Keresse meg az ellipszis kanonikus egyenletét! Másodrendű görbék
Definíció 7.1. Azon sík összes pontjának halmazát, amelyre két fix F 1 és F 2 közötti távolság összege adott állandó, nevezzük ellipszis.
Az ellipszis meghatározása megadja következő úton geometriai felépítése. A síkon két F 1 és F 2 pontot rögzítünk, és egy nem negatív állandót 2a-val jelölünk. Az F 1 és F 2 pontok közötti távolság legyen 2c. Képzeljük el, hogy egy 2a hosszúságú, nem nyújtható szálat rögzítünk például az F 1 és az F 2 pontba, két tű segítségével. Nyilvánvaló, hogy ez csak a ≥ c. Ceruzával nyújtva a szálat, húzzon egy vonalat, amely ellipszis lesz (7.1. Ábra).
Tehát a leírt halmaz nem üres, ha a ≥ c. A = c esetén az ellipszis F 1 és F 2 végű szegmens, c = 0 esetén pedig, azaz ha az ellipszis definíciójában meghatározott rögzített pontok egybeesnek, akkor az a sugarú kör. Ezeket az elfajult eseteket elvetve feltételezzük továbbá, hogy a> c> 0.
Az ellipszis 7.1 definíciójának F1 és F 2 rögzített pontjait (lásd a 7.1. Ábrát) hívjuk ellipszis gócai, a köztük lévő távolság, 2c -vel jelölve gyújtótávolság, és az F 1 M és F 2 M szegmensek, amelyek az ellipszis tetszőleges M pontját kötik össze a gócokkal, gyújtó sugarak.
Az ellipszis alakját teljes mértékben az | F 1 F 2 | fókusztávolság határozza meg = 2с és az a paraméter, és helyzete a síkon az F 1 és F 2 pontpár.
Az ellipszis meghatározásából az következik, hogy szimmetrikus az F 1 és F 2 gócokat áthaladó egyenesre, valamint az F 1 F 2 szakaszt felére osztó és merőleges egyenesre. hozzá (7.2. ábra, a). Ezeket a vonalakat ún ellipszis tengelyek... Metszéspontjuk O pontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, és ezt az ún az ellipszis közepe, valamint az ellipszis és a szimmetriatengelyek metszéspontjai (A, B, C és D pontok a 7.2. ábrán, a) - az ellipszis csúcsait.
Az a számot hívják egy ellipszis féltengelyeés b = √ (a 2 - c 2) az övé félkisebb tengely... Könnyen belátható, hogy c> 0 esetén az a félnagytengely megegyezik az ellipszis középpontjának és a csúcsainak távolságaival, amelyek ugyanazon a tengelyen vannak az ellipszis fókuszpontjaival (A és B a 7.2. Ábrán, a), és a b féltengely tengelye megegyezik a középpont ellipszis és a másik két csúcsa közötti távolsággal (C és D csúcsok a 7.2. Ábrán, a).
Ellipszis egyenlet. Tekintsünk a síkon valamilyen ellipszist, amelynek fókuszai az F 1 és F 2 pontok, a 2a főtengely. Legyen 2c a gyújtótávolság, 2c = | F 1 F 2 |
Válasszunk egy téglalap alakú Oxy koordinátarendszert a síkon úgy, hogy eredete egybeessen az ellipszis középpontjával, és a gócok abszcissza tengely(7.2. Ábra, b). Ezt a koordinátarendszert ún kánoni a vizsgált ellipszisre, és a megfelelő változók kánoni.
A kiválasztott koordináta-rendszerben a gócok F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinátákkal rendelkeznek. A pontok közötti távolság képletével írjuk fel az | F 1 M | feltételt + | F 2 M | = 2a a koordinátákban:
√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Ez az egyenlet kényelmetlen, mert két négyzet alakú gyököt tartalmaz. Ezért átalakítjuk. Mozgassa a (7.2) egyenlet második gyököt a jobb oldalra, és négyzetezze:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.
A zárójelek kinyitása és a hasonló kifejezések csökkentése után kapjuk
√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx
ahol ε = c / a. A második gyök eltávolítására is megismételjük a négyzet műveletet: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, vagy, figyelembe véve a bevezetett ε paraméter értékét, (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Mivel a 2 - c 2 = b 2> 0, akkor
x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)
A (7.4) egyenletet kielégítik az ellipszis összes pontjának koordinátái. Ennek az egyenletnek a levezetésekor azonban az eredeti (7.2) egyenlet nem egyenértékű transzformációit használták - két négyzet alakú, négyzet alakú gyököt eltávolítva. Az egyenlet négyzetbe állítása ekvivalens transzformáció, ha mindkét oldal azonos előjelű értékeket tartalmaz, de ezt nem ellenőriztük transzformációink során.
Előfordulhat, hogy nem ellenőrizzük az átalakítások egyenértékűségét, ha figyelembe vesszük a következőket. Pár F 1 és F 2, | F 1 F 2 | pont = 2c, a síkon ezeken a pontokon góccal rendelkező ellipsziscsaládot definiál. A sík minden pontja, kivéve az F 1 F 2 szegmens pontjait, a megadott család valamely ellipsziséhez tartozik. Ebben az esetben nincs két ellipszis metszéspontja, mivel a fókuszsugarak összege egyedileg határozza meg az adott ellipszist. Tehát a metszés nélküli ellipsziscsalád lefedi az egész síkot, kivéve az F 1 F 2 szegmens pontjait. Tekintsük azt a ponthalmazt, amelynek koordinátái megfelelnek a (7.4) egyenletnek az a paraméter adott értékével. Elosztható -e ez a halmaz több ellipszis között? A halmaz néhány pontja egy ellipszishez tartozik, amelynek féltengelye a. Ez a halmaz tartalmazzon egy pontot, amely ellipszisen fekszik, féltengelyével a. Ekkor ennek a pontnak a koordinátái engedelmeskednek az egyenletnek
azok. a (7.4) és (7.5) egyenletek rendelkeznek közös megoldások... Azonban könnyen belátható, hogy a rendszer
nincs megoldás г ≠ a. Ehhez elég kizárni például x -et az első egyenletből:
ami az átalakítások után az egyenlethez vezet
amelynek nincs megoldása г ≠ a, hiszen. Tehát (7.4) egy olyan ellipszis egyenlete, amelynek a> 0 féltengelye és félig kicsi tengelye b = √ (a 2-c 2)> 0. Ezt az ún. a kanonikus ellipszisegyenlet.
Ellipszis nézet. Az ellipszis felépítésének fentebb tárgyalt geometriai módszere elegendő képet ad arról megjelenés ellipszis. De az ellipszis alakja a (7.4) kanonikus egyenlete segítségével is vizsgálható. Például, ha y ≥ 0 -t feltételezünk, akkor y -t x -ben fejezhetjük ki: y = b√ (1 - x 2 / a 2), és ennek a függvénynek a vizsgálata után felépítjük a gráfját. Van egy másik módja is az ellipszis felépítésének. Az ellipszis (7.4.) Kanonikus koordinátarendszerének kezdetén középpontú sugarú kört az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet írja le. Ha a / b> 1 együtthatóval tömörítjük végig ordinált tengelyek, akkor kap egy görbét, amelyet az x 2 + (ya / b) 2 = a 2 egyenlet ír le, azaz egy ellipszis.
Megjegyzés 7.1. Ha ugyanazt a kört az a / b aránnyal tömöríti
Ellipszis excentricitás... Az ellipszis és a fókusztávolság aránya főtengely hívják az ellipszis excentricitásaés ε -val jelöljük. A megadott ellipszisre
kanonikus egyenlet (7.4), ε = 2c / 2a = c / a. Ha a (7.4) -ben az a és b paramétereket az a egyenlőtlenség kapcsolja össze
C = 0 esetén, amikor az ellipszis körré változik, és ε = 0. Más esetekben 0
A (7.3) egyenlet egyenértékű a (7.4) egyenlettel, mivel a (7.4) és (7.2) egyenletek egyenértékűek. Ezért az ellipszis egyenlete is (7.3). Ezenkívül a (7.3) összefüggés érdekes, mivel egyszerű gyökmentes képletet ad az | F 2 M | az ellipszis M pontjának (x; y) egyik gyújtó sugara: | F 2 M | = a + εx.
Hasonló képletet kaphatunk a második gyújtótávolságra szimmetria-megfontolásokból vagy a számítások megismétlésével, ahol az első, és nem a második gyököt helyezzük át a jobb oldalra a (7.2) egyenlet négyzete előtt. Tehát az ellipszis bármely M (x; y) pontjára (lásd a 7.2. Ábrát)
| F 1 M | = a - εx, | F 2 M | = a + εx, (7,6)
és mindegyik egyenlet egy ellipszis egyenlete.
7.1. Példa megtalálja kanonikus egyenlet ellipszis 5-ös nagytengellyel és 0,8 excentricitással, és építse fel.
Ismerve az a = 5 ellipszis fél-nagytengelyét és az ε = 0,8 excentricitást, megtaláljuk a b féltengelyét. Mivel b = √ (a 2 - c 2) és c = εa = 4, akkor b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Tehát a kanonikus egyenlet x 2/5 2 + y 2/3 alakú 2 = 1. Az ellipszis felépítéséhez célszerű rajzolni egy téglalapot, amelynek középpontja a kanonikus koordinátarendszer kiindulópontja, és amelynek oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyével, és megegyeznek a megfelelő tengelyekkel (7.4. Ábra). . Ez a téglalap metszi
az ellipszis tengelyei A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3) csúcsaiban, és maga az ellipszis is bele van írva. Ábrán. A 7.4. Ábrán az F 1,2 (± 4; 0) ellipszis gócai is fel vannak tüntetve.
Az ellipszis geometriai tulajdonságai.Írjuk át (7.6) első egyenletét | F 1 M | -ra = (a / ε - x) ε. Megjegyezzük, hogy az a / ε - x mennyiség a> c esetén pozitív, mivel az F 1 fókusz nem tartozik az ellipszishez. Ez az érték a d: x = a / ε függőleges egyenes távolságát jelzi az M (x; y) ponttól, amely ettől az egyenestől balra fekszik. Az ellipszis egyenlet így írható fel
| F 1 M | / (a / ε - x) = ε
Ez azt jelenti, hogy ez az ellipszis a sík azon M (x; y) pontjaiból áll, amelyekre az F 1 M gyújtótávolság és a d egyenes közötti távolság aránya ε -val egyenlő (ábra). 7.5).
A d egyenes "iker" - a d függőleges egyenes, amely d -re szimmetrikus az ellipszis középpontjára, amelyet az x = -a / ε egyenlet ad meg. D vonatkozásában az ellipszist a ugyanúgy, mint d. Mind a d, mind a d "sort hívják ellipszis directrix... Az ellipszis direktrixei merőlegesek az ellipszis szimmetriatengelyére, amelyen a gócai találhatók, és az ellipszis középpontjától a / ε = a 2 / c távolságra vannak egymástól (lásd 7.5. Ábra).
A direkt távolságtól a legközelebbi fókuszig terjedő p távolságot nevezzük az ellipszis fókuszparamétere... Ez a paraméter
p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c
Az ellipszisnek van még egy fontos geometriai tulajdonsága: az F 1 M és F 2 M gyújtó sugarak egyenlő szöget zárnak be az ellipszis érintőjével az M pontban (7.6. Ábra).
Ennek a tulajdonságnak világos fizikai jelentése van. Ha egy fényforrást az F 1 fókuszba helyezünk, akkor az ebből a fókuszból kilépő sugár az ellipszisről való visszaverődés után a második gyújtó sugár mentén halad, mivel visszaverődés után ugyanolyan szögben lesz a görbével, mint a visszaverődés előtt. Így az F 1 fókuszt elhagyó összes sugár a második F 2 fókuszba koncentrálódik, és fordítva. Ezen értelmezés alapján a megadott tulajdonságot ún az ellipszis optikai tulajdonsága.
Az ellipszis a sík pontjainak lókusza, amelyek mindegyikétől a két megadott F_1 pont közötti távolság összege, és az F_2 állandó érték (2a), nagyobb, mint a megadott pontok közötti távolság (2c) (3.36. Ábra) , a). Ez a geometriai meghatározás kifejezi fókuszos ellipszis tulajdonság.
Az ellipszis fókusztulajdonsága
Az F_1 és F_2 pontokat az ellipszis fókuszpontjainak nevezzük, a köztük lévő távolság 2c = F_1F_2 - a gyújtótávolság, az F_1F_2 szegmens középső O - az ellipszis középpontja, a 2a szám - a dúr hossza az ellipszis tengelye (illetőleg az a szám - az ellipszis féltengelye). Az F_1M és F_2M szegmenseket, amelyek az ellipszis tetszőleges M pontját kötik össze a gócokkal, az M pont gyújtó sugaraknak nevezzük. Az ellipszis két pontját összekötő szegmenst az ellipszis akkordjának nevezzük.
Az e = \ frac (c) (a) arányt az ellipszis excentricitásának nevezzük. A definícióból (2a> 2c) következik, hogy 0 \ leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Az ellipszis geometriai meghatározása, amely a fókusztulajdonságát fejezi ki, megegyezik analitikus definíciójával - egy vonal, amelyet egy ellipszis kanonikus egyenlete határoz meg:
Valóban bevezetünk egy téglalap alakú koordinátarendszert (3.36. Ábra, c). Az ellipszis O középpontját vesszük a koordináta -rendszer eredetének; a gócokon áthaladó egyenest (a gyújtótengelyt vagy az ellipszis első tengelyét) abszcisszatengelynek kell tekinteni (a rajta lévő pozitív irány az F_1 ponttól az F_2 pontig); a gyújtótengelyre merőleges és az ellipszis középpontján (az ellipszis második tengelyén) áthaladó egyenest ordinátának kell tekinteni (az ordinátán lévő irányt úgy választjuk meg, hogy az Oxy téglalap alakú koordináta -rendszer helyes legyen).
Állítsuk össze az ellipszis egyenletét, annak geometriai meghatározását használva, amely kifejezi a fókusztulajdonságot. A kiválasztott koordináta -rendszerben meghatározzuk a fókuszok koordinátáit F_1 (-c, 0), ~ F_2 (c, 0)... Egy ellipszishez tartozó tetszőleges M (x, y) ponthoz:
\ vline \, \ overrightarrow (F_1M) \, \ vline \, + \ vline \, \ overrightarrow (F_2M) \, \ vline \, = 2a.
Ha ezt az egyenlőséget koordináta formában írjuk fel, akkor ezt kapjuk:
\ sqrt ((x + c) ^ 2 + y ^ 2) + \ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = 2a.
A második gyököt a jobb oldalra mozgatjuk, négyzetbe vesszük az egyenlet mindkét oldalát, és hasonló kifejezéseket adunk:
(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a \ sqrt ((xc) ^ 2 + y ^ 2) + (xc) ^ 2 + y ^ 2 ~ \ Leftrightarrow ~ 4a \ sqrt ((xc ) ^ 2 + y ^ 2) = 4a ^ 2-4cx.
4 -el osztva az egyenlet mindkét oldalát négyzetre vesszük:
A ^ 2 (xc) ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 4-2a ^ 2cx + c ^ 2x ^ 2 ~ \ Leftrightarrow ~ (a ^ 2-c ^ 2) ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2).
A kijelöléssel b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2)> 0, kapunk b ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2b ^ 2... Mindkét oldalt elosztva ^ 2b ^ 2 \ ne0 -val, eljutunk az ellipszis kanonikus egyenletéhez:
\ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1.
Ezért a kiválasztott koordinátarendszer kanonikus.
Ha az ellipszis gócai egybeesnek, akkor az ellipszis egy kör (3.36.6. Ábra), mivel a = b. Ebben az esetben minden olyan téglalap alakú koordináta -rendszer, amelynek kiindulópontja a pont O \ equiv F_1 \ equiv F_2, és az x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 egyenlet egy O középpontú és a sugarú kör egyenlete.
Ha az érvelést fordított sorrendben hajtjuk végre, kimutatható, hogy minden pont, amelynek koordinátái megfelelnek a (3.49) egyenletnek, és csak ők tartoznak az ellipszisnek nevezett pontok helyéhez. Más szóval, az ellipszis analitikus meghatározása egyenértékű az ellipszisével geometriai meghatározás, amely az ellipszis fókusztulajdonságát fejezi ki.
Ellipszis könyvtár tulajdonság
Az ellipszis -egyenes két egyenes, amely párhuzamosan halad a kanonikus koordinátarendszer ordinátatengelyével, attól azonos távolságban \ frac (a ^ 2) (c). C = 0 esetén, amikor az ellipszis egy kör, nincsenek direktrixek (feltételezhetjük, hogy a direktrixek végtelenül távol vannak).
Ellipszis excentricitással 0
Valóban, például az F_2 fókusz és a d_2 direktrix esetében (3.37.6. Ábra) a feltétel \ frac (r_2) (\ rho_2) = e koordináta formában írható:
\ sqrt ((x -c) ^ 2 + y ^ 2) = e \ cdot \! \ left (\ frac (a ^ 2) (c) -x \ right)
Megszabadulni az irracionalitástól és lecserélni e = \ frac (c) (a), ~ a ^ 2-c ^ 2 = b ^ 2, elérjük az ellipszis kanonikus egyenletét (3.49). Hasonló érvelés hajtható végre az F_1 fókusz és a directrix esetében is d_1 \ vastagbél \ frac (r_1) (\ rho_1) = e.
Egy ellipszis egyenlete poláris koordinátarendszerben
Az ellipszis egyenlete az F_1r \ varphi poláris koordinátarendszerben (3.37. Ábra, c és 3.37 (2)) a következő alakú
R = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)
ahol p = \ frac (b ^ 2) (a) az ellipszis fókuszparamétere.
Valójában válasszuk az ellipszis F_1 bal fókuszát a poláris koordinátarendszer pólusaként, és az F_1F_2 sugarat poláris tengelyként (3.37. Ábra, c). Ekkor egy tetszőleges M ponthoz (r, \ varphi) az ellipszis geometriai meghatározása (fókusztulajdonsága) szerint r + MF_2 = 2a. Az M (r, \ varphi) és az F_2 (2c, 0) pontok közötti távolságot fejezzük ki (lásd a 2.8. Megjegyzések 2. pontját):
\ begin (igazítva) F_2M & = \ sqrt ((2c) ^ 2 + r ^ 2-2 \ cdot (2c) \ cdot r \ cos (\ varphi-0)) = \\ & = \ sqrt (r ^ 2 - 4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2). \ End (igazítva)
Ezért koordináta formában az F_1M + F_2M = 2a ellipszis egyenlete a következő alakú
R + \ sqrt (r ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2) = 2 \ cdot a.
Kiválasztjuk a gyököt, négyzetbe vesszük az egyenlet mindkét oldalát, elosztjuk 4 -gyel, és hasonló kifejezéseket adunk:
R ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2 ~ \ Leftrightarrow ~ a \ cdot \! \ Left (1- \ frac (c) (a) \ cdot \ cos \ varphi \ right) \! \ cdot r = a ^ 2-c ^ 2.
Fejezze ki az r poláris sugarat, és cserélje ki e = \ frac (c) (a), ~ b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2, ~ p = \ frac (b ^ 2) (a):
R = \ frac (a ^ 2-c ^ 2) (a \ cdot (1-e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Leftrightarrow \ quad r = \ frac (b ^ 2) (a \ cdot (1 -e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Leftrightarrow \ quad r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),
Q.E.D.
Az együtthatók geometriai jelentése az ellipszisegyenletben
Keresse meg az ellipszis metszéspontjait (lásd 3.37. Ábra, a) koordináta tengelyek(a zlipszis teteje). Ha y = 0 -t helyettesítjük az egyenletbe, megtaláljuk az ellipszis és az abszcissza tengelyének metszéspontjait (a gyújtótengellyel): x = \ pm a. Ezért az ellipszisbe zárt fókusztengely szegmensének hossza 2a. Ezt a szegmenst, mint fentebb említettük, az ellipszis főtengelyének, az a számot pedig az ellipszis főtengelyének nevezzük. Az x = 0 helyettesítésével y = \ pm b kapunk. Ezért az ellipszis második tengelyének szegmensének hossza az ellipszisbe zárva 2b. Ezt a szegmenst az ellipszis melléktengelyének, a b számot pedig az ellipszis melléktengelyének nevezzük.
Igazán, b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2) \ leqslant \ sqrt (a ^ 2) = a, és a b = a egyenlőséget csak a c = 0 esetben kapjuk meg, amikor az ellipszis egy kör. Hozzáállás k = \ frac (b) (a) \ leqslant1 az ellipszis tömörítési arányának nevezzük.
Megjegyzések 3.9
1. Az x = \ pm a, ~ y = \ pm b vonalak korlátozzák a koordináta síkon a fő téglalapot, amelyen belül ellipszis található (lásd 3.37. Ábra, a).
2. Az ellipszist úgy definiálhatjuk a körök átmérőjére való összenyomásával kapott pontok.
Valóban, engedjük be az Oxy téglalap alakú koordinátarendszert, a kör egyenlete x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 alakú. Amikor az abszcissza tengelyére préseljük 0 -szoros tényezővel \ start (esetek) x "= x, \\ y" = k \ cdot y. \ end (esetek) Az x = x "és y = \ frac (1) (k) y" helyettesítésével a kör egyenletébe kapjuk az egyenletet az M (x) kép M "(x", y ") képének koordinátáira. , y): (x ") ^ 2 + (\ bal (\ frac (1) (k) \ cdot y" \ jobb) \^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} mivel b = k \ cdot a. Ez az ellipszis kanonikus egyenlete. 3. A koordináta -tengelyek (kanonikus koordináta -rendszer) az ellipszis szimmetriatengelyei (az ellipszis főtengelyei), és középpontja a szimmetria középpontja. Valóban, ha az M (x, y) pont az ellipszishez tartozik. akkor az M pontra a koordináta -tengelyek tekintetében szimmetrikus M "(x, -y) és M" "( - x, y) pontok is ugyanabba az ellipszisbe tartoznak. 4. A poláris koordináta -rendszer ellipszisének egyenletéből r = \ frac (p) (1-e \ cos \ varphi)(lásd a 3.37. ábrát, c), a fókuszparaméter geometriai jelentése tisztázott - ez fele a hossza az ellipszisnek, amely áthalad a fókuszán, merőleges a fókusztengelyre (r = p \ varphi = \ frac (\ pi) (2)). 5. Az excentricitás jellemzi az ellipszis alakját, nevezetesen az ellipszis és a kör közötti különbséget. Minél nagyobb az e, annál megnyújtottabb az ellipszis, és minél közelebb van e a nullához, annál közelebb van az ellipszis a körhöz (3.38. Ábra, a). Valóban, figyelembe véve, hogy e = \ frac (c) (a) és c ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2, E ^ 2 = \ frac (c ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 -b ^ 2) (a ^ 2) = 1 - (\ bal (\ frac (a) (b) \ jobb ) \^2=1-k^2,
!} ahol k az ellipszis tömörítési aránya, 0 6. Egyenlet \ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1 a
7. Egyenlet \ frac ((x-x_0) ^ 2) (a ^ 2) + \ frac ((y-y_0) ^ 2) (b ^ 2) = 1, ~ a \ geqslant b egy ellipszist definiál, amelynek középpontja az O "pont (x_0, y_0), amelynek tengelyei párhuzamosak a koordináta -tengelyekkel (3.38. ábra, c). Ezt az egyenletet a kanonikusra redukálják párhuzamos fordítás segítségével (3.36). A = b = R esetén az egyenlet (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = R ^ 2 leírja az R sugarú kört, amelynek középpontja O "(x_0, y_0). Paraméteres ellipszisegyenlet a kanonikus koordináta -rendszerben az alakja van \ start (esetek) x = a \ cdot \ cos (t), \\ y = b \ cdot \ sin (t), \ end (esetek) 0 \ leqslant t<2\pi.
Valóban, ezeket a kifejezéseket a (3.49) egyenletbe helyettesítve, eljutunk a fő trigonometrikus azonossághoz \ cos ^ 2t + \ sin ^ 2t = 1. Példa 3.20. Rajzoljon ellipszist \ frac (x ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 az Oxy kanonikus koordinátarendszerben. Keresse meg a féltengelyeket, a gyújtótávolságot, az excentricitást, a tömörítési arányt, a fókuszparamétert, a direktrix egyenleteket. Megoldás.Összehasonlítva a megadott egyenletet a kanonikus egyenlettel, meghatározzuk a féltengelyeket: a = 2 - fél -nagytengely, b = 1 - az ellipszis fél -moll tengelye. Felépítjük a fő téglalapot, amelynek oldalai 2a = 4, ~ 2b = 2, az origó középpontjában (3.39. Ábra). Tekintettel az ellipszis szimmetriájára, illesztjük a fő téglalapba. Ha szükséges, határozza meg az ellipszis néhány pontjának koordinátáit. Például, ha x = 1 -et behelyettesítjük az ellipszisegyenletbe, akkor azt kapjuk \ frac (1 ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad y ^ 2 = \ frac (3) (4) \ quad \ Leftrightarrow \ quad y = \ pm \ frac (\ sqrt (3)) (2). Ezért pontok koordinátákkal \ bal (1; \, \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ jobb) \!, ~ \ bal (1; \, - \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ jobb)- ellipszishez tartoznak. Számítsa ki a tömörítési arányt k = \ frac (b) (a) = \ frac (1) (2); gyújtótávolság 2c = 2 \ sqrt (a ^ 2-b ^ 2) = 2 \ sqrt (2 ^ 2-1 ^ 2) = 2 \ sqrt (3); különcség e = \ frac (c) (a) = \ frac (\ sqrt (3)) (2); fókuszparaméter p = \ frac (b ^ 2) (a) = \ frac (1 ^ 2) (2) = \ frac (1) (2)... Összeállítjuk a Directrix egyenleteket: x = \ pm \ frac (a ^ 2) (c) ~ \ Leftrightarrow ~ x = \ pm \ frac (4) (\ sqrt (3)). A második rend görbéi a síkon azok az egyenletek határozzák meg a vonalakat, amelyekben a változó koordinátái xés y másodfokú tartalmazza. Ezek közé tartozik az ellipszis, a hiperbola és a parabola. A másodrendű görbe egyenletének általános nézete a következő: ahol A, B, C, D, E, F- számok és legalább az egyik együttható A, B, C nem nulla. A másodrendű görbékkel kapcsolatos problémák megoldásakor leggyakrabban az ellipszis, a hiperbola és a parabola kanonikus egyenleteit veszik figyelembe. Könnyű átadni őket az általános egyenletekből; az ellipszisekkel kapcsolatos problémák 1. példáját fogjuk ennek szentelni. Az ellipszis meghatározása. Az ellipszis a sík minden pontjának halmaza, amelynél a pontokhoz tartozó távolságok összege, amelyet gócoknak neveznek, állandó érték, és nagyobb, mint a gócok közötti távolság. A fókuszokat az alábbi ábra mutatja. Az ellipszis kanonikus egyenlete a következő: ahol aés b (a > b) a féltengelyek hossza, vagyis a koordináta -tengelyeken az ellipszis által levágott szegmensek fele. Az ellipszis gócain áthaladó egyenes a szimmetria tengelye. Az ellipszis másik szimmetriatengelye egy egyenes, amely átmegy az erre a szegmensre merőleges szegmens közepén. Pont O e vonalak metszéspontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, vagy egyszerűen az ellipszis középpontja. Az abszcissza tengely metszi az ellipszist a pontokban ( a, O) és (- a, O), és az ordinátatengely a ( b, O) és (- b, O). Ezt a négy pontot az ellipszis csúcsának nevezzük. Az abszcissza tengelyen az ellipszis csúcsa közötti szegmenst a főtengelynek, az ordináta tengelyt pedig a melléktengelynek nevezzük. Szegmenseiket az ellipszis tetejétől a középpontjáig féltengelyeknek nevezzük. Ha a = b, akkor az ellipszis egyenlete formát ölt. Ez a sugarú kör egyenlete a, és a kör az ellipszis különleges esete. A sugaras körből ellipszist kaphatunk a ha belepréseli a/b alkalommal a tengely mentén Oy
. 1. példa. Ellenőrizze, hogy az általános egyenlet által megadott vonal Megoldás. Az általános egyenletet átalakítjuk. A szabad kifejezés átvitelét a jobb oldalra alkalmazzuk, az egyenlet időenkénti felosztását azonos számmal és a törtek csökkentését: Válasz. Az átalakítások eredményeként kapott egyenlet az ellipszis kanonikus egyenlete. Ezért ez a vonal ellipszis. 2. példa.Írja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha a féltengelye 5, illetve 4. Megoldás. Megnézzük az ellipszis és a helyettesítő kanonikus egyenletének képletét: a fő féltengely a= 5, a kisebb féltengely az b= 4. Megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét: Pontok és, zöld színnel jelölve a főtengelyen, ahol hívják trükkök. hívott különcség ellipszis. Hozzáállás b/a az ellipszis "lapítását" jellemzi. Minél kisebb ez az arány, annál inkább megnyúlik az ellipszis a főtengely mentén. Az ellipszis megnyúlásának mértékét azonban gyakrabban fejezik ki excentricitásként, amelynek képletét a fentiekben adjuk meg. Különböző ellipszisek esetében az excentricitás 0 és 1 között változik, mindig kevesebb, mint egy. 3. példa.Írja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha a fókuszok távolsága 8 és a főtengely 10. Megoldás. Egyszerű következtetéseket vonunk le: Ha a főtengely 10, akkor a fele, azaz a féltengely a = 5
, Ha a gócok közötti távolság 8, akkor a szám c A fókuszkoordináták száma 4. Helyettesítse és számítsa ki: Az eredmény az ellipszis kanonikus egyenlete: 4. példa.Írja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha főtengelye 26, és az excentricitást. Megoldás. Amint mind a főtengely méretéből, mind az excentricitás -egyenletből következik, az ellipszis fő féltengelye a= 13. Az excentricitás egyenletéből fejezzük ki a számot c szükséges a kisebb féltengely hosszának kiszámításához: Kiszámítjuk a kisebb féltengely hosszának négyzetét: Összeállítjuk az ellipszis kanonikus egyenletét: 5. példa. Határozza meg a kanonikus egyenlet által megadott ellipszis fókuszát! Megoldás. Keresse meg a számot c meghatározza az ellipszis fókuszainak első koordinátáit: Megkapjuk az ellipszis fókuszát: 6. példa. Az ellipszis gócok a tengelyen helyezkednek el Ökör szimmetrikus az eredettel kapcsolatban. Írja fel az ellipszis kanonikus egyenletét, ha: 1) a gócok közötti távolság 30, a főtengely pedig 34 2) a melléktengely 24, és az egyik fókusz a pontban van (-5; 0) 3) excentricitás, és az egyik fókusz a (6; 0) ponton van Ha az ellipszis tetszőleges pontja (a rajzon zölddel van jelölve az ellipszis jobb felső részében), és az ettől a ponttól való távolság a gócoktól, akkor a távolságok képletei a következők: Minden ellipszishez tartozó pont esetében a gócoktól való távolságok összege állandó érték, amely 2 a. Egyenletek által meghatározott egyenesek hívják rendezők ellipszis (a rajzon - piros vonalak a széleken). A fenti két egyenletből az következik, hogy az ellipszis bármely pontjára hol és vannak e pont távolságai a directrixhez és. 7. példa. Ellipszist adnak. Készítsen egyenletet az igazgatókra! Megoldás. Megnézzük a directrix egyenletet, és megállapítjuk, hogy meg kell találni az ellipszis excentricitását, azaz Erre minden adat megvan. Kiszámoljuk: Megkapjuk az ellipszis egyenletének egyenletét: 8. példa.Írja fel az ellipszis kanonikus egyenletét, ha fókuszai pontok, a direktrixek pedig egyenesek. 11.1. Alapfogalmak Tekintsük a másodfokú egyenletek által meghatározott vonalakat az aktuális koordinátákhoz képest Az egyenlet együtthatói valós számok, de az A, B vagy C számok közül legalább az egyik nem nulla. Az ilyen vonalakat másodrendű vonalaknak (görbéknek) nevezzük. Az alábbiakban megállapítjuk, hogy a (11.1) egyenlet egy kört, ellipszist, hiperbolát vagy parabolát határoz meg a síkon. Mielőtt továbbmennénk ehhez az állításhoz, tanulmányozzuk a felsorolt görbék tulajdonságait. 11.2. Kör Ekkor a feltételből megkapjuk az egyenletet A (11.2) egyenletet kielégítik az adott kör bármely pontjának koordinátái, és a körön nem fekvő bármely pont koordinátái nem. A (11.2) egyenletet hívjuk a kör kanonikus egyenlete Különösen a beállítás és a, megkapjuk az origó középpontjában álló kör egyenletét A kör egyenlete (11.2) az egyszerű átalakítások után formát ölt. Ha összehasonlítjuk ezt az egyenletet a második rendű görbe általános egyenletével (11.1), könnyen belátható, hogy két feltétel teljesül a kör egyenletéhez: 1) az x 2 és y 2 együtthatói egyenlők egymással; 2) nincs olyan kifejezés, amely az aktuális koordináták xy szorzatát tartalmazza. Tekintsük az inverz problémát. Az értékeket és a (11.1) egyenletet megadva megkapjuk Változtassuk ezt az egyenletet: Ebből következik, hogy a (11.3) egyenlet egy kört határoz meg a feltétel mellett Ha Elégedett egyetlen pont koordinátáival Ha 11.3. Ellipszis Kanonikus ellipszisegyenlet Ellipszis
a sík összes pontjának halmazának nevezzük, amelyek mindegyikétől a sík két adott pontjáig terjedő távolságok összegét, ún. trükkök
, van egy állandó érték, amely nagyobb, mint a gócok közötti távolság. Az ellipszis egyenletének levezetéséhez koordinátarendszert választunk úgy, hogy a gócok F 1és F 2 a tengelyen feküdt, és az origó egybeesett a szegmens felezőpontjával F 1 F 2... Ekkor a gócok a következő koordinátákkal rendelkeznek: és. Legyen tetszőleges pontja az ellipszisnek. Akkor szerint ellipszis definíció, azaz Ez lényegében az ellipszis egyenlete. A (11.5) egyenletet többre alakítjuk egyszerű elme a következő módon: Mivel a>val vel, azután . Rakjuk Ekkor az utolsó egyenlet a vagy az alakját veszi fel Bizonyítható, hogy a (11.7) egyenlet egyenértékű az eredeti egyenlettel. Ezt hívják a kanonikus ellipszisegyenlet
. Az ellipszis másodrendű görbe. Egy ellipszis alakjának vizsgálata egyenletével Határozzuk meg az ellipszis alakját kanonikus egyenlete alapján. 1. A (11.7) egyenlet csak páros hatványokban tartalmazza x -et és y -t, ezért ha egy pont egy ellipszishez tartozik, akkor a pontok ,, is hozzá tartoznak. Ebből következik, hogy az ellipszis szimmetrikus a tengelyekkel és az ellipszis középpontjának nevezett ponttal. 3. A (11.7) egyenletből az következik, hogy a bal oldalon lévő egyes tagok nem haladják meg az egységet, azaz egyenlőtlenségek és vagy és megtörténnek. Ezért az ellipszis minden pontja az egyenesek által alkotott téglalapon belül van. 4. A (11.7) egyenletben a nem negatív kifejezések összege egyenlő. Következésképpen az egyik kifejezés növekedésével a másik csökkenni fog, vagyis ha növekszik, akkor csökken, és fordítva. Az elmondottakból az következik, hogy az ellipszis alakja az ábrán látható. 50 (ovális zárt görbe). Tudjon meg többet az ellipszisről Az ellipszis alakja az aránytól függ. Amikor az ellipszis körré alakul, a (11.7) ellipszisegyenlet a formáját veszi fel. Az arányt gyakran használják az ellipszis alakjának jellemzőjeként. A gócok és az ellipszis féltengelye közötti távolság felének arányát az ellipszis excentricitásának nevezzük, és az o6o-t ε ("epsilon") betűvel jelöljük: és 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде Ebből látható, hogy minél kisebb az ellipszis excentricitása, annál kevésbé lapos az ellipszis; ha ε = 0, akkor az ellipszis körré változik. A következő képletek érvényesek Az egyenes vonalakat ún Az egyenlőség (11.6) azt jelenti. Ha, akkor a (11.7) egyenlet egy ellipszist határoz meg, amelynek főtengelye az Oy tengelyen, a melléktengely pedig az Ox tengelyen található (lásd 52. ábra). Az ilyen ellipszis gócjai a pontokon és ahol vannak 11.4. Hiperbola Kanonikus hiperbola egyenlet Túlzás
a sík összes pontjának halmazának nevezzük, amelynek a modulusa a távolságok közötti távolság, amelyektől a sík két adott pontjáig, ún. trükkök
, a fókuszok közötti távolságnál kisebb az állandó érték. A hiperbola egyenlet levezetéséhez egy koordinátarendszert választunk úgy, hogy a gócok F 1és F 2 a tengelyen feküdt, és az origó egybeesett a szegmens felezőpontjával F 1 F 2(lásd 53. ábra). Ekkor a fókuszoknak koordinátái és Legyen a hiperbola tetszőleges pontja. Aztán a hiperbola definíciója szerint A hiperbola a másodrendű sor. A hiperbola alakjának tanulmányozása egyenletével Határozzuk meg a hiperbola formáját a kakonikus egyenlete alapján. 1. A (11.9) egyenlet csak páros hatványokban tartalmazza x -et és y -t. Következésképpen a hiperbola szimmetrikus a tengelyekkel és egy ún a hiperbola központja.
2. Keresse meg a hiperbola és a koordináta tengelyek metszéspontjait. A (11.9) egyenletet megadva a hiperbola és a tengely két metszéspontját találjuk: és. A (11.9) beírásával megkapjuk azt, ami nem lehet. Következésképpen a hiperbola nem metszi az Oy tengelyt. Pont és hívják
csúcsok
hiperbol és a szegmens valódi tengely
, szakasz - valódi féltengely
túlzás. A pontokat összekötő szegmens ún
képzeletbeli tengely
, b szám - képzeletbeli féltengely
... Téglalap oldalakkal 2aés 2b hívott a hiperbola fő téglalapja
. 3. A (11.9) egyenletből az következik, hogy a csökkentendő érték nem kevesebb, mint egy, vagyis az vagy. Ez azt jelenti, hogy a hiperbola pontjai az egyenestől jobbra (a hiperbola jobb ága) és az egyenestől balra (a hiperbola bal ága) találhatók. 4. A hiperbola (11.9) egyenletéből látható, hogy amikor nő, akkor nő is. Ez abból következik, hogy a különbség állandó, egyenlő marad. Az elmondottakból következik, hogy a hiperbola az 54. ábrán látható alakú (két korlátlan ágból álló görbe). Hyperbola aszimptoták
Az L vonalat aszimptotának nevezik Mutassuk meg, hogy a hiperbolának két aszimptotája van: Mivel az egyenesek (11.11) és a hiperbola (11.9) szimmetrikusak a koordináta -tengelyekhez képest, elegendő csak a megjelölt egyenesek azon pontjait figyelembe venni, amelyek az első negyedévben találhatók. Vegyünk egy egyenest egy N pontra, amelynek abszcissza x ugyanaz, mint a hiperbola pontja Mint látható, x növekedésével a tört nevezője nő; a számláló állandó. Ezért a szegmens hossza A hiperbola (11.9) felépítésekor célszerű először a hiperbola fő téglalapját felépíteni (lásd 57. ábra), e téglalap szemközti csúcsain áthaladó egyeneseket, a hiperbola aszimptotáit megrajzolni, és megjelölni a csúcsokat és , hiperbolák. Egyenoldali hiperbola egyenlet. amelynek aszimptotái a koordináta -tengelyek Az egyenlő oldalú hiperbola aszimptotái egyenletekkel rendelkeznek, ezért a koordináta szögek felezői. Tekintsük ennek a hiperbolának az egyenletét az új koordináta -rendszerben (lásd az 58. ábrát), amelyet a régiből kapunk a koordináta -tengelyek szöggel történő elforgatásával. A koordinátatengelyek forgatásához a következő képletet használjuk: Helyettesítse x és y értékét a (11.12) egyenlettel: Egy egyenlő oldalú hiperbola egyenlete, amelynek az Ox és Oy tengelyek aszimptotái, formája lesz. További információ a hiperbolról Különcség
a hiperbolát (11.9) a gócok közötti távolság és a hiperbola valós tengelyének nagysága közötti aránynak nevezzük, ε -val jelölve: Mivel a hiperbolánál a hiperbola excentricitása nagyobb, mint egy :. Az excentricitás jellemzi a hiperbola alakját. Valójában az egyenlőségből (11.10) az következik, hogy és Ebből látható, hogy minél kisebb a hiperbola excentricitása, annál alacsonyabb a féltengelyek aránya, és így a fő téglalapja is megnyúlt. Az egyenlő oldalú hiperbola excentricitása az. Igazán, Fókusz sugarak Az egyeneseket hiperbolikus direktrixeknek nevezzük. Mivel a hiperbolához ε> 1, akkor. Ez azt jelenti, hogy a jobb direktrix a hiperbola középpontja és jobb csúcsa között helyezkedik el, a bal pedig a középpont és a bal csúcs között. A hiperbola -egyenesek ugyanazokkal a tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az ellipszis -egyenesek. Az egyenlet által meghatározott görbe szintén egy hiperbola, amelynek 2b valós tengelye az Oy tengelyen, a képzelt tengely pedig 2 a- az Ökör tengelyen. Az 59. ábrán szaggatott vonallal látható. Nyilvánvaló, hogy hiperbolák és közös aszimptoták vannak. Az ilyen hiperbolokat konjugátumnak nevezik. 11.5. Parabola Kanonikus parabola egyenlet A parabola a sík összes pontjának halmaza, amelyek mindegyike egyforma távolságra van egy adott ponttól, az úgynevezett fókusz, és egy adott egyenes, amelyet direktnek neveznek. Az F fókusz és a direktrix közötti távolságot a parabola paraméterének nevezzük, és p (p> 0) jelöli. 1. A (11.13) egyenletben az y változó páros hatványba kerül, ami azt jelenti, hogy a parabola szimmetrikus az Ox tengelyre; az Ox tengely a parabola szimmetriatengelye. 2. Mivel ρ> 0, a (11.13) -ból következik, hogy. Következésképpen a parabola az Oy tengelytől jobbra található. 3. Mert y = 0. Következésképpen a parabola áthalad az origón. 4. Ahogy x korlátlanul növekszik, az y modul is korlátlanul növekszik. A parabola alakja (alakja) a 61. ábrán látható. Az O pontot (0; 0) a parabola csúcsának, az FM = r szakaszt az M pont gyújtó sugarának nevezzük. Egyenletek ,, ( p> 0) is definiálják a parabolákat, ezeket a 62. ábra mutatja Könnyű kimutatni, hogy egy négyzet alakú trinomiális grafikonja, ahol B és C bármilyen valós szám, parabola a fenti definíció értelmében. 11.6. A másodrendű sorok általános egyenlete Másodrendű görbék egyenletei a koordináta -tengelyekkel párhuzamos szimmetriatengelyekkel Először keressük meg egy olyan pont középpontjában álló ellipszis egyenletét, amelynek szimmetriatengelyei párhuzamosak az Ox és Oy koordinátatengelyekkel, a féltengelyek pedig egyenlők aés b... Az O 1 ellipszis középpontjába helyezzük az új koordináta -rendszer eredetét, amelynek tengelyei és a féltengelyek aés b(lásd 64. ábra): Végül a 65. ábrán látható paraboláknak megfelelő egyenleteik vannak. Az egyenlet Az ellipszis, a hiperbola, a parabola és a kör egyenlete az átalakítások után (nyissa ki a zárójeleket, mozgassa az egyenlet minden tagját egy irányba, hozzon hasonló kifejezéseket, vezessen be új együtthatómegjelöléseket) űrlap egyenlete ahol az A és C együttható nem egyenlő a nullával. Felmerül a kérdés: a forma (11.14) bármely egyenlete határozza meg a második rend egyik görbéjét (kör, ellipszis, hiperbola, parabola)? A választ a következő tétel adja. Tétel 11.2... A (11.14) egyenlet mindig meghatározza: vagy kört (A = C esetén), vagy ellipszist (A C> 0 esetén), vagy hiperbolát (A C esetén< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Általános másodrendű egyenlet Fontolja meg most általános egyenlet másodfokú, két ismeretlennel: A (11.14) egyenlettől különbözik a (B¹ 0) koordináták szorzatával rendelkező kifejezés jelenlététől. A koordináta -tengelyeket a szöggel elforgatva lehetséges, hogy ezt az egyenletet úgy alakítsuk át, hogy a benne lévő koordináták szorzatával ne legyen tag. A tengelyek forgatási képleteinek használatával a régi koordinátákat az újakkal fejezzük ki: Az a szöget úgy választjuk meg, hogy az x "· y" pontban szereplő együttható eltűnjön, vagyis az egyenlőség Így amikor a tengelyeket az a szögön keresztül forgatjuk, kielégítve a (11.17) feltételt, a (11.15) egyenlet a (11.14) egyenletre csökken. Kimenet: az általános másodrendű egyenlet (11.15) a következő görbéket határozza meg a síkon (kivéve a degenerációt és a bomlást): kör, ellipszis, hiperbola, parabola. Megjegyzés: Ha A = C, akkor a (11.17) egyenlet elveszíti jelentését. Ebben az esetben cos2α = 0 (lásd (11.16)), akkor 2α = 90 °, azaz α = 45 °. Tehát, amikor A = C, a koordinátarendszert 45 ° -kal el kell forgatni. Meghatározás. Az ellipszis egy síkban található pontok lókusza, amelynek e sík két adott pontjából, fókusznak nevezett távolságainak összege állandó (feltéve, hogy ez az érték nagyobb, mint a gócok közötti távolság). Jelöljük a gócokat a köztük lévő távolságon keresztül - keresztül, és egy állandó értéket, amely megegyezik az ellipszis minden pontjától a gócokig terjedő távolságok összegével (feltétel szerint). Építsünk fel egy derékszögű koordinátarendszert úgy, hogy a gócok az abszcissza tengelyen legyenek, és a koordináták eredete egybeessen a szegmens közepével (44. ábra). Ekkor a fókuszok a következő koordinátákkal rendelkeznek: bal és jobb fókusz. Vegyük le az ellipszis egyenletét a kiválasztott koordináta -rendszerben. Ebből a célból vegye figyelembe az ellipszis tetszőleges pontját. Az ellipszis meghatározása szerint az ettől a ponttól a gócokig terjedő távolságok összege: A két pont közötti távolság képletét használva tehát megkapjuk Ennek az egyenletnek az egyszerűsítése érdekében írjuk be a formába Az egyenlet mindkét oldalának négyzetesítése után megkapjuk vagy nyilvánvaló egyszerűsítések után: Most ismét négyzetbe vesszük az egyenlet mindkét oldalát, ezután megkapjuk: vagy azonos átalakítások után: Mivel az ellipszis meghatározásának feltétele szerint ez pozitív szám. Bemutatjuk a jelölést Ezután az egyenlet a következő formát öleli fel: Az ellipszis definíciója szerint bármely pontjának koordinátái megfelelnek a (26) egyenletnek. De a (29) egyenlet a (26) egyenlet következménye. Ezért az ellipszis bármely pontjának koordinátái is kielégítik. Kimutatható, hogy az ellipszisen nem fekvő pontok koordinátái nem felelnek meg a (29) egyenletnek. Így a (29) egyenlet egy ellipszis egyenlete. Ezt az ellipszis kanonikus egyenletének nevezik. Határozzuk meg az ellipszis alakját kanonikus egyenlete alapján. Először is figyeljen arra, hogy ez az egyenlet csak x és y egyenletes hatványait tartalmazza. Ez azt jelenti, hogy ha bármely pont egy ellipszishez tartozik, akkor tartalmaz egy pontot, amely szimmetrikus az abszcisszatengelyhez viszonyított ponttal, és egy pontot, amely szimmetrikus az ordinátatengelyhez képest. Így az ellipszisnek két egymásra merőleges szimmetriatengelye van, amelyek a kiválasztott koordináta -rendszerben egybeesnek a koordináta -tengelyekkel. Az ellipszis szimmetriatengelyeit tovább nevezzük az ellipszis tengelyeinek, és metszéspontjukat - az ellipszis középpontjának. Azt a tengelyt, amelyen az ellipszis gócai találhatók (ebben az esetben az abszcissza tengely), fókusztengelynek nevezzük. Először az első negyedévben határozzuk meg az ellipszis alakját. Ehhez megoldjuk a (28) egyenletet y vonatkozásában: Nyilvánvaló, hogy itt, hiszen at képzeletbeli értékeket vesz fel. Ha 0 -ról a -ra növeljük, y b -ről 0 -ra csökken. Az ellipszis I. negyedben fekvő része a B (0; b) pontok által határolt ív lesz, és a koordináta -tengelyeken fekszik (45. ábra). Most az ellipszis szimmetriáját használva arra a következtetésre jutunk, hogy az ellipszis alakja az ábrán látható. 45. Az ellipszis és a tengelyek metszéspontjait az ellipszis csúcsainak nevezzük. Az ellipszis szimmetriájából az következik, hogy a csúcsokon kívül az ellipszisnek van még két csúcsa (lásd 45. ábra). Az ellipszis ellentétes csúcsait, valamint azok szegmenseit és összekötő részeit, valamint azok hosszát az ellipszis fő- és melléktengelyének nevezzük. Az a és b számokat az ellipszis nagy és kis féltengelyének nevezzük. A gócok és az ellipszis féltengelye közötti távolság felének arányát az ellipszis excentricitásának nevezzük, és általában betűvel jelöljük: Mivel az ellipszis excentricitása kisebb, mint egy: Az excentricitás jellemzi az ellipszis alakját. Valójában a (28) képletből az következik: Ebből látható, hogy minél kisebb az ellipszis excentricitása, annál kevésbé különbözik a b félig kicsi tengelye az a fél-főtengelytől, azaz annál kevésbé megnyúlt az ellipszis ( a fókusztengely mentén). A korlátozó esetben a :, vagy sugarú kört kapunk. Ebben az esetben úgy tűnik, hogy az ellipszis gócai egy ponton - a kör közepén - összeolvadnak. A kör excentricitása nulla: Az ellipszis és a kör közötti kapcsolat más szempontból is megállapítható. Mutassuk meg, hogy az a és b féltengelyű ellipszis tekinthető az a sugarú kör vetületének. Tekintsünk két P és Q síkot, amelyek ilyen szöget alkotnak egymás között, amelyre (46. ábra). Építsünk fel egy koordinátarendszert a P síkban és a Q síkban - egy Oxy rendszert, amelynek O koordinátái közös eredetűek és közös abszcisszája van, amely egybeesik a síkok metszésvonalával. Tekintsük a P síkban a kört amelynek középpontja a kiindulási pont és sugara megegyezik a -val. Legyen a kör tetszőlegesen kiválasztott pontja, legyen a vetülete a Q síkra, és legyen az M pont vetülete az Ox tengelyére. Mutassuk meg, hogy a pont egy ellipszisen fekszik, a és b félszöggel.Paraméteres ellipszisegyenlet
A számítások elvégzéséhez engedélyeznie kell az ActiveX vezérlőket!
A kanonikus egyenlet által megadott ellipszis
, ellipszis.
.
.
Továbbra is együtt oldjuk meg az ellipszis problémáit
,
.
A legegyszerűbb másodrendű görbe egy kör. Emlékezzünk vissza, hogy egy R sugarú kör egy pont középpontjában a sík összes points pontjának halmaza, amely megfelel a feltételnek. Legyen egy pont egy téglalap alakú koordinátarendszerben x 0, y 0 koordinátákkal és - a kör tetszőleges pontjával (lásd 48. ábra).
(11.2)
.
(11.4)
... Középpontja a ponton van 
és a sugár
.
, akkor a (11.3) egyenlet formája
.
... Ebben az esetben azt mondják: „a kör ponttá fajult” (sugara nulla).
, akkor a (11.4) egyenlet, és így az egyenértékű (11.3) egyenlet sem határoz meg semmilyen egyenest, mivel a (11.4) egyenlet jobb oldala negatív, a bal pedig nem negatív (mondjuk: „képzeletbeli kör”).
A fókuszokat ezzel jelöljük F 1és F 2, a távolság közöttük 2 c, és az ellipszis tetszőleges pontjától a gócokig terjedő távolságok összege - 2 után a(lásd 49. ábra). A definíció szerint 2 a > 2c, azaz a
> c.
(11.6)
(11.7)
2. Keresse meg az ellipszis és a koordináta tengelyek metszéspontjait. Ha elhelyezzük, két pontot találunk, amelyeknél a tengely metszi az ellipszist (lásd 50. ábra). A (11.7) egyenletet megadva megtaláljuk az ellipszis és a tengely metszéspontjait: és. Pontok A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 hívják az ellipszis csúcsait... Szegmensek A 1 A 2és B 1 B 2, valamint hosszuk 2 aés 2 b ennek megfelelően nevezik el nagy és kicsi tengelyek ellipszis. A számok aés b nagynak és kicsinek nevezik féltengelyek ellipszis.
Legyen M (x; y) az F 1 és F 2 gócú ellipszis tetszőleges pontja (lásd 51. ábra). Az F 1 M = r 1 és F 2 M = r 2 szegmensek hosszát a Μ pont gyújtó sugarainak nevezzük. Magától értetődően,
Tétel 11.1. Ha az ellipszis tetszőleges pontjától egy bizonyos fókuszig terjedő távolság, d az azonos ponttól az e fókusznak megfelelő direktrix távolsága, akkor az arány állandó érték, amely megegyezik az ellipszis excentricitásával:
.
A fókuszokat ezzel jelöljük F 1és F 2 a köztük lévő távolság 2c, és a hiperbola minden pontja és a gócok közötti távolság közötti különbség modulusa 2a... A-prioritás 2a < 2c, azaz a < c.
vagy, vagyis .. Egyszerűsítések után, ahogy az ellipszis egyenletének levezetésekor is történt, azt kapjuk
kanonikus hiperbola egyenlet
(11.9)
(11.10)
korlátlan K görbe, ha a K görbe M pontjától az egyenesig terjedő d távolság nullára hajlik az M pont korlátlan távolságában a K görbe mentén az origótól. Az 55. ábra az aszimptóta fogalmát szemlélteti: az L egyenes a K görbe aszimptotája.
(11.11)
(lásd az 56. ábrát), és keresse meg a különbséget ΜΝ az egyenes és a hiperbola elágazása között:
ΜΝ hajlamos a nullára. Mivel ΜΝ nagyobb, mint a d távolság a Μ ponttól az egyenesig, akkor d még inkább hajlik a nullára. Tehát az egyenesek a hiperbola aszimptotái (11.9).
A hiperbolát (11.9) egyenlő oldalúnak nevezzük, ha féltengelyei egyenlők (). A kanonikus egyenlete
(11.12)
.
és 
a jobb ág pontjai esetében a hiperbolák alakja és, a bal ágé pedig 
és 
.
A parabola egyenlet levezetéséhez az Oxy koordinátarendszert úgy választjuk, hogy az Ox tengely átmegy az F fókuszon, amely merőleges a direktrixre a directrix és F közötti irányban, és az O koordináták eredete a fókusz és a középpont között helyezkedik el. a directrix (lásd a 60. ábrát). A választott rendszerben az F fókusz koordinátákkal rendelkezik, és a directrix egyenlet formája, ill.
