Ha a = b = R az egyenlet (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = R ^ 2 egy R sugarú kört ír le, amelynek középpontja az O "(x_0, y_0) pontban van.

Paraméteres ellipszis egyenlet

Paraméteres ellipszis egyenlet a kanonikus koordinátarendszerben az alakja van

\ kezdődik (esetek) x = a \ cdot \ cos (t), \\ y = b \ cdot \ sin (t), \ end (esetek) 0 \ leqslant t<2\pi.

Valójában, ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük a (3.49) egyenletbe, eljutunk a fő trigonometrikus azonossághoz \ cos ^ 2t + \ sin ^ 2t = 1.

3.20. példa. Rajzolj ellipszist \ frac (x ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 az Oxy kanonikus koordinátarendszerben. Keresse meg a féltengelyeket, a gyújtótávolságot, az excentricitást, a tömörítési arányt, a fókuszparamétereket, a direktrix egyenleteket.

Megoldás. Az adott egyenletet a kanonikus egyenlettel összehasonlítva meghatározzuk a féltengelyeket: a = 2 - fél-nagy tengely, b = 1 - az ellipszis fél-kistengelye. Megépítjük a 2a = 4, ~ 2b = 2 oldalú főtéglalapot az origó közepén (3.39. ábra). Figyelembe véve az ellipszis szimmetriáját, a fő téglalapba illesztjük. Ha szükséges, határozza meg az ellipszis egyes pontjainak koordinátáit. Például, ha x = 1-et behelyettesítünk az ellipszis egyenletbe, azt kapjuk

\ frac (1 ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 \ quad \ Balra nyíl \ quad y ^ 2 = \ frac (3) (4) \ quad \ Balra nyíl \ quad y = \ pm \ frac (\ sqrt (3)) (2).

Ezért a pontok koordinátákkal \ bal (1; \, \ frac (\ négyzet (3)) (2) \ jobb) \ !, ~ \ bal (1; \, - \ frac (\ négyzet (3)) (2) \ jobb- ellipszishez tartoznak.

Számítsa ki a tömörítési arányt k = \ frac (b) (a) = \ frac (1) (2); gyújtótávolság 2c = 2 \ négyzetméter (a ^ 2-b ^ 2) = 2 \ négyzet (2 ^ 2-1 ^ 2) = 2 \ négyzet (3); különcség e = \ frac (c) (a) = \ frac (\ sqrt (3)) (2); fókusz paraméter p = \ frac (b ^ 2) (a) = \ frac (1 ^ 2) (2) = \ frac (1) (2)... Összeállítjuk a direktrix egyenleteket: x = \ pm \ frac (a ^ 2) (c) ~ \ Balra nyíl ~ x = \ pm \ frac (4) (\ sqrt (3)).

Másodrendű sorok.
Ellipszis és kanonikus egyenlete. Kör

Alapos tanulmányozás után egyenes vonalak a síkon folytatjuk a kétdimenziós világ geometriájának tanulmányozását. A tét megduplázódik, és meghívlak, hogy látogassa meg az ellipszisek, hiperbolák, parabolák festői galériáját, amelyek tipikus képviselői másodrendű sorok... A túra már elkezdődött, és először egy rövid információ a teljes kiállításról a múzeum különböző szintjein:

Az algebrai egyenes fogalma és sorrendje

Egy síkon lévő egyenest ún algebrai, ha be affin koordinátarendszer egyenletének alakja van, ahol egy polinom, amely az alak tagjaiból áll (- valós szám, - nem negatív egész szám).

Mint látható, az algebrai egyenes egyenlete nem tartalmaz szinuszokat, koszinuszokat, logaritmusokat és egyéb funkcionális beau monde-okat. Csak "x" és "játékok" van benne nem negatív egész számok fokon.

Sorrend egyenlő a benne foglalt kifejezések maximális értékével.

A megfelelő tétel szerint az algebrai egyenes fogalma, valamint sorrendje nem függ a választástól affin koordinátarendszer, ezért a könnyebb lét kedvéért feltételezzük, hogy minden további számítás ben történik Derékszögű koordináták.

Általános egyenlet a másodrendű sor alakja, ahol - tetszőleges valós számok (szorzóval szokás írni - "kettő"), és az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Ha, akkor az egyenletet leegyszerűsítjük , és ha az együtthatók egyidejűleg nem egyenlők nullával, akkor ez pontosan így van "lapos" egyenes általános egyenlete ami első rendű sor.

Sokan megértették az új kifejezések jelentését, de ennek ellenére az anyag 100%-os asszimilációja érdekében az ujjunkat bedugjuk a foglalatba. A sor sorrendjének meghatározásához ismételni kell minden kifejezést egyenleteit és mindegyikre találja meg fokok összege bejövő változók.

Például:

a kifejezés 1. fokon tartalmazza az "x"-et;
a kifejezés 1. fokozatban tartalmazza a "játékot";
a kifejezésben nincsenek változók, így hatványaik összege nulla.

Most nézzük meg, miért állítja be az egyenlet az egyenest második rendelés:

a kifejezés "x"-et tartalmaz a 2. fokozatban;
az összegző a változók fokszámainak összegét tartalmazza: 1 + 1 = 2;
a kifejezés 2. fokozatban tartalmazza a "játékot";
minden egyéb kifejezés - kevesebb fokozat.

Maximális érték: 2

Ha hozzáadjuk, mondjuk, az egyenletünkhöz, akkor az már meghatározza harmadik rendű sor... Nyilvánvaló, hogy a harmadrendű egyenes egyenlet általános formája egy "teljes halmazt" tartalmaz, amelyben a változók hatványainak összege három:
, ahol az együtthatók egyszerre nem egyenlők nullával.

Abban az esetben, ha hozzáadunk egy vagy több megfelelő kifejezést, amely tartalmazza , akkor megbeszéljük 4. rendű sorok stb.

A 3., 4. és magasabb rendű algebrai sorokkal többször kell majd foglalkoznunk, különösen akkor, amikor megismerkedünk poláris koordináta-rendszer.

Térjünk azonban vissza az általános egyenlethez, és idézzük fel annak legegyszerűbb iskolai változatait. Példaként egy parabola, amelynek egyenlete könnyen általános alakra redukálható, és egy ekvivalens egyenlettel rendelkező hiperbola javasolja magát. Azonban nem minden olyan simán…

Az általános egyenlet jelentős hátránya, hogy szinte mindig nem világos, hogy melyik egyenest állítja be. Még a legegyszerűbb esetben sem fogja azonnal észrevenni, hogy ez egy hiperbola. Az ilyen elrendezések csak maszlagban jók, ezért az analitikus geometria során egy tipikus probléma merül fel. a másodrendű sor egyenletét a kanonikus alakra redukálva.

Mi az egyenlet kanonikus alakja?

Ez egy általánosan elfogadott szabványos egyenletforma, amikor pillanatok alatt világossá válik, hogy melyik geometriai objektumot határozza meg. Ezenkívül a kanonikus nézet nagyon kényelmes számos gyakorlati feladat megoldásához. Tehát például a kanonikus egyenlet szerint "Sík" egyenes, egyrészt azonnal látszik, hogy egyenesről van szó, másrészt jól látható a hozzá tartozó pont és az irányvektor.

Nyilván bármilyen 1. rendű sor egy egyenes vonal. A második emeleten azonban nem egy őrs vár ránk, hanem egy sokkal változatosabb kilenc szobor társaság:

A másodrendű sorok osztályozása

Egy speciális műveletsor segítségével a másodrendű sor bármely egyenlete a következő típusok egyikére redukálódik:

(és ezek pozitív valós számok)

1) - az ellipszis kanonikus egyenlete;

2) - a kanonikus hiperbola egyenlet;

3) - a parabola kanonikus egyenlete;

4) – képzeletbeli ellipszis;

5) - egy pár metsző egyenes;

6) - pár képzeletbeli metszővonalak (az origó egyetlen érvényes metszéspontjával);

7) - egy pár párhuzamos egyenes;

8) - pár képzeletbeli párhuzamos vonalak;

9) - egy pár egybeeső egyenes.

Néhány olvasónak az a benyomása lehet, hogy a lista nem teljes. Például a 7. pontban az egyenlet beállítja a párt közvetlen tengellyel párhuzamosan, és felmerül a kérdés: hol van az egyenlet, amely az ordinátával párhuzamos egyeneseket határozza meg? Válaszold meg nem tekinthető kanonikusnak... Az egyenes vonalak 90 fokkal elforgatva ugyanazt a standard tokot ábrázolják, és a besorolás további bejegyzése felesleges, mivel semmi alapvetően újat nem hordoz.

Így kilenc és csak kilenc különböző típusú 2. rendű sor létezik, de a gyakorlatban a leggyakoribbak ellipszis, hiperbola és parabola.

Nézzünk először egy ellipszist. Szokás szerint azokra a pontokra koncentrálok, amelyek nagy jelentőséggel bírnak a problémák megoldásában, és ha részletes képletek levezetésére, tételbizonyításra van szüksége, kérjük, olvassa el például Bazylev / Atanasyan vagy Aleksandrov tankönyvét.

Ellipszis és kanonikus egyenlete

Helyesírás ... kérem, ne ismételje meg néhány Yandex-felhasználó hibáit, akik érdeklődnek az „ellipszis felépítése”, „az ellipszis és az ovális közötti különbség” és „az elebszis excentricitása” iránt.

Az ellipszis kanonikus egyenlete a következő alakú: ahol pozitív valós számok, és. Az ellipszis definícióját később fogom megfogalmazni, de most itt az ideje, hogy egy kis szünetet tartsunk a beszélő boltban, és megoldjunk egy gyakori problémát:

Hogyan építsek ellipszist?

Igen, vedd és rajzold le. A feladattal gyakran találkoznak, és a hallgatók jelentős része nem tud kompetensen megbirkózni a rajzzal:

1. példa

Szerkessze meg az egyenlet által megadott ellipszist!

Megoldás: először hozzuk az egyenletet a kanonikus alakba:

Miért ólom? A kanonikus egyenlet egyik előnye, hogy lehetővé teszi az azonnali meghatározást ellipszis csúcsok amelyek pontokban vannak. Könnyen belátható, hogy az egyes pontok koordinátái kielégítik az egyenletet.

Ebben az esetben :


Szakasz hívják főtengely ellipszis;
szakasz – melléktengely;
szám hívják fél-nagy tengely ellipszis;
szám – fél-minor tengely.
példánkban:.

Ahhoz, hogy gyorsan elképzeljük, hogyan néz ki ez vagy az az ellipszis, elég megnézni a kanonikus egyenlet „a” és „bs” értékét.

Minden rendben van, összecsukható és szép, de van egy figyelmeztetés: a rajzot a programmal készítettem. A rajzot pedig bármilyen alkalmazással kiegészítheti. A rideg valóságban azonban egy kockás papírlap hever az asztalon, kezünkön egerek táncolnak körbe. A művészi tehetséggel rendelkezők persze vitatkozhatnak, de neked is vannak egereid (bár kisebbek). Nem hiába talált fel az emberiség vonalzót, iránytűt, szögmérőt és más egyszerű eszközöket a rajzoláshoz.

Emiatt nem valószínű, hogy tudunk pontosan megrajzolni egy ellipszist, ha csak a csúcsokat ismerjük. Még mindig rendben van, ha az ellipszis kicsi, például féltengelyekkel. Alternatív megoldásként csökkentheti a rajz léptékét és ennek megfelelően a méreteit. De általános esetben nagyon kívánatos további pontokat találni.

Az ellipszis felépítésének két megközelítése létezik: geometriai és algebrai. A nem a legrövidebb algoritmus és a rajz jelentős zűrzavara miatt nem szeretem az iránytűvel és vonalzóval történő konstrukciót. Sürgős esetben a tankönyvből tájékozódjunk, de a valóságban sokkal racionálisabb az algebra eszközeinek használata. A vázlaton lévő ellipszis egyenletéből gyorsan fejezze ki:

Továbbá az egyenlet két függvényre bomlik:
- meghatározza az ellipszis felső ívét;
- meghatározza az ellipszis alsó ívét.

A kanonikus egyenlet által meghatározott ellipszis szimmetrikus a koordinátatengelyekre, valamint az origóra. És ez nagyszerű – a szimmetria szinte mindig az ajándékok előhírnöke. Nyilván elég az 1. koordinátanegyeddel foglalkozni, így kell a függvény ... További pontok keresése abszcisszákkal önmagát sugallja ... Három sms-t nyomtunk a számológépen:

Persze az is kellemes, hogy ha komoly hiba történik a számításokban, az a kivitelezés során azonnal kiderül.

Jelölje be a pontokat a rajzon (piros), a szimmetrikus pontokat a fennmaradó íveken (kék), és óvatosan kösse össze az egész céget egy vonallal:


Jobb, ha a kezdeti vázlatot vékonyan és vékonyan rajzolja meg, és csak ezután gyakoroljon nyomást a ceruzára. Az eredmény egy tisztességes ellipszis legyen. Egyébként szeretnéd tudni, hogy mi ez a görbe?

Az ellipszis definíciója. Ellipszis gócok és ellipszis excentricitás

Az ellipszis az ovális speciális esete. Az „ovális” szót nem filiszteus értelemben kell érteni („egy gyerek oválist rajzolt” stb.). Ez egy matematikai kifejezés, amelynek részletes megfogalmazása van. Ennek a leckének nem az a célja, hogy megvizsgálja az oválisok elméletét és különféle típusait, amelyek szinte figyelmen kívül maradnak az analitikus geometria szokásos kurzusában. És a relevánsabb igényeknek megfelelően rögtön az ellipszis szigorú meghatározásához ugrunk:

Ellipszis A sík összes pontjának halmaza, amelyek távolságának összege két adott ponttól, ún. trükkök ellipszis, - egy állandó érték, amely számszerűen egyenlő az ellipszis főtengelyének hosszával:.
Ebben az esetben a fókuszok közötti távolság kisebb, mint ez az érték:.

Most minden világosabb lesz:

Képzelje el, hogy a kék pont egy ellipszist "hajt". Tehát függetlenül attól, hogy az ellipszis melyik pontját vesszük fel, a szakaszok hosszának összege mindig ugyanaz lesz:

Győződjön meg arról, hogy példánkban az összeg értéke valóban nyolc. Mentálisan helyezze el az "em" pontot az ellipszis jobb csúcsára, majd:, amit ellenőrizni akart.

A rajzolás másik módja az ellipszis definícióján alapul. A felsőfokú matematika időnként feszültséget és stresszt okoz, ezért ideje egy újabb kirakodási munkamenetet tartani. Kérjük, vegyen egy Whatman papírt vagy egy nagy kartonpapírt, és rögzítse az asztalhoz két csappal. Ezek trükkök lesznek. Kössünk zöld szálat a kiálló szögfejekre, és húzzuk végig ceruzával. A ceruza nyaka valamikor az ellipszishez tartozik. Most kezdje el a ceruzát végighúzni a papírlapon, és tartsa feszesen a zöld szálat. Addig folytasd a folyamatot, amíg vissza nem térsz a kiindulási ponthoz... kitűnő... a rajzot be lehet küldeni a tanárnak ellenőrzésre =)

Hogyan találhatom meg az ellipszis fókuszait?

Az adott példában "kész" fókuszpontokat ábrázoltam, és most megtanuljuk, hogyan lehet ezeket kivonni a geometria mélységeiből.

Ha az ellipszist a kanonikus egyenlet adja, akkor a fókuszpontjainak koordinátái vannak , hol van távolság az egyes fókuszoktól az ellipszis szimmetriaközéppontjáig.

A számítások könnyebbek, mint egy párolt fehérrépa:

! A fókuszpontok konkrét koordinátái nem azonosíthatók a "tse" jelentéssel! Ismétlem, hogy ez van TÁVOLSÁG az egyes fókuszoktól a középpontig(amelynek általában nem kell pontosan az origóban elhelyezkednie).
Ezért a gócok távolsága sem köthető az ellipszis kanonikus helyzetéhez. Más szóval, az ellipszis áthelyezhető egy másik helyre, és az érték változatlan marad, miközben a fókuszok természetesen megváltoztatják a koordinátáikat. Kérjük, tartsa ezt szem előtt, amikor tovább vizsgálja a témát.

Az ellipszis excentricitása és geometriai jelentése

Az ellipszis excentricitása egy olyan arány, amelyen belül értékeket vehet fel.

A mi esetünkben:

Nézzük meg, hogyan függ az ellipszis alakja az excentricitásától. Ezért rögzítse a bal és a jobb csúcsot a figyelembe vett ellipszis, vagyis a fél-nagy tengely értéke állandó marad. Ekkor az excentricitási képlet a következő alakot veszi fel:.

Kezdjük közelebb hozni az excentricitás értékét az egységhez. Ez csak akkor lehetséges, ha. Mit jelent? ... emlékezz a varázstrükkökre ... Ez azt jelenti, hogy az ellipszis fókuszai az abszcissza tengely mentén az oldalsó csúcsok felé "elmozdulnak egymástól". És mivel a "zöld szegmensek nem gumik", az ellipszis elkerülhetetlenül ellaposodni kezd, és egyre vékonyabb, tengelyre felfűzött kolbászsá válik.

Ily módon minél közelebb van az ellipszis excentricitásának értéke az egységhez, annál megnyúltabb az ellipszis.

Most szimuláljuk az ellenkező folyamatot: az ellipszis fókuszát. egymás felé mentek, közeledve a központhoz. Ez azt jelenti, hogy a "tse" értéke egyre kisebb lesz, és ennek megfelelően az excentricitás nullára hajlik:.
Ebben az esetben a „zöld szegmensek” éppen ellenkezőleg, „zsúfolttá válnak”, és elkezdik „fel-le tolni” az ellipszis vonalát.

Ily módon minél közelebb van az excentricitás értéke nullához, annál jobban néz ki az ellipszis... nézd meg azt az extrém esetet, amikor a gócok az eredetben sikeresen egyesülnek:

A kör az ellipszis speciális esete

Valójában a féltengelyek egyenlősége esetén az ellipszis kanonikus egyenlete ölt formát, amely reflexszerűen átalakul az iskolából jól ismert egyenletté, amely egy kör középpontja az "a" sugarú koordináták origójában van.

A gyakorlatban gyakrabban használják a „beszélő” „er” betűvel ellátott felvételt:. A sugár egy szakasz hossza, ahol a kör minden pontját a sugár távolsága távolítja el a középponttól.

Vegyük észre, hogy az ellipszis definíciója teljesen helyes marad: a fókuszok egybeesnek, és a kör minden pontjában az egybeeső szakaszok hosszának összege állandó érték. Mivel a távolság a gócok között, akkor bármely kör excentricitása nulla.

Könnyen és gyorsan felépül egy kör, elég, ha felvértezed magad egy iránytűvel. Ennek ellenére néha meg kell találni egyes pontjainak koordinátáit, ebben az esetben a megszokott úton járunk - az egyenletet lendületes Matan alakba hozzuk:

- a felső félkör funkciója;
- az alsó félkör funkciója.

Ezután megtaláljuk a szükséges értékeket, megkülönböztetni, egyesítés más jó dolgokat csinál.

A cikk természetesen csak tájékoztató jellegű, de hogy a fenébe élhetsz szerelem nélkül? Kreatív feladat önálló megoldásra

2. példa

Írja fel egy ellipszis kanonikus egyenletét, ha az egyik fókusza és a fél-minor tengelye ismert (a középpont az origóban van). Keressen csúcsokat, további pontokat és húzzon egy vonalat a rajzon. Számítsa ki az excentricitást.

Megoldás és rajz az óra végén

Adjunk hozzá egy műveletet:

Ellipszis forgatása és párhuzamos fordítása

Térjünk vissza az ellipszis kanonikus egyenletéhez, mégpedig ahhoz a feltételhez, amelynek rejtvénye e görbe első említése óta gyötri a kíváncsi elméket. Itt megvizsgáltuk az ellipszist , de a gyakorlatban nem ez az egyenlet ? Hiszen itt azonban úgy tűnik, ez is olyan, mint egy ellipszis!

Ritka egy ilyen egyenlet, de előfordul. És valóban meghatározza az ellipszist. Eloszlatjuk a misztikát:

Az építés eredményeként natív ellipszisünket kapjuk, 90 fokkal elforgatva. vagyis - azt nem kanonikus jelölés ellipszis . Rekord!- az egyenlet nem határoz meg más ellipszist, mivel a tengelyen nincsenek olyan pontok (gócok), amelyek kielégítenék az ellipszis definícióját.

Az ellipszis a sík azon pontjainak helye, amelyek távolságának összege két adott F_1 pontig, F_2 pedig egy állandó érték (2a), amely nagyobb, mint az adott pontok közötti távolság (2c) (3.36. ábra, a) Ez a geometriai meghatározás kifejezi fokális ellipszis tulajdonság.

Egy ellipszis fókusztulajdonsága

Az F_1 és F_2 pontokat az ellipszis fókuszpontjainak nevezzük, a köztük lévő távolság: 2c = F_1F_2 - a fókusztávolság, az F_1F_2 szakasz középső O - az ellipszis középpontja, a 2a szám - a fő hossza. az ellipszis tengelye (illetve az a szám - az ellipszis fél-főtengelye). Az ellipszis tetszőleges M pontját annak fókuszaival összekötő F_1M és F_2M szakaszokat az M pont fókuszsugarának nevezzük. Az ellipszis két pontját összekötő szakaszt az ellipszis húrjának nevezzük.

Az e = \ frac (c) (a) arányt az ellipszis excentricitásának nevezzük. A (2a> 2c) definícióból következik, hogy 0 \ leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Az ellipszis geometriai meghatározása, amely a fókusztulajdonságát fejezi ki, ekvivalens az analitikai definíciójával - egy ellipszis kanonikus egyenlete által meghatározott egyenes:

Valóban bevezetünk egy téglalap alakú koordinátarendszert (3.36. ábra, c). Az ellipszis O középpontját tekintjük a koordinátarendszer origójának; a gócokon átmenő egyenest (a fókusztengelyt vagy az ellipszis első tengelyét) vesszük abszcissza tengelynek (a rajta lévő pozitív irány az F_1 ponttól az F_2 pontig); a fókusztengelyre merőleges és az ellipszis középpontján (az ellipszis második tengelyén) átmenő egyenest vesszük ordinátának (az ordinátán lévő irányt úgy választjuk meg, hogy az Oxy téglalap alakú koordinátarendszer helyes legyen).

Állítsuk össze az ellipszis egyenletét annak geometriai definíciójával, amely kifejezi a fókusztulajdonságot. A kiválasztott koordinátarendszerben határozza meg a fókuszok koordinátáit F_1 (-c, 0), ~ F_2 (c, 0)... Egy ellipszishez tartozó tetszőleges M (x, y) pontra a következőt kapjuk:

\ vline \, \ overrightarrow (F_1M) \, \ vline \, + \ vline \, \ overrightarrow (F_2M) \, \ vline \, = 2a.

Ezt az egyenlőséget koordináta alakban felírva a következőt kapjuk:

\ sqrt ((x + c) ^ 2 + y ^ 2) + \ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = 2a.

A második gyököt áthelyezzük a jobb oldalra, négyzetre emeljük az egyenlet mindkét oldalát, és hasonló feltételeket adunk:

(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2-4a \ sqrt ((xc) ^ 2 + y ^ 2) + (xc) ^ 2 + y ^ 2 ~ \ Jobbra nyíl ~ 4a \ sqrt ((xc) ) ^ 2 + y ^ 2) = 4a ^ 2-4cx.

4-gyel osztva az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emeljük:

A ^ 2 (xc) ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 4-2a ^ 2cx + c ^ 2x ^ 2 ~ \ Balra nyíl ~ (a ^ 2-c ^ 2) ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2 (a ^ 2-c ^ 2).

Kijelölésével b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2)> 0, kapunk b ^ 2x ^ 2 + a ^ 2y ^ 2 = a ^ 2b ^ 2... Mindkét oldalt elosztva ^ 2b ^ 2 \ ne0-val, megkapjuk az ellipszis kanonikus egyenletét:

\ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1.

Ezért a kiválasztott koordinátarendszer kanonikus.

Ha az ellipszis fókuszpontjai egybeesnek, akkor az ellipszis egy kör (3.36.6. ábra), mivel a = b. Ebben az esetben bármely téglalap alakú koordinátarendszer, amelynek origója a pontban van, kanonikus lesz O \ ekvivalens F_1 \ ekvivalens F_2, az x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 egyenlet egy olyan kör egyenlete, amelynek középpontja O és a sugara a.

Az érvelést fordított sorrendben végrehajtva kimutatható, hogy minden olyan pont, amelynek koordinátái kielégítik a (3.49) egyenletet, és csak azok tartoznak egy ellipszisnek nevezett ponthelyhez. Más szóval, az ellipszis analitikai meghatározása megegyezik a geometriai definíciójával, amely az ellipszis fókusztulajdonságát fejezi ki.

Ellipse címtártulajdonság

Az ellipszis direktrix két egyenes, amely párhuzamosan fut a kanonikus koordináta-rendszer ordinátatengelyével, attól azonos távolságra \ frac (a ^ 2) (c). Ha c = 0, ha az ellipszis egy kör, akkor nincsenek irányítók (feltételezhetjük, hogy az irányítók végtelen távolságra vannak).

Ellipszis 0 excentricitással pontok helye a síkon, amelyek mindegyikére egy adott F pont távolságának (fókusz) és egy adott ponton nem átmenő d egyenes távolságának (irányelv) távolságának aránya állandó és egyenlő a excentricitás e ( ellipszis könyvtár tulajdonság). Itt F és d az ellipszis egyik fókuszpontja és egyik irányítója, amely a kanonikus koordináta-rendszer ordinátatengelyének egyik oldalán helyezkedik el, azaz. F_1, d_1 vagy F_2, d_2.

Valójában például az F_2 fókusz és a d_2 direktrix esetén (3.37.6. ábra) a feltétel \ frac (r_2) (\ rho_2) = e koordináta alakban írható:

\ sqrt ((x-c) ^ 2 + y ^ 2) = e \ cdot \! \ bal (\ frac (a ^ 2) (c) -x \ jobb)

Megszabadulni az irracionalitástól és lecserélni e = \ frac (c) (a), ~ a ^ 2-c ^ 2 = b ^ 2, eljutunk az ellipszis kanonikus egyenletéhez (3.49). Hasonló érvelés végezhető az F_1 fókusz és a direktrix esetében is d_1 \ kettőspont \ frac (r_1) (\ rho_1) = e.

Ellipszis egyenlete polárkoordináta-rendszerben

Az ellipszis egyenlete az F_1r \ varphi polárkoordináta-rendszerben (3.37. ábra, c és 3.37 (2)) a következő alakú

R = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi)

ahol p = \ frac (b ^ 2) (a) az ellipszis fókuszparamétere.

Valóban, válasszuk az ellipszis F_1 bal fókuszát a polárkoordináta-rendszer pólusának, az F_1F_2 sugarat pedig poláris tengelynek (3.37. ábra, c). Ekkor egy tetszőleges M (r, \ varphi) pontra az ellipszis geometriai definíciója (fókusztulajdonsága) szerint r + MF_2 = 2a. Kifejezzük az M (r, \ varphi) és az F_2 (2c, 0) pontok közötti távolságot (lásd a 2.8 megjegyzés 2. pontját):

\ kezdődik (igazítva) F_2M & = \ sqrt ((2c) ^ 2 + r ^ 2-2 \ cdot (2c) \ cdot r \ cos (\ varphi-0)) = \\ & = \ sqrt (r ^ 2 - 4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2). \ Vége (igazított)

Ezért koordináta formában az F_1M + F_2M = 2a ellipszis egyenlete a következő alakú

R + \ sqrt (r ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2) = 2 \ cdot a.

Kiválasztjuk az egyenlet mindkét oldalát négyzet alakú gyököt, elosztjuk 4-gyel, és hasonló kifejezéseket adunk:

R ^ 2-4 \ cdot c \ cdot r \ cdot \ cos \ varphi + 4 \ cdot c ^ 2 ~ \ Balra nyíl ~ a \ cdot \! \ Balra (1- \ frac (c) (a) \ cdot \ cos \ varphi \ right) \! \ cdot r = a ^ 2-c ^ 2.

Fejezd ki az r poláris sugarat, és cseréld ki e = \ frac (c) (a), ~ b ^ 2 = a ^ 2-c ^ 2, ~ p = \ frac (b ^ 2) (a):

R = \ frac (a ^ 2-c ^ 2) (a \ cdot (1-e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Balra nyíl \ quad r = \ frac (b ^ 2) (a \ cdot (1) -e \ cdot \ cos \ varphi)) \ quad \ Balra nyíl \ quad r = \ frac (p) (1-e \ cdot \ cos \ varphi),

Q.E.D.

Az együtthatók geometriai jelentése az ellipszis egyenletben

Keressük meg az ellipszis metszéspontjait (lásd 3.37. ábra, a) a koordinátatengelyekkel (a zllipszis csúcsaival). Az y = 0-t behelyettesítve az egyenletbe, megkeressük az ellipszis abszcisszatengellyel (a fókusztengellyel) való metszéspontjait: x = \ pm a. Ezért a fókusztengely ellipszisbe zárt szakaszának hossza 2a. Ezt a szakaszt, amint fentebb megjegyeztük, az ellipszis nagytengelyének, az a számot pedig az ellipszis főtengelyének nevezzük. Az x = 0 behelyettesítésével y = \ pm b. Ezért az ellipszis második tengelyének az ellipszisbe zárt szakaszának hossza egyenlő 2b-vel. Ezt a szakaszt az ellipszis melléktengelyének, a b számot pedig az ellipszis melléktengelyének nevezzük.

Igazán, b = \ sqrt (a ^ 2-c ^ 2) \ leqslant \ sqrt (a ^ 2) = a, és a b = a egyenlőséget csak c = 0 esetben kapjuk meg, amikor az ellipszis egy kör. Hozzáállás k = \ frac (b) (a) \ leqslant1 az ellipszis tömörítési arányának nevezzük.

Megjegyzések 3.9

1. Egyenesek x = \ pm a, ~ y = \ pm b határolják a koordinátasíkon azt a fő téglalapot, amelyen belül egy ellipszis található (lásd 3.37. ábra, a).

2. Egy ellipszist úgy definiálhatunk pontok helye, amelyet úgy kapunk, hogy egy kört az átmérőjére tömörítünk.

Valóban, legyen az Oxy téglalap alakú koordinátarendszerben a kör egyenlete x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2. Ha az abszcissza tengelyére 0-s tényezővel összenyomjuk

\ kezdődik (esetek) x "= x, \\ y" = k \ cdot y. \ end (esetek)

Ha x = x "és y = \ frac (1) (k) y"-t behelyettesítjük a kör egyenletébe, megkapjuk az M (x) pont M "(x", y ") képének koordinátáinak egyenletét. , y):

(x ") ^ 2 + (\ balra (\ frac (1) (k) \ cdot y" \ jobbra) \^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

mivel b = k \ cdot a. Ez az ellipszis kanonikus egyenlete.

3. A koordinátatengelyek (kanonikus koordinátarendszer) az ellipszis szimmetriatengelyei (az ellipszis főtengelyei), középpontja pedig a szimmetria középpontja.

Valóban, ha az M (x, y) pont az ellipszishez tartozik. akkor ugyanahhoz az ellipszishez tartoznak az M "(x, -y) és M" "(- x, y) pontok is, amelyek szimmetrikusak az M pontra a koordinátatengelyekre nézve.

4. Az ellipszis egyenletéből a polárkoordináta-rendszerben r = \ frac (p) (1-e \ cos \ varphi)(lásd 3.37. ábra, c), tisztázódik a fókuszparaméter geometriai jelentése - ez a fókusztengelyre merőlegesen átmenő ellipszis húrjának a fele (r = p at \ varphi = \ frac (\ pi) (2)).

5. Az e excentricitás az ellipszis alakját jellemzi, nevezetesen az ellipszis és a kör közötti különbséget. Minél több e, annál megnyúltabb az ellipszis, és minél közelebb van e a nullához, annál közelebb van az ellipszis a körhöz (3.38. ábra, a). Valóban, ha figyelembe vesszük, hogy e = \ frac (c) (a) és c ^ 2 = a ^ 2-b ^ 2, azt kapjuk

E ^ 2 = \ frac (c ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2-b ^ 2) (a ^ 2) = 1 - (\ bal (\ frac (a) (b) \ jobb ) \^2=1-k^2, !}

ahol k az ellipszis tömörítési aránya, 0

6. Egyenlet \ frac (x ^ 2) (a ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (b ^ 2) = 1 a

7. Egyenlet \ frac ((x-x_0) ^ 2) (a ^ 2) + \ frac ((y-y_0) ^ 2) (b ^ 2) = 1, ~ a \ geqslant b definiál egy ellipszist, amelynek középpontja az O "(x_0, y_0) pont, amelynek tengelyei párhuzamosak a koordinátatengelyekkel (3.38. ábra, c). Ezt az egyenletet párhuzamos fordítással (3.36) a kanonikusra redukáljuk.

Ha a = b = R az egyenlet (x-x_0) ^ 2 + (y-y_0) ^ 2 = R ^ 2 egy R sugarú kört ír le, amelynek középpontja az O "(x_0, y_0) pontban van.

Paraméteres ellipszis egyenlet

Paraméteres ellipszis egyenlet a kanonikus koordinátarendszerben az alakja van

\ kezdődik (esetek) x = a \ cdot \ cos (t), \\ y = b \ cdot \ sin (t), \ end (esetek) 0 \ leqslant t<2\pi.

Valójában, ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük a (3.49) egyenletbe, megkapjuk a fő trigonometrikus azonosságot \ cos ^ 2t + \ sin ^ 2t = 1.

3.20. példa. Rajzolj ellipszist \ frac (x ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 az Oxy kanonikus koordinátarendszerben. Keresse meg a féltengelyeket, a gyújtótávolságot, az excentricitást, a tömörítési arányt, a fókuszparamétereket, a direktrix egyenleteket.

Megoldás. Az adott egyenletet a kanonikus egyenlettel összehasonlítva meghatározzuk a féltengelyeket: a = 2 - fél-nagy tengely, b = 1 - az ellipszis fél-kistengelye. Megépítjük a 2a = 4, ~ 2b = 2 oldalú főtéglalapot az origó közepén (3.39. ábra). Figyelembe véve az ellipszis szimmetriáját, a fő téglalapba illesztjük. Ha szükséges, határozza meg az ellipszis egyes pontjainak koordinátáit. Például, ha x = 1-et behelyettesítünk az ellipszis egyenletbe, azt kapjuk

\ frac (1 ^ 2) (2 ^ 2) + \ frac (y ^ 2) (1 ^ 2) = 1 \ quad \ Balra nyíl \ quad y ^ 2 = \ frac (3) (4) \ quad \ Balra nyíl \ quad y = \ pm \ frac (\ sqrt (3)) (2).

Ezért a pontok koordinátákkal \ bal (1; \, \ frac (\ négyzet (3)) (2) \ jobb) \ !, ~ \ bal (1; \, - \ frac (\ négyzet (3)) (2) \ jobb- ellipszishez tartoznak.

Számítsa ki a tömörítési arányt k = \ frac (b) (a) = \ frac (1) (2); gyújtótávolság 2c = 2 \ négyzetméter (a ^ 2-b ^ 2) = 2 \ négyzet (2 ^ 2-1 ^ 2) = 2 \ négyzet (3); különcség e = \ frac (c) (a) = \ frac (\ sqrt (3)) (2); fókusz paraméter p = \ frac (b ^ 2) (a) = \ frac (1 ^ 2) (2) = \ frac (1) (2)... Összeállítjuk a direktrix egyenleteket: x = \ pm \ frac (a ^ 2) (c) ~ \ Balra nyíl ~ x = \ pm \ frac (4) (\ sqrt (3)).

A Javascript le van tiltva a böngészőjében.
A számításokhoz engedélyezni kell az ActiveX-vezérlőket!

Meghatározás 7.1. A sík azon pontjainak halmazát, amelyekre két fix pont F 1 és F 2 távolságának összege adott állandó, ún. ellipszis.

Az ellipszis definíciója a következő módot adja a geometriai felépítésre. Rögzítünk két F 1 és F 2 pontot a síkon, és egy nem negatív állandót jelölünk 2a-val. Legyen az F 1 és F 2 pontok távolsága 2c. Képzeljük el, hogy például két tű segítségével egy 2a hosszúságú nyújthatatlan fonalat rögzítünk az F 1 és F 2 pontokhoz. Nyilvánvaló, hogy ez csak ≥ c esetén lehetséges. Nyújtsa meg a cérnát ceruzával, húzzon egy vonalat, amely ellipszis lesz (7.1. ábra).

Tehát a leírt halmaz nem üres, ha a ≥ c. A = c esetén az ellipszis egy F 1 és F 2 végű szakasz, c = 0 esetén pedig, azaz. ha az ellipszis definíciójában megadott fix pontok egybeesnek, akkor a sugarú körről van szó. Ha ezeket a degenerált eseteket elvetjük, akkor általában azt feltételezzük, hogy a> c> 0.

Az ellipszis 7.1 definíciójában (lásd 7.1. ábra) szereplő F 1 és F 2 rögzített pontokat ún. ellipszis gócai, a köztük lévő távolság, amelyet 2c jelöl, az fókusztávolság, és az ellipszis egy tetszőleges M pontját a fókuszával összekötő F 1 M és F 2 M szakaszok fókuszsugarak.

Az ellipszis alakját teljesen meghatározza a fókusztávolság | F 1 F 2 | = 2с és az a paraméter, és helyzete a síkon egy F 1 és F 2 pontpár.

Az ellipszis definíciójából az következik, hogy szimmetrikus az F 1 és F 2 fókuszokon átmenő egyenesre, valamint az F 1 F 2 szakaszt kettéosztó és merőleges egyenesre. hozzá (7.2. ábra, a). Ezeket a vonalakat hívják ellipszis tengelyek... Metszéspontjuk O pontja az ellipszis szimmetriaközéppontja, és ezt ún az ellipszis középpontja, valamint az ellipszis és a szimmetriatengelyek metszéspontjai (7.2. ábra A, B, C és D pontjai, a) - az ellipszis csúcsai.

Az a számot hívják egy ellipszis fél-főtengelye, és b = √ (a 2 - c 2) annak fél-minor tengely... Könnyen belátható, hogy c> 0 esetén az a fél-nagy tengely egyenlő az ellipszis középpontja és az ellipszis fókuszpontjaival egy tengelyen lévő csúcsok közötti távolsággal (az A és B a 7.2. ábrán, a) és a b fél-minor tengely egyenlő a középső ellipszis és a másik két csúcs (a 7.2. ábrán a C és D csúcsok a) távolságával.

Ellipszis egyenlet. Tekintsünk a síkon néhány ellipszist, amelynek fókusza az F 1 és F 2 pontokban, a 2a nagytengelyen található. Legyen 2c a fókusztávolság, 2c = |F 1 F 2 |

Válasszunk egy Oxy téglalap alakú koordinátarendszert a síkon úgy, hogy az origója egybeessen az ellipszis középpontjával, és a fókuszok abszcissza tengely(7.2. ábra, b). Ezt a koordinátarendszert ún kánoni a vizsgált ellipszisre, és a megfelelő változók kánoni.

A kiválasztott koordinátarendszerben a fókuszok F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinátákkal rendelkeznek. A pontok közötti távolság képletével felírjuk az | F 1 M | feltételt + | F 2 M | = 2a koordinátákban:

√ ((x - c) 2 + y 2) + √ ((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ez az egyenlet kényelmetlen, mert két négyzetgyököt tartalmaz. Ezért átalakítjuk. Mozgassa a (7.2) egyenlet második gyökjét a jobb oldalra, és állítsa négyzetbe:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√ ((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

A zárójelek kinyitása és a hasonló kifejezések redukálása után megkapjuk

√ ((x + c) 2 + y 2) = a + εx

ahol ε = c / a. A négyzetesítési műveletet megismételjük a második gyök eltávolítására is: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, vagy a bevitt ε paraméter értékét figyelembe véve (a 2 - c 2) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Mivel a 2 - c 2 = b 2> 0, akkor

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, a> b> 0. (7.4)

A (7.4) egyenletet az ellipszisen fekvő összes pont koordinátái teljesítik. Ennek az egyenletnek a származtatása során azonban az eredeti (7.2) egyenlet nem egyenértékű transzformációit használták – két négyzetre emelve, eltávolítva a négyzetgyököket. Egy egyenlet négyzetre emelése ekvivalens transzformáció, ha mindkét oldal azonos előjelű értékeket tartalmaz, de ezt a transzformációinknál nem ellenőriztük.

Nem biztos, hogy ellenőrizzük a transzformációk egyenértékűségét, ha figyelembe vesszük a következőket. F 1 és F 2 pontpár, | F 1 F 2 | = 2c, a síkon egy ellipsziscsaládot határoz meg ezeken a pontokon fókuszokkal. A sík minden pontja, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait, a megadott család valamelyik ellipsziséhez tartozik. Ebben az esetben nincs két ellipszis metszéspontja, mivel a fókuszsugarak összege egyértelműen meghatároz egy adott ellipszist. Tehát a metszéspontok nélküli ellipszisek leírt családja lefedi a teljes síkot, kivéve az F 1 F 2 szakasz pontjait. Tekintsük azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a (7.4) egyenletet az a paraméter adott értékével. Elosztható ez a halmaz több ellipszis között? A halmaz néhány pontja egy a fél-nagy tengelyű ellipszishez tartozik. Legyen ez a halmaz egy a fél-nagy tengelyű ellipszisen fekvő pontot. Ekkor ennek a pontnak a koordinátái engedelmeskednek az egyenletnek

azok. a (7.4) és (7.5) egyenleteknek van általános megoldások... Könnyen belátható azonban, hogy a rendszer

nincs megoldása г ≠ a. Ehhez elegendő például az x-et kizárni az első egyenletből:

amely transzformációk után az egyenlethez vezet

amelynek nincs megoldása г ≠ a-ra, hiszen. Tehát (7.4) egy a> 0 fél-nagytengelyű és b = √ (a 2 - c 2)> 0 fél-kistengelyű ellipszis egyenlete. a kanonikus ellipszis egyenlet.

Ellipszis nézet. Az ellipszis felépítésének fenti geometriai módszere kellő képet ad arról kinézet ellipszis. De az ellipszis alakja a (7.4) kanonikus egyenlet segítségével is vizsgálható. Például, ha y ≥ 0, akkor y-t kifejezhetjük x-szel: y = b√ (1 - x 2 / a 2), és ennek a függvénynek a vizsgálata után készítsük el a gráfját. Van egy másik módja az ellipszis felépítésének. Az ellipszis (7.4) kanonikus koordináta-rendszerének origójának középpontjában álló a sugarú kört az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet írja le. Ha a / b> 1 együtthatóval tömörítjük végig ordináta tengelyek, akkor egy görbét kapunk, amelyet az x 2 + (ya / b) 2 = a 2 egyenlet ír le, azaz egy ellipszis.

Megjegyzés 7.1. Ha ugyanazt a kört a / b aránnyal tömörítjük

Ellipszis excentricitás... Az ellipszis fókusztávolságának a főtengelyéhez viszonyított arányát nevezzük az ellipszis excentricitásaés ε-vel jelöljük. Adott ellipszisre

kanonikus egyenlet (7.4), ε = 2c / 2a = c / a. Ha a (7.4)-ben az a és b paramétereket az a egyenlőtlenség kapcsolja össze

Ha c = 0, amikor az ellipszis körré változik, és ε = 0. Más esetekben 0

A (7.3) egyenlet ekvivalens a (7.4) egyenlettel, mivel a (7.4) és (7.2) egyenlet ekvivalens. Ezért az ellipszis egyenlete is (7.3). Ráadásul a (7.3) reláció azért is érdekes, mert egyszerű, gyökmentes képletet ad a |F 2 M | az ellipszis M (x; y) pontjának egyik fókuszsugara: | F 2 M | = a + εx.

Hasonló képletet kaphatunk a második fókuszsugárra is szimmetria-megfontolások alapján vagy a számítások megismétlésével, ahol az első gyököt a (7.2) egyenlet négyzete elé helyezzük át a jobb oldalra, és nem a másodikat. Tehát az ellipszis bármely M (x; y) pontjára (lásd a 7.2. ábrát)

F 1 M | = a - εx, |F 2 M | = a + εx, (7.6)

és ezen egyenletek mindegyike egy ellipszis egyenlete.

7.1. példa. Keressük meg egy 5-ös félnagytengelyű és 0,8-as excentricitású ellipszis kanonikus egyenletét, és állítsuk össze.

Az a = 5 ellipszis félnagytengelyének és ε = 0,8 excentricitásának ismeretében megtaláljuk a b fél-kistengelyét. Mivel b = √ (a 2 - c 2), és c = εa = 4, akkor b = √ (5 2 - 4 2) = 3. Tehát a kanonikus egyenlet alakja x 2/5 2 + y 2/3 2 = 1. Ellipszis megszerkesztéséhez célszerű a kanonikus koordináta-rendszer origójának középpontjában álló téglalapot rajzolni, amelynek oldalai párhuzamosak az ellipszis szimmetriatengelyeivel, és megegyeznek a hozzá tartozó tengelyekkel (7.4. ábra). . Ez a téglalap metszi

az ellipszis tengelyei A (-5; 0), B (5; 0), C (0; -3), D (0; 3) csúcsaiban, és maga az ellipszis is bele van írva. ábrán. A 7.4. ábrán az F 1,2 (± 4; 0) ellipszis gócai is láthatók.

Az ellipszis geometriai tulajdonságai. A (7.6) első egyenletét átírjuk | F 1 M | = (a / ε - x) ε. Figyeljük meg, hogy az a / ε - x mennyiség a> c esetén pozitív, mivel az F 1 fókusz nem tartozik az ellipszishez. Ez az érték a d függőleges egyenes távolsága: x = a / ε az M (x; y) ponttól, amely ettől az egyenestől balra található. Az ellipszis egyenlet így írható fel

| F 1 M | / (a ​​/ ε - x) = ε

Ez azt jelenti, hogy ez az ellipszis a sík azon M (x; y) pontjaiból áll, amelyeknél az F 1 M fókuszsugár hosszának és a d egyenes távolságának aránya ε-val egyenlő állandó érték. 7.5).

A d egyenesnek van egy "iker" - a függőleges d ", amely szimmetrikus d-re az ellipszis középpontja körül, amelyet az x = -a / ε egyenlet ad meg. A d tekintetében az ellipszist a ugyanúgy, mint d tekintetében. Mind a d, mind a d "sort hívják ellipszis direktrix... Az ellipszis irányítói merőlegesek az ellipszis szimmetriatengelyére, amelyen a gócok találhatók, és az ellipszis középpontjától a / ε = a 2 / c távolságra helyezkednek el (lásd 7.5. ábra).

Az irányítópont és a hozzá legközelebbi fókusz közötti p távolságot nevezzük az ellipszis fókuszparamétere... Ez a paraméter az

p = a / ε - c = (a 2 - c 2) / c = b 2 / c

Az ellipszisnek van még egy fontos geometriai tulajdonsága: az F 1 M és F 2 M fókuszsugarak egyenlő szöget zárnak be az ellipszis érintőjével az M pontban (7.6. ábra).

Ennek a tulajdonságnak egyértelmű fizikai jelentése van. Ha egy fényforrást F 1 fókuszba helyezünk, akkor az ebből a fókuszból kilépő nyaláb az ellipszisről való visszaverődés után a második fókuszsugár mentén megy, mivel a visszaverődés után ugyanabban a szögben lesz a görbével, mint a visszaverődés előtt. Így minden F 1 fókuszból kilépő sugár a második F 2 fókuszba koncentrálódik, és fordítva. Ezen értelmezés alapján a megadott tulajdonság ún egy ellipszis optikai tulajdonsága.

Oszd meg a cikket barátaiddal:

Hasonló cikkek

• 

  Party póker befizetés és befizetés nélküli bónuszok Bónuszkód party póker regisztrálásakor
• 

  Érték a pókerben – hogyan értékeljük a döntések jövedelmezőségét
• 

  PokerStars bónuszok: mit kaphatsz játékszámlád első befizetéséért?