Klasszikus valószínűség. Egy véletlen esemény valószínűsége

Ahhoz, hogy az eseményeket lehetőségük mértéke szerint kvantitatívan össze lehessen hasonlítani egymással, nyilvánvalóan minden eseményhez egy bizonyos számot kell társítani, amely minél nagyobb, minél több az esemény lehetséges. Ezt a számot egy esemény valószínűségének nevezzük. És így, egy esemény valószínűsége ez az esemény objektív lehetőségének mértéke.

A valószínűség első definícióját a klasszikusnak kell tekinteni, amely a szerencsejáték elemzéséből született, és kezdetben intuitív módon alkalmazták.

A valószínűség-meghatározás klasszikus módszere az egyformán lehetséges és összeegyeztethetetlen események koncepcióján alapul, amelyek egy adott tapasztalat eredménye, és az összeférhetetlen események teljes csoportját alkotják.

A legtöbb egyszerű példa Az egyformán lehetséges és össze nem egyeztethető, egy teljes csoportot alkotó esemény egy urnából egy-egy labda megjelenése, amely több azonos méretű, súlyú és más kézzelfogható tulajdonságú, csak színben eltérő labdát tartalmaz, kiszedés előtt alaposan összekeverve.

Ezért azt a tesztet, amelynek eredménye az összeférhetetlen és egyformán lehetséges események teljes csoportját alkotja, visszavezethető urnák mintájára vagy esetek mintájára, vagy beleillik a klasszikus mintába.

Az egyformán lehetséges és összeférhetetlen eseményeket, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, egyszerűen eseteknek vagy véletleneknek nevezzük. Ráadásul minden kísérletben az esetekkel együtt összetettebb események is előfordulhatnak.

Példa: Kockadobásnál az A i esetekkel együtt - a felső oldalon lévő i-pontok elvesztése - olyan eseményeket vehetünk figyelembe, mint B - páros számú pont elvesztése, C - több pont elvesztése. pont, ami három többszöröse...

A kísérlet során előforduló minden eseményhez kapcsolódóan eseteket osztunk fel kedvező, amelyben ez az esemény bekövetkezik, és kedvezőtlen, amelyben az esemény nem következik be. Az előző példában a B eseményt az A 2, A 4, A 6 esetek részesítik előnyben; C esemény – A 3, A 6 esetek.

Klasszikus valószínűség egy bizonyos esemény bekövetkezését az esemény bekövetkezésére kedvező esetek számának az adott kísérletben a teljes csoportot alkotó, egyformán lehetséges, összeférhetetlen esetek számához viszonyított arányának nevezzük:

Ahol P(A)- az A esemény bekövetkezésének valószínűsége; m- az A eseménynek kedvező esetek száma; n- az esetek teljes száma.

Példák:

1) (lásd a fenti példát) P(B)= , P(C) =.

2) Az urnában 9 piros és 6 kék golyó található. Határozza meg annak valószínűségét, hogy egy vagy két véletlenszerűen kihúzott golyó piros lesz.

A- véletlenszerűen kihúzott piros golyó:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P(A)=

B- két véletlenszerűen kihúzott piros golyó:

A következő tulajdonságok következnek a valószínűség klasszikus definíciójából (mutassa meg magát):

1) Egy lehetetlen esemény valószínűsége 0;

2) A megbízható esemény valószínűsége 1;

3) Bármely esemény valószínűsége 0 és 1 között van;

4) Az A eseménnyel ellentétes esemény valószínűsége,

A valószínűség klasszikus definíciója azt feltételezi, hogy egy próba kimenetelének száma véges. A gyakorlatban nagyon gyakran vannak olyan tesztek, amelyek lehetséges eseteinek száma végtelen. Kívül, gyenge oldala A klasszikus definíció szerint nagyon gyakran lehetetlen egy teszt eredményét elemi események halmazaként ábrázolni. Még nehezebb megjelölni, hogy miért tekintjük egy teszt elemi eredményeit egyformán lehetségesnek. Általában a szimmetria megfontolásából következtetnek az elemi teszteredmények kiegyensúlyozhatóságára. Az ilyen feladatok azonban a gyakorlatban nagyon ritkák. Ezen okok miatt a valószínűség klasszikus definíciója mellett más valószínűség-definíciókat is használnak.

Statisztikai valószínűség Az A esemény az esemény előfordulásának relatív gyakorisága az elvégzett tesztekben:

ahol az A esemény bekövetkezésének valószínűsége;

Az A esemény előfordulásának relatív gyakorisága;

Azon kísérletek száma, amelyekben A esemény megjelent;

A kísérletek teljes száma.

A klasszikus valószínűségtől eltérően a statisztikai valószínűség egy kísérleti jellemző.

Példa: Egy tételből származó termékek minőségének ellenőrzésére 100 terméket választottak ki véletlenszerűen, amelyek közül 3 termék hibásnak bizonyult. Határozza meg a házasság valószínűségét!

.

A valószínűség-meghatározás statisztikai módszere csak azokra az eseményekre alkalmazható, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

A vizsgált események csak azon tesztek eredményei lehetnek, amelyek korlátlan számú alkalommal reprodukálhatók azonos feltételek mellett.

Az eseményeknek statisztikai stabilitással (vagy a relatív gyakoriságok stabilitásával) kell rendelkezniük. Ez azt jelenti, hogy a különböző tesztsorozatokban az esemény relatív gyakorisága alig változik.

Az A eseményt eredményező kísérletek számának elég nagynak kell lennie.

Könnyen ellenőrizhető, hogy a klasszikus definícióból fakadó valószínűségi tulajdonságok a valószínűség statisztikai definíciójában is megmaradnak.

A valószínűségszámítás fő fogalma a fogalom véletlenszerű esemény. Véletlen esemény egy olyan esemény, amely bizonyos feltételek teljesülése esetén bekövetkezhet, vagy nem. Például egy adott tárgy eltalálása vagy hiánya, amikor egy adott fegyverből erre a tárgyra lő, véletlenszerű esemény.

Az esemény ún megbízható, ha a teszt eredményeként szükségszerűen előfordul. Lehetetlen Olyan eseményt hívunk, amely a teszt eredményeként nem következhet be.

A véletlenszerű eseményeket nevezzük összeegyeztethetetlen adott tárgyaláson, ha nem jelenhetnek meg ketten együtt.

Véletlenszerű események alakulnak ki teljes csoport, ha az egyes próbálkozások során bármelyik megjelenhet, és semmilyen más, velük össze nem egyeztethető esemény nem jelenhet meg.

Tekintsük az egyformán lehetséges inkompatibilis véletlenszerű események teljes csoportját. Az ilyen eseményeket nevezzük eredmények vagy elemi események. Az eredményt ún kedvező$A$ esemény bekövetkezése, ha ennek az eredménynek a bekövetkezése $A$ esemény bekövetkezésével jár.

Példa. Az urnában 8 számozott golyó található (minden golyón egy szám van 1-től 8-ig). Az 1-es, 2-es, 3-as golyók pirosak, a többi fekete színű. Az 1-es (vagy 2-es vagy 3-as) labda megjelenése a piros labda megjelenésének kedvező esemény. A 4-es (vagy az 5-ös, 6-os, 7-es, 8-as) labda megjelenése a fekete labda megjelenésének kedvezõ esemény.

Az esemény valószínűsége$A$ az ehhez az eseményhez kedvező kimenetelek $m$ számának és a teljes $$P(A)=\frac(m)( n). \quad(1)$$

1. tulajdonság. A megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő
2. tulajdonság. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla.
3. tulajdonság. Egy véletlen esemény valószínűsége egy nulla és egy közötti pozitív szám.

Tehát bármely esemény valószínűsége kielégíti a $0 \le P(A) \le 1$ kettős egyenlőtlenséget.

Hasznos anyagok

Online számológépek

Az (1) képlet segítségével megoldott feladatok nagy része a hipergeometriai valószínűség témaköréhez kapcsolódik. Az alábbiakban megtalálja a népszerű problémák leírását és a megoldásukra szolgáló online számológépeket a hivatkozások segítségével:

• Probléma a golyókkal (egy urnában $k$ fehér és $n$ fekete golyó van, $m$ golyót vesznek ki...)
• Probléma az alkatrészekkel (egy dobozban $k$ szabvány és $n$ hibás alkatrész van, $m$ alkatrész ki van szedve...)
• Probléma a sorsjegyekkel ($k$ nyerő és $n$ nem nyerő szelvény van a lottón, $m$-os jegyeket vásárolnak...)

Oktatási cikkek példákkal

• Hogyan lehet megtalálni a valószínűséget az érmefeldobási problémákban?

Példák a klasszikus valószínűség megoldására

Példa. Az urnában 10 számozott golyó található 1-től 10-ig. Egy golyót ki kell venni. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott labda száma nem haladja meg a 10-et?

Megoldás. Legyen az esemény A= (A kihúzott labda száma nem haladja meg a 10-et). Az esemény bekövetkeztének kedvezõ esetek száma A egyenlő az összes lehetséges eset számával m=n=10. Ennélfogva, R(A)=1. Esemény És megbízható.

Példa. Egy urnában 10 golyó van: 6 fehér és 4 fekete. Két golyót vettek ki. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét golyó fehér?

Megoldás. Tízből két golyót a következő módon távolíthat el: .
Ahányszor lesz két fehér golyó a két golyó között .
Szükséges valószínűség
.

Példa. Egy urnában 15 golyó van: 5 fehér és 10 fekete. Mennyi a valószínűsége annak, hogy kék golyót húzunk az urnából?

Megoldás. Mivel az urnában nincsenek kék golyók, akkor m=0, n=15. Ezért a szükséges valószínűség R=0. A kék labda kihúzásának eseménye lehetetlen.

Példa. A 36 lapból álló pakliból egy lapot húznak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy kártya megjelenik a szív öltönyben?

Megoldás. Az elemi eredmények száma (kártyák száma) n=36. Esemény A= (A szív öltöny lapjának megjelenése). Az esemény bekövetkeztének kedvezõ esetek száma A, m=9. Ennélfogva,
.

„Az olvasó már előadásunkban is észrevette a „valószínűség” fogalmának gyakori használatát.

Ez jellegzetes modern logika az ókori és középkori logikával szemben. A modern logikus megérti, hogy minden tudásunk többé-kevésbé valószínűségi, és nem biztos, ahogyan filozófusok és teológusok szokták gondolni. Nem aggódik túlzottan amiatt, hogy az induktív következtetés csak valószínűséget ad a következtetésnek, hiszen nem is vár többet. Mindazonáltal elgondolkozik ezen, ha okot talál arra, hogy következtetése valószínűségében is kételkedjen.

Így két probléma sokkal nagyobb jelentőséget kapott a modern logikában, mint a korábbi időkben. Az első a valószínűség természete, a második pedig az indukció jelentősége. Beszéljük meg röviden ezeket a problémákat.

Ennek megfelelően kétféle valószínűség létezik - határozott és bizonytalan.

Egy bizonyos fajta valószínűség előfordul a matematikai valószínűségelméletben, ahol olyan problémákat tárgyalnak, mint a kockadobás vagy az érmék feldobása. Ez mindenhol előfordul, ahol több lehetőség van, és egyiket sem lehet előnyben részesíteni a másikkal szemben. Ha feldob egy érmét, annak vagy fejére vagy farkára kell szállnia, de mindkettő egyformán valószínűnek tűnik. Ezért a fejek és a farok esélye 50%, az egyiket megbízhatóságnak tekintik. Hasonlóképpen, ha dobunk egy kockát, az a hat oldal bármelyikén landolhat, és nincs ok az egyiket a másikkal szemben előnyben részesíteni, így mindegyiknek 1/6 az esélye. A biztosítók ezt a fajta valószínűséget alkalmazzák munkájuk során. Nem tudják, melyik épület fog leégni, de azt igen, hogy az épületek hány százaléka ég le évente. Nem tudják, mennyi ideig fog élni egy adott személy, de ismerik az átlagos várható élettartamot egy adott időszakban. Minden ilyen esetben a valószínűség becslése önmagában nem pusztán valószínű, kivéve abban az értelemben, amelyben minden tudás pusztán valószínű. Maga a valószínűségi becslés is rendelkezhet magas fokozat valószínűségek. Ellenkező esetben a biztosítótársaságok csődbe mennének.

Nagy erőfeszítéseket tettek az indukció valószínűségének növelésére, de okkal feltételezhető, hogy ezek a próbálkozások hiábavalóak voltak. Az induktív következtetésekre jellemző valószínűség szinte mindig bizonytalan természetű, mint fentebb említettem.

Most elmagyarázom, mi az.

Triviálissá vált azt állítani, hogy minden emberi tudás esendő. Nyilvánvaló, hogy a hibák különbözőek. Ha azt mondom Buddha 6. században élt Krisztus születése előtt a tévedés valószínűsége nagyon magas lesz. Ha azt mondom Caesar megölték, a hiba valószínűsége kicsi lesz.

Ha elmondom, hogy most mi van Nagy Háború, akkor a hiba valószínűsége olyan kicsi, hogy csak egy filozófus vagy logikus tudja elismerni a jelenlétét. Ezek a példák érintik történelmi események, de hasonló fokozatosság létezik a tudományos törvények kapcsán is. Vannak köztük olyan nyilvánvaló hipotézisek, amelyeknek a javára szóló empirikus adatok hiánya miatt senki sem ad komolyabb státuszt, míg mások olyan határozottnak tűnnek, hogy a tudósok részéről gyakorlatilag kétség sem fér hozzá. igazság. (Amikor azt mondom, hogy „igazság”, „megközelítő igazság”-ra gondolok, mivel minden tudományos törvényt módosítanak.)

A valószínűség valami olyasmi, ami aközött van, amiben biztosak vagyunk, és amit többé-kevésbé hajlamosak vagyunk beismerni, ha ezt a szót a matematikai valószínűségelmélet értelmében értjük.

Helyesebb lenne a bizonyosság fokáról vagy a megbízhatóság fokáról beszélni . Ez egy tágabb fogalom annak, amit „bizonyos valószínűségnek” neveztem, ami szintén fontosabb.

Bertrand Russell, A következtetések levonásának művészete / The Art of Thinking, M., „House of Intellectual Books”, 1999, p. 50-51.

Nem valószínű, hogy sokan gondolkodnak azon, hogy ki lehet-e számítani többé-kevésbé véletlenszerű eseményeket. Egyszerűen szólva egyszerű szavakkal, tényleg lehet tudni, hogy legközelebb a kocka melyik oldala kerül elő? Ezt a kérdést tette fel magának két nagy tudós, akik megalapozták egy olyan tudományt, mint a valószínűségelmélet, amelyben egy esemény valószínűségét meglehetősen alaposan tanulmányozzák.

Eredet

Ha megpróbálunk egy ilyen fogalmat valószínűségszámításként definiálni, akkor a következőket kapjuk: ez a matematika azon ága, amely a véletlenszerű események állandóságát vizsgálja. Természetesen ez a koncepció nem igazán fedi fel a teljes lényeget, ezért szükséges részletesebben megvizsgálni.

Az elmélet megalkotóival szeretném kezdeni. Mint fentebb említettük, ketten voltak, és az elsők között próbálták képletek és matematikai számítások segítségével kiszámítani ennek vagy annak az eseménynek a kimenetelét. Általában véve ennek a tudománynak a kezdetei a középkorban jelentek meg. Abban az időben különféle gondolkodók és tudósok próbáltak elemezni szerencsejáték, mint például a rulett, a dobókocka és így tovább, így megállapítható egy adott szám kiesésének mintája és százalékos aránya. Az alapot a fent említett tudósok tették le a XVII.

Munkáikat eleinte nem lehetett nagy teljesítménynek tekinteni ezen a téren, mert csak empirikus tényeket tettek, a kísérleteket pedig vizuálisan, képletek használata nélkül végezték. Idővel nagyszerű eredményeket lehetett elérni, amelyek a kockadobás megfigyelésének eredményeként jelentek meg. Ez az eszköz segített az első érthető képletek levezetésében.

Hasonló gondolkodású emberek

Lehetetlen nem megemlíteni egy olyan személyt, mint Christiaan Huygens a „valószínűségelméletnek” nevezett téma tanulmányozása során (az esemény valószínűségét ez a tudomány pontosan lefedi). Ez a személy nagyon érdekes. A fent bemutatott tudósokhoz hasonlóan ő is megpróbálta matematikai képletek formájában levezetni a véletlenszerű események mintáját. Figyelemre méltó, hogy ezt nem Pascallal és Fermat-tal közösen tette, vagyis nem minden műve metszett ezekkel az elmékkel. Huygens arra következtetett

Érdekes tény, hogy munkája jóval a felfedezők munkájának eredményei előtt, vagy inkább húsz évvel korábban jelent meg. Az azonosított fogalmak közül a leghíresebbek:

• a valószínűség fogalma, mint a véletlen értéke;
• matematikai elvárás diszkrét esetekre;
• valószínűségek szorzási és összeadási tételei.

Azt sem lehet nem emlékezni, hogy kik is járultak hozzá jelentős mértékben a probléma vizsgálatához. Saját tesztjeit végezve, bárkitől függetlenül, igazolni tudta a törvényt nagy számok. A tizenkilencedik század elején dolgozó Poisson és Laplace tudósok pedig be tudták bizonyítani az eredeti tételeket. Ettől a pillanattól kezdve kezdték használni a valószínűségszámítást a megfigyelések hibáinak elemzésére. Az orosz tudósok, vagy inkább Markov, Csebisev és Djapunov nem hagyhatták figyelmen kívül ezt a tudományt. A nagy zsenik munkája alapján ezt a tantárgyat a matematika egyik ágává hozták létre. Ezek a számok már a 19. század végén működtek, és közreműködésüknek köszönhetően a következő jelenségek igazolódtak:

• nagy számok törvénye;
• Markov-láncelmélet;
• központi határérték tétel.

Tehát a tudomány születésének történetével és az azt befolyásoló főbb emberekkel többé-kevésbé minden világos. Most eljött az idő, hogy minden tényt tisztázzunk.

Alapfogalmak

Mielőtt a törvényekre, tételekre nyúlnánk, érdemes áttanulmányozni a valószínűségszámítás alapfogalmait. Az esemény főszerepet játszik benne. Ez a téma meglehetősen terjedelmes, de enélkül nem lehet minden mást megérteni.

Az esemény a valószínűségszámításban egy kísérlet kimenetelének bármely halmaza. Jó néhány fogalom létezik erről a jelenségről. Így az ezen a területen dolgozó Lotman tudós azt mondta, hogy ebben az esetben arról beszélünk arról, hogy mi „történt, bár lehet, hogy meg sem történt volna”.

Véletlenszerű események (a valószínűségszámítás ezekre összpontosít Speciális figyelem) olyan fogalom, amely abszolút minden olyan jelenséget magában foglal, amelynek előfordulási lehetősége van. Vagy fordítva, ez a forgatókönyv nem fordulhat elő, ha sok feltétel teljesül. Azt is érdemes tudni, hogy a megtörtént jelenségek teljes mennyiségét véletlenszerű események rögzítik. A valószínűségelmélet azt jelzi, hogy minden feltétel folyamatosan ismételhető. Az ő magatartásukat nevezik „tapasztalatnak” vagy „tesztnek”.

Megbízható eseménynek nevezzük azt a jelenséget, amely száz százalékos valószínűséggel megtörténik egy adott tesztben. Ennek megfelelően lehetetlen esemény az, ami nem fog megtörténni.

Egy cselekvéspár kombinációja (feltételesen A és B eset) egyidejűleg előforduló jelenség. AB jelöléssel vannak ellátva.

Az A és B eseménypárok összege C, vagyis ha legalább az egyik megtörténik (A vagy B), akkor C-t kapunk. A leírt jelenség képlete a következőképpen írható fel: C = A + B.

Az inkongruens események a valószínűségszámításban azt jelentik, hogy két eset kizárja egymást. Semmi esetre sem történhetnek egyszerre. Az együttes események a valószínűségszámításban az antipódjuk. Itt azt kell érteni, hogy ha A megtörtént, akkor az semmilyen módon nem akadályozza meg B-t.

Az ellentétes események (a valószínűségszámítás nagyon részletesen foglalkozik velük) könnyen érthető. A legjobb módja annak, hogy megértsük őket az összehasonlítás. Szinte ugyanazok, mint a valószínűségszámításban összeférhetetlen események. De különbségük abban rejlik, hogy a sok jelenség közül egynek mindenképpen meg kell történnie.

Egyenlően valószínű események azok a cselekvések, amelyek ismétlődése egyenlő. Hogy érthetőbb legyen, elképzelhető egy érme feldobása: az egyik oldal elvesztése ugyanilyen valószínűséggel kiesik a másikból.

Könnyebb egy szerencsés eseményt példával tekinteni. Tegyük fel, hogy van egy B és egy A epizód. Az első a kockadobás páratlan számmal, a második pedig az ötös szám megjelenése a kockán. Aztán kiderül, hogy A favorizálja B-t.

A független eseményeket a valószínűségszámításban csak két vagy több esetre vetítik ki, és minden cselekvésnek a másiktól való függetlenségét jelenti. Például A a fejek elvesztése érme feldobásakor, B pedig egy bubi kihúzása a pakliból. Ezek független események a valószínűségszámításban. Ezen a ponton világosabbá vált.

A függő események a valószínűségszámításban is csak egy halmazra megengedettek. Ezek az egyiknek a másiktól való függőségét jelentik, vagyis a B jelenség csak akkor fordulhat elő, ha A már megtörtént, vagy fordítva, nem történt meg, amikor B-nek ez a fő feltétele.

Egy komponensből álló véletlenszerű kísérlet eredménye elemi események. A valószínűség elmélete megmagyarázza, hogy ez egy olyan jelenség, amely csak egyszer fordult elő.

Alapképletek

Tehát fentebb tárgyaltuk az „esemény” és a „valószínűség-elmélet” fogalmát, és megadtuk e tudomány alapfogalmait is. Itt az ideje, hogy közvetlenül megismerkedjünk fontos képletek. Ezek a kifejezések matematikailag megerősítik az összes fő fogalmat egy olyan összetett témában, mint a valószínűségszámítás. Az esemény valószínűsége itt is óriási szerepet játszik.

Érdemes az alapokkal kezdeni, és mielőtt ezekkel kezdenénk, érdemes átgondolni, hogy mik is ezek.

A kombinatorika elsősorban a matematika ága, nagyszámú egész szám vizsgálatával, valamint maguknak a számoknak és elemeiknek különféle permutációival, különféle adatokkal stb. foglalkozik, amelyek számos kombináció megjelenéséhez vezetnek. A valószínűségszámítás mellett ez az ág a statisztika, a számítástechnika és a kriptográfia számára is fontos.

Tehát most áttérhetünk maguknak a képleteknek és azok meghatározásának bemutatására.

Az első a permutációk számának kifejezése, így néz ki:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Az egyenletet csak akkor alkalmazzuk, ha az elemek csak az elrendezésük sorrendjében térnek el egymástól.

Most az elhelyezési képletet veszik figyelembe, így néz ki:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ez a kifejezés nemcsak az elem elhelyezési sorrendjére vonatkozik, hanem az összetételére is.

A kombinatorika harmadik egyenletét, és ez egyben az utolsó is, a kombinációk számának képletének nevezik:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

A kombináció azokra a kijelölésekre vonatkozik, amelyek nincsenek rendezve, ennek megfelelően ez a szabály vonatkozik rájuk.

Könnyű volt megérteni a kombinatorikai képleteket, most már áttérhet a valószínűségek klasszikus definíciójára. Ez a kifejezés így néz ki:

Ebben a képletben m az A esemény számára kedvező feltételek száma, n pedig az abszolút valamennyi egyformán lehetséges és elemi kimenetel száma.

Létezik nagyszámú kifejezéseket, a cikk nem fogja mindegyiket figyelembe venni, de a legfontosabbakat érintjük, mint például az események összegének valószínűségét:

P(A + B) = P(A) + P(B) - ez a tétel csak inkompatibilis események összeadására szolgál;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - és ez csak a kompatibilisek hozzáadására szolgál.

Az események bekövetkezésének valószínűsége:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - ez a tétel független eseményekre vonatkozik;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - és ez a függőre vonatkozik.

Az események listáját az események képlete teszi teljessé. A valószínűségszámítás elmondja nekünk a Bayes-tételt, amely így néz ki:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Ebben a képletben H 1, H 2, ..., H n a hipotézisek teljes csoportja.

Példák

Ha figyelmesen áttanulmányozza a matematika bármely részét, az nem teljes gyakorlatok és mintamegoldások nélkül. Ugyanígy a valószínűségelmélet is: az események és a példák itt szerves részét képezik, amely megerősíti a tudományos számításokat.

A permutációk számának képlete

Tegyük fel, hogy harminc kártya van egy pakliban, egy értékkel kezdve. Következő kérdés. Hányféleképpen lehet egymásra rakni a paklit úgy, hogy az egyes és kettes értékű kártyák ne legyenek egymás mellett?

A feladat kitűzve, most térjünk rá a megoldására. Először meg kell határoznia harminc elem permutációinak számát, ehhez a fent bemutatott képletet vesszük, kiderül, hogy P_30 = 30!.

E szabály alapján megtudjuk, hány lehetőség van a pakli különböző módon történő behajtására, de ki kell vonnunk belőlük azokat, amelyekben az első és a második lap egymás mellett van. Ehhez kezdjük azzal az opcióval, amikor az első a második felett van. Kiderült, hogy az első kártya huszonkilenc helyet foglalhat el - az elsőtől a huszonkilencedikig, a második pedig a másodiktól a harmincadikig, így összesen huszonkilenc helyet tesz ki egy pár kártya. A többiek viszont huszonnyolc helyet fogadhatnak el, méghozzá tetszőleges sorrendben. Vagyis huszonnyolc kártya átrendezéséhez huszonnyolc lehetőség van P_28 = 28!

Ennek eredményeként kiderül, hogy ha figyelembe vesszük a megoldást, amikor az első kártya a második felett van, szükségtelen lehetőségeket kiderül, hogy 29 ⋅ 28! = 29!

Ugyanezzel a módszerrel ki kell számítania a redundáns opciók számát abban az esetben, ha az első kártya a második alatt van. Ebből is kiderül, hogy 29 ⋅ 28! = 29!

Ebből következik, hogy 2 ⋅ 29 extra lehetőség van!, míg szükséges módokon gyűjtő pakli 30! - 2 ⋅ 29!. Már csak számolni kell.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Most meg kell szoroznia az összes számot egytől huszonkilencig, majd végül mindent 28-cal. A válasz: 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Példa megoldás. Képlet az elhelyezési számhoz

Ebben a feladatban azt kell kideríteni, hogy hányféleképpen lehet tizenöt kötetet feltenni egy polcra, de feltéve, hogy összesen harminc kötet van.

A probléma megoldása egy kicsit egyszerűbb, mint az előző. Már használ jól ismert képlet, ki kell számolni az elrendezések teljes számát harminc kötetből, tizenötből.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 30

A válasz ennek megfelelően 202 843 204 931 727 360 000 lesz.

Most vegyünk egy kicsit nehezebb feladatot. Meg kell találnia, hányféleképpen lehet elrendezni harminc könyvet kettőn könyvespolcok, feltéve, hogy egy polcon csak tizenöt kötetet lehet elhelyezni.

Mielőtt elkezdené a megoldást, szeretném tisztázni, hogy bizonyos problémák többféleképpen is megoldhatók, és ennek két módszere van, de mindkettő ugyanazt a képletet használja.

Ebben a feladatban átveheti a választ az előzőből, mert ott kiszámoltuk, hogy hányszor lehet tizenöt könyvvel megtölteni egy polcot különböző módokon. Kiderült, hogy A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

A második polcot a permutációs képlet segítségével számoljuk ki, mert arra tizenöt könyv helyezhető el, míg csak tizenöt marad. A P_15 = 15! képletet használjuk.

Kiderül, hogy a végösszeg A_30^15 ⋅ P_15 féle lesz, de ezen felül a harminctól tizenhatig terjedő összes szám szorzatát meg kell szorozni az egytől tizenötig terjedő számok szorzatával, végül minden szám szorzatát kapja egytől harmincig, vagyis a válasz 30!

De ez a probléma más módon is megoldható - könnyebben. Ehhez elképzelheti, hogy van egy polc harminc könyv számára. Mindegyik ezen a síkon van elhelyezve, de mivel a feltétel megköveteli, hogy két polc legyen, egy hosszút láttunk félbe, így tizenötből kettőt kapunk. Ebből kiderül, hogy lehet P_30 = 30 lehetőség az elrendezésre!.

Példa megoldás. A szám kombinációjának képlete

Most megvizsgáljuk a kombinatorika harmadik problémájának egy változatát. Ki kell deríteni, hogy hányféleképpen lehet elrendezni tizenöt könyvet, feltéve, hogy harminc teljesen egyforma közül kell választani.

A megoldáshoz természetesen a kombinációk számának képletét kell alkalmazni. A feltételből kiderül, hogy az egyforma tizenöt könyv sorrendje nem lényeges. Ezért először meg kell találnia a harminc, tizenöt könyv kombinációinak teljes számát.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Ez minden. Ezt a képletet használva, in legrövidebb idő sikerült megoldani ezt a problémát, a válasz ennek megfelelően 155 117 520.

Példa megoldás. A valószínűség klasszikus meghatározása

A fenti képlet segítségével megtalálhatja a választ egy egyszerű problémára. De ez segít abban, hogy világosan lássák és nyomon kövessék a cselekvések előrehaladását.

A probléma kimondja, hogy tíz teljesen egyforma golyó van az urnában. Ebből négy sárga és hat kék. Egy golyót vesznek ki az urnából. Meg kell találnia a kékedés valószínűségét.

A probléma megoldásához a kék golyó megszerzését kell A eseményként megjelölni. Ennek a kísérletnek tíz kimenetele lehet, amelyek viszont elemiek és egyformán lehetségesek. Ugyanakkor tízből hat az A eseménynek kedvez. A következő képlettel oldjuk meg:

P(A)=6:10=0,6

Ezt a képletet alkalmazva megtanultuk, hogy a kék golyó megszerzésének valószínűsége 0,6.

Példa megoldás. Az események összegének valószínűsége

Ekkor megjelenik egy lehetőség, amelyet az események összegének valószínűségi képletével lehet megoldani. Tehát a feltétel adott, hogy két doboz legyen, az elsőben egy szürke és öt fehér golyó, a másodikban nyolc szürke és négy fehér golyó. Ennek eredményeként az első és a második dobozból vették el az egyiket. Meg kell találnia, mekkora az esélye annak, hogy a kapott golyók szürkék és fehérek lesznek.

A probléma megoldásához azonosítani kell az eseményeket.

• Tehát A - vett egy szürke golyót az első dobozból: P(A) = 1/6.
• A’ - az első dobozból is vett egy fehér labdát: P(A") = 5/6.
• B - a második dobozból egy szürke golyót távolítottak el: P(B) = 2/3.
• B’ - kivett egy szürke labdát a második dobozból: P(B") = 1/3.

A probléma feltételei szerint szükséges, hogy az egyik jelenség megtörténjen: AB’ vagy A’B. A képlet segítségével a következőt kapjuk: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Most a valószínűség szorzásának képletét használták. Ezután, hogy megtudja a választ, alkalmaznia kell az összeadás egyenletét:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Így oldhat meg hasonló problémákat a képlet segítségével.

A lényeg

A cikk a "valószínűségelmélet" témával kapcsolatos információkat közölt, amelyben az esemény valószínűsége létfontosságú szerepet játszik. Természetesen nem mindent vettek figyelembe, de a bemutatott szöveg alapján elméletileg megismerkedhet a matematika ezen részével. A szóban forgó tudomány nem csak a szakmai munkában lehet hasznos, hanem abban is Mindennapi élet. Segítségével bármilyen esemény lehetőségét kiszámíthatja.

A szöveg is érintett jelentős dátumok a valószínűségelmélet, mint tudomány kialakulásának történetében, és azoknak az embereknek a neve, akiknek munkáját ebbe fektették. Az emberi kíváncsiság így vezetett oda, hogy az emberek megtanulták kiszámítani a véletlenszerű eseményeket is. Valaha egyszerűen ez érdekelte őket, de ma már mindenki tud róla. És senki sem fogja megmondani, mi vár ránk a jövőben, milyen ragyogó felfedezések születnek még a vizsgált elmélettel kapcsolatban. De egy biztos: a kutatás nem áll meg!

Valószínűség Az esemény az adott esemény szempontjából kedvező elemi kimenetelek számának és az élmény minden egyformán lehetséges kimenetelének aránya, amelyben ez az esemény megjelenhet. Az A esemény valószínűségét P(A) jelöli (itt P az első betű francia szó valószínűség – valószínűség). A meghatározás szerint
(1.2.1)
ahol az A eseménynek kedvező elemi kimenetek száma; - a kísérlet minden egyformán lehetséges elemi kimenetelének száma, egy teljes eseménycsoportot alkotva.
Ezt a valószínűség-definíciót klasszikusnak nevezzük. Felmerült kezdeti szakaszban valószínűségelmélet fejlesztése.

Egy esemény valószínűsége a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
1. Egy megbízható esemény valószínűsége eggyel egyenlő. Jelöljünk egy megbízható eseményt betűvel. Egy bizonyos eseményre tehát
(1.2.2)
2. Egy lehetetlen esemény valószínűsége nulla. Egy lehetetlen eseményt jelöljünk betűvel. Lehetetlen eseményre tehát
(1.2.3)
3. Egy véletlenszerű esemény valószínűségét fejezzük ki pozitív szám, egynél kevesebb. Mivel egy véletlen eseményre a , vagy egyenlőtlenségek teljesülnek, akkor
(1.2.4)
4. Bármely esemény valószínűsége kielégíti az egyenlőtlenségeket
(1.2.5)
Ez az (1.2.2) - (1.2.4) összefüggésekből következik.

1. példa Egy urnában 10 azonos méretű és súlyú golyó található, ebből 4 piros és 6 kék. Egy golyót húznak az urnából. Mennyi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyó kék lesz?

Megoldás. A „kihúzott golyó kéknek bizonyult” eseményt A betűvel jelöljük. Ennek a tesztnek 10 egyformán lehetséges elemi végeredménye van, ebből 6 az A eseménynek kedvez. Az (1.2.1) képlet szerint kapjuk

2. példa Minden természetes szám 1-től 30-ig azonos kártyákra van írva, és egy urnába helyezve. A kártyák alapos megkeverése után az egyik kártyát eltávolítjuk az urnából. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a felvett kártyán szereplő szám 5 többszöröse?

Megoldás. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy „a felvett kártyán lévő szám 5 többszöröse”. Ebben a tesztben 30 egyformán lehetséges elemi kimenetel van, amelyek közül az A eseménynek 6 kimenetel (5, 10, 15, 20, 25, 30) kedvez. Ennélfogva,

3. példa Két dobókockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Határozza meg a B esemény valószínűségét úgy, hogy a kocka felső lapjainak összesen 9 pontja legyen.

Megoldás. Ebben a tesztben csak 6 2 = 36 egyformán lehetséges elemi eredmény van. A B eseménynek 4 végeredmény kedvez: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3)

4. példa. Véletlenszerűen kiválasztott természetes szám, nem haladja meg a 10-et. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a szám prím?

Megoldás. Jelöljük C betűvel „a kiválasztott szám prím” eseményt. Ebben az esetben n = 10, m = 4 (2, 3, 5, 7 prímszámok). Ezért a szükséges valószínűség

5. példa Két szimmetrikus érmét dobnak fel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindkét érme felső oldalán számok vannak?

Megoldás. Jelöljük D betűvel azt az eseményt, hogy „minden érme felső oldalán egy szám van”. Ebben a tesztben 4 egyformán lehetséges elemi eredmény van: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (A (G, C) jelölés azt jelenti, hogy az első érmén címer van, a másodikon pedig szám). A D eseményt egy elemi eredmény (C, C) kedvez. Mivel m = 1, n = 4, akkor

6. példa. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott kétjegyű szám azonos számjegyeket tartalmaz?

Megoldás. A kétjegyű számok 10 és 99 közötti számok; Összesen 90 ilyen szám van, 9 szám azonos számjegyű (ezek a 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 számok). Mivel ebben az esetben m = 9, n = 90, akkor
,
ahol A az „azonos számjegyű szám” esemény.

7. példa. A szó betűiből differenciális Egy betű véletlenszerűen kerül kiválasztásra. Mennyi a valószínűsége, hogy ez a betű lesz: a) magánhangzó, b) mássalhangzó, c) betű h?

Megoldás. A szókülönbség 12 betűből áll, ebből 5 magánhangzó és 7 mássalhangzó. Levelek h nincs ebben a szóban. Jelöljük az eseményeket: A - "magánhangzó betű", B - "mássalhangzó betű", C - "betű" h". A kedvező elemi eredmények száma: - A eseményre, - B eseményre, - C eseményre. Mivel n = 12, akkor
, És .

8. példa. Két kockát dobunk, és feljegyezzük az egyes kockák tetején lévő pontok számát. Határozza meg annak valószínűségét, hogy mindkét kocka ugyanannyi pontot mutat.

Megoldás. Jelöljük ezt az eseményt A betűvel. Az A eseménynek 6 elemi végeredmény kedvez: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Az egyformán lehetséges elemi kimenetek összessége, amelyek egy teljes eseménycsoportot alkotnak, ebben az esetben n=6 2 =36. Ez azt jelenti, hogy a szükséges valószínűség

9. példa. A könyv 300 oldalas. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen nyitott oldal 5-tel osztható sorozatszáma lesz?

Megoldás. A feladat feltételeiből az következik, hogy minden egyformán lehetséges elemi eredmény, amely egy teljes eseménycsoportot alkot, n = 300 lesz. Ebből m = 60 a megadott esemény bekövetkezésének kedvez. Valójában egy szám, amely többszöröse 5-nek, alakja 5k, ahol k természetes szám, és ahonnan . Ennélfogva,
, ahol A – az „oldal” esemény sorszáma 5-nek többszöröse.

10. példa. Két dobókockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 7 vagy 8?

Megoldás. Jelöljük az eseményeket: A - „7 pontot dobtak”, B – „8 pontot dobtak”. Az A eseményt 6 elemi eredmény kedvez: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), és a B eseményt. 5 eredménnyel: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Minden egyformán lehetséges elemi eredmény n = 6 2 = 36. És .

Tehát P(A)>P(B), vagyis az összesen 7 pont megszerzése valószínűbb esemény, mint az összesen 8 pont megszerzése.

Feladatok

1. Véletlenszerűen választunk ki egy 30-nál nem nagyobb természetes számot, mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám többszöröse 3-nak?
2. Az urnában a piros és b kék golyók, méretben és súlyban azonosak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ebből az urnából véletlenszerűen kihúzott labda kék lesz?
3. Véletlenszerűen kiválasztunk egy számot, amely nem haladja meg a 30. Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám osztója 30-nak?
4. Az urnában A kék és b piros golyók, méretben és tömegben azonosak. Ebből az urnából kiveszünk egy labdát, és félretesszük. Ez a labda pirosnak bizonyult. Ezt követően egy másik labdát húznak az urnából. Határozza meg annak valószínűségét, hogy a második golyó is piros.
5. Véletlenszerűen kiválasztunk egy nemzeti számot, amely nem haladja meg az 50-et.Mekkora a valószínűsége annak, hogy ez a szám prímszám?
6. Három dobókockát dobunk, és kiszámítjuk a felső lapokon lévő pontok összegét. Mi a valószínűbb – összesen 9 vagy 10 pont megszerzése?
7. Három kockát dobunk, és kiszámítjuk a dobott pontok összegét. Mi a valószínűbb - összesen 11 (A esemény) vagy 12 pont (B esemény)?

Válaszok

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - összesen 9 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 = 27/216 - összesen 10 pont megszerzésének valószínűsége; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Kérdések

1. Hogyan nevezzük egy esemény valószínűségét?
2. Mennyi a valószínűsége egy megbízható eseménynek?
3. Mennyi a valószínűsége egy lehetetlen eseménynek?
4. Melyek a véletlenszerű esemény valószínűségének határai?
5. Melyek az események valószínűségének határai?
6. A valószínűség melyik definícióját nevezzük klasszikusnak?