Mi a kör, az nagyszerű meghatározás. Tanórán kívüli lecke - kör

Kör - geometriai alak, amely a sík ettől a ponttól adott távolságra elhelyezkedő összes pontjából áll.

Ezt a pontot (O) hívják a kör középpontja.
Kör sugara egy vonalszakasz, amely összeköti a középpontot a kör bármely pontjával. Minden sugár azonos hosszúságú (definíció szerint).
Akkord- egy szegmens, amely összeköti a kör két pontját. A kör közepén áthaladó akkordot nevezzük átmérő... A kör középpontja bármely átmérő középpontja.
A kör bármely két pontja két részre osztja. Ezen részek mindegyikét ún egy kör íve... Az ívet ún félkör ha a végeit összekötő vonalszakasz átmérőjű.
Az egység félkör hosszát jelöljük π .
Egy közös végű kör két ívének fokmérőinek összege egyenlő 360º.
A sík kör által határolt részét nevezzük körül.
Körkörös szektor- a kör ív és két sugár által határolt része, amely összeköti az ív végeit a kör középpontjával. A szektort korlátozó ív neve ívszektor.
Két közös középpontú kört neveznek körkörös.
Két derékszögben metsző kört neveznek ortogonális.

Egy egyenes és egy kör kölcsönös elrendezése

1. Ha a kör középpontjától az egyenesig terjedő távolság kisebb, mint a kör sugara ( d), akkor az egyenesnek és a körnek két közös pontja van. Ebben az esetben a sort hívják metsző a körhöz képest.
2. Ha a kör középpontjától az egyenesig terjedő távolság megegyezik a kör sugarával, akkor az egyenesnek és a körnek csak egy közös pontja van. Az ilyen egyenest ún érintő a körhöz, és közös pontjukat nevezik egy vonal és egy kör érintési pontja.
3. Ha a kör középpontjától az egyenesig terjedő távolság nagyobb, mint a kör sugara, akkor az egyenes és a kör nincsenek közös pontjaik
.

Középső és feliratozott sarkok

Közép sarok az a szög, amelynek csúcsa a kör közepén van.
Feliratos sarok- egy szög, amelynek csúcsa a körön fekszik, és oldalai metszik a kört.

Beírt szögtétel

A beírt szöget az ív fele méri, amelyen nyugszik.

• Következtetés 1.
  Az azonos ív alapján felírt szögek egyenlők.


• Következtetés 2.
  A félkörön nyugvó beírt szög egyenes.

A tétel a metsző akkordok szegmenseinek szorzatáról.

Ha a kör két akkordja metszi egymást, akkor az egyik akkord szegmenseinek szorzata egyenlő a másik akkord szegmenseinek szorzatával.

Alap képletek

• Körméret:

C = 2 ∙ π ∙ R

• Körív hossza:

R = С / (2 ∙ π) = D / 2

• Átmérő:

D = C / π = 2 ∙ R

• Körív hossza:

l = (π ∙ R) / 180 ∙ α,
ahol α - a körív hosszának mértéke)

• Egy kör területe:

S = π ∙ R 2

• Körkörös szektor:

S = ((π ∙ R 2) / 360) ∙ α

Kör egyenlet

• Egy téglalap alakú koordinátarendszerben a sugarú kör egyenlete r pontban középre C(x о; y о) formája:

(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2

• Az r sugarú kör egyenlete az origó középpontjában a következő:

x 2 + y 2 = r 2

Kör Olyan alak, amely a sík összes pontjából áll, amelyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól.

Alapfogalmak:

Kör középpontja Egy pont, amely egyenlő távolságra van a kör pontjaitól.

Sugár A kör pontjaitól a középpontjáig mért távolság (egyenlő az átmérő felével, 1. ábra).

Átmérő Egy akkord halad át a kör közepén (1. ábra).

Akkord Ez egy szegmens, amely összeköti a kör két pontját (1. ábra).

Tangens Egy egyenes, amelynek csak egy közös pontja van egy körrel. Átmegy a kör egy pontján, amely merőleges az erre a pontra húzott átmérőre (1. ábra).

Metsző Egy egyenes halad át a kör két különböző pontján (1. ábra).

Egységkör Olyan kör, amelynek sugara egy.

Egy kör íve A kör egy része, amelyet a kör két nem egyező pontja oszt el.

1 radián Egy kör íve által alkotott szög egyenlő -e a sugár hosszával (4. ábra).
1 radián = 180˚: π ≈ 57,3˚

Közép sarok A szög a csúccsal a kör közepén van. Egyenlő az ív mértékével, amelyen nyugszik (2. ábra).

Feliratos sarok Ez egy szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és az oldalak metszik ezt a kört. Egyenlő az ív fokmérőjének felével, amelyen nyugszik (3. ábra).

Két közös középpontú kört neveznek körkörös.

Két derékszögben metsző kört neveznek ortogonális.

A kör kerülete és területe:

Legenda:
Kerület - C
Átmérő hossza - d
Sugárhossz - r

Jelentéseπ :
A kör kerületének és az átmérő hosszának arányát a görög π (pi) betű jelöli.

22
π = -
7

Körméret képlet:

C = πd, vagy C = 2πr

Kör terület képletei:

C r
S = -
2

π D 2
S = ---
4

Egy kör alakú szektor és egy kör alakú szegmens területe.

Körkörös szektor A kör azon része, amely a megfelelő középső sarokban található. Egy kör alakú szektor területének képlete: πR 2 S = ---α 360 ahol π - állandó érték 3,1416; R - a kör sugara; α A megfelelő középszög fokmérője. Kör alakú szegmens Egy kör és félsík közös része. A kör alakú szegmens területének képlete: πR 2 S = ---α ± S Δ 360 ahol α - ennek a kör alakú szegmensnek az ívét tartalmazó középső szög fokmérője; S Δ - egy háromszög területe, amelynek csúcsai vannak a kör közepén és a megfelelő szektort határoló sugarak végén. A mínusz jelet akkor kell felvenni, amikor α< 180˚, а знак «плюс» надо брать, когда α >180˚.

Egy kör egyenlete derékszögű koordinátákbanx, y pont középpontjában (a; b):

(x -a) 2 + (y - b) 2 = R 2

Egy kör egy háromszög körül (4. ábra).

Háromszögbe írt kör (5. ábra).

Körbe írt szögek (3. ábra).

Olyan szöget nevezünk, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és oldalai metszik ezt a kört körbe írva.

Alapfogalmak:

A szög két részre osztja a síkot. Ezen részek mindegyikét ún lapos szög.

Lapos sarkok közös bulik hívják további.

Egy sík szöget nevezünk, amelynek csúcsa van a kör közepén középső sarok(2. ábra)

Egy kör akkordjainak és szakaszainak vonalszegmenseinek arányossága.

Különleges esetek és képletek:

1) A C pontból, amely a körön kívül van, húzzon érintőt a körhöz, és jelölje érintkezési pontját D betűvel.

Ezután ugyanabból a C pontból rajzolunk egy szekánt, és a szekáns és a kör metszéspontjait A és B betűvel jelöljük (8. ábra).

Ebben az esetben:

CD 2 =ACidőszámításunk előtt

2) Rajzolja fel az AB átmérőt a körbe. Ezután a körön elhelyezkedő C pontból merítsünk erre az átmérőre merőlegeset, és jelöljük a kapott CD szegmenst (9. ábra).

Ebben az esetben:

CD 2 =HIRDETÉSBD.

Először is kitaláljuk a különbséget a kör és a kör között. Ahhoz, hogy meglássuk ezt a különbséget, elég megfontolni, hogy mi a két szám. Számtalan pont van a síkban, egyenlő távolságra egyetlen középponttól. De ha a kör abból áll belső tér, akkor nem tartozik a körhöz. Kiderül, hogy a kör egy kör is, amely körülveszi (o-kör (z)), és számtalan pont van a körön belül.

A körön fekvő bármely L pontra érvényes az OL = R egyenlőség. (Az OL vonalszakasz hossza megegyezik a kör sugarával).

A kör két pontját összekötő szegmens az övé akkord.

A kör közepén közvetlenül áthaladó akkord az átmérő ezt a kört (D). Az átmérő a következő képlet segítségével számítható ki: D = 2R

Körméret képlettel számolva: C = 2 \ pi R

Egy kör területe: S = \ pi R ^ (2)

Egy kör íve annak a részét hívják, amely két pontja között helyezkedik el. Ez a két pont két körívet határoz meg. A CD akkord két ívet köt össze: CMD és CLD. Az azonos akkordok hasonló íveket kötnek össze.

Közép sarok szögnek nevezzük, amely két sugár között van.

Ívhossz a képlet alapján megtalálható:

1. Fokmérő használata: CD = \ frac (\ pi R \ alpha ^ (\ circ)) (180 ^ (\ circ))
2. Radiánmérték használatával: CD = \ alfa R

Az akkordra merőleges átmérő felére osztja az akkordot és az íveket.

Ha a kör AB és CD akkordjai metszik egymást az N pontban, akkor az akkordok szegmenseinek szorzatai, amelyeket N pont választ el, egyenlők egymással.

AN \ cdot NB = CN \ cdot ND

Kör érintő

Érintő a körhöz szokás egy olyan egyenest hívni, amelynek egy közös pontja van egy körrel.

Ha egy egyenesnek két közös pontja van, akkor ún metsző.

Ha egy sugarat húz egy érintőpontra, akkor az merőleges lesz a kör érintőjére.

Rajzoljunk két érintőt ebből a pontból a körünkbe. Kiderül, hogy az érintők szegmensei egymáshoz igazodnak, és a kör középpontja ezen a ponton a csúcs szögfelezőjén helyezkedik el.

AC = CB

Most rajzoljunk egy érintőt és egy szekánt a körhöz a pontunkból. Azt kapjuk, hogy az érintő szegmens hosszának négyzete egyenlő lesz a teljes szakaszos szegmens szorzatával a külső része alapján.

AC ^ (2) = CD \ cdot BC

Azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az első szekvencia egész szegmensének szorzata külső része alapján egyenlő a második szakasz teljes szegmensének szorzatával külső része szerint.

AC \ cdot BC = EC \ cdot DC

Szögek körben

A középső szög és az ív mértékének mértéke egyenlő.

\ szög COD = \ csésze CD = \ alfa ^ (\ kör)

Feliratos sarok Olyan szög, amelynek csúcsa egy körön van, és amelynek oldalai akkordokat tartalmaznak.

Az ív nagyságának ismeretében kiszámíthatja, mivel ez egyenlő az ív felével.

\ szög AOB = 2 \ szög ADB

Az átmérő, a beírt szög, az egyenes alapján.

\ szög CBD = \ szög CED = \ szög CAD = 90 ^ (\ kör)

Az egy íven nyugvó beírt szögek azonosak.

Az egy akkordon alapuló felírt szögek azonosak, vagy összegük 180 ^ (\ circ).

\ szög ADB + \ szög AKB = 180 ^ (\ kör)

\ szög ADB = \ szög AEB = \ szög AFB

Az egyik körön azonos szögekkel és adott alappal rendelkező háromszögek csúcsai találhatók.

A körön belüli csúccsal és két akkord között elhelyezkedő szög megegyezik az összeg felével szögértékek egy kör ívei, amelyek az adott és függőleges sarkokban találhatók.

\ szög DMC = \ szög ADM + \ szög DAM = \ frac (1) (2) \ bal (\ csésze DmC + \ csésze AlB \ jobb)

A szög, amelynek csúcsa a körön kívül helyezkedik el, és a két szakasz között helyezkedik el, megegyezik a kör íveinek szögértékeinek különbségével, amelyek a sarkon belül vannak.

\ szög M = \ szög CBD - \ szög ACB = \ frac (1) (2) \ bal (\ csésze DmC - \ csésze AlB \ jobb)

Feliratos kör

Feliratos kör Egy kör érintője a sokszög oldalait.

Abban a pontban, ahol a sokszög sarkainak felezői metszik egymást, a középpontja található.

Lehet, hogy nem minden körbe írnak kört.

A sokszög területét feliratos körrel a következő képlet határozza meg:

S = pr,

p a sokszög félperimétere,

r a beírt kör sugara.

Ebből következik, hogy a beírt kör sugara:

r = \ frac (S) (p)

Az ellentétes oldalak hosszának összege azonos lesz, ha a kört domború négyszögbe írjuk. És fordítva: egy kört domború négyszögbe írnak, ha a benne lévő ellentétes oldalak hosszának összege azonos.

AB + DC = AD + BC

Bármelyik háromszögbe írhatunk kört. Csak egyetlen egyet. Azon a ponton, ahol a felezők metszik egymást belső sarkokábra, ennek a feliratos körnek a középpontja fekszik.

A beírt kör sugara a következő képlettel számítható ki:

r = \ frac (S) (p),

ahol p = \ frac (a + b + c) (2)

Körbeírt kör

Ha egy kör áthalad a sokszög minden csúcsán, akkor az ilyen kört általában hívják sokszög körül.

A körülírt kör középpontja az ábra oldalainak középső merőlegeinek metszéspontjában lesz.

A sugár úgy határozható meg, hogy kiszámítjuk, mint egy kör sugarát, amelyet a sokszög tetszőleges 3 csúcsa által meghatározott háromszög körül veszünk körül.

A következő feltétel áll fenn: négyzet körüli kört csak akkor lehet leírni, ha szemközti szögeinek összege 180 ^ (\ circ).

\ szög A + \ szög C = \ szög B + \ szög D = 180 ^ (\ kör)

Bármely háromszög körül leírhat egy kört, és csak egyet. Egy ilyen kör középpontja a háromszög oldalai középső merőleges metszéspontjában lesz.

A körülírt kör sugara a következő képletek segítségével számítható ki:

R = \ frac (a) (2 \ sin A) = \ frac (b) (2 \ sin B) = \ frac (c) (2 \ sin C)

R = \ frac (abc) (4 S)

a, b, c - a háromszög oldalainak hossza,

S a háromszög területe.

Ptolemaiosz tétele

Végül vegyük figyelembe Ptolemaiosz tételét.

Ptolemaiosz tétele kimondja, hogy az átlók szorzata megegyezik a felírt négyszög ellentétes oldalai szorzatának összegével.

AC \ cdot BD = AB \ cdot CD + BC \ cdot AD

Kör egy olyan ábra, amely a sík összes pontjából áll, amelyek egyenlő távolságra vannak egy adott ponttól. Ezt a pontot a kör középpontjának nevezik.

A nulla sugarú kör (degenerált kör) egy pont, néha ez az eset kizárt a definícióból.

Kollégiumi YouTube

1 / 5

Kör és tulajdonságai (bezbotvy)

Feliratos és körülírt kör - bezbotvy által

Matematika: felkészülés a vizsgára és a vizsgára. Planimetria. Körök és tulajdonságaik

Matematika 26. Iránytű. Kör és kör - Shishkina iskola

A KÖR EGYENLŐSÉGE. 18. FELADAT (C5). ARTHUR SHARIFOV

Feliratok

Kijelölés

Ha egy kör például áthalad az A, B, C ponton, akkor ezt a pontokat zárójelben feltüntetve jelöljük: (A, B, C). Ekkor az A, B, C ponton áthaladó kör ívét ABC (vagy AC ív), valamint υ ABC (vagy υ AC) ívként jelöljük.

Más definíciók

• Átmérő kerülete AB A, B AB derékszögben látható (a kör átmérője alapján meghatározott szögön keresztül).

• Kör akkorddal AB pontból álló ábra A, Bés a sík minden pontja, ahonnan a szegmens AB egyik oldalról állandó szögben látva, egyenlő beírt ív AB szög, és a másik oldalon egy másik állandó szögben, amely egyenlő 180 fokkal beírt ív AB szög fenti (Meghatározás a beírt szögön keresztül).
• Egy ilyen pontokból álló ábra X, (\ displaystyle X,) hogy a szegmensek hosszának aránya FEJSZEés Bxállandóan: A X B X = c ≠ 1, (\ displaystyle (\ frac (AX) (BX)) = c \ neq 1,) egy kör (Meghatározás Apollonius körén keresztül).
• Egy olyan szám, amely minden ilyen pontból áll, és amelyek mindegyike két pont közötti távolság négyzeteinek összege megegyezik egy adott értékkel, az e pontok közötti távolság négyzetének több mint fele, szintén kör. a Pitagorasz -tételt egy önkényre derékszögű háromszög körbe írva, a hypotenuse a kör átmérője).
• M rajzoljon bele bármilyen akkordot AB, CD, EFés így tovább, akkor az egyenlőség igaz: A M ⋅ M B = C M ⋅ M D = E M ⋅ M F =… (\ displaystyle AM ​​\ cdot (MB) = CM \ cdot (MD) = EM \ cdot (MF) = \ dots)... Az egyenlőség mindig megmarad a pontválasztástól függetlenül Més az azon keresztül húzott akkordok irányai (Meghatározás metsző akkordokon keresztül).
• A kör egy zárt, önmagát nem metsző alak a következő tulajdonsággal. Ha egy tetszőleges ponton keresztül M azon kívül két érintőt húznak érintési pontjukra a körrel, pl. Aés B, akkor hosszuk mindig egyenlő lesz: M A = M B (\ displaystyle MA = MB)... Az egyenlőség mindig megmarad a pontválasztástól függetlenül M(Meghatározás egyenlő érintőkön keresztül).
• A kör egy zárt, önmagát nem metsző alak a következő tulajdonsággal. Bármely akkordjának hosszának és szinuszának aránya beírt szög ezen az akkordon alapuló állandó érték, amely megegyezik ennek a körnek az átmérőjével (Definíció a szinuszok tétele alapján).
• A kör az különleges eset egy ellipszis, amelynek távolsága a gócok között nulla (definíció egy elfajult ellipszisen keresztül).

Kapcsolódó definíciók egy körhöz

• A sík pontjainak lókuszát, amelytől a távolság egy adott pontig nem több, mint egy adott nem nulla, ún. körül .
• Sugár- nem csak a távolság értéke, hanem a kör középpontját az egyik pontjával összekötő szegmens is. A sugár mindig fele átmérő körök.
• A sugár mindig merőleges a körre húzott érintővonalra a körrel közös pontjában. Vagyis a sugár egyben a kör normálisa is.
• A kört ún egyetlen ha sugara egyenlő eggyel. Egységkör a trigonometria egyik fő tárgya.
• A kör két pontját összekötő szegmenst nevezzük akkord... A kör közepén áthaladó akkordot nevezzük átmérő.
• A kör bármely két pontja, amely nem esik egybe, két részre osztja. Ezen részek mindegyikét ún egy kör íve... Az ívet ún félkör ha a végeit összekötő vonalszakasz átmérőjű.
• Az egység félkör hosszát jelöljük.

• Egy egyenest, amelynek pontosan egy közös pontja van egy körrel, nevezzük tangens a körhöz, közös pontjukat pedig az egyenes és a kör érintőpontjának nevezzük.
• Tangens egy körre mindig merőleges a sugarára (és átmérőjére), amelyet az érintési pontra húzunk, azaz Normál rajzolt ezen a ponton.
• Egy egyenes kettőn keresztül különböző pontok körök, ún metsző.

Háromszögek meghatározása egy körhöz

• Az ABC háromszög neve körbe írva(A, B, C), ha mindhárom csúcsa A, B és C ezen a körön fekszik. Ebben az esetben a kört hívják körülírt kör háromszög ABC (Lásd körülírt kör).
• Tangens a beírt háromszög bármely csúcsán áthúzott körhöz párhuzamos a háromszög ezzel a csúccsal szemközti oldala.
• Az ABC háromszög neve kör körül van írva(A ", B", C "), ha mindhárom AB, BC és CA oldal érinti ezt a kört néhány C", A "és" B "pontban. Ebben az esetben a kört hívják beírt kör ABC háromszög (Lásd a körívet).

Egy kör szögmeghatározásai

• A szög, amelyet a kör sugarának megfelelő hosszúságú ív alkot, a sugara 1 radián.

• Központi szög - az a szög, amelynek csúcsa a kör közepén van. A középső szög megegyezik az ív radián / fok mértékével, amelyen nyugszik (lásd az ábrát).
• Feliratos szög - olyan szög, amelynek csúcsa egy körön fekszik, és az oldalak metszik ezt a kört. Feliratos sarok egyenlő az ív fokmérőjének felével, amelyen nyugszik (lásd az ábrát).
• Külső sarok számára Feliratos szög - az egyik oldal és a másik oldal folytatása által alkotott szög feliratos szög (lásd ábra szög θ Barna). Külső sarok mert a kör szögének másik oldalán lévő felirat azonos értékű θ .
• Egy kör és egy egyenes közötti szög- az egyenes és a kör érintője közötti szög az egyenes és a kör metszéspontjában. A metsző kör és egyenes közötti szögek egyenlők.
• Szög a kör átmérője alapján- az ebbe a körbe írt szög, amelynek oldalai az átmérő végeit tartalmazzák. Ő mindig közvetlen.

Kapcsolódó definíciók két körhöz

• Két közös középpontú kört neveznek körkörös.
• Két kört neveznek, amelyeknek csak egy közös pontja van vonatkozó külsőleg, ha köreiknek nincs más közös pontja, és belső módon, ha körük egymáson belül fekszik.
• Két kört, amelynek két közös pontja van, nevezzük metsző... Körük (általuk korlátozott) egy kettős kör szegmensnek nevezett területen metszi egymást.
• Sarok két metsző (vagy érintő) kör között a közös metszéspontban (vagy érintésben) megrajzolt érintőik közötti szöget nevezzük.
• Azonos szög két metsző (vagy érintő) kör között tekinthető a sugaruk (átmérőjük) közötti szög, amelyet közös metszéspontban (vagy érintésben) rajzolunk.
• Mivel bármely kör esetében annak sugara (vagy átmérője) és a kör bármely pontján áthúzott érintő egymásra merőleges, a sugár (vagy átmérő) tekinthető Normál az adott pontban felépített körhöz. Következésképpen az előző két bekezdésben meghatározott kétféle szög mindig egyenlő lesz egymással, mint a szögek, amelyeknek egymásra merőleges oldalai vannak.
• derékszögeket neveznek ortogonális... A körök számolhatók ortogonális ha derékszöget alkotnak egymással.
• Két kör radikális tengelye- pontok lókusza, amelynek fokai két adott körhöz képest egyenlők. Más szóval, bármely érintőpontból két adott körre húzott négy érintő hossza egyenlő M adott lókuszpont.

Szög definíciók két körhöz

• Két metsző kör közötti szög- a körök érintési pontja közötti szöget e körök metszéspontjában. Két metsző kör közötti mindkét szög egyenlő.
• Szög két szétválasztott kör között- két közös érintő és két kör közötti szög, amely e két érintő metszéspontjában keletkezik. E két érintő metszéspontjának a két kör között kell lennie, és nem az egyikük oldalán (ezt a szöget nem veszik figyelembe). Mindkét függőleges szög két diszjunkt kör között egyenlő.

Ortogonalitás

• Két derékszögben metsző kört neveznek ortogonális... A körök számolhatók ortogonális ha derékszöget alkotnak egymással.
• Az A és B pontokban O és O középponttal metsző két kört nevezzük ortogonális ha derékszög OAO "és OBO". Ez az állapot garantálja derékszög a körök között. Ebben az esetben a metszéspontjukra húzott két kör sugara (normális) merőleges. Következésképpen a metszéspontjukra húzott két kör érintői is merőlegesek. A kör érintője merőleges az érintőpontra húzott sugárra (normál). Jellemzően a görbék közötti szög a metszéspontjukon húzott érintők közötti szög.
• További kiegészítő feltétel is lehetséges. Legyen két A és B pontban metsző kör a C és D pontban metsző ívek felezőpontja, vagyis az AC ív egyenlő a CB ível, az AD ív egyenlő a DB ívvel. Akkor ezeket a köröket hívják ortogonális ha a derékszögű СAD és СBD.

Három körhöz kapcsolódó meghatározások

• Három kört kölcsönösen érintőnek (metszőnek) neveznek, ha bármelyik kettő megérinti (metszi) egymást.
• A geometriában radikális központ három kör közül a körpárok három radikális tengelyének metszéspontja. Ha a radikális középpont mindhárom körön kívül helyezkedik el, akkor ez az egyetlen kör középpontja ( radikális kör), amely három adott kört metsz ortogonálisan.

Archimedes lemma

Bizonyíték

Legyen G (\ displaystyle G)- homothetia, egy kis kört nagyra alakítva. Akkor egyértelmű, hogy A 1 (\ displaystyle A_ (1)) ennek a homotétikának a középpontja. Aztán az egyenes B C (\ displaystyle BC) valamiféle egyenes vonalba kerül a (\ displaystyle a)érintő a nagy körhöz, és A 2 (\ displaystyle A_ (2)) ezen a vonalon egy pontra megy, és a nagy körhöz tartozik. Emlékeztetve arra, hogy a homothetia az egyeneseket a velük párhuzamos vonalakká alakítja, megértjük ezt a ∥ B C (\ displaystyle a \ BC BC)... Legyen G (A 2) = A 3 (\ displaystyle G (A_ (2)) = A_ (3))és D (\ displaystyle D)- mutat egy egyenes vonalon a (\ displaystyle a), olyan, hogy éles, és E (\ displaystyle E)- ilyen pont egy egyenes vonalon a (\ displaystyle a), mit ∠ B A 3 E (\ displaystyle \ szög BA_ (3) E)- fűszeres. Aztán azóta a (\ displaystyle a)- érintő a nagy körhöz ∠ C A 3 D (\ displaystyle \ szög CA_ (3) D)= (\ displaystyle =)∠ C B A 3 (\ displaystyle \ szög CBA_ (3))= ∠ B A 3 E = ∠ B C A 3 (\ displaystyle = \ szög BA_ (3) E = \ szög BCA_ (3))... Következésképpen △ B C A 3 (\ displaystyle \ bigtriangleup BCA_ (3))- egyenlő szárú, ami azt jelenti ∠ B A 1 A 3 = ∠ C A 1 A 3 (\ displaystyle \ szög BA_ (1) A_ (3) = \ szög CA_ (1) A_ (3)), azaz A 1 A 2 (\ displaystyle A_ (1) A_ (2))- szögfelező ∠ B A 1 C (\ displaystyle \ szög BA_ (1) C).

Descartes tétele négy páros érintő kör sugarára

Descartes tétele " kijelenti, hogy bármely négy egymást érintő kör sugara kielégít bizonyos másodfokú egyenleteket. Néha Soddy köröknek nevezik őket.

Tulajdonságok

x 2 + y 2 = R 2. (\ displaystyle x ^ (2) + y ^ (2) = R ^ (2).)

Pontokon áthaladó kör egyenlete (x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3), (\ displaystyle \ left (x_ (1), y_ (1) \ right), \ left (x_ (2) , y_ (2) \ jobb), \ bal (x_ (3), y_ (3) \ jobb),) ne feküdjön egy egyenes vonalon (determináns használatával):

| x 2 + y 2 x y 1 x 1 2 + y 1 2 x 1 y 1 1 x 2 2 + y 2 2 x 2 y 2 1 x 3 2 + y 3 2 x 3 y 3 1 | = 0. (\ displaystyle (\ begin (vmatrix) x ^ (2) + y ^ (2) & x & y & 1 \\ x_ (1) ^ (2) + y_ (1) ^ (2) & x_) (1) & y_ (1) & 1 \\ x_ (2) ^ (2) + y_ (2) ^ (2) & x_ (2) & y_ (2) & 1 \\ x_ (3) ^ (2 ) + y_ (3) ^ (2) & x_ (3) & y_ (3) & 1 \ end (vmatrix)) = 0.) (x = x 0 + R cos ⁡ φ y = y 0 + R sin ⁡ φ, 0 ⩽ φ< 2 π . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+R\cos \varphi \\y=y_{0}+R\sin \varphi \end{cases}},\;\;\;0\leqslant \varphi <2\pi .}

A derékszögű koordinátarendszerben a kör nem függvény gráfja, de úgy írható le, mint a következő két függvény grafikonjainak egyesítése:

y = y 0 ± R 2 - (x - x 0) 2. (\ displaystyle y = y_ (0) \ pm (\ sqrt (R ^ (2) - (x -x_ (0)) ^ (2))).)

Ha a kör középpontja egybeesik az eredettel, a függvények a következő formát öltik:

y = ± R 2 - x 2. (\ displaystyle y = \ pm (\ sqrt (R ^ (2) -x ^ (2))).)

Poláris koordináták

Kör sugara R (\ displaystyle R) pontban középre (ρ 0, ϕ 0) (\ displaystyle \ left (\ rho _ (0), \ phi _ (0) \ right)).

Ha általános képet szeretne kapni arról, hogy mi a kör, nézzen egy gyűrűt vagy karikát. Vehet egy kerek poharat és csészét is, fejjel lefelé egy papírlapra helyezve, és körberajzolja ceruzával. Többszörös nagyításkor a kapott vonal vastag és egyenetlen lesz, élei pedig homályosak. A körnek, mint geometriai alaknak nincs olyan jellemzője, mint a vastagság.

Kör: meghatározás és alapvető leírási eszközök

A kör egy zárt görbe, amely sok pontból áll, amelyek ugyanabban a síkban helyezkednek el, és azonos távolságra vannak a kör középpontjától. Ebben az esetben a középpont ugyanabban a síkban van. Általában O betűvel jelölik.

A kör bármely pontja és a középpont közötti távolságot sugárnak nevezzük, és R betűvel jelöljük.

Ha a kör bármely két pontját összekapcsolja, akkor a kapott szegmenst akkordnak nevezzük. A kör közepén áthaladó akkord a D betűvel jelölt átmérő. Az átmérő a kört két egyenlő ívre osztja, és kétszer olyan hosszú, mint a sugár. Tehát D = 2R, vagy R = D / 2.

Az akkord tulajdonságai

1. Ha húzunk egy akkordot a kör bármely két pontján, majd merőlegesen az utóbbira - a sugárra vagy az átmérőre, akkor ez a szegmens mind az akkordot, mind az általa levágott ívet két egyenlő részre osztja. A fordított állítás is igaz: ha a sugár (átmérő) felére osztja az akkordot, akkor merőleges rá.
2. Ha ugyanazon a körön belül két párhuzamos akkordot rajzolunk, akkor az általuk levágott ívek, valamint a közöttük levő ívek egyenlők lesznek.
3. Rajzoljunk két PR és QS akkordot, amelyek metszik egymást a T pont körén belül. Az egyik akkord szegmenseinek szorzata mindig egyenlő lesz a másik akkord szegmenseinek szorzatával, azaz PT x TR = QT x TS.

Kerület: általános fogalom és alapképletek

Ennek a geometriai alakzatnak az egyik alapvető jellemzője a kerület. A képletet olyan értékekből származtatják, mint a sugár, az átmérő és a "π" állandó, amely tükrözi a kör kerületének és átmérőjének arányát.

Így L = πD vagy L = 2πR, ahol L a kerület, D az átmérő, R a sugár.

A kerület képletét tekinthetjük kezdetinek, amikor egy adott kerület mentén találjuk meg a sugarat vagy átmérőt: D = L / π, R = L / 2π.

Mi a kör: alapvető posztulátumok

• nincsenek közös pontjaik;
• legyen egy közös pontja, míg az egyenest érintőnek nevezzük: ha a sugarat a középponton és az érintőponton keresztül húzzuk, akkor merőleges lesz az érintőre;
• két közös pontja van, míg az egyenest szekánsnak nevezik.

2. Egy síkban fekvő három tetszőleges ponton keresztül legfeljebb egy kör rajzolható meg.

3. Két kör csak egy ponton érintkezhet, amely a körök középpontjait összekötő szegmensen helyezkedik el.

4. A középpont körüli bármely kanyarban a kör önmagába megy.

5. Mi a kör szimmetria szempontjából?

• az egyenes görbülete bármely ponton;
• az O ponthoz képest;
• tükör szimmetria az átmérő körül.

6. Ha két tetszőleges feliratú szöget épít fel ugyanazon körív alapján, akkor egyenlők lesznek. A felével egyenlő ívre támaszkodó szög, vagyis egy akkordátmérővel elvágva, mindig 90 °.

7. Ha összehasonlítjuk az azonos hosszúságú zárt ívelt vonalakat, akkor kiderül, hogy a kör határolja a legnagyobb terület síkjának metszetét.

Egy kör, amelyet háromszögbe írtak és körülírták

Az ötlet, hogy mi a kör, hiányos lesz, ha nincs leírva ennek a háromszögekkel való kapcsolatának jellemzői.

1. Háromszögbe írt kör építésekor a középpontja mindig egybeesik a háromszög metszéspontjával.
2. A háromszög körül körülírt kör középpontja a háromszög mindkét oldalára eső középső merőleges metszéspontjában található.
3. Ha egy kört ír le, akkor annak középpontja a hypotenuse közepén lesz, vagyis az utóbbi az átmérő.
4. A beírt és körülírt körök középpontjai ugyanabban a pontban helyezkednek el, ha az építkezés alapja

Alapvető állítások a körökről és a négyszögekről

1. Egy domború négyszög körül csak akkor írható le kör, ha szemközti belső szögeinek összege 180 °.
2. Lehetséges konvex négyszögbe írt kör létrehozása, ha az ellenkező oldalai hosszúságainak összege megegyezik.
3. Leírhat egy kört egy paralelogramma körül, ha annak sarkai megfelelőek.
4. Egy kört paralelogrammába írhat, ha minden oldala egyenlő, vagyis rombusz.
5. Csak akkor lehet kört építeni a trapéz sarkain, ha egyenlő szárú. Ebben az esetben a körülírt kör középpontja a négyszög és az oldalsó oldalra húzott középső merőleges metszéspontjában lesz.