhez szükséges, hogy mindkét rész egyenlő legyen ugyanazzal az állandóval, amit jelölünk.

Ebből kövesd az egyenleteket

(229)

.(230)

A (229) egyenlet nem függ a K viszkozitási együtthatótól, és különösen ugyanaz marad egy ideálisan rugalmas rendszer esetén, amikor. Ezért a számok teljesen egybeesnek a korábban találtakkal; azonban, ahogy az alábbiakban látható lesz, a mennyiség a sajátfrekvencia csak hozzávetőleges értékét adja meg. Vegyük észre, hogy a sajátformák teljesen függetlenek a rúd viszkózus tulajdonságaitól, pl. a szabad csillapított rezgések formái egybeesnek a szabad nem csillapított rezgések formáival.

Most rátérünk a (230) egyenletre, amely leírja a csillapított oszcillációk folyamatát; megoldásának megvan a formája

.(233)

Expression (232) határozza meg a csillapítás mértékét, és (233) - a rezgések gyakoriságát.

Így a feladat egyenletének teljes megoldása

.(234)

Konstansok és mindig megtalálhatók adott kezdeti feltételekhez. Adjuk meg a rúd összes szakaszának kezdeti elmozdulásait és kezdeti sebességét a következőképpen:

;,(235)

ahol és vannak ismert függvények.

Akkor a (211) és (212) szerint megvan

ezen egyenlőségek mindkét oldalát megszorozva és a rúd teljes hosszában integrálva megkapjuk

(236)

A sajátalakok ortogonalitási feltétele szerint ezen egyenlőségek jobb oldalán szereplő összes többi tag eltűnik. Most könnyű megtalálni a (236) egyenlőségből bármely r számra.

Figyelembe véve (232) és (234), megjegyezzük, hogy minél nagyobb a rezgésmód száma, annál gyorsabb a csillapítása. Ezenkívül a (234)-ben szereplő kifejezések csillapított oszcillációkat írnak le, ha van valós szám. A (233)-ból látható, hogy ez csak több r kezdeti értékre megy végbe, amíg az egyenlőtlenség

Kellően nagy értékekhez r az egyenlőtlenség (237) megsérül, és a mennyiség képzeletbelivé válik. Ebben az esetben a (234) általános megoldás megfelelő tagjai már nem a csillapított oszcillációkat írják le, hanem az időszakos csillapított mozgást. Más szóval, a fluktuációkat a szó szokásos értelmében csak az összeg egy bizonyos véges része (234) fejezi ki.

Mindezek a kvalitatív következtetések nemcsak a hosszanti rezgések, hanem a torziós és hajlító rezgések esetére is érvényesek.

6.5. Változó keresztmetszetű rudak rezgései

Azokban az esetekben, amikor a rúd megoszló tömege és keresztmetszete a hossza mentén változó, a hosszanti rezgések egyenlete (175) helyett az egyenletből kell kiindulni.

.(238)

A (187) torziós rezgés egyenletet az egyenlettel kell helyettesíteni

,(239)

és a keresztirányú rezgések egyenlete (192) - az egyenlettel

.(240)

A (238) - (240) egyenletek azonos típusú ;; helyettesítések segítségével a függvény szokásos differenciálegyenleteire redukálhatók

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (nyomtatott) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

EGY RUGALMAS RÖGZÍTETT TERHELÉS RÚD HOSSZÚ REZGÉSÉNEK PROBLÉMÁJA

A. B. Beilin

Szamarai Állami Műszaki Egyetem, Oroszország, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244.

annotáció

Egy vastag, rövid rúd egydimenziós hosszirányú rezgéseit veszik figyelembe, amelyek végeinél koncentrált tömegek és rugók vannak rögzítve. Egy negyedrendű hiperbolikus egyenlet dinamikus peremfeltételeivel kapcsolatos kezdeti határérték-problémát használunk matematikai modellként. Ennek a konkrét modellnek a választása annak köszönhető, hogy figyelembe kell venni a rúd keresztirányú deformációjának hatásait, amelyek figyelmen kívül hagyása, amint azt Rayleigh kimutatta, hibához vezet, amit a modern nemlokális merev testek rezgésének tanulmányozásának koncepciója. Bebizonyítjuk a vizsgált probléma sajátfüggvényeinek ortogonális rendszerének létezését, és megkapjuk azok reprezentációját. A sajátfüggvények megállapított tulajdonságai lehetővé tették a változók szétválasztási módszerének alkalmazását és a feltett probléma egyedi megoldásának bizonyítását.

Kulcsszavak: dinamikus peremfeltételek, longitudinális rezgések, ortogonalitás a terheléssel, Rayleigh-modell.

Bevezetés. Minden működő mechanikai rendszerben oszcillációs folyamatok mennek végbe, melyeket különböző okok generálhatnak. Az oszcillációs folyamatok a rendszer tervezési sajátosságainak vagy a terhelések újraelosztásának a következményei lehetnek egy normálisan működő szerkezet különböző elemei között.

Az oszcillációs folyamatok forrásainak jelenléte a mechanizmusban megnehezítheti állapotának diagnosztizálását, sőt működési módjának megsértéséhez, illetve egyes esetekben megsemmisítéséhez vezethet. A gyakorlatban gyakran kísérleti úton oldanak meg különféle problémákat, amelyek a mechanikai rendszerek pontosságának és teljesítményének megsértésével kapcsolatosak egyes elemeik vibrációja következtében.

Az oszcillációs folyamatok azonban nagyon hasznosak lehetnek például anyagmozgatásnál, kötések összeszerelésénél és szétszerelésénél. Az ultrahangos rezgések nemcsak a nagy keménységű anyagok (volfrámtartalmú, titán-karbid acélok, stb.) forgácsolási folyamatainak (fúrás, marás, köszörülés stb.) intenzívebbé tételét teszik lehetővé,

© 2016 Samara Állami Műszaki Egyetem. Minta idézéshez

Beilin, A.B., Rugalmasan rögzített, terhelt rúd hosszirányú vibrációinak problémája, Vestn. Magamat. állapot tech. nem az. Ser. Fiz.-mat. Nauki, 2016. T. 20, No. 2. S. 249258. doi: 10.14498 / vsgtu1474. A szerzőről

Alekszandr Boriszovics Beilin (Ph.D., assoc.; [e-mail védett]), egyetemi docens, tanszék. automatizált gép- és szerszámrendszerek.

de bizonyos esetekben az egyetlen lehetséges módszer a törékeny anyagok (germánium, szilícium, üveg stb.) feldolgozására. Az eszköznek (hullámvezetőnek) azt az elemét, amely az ultrahangos rezgéseket forrásból (vibrátorból) a műszerbe továbbítja, koncentrátornak nevezzük, és különböző formájú lehet: hengeres, kúpos, lépcsős, exponenciális stb. Célja, hogy a kívánt amplitúdójú rezgéseket továbbítsa a műszernek.

Így az oszcillációs folyamatok lefolyásának következményei, illetve az azokat kiváltó okok eltérőek lehetnek, ezért természetesen felmerül az igény a rezgési folyamatok elméleti vizsgálatára. A másodrendű hullámegyenletre épülő, viszonylag hosszú és vékony tömör rudak hullámterjedési matematikai modellje jól tanulmányozott és már régóta klasszikussá vált. Azonban, amint azt Rayleigh kimutatta, ez a modell nem teljesen konzisztens egy vastag rövid rúd rezgésének vizsgálatával, miközben a valódi mechanizmusok sok részlete rövid és vastag rúdként értelmezhető. Ebben az esetben a rúd keresztirányú deformációit is figyelembe kell venni. A vastag rövid rúd hosszirányú rezgésének matematikai modelljét, amely figyelembe veszi a rúd keresztirányú mozgásának hatásait, Rayleigh-rúdnak nevezik, és a negyedrendű hiperbolikus egyenleten alapul.

^ ^ - IX (a (x) e) - dx (b (x)) =; (xL (1)

amelyek együtthatóinak fizikai jelentése van:

q (x) = p (x) A (x), a (x) = A (x) E (x), b (x) = p (x) u2 (x) 1p (x),

ahol A (x) a keresztmetszeti terület, p (x) a rúd tömegsűrűsége, E (x) a Young-modulus, V (x) a Poisson-hányados, 1P (x) a poláris tehetetlenségi nyomaték , és (x, b) - meghatározandó hosszirányú elmozdulások.

Rayleigh ötletei megerősítésre és továbbfejlesztésre találtak a vibrációs folyamatokkal, valamint a plaszticitás elméletével foglalkozó modern munkákban. Az áttekintő cikk alátámasztja a szilárd testek terhelés alatti állapotát és viselkedését leíró klasszikus modellek hiányosságait, amelyekben a priori a test ideális kontinuumnak tekinthető. A természettudomány modern fejlettségi szintje új, a vizsgált folyamatokat kellően leíró modellek felépítését igényli, az elmúlt évtizedekben kifejlesztett matematikai módszerek erre lehetőséget adnak. Ezen az úton a múlt század utolsó negyedében számos fizikai folyamat – köztük a fentebb említettek – vizsgálatának új megközelítését javasolták a nonlokalitás fogalma alapján (lásd a cikket és a benne található hivatkozási jegyzéket). A szerzők által azonosított nem lokális modellek egyik osztályát „gyengén nem lokálisnak” nevezik. Az ebbe az osztályba tartozó matematikai modellek úgy valósíthatók meg, hogy egy bizonyos folyamatot leíró egyenletbe magasabb rendű deriváltokat viszünk be, lehetővé téve, hogy bizonyos közelítésben figyelembe vegyük a vizsgált tárgy belső elemeinek kölcsönhatását. Így a Rayleigh-modell korunkban releváns.

1. A probléma megfogalmazása. Rögzítse az x = 0, x = I rúd végeit a rögzített alaphoz koncentrált N \, M2 tömegek és rugók segítségével, melyek merevsége K \ és K2. Feltételezzük, hogy a rúd egy forgástest a 0x tengely körül, és az idő kezdeti pillanatában nyugalomban van az egyensúlyi helyzetben. Ezután eljutunk a következő kezdeti-határérték-problémához.

Feladat. Keresse meg a Qt = ((0,1) x (0, T): 1, T tartományban< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u (x, 0) = (p (x), u (x, 0) = φ (x) és a peremfeltételek

a (0) őket (0, r) + b (0) vagy (0, r) - k ^ (0, r) - M1u (0, r) = 0, és (1) őket (1, r) + B (1) uyu (1, z) + K2u (1, z) + M2uy (1, z) = 0. ()

A cikk megvizsgálja az (1) - (2) probléma néhány speciális esetét, és példákat ad, amelyekben az egyenlet együtthatói explicit alakúak és M \ = M2 = 0. A cikk bizonyítja a probléma egyedi gyenge megoldhatóságát. általános eset.

A (2) feltételeket a rúd rögzítésének módja határozza meg: végeit egyes M \, M2 tömegű eszközök, illetve K1, K2 merevségű rugók segítségével rögzítik a rögzített alapokhoz. A tömegek jelenléte és a keresztirányú elmozdulásokra való ráhagyás időderiváltákat tartalmazó (2) alakú feltételekhez vezet. A peremfeltételeket, amelyek az idő deriváltjait is tartalmazzák, dinamikusnak nevezzük. Különféle helyzetekben merülhetnek fel, amelyek közül a legegyszerűbbeket egy tankönyv, a sokkal bonyolultabbakat pedig egy monográfia írja le.

2. A rúd természetes rezgésének vizsgálata. Tekintsük az (1) egyenletnek megfelelő homogén egyenletet. Mivel az együtthatók csak x-től függenek, lehetséges a változók szétválasztása u (x, z) = X (x) T (z) ábrázolásával. Két egyenletet kapunk:

m "" (r) + \ 2m (r) = 0,

((a (x) - A2b (x)) X "(x)" + A2dX (x) = 0. (3)

A (3) egyenletet a peremfeltételek kísérik

(a (0) - \ 2b (0)) X "(0) - (K1 - \ 2M1) X (0) = 0,

(a (1) - \ 2b (1)) X "(1) + (K2 - \ 2M2) X (I) = 0. (4)

Így elérkeztünk a Sturm-Liouville problémához, amely abban különbözik a klasszikustól, hogy az Л spektrális paraméter az egyenlet legmagasabb deriváltjánál szerepel az együtthatóban, valamint a peremfeltételekben. Ez a körülmény nem teszi lehetővé, hogy a szakirodalomból ismert eredményekre hivatkozzunk, ezért közvetlen célunk a (3), (4) probléma vizsgálata. A változók szétválasztási módszerének sikeres megvalósításához információra van szükségünk a sajátértékek létezéséről és elhelyezkedéséről, a minőségről

sajátfüggvények tulajdonságai: rendelkeznek-e ortogonalitási tulajdonsággal?

Mutassuk meg, hogy A2> 0. Tegyük fel, hogy ez nem így van. Legyen X (x) a (3), (4) feladat sajátfüggvénye, amely megfelel az A = 0 értéknek. Szorozzuk meg (3) X-et (x) és integráljuk a kapott egyenlőséget a (0,1) intervallumon. Részenkénti integrálással és peremfeltételek alkalmazásával (4), elemi transzformációk után kapjuk

1 (0) - A2b (0)) (a (1) - A2b (1)) I (dX2 + bX "2) dx +

N \ X 2 (0) + M2X 2 (1)

I aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Figyeljük meg, hogy az a (x), b (x), d (x) függvények fizikai jelentéséből pozitív, Kr, Mg nem negatív. De ekkor a kapott egyenlőségből az következik, hogy X "(x) = 0, X (0) = X (1) = 0, tehát X (x) = 0, ami ellentmond a feltevésnek. Ezért az a feltevés, hogy nulla a (3) feladat sajátértéke, a (4) nem igaz.

A (3) egyenlet megoldásának ábrázolása az a (x) - A2b (x) kifejezés előjelétől függ. Mutassuk meg, hogy a (x) -A2b (x)> 0 Yx e (0,1). Tetszőlegesen rögzítjük az x e-t (0,1), és megtaláljuk az a (x), b (x), d (x) függvények értékeit ezen a ponton. Írjuk fel a (3) egyenletet a formába

X "(x) + VX (x) = 0, (5)

ahol megjelöltük

a kiválasztott fix pontban, és a (4) feltételeket írjuk az űrlapba

X "(0) - aX (0) = 0, X" (1) + bX (I) = 0, (6)

ahol a, b könnyen kiszámítható.

Mint ismeretes, a klasszikus Sturm-Liouville-probléma (5), (6) megszámlálható sajátfüggvény-készlettel rendelkezik V> 0 esetén, ahonnan, mivel x tetszőleges, a kívánt egyenlőtlenség következik.

A (3), (4) feladat sajátfüggvényei a relációval kifejezett ortogonalitás tulajdonsággal rendelkeznek a terhelésre

I (dXt (x) Xn (x) + bX "t (x) X" n (x))<х+ ■)о

М1Хт (0) Хп (0) + М2Хт (1) Хп (I) = 0, (7)

szabványos módon beszerezhető (lásd pl.), melynek megvalósítása a vizsgált probléma esetén elemi, de gondos számításokkal jár. Foglaljuk össze röviden a származtatását, az Xr (x) függvények argumentumát mellőzve a nehézkességek elkerülése végett.

Legyenek Am, An különböző sajátértékek, Xm, Xn a (3), (4) feladat megfelelő sajátfüggvényei. Azután

((a - A2mb) X "t)" + A2tdXt = 0, ((a - A2nb) X "n)" + A2ndXn = 0.

Szorozzuk meg ezen egyenletek közül az elsőt Xn-nel, a másodikat pedig Xm-mel, és vonjuk ki a másodikat az elsőből. Az elemi átalakítások után megkapjuk az egyenlőséget

(Лт - Лп) ЯХтХп = (аХтХП) "- ЛП (bXtX" n) "- (aX" tXn) "+ Лт (bXtXn)",

amelyet a (0,1) intervallumon keresztül integrálunk. Ennek eredményeként (4) figyelembe vételével és (Am - An) törlésével (7) relációt kapunk.

A Sturm-Liouville-probléma (3), (4) sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek tulajdonságaira vonatkozó bizonyított állítások lehetővé teszik, hogy a változók szétválasztási módszerét alkalmazzuk a feltett probléma megoldására.

3. A feladat megoldhatósága. jelöljük

C (ST) = (u: u e C (St) P C2 (St), uix e C ^ t)).

1. Tétel. Legyen a, b e C1, d e C. Ekkor az (1), (2) feladatnak legfeljebb egy u e C ^ m) megoldása van.

Bizonyíték. Tegyük fel, hogy az (1), (2), u1 (x, z) és u2 (x, z) feladatnak két különböző megoldása van. Ekkor a feladat linearitása miatt u = u1 - u2 különbségük az (1), (2) pontoknak megfelelő homogén feladat megoldása. Mutassuk meg, hogy a megoldása triviális. Először is megjegyezzük, hogy az egyenlet együtthatóinak fizikai jelentéséből és a peremfeltételekből az a, b, d függvények Qm-ben mindenhol pozitívak, míg M ^, K ^ nem negatívak.

Az (1) egyenlőséget megszorozva ui-val és integrálva a Qm tartományba, ahol m és tetszőleges, egyszerű transzformációk után kapjuk

/ (d2 (x, t) + au2x (x, t) + buXl (x, t)) dx + ./o

K1u2 (0, t) + M1u2 (0, t) + K2u2 (1, t) + M2u2 (1, t) = 0,

ahonnan, mivel m tetszőleges, azonnal következik, hogy a tétel állítása igaz. □

Bebizonyítjuk, hogy létezik megoldás konstans együtthatók esetére.

2. Tétel. Legyen<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, van egy darabonkénti folytonos, harmadrendű deriváltja (0,1-ben), φ e C1, φ (0) = φ (1) = 0 és van egy darabonkénti folytonos másodrendű deriváltja a ( 0,1), f e C (C ^ m), akkor az (1), (2) feladat megoldása létezik, és egy sorozat összegeként kapható meg sajátfüggvényekben.

Bizonyíték. Szokás szerint a problémára az összeg formájában keresünk megoldást

ahol az első tag az (1)-nek megfelelő homogén egyenletre feltett probléma megoldása, a második az (1) egyenlet megoldása, nulla kezdeti és peremfeltételt teljesítve. Felhasználjuk az előző bekezdésben elvégzett vizsgálatok eredményeit, és felírjuk a (3) egyenlet általános megoldását:

X (x) = Cr cos A J- + C2 sin Aw- ^ rrx.

\ ¡A - A2b \ ¡a - A2b

A (4) peremfeltételt alkalmazva egy Cj-re vonatkozó egyenletrendszerhez jutunk!

(a - A2b) c2 - (Ki - A2Mi) ci = 0,

(-A (a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A ^ O-A ^ l) ci +

Ha a determinánsát nullával egyenlővé tesszük, megkapjuk a spektrális egyenletet

ctg = (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A" M). (nyolc)

b Va - A2b A ^ q (a - A2b) (Ki + K2 - A2 (Mi + M2))

Nézzük meg, van-e megoldása ennek a transzcendentális egyenletnek. Ehhez vegye figyelembe a bal és jobb oldalán lévő függvényeket, és vizsgálja meg azok viselkedését. Anélkül, hogy túlságosan korlátoznánk az általánosságot, úgy fogalmazunk

Mi = M2 = M, Kg = K2 = K,

ami kissé leegyszerűsíti a szükséges számításokat. A (8) egyenlet a következőt veszi fel

x I q, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A \ Z- ^ l =

a - A2b 2 (K - A2M) 2A ^^ 0-A2b "Jelöljük

és írd fel új jelöléssel a spektrális egyenletet!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2 ^ 2 (Kb - aM) 2 / j.aql

Az utolsó egyenlet bal és jobb oldalának függvényeinek elemzése lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy a Sturm-Liouville-probléma gyökereinek megszámlálható halmaza van, és ezért a Sturm-Liouville-probléma megszámlálható sajátfüggvény-készlete (3), (4), amely a rendszerből c¿ vonatkozásában kapott relációt figyelembe véve kiírható

v / l l I q K - x2pm. l i q

Xn (x) = COS XnJ-gutx + ---- sin XnJ-gutX.

V a - A2b AnVa - ftb ^ q V a - A2b

Most térjünk át a kezdeti feltételeket is kielégítő megoldás megtalálására. Most már könnyen megtaláljuk a probléma megoldását egy sorozat formájában lévő homogén egyenletre

u (x, t) = ^ Tn (t) Xn (x),

melynek együtthatói a kiindulási adatokból az Xn (x) függvények ortogonalitási tulajdonságát felhasználva megkereshetők, melynek normája a (7) összefüggésből nyerhető:

|| X || 2 = f (qX2 + bX%) dx + MiX2 (0) + M2x2 (l). ■ Jo

A v (x, t) függvény megtalálásának folyamata is lényegében szabványos, de megjegyezzük, hogy a hagyományos formában keresve a megoldást

v (x, t) = ^ Tn (t) Xn (x),

két egyenletet kapunk. Valójában a sajátfüggvények alakját figyelembe véve tisztázzuk annak a sorozatnak a felépítését, amelynek alakjában megoldást keresünk:

j (x, t) = ^ (Vn (t) cos Xn ^ J a b x +

Wn (t) K-XnM ~ sin X ^ HAarx). (kilenc)

v JXnVa - xnb ^ q V a - xn "

Az y (x, 0) = y ^ x, 0) = 0 zérus kezdeti feltételek teljesítéséhez megköveteljük, hogy Yn (0) = UP (0) = 0, Rn (0) = W (0) = 0. f ( x, d) a Fourier-sorba az Xn (x) sajátfüggvényben, megtaláljuk a jn (b) és dn (b) együtthatókat. Ha a (9)-et behelyettesítjük az (1) y (x, b) egyenletbe, transzformációk sorozata után megkapjuk az Yn (b) és Wn (b) megtalálásának egyenleteit:

uts® +> & ny =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Figyelembe véve az Yn (0) = Y, (0) = 0, Rn (0) = W, (0) = 0 kezdeti feltételeket, az Yn (b) és Rn () függvények mindegyikére eljutunk a Cauchy-problémákhoz. b), amelynek egyedi megoldhatóságát a tétel feltételei garantálják. A tételben megfogalmazott kiindulási adatok tulajdonságai nem hagynak kétséget a kutatásunk során felmerült sorozatok konvergenciájához, és így a feltett probléma megoldásának meglétéhez. □

Következtetés. Bebizonyítjuk a vizsgált probléma sajátfüggvényeinek ortogonális rendszerének létezését, és megkapjuk azok reprezentációját.

A sajátfüggvények megállapított tulajdonságai lehetővé tették a feltett probléma egyedi megoldásának bizonyítását. Vegye figyelembe, hogy a cikkben kapott eredmények felhasználhatók mind a dinamikus peremfeltételekkel kapcsolatos problémák további elméleti tanulmányozására, mind gyakorlati célokra, nevezetesen számos műszaki objektum hosszirányú rezgésének kiszámítására.

Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

BIBLIOGRÁFIAI LISTÁJA

1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ultrahangos mechanikai feldolgozás és összeszerelés. Samara: Samara Könyvkiadó, 1995.191 p.

2. Khmelev VN, Barsukov RV, Tsyganok SN Anyagok ultrahangos dimenziós feldolgozása. Barnaul: Altáj Műszaki Egyetem, amelyről elnevezett I.I. Polzunova, 1997.120 p.

3. Kumabe D. Vibrációs vágás. M .: Mashinostroenie, 1985.424 p.

4. Tikhonov AN, Samarskiy AA A matematikai fizika egyenletei. Moszkva: Nauka, 2004.798 p.

5. Strett JV Hangelmélet. T. 1.M .: GITTL, 1955.504 p.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nemlineáris vibráció és egydimenziós szerkezetek. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992.431 pp.

7. Fedotov IA, Polyanin AD, Shatalov M. Yu. Merev rúd szabad és kényszerrezgésének elmélete a Rayleigh-modell alapján // DAN, 2007. V. 417, no. S. 56-61.

8. Bazant Z., Jirasek M. A plaszticitás és a károsodás nem lokális integrált megfogalmazásai: A haladás felmérése // J. Eng. Mech., 2002. 128. évf. 11. pp. 1119-1149. doi: 10.1061 / (ASCE) 0733-9399 (2002) 128:11 (1119).

9. Beilin AB és Pulkina LS, „Rúd hosszirányú rezgésének problémája dinamikus peremfeltételekkel”, Vestn. SamSU. Természettudomány szer., 2014. 3. szám (114). S. 9-19.

10. Korpusov MO Destrukció nem klasszikus hullámegyenletekben. M .: URSS, 2010.237 p.

Beérkezett: 10 / II / 2016; a végleges változatban - 18 / V / 2016; nyomtatásban - 2016/V/27.

Vestn. Számbárszarvas. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

2016. évf. 20, sz. 2, pp. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (nyomtatott) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

PROBLÉMA A RUGALMAS RÖGZÍTÉSSEL RENDELKEZŐ RÚD HOSSZÚ REZGÉSÉVEL

Samara Állami Műszaki Egyetem,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Orosz Föderáció.

Ebben a cikkben egy vastag, rövid rúd hosszirányú rezgését vizsgáljuk, amelyet pontszerű erők és rugók rögzítenek. A matematikai modellhez egy peremérték-problémát veszünk figyelembe dinamikus peremfeltételekkel egy negyedrendű parciális differenciálegyenlethez. Ennek a modellnek a megválasztása attól függ, hogy figyelembe kell-e venni a keresztirányú alakváltozás eredményét. Rayleigh kimutatta, hogy a keresztirányú alakzat figyelmen kívül hagyása hibához vezet. Ezt a modern nemlokális rezgéselmélet is megerősíti. Bebizonyítjuk az ortogonális létezését terhelési sajátfüggvényekkel, és levezetjük ezek reprezentációját. A sajátfüggvények megállapított tulajdonságai lehetővé teszik a változók szétválasztási módszerét és a probléma egyedi megoldásának megtalálását.

Kulcsszavak: dinamikus peremfeltételek, longitudinális rezgés, terhelt ortogonalitás, Rayleigh-modell.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 pp. (orosz nyelven)

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 pp. (oroszul)

3. Kumabe J. Vibrációs vágás. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (japánul).

4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moszkva, Nauka, 2004, 798 pp. (Oroszul)

5. Strutt J. W. A hang elmélete, 1. kötet. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi + 326 pp.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Nemlineáris vibráció és egydimenziós szerkezetek. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 pp.

Beylin A.B. Probléma egy rugalmas rögzítésű rúd hosszirányú vibrációjával kapcsolatban, Vestn. Számbárszarvas. Gos. Techn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2016, vol. 20, sz. 2, pp. 249-258. doi: 10.14498 / vsgtu1474. (oroszul) A szerző adatai:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [e-mail védett]), egyetemi docens, oszt. automatizálási szerszámgépek és szerszámrendszerek.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Merev rúd szabad és kényszerrezgésének elmélete a Rayleigh-modell alapján, Dokl. Phys., 2007, 52. évf. 11, pp. 607-612. doi: 10.1134 / S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. A plaszticitás és a károsodás nem lokális integrált megfogalmazásai: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, 128. évf. 11, pp. 1119-1149. doi: 10.1061 / (ASCE) 0733-9399 (2002) 128:11 (1119).

9. Beylin A. B., Pulkina L. S. A promlem on longitudinal vibrations of a rúd dinamikus peremfeltételekkel, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, 1. sz. 3 (114), pp. 919 (oroszul).

10. Korpusov M. O. Razrushenie kontra neklassicheskikh volnovykh uravneniiakh. Moszkva, URSS, 2010, 237 pp. (Oroszul)

Beérkezett: 10 / II / 2016;

átdolgozott formában érkezett 18 / V / 2016;