Mi az a modulus 5. Hogyan oldjunk meg egyenleteket modulussal: alapszabályok

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy nyilvános megkeresések vagy a kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.

A modul egyike azoknak a dolgoknak, amelyekről úgy tűnik, mindenki hallott, de valójában senki sem érti. Ezért ma lesz nagyszerű lecke, amely az egyenletek modulusokkal való megoldására szolgál.

Azonnal mondom: a lecke nem lesz nehéz. És általában a modulok viszonylag egyszerű téma. „Igen, persze, ez nem bonyolult! Feldobja a fejemet!” - mondja sok diák, de mindezek az agytörések abból fakadnak, hogy a legtöbb embernek nem tudás van a fejében, hanem valami baromság. Ennek a leckének az a célja, hogy a szart tudássá változtassuk. :)

Egy kis elmélet

Akkor gyerünk. Kezdjük a legfontosabbal: mi az a modul? Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy szám modulusa egyszerűen ugyanaz a szám, de mínuszjel nélkül. Ez például a $\left| -5 \jobbra|=5$. Vagy $\left| -129,5 \jobbra|=129,5 USD.

Ilyen egyszerű? Igen, egyszerű. Akkor miért modulusa egyenlő pozitív szám? Itt még egyszerűbb: egy pozitív szám modulusa egyenlő ezzel a számmal: $\left| 5 \jobbra|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 USD stb.

Különös dolog derül ki: különböző számoknak lehet ugyanaz a modulja. Például: $\left| -5 \jobbra|=\left| 5 \jobbra|=5$; $\left| -129,5 \jobbra|=\left| 129,5\jobbra|=129,5 USD. Könnyen belátható, hogy milyen számokról van szó, amelyek moduljai azonosak: ezek a számok ellentétesek. Így megjegyezzük magunknak, hogy az ellentétes számok moduljai egyenlőek:

\[\left| -a \right|=\left| a\right|\]

Egy másik fontos tény: a modulus soha nem negatív. Bármilyen számot veszünk is – legyen az pozitív vagy negatív –, a modulusa mindig pozitívnak (vagy szélsőséges esetben nullának) bizonyul. Ezért hívják gyakran a modult abszolút érték számok.

Sőt, ha a modulus definícióját kombináljuk pozitív és negatív szám, akkor minden számra megkapjuk a modul globális definícióját. Nevezetesen: egy szám modulusa egyenlő magával a számmal, ha a szám pozitív (vagy nulla), vagy egyenlő az ellenkező számmal, ha a szám negatív. Ezt felírhatod képletként:

Van egy nulla modulus is, de ez mindig egyenlő nullával. Ráadásul nulla egyedülálló, aminek nincs ellentéte.

Így ha figyelembe vesszük a $y=\left| függvényt x \right|$ és próbáld meg lerajzolni a grafikonját, valami ilyesmit kapsz:

Moduluszgráf és példa az egyenlet megoldására

Erről a képről azonnal kiderül, hogy $\left| -m \jobbra|=\left| m \right|$, és a modulusgráf soha nem esik az x tengely alá. De ez még nem minden: a piros vonal az $y=a$ egyenest jelöli, ami pozitív $a$ esetén egyszerre két gyöket ad: $((x)_(1))$ és $((x) _(2)) $, de erről majd később. :)

Eltekintve attól, hogy tisztán algebrai definíció, van geometriai. Tegyük fel, hogy két pont van a számegyenesen: $((x)_(1))$ és $((x)_(2))$. Ebben az esetben a $\left| kifejezés ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ egyszerűen a megadott pontok közötti távolság. Vagy, ha úgy tetszik, az ezeket a pontokat összekötő szakasz hossza:

A modulus a számegyenes pontjai közötti távolság

Ez a meghatározás azt is jelenti, hogy a modulus mindig nem negatív. De elég a definíciókból és az elméletből – térjünk át a valódi egyenletekre. :)

Alapképlet

Rendben, megoldottuk a definíciót. De ez nem könnyítette meg. Hogyan lehet pontosan ezt a modult tartalmazó egyenleteket megoldani?

Nyugi, csak nyugalom. Kezdjük a legegyszerűbb dolgokkal. Gondoljunk valami ilyesmire:

\[\left| x\right|=3\]

Tehát $x$ modulusa 3. Mivel lehet egyenlő $x$? Nos, a definícióból ítélve nagyon elégedettek vagyunk a $x=3$ értékkel. Igazán:

\[\left| 3\jobbra|=3\]

Vannak más számok is? Úgy tűnik, a sapka arra utal, hogy van. Például $x=-3$ egyben $\left| -3 \jobbra|=3$, azaz. az előírt egyenlőség teljesül.

Talán ha keresünk és gondolkodunk, több számot is találunk? De szakítsd meg: több szám Nem. $\left| egyenlet Az x \right|=3$-nak csak két gyöke van: $x=3$ és $x=-3$.

Most bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. A modulus jele alatt lógjon ki a $f\left(x \right)$ függvény a $x$ változó helyett, a jobb oldali tripla helyett pedig tegyük tetszőleges szám$a$. Kapjuk az egyenletet:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Szóval hogyan tudjuk ezt megoldani? Hadd emlékeztesselek: $f\left(x \right)$ egy tetszőleges függvény, az $a$ tetszőleges szám. Azok. Bármi a világon! Például:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \jobbra|=-65\]

Figyeljünk a második egyenletre. Rögtön elmondható róla: nincsenek gyökerei. Miért? Minden helyes: mert ehhez az kell, hogy a modulus egyenlő legyen egy negatív számmal, ami soha nem történik meg, hiszen már tudjuk, hogy a modulus mindig pozitív szám, vagy szélsőséges esetben nulla.

De az első egyenlettel minden szórakoztatóbb. Két lehetőség van: vagy van egy pozitív kifejezés a modulusjel alatt, majd $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, vagy ez a kifejezés továbbra is negatív, majd $\left| 2x+1 \jobbra|=-\left(2x+1 \jobbra)=-2x-1$. Az első esetben az egyenletünket a következőképpen írjuk át:

\[\left| 2x+1 \jobbra|=5\Jobbra 2x+1=5\]

És hirtelen kiderül, hogy a $2x+1$ szubmoduláris kifejezés valóban pozitív – egyenlő az 5-ös számmal. biztonságosan megoldhatjuk ezt az egyenletet - a kapott gyök a válasz egy darabja lesz:

Azok, akik különösen bizalmatlanok, megpróbálhatják behelyettesíteni a talált gyöket az eredeti egyenletbe, és megbizonyosodhatnak arról, hogy valóban pozitív szám van a modulus alatt.

Most nézzük meg egy negatív szubmoduláris kifejezés esetét:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(igazítás) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Jobbra 2x+1=-5\]

Hoppá! Ismét minden világos: feltételeztük, hogy $2x+1 \lt 0$, és ennek eredményeként azt kaptuk, hogy $2x+1=-5$ - valóban ez a kifejezés nullánál kisebb. Megoldjuk a kapott egyenletet, miközben már biztosan tudjuk, hogy a talált gyök megfelel nekünk:

Összesen ismét két választ kaptunk: $x=2$ és $x=3$. Igen, a számítások mennyisége kicsit nagyobbnak bizonyult, mint a nagyon egyszerű egyenletben: $\left| x \right|=3$, de alapvetően semmi sem változott. Szóval lehet, hogy van valami univerzális algoritmus?

Igen, létezik ilyen algoritmus. És most elemezzük.

A modulus jeltől való megszabadulás

Adjuk meg a $\left| egyenletet f\left(x \right) \right|=a$ és $a\ge 0$ (egyébként, mint már tudjuk, nincsenek gyökerek). Ezután a következő szabály segítségével megszabadulhat a modulus előjelétől:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Így a modulusos egyenletünk ketté válik, de modulus nélkül. Ennyi a technológia! Próbáljunk meg megoldani pár egyenletet. Kezdjük ezzel

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Vizsgáljuk meg külön, hogy mikor van tíz plusz a jobb oldalon, és külön, ha mínusz van. Nekünk van:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\vége(igazítás)\]

Ez minden! Két gyökeret kaptunk: $x=1,2$ és $x=-2,8$. Az egész megoldás szó szerint két sort vett igénybe.

Ok, nem kérdés, nézzünk egy kicsit komolyabbat:

\[\left| 7-5x\jobbra|=13\]

Ismét megnyitjuk a modult plusz és mínusz jelekkel:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\vége(igazítás)\]

Ismét pár sor – és kész a válasz! Mint mondtam, a modulokban nincs semmi bonyolult. Csak emlékeznie kell néhány szabályra. Ezért továbblépünk, és valóban összetettebb feladatokkal kezdünk.

Egy jobb oldali változó esete

Most nézzük meg ezt az egyenletet:

\[\left| 3x-2 \jobbra|=2x\]

Ez az egyenlet alapvetően különbözik az összes korábbi egyenlettől. Hogyan? És az, hogy az egyenlőségjeltől jobbra van a $2x$ kifejezés - és nem tudhatjuk előre, hogy pozitív vagy negatív.

Mi a teendő ebben az esetben? Először is egyszer s mindenkorra meg kell értenünk ha az egyenlet jobb oldala negatívnak bizonyul, akkor az egyenletnek nem lesz gyöke- már tudjuk, hogy a modul nem lehet egyenlő negatív számmal.

Másodszor, ha a jobb oldali rész továbbra is pozitív (vagy egyenlő nullával), akkor pontosan ugyanúgy járhat el, mint korábban: egyszerűen nyissa meg a modult külön egy pluszjellel, és külön egy mínuszjellel.

Így megfogalmazunk egy szabályt tetszőleges $f\left(x \right)$ és $g\left(x \right)$ függvényekre:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Az egyenletünkkel kapcsolatban a következőket kapjuk:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Nos, valahogy megbirkózunk a $2x\ge 0$ követelménysel. Végül ostobán helyettesíthetjük az első egyenletből kapott gyököket, és ellenőrizhetjük, hogy az egyenlőtlenség fennáll-e vagy sem.

Tehát oldjuk meg magát az egyenletet:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\vége(igazítás)\]

Nos, a két gyök közül melyik felel meg a $2x\ge 0$ követelménynek? Igen mindkettő! Ezért a válasz két szám lesz: $x=(4)/(3)\;$ és $x=0$. Ez a megoldás. :)

Gyanítom, hogy néhány diák már kezd unatkozni? Nos, nézzünk egy még összetettebb egyenletet:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \jobbra|=x-((x)^(3))\]

Bár gonosznak tűnik, valójában ugyanaz a „modulus egyenlő függvény” formájú egyenlet:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

És pontosan ugyanígy van megoldva:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \jobbra|=x-((x)^(3))\jobbra \balra\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \jobbra), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Az egyenlőtlenséggel később foglalkozunk - ez valahogy túl gonosz (sőt, egyszerű, de nem oldjuk meg). Egyelőre jobb az eredményül kapott egyenletekkel foglalkozni. Tekintsük az első esetet - ez az, amikor a modul pluszjellel bővül:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nos, az nem ötlet, hogy balról kell összegyűjteni mindent, hozni hasonlókat, és meglátjuk, mi történik. És ez történik:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\vége(igazítás)\]

Kivesszük a $((x)^(2))$ közös tényezőt a zárójelekből, és egy nagyon egyszerű egyenletet kapunk:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Jobbra \balra[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Itt kihasználtuk a szorzat egy fontos tulajdonságát, aminek érdekében az eredeti polinomot faktoráltuk: a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla.

Most pontosan ugyanúgy foglalkozzunk a második egyenlettel, amelyet a modul mínuszjellel történő bővítésével kapunk:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \jobbra); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\vége(igazítás)\]

Ismét ugyanaz: a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Nekünk van:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Nos, három gyökeret kaptunk: $x=0$, $x=1.5$ és $x=(2)/(3)\;$. Nos, ebből a halmazból melyik kerül be a végső válaszba? Ehhez ne feledje, hogy van egy további megszorításunk az egyenlőtlenség formájában:

Hogyan kell ezt a követelményt figyelembe venni? Cseréljük ki a talált gyököket, és nézzük meg, hogy az egyenlőtlenség érvényes-e ezekre a $x$-okra vagy sem. Nekünk van:

\[\begin(align)& x=0\Jobbra x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Jobbra x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Jobbra x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\vége(igazítás)\]

Így a $x=1,5$ gyök nem felel meg nekünk. És válaszul csak két gyökér lesz:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Mint látható, ebben az esetben sem volt semmi bonyolult - a modulokkal kapcsolatos egyenleteket mindig algoritmussal oldják meg. Csak jól kell értened a polinomokat és az egyenlőtlenségeket. Ezért áttérünk az összetettebb feladatokra - már nem egy, hanem két modul lesz.

Egyenletek két modullal

Eddig csak a legegyszerűbb egyenleteket tanulmányoztuk – volt egy modul és még valami. Ezt a „valami mást” elküldtük az egyenlőtlenség másik, a modultól távolabbi részére, hogy végül minden egy $\left| formájú egyenletre redukálódjon. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ vagy még egyszerűbb $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

De óvoda véget ért – itt az ideje, hogy valami komolyabbat fontolgassanak. Kezdjük a következő egyenletekkel:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Ez egy „modulus egyenlő modulus” alakú egyenlet. Alapvetően fontos pont az egyéb kifejezések és tényezők hiánya: csak egy modul a bal oldalon, egy további modul a jobb oldalon - és semmi több.

Valaki most azt gondolja, hogy az ilyen egyenleteket nehezebb megoldani, mint amit eddig tanulmányoztunk. De nem: ezek az egyenletek még könnyebben megoldhatók. Íme a képlet:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Minden! Egyszerűen egyenlőségjelet teszünk a szubmoduláris kifejezések közé, ha az egyik elé plusz vagy mínusz jelet teszünk. És akkor megoldjuk a kapott két egyenletet - és készen is vannak a gyökerek! Nincsenek további korlátozások, nincsenek egyenlőtlenségek stb. Minden nagyon egyszerű.

Próbáljuk meg megoldani ezt a problémát:

\[\left| 2x+3 \jobbra|=\left| 2x-7 \jobbra|\]

Elemi Watson! A modulok bővítése:

\[\left| 2x+3 \jobbra|=\left| 2x-7 \jobbra|\Jobbra 2x+3=\pm \left(2x-7 \jobbra)\]

Tekintsünk minden esetet külön:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Jobbra 2x+3=-2x+7. \\\vége(igazítás)\]

Az első egyenletnek nincs gyöke. Mert mikor van $3=-7$? Mekkora $x$ értéknél? „Mi a franc az a $x$? Megköveztek? Egyáltalán nincs ott $x$” – mondod. És igazad lesz. Olyan egyenlőséget kaptunk, amely nem függ a $x$ változótól, ugyanakkor maga az egyenlőség helytelen. Ezért nincsenek gyökerei. :)

A második egyenlettel minden kicsit érdekesebb, de nagyon-nagyon egyszerű is:

Mint látható, minden szó szerint pár sorban megoldódott – nem is vártunk mást egy lineáris egyenlettől. :)

Ennek eredményeként a végső válasz: $x=1$.

Szóval hogyan? Nehéz? Természetesen nem. Próbáljunk meg valami mást:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|\]

Megint van egy $\left| alakú egyenletünk f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Ezért azonnal átírjuk, felfedve a modulus jelét:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Talán most valaki megkérdezi: „Hé, micsoda hülyeség? Miért jelenik meg a „plusz-mínusz” a jobb oldali kifejezésen, és miért nem a bal oldalon? Nyugi, most mindent elmagyarázok. Valóban, jó értelemben át kellett volna írnunk az egyenletünket a következőképpen:

Ezután nyisd ki a zárójeleket, mozgasd az összes tagot az egyenlőségjel egyik oldalára (mivel az egyenlet természetesen mindkét esetben négyzet alakú lesz), majd keresd meg a gyököket. De el kell ismernie: amikor a „plusz-mínusz” három kifejezés előtt jelenik meg (különösen, ha az egyik kifejezés másodfokú kifejezés), az valahogy bonyolultabbnak tűnik, mint az a helyzet, amikor a „plusz-mínusz” csak két kifejezés előtt jelenik meg.

De semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy az eredeti egyenletet a következőképpen írjuk át:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|\Jobbra \balra| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|=\left| x-1 \jobbra|\]

Mi történt? Semmi különös: csak felcserélték a bal és a jobb oldalt. Egy apróság, ami végső soron egy kicsit megkönnyíti az életünket. :)

Általában megoldjuk ezt az egyenletet, figyelembe véve a plusz és mínusz opciókat:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Jobbra ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Jobbra ((x)^(2))-2x+1=0. \\\vége(igazítás)\]

Az első egyenlet gyökei $x=3$ és $x=1$. A második általában egy pontos négyzet:

\[((x)^(2))-2x+1=((\bal(x-1 \jobb))^(2))\]

Ezért csak egy gyöke van: $x=1$. De ezt a gyökeret már korábban megkaptuk. Így csak két szám kerül a végső válaszba:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Küldetés teljesítve! Levehetsz egy pitét a polcról és megeheted. 2 db van, a tiéd a középső. :)

Fontos jegyzet. Azonos gyökerek jelenléte különböző lehetőségeket a modulus kiterjesztése azt jelenti, hogy az eredeti polinomokat faktorizálják, és ezek között biztosan lesz közös. Igazán:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \jobbra|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\vége(igazítás)\]

A modul egyik tulajdonsága: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (azaz a szorzat modulusa egyenlő a modulusok szorzatával), így az eredeti egyenlet a következőképpen írható át:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|\]

Amint látja, valóban van egy közös tényezőnk. Most, ha összegyűjti az összes modult az egyik oldalon, akkor ezt a tényezőt kiveheti a zárójelből:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|; \\& \left| x-1 \jobbra|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \jobbra|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\vége(igazítás)\]

Nos, most ne feledje, hogy a szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \jobbra|=1. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Így az eredeti, két modulból álló egyenletet a két legegyszerűbb egyenletre redukáltuk, amelyekről a lecke legelején beszéltünk. Az ilyen egyenletek szó szerint pár sorban megoldhatók. :)

Ez a megjegyzés szükségtelenül összetettnek és a gyakorlatban alkalmazhatatlannak tűnhet. A valóságban azonban sokkal többel találkozhat összetett feladatok, mint azok, amelyeket ma elemezünk. Bennük a modulok kombinálhatók polinomokkal, aritmetikai gyökökkel, logaritmusokkal stb. És ilyen helyzetekben nagyon-nagyon hasznos lehet az a képesség, hogy csökkentsük az egyenlet általános mértékét oly módon, hogy valamit kiveszünk a zárójelekből. :)

Most egy másik egyenletet szeretnék megnézni, ami első pillantásra őrültségnek tűnhet. Sok diák elakad rajta, még azok is, akik úgy gondolják, hogy jól értenek a modulokhoz.

Ez az egyenlet azonban még könnyebben megoldható, mint amit korábban megvizsgáltunk. És ha megérti, miért, akkor kap egy újabb trükköt az egyenletek modulusokkal történő gyors megoldására.

Tehát az egyenlet:

\[\left| x-((x)^(3)) \jobbra|+\left| ((x)^(2))+x-2 \jobbra|=0\]

Nem, ez nem elírás: ez egy plusz a modulok között. És meg kell találnunk, hogy mekkora $x$-nál egyenlő két modul összege nullával. :)

Egyébként mi a probléma? De a probléma az, hogy minden modul egy pozitív szám, vagy szélsőséges esetben nulla. Mi történik, ha összeadunk két pozitív számot? Nyilván ismét pozitív szám:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Az utolsó sor egy ötletet adhat: a modulok összege csak akkor lehet nulla, ha minden modul nulla:

\[\left| x-((x)^(3)) \jobbra|+\left| ((x)^(2))+x-2 \jobbra|=0\Jobbra \balra\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \jobbra|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(igazítás) \jobbra.\]

És mikor egyenlő a modul nullával? Csak egy esetben - ha a szubmoduláris kifejezés nulla:

\[((x)^(2))+x-2=0\jobbra \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\jobbra \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Így három pontunk van, ahol az első modul nullára áll: 0, 1 és -1; valamint két pont, ahol a második modul nullázódik: −2 és 1. Azonban mindkét modult egyszerre kell nullára állítani, így a talált számok közül ki kell választanunk azokat, amelyek benne vannak mindkét készlet. Nyilvánvalóan csak egy ilyen szám van: $x=1$ - ez lesz a végső válasz.

Hasítási módszer

Nos, már egy csomó problémával foglalkoztunk, és rengeteg technikát tanultunk. Szerinted ennyi? De nem! Most megnézzük a végső technikát - és egyben a legfontosabbat. Szó lesz az egyenletek modulusos felosztásáról. Egyáltalán miről fogunk beszélni? Menjünk vissza egy kicsit, és nézzünk meg néhány egyszerű egyenletet. Például ezt:

\[\left| 3x-5 \jobbra|=5-3x\]

Elvileg már tudjuk, hogyan kell megoldani egy ilyen egyenletet, mert ez egy $\left| formájú szabványos konstrukció. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. De próbáljuk meg kicsit más szemszögből nézni ezt az egyenletet. Pontosabban tekintsük a modulusjel alatti kifejezést. Hadd emlékeztesselek arra, hogy bármely szám modulusa lehet egyenlő magával a számmal, vagy ellentétes is lehet vele:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Valójában ez a kétértelműség az egész probléma: mivel a modulus alatti szám változik (változótól függ), nem világos számunkra, hogy pozitív vagy negatív.

De mi van akkor, ha először azt szeretné, hogy ez a szám pozitív legyen? Például megköveteljük, hogy $3x-5 \gt 0$ - ebben az esetben garantáltan pozitív számot kapunk a modulusjel alatt, és ettől a modulustól teljesen megszabadulhatunk:

Így az egyenletünk lineárissá válik, ami könnyen megoldható:

Igaz, ezeknek a gondolatoknak csak a $3x-5 \gt 0$ feltétellel van értelme - mi magunk vezettük be ezt a követelményt, hogy egyértelműen felfedjük a modult. Ezért cseréljük be a talált $x=\frac(5)(3)$-t ebbe a feltételbe, és ellenőrizzük:

Kiderül, hogy a megadott $x$ értékre a követelményünk nem teljesül, mert a kifejezés egyenlőnek bizonyult nullával, és szigorúan nagyobbnak kell lennie nullánál. Szomorú. :(

De ez rendben van! Hiszen van még egy lehetőség $3x-5 \lt 0$. Sőt: van még $3x-5=0$ eset is - ezt is figyelembe kell venni, különben hiányos lesz a megoldás. Tehát fontolja meg a $3x-5 \lt 0$ esetet:

Nyilvánvaló, hogy a modul mínuszjellel fog megnyílni. Ekkor azonban furcsa helyzet adódik: az eredeti egyenletben mind a bal, mind a jobb oldalon ugyanaz a kifejezés fog kilógni:

Kíváncsi vagyok, hogy a $5-3x$ kifejezés hány $x$-nál lesz egyenlő a $5-3x$ kifejezéssel? Még a Nyilvánvaló Kapitánynak is megfulladna a nyála az ilyen egyenletektől, de tudjuk: ez az egyenlet egy azonosság, i.e. a változó bármely értékére igaz!

Ez azt jelenti, hogy bármelyik $x$ megfelel nekünk. Van azonban egy korlátozásunk:

Más szóval, a válasz nem egyetlen szám lesz, hanem egy teljes intervallum:

Végül még egy esetet kell figyelembe venni: $3x-5=0$. Itt minden egyszerű: a modulus alatt nulla lesz, és a nulla modulusa is egyenlő nullával (ez közvetlenül következik a definícióból):

De akkor az eredeti egyenlet $\left| A 3x-5 \right|=5-3x$ a következőképpen lesz átírva:

Ezt a gyökeret már fentebb megkaptuk, amikor figyelembe vettük a $3x-5 \gt 0$ esetét. Sőt, ez a gyökér a $3x-5=0$ egyenlet megoldása - ez az a megszorítás, amelyet mi magunk vezettünk be a modul visszaállításához. :)

Így az intervallumon kívül megelégszünk az intervallum legvégén fekvő számmal is:

Gyökök kombinálása modulo egyenletekben

A végső válasz teljes összege: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Nem túl gyakori, hogy ekkora baromságot látni egy meglehetősen egyszerű (lényegében lineáris) modulusos egyenletre adott válaszban, Nos, szokja meg: a modul nehézsége az, hogy az ilyen egyenletekben a válaszok teljesen megjósolhatatlanok lehetnek.

Valami más sokkal fontosabb: most elemeztünk egy univerzális algoritmust egy modulusos egyenlet megoldására! És ez az algoritmus a következő lépésekből áll:

1. Egyenlítse az egyenlet minden modulját nullával. Több egyenletet kapunk;
2. Oldja meg ezeket az egyenleteket, és jelölje meg a gyököket a számegyenesen. Ennek eredményeként az egyenes több intervallumra lesz felosztva, amelyek mindegyikében az összes modul egyedileg megjelenik;
3. Oldja meg az eredeti egyenletet minden intervallumhoz, és kombinálja a válaszait.

Ez minden! Már csak egy kérdés maradt: mi a teendő az 1. lépésben kapott gyökerekkel? Tegyük fel, hogy két gyökünk van: $x=1$ és $x=5$. A számsort 3 részre osztják:

A számegyenes intervallumokra bontása pontok segítségével

Tehát mik az intervallumok? Nyilvánvaló, hogy három van belőlük:

1. A bal szélső: $x \lt 1$ — maga az egység nincs benne az intervallumban;
2. Központi: $1\le x \lt 5$ - itt egy benne van az intervallumban, de öt nincs benne;
3. Legjobb: $x\ge 5$ - itt csak az öt szerepel!

Szerintem már érted a mintát. Minden intervallum tartalmazza a bal végét, és nem tartalmazza a jobb oldalt.

Első pillantásra egy ilyen bejegyzés kényelmetlennek, logikátlannak és általában valami őrültnek tűnhet. De higgyen nekem: egy kis gyakorlás után rá fog jönni, hogy ez a megközelítés a legmegbízhatóbb, és nem zavarja a modulok egyértelmű megnyitását. Jobb egy ilyen sémát használni, mint minden alkalommal gondolkodni: adja meg a bal/jobb végét az aktuális intervallumnak, vagy „dobja” a következőbe.

A tanulók számára az egyik legnehezebb téma a modulusjel alatt változót tartalmazó egyenletek megoldása. Először nézzük meg, mihez kapcsolódik ez? Miért például a legtöbb gyerek úgy töri fel a másodfokú egyenleteket, mint a diót, de miért van annyi problémája egy olyan távolról sem bonyolult koncepcióval, mint egy modul?

Véleményem szerint mindezen nehézségek a modulusos egyenletek megoldására vonatkozó világosan megfogalmazott szabályok hiányával járnak. Szóval, döntés másodfokú egyenlet, a tanuló pontosan tudja, hogy először a diszkrimináns formulát, majd a másodfokú egyenlet gyökeinek képleteit kell alkalmaznia. Mi a teendő, ha az egyenletben modulus található? Megpróbáljuk világosan leírni szükséges tervet műveletek abban az esetben, ha az egyenlet a modulusjel alatt ismeretlent tartalmaz. Minden esetre több példát adunk.

De először emlékezzünk modul meghatározása. Szóval, modulo a szám a ezt a számot magát ha a nem negatív és -a, ha szám a nullánál kisebb. Így írhatod:

|a| = a, ha a ≥ 0 és |a| = -a ha a< 0

Ha a modul geometriai jelentéséről beszélünk, emlékezni kell arra, hogy minden valós szám a számtengely egy bizonyos pontjának felel meg. koordináta. Tehát egy szám modulja vagy abszolút értéke az ettől a ponttól a numerikus tengely kezdőpontja közötti távolság. A távolság mindig pozitív számként van megadva. Így bármely negatív szám modulusa pozitív szám. Mellesleg, még ebben a szakaszban is sok diák kezd összezavarodni. A modul bármilyen számot tartalmazhat, de a modul használatának eredménye mindig pozitív szám.

Most térjünk át közvetlenül az egyenletek megoldására.

1. Tekintsünk egy |x| alakú egyenletet = c, ahol c egy valós szám. Ez az egyenlet a modulus definícióval oldható meg.

Az összes valós számot három csoportra osztjuk: a nullánál nagyobbak, nullánál kisebbek, a harmadik csoport pedig a 0. A megoldást diagram formájában írjuk fel:

(±c, ha c > 0

Ha |x| = c, akkor x = (0, ha c = 0

(nincs gyökér, ha együtt< 0

1) |x| = 5, mert 5 > 0, akkor x = ±5;

2) |x| = -5, mert -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, majd x = 0.

2. |f(x)| alakú egyenlet = b, ahol b > 0. Ennek az egyenletnek a megoldásához meg kell szabadulni a modultól. Ezt így csináljuk: f(x) = b vagy f(x) = -b. Most minden kapott egyenletet külön kell megoldania. Ha az eredeti egyenletben b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, mert 4 > 0, akkor

x + 2 = 4 vagy x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, mert 11 > 0, akkor

x 2 – 5 = 11 vagy x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 nincs gyök

3) |x 2 – 5x| = -8, mert -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| alakú egyenlet = g(x). A modul jelentése szerint egy ilyen egyenletnek akkor lesz megoldása, ha a jobb oldala nagyobb vagy egyenlő nullánál, azaz. g(x) ≥ 0. Ekkor lesz:

f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ennek az egyenletnek akkor lesz gyöke, ha 5x – 10 ≥ 0. Itt kezdődik az ilyen egyenletek megoldása.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Megoldás:

2x – 1 = 5x – 10 vagy 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Összevonjuk az O.D.Z. és a megoldást kapjuk:

Az x = 11/7 gyök nem felel meg az O.D.Z.-nek, kisebb, mint 2, de x = 3 teljesíti ezt a feltételt.

Válasz: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2.

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Oldjuk meg ezt az egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Megoldás:

x – 1 = 1 – x 2 vagy x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 vagy x = 1 x = 0 vagy x = 1

3. Egyesítjük a megoldást és az O.D.Z.-t:

Csak az x = 1 és x = 0 gyök megfelelő.

Válasz: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| alakú egyenlet = |g(x)|. Egy ilyen egyenlet ekvivalens a következő két egyenlettel: f(x) = g(x) vagy f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ez az egyenlet a következő kettővel ekvivalens:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 vagy x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 vagy x = 4 x = 2 vagy x = 1

Válasz: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Helyettesítési módszerrel (változócsere) megoldott egyenletek. Ezt a megoldási módot a legegyszerűbben magyarázzuk el konkrét példa. Adjunk tehát egy másodfokú egyenletet modulussal:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Az x 2 = |x| modulus tulajdonság alapján 2, így az egyenlet a következőképpen írható át:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Végezzük el az |x| helyettesítést = t ≥ 0, akkor lesz:

t 2 – 6t + 5 = 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t = 1 vagy t = 5. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = 1 vagy |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Válasz: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Nézzünk egy másik példát:

x 2 + |x| – 2 = 0. Az x 2 = |x| modulus tulajdonság alapján 2, tehát

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Tegyük meg az |x| helyettesítést = t ≥ 0, akkor:

t 2 + t – 2 = 0. Ezt az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy t = -2 vagy t = 1. Térjünk vissza a pótláshoz:

|x| = -2 vagy |x| = 1

Nincs gyök x = ± 1

Válasz: x = -1, x = 1.

6. Az egyenletek másik típusa az „összetett” modulusú egyenletek. Az ilyen egyenletek magukban foglalják azokat az egyenleteket is, amelyek „modulokat tartalmaznak egy modulon belül”. Az ilyen típusú egyenletek a modul tulajdonságaival oldhatók meg.

1) |3 – |x|| = 4. Ugyanúgy járunk el, mint a második típusú egyenleteknél. Mert 4 > 0, akkor két egyenletet kapunk:

3 – |x| = 4 vagy 3 – |x| = -4.

Most fejezzük ki az x modulust minden egyenletben, akkor |x| = -1 vagy |x| = 7.

Minden kapott egyenletet megoldunk. Az első egyenletben nincsenek gyökök, mert -1< 0, а во втором x = ±7.

Válasz x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ezt az egyenletet hasonló módon oldjuk meg:

3 + |x + 1| = 5 vagy 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 vagy x + 1 = -2. Nincsenek gyökerek.

Válasz: x = -3, x = 1.

Létezik egy univerzális módszer is a modulusos egyenletek megoldására. Ez az intervallum módszer. De majd később megnézzük.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Modul számok n az origótól az n pontig terjedő egységszegmensek számát jelenti. Ezenkívül nem számít, hogy ezt a távolságot melyik irányba számolják - a nullától jobbra vagy balra.

Utasítás

• Modul számok ennek abszolút értékének is nevezik számok. Ezt rövid függőleges vonalak jelzik, amelyek bal és jobb oldalán húzódnak számok. Például modul számok 15 a következőképpen van írva: |15|.
• Ne feledje, hogy a modulus csak pozitív szám vagy nulla lehet. Pozitív modulus számok egyenlő magával a számmal. A nulla modulusa nulla. Azaz bárkinek számok n, amely nagyobb vagy egyenlő nullával, a következő képlet lesz érvényes |n| = n. Például |15| = 15, azaz modulus számok 15 egyenlő 15-tel.
• Negatív modulus számok ugyanaz lesz a szám, de ellenkező előjellel. Azaz bárkinek számok n, amely kisebb, mint nulla, az |n| képlet = -n. Például |-28| = 28. Modul számok-28 egyenlő 28-cal.
• Nem csak egész számokra, hanem törtszámokra is találhatunk modulokat. Ezenkívül ugyanezek a szabályok vonatkoznak a törtszámokra is. Például |0,25| = 25, azaz modul számok 0,25 egyenlő lesz 0,25-tel. A |-¾| = ¾, azaz a modul számok-¾ egyenlő lesz ¾-vel.
• A modulusokkal való munka során hasznos tudni, hogy az ellentétes számok moduljai mindig egyenlőek egymással, azaz |n| =|-n|. Ez a modulok fő tulajdonsága. Például |10| = |-10|. Modul számok 10 egyenlő 10-zel, akárcsak a modulus számok-10. Ezenkívül |a - b| = |b - a|, mivel az a ponttól a b pontig tartó távolság és a b-től a távolság egyenlő egymással. Például |25 - 5| = |5 - 25|, azaz |20| = |- 20|.