Határozza meg az ellipszis főtengelyének hosszát! Másodrendű görbék

Meghatározás 7.1. A sík azon pontjainak halmazát, amelyekre két fix pont F 1 és F 2 távolságának összege adott állandó, ún. ellipszis.

Az ellipszis definíciója megadja következő út geometriai felépítése. Rögzítünk két F 1 és F 2 pontot a síkon, és egy nem negatív állandót jelölünk 2a-val. Legyen az F 1 és F 2 pontok távolsága 2c. Képzeljük el, hogy például két tű segítségével egy 2a hosszúságú nyújthatatlan fonalat rögzítünk az F 1 és F 2 pontokhoz. Nyilvánvaló, hogy ez csak ≥ c esetén lehetséges. Nyújtsa meg a cérnát ceruzával, húzzon egy vonalat, amely ellipszis lesz (7.1. ábra).

Tehát a leírt halmaz nem üres, ha a ≥ c. A = c esetén az ellipszis egy F 1 és F 2 végű szakasz, c = 0 esetén pedig, azaz. ha az ellipszis definíciójában megadott fix pontok egybeesnek, akkor a sugarú körről van szó. Ha ezeket a degenerált eseteket elvetjük, akkor általában azt feltételezzük, hogy a> c> 0.

Az ellipszis 7.1 definíciójában (lásd 7.1. ábra) szereplő F 1 és F 2 rögzített pontokat ún. ellipszis gócai, a köztük lévő távolság, amelyet 2c jelöl, az fókusztávolság, és az ellipszis egy tetszőleges M pontját a fókuszával összekötő F 1 M és F 2 M szakaszok fókuszsugarak.

Az ellipszis alakját teljesen meghatározza a fókusztávolság | F 1 F 2 | = 2с és az a paraméter, és helyzete a síkon egy F 1 és F 2 pontpár.

Az ellipszis definíciójából az következik, hogy szimmetrikus az F 1 és F 2 fókuszokon átmenő egyenesre, valamint az F 1 F 2 szakaszt kettéosztó és merőleges egyenesre. hozzá (7.2. ábra, a). Ezeket a vonalakat hívják ellipszis tengelyek... Metszéspontjuk O pontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, és ezt ún az ellipszis középpontja, valamint az ellipszis és a szimmetriatengelyek metszéspontjai (7.2. ábra A, B, C és D pontjai, a) - az ellipszis csúcsai.

Az a számot hívják egy ellipszis fél-főtengelye, és b = √ (a 2 - c 2) annak fél-minor tengely... Könnyen belátható, hogy c> 0 esetén az a fél-nagy tengely egyenlő az ellipszis középpontja és az ellipszis fókuszpontjaival egy tengelyen lévő csúcsok közötti távolsággal (az A és B a 7.2. ábrán, a) és a b fél-minor tengely egyenlő a középső ellipszis és a másik két csúcs (a 7.2. ábrán a C és D csúcsok a) távolságával.

Ellipszis egyenlet. Tekintsünk a síkon néhány ellipszist, amelynek fókusza az F 1 és F 2 pontokban, a 2a nagytengelyen található. Legyen 2c a fókusztávolság, 2c = |F 1 F 2 |

Válasszunk egy Oxy téglalap alakú koordinátarendszert a síkon úgy, hogy az origója egybeessen az ellipszis középpontjával, és a fókuszok abszcissza tengely(7.2. ábra, b). Ezt a koordinátarendszert ún kánoni a vizsgált ellipszisre, és a megfelelő változók kánoni.

A kiválasztott koordinátarendszerben a fókuszok F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinátákkal rendelkeznek. A pontok közötti távolság képletével felírjuk az | F 1 M | feltételt + | F 2 M | = 2a koordinátákban:

√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ez az egyenlet kényelmetlen, mert két négyzetgyököt tartalmaz. Ezért átalakítjuk. Mozgassa a (7.2) egyenlet második gyökjét a jobb oldalra, és állítsa négyzetbe:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

A zárójelek kinyitása és a hasonló kifejezések redukálása után megkapjuk

√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ahol ε = c / a. A négyzetesítési műveletet megismételjük a második gyök eltávolítására is: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, vagy a bevitt ε paraméter értékét figyelembe véve (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Mivel a 2 - c 2 = b 2> 0, akkor

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)

A (7.4) egyenletet az ellipszisen fekvő összes pont koordinátái teljesítik. Ennek az egyenletnek a származtatása során azonban az eredeti (7.2) egyenlet nem egyenértékű transzformációit használták - két négyzetre emelve, eltávolítva a négyzetgyököket. Egy egyenlet négyzetre emelése ekvivalens transzformáció, ha mindkét oldala azonos előjelű értékeket tartalmaz, de ezt a transzformációinknál nem ellenőriztük.

Nem biztos, hogy ellenőrizzük a transzformációk egyenértékűségét, ha figyelembe vesszük a következőket. F 1 és F 2 pontpár, | F 1 F 2 | = 2c, a síkon egy ellipsziscsaládot határoz meg ezeken a pontokon fókuszokkal. A sík minden pontja, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait, a megadott család valamelyik ellipsziséhez tartozik. Ebben az esetben nincs két ellipszis metszéspontja, mivel a fókuszsugarak összege egyértelműen meghatároz egy adott ellipszist. Tehát a metszéspont nélküli ellipszisek leírt családja a teljes síkot lefedi, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait. Tekintsük azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a (7.4) egyenletet az a paraméter adott értékével. Elosztható ez a halmaz több ellipszis között? A halmaz néhány pontja egy a fél-nagy tengelyű ellipszishez tartozik. Legyen ez a halmaz egy a fél-nagy tengelyű ellipszisen fekvő pontot. Ekkor ennek a pontnak a koordinátái engedelmeskednek az egyenletnek

azok. a (7.4) és (7.5) egyenleteknek van általános megoldások... Könnyen belátható azonban, hogy a rendszer

nincs megoldása г ≠ a. Ehhez elegendő például az x-et kizárni az első egyenletből:

amely transzformációk után az egyenlethez vezet

amelynek nincs megoldása г ≠ a-ra, hiszen. Tehát (7.4) egy a> 0 fél-nagytengelyű és b = √ (a 2 - c 2)> 0 fél-kistengelyű ellipszis egyenlete. a kanonikus ellipszis egyenlet.

Ellipszis nézet. Az ellipszis felépítésének fentebb bemutatott geometriai módszere kellő képet ad arról megjelenés ellipszis. De az ellipszis alakja a (7.4) kanonikus egyenlet segítségével is vizsgálható. Például, ha y ≥ 0, akkor y-t kifejezhetjük x-szel: y = b√ (1 - x 2 / a 2), és ennek a függvénynek a vizsgálata után készítsük el a gráfját. Van egy másik módja az ellipszis felépítésének. Az ellipszis (7.4) kanonikus koordináta-rendszerének origójának középpontjában álló a sugarú kört az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet írja le. Ha a / b> 1 együtthatóval tömörítjük végig ordináta tengelyek, akkor egy görbét kapunk, amelyet az x 2 + (ya / b) 2 = a 2 egyenlet ír le, azaz egy ellipszis.

Megjegyzés 7.1. Ha ugyanazt a kört a / b aránnyal tömörítjük

Ellipszis excentricitás... Az ellipszis fókusztávolságának a főtengelyéhez viszonyított arányát nevezzük az ellipszis excentricitásaés ε-vel jelöljük. Adott ellipszisre

kanonikus egyenlet (7.4), ε = 2c / 2a = c / a. Ha a (7.4)-ben az a és b paramétereket az a egyenlőtlenség kapcsolja össze

Ha c = 0, amikor az ellipszis körré változik, és ε = 0. Más esetekben 0

A (7.3) egyenlet ekvivalens a (7.4) egyenlettel, mivel a (7.4) és (7.2) egyenlet ekvivalens. Ezért az ellipszis egyenlete is (7.3). Ráadásul a (7.3) reláció azért is érdekes, mert egyszerű gyökmentes képletet ad az |F 2 M | az ellipszis M (x; y) pontjának egyik fókuszsugara: | F 2 M | = a + εx.

A második fókuszsugárra hasonló képletet kaphatunk szimmetria-megfontolások alapján vagy a számítások megismétlésével, ahol az első gyököt a (7.2) egyenlet négyzete elé helyezzük át a jobb oldalra, és nem a másodikat. Tehát az ellipszis bármely M (x; y) pontjára (lásd a 7.2. ábrát)

F 1 M | = a - εx, |F 2 M | = a + εx, (7.6)

és ezen egyenletek mindegyike egy ellipszis egyenlete.

7.1. példa. megtalálja kanonikus egyenlet 5-ös félnagytengellyel és 0,8 excentricitású ellipszist és építsd fel.

Az a = 5 ellipszis félnagytengelyének és ε = 0,8 excentricitásának ismeretében megtaláljuk a b fél-kistengelyét. Mivel b = √ (a 2 - c 2), és c = εa = 4, akkor b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Tehát a kanonikus egyenlet alakja x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Ellipszis megszerkesztéséhez célszerű a kanonikus koordináta-rendszer origójának középpontjában álló téglalapot rajzolni, amelynek oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyeivel, és megegyeznek a hozzá tartozó tengelyekkel (7.4. ábra). . Ez a téglalap metszi

az ellipszis tengelyei A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3) csúcsaiban, és maga az ellipszis is bele van írva. ábrán. A 7.4. ábrán az F 1,2 (± 4; 0) ellipszis gócai is láthatók.

Az ellipszis geometriai tulajdonságai. A (7.6) első egyenletét átírjuk | F 1 M | = (a / ε - x) ε. Figyeljük meg, hogy az a / ε - x értéke a> c esetén pozitív, mivel az F 1 fókusz nem tartozik az ellipszishez. Ez az érték a d függőleges egyenes távolságát jelenti: x = a / ε az M (x; y) ponttól, amely ettől az egyenestől balra található. Az ellipszis egyenlet így írható fel

| F 1 M | / (a ​​/ ε - x) = ε

Ez azt jelenti, hogy ez az ellipszis a sík azon M (x; y) pontjaiból áll, amelyeknél az F 1 M fókuszsugár hosszának és a d egyenes távolságának aránya ε-val egyenlő állandó érték. 7.5).

A d egyenesnek van egy "iker" - a függőleges d ", amely szimmetrikus d-re az ellipszis középpontja körül, amelyet az x = -a / ε egyenlet ad meg. A d tekintetében az ellipszist a ugyanúgy, mint d tekintetében. Mind a d, mind a d "sort hívják ellipszis direktrix... Az ellipszis irányítói merőlegesek az ellipszis szimmetriatengelyére, amelyen a gócok találhatók, és az ellipszis középpontjától a / ε = a 2 / c távolságra helyezkednek el (lásd 7.5. ábra).

Az irányítópont és a hozzá legközelebbi fókusz közötti p távolságot nevezzük az ellipszis fókuszparamétere... Ez a paraméter az

p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c

Az ellipszisnek van még egy fontos geometriai tulajdonsága: az F 1 M és F 2 M fókuszsugarak egyenlő szöget zárnak be az ellipszis érintőjével az M pontban (7.6. ábra).

Ennek a tulajdonságnak egyértelmű fizikai jelentése van. Ha egy fényforrást F 1 fókuszba helyezünk, akkor az ebből a fókuszból kilépő nyaláb az ellipszisről való visszaverődés után a második fókuszsugár mentén megy, mivel a visszaverődés után ugyanabban a szögben lesz a görbével, mint a visszaverődés előtt. Így az F 1 fókuszt elhagyó összes sugár a második F 2 fókuszba koncentrálódik, és fordítva. Ezen értelmezés alapján a megadott tulajdonság ún egy ellipszis optikai tulajdonsága.

11.1. Alapfogalmak

Tekintsük a másodfokú egyenletekkel meghatározott egyeneseket az aktuális koordinátákhoz képest

Az egyenlet együtthatói valós számok, de by legalább az A, B vagy C számok egyike nem nulla. Az ilyen vonalakat másodrendű vonalaknak (görbéknek) nevezzük. Az alábbiakban megállapítható, hogy a (11.1) egyenlet egy kört, ellipszist, hiperbolát vagy parabolát határoz meg a síkon. Mielőtt ezt az állítást folytatnánk, tanulmányozzuk a felsorolt ​​görbék tulajdonságait.

11.2. Kör

A legegyszerűbb másodrendű görbe egy kör. Emlékezzünk vissza, hogy egy pontban középpontban lévő R sugarú kör a sík összes Μ pontjának halmaza, amely teljesíti a feltételt. Legyen egy téglalap alakú koordinátarendszerben egy pontnak x 0, y 0 koordinátája és - a kör tetszőleges pontja (lásd 48. ábra).

Ekkor a feltételből megkapjuk az egyenletet

(11.2)

A (11.2) egyenletet az adott kör bármely pontjának koordinátái teljesítik, és a körön nem fekvő pontok koordinátái nem teljesülnek.

A (11.2) egyenletet nevezzük a kör kanonikus egyenlete

Különösen az és beállításával kapjuk meg az origó középpontú kör egyenletét .

A kör (11.2) egyenlete egyszerű transzformációk után a következő alakot veszi fel. Ha ezt az egyenletet összehasonlítjuk a másodrendű görbe (11.1) általános egyenletével, könnyen belátható, hogy a kör egyenletére két feltétel teljesül:

1) az x 2 és y 2 együtthatók egyenlőek egymással;

2) nincs olyan kifejezés, amely az aktuális koordináták xy szorzatát tartalmazza.

Tekintsük az inverz problémát. A és értékeket a (11.1) egyenletbe helyezve megkapjuk

Alakítsuk át ezt az egyenletet:

(11.4)

Ebből következik, hogy a (11.3) egyenlet egy kört határoz meg a feltétel alatt ... A középpontja a ponton van és a sugár

.

Ha , akkor a (11.3) egyenlet alakja

.

Megelégszik egyetlen pont koordinátáival ... Ebben az esetben azt mondják: „a kör ponttá fajult” (nulla sugara van).

Ha , akkor a (11.4) egyenlet, és ebből következően az ekvivalens (11.3) egyenlet sem határoz meg egyetlen egyenest sem, mivel a (11.4) egyenlet jobb oldala negatív, a bal oldala pedig nem negatív (mondjuk: „képzeletbeli kör”).

11.3. Ellipszis

Kanonikus ellipszis egyenlet

Ellipszis a sík összes pontjának halmazának nevezzük, amelyek távolságának összege a sík két adott pontjától, ún. trükkök , van egy állandó érték, amely nagyobb, mint a gócok közötti távolság.

A fókuszokat jellel jelöljük F 1és F 2, a köztük lévő távolság 2-ben c, és az ellipszis tetszőleges pontja és a fókusz közötti távolságok összege - 2 után a(lásd 49. ábra). Definíció szerint 2 a > 2c, azaz a > c.

Az ellipszis egyenletének levezetéséhez olyan koordinátarendszert választunk, hogy a fókusz F 1és F 2 a tengelyen feküdt, és az origó egybeesett a szakasz felezőpontjával F 1 F 2... Ekkor a gócoknak a következő koordinátái lesznek: és.

Legyen az ellipszis tetszőleges pontja. Majd aszerint ellipszis definíció, azaz

Ez lényegében az ellipszis egyenlete.

A (11.5) egyenletet többre alakítjuk egyszerű elme a következő módon:

Mivel a>val vel, azután . Rakjuk

(11.6)

Ekkor az utolsó egyenlet a vagy alakot veszi fel

(11.7)

Bebizonyítható, hogy a (11.7) egyenlet ekvivalens az eredeti egyenlettel. Ezt hívják a kanonikus ellipszis egyenlet .

Az ellipszis egy másodrendű görbe.

Ellipszis alakjának vizsgálata egyenletével

Határozzuk meg az ellipszis alakját annak kanonikus egyenletével.

1. A (11.7) egyenletben az x és az y csak páros hatványokban szerepel, ezért ha egy pont egy ellipszishez tartozik, akkor a ,, pontok is hozzátartoznak. Ebből az következik, hogy az ellipszis szimmetrikus a tengelyekre és az ellipszis középpontjának nevezett pontra.

2. Keresse meg az ellipszis és a koordinátatengelyek metszéspontjait! Elhelyezve találunk két pontot, és ahol a tengely metszi az ellipszist (lásd 50. ábra). Feltéve a (11.7) egyenletet, megtaláljuk az ellipszis és a tengely metszéspontjait: és. Pontok A 1 , A 2 , B 1, B 2 hívják az ellipszis csúcsai... Szegmensek A 1 A 2és B 1 B 2, valamint hosszuk 2 aés 2 b ennek megfelelően nevezik el nagy és kis tengelyek ellipszis. A számok aés b nagynak és kicsinek nevezik féltengelyek ellipszis.

3. A (11.7) egyenletből az következik, hogy a bal oldalon lévő tagok nem lépik túl az egységet, azaz egyenlőtlenségek és vagy és történnek. Ezért az ellipszis minden pontja az egyenesek által alkotott téglalapon belül van.

4. A (11.7) egyenletben a nemnegatív tagok összege eggyel egyenlő. Következésképpen az egyik tag növekedésével a másik csökkenni fog, vagyis ha nő, akkor csökken, és fordítva.

Az elmondottakból az következik, hogy az ellipszis alakja az ábrán látható. 50 (ovális zárt görbe).

Tudjon meg többet az ellipszisről

Az ellipszis alakja az aránytól függ. Amikor az ellipszis körré változik, a (11.7) ellipszisegyenlet alakot ölt. Az arányt gyakran használják az ellipszis alakjának jellemzőjeként. A fókuszpontok és az ellipszis fél-főtengelye közötti távolság felének arányát az ellipszis excentricitásának nevezzük, az o6o-t pedig ε ("epszilon") betűvel jelöljük:

és 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Ebből látható, hogy minél kisebb az ellipszis excentricitása, annál kevésbé lapított az ellipszis; ha ε = 0-t teszünk, akkor az ellipszis körré változik.

Legyen M (x; y) egy F 1 és F 2 fókuszú ellipszis tetszőleges pontja (lásd 51. ábra). Az F 1 M = r 1 és F 2 M = r 2 szakaszok hosszát a Μ pont fókuszsugarának nevezzük. Magától értetődően,

A következő képletek érvényesek

Az egyenes vonalakat hívják

11.1. Tétel. Ha az ellipszis egy tetszőleges pontja és egy fókusz távolsága, d az ugyanannak a pontnak a távolsága az ennek a fókusznak megfelelő irányítóponttól, akkor az arány állandó érték, amely megegyezik az ellipszis excentricitásával:

Az egyenlőség (11.6) azt jelenti. Ha, akkor a (11.7) egyenlet definiál egy ellipszist, amelynek a nagytengelye az Oy tengelyen, a melléktengelye pedig az Ox tengelyen fekszik (lásd 52. ábra). Egy ilyen ellipszis fókuszai a pontokon és hol találhatók .

11.4. Hiperbola

Kanonikus hiperbola-egyenlet

Túlzás nevezzük a sík összes pontjának halmazának, amely a sík két adott pontja közötti távolságok különbségének modulusa, ún. trükkök , van egy állandó érték, amely kisebb, mint a gócok közötti távolság.

A fókuszokat jellel jelöljük F 1és F 2 a köztük lévő távolságot 2c, valamint a hiperbola egyes pontjaitól az átmenő gócok közötti távolságok különbségének modulusa 2a... A-priory 2a < 2c, azaz a < c.

A hiperbola egyenlet levezetéséhez olyan koordinátarendszert választunk, hogy a gócok F 1és F 2 a tengelyen feküdt, és az origó egybeesett a szakasz felezőpontjával F 1 F 2(lásd 53. ábra). Ekkor a fókuszok koordinátái és

Legyen a hiperbola tetszőleges pontja. Majd a hiperbola definíciója szerint Vagyis egyszerűsítések után, ahogyan az ellipszis egyenletének levezetésekor tették, azt kapjuk, kanonikus hiperbola egyenlet

(11.9)

(11.10)

A hiperbola egy másodrendű sor.

Hiperbola alakjának vizsgálata egyenletével

Határozzuk meg a hiperbola alakját a kakonikus egyenlet segítségével.

1. A (11.9) egyenlet csak páros hatványokban tartalmazza az x-et és az y-t. Következésképpen a hiperbola szimmetrikus a tengelyekre és egy ún hiperbola középpontja.

2. Keresse meg a hiperbola és a koordinátatengelyek metszéspontjait! A (11.9) egyenletet beépítve a hiperbolának két metszéspontját találjuk a tengellyel: és. A (11.9) beírásával azt kapjuk, ami nem lehet. Következésképpen a hiperbola nem metszi az Oy tengelyt.

Pontok és hívják csúcsok hiperbola és a szegmens

valódi tengely , szakasz - valódi féltengely túlzás.

A pontokat összekötő szakaszt ún képzeletbeli tengely , b szám - képzeletbeli féltengely ... Téglalap oldalakkal 2aés 2b hívott a hiperbola fő téglalapja .

3. A (11.9) egyenletből az következik, hogy a csökkentendő érték nem kisebb egynél, vagyis az ill. Ez azt jelenti, hogy a hiperbola pontjai az egyenestől jobbra (a hiperbola jobb ága) és az egyenestől balra (a hiperbola bal ága) helyezkednek el.

4. A hiperbola (11.9) egyenletéből látható, hogy ha növekszik, akkor növekszik is. Ez abból következik, hogy a különbség állandó, egyenlő eggyel.

Az elmondottakból következik, hogy a hiperbola az 54. ábrán látható alakkal rendelkezik (két határtalan ágból álló görbe).

Hiperbola aszimptoták

Az L vonalat aszimptotának nevezzük egy határtalan K görbe, ha a K görbe M pontja és az egyenes közötti d távolság nullára irányul egy M pont határtalan távolságában a K görbe mentén az origótól. Az 55. ábra szemlélteti az aszimptota fogalmát: az L egyenes a K görbe aszimptotája.

Mutassuk meg, hogy a hiperbolának két aszimptotája van:

(11.11)

Mivel az egyenesek (11.11) és a hiperbola (11.9) szimmetrikusak koordináta tengelyek, akkor elég csak a jelzett vonalak azon pontjait figyelembe venni, amelyek az első negyedévben találhatók.

Vegyünk egy egyenest egy olyan N pontot, amelynek ugyanaz az x abszcissza, mint a hiperbola egy pontjának (lásd 56. ábra), és keresse meg a ΜΝ különbséget az egyenes ordinátái és a hiperbola ága között:

Amint látja, x növekszik, a tört nevezője növekszik; a számláló egy állandó. Ezért a szegmens hossza A ΜΝ nullára hajlik. Mivel ΜΝ nagyobb, mint a Μ pont és az egyenes közötti d távolság, ezért d még inkább nullára hajlik. Tehát az egyenesek a hiperbola (11.9) aszimptotái.

A hiperbola (11.9) megalkotásánál célszerű először megszerkeszteni a hiperbola főtéglalapját (lásd 57. ábra), megrajzolni e téglalap szemközti csúcsain átmenő egyeneseket, a hiperbola aszimptotáit, és megjelölni a csúcsokat, ill. , hiperbolák.

Egyenlő oldalú hiperbola egyenlet.

amelyeknek aszimptotái a koordinátatengelyek

Egy hiperbolát (11.9) egyenlő oldalúnak nevezünk, ha féltengelyei egyenlőek (). Az ő kanonikus egyenlete

(11.12)

Az egyenlő oldalú hiperbola aszimptotáinak egyenletei vannak, és ezért a koordinátaszögek felezői.

Tekintsük ennek a hiperbolának az egyenletét az új koordinátarendszerben (lásd: 58. ábra), amelyet a koordinátatengelyek szöggel történő elforgatásával kapunk a régiből. A koordinátatengelyek elforgatására a képleteket használjuk:

Helyettesítse be x és y értékét a (11.12) egyenletbe:

Az egyenlő oldalú hiperbola egyenlete, amelyre az Ox és az Oy tengelyek aszimptoták, a következő formában lesz.

Tudjon meg többet a hiperboláról

Különcség A hiperbolát (11.9) a fókuszpontok távolságának a hiperbola valós tengelyének értékéhez viszonyított arányának nevezzük, amelyet ε-vel jelölünk:

Mivel a hiperbola esetében a hiperbola excentricitása nagyobb, mint egy:. Az excentricitás jellemzi a hiperbola alakját. Valójában az egyenlőség (11.10) azt jelenti, hogy és .

Ezért világos, hogy minél kisebb a hiperbola excentricitása, annál kisebb a féltengelyeinek aránya, és ennélfogva annál hosszabb a fő téglalapja.

Az egyenlő oldalú hiperbola excentricitása az. Igazán,

Fókuszsugár és a jobb oldali ág pontjainál a hiperbolák alakja és, a bal ágnál pedig és .

Az egyeneseket hiperbola-irányelveknek nevezzük. Mivel ε> 1 hiperbolára, akkor. Ez azt jelenti, hogy a jobb oldali direktrix a hiperbola középpontja és jobb oldali csúcsa között, a bal oldali pedig a középpont és a bal csúcs között helyezkedik el.

A hiperbola-irányelvek ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az ellipszis-irányelvek.

Az egyenlettel definiált görbe egyben hiperbola is, melynek 2b valós tengelye az Oy tengelyen, a képzeletbeli 2 tengelyen helyezkedik el. a- az Ökör tengelyén. Az 59. ábrán pontozott vonallal látható.

Nyilvánvaló, hogy a hiperbolák és közös aszimptoták vannak. Az ilyen hiperbolokat konjugáltnak nevezzük.

11.5. Parabola

Kanonikus parabola egyenlet

A parabola a sík összes pontjának halmaza, amelyek mindegyike egyenlő távolságra van egy adott ponttól, amelyet fókusznak nevezünk, és egy adott egyenestől, amelyet irányítópontnak nevezünk. Az F fókusz és az irányító távolságát a parabola paraméterének nevezzük, és p-vel jelöljük (p> 0).

A parabola egyenlet levezetéséhez az Oxy koordinátarendszert úgy választjuk meg, hogy az Ox tengely az F fókuszon az irányítóra merőlegesen haladjon át a direktrixtől F felé eső irányban, az O koordináták origója pedig a fókusz és a fókusz között középen helyezkedik el. a direktrix (lásd 60. ábra). A kiválasztott rendszerben az F fókusznak vannak koordinátái, a direktrix egyenletnek pedig a vagy alakja.

1. A (11.13) egyenletben az y változó páros hatványban szerepel, ami azt jelenti, hogy a parabola szimmetrikus az Ox tengelyre; az Ox tengely a parabola szimmetriatengelye.

2. Mivel ρ> 0, a (11.13)-ból az következik, hogy. Következésképpen a parabola az Oy tengelytől jobbra helyezkedik el.

3. Amikor y = 0. Következésképpen a parabola átmegy az origón.

4. Az x korlátlan növekedésével az у modul is korlátlanul növekszik. A parabola alakja (alakja) a 61. ábrán látható. Az O (0; 0) pontot a parabola csúcsának, az FM = r szakaszt az M pont fókuszsugarának nevezzük.

Egyenletek,, ( p> 0) parabolákat is definiálnak, ezeket a 62. ábra mutatja

Könnyen kimutatható, hogy egy négyzetes trinom gráfja, ahol B és C bármely valós szám, parabola a fenti definíció értelmében.

11.6. Másodrendű egyenesek általános egyenlete

Másodrendű görbék egyenletei a koordinátatengelyekkel párhuzamos szimmetriatengelyekkel

Először keressük meg egy olyan ellipszis egyenletét, amelynek középpontja egy pont, amelynek szimmetriatengelyei párhuzamosak az Ox és Oy koordinátatengelyekkel, a féltengelyek pedig egyenlőek aés b... Az O 1 ellipszis középpontjába helyezzük az új koordinátarendszer origóját, melynek tengelyei és féltengelyei aés b(lásd: 64. ábra):

Végül a 65. ábrán látható parabolák megfelelő egyenletekkel rendelkeznek.

Az egyenlet

Az ellipszis, hiperbola, parabola és a kör egyenlete transzformációk után (nyissa ki a zárójeleket, mozgassa az egyenlet összes tagját egy irányba, hozza hasonló kifejezéseket, új jelöléseket adjon be az együtthatóknak) egyetlen egyenlet segítségével is felírható. a forma egyenlete

ahol az A és C együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Felmerül a kérdés: meghatározza-e bármelyik (11.14) alakú egyenlet valamelyik másodrendű görbét (kör, ellipszis, hiperbola, parabola)? A választ a következő tétel adja meg.

11.2. Tétel... A (11.14) egyenlet mindig meghatároz: vagy kört (A = C esetén), ellipszist (A C> 0 esetén), vagy hiperbolát (A C esetén< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Általános másodrendű egyenlet

Tekintsünk most egy másodfokú általános egyenletet két ismeretlennel:

Ez abban különbözik a (11.14) egyenlettől, hogy van egy tag a koordináták szorzatával (B¹ 0). Lehetőség van a koordinátatengelyek a szöggel történő elforgatásával ezt az egyenletet úgy átalakítani, hogy ne legyen benne koordináták szorzatával rendelkező tag.

A tengelyforgatási képletek használata

a régi koordinátákat az újakkal fejezzük ki:

Válasszuk az a szöget úgy, hogy az x "· y" együttható eltűnjön, azaz az egyenlőség

Így, ha a tengelyeket az a szögben elforgatjuk, kielégítve a (11.17) feltételt, a (11.15) egyenlet a (11.14) egyenletre redukálódik.

Kimenet: a másodrendű általános egyenlet (11.15) a következő görbéket határozza meg a síkon (kivéve a degeneráció és a bomlás eseteit): kör, ellipszis, hiperbola, parabola.

Megjegyzés: Ha A = C, akkor a (11.17) egyenlet értelmét veszti. Ebben az esetben cos2α = 0 (lásd (11.16)), majd 2α = 90 °, azaz α = 45 °. Tehát, ha A = C, a koordinátarendszert 45 ° -kal el kell forgatni.

Előadások algebráról és geometriáról. 1. félév.

15. előadás Ellipszis.

15. fejezet Ellipszis.

1. tétel. Alapvető definíciók.

Meghatározás. Az ellipszist a sík GMT-jének nevezzük, amelynek a sík két fix pontja, az úgynevezett fókuszpont távolságának összege állandó érték.

Meghatározás. A sík tetszőleges M pontja és az ellipszis fókusz közötti távolságát az M pont fókuszsugarának nevezzük.

Legenda:
- ellipszis gócai,
Vajon az M pont fókuszsugarai?

Az ellipszis definíciója szerint egy M pont akkor és csak akkor egy ellipszis pontja
- állandó érték. Ezt az állandót általában 2a-val jelölik:

. (1)

vegye észre, az
.

Az ellipszis definíciója szerint a fókuszpontjai fix pontok, így a köztük lévő távolság is állandó érték egy adott ellipszisnél.

Meghatározás. Az ellipszis fókuszpontjai közötti távolságot gyújtótávolságnak nevezzük.

Kijelölés:
.

Ki a háromszögből
ezt követi
, azaz

.

Jelöljön b egy számmal egyenlő
, azaz

. (2)

Meghatározás. Hozzáállás

(3)

az ellipszis excentricitásának nevezzük.

Vezessünk be egy koordinátarendszert ezen a síkon, amit az ellipszisre kanonikusnak nevezünk.

Meghatározás. Azt a tengelyt, amelyen az ellipszis gócai helyezkednek el, fókusztengelynek nevezzük.

Szerkesszünk kanonikus PDSC-t az ellipszishez, lásd a 2. ábrát.

Kiválasztjuk a fókusztengelyt abszcissza tengelynek, és az ordináta tengelyt a szakasz közepén keresztül rajzoljuk
merőleges a fókusztengelyre.

Ekkor a gócoknak vannak koordinátái
,
.

2. tétel. Ellipszis kanonikus egyenlete.

Tétel. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerében az ellipszis egyenlete a következőképpen alakul:

. (4)

Bizonyíték. A bizonyítást két lépésben végezzük. Az első lépésben bebizonyítjuk, hogy az ellipszis bármely pontjának koordinátái kielégítik a (4) egyenletet. A második lépésben bebizonyítjuk, hogy a (4) egyenlet bármely megoldása megadja egy ellipszisen fekvő pont koordinátáit. Ebből következik, hogy a (4) egyenletet a koordinátasík azon pontjai és csak azok a pontjai teljesítik, amelyek az ellipszisen helyezkednek el. Ebből és a görbe egyenletének definíciójából az következik, hogy a (4) egyenlet egy ellipszis egyenlete.

1) Legyen az M (x, y) pont az ellipszis pontja, azaz. fókuszsugarainak összege 2a:

.

Két pont közötti távolság képletét használjuk Koordináta síkés ezzel a képlettel keressük meg egy adott M pont fókuszsugarát:

,
, honnan kapjuk:

Mozgassunk egy gyökérrel az egyenlőség jobb oldalára, és emeljük négyzetbe:

Csökkentve a következőket kapjuk:

Hasonlóakat adunk, csökkentjük 4-gyel, és elkülönítjük a gyököt:

.

Négyzetre emelés

Bontsa ki a zárójeleket, és rövidítse így
:

honnan kapjuk:

A (2) egyenlőség felhasználásával a következőket kapjuk:

.

Az utolsó egyenlőséget osztva ezzel
, egyenlőséget kapunk (4), ch.d.

2) Most egy (x, y) számpár teljesítse a (4) egyenletet, és legyen M (x, y) a megfelelő pont az Oxy koordinátasíkon.

Ezután a (4)-ből ez következik:

.

Ezt az egyenlőséget helyettesítjük az M pont fókuszsugarainak kifejezésében:

.

Itt a (2) és (3) egyenlőséget használtuk.

És így,
... Hasonlóképpen,
.

Vegyük észre, hogy a (4) egyenlőség ezt jelenti

vagy
és azóta
, akkor ebből következik az egyenlőtlenség:

.

Ebből viszont az következik

vagy
és

,
. (5)

Az (5) egyenlőségekből következik, hogy
, azaz az M (x, y) pont egy ellipszis pontja, ch.d.

A tétel bizonyítva van.

Meghatározás. A (4) egyenletet az ellipszis kanonikus egyenletének nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis kanonikus koordinátatengelyeit az ellipszis főtengelyeinek nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerének origóját az ellipszis középpontjának nevezzük.

3. o. Ellipszis tulajdonságai.

Tétel. (Az ellipszis tulajdonságai.)

1. Az ellipszis kanonikus koordinátarendszerében minden

az ellipszis pontjai a téglalapban vannak

,
.

2. A pontok ráfekszenek

3. Az ellipszis egy görbe, amelyhez képest szimmetrikus

fő tengelyeiket.

4. Az ellipszis középpontja a szimmetriaközéppontja.

Bizonyíték. 1, 2) Azonnal következik az ellipszis kanonikus egyenletéből.

3, 4) Legyen M (x, y) az ellipszis tetszőleges pontja. Ekkor a koordinátái kielégítik a (4) egyenletet. De akkor a pontok koordinátái is kielégítik a (4) egyenletet, és ezért azok az ellipszis pontjai, ahonnan a tétel állításai következnek.

A tétel bizonyítva van.

Meghatározás. A 2a mennyiséget az ellipszis nagytengelyének, az a mennyiséget az ellipszis fél-nagy tengelyének nevezzük.

Meghatározás. A 2b mennyiséget az ellipszis melléktengelyének, a b mennyiséget az ellipszis kistengelyének nevezzük.

Meghatározás. Az ellipszis és főtengelyei metszéspontjait az ellipszis csúcsainak nevezzük.

Megjegyzés. Egy ellipszist a következőképpen lehet felépíteni. A síkon a trükkökbe "kalapácsoljuk a szöget", és egy szálat rögzítünk rájuk egy hosszúsággal
... Majd veszünk egy ceruzát és azzal húzzuk meg a cérnát. Ezután mozgatjuk a ceruza vezetékét a sík mentén, ügyelve arra, hogy a cérna feszes legyen.

Az excentricitás definíciójából az következik

Rögzítsük az a számot, és hagyjuk, hogy a c legyen nulla. Aztán at
,
és
... A kapott határon belül

vagy
- a kör egyenlete.

Törekedjünk most
... Azután
,
és azt látjuk, hogy a határértékben az ellipszis egyenes szakaszgá degenerálódik
a 3. ábra jelölésében.

4. tétel. Ellipszis paraméteres egyenletei.

Tétel. Legyen
- tetszőleges valós számok. Aztán az egyenletrendszer

,
(6)

az ellipszis kanonikus koordináta-rendszerében az ellipszis parametrikus egyenletei.

Bizonyíték. Elegendő annak bizonyítása, hogy a (6) egyenletrendszer ekvivalens a (4) egyenlettel, azaz. ugyanaz a megoldáskészletük.

1) Legyen (x, y) a (6) rendszer tetszőleges megoldása. Osszuk el az első egyenletet a-val, a másodikat b-vel, emeljük négyzetre mindkét egyenletet, és adjuk hozzá:

.

Azok. a (6) rendszer bármely (x, y) megoldása kielégíti a (4) egyenletet.

2) Fordítva, legyen az (x, y) pár megoldása a (4) egyenletre, azaz.

.

Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy a pont koordinátákkal
egy egységsugarú körön fekszik, amelynek középpontja az origó, azaz. a trigonometrikus kör egy pontja, amely valamilyen szögnek felel meg
:

A szinusz és koszinusz definíciójából rögtön az következik

,
, ahol
, amiből az következik, hogy az (x, y) pár a (6) rendszer megoldása, p.a.

A tétel bizonyítva van.

Megjegyzés. Ellipszist kaphatunk az a sugarú körnek az abszcissza tengelyéhez való egyenletes "összenyomódása" eredményeként.

Legyen
- az origó középpontú kör egyenlete. Egy körnek az abszcissza tengelyére "zsugorítása" nem más, mint a koordinátasík transzformációja, amelyet a következő szabály szerint hajtunk végre. Minden M (x, y) ponthoz egy azonos síkú pontot teszünk
, ahol
,
- "tömörítési arány.

Ezzel a transzformációval a kör minden pontja "átmegy" a sík egy másik pontjába, amelynek ugyanaz az abszcisszán, de kisebb az ordinátája. Fejezzük ki a pont régi ordinátáját az újjal:

és behelyettesítjük a kör egyenletébe:

.

Innen kapjuk:

. (7)

Ebből következik, hogy ha a "sűrítés" transzformációja előtt M (x, y) pont egy körön feküdne, azaz. koordinátái kielégítették a kör egyenletét, majd a "sűrítés" transzformációja után ez a pont "átment" a pontba
amelynek koordinátái kielégítik a (7) ellipszis egyenletet. Ha meg akarjuk kapni egy b fél-minor tengelyű ellipszis egyenletét, akkor a tömörítési arányt kell vennünk

.

5. o. Az ellipszis érintője.

Tétel. Legyen
- az ellipszis tetszőleges pontja

.

Majd ennek az ellipszisnek az érintőjének egyenlete a pontban
úgy néz ki, mint a:

. (8)

Bizonyíték. Elég figyelembe venni azt az esetet, amikor az érintési pont a koordinátasík első vagy második negyedében van:
... Az ellipszis egyenlete a felső félsíkban:

. (9)

A függvény grafikonjának érintőjének egyenletét használjuk
azon a ponton
:

ahol
- a függvény deriváltjának értéke a pontban
... Az ellipszis az első negyedévben a (8) függvény grafikonjaként tekinthető. Keressük a származékát és értékét az érintési ponton:

,

... Itt azt a tényt használtuk, hogy az érintési pont
egy ellipszis pontja, ezért koordinátái kielégítik az ellipszis (9) egyenletét, azaz.

.

Helyettesítse be a derivált talált értékét a (10) érintőegyenletbe:

,

honnan kapjuk:

Ez a következőket jelenti:

Ezt az egyenlőséget elosztjuk ezzel
:

.

Azt kell még megjegyezni
mivel pont
ellipszishez tartozik és koordinátái kielégítik az egyenletét.

Hasonló módon bizonyítjuk a koordinátasík harmadik vagy negyedik negyedében elhelyezkedő érintési pontban lévő érintő egyenes (8) egyenletét.

És végül könnyen beláthatjuk, hogy a (8) egyenlet megadja a pontokban lévő érintő egyenes egyenletét.
,
:

vagy
, és
vagy
.

A tétel bizonyítva van.

6. o. Ellipszis tükörtulajdonsága.

Tétel. Az ellipszis érintője egyenlő szögeket zár be az érintőpont fókuszsugarával.

Legyen
- érintési pont,
,
Vajon az érintési pont fókuszsugarai, P és Q a fókuszok vetületei az ellipszisre húzott érintőre a pontban
.

A tétel azt mondja ki

. (11)

Ez az egyenlőség úgy értelmezhető, mint a fókuszából kibocsátott ellipszis fénysugár beesési és visszaverődési szögeinek egyenlősége. Ezt a tulajdonságot az ellipszis tükörtulajdonságának nevezzük:

Az ellipszis fókuszpontjából kibocsátott fénysugár, miután visszaverődött az ellipszis tükréről, áthalad az ellipszis másik fókuszán.

A tétel bizonyítása. A (11) szögek egyenlőségének bizonyításához bizonyítjuk a háromszögek hasonlóságát
és
amelyben az oldalak
és
hasonló lesz. Mivel a háromszögek derékszögűek, elegendő az egyenlőség bizonyításához

Másodrendű görbék a síkon azok az egyenletek által meghatározott egyenesek vannak, amelyekben a változó koordinátái vannak xés y másodfok tartalmazza. Ide tartozik az ellipszis, a hiperbola és a parabola.

A másodrendű görbe egyenletének általános nézete a következő:

ahol A, B, C, D, E, F- számok és legalább egy együttható A, B, C nem nulla.

A másodrendű görbékkel kapcsolatos feladatok megoldása során leggyakrabban az ellipszis, a hiperbola és a parabola kanonikus egyenleteit veszik figyelembe. Könnyű áttérni rájuk az általános egyenletekből; az ellipszisekkel kapcsolatos problémák 1. példája ennek lesz szentelve.

A kanonikus egyenlet által adott ellipszis

Az ellipszis definíciója. Az ellipszis a sík összes olyan pontjának halmaza, amelyeknél a pontok távolságának összege, úgynevezett gócok, állandó érték, és nagyobb, mint a fókuszpontok távolsága.

A fókuszok az alábbi ábrán láthatók.

Az ellipszis kanonikus egyenlete:

ahol aés b (a > b) - a féltengelyek hossza, azaz a koordinátatengelyeken az ellipszis által levágott szakaszok hosszának fele.

Az ellipszis fókuszain áthaladó egyenes a szimmetriatengelye. Az ellipszis másik szimmetriatengelye egy egyenes, amely egy erre a szakaszra merőleges szakasz közepén halad át. Pont O ezen egyenesek metszéspontja az ellipszis szimmetriaközéppontjaként vagy egyszerűen az ellipszis középpontjaként szolgál.

Az abszcissza tengelye pontokban metszi az ellipszist ( a, O) és (- a, O), és az ordináta tengelye a ( b, O) és (- b, O). Ezt a négy pontot az ellipszis csúcsainak nevezzük. Az ellipszis csúcsai közötti szakaszt az abszcissza tengelyén főtengelyének, az ordináta tengelyén pedig a melléktengelynek nevezik. Szegmenseiket az ellipszis tetejétől a középpontig féltengelyeknek nevezzük.

Ha a = b, akkor az ellipszis egyenlete felveszi a formát. Ez a kör egyenlete aés a kör az különleges eset ellipszis. Egy sugarú körből ellipszist kaphatunk a ha belenyomod a/b alkalommal a tengely mentén Oy .

1. példa Ellenőrizze, hogy az általános egyenlet által megadott egyenes-e , ellipszis.

Megoldás. Átalakításokat végzünk általános egyenlet... Alkalmazzuk a szabad tag áthelyezését a jobb oldalra, az egyenlet tagonkénti felosztását azonos számmal és a törtek csökkentését:

Válasz. A kapott egyenlet az ellipszis kanonikus egyenlete. Ezért ez a vonal egy ellipszis.

2. példaÍrja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha a féltengelye 5, illetve 4!

Megoldás. Nézzük az ellipszis és a helyettesítő kanonikus egyenletének képletét: a fő féltengely a= 5, a kis féltengely az b= 4. Megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét:

A főtengelyen zölddel jelölt pontok és hol

hívják trükkök.

hívott különcség ellipszis.

Hozzáállás b/a az ellipszis "lelapulását" jellemzi. Minél kisebb ez az arány, annál jobban megnyúlik az ellipszis a főtengely mentén. Az ellipszis megnyúlásának mértékét azonban gyakrabban fejezik ki excentricitásban, amelynek képlete fent van. Különböző ellipsziseknél az excentricitás 0 és 1 között változik, és mindig kisebb marad egynél.

3. példaÍrja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha a fókuszpontok távolsága 8 és a főtengely 10.

Megoldás. Egyszerű következtetéseket vonunk le:

Ha a nagytengely 10, akkor a fele, azaz a féltengely a = 5 ,

Ha a gócok közötti távolság 8, akkor a szám c fókusz koordinátái 4.

Helyettesítsd és számold ki:

Az eredmény az ellipszis kanonikus egyenlete:

4. példaÍrja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha a főtengelye 26, és az excentricitását!

Megoldás. Amint a főtengely méretéből és az excentricitási egyenletből is következik, az ellipszis fő féltengelye a= 13. Az excentricitás egyenletéből fejezzük ki a számot c a kis féltengely hosszának kiszámításához szükséges:

.

Kiszámoljuk a kis féltengely hosszának négyzetét:

Összeállítjuk az ellipszis kanonikus egyenletét:

5. példa Határozza meg a kanonikus egyenlet által adott ellipszis fókuszpontját!

Megoldás. Keresse meg a számot c az ellipszis fókuszpontjainak első koordinátáinak meghatározása:

.

Megkapjuk az ellipszis fókuszait:

6. példa Az ellipszis gócok a tengelyen helyezkednek el Ökör szimmetrikus az eredetre. Írja fel az ellipszis kanonikus egyenletét, ha:

1) a gócok távolsága 30 és a főtengely 34

2) a melléktengely 24, és az egyik fókusz a (-5; 0) pontban van

3) excentricitás, és az egyik fókusz a (6; 0) pontban van

Továbbra is közösen oldjuk meg a problémákat az ellipszisön

Ha az ellipszis tetszőleges pontja (a rajzon zöld színnel van jelölve az ellipszis jobb felső részén), és ez a pont távolsága a fókusztól, akkor a távolságok képlete a következő:

Az ellipszishez tartozó minden egyes pontra a fókusztól való távolságok összege 2-vel egyenlő állandó érték a.

Egyenletek által meghatározott egyenesek

hívják rendezők ellipszis (a rajzon - piros vonalak a széleken).

A fenti két egyenletből az következik, hogy az ellipszis bármely pontjára

,

hol és mekkora ennek a pontnak a távolságai az irányítótól és.

7. példa. Adott egy ellipszis. Készítsen egyenletet a rendezők számára.

Megoldás. Megnézzük a direktrix egyenletet, és azt találjuk, hogy meg kell találni az ellipszis excentricitását, azaz. Ehhez minden adat megvan. Kiszámoljuk:

.

Megkapjuk az ellipszis irányítójának egyenletét:

8. példa.Írja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha a fókuszpontjai pontok, az irányítói pedig egyenesek.

Másodrendű sorok.
Ellipszis és kanonikus egyenlete. Kör

Alapos tanulmányozás után egyenes vonalak a síkon folytatjuk a kétdimenziós világ geometriájának tanulmányozását. A tét megduplázódik, és meghívlak, hogy látogassa meg az ellipszisek, hiperbolák, parabolák festői galériáját, amelyek tipikus képviselői másodrendű sorok... A turné már elkezdődött, és az elejétől rövid infó a teljes kiállításról a címen különböző emeletek múzeum:

Az algebrai egyenes fogalma és sorrendje

Egy síkon lévő egyenest ún algebrai, ha be affin koordinátarendszer egyenletének alakja van, ahol egy polinom, amely az alak tagjaiból áll (- valós szám, - nem negatív egész szám).

Mint látható, az algebrai egyenes egyenlete nem tartalmaz szinuszokat, koszinuszokat, logaritmusokat és egyéb funkcionális beau monde-okat. Csak "x" és "játékok" van benne nem negatív egész számok fokon.

Sorrend egyenlő a benne foglalt kifejezések maximális értékével.

A megfelelő tétel szerint az algebrai egyenes fogalma, valamint sorrendje nem függ a választástól affin koordinátarendszer, ezért a könnyebb lét kedvéért feltételezzük, hogy minden további számítás ben történik Derékszögű koordináták.

Általános egyenlet a másodrendű sor alakja, ahol - tetszőleges valós számok (szorzóval szokás írni - "kettő"), és az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Ha, akkor az egyenletet leegyszerűsítjük , és ha az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával, akkor ez pontosan így van "lapos" egyenes általános egyenlete ami első rendű sor.

Sokan megértették az új kifejezések jelentését, de ennek ellenére az anyag 100%-os asszimilációja érdekében az ujjunkat bedugjuk a foglalatba. A sor sorrendjének meghatározásához ismételni kell minden kifejezést egyenleteit és mindegyikre találja meg fokok összege bejövő változók.

Például:

a kifejezés 1. fokon tartalmazza az "x"-et;
a kifejezés 1. fokozatban tartalmazza a "játékot";
a kifejezésben nincsenek változók, így hatványaik összege nulla.

Most nézzük meg, miért állítja be az egyenlet az egyenest második rendelés:

a kifejezés "x"-et tartalmaz a 2. fokozatban;
az összegző a változók fokszámainak összegét tartalmazza: 1 + 1 = 2;
a kifejezés 2. fokozatban tartalmazza a "játék" kifejezést;
minden egyéb kifejezés - kevesebb fokozat.

Maximális érték: 2

Ha hozzáadjuk, mondjuk, az egyenletünkhöz, akkor az már meghatározza harmadik rendű sor... Nyilvánvalóan a harmadrendű egyenes egyenlet általános alakja tartalmazza teljes készlet»Kifejezések, a változók fokszámainak összege, amelyekben egyenlő három:
ahol az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Abban az esetben, ha egy vagy több megfelelő kifejezést adunk hozzá, amelyek tartalmazzák , akkor megbeszéljük 4. rendű sorok stb.

A 3., 4. és magasabb rendű algebrai sorokkal többször kell majd foglalkoznunk, különösen akkor, amikor megismerkedünk poláris koordináta-rendszer.

Térjünk azonban vissza az általános egyenlethez, és idézzük fel annak legegyszerűbb iskolai változatait. Példaként egy parabola javasolja magát, amelynek egyenlete könnyen redukálható Általános nézet, és egy ekvivalens egyenlettel rendelkező hiperbola. Azonban nem minden olyan simán…

Az általános egyenlet jelentős hátránya, hogy szinte mindig nem világos, hogy melyik egyenest állítja be. Még a legegyszerűbb esetben sem fogja azonnal észrevenni, hogy ez egy hiperbola. Az ilyen elrendezések csak maszkabálra jók, ezért az analitikus geometria során figyelembe kell venni tipikus feladat a másodrendű sor egyenletét a kanonikus alakra redukálva.

Mi az egyenlet kanonikus alakja?

Ez az egyenlet általánosan elfogadott standard formája, amikor pillanatok alatt világossá válik, hogy melyik geometriai objektumot határozza meg. Ezenkívül a kanonikus nézet nagyon kényelmes számos gyakorlati feladat megoldásához. Tehát például a kanonikus egyenlet szerint "Sík" egyenes, egyrészt azonnal látszik, hogy egyenesről van szó, másrészt jól látható a hozzá tartozó pont és az irányvektor.

Nyilván bármilyen 1. rendű sor egy egyenes vonal. A második emeleten azonban nem egy őrs vár ránk, hanem egy sokkal változatosabb kilenc szobor társaság:

A másodrendű sorok osztályozása

Egy speciális műveletsor segítségével a másodrendű sor bármely egyenlete a következő típusok egyikére redukálódik:

(és ezek pozitív valós számok)

1) - az ellipszis kanonikus egyenlete;

2) - a kanonikus hiperbola egyenlet;

3) - a parabola kanonikus egyenlete;

4) – képzeletbeli ellipszis;

5) - egy pár metsző egyenes;

6) - pár képzeletbeli metszővonalak (az origó egyetlen érvényes metszéspontjával);

7) - egy pár párhuzamos egyenes;

8) - pár képzeletbeli párhuzamos vonalak;

9) - egy pár egybeeső egyenes.

Néhány olvasónak az a benyomása lehet, hogy a lista nem teljes. Például a 7. pontban az egyenlet beállítja a párt közvetlen tengellyel párhuzamosan, és felmerül a kérdés: hol van az egyenlet, amely az ordinátatengellyel párhuzamos egyeneseket határozza meg? Válaszold meg nem tekinthető kanonikusnak... Az egyenes vonalak 90 fokkal elforgatva ugyanazt a standard tokot ábrázolják, és a besorolás további bejegyzése felesleges, mivel semmi alapvetően újat nem hordoz.

Tehát kilenc van és csak kilenc különböző típusok 2. rendű sorok, de a gyakorlatban a leggyakoribbak ellipszis, hiperbola és parabola.

Nézzünk először egy ellipszist. Szokás szerint azokra a pillanatokra koncentrálok, amelyek megvannak nagyon fontos problémák megoldásához, és ha képletek részletes levezetésére, tételbizonyításra van szüksége, kérjük, olvassa el például Bazylev / Atanasyan vagy Aleksandrov tankönyvét.

Ellipszis és kanonikus egyenlete

Helyesírás ... kérem, ne ismételje meg néhány Yandex-felhasználó hibáit, akik érdeklődnek az "ellipszis felépítése", "az ellipszis és az ovális közötti különbség" és "az elebszis excentricitása" iránt.

Az ellipszis kanonikus egyenlete a következő alakú: ahol pozitív valós számok, és. Az ellipszis definícióját később fogom megfogalmazni, de most itt az ideje, hogy egy kis szünetet tartsunk a beszélő boltban, és megoldjunk egy gyakori problémát:

Hogyan építsek ellipszist?

Igen, vedd és rajzold le. A feladattal gyakran találkoznak, és a hallgatók jelentős része nem tud kompetensen megbirkózni a rajzzal:

1. példa

Szerkessze meg az egyenlet által megadott ellipszist!

Megoldás: először hozzuk az egyenletet a kanonikus alakba:

Miért ólom? A kanonikus egyenlet egyik előnye, hogy lehetővé teszi az azonnali meghatározást ellipszis csúcsok amelyek pontokban vannak. Könnyen belátható, hogy az egyes pontok koordinátái kielégítik az egyenletet.

Ebben az esetben :


Szakasz hívják főtengely ellipszis;
szakasz – melléktengely;
szám hívják fél-nagy tengely ellipszis;
szám – fél-minor tengely.
példánkban:.

Ahhoz, hogy gyorsan elképzeljük, hogyan néz ki ez vagy az az ellipszis, elég megnézni a kanonikus egyenlet „a” és „be” értékét.

Minden rendben van, összecsukható és szép, de van egy figyelmeztetés: a rajzot a programmal készítettem. És bármilyen alkalmazással befejezheti a rajzot. A rideg valóságban azonban egy kockás papírlap hever az asztalon, kezünkön egerek táncolnak körbe. A művészi tehetséggel rendelkezők persze vitatkozhatnak, de neked is vannak egereid (bár kisebbek). Az emberiség nem véletlenül talált fel vonalzót, iránytűt, szögmérőt és más egyszerű eszközöket a rajzoláshoz.

Emiatt nem valószínű, hogy tudunk pontosan megrajzolni egy ellipszist, ha csak a csúcsokat ismerjük. Még mindig rendben van, ha az ellipszis kicsi, például féltengelyekkel. Alternatív megoldásként csökkentheti a rajz léptékét és ennek megfelelően a méreteit. De általános esetben nagyon kívánatos további pontokat találni.

Az ellipszis felépítésének két megközelítése létezik: geometriai és algebrai. Nem szeretem az iránytűvel és vonalzóval való konstrukciót a nem a legrövidebb algoritmus és a rajz jelentős zűrzavara miatt. Sürgős esetben a tankönyvből tájékozódjunk, de a valóságban sokkal racionálisabb az algebra eszközeinek alkalmazása. A vázlaton lévő ellipszis egyenletéből gyorsan fejezze ki:

Továbbá az egyenlet két függvényre bomlik:
- meghatározza az ellipszis felső ívét;
- meghatározza az ellipszis alsó ívét.

A kanonikus egyenlet által meghatározott ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre, valamint az origóra. És ez nagyszerű – a szimmetria szinte mindig az ajándékok előhírnöke. Nyilván elég az 1. koordinátanegyeddel foglalkozni, így kell a függvény ... További pontok keresése abszcisszákkal önmagát sugallja ... Három sms-t nyomtunk a számológépen:

Persze az is kellemes, hogy ha komoly hiba történik a számításokban, akkor ez a kivitelezés során azonnal kiderül.

Jelölje be a pontokat a rajzon (piros), a szimmetrikus pontokat a fennmaradó íveken ( kék szín), és óvatosan kösse össze az egész céget egy vonallal:


Jobb a kezdeti vázlatot vékonyan-vékonyan megrajzolni, és csak ezután nyomni a ceruzát. Az eredmény egy tisztességes ellipszis legyen. Egyébként szeretnéd tudni, hogy mi ez a görbe?

Az ellipszis definíciója. Ellipszis gócok és ellipszis excentricitás

Az ellipszis az ovális speciális esete. Az „ovális” szót nem filiszteus értelemben kell érteni („egy gyerek oválist rajzolt” stb.). azt matematikai kifejezés, amelynek részletes megfogalmazása van. Ennek a leckének nem az a célja, hogy megvizsgálja az oválisok elméletét és különféle típusait, amelyek szinte figyelmen kívül maradnak az analitikus geometria szokásos kurzusában. És a relevánsabb igényeknek megfelelően rögtön az ellipszis szigorú meghatározásához ugrunk:

Ellipszis A sík összes pontjának halmaza, amelyek távolságának összege két adott ponttól, ún. trükkök ellipszis, - egy állandó érték, amely számszerűen egyenlő az ellipszis főtengelyének hosszával:.
Ebben az esetben a gócok közötti távolság kisebb adott értéket: .

Most minden világosabb lesz:

Képzelje el, hogy a kék pont egy ellipszist "hajt". Tehát függetlenül attól, hogy az ellipszis melyik pontját vesszük fel, a szakaszok hosszának összege mindig ugyanaz lesz:

Győződjön meg arról, hogy példánkban az összeg értéke valóban nyolc. Mentálisan helyezze el az "em" pontot az ellipszis jobb csúcsára, majd:, amit ellenőrizni akart.

A rajzolás másik módja az ellipszis definícióján alapul. A felsőfokú matematika időnként feszültséget és stresszt okoz, ezért ideje egy újabb kirakodási munkamenetet tartani. Kérjük, vegyen egy Whatman papírt vagy egy nagy kartonpapírt, és rögzítse az asztalhoz két csappal. Ezek trükkök lesznek. Kössünk zöld szálat a kiálló szögfejekre, és húzzuk végig ceruzával. A ceruza nyaka valamikor az ellipszishez tartozik. Most kezdje el a ceruzát végighúzni a papírlapon, és tartsa feszesen a zöld szálat. Addig folytasd a folyamatot, amíg vissza nem térsz a kiindulási ponthoz... kitűnő... a rajzot be lehet nyújtani az orvoshoz tanári ellenőrzés céljából =)

Hogyan találhatom meg az ellipszis fókuszait?

Az adott példában "kész" fókuszpontokat ábrázoltam, és most megtanuljuk, hogyan lehet ezeket kivonni a geometria mélységeiből.

Ha egy ellipszist egy kanonikus egyenlet ad meg, akkor a fókuszpontjainak koordinátái vannak , hol van távolság az egyes fókuszoktól az ellipszis szimmetriaközéppontjáig.

A számítások könnyebbek, mint egy párolt fehérrépa:

! A fókuszpontok konkrét koordinátái nem azonosíthatók a "tse" jelentéssel! Ismétlem, hogy ez van TÁVOLSÁG az egyes fókuszoktól a középpontig(amelynek általában nem kell pontosan az origóban elhelyezkednie).
Ezért a gócok távolsága sem köthető az ellipszis kanonikus helyzetéhez. Más szóval, az ellipszis áthelyezhető egy másik helyre, és az érték változatlan marad, miközben a fókuszok természetesen megváltoztatják a koordinátáikat. Kérlek gondold meg Ebben a pillanatban a téma továbbtanulmányozása során.

Az ellipszis excentricitása és geometriai jelentése

Az ellipszis excentricitása egy olyan arány, amelyen belül értékeket vehet fel.

A mi esetünkben:

Nézzük meg, hogyan függ az ellipszis alakja az excentricitásától. Ezért rögzítse a bal és a jobb csúcsot a figyelembe vett ellipszis, vagyis a fél-nagy tengely értéke állandó marad. Ekkor az excentricitási képlet a következő alakot veszi fel:.

Kezdjük közelebb hozni az excentricitás értékét az egységhez. Ez csak akkor lehetséges, ha. Mit jelent? ... emlékezz a varázstrükkökre ... Ez azt jelenti, hogy az ellipszis gócai az abszcissza tengelye mentén az oldalsó csúcsok felé "elmozdulnak egymástól". És mivel a "zöld szegmensek nem gumik", az ellipszis elkerülhetetlenül ellaposodni kezd, és egyre vékonyabb, tengelyre felfűzött kolbászsá válik.

És így, minél közelebb van az ellipszis excentricitásának értéke az egységhez, annál megnyúltabb az ellipszis.

Most szimuláljuk az ellenkező folyamatot: az ellipszis fókuszát egymás felé mentek, közeledve a központhoz. Ez azt jelenti, hogy a "tse" értéke egyre kisebb lesz, és ennek megfelelően az excentricitás nullára hajlik:.
Ebben az esetben a „zöld szegmensek” éppen ellenkezőleg, „zsúfolttá válnak”, és elkezdik „fel-le tolni” az ellipszis vonalát.

És így, minél közelebb van az excentricitás értéke nullához, annál jobban néz ki az ellipszis... nézd meg azt az extrém esetet, amikor a gócok az eredetben sikeresen egyesülnek:

A kör az ellipszis speciális esete

Valójában a féltengelyek egyenlősége esetén az ellipszis kanonikus egyenlete ölt formát, amely reflexszerűen átalakul az iskolából jól ismert egyenletté, amely egy kör középpontja az "a" sugarú koordináták origójában van.

A gyakorlatban gyakrabban használják a „beszélő” „er” betűvel ellátott felvételt:. A sugarat egy szakasz hosszának nevezzük, ahol a kör minden pontját a sugár távolsága távolítja el a középponttól.

Figyeljük meg, hogy az ellipszis definíciója teljesen helyes marad: a fókuszok egybeestek, és a kör minden pontjára vonatkozó egybeeső szakaszok hosszának összege állandó érték. Mivel a távolság a gócok között, akkor bármely kör excentricitása nulla.

Könnyen és gyorsan felépül egy kör, elég, ha felvértezed magad egy iránytűvel. Ennek ellenére néha meg kell találni egyes pontjainak koordinátáit, ebben az esetben a megszokott úton járunk - az egyenletet lendületes Matan alakba hozzuk:

- a felső félkör funkciója;
- az alsó félkör funkciója.

Ezután megtaláljuk a szükséges értékeket, megkülönböztetni, egyesítés más jó dolgokat csinál.

A cikk természetesen csak tájékoztató jellegű, de hogyan élhet valaki szerelem nélkül a világon? Kreatív feladat számára önálló döntés

2. példa

Írja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha az egyik fókusza és a fél-minor tengelye ismert (a középpont az origóban van). Keressen csúcsokat, további pontokat és húzzon egy vonalat a rajzon. Számítsa ki az excentricitást.

Megoldás és rajz az óra végén

Adjunk hozzá egy műveletet:

Ellipszis forgatása és párhuzamos fordítása

Térjünk vissza az ellipszis kanonikus egyenletéhez, mégpedig ahhoz a feltételhez, amelynek rejtvénye e görbe első említése óta gyötri a kíváncsi elméket. Itt megvizsgáltuk az ellipszist , de a gyakorlatban nem ez az egyenlet ? Hiszen itt azonban úgy tűnik, ez is olyan, mint egy ellipszis!

Ritka egy ilyen egyenlet, de előfordul. És valóban meghatározza az ellipszist. Eloszlatjuk a misztikát:

Az építés eredményeként natív ellipszisünket kapjuk, 90 fokkal elforgatva. vagyis - ez nem kanonikus jelölés ellipszis . Rekord!- az egyenlet nem határoz meg más ellipszist, mivel a tengelyen nincsenek olyan pontok (gócok), amelyek kielégítenék az ellipszis definícióját.