Klasszikus valószínűség. Egy véletlen esemény valószínűsége

mint ontológiai kategória tükrözi annak mértékét, hogy bármilyen körülmények között bármilyen lény felbukkanhat. E fogalom matematikai és logikai értelmezésével szemben az ontológiai V. nem társítja magát a mennyiségi kifejezés kötelezettségéhez. V. értéke a determinizmus megértésének összefüggésében és a fejlődés egészének összefüggésében tárul fel.

Kiváló meghatározás

Hiányos meghatározás ↓

VALÓSZÍNŰSÉG

mennyiségeket leíró fogalom. egy bizonyos esemény megjelenési lehetőségének mértéke a def. körülmények. A tudományosban. a megismerésnek három értelmezése van V. Az V. klasszikus fogalma, amely a matematikai. a szerencsejátékok elemzése, amelyet B. Pascal, J. Bernoulli és P. Laplace a legteljesebben kifejlesztett, V. -t tekinti a kedvező esetek és az összes lehetséges arány arányának. Például, ha 6 oldalú kockát dob, mindegyikük várhatóan 1/6 -os V. -vel esik ki, mivel egyik félnek sincs előnye a másikkal szemben. A tapasztalatok eredményeinek ilyen szimmetriáját kifejezetten figyelembe veszik a játékok szervezésekor, de viszonylag ritka a tudomány és a gyakorlat tárgyilagos eseményeinek tanulmányozásakor. Klasszikus V. értelmezése utat engedett a statisztikai. V. fogalmai szerint a vágás cselekvésen alapul. megfigyelve egy bizonyos esemény megjelenését az időtartam alatt. tapasztalat pontosan rögzített körülmények között. A gyakorlat megerősíti, hogy minél gyakrabban fordul elő esemény, annál nagyobb az objektív lehetőség annak előfordulására, vagy V. Ezért statisztikai. V. értelmezése a rel fogalmán alapul. frekvenciák, a vágás empirikusan meghatározható. V. mint elméleti. a fogalom soha nem esik egybe empirikusan meghatározott gyakorisággal, azonban többes számban. esetekben gyakorlatilag alig tér el a tulajdonítottól. az időtartam eredményeként talált gyakoriság. megfigyelések. Sok statisztikus V. -t "kettős" rokonnak tekinti. gyakoriságát, élét statisztikai adatok határozzák meg. megfigyelési kutatás

vagy kísérletek. Kevésbé valószerűnek bizonyult, hogy az V. -t a tulajdoníthatóság határaként határozták meg. a tömegrendezvények gyakorisága vagy kollektívák, R. Mises javasolta. Az V. gyakorisági megközelítésének továbbfejlesztéseként V. diszpozicionális vagy hajlamos értelmezését javasolják (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Ezen értelmezés szerint V. jellemzi például a feltételek generálásának tulajdonságát. kísérlet. telepítéseket, hogy hatalmas véletlenszerű eseményeket kapjon. Ez az attitűd szül fizikai. diszpozíciók, vagy hajlamok, V. to-rykh a rel segítségével ellenőrizhető. frekvenciák.

Statisztikai. V. értelmezése dominál a tudományosban. tudást, mert tükrözi a sajátosságot. a véletlenszerű jellegű tömegjelenségekben rejlő minták jellege. Sok fizikai, biológiai, gazdasági, demográfiai szempontból. és más társadalmi folyamatok, figyelembe kell venni számos véletlenszerű tényező hatását, amelyeket stabil gyakoriság jellemez. Feltárja ezt a stabil gyakoriságot és mennyiséget. értékelése V. segítségével lehetővé teszi a szükségesség feltárását, amely a balesetek sokaságának együttes fellépésén keresztül jut el. Ez a megnyilvánulása a dialektikának, hogy a véletlen szükségszerűvé alakul (lásd F. Engels, a könyvben: K. Marx és F. Engels, Soch., 20. kötet, 535–36. O.).

Logikai vagy induktív V. jellemzi a premisszák és a nem demonstrációs és különösen induktív érvelés következtetése közötti kapcsolatot. A dedukcióval ellentétben az indukció premisszái nem garantálják a következtetés igazságát, hanem csak többé -kevésbé hihetővé teszik. Ezt a valószínűséget pontosan megfogalmazott premisszákkal néha V. segítségével lehet felmérni. Ennek az V. értékét leggyakrabban összehasonlítással határozzák meg. fogalmak (több, kevesebb vagy egyenlő), és néha numerikus módon. Logikus. Az értelmezést gyakran használják az induktív érvelés és konstrukció elemzésére különböző rendszerek valószínű logikusok (R. Carnap, R. Jeffrey). Szemantikailag. a koncepció logikus. Az V. -t gyakran úgy határozzák meg, mint azt, hogy egy állítást mások mennyire erősítenek meg (például hipotézis empirikus adatai alapján).

A döntéshozatal és a játékok elméleteinek fejlődése kapcsán ún. B. személyes értelmezése Bár V. ugyanakkor kifejezi az alany hitének mértékét és egy bizonyos esemény megjelenését, magukat V. úgy kell megválasztani, hogy a számítás axiómái B. Ezért V. ezzel az értelmezéssel nem annyira a szubjektív mértéket fejezi ki, mint az ésszerű hitet ... Következésképpen az ilyen V. alapján hozott döntések racionálisak lesznek, mert nem veszik figyelembe a pszichológiai. a téma jellemzői és hajlamai.

A gnoszeológiai. t. sp. a különbség a statisztikai, logikai. és V. személyes értelmezései abban állnak, hogy ha az előbbi jellemzi a véletlenszerű természetű jelenségek objektív tulajdonságait és viszonyait, akkor az utóbbi kettő a szubjektív, kognitív sajátosságait elemzi. az emberek tevékenységei a bizonytalanság körülményei között.

VALÓSZÍNŰSÉG

a tudomány egyik legfontosabb fogalma, amely a világról, annak felépítéséről, evolúciójáról és megismeréséről szóló különleges szisztémás víziót jellemzi. A valószínűségi világszemlélet sajátosságai a véletlenszerűség, a függetlenség és a hierarchia fogalmainak (a struktúrák és a rendszerek meghatározásának szintjei) fogalmainak a lét alapvető fogalmai közé történő felvételével tárulnak fel.

A valószínűség fogalma az ókorban keletkezett, és ismereteink jellegzetességével volt kapcsolatban, míg a valószínűségi ismeretek jelenlétét ismerték fel, amely különbözik a megbízható tudástól és a hamisatól. A valószínűség gondolatának a tudományos gondolkodásra, a tudás fejlődésére gyakorolt ​​hatása közvetlenül összefügg a valószínűség elméletének, mint matematikai diszciplínának a fejlődésével. A valószínűség matematikai elméletének eredete a 17. századra nyúlik vissza, amikor a beismerő fogalmak magjának kialakulása. mennyiségi (numerikus) jellemzők és valószínűségi elképzelés kifejezése.

A valószínűség intenzív alkalmazása a megismerés fejlesztésére a 2. felére esik. 19 - 1. emelet. 20. század A valószínűség olyan alapvető természettudományok szerkezetébe lépett, mint a klasszikus statisztikai fizika, genetika, kvantum elmélet, kibernetika (információelmélet). Ennek megfelelően a valószínűség megszemélyesíti a tudomány fejlődésének azt a szakaszát, amelyet ma nem klasszikus tudományként határoznak meg. Az újdonság, a valószínűségi gondolkodásmód sajátosságainak feltárásához szükséges a valószínűségelmélet tárgyának elemzése és számos alkalmazásának alapja. A valószínűség -elméletet általában matematikai tudományágként határozzák meg, amely bizonyos körülmények között tanulmányozza a tömeges véletlenszerű jelenségek törvényeit. A véletlenszerűség azt jelenti, hogy a tömegkarakter keretein belül az egyes elemi jelenségek léte nem függ más jelenségek létezésétől, és nem határozza meg őket. Ugyanakkor a jelenségek tömege stabil szerkezetű, bizonyos törvényszerűségeket tartalmaz. A tömegjelenség meglehetősen szigorúan alrendszerekre oszlik, és az egyes alrendszerekben az elemi jelenségek relatív száma (relatív gyakorisága) nagyon stabil. Ezt a stabilitást a valószínűséggel hasonlítják össze. A tömegjelenséget összességében valószínűségi eloszlás jellemzi, azaz alrendszerek és a megfelelő valószínűségek megadása. A valószínűség -elmélet nyelve a valószínűség -eloszlások nyelve. Ennek megfelelően a valószínűség elméletét úgy is definiálják, mint az eloszlásokkal való működés absztrakt tudományát.

A valószínűség ötleteket vetett fel a statisztikai törvényekről és a tudomány statisztikai rendszereiről. Az utolsó lényeg független vagy kvázi független entitásokból kialakított rendszereket, azok szerkezetét valószínűségi eloszlások jellemzik. De hogyan lehetséges független entitásokból rendszereket kialakítani? Általában azt feltételezik, hogy az integrált jellemzőkkel rendelkező rendszerek kialakításához szükséges, hogy elemeik között kellően stabil kötések legyenek, amelyek cementálják a rendszereket. A statisztikai rendszerek stabilitását a külső feltételek, külső környezet, külső, és nem belső erők... A valószínűség definíciója mindig a kezdeti tömegjelenség kialakulásának feltételeinek meghatározásán alapul. Egy másik fontos elképzelés, amely a valószínűségi paradigmát jellemzi, a hierarchia (alárendeltség) gondolata. Ez az elképzelés a jellemzők közötti kapcsolatot fejezi ki egyes elemekés a rendszerek szerves jellemzői: az utóbbiak mintegy az előbbiekre épülnek.

A valószínűségi módszerek jelentősége a megismerésben abban rejlik, hogy lehetővé teszik a hierarchikus, „kétszintű” szerkezetű objektumok és rendszerek szerkezetének és viselkedésének mintáinak vizsgálatát és elméleti kifejezését.

A valószínűség jellegének elemzése gyakoriságán, statisztikai értelmezésén alapul. Azonban nagyon hosszú idő a tudományban a valószínűség ilyen felfogása érvényesült, amit logikus vagy induktív valószínűségnek neveztek. A logikai valószínűséget érdeklik azok a kérdések, amelyek bizonyos feltételek mellett különálló, egyedi ítélet érvényességét illetik. Fel lehet mérni az induktív következtetés (hipotetikus következtetés) megerősítésének mértékét (megbízhatóság, valóságtartalom) mennyiségi formában? A valószínűség -elmélet kialakulása során az ilyen kérdéseket többször megvitatták, és elkezdtek beszélni a hipotetikus következtetések megerősítésének fokairól. Ezt a valószínűségi mértéket az adott személy rendelkezésére álló információk, tapasztalatai, világnézetei és pszichológiai gondolkodásmódja határozza meg. Minden ilyen esetben a valószínűség nagysága nem alkalmas szigorú mérésekre, és gyakorlatilag kívül esik a valószínűség -elmélet, mint következetes matematikai tudományág hatáskörén.

A valószínűség objektív, gyakorisági értelmezését állapították meg a tudományban, jelentős nehézségekkel. Kezdetben a valószínűség természetének megértését erősen befolyásolták azok a filozófiai és módszertani nézetek, amelyek a klasszikus tudományra voltak jellemzőek. Történelmileg a valószínűségi módszerek kialakulása a fizikában a mechanika elképzeléseinek döntő hatására ment végbe: a statisztikai rendszereket egyszerűen mechanikusként kezelték. Mivel a megfelelő problémákat nem oldották meg szigorú mechanikai módszerekkel, felmerültek olyan állítások, hogy a valószínűségi módszerekre és a statisztikai törvényekre való fellebbezés tudásunk hiányosságának eredménye. A klasszikus statisztikai fizika fejlődésének történetében számos kísérlet történt annak alátámasztására klasszikus mechanika azonban mind kudarcot vallottak. A valószínűség azon a tényen alapul, hogy kifejezi egy bizonyos rendszerosztály szerkezetének sajátosságait, kivéve a mechanika rendszereit: e rendszerek elemeinek állapotát instabilitás és különleges (nem mechanikára redukált) jelleg jellemzi. interakciókról.

A valószínűség belépése a megismerésbe a merev determinizmus fogalmának tagadásához, a létezés és a megismerés alapmodelljének tagadásához vezet, amely a klasszikus tudomány kialakulásának folyamatában alakult ki. A statisztikai elméletek által bemutatott alapmodellek más, általánosabb természetűek: magukban foglalják a véletlenszerűség és a függetlenség eszméit. A valószínűség elképzelése az objektumok és rendszerek belső dinamikájának nyilvánosságra hozatalához kapcsolódik, amelyet külső feltételek és körülmények nem határozhatnak meg teljesen.

A függetlenségről alkotott elképzelések abszolutizálásán alapuló (valószínûleg a merev elhatározás paradigmája elõtt) valószínû világlátás fogalma most feltárta korlátait, amelyek a legerõsebben befolyásolják az átmenetet modern tudomány az összetett rendszerek, valamint az önszerveződési jelenségek fizikai és matematikai alapjainak tanulmányozásának elemzési módszereire.

Kiváló meghatározás

Hiányos meghatározás ↓

„Az olvasó előadásunkban már észrevette a„ valószínűség ”kifejezés gyakori használatát.

azt funkció modern logika, szemben az ókori és középkori logikával. A modern logikus megérti, hogy minden tudásunk csak többé -kevésbé valószínű, és nem megbízható, ahogy a filozófusok és teológusok hozzászoktak a gondolkodáshoz. Nem aggódik amiatt, hogy az induktív következtetések csak hitelességet kölcsönöznek következtetéseinek, mivel nem vár mást. Azonban habozni fog, ha okot talál a börtönbüntetés valószínűségére vonatkozó kétkedésre.

Így a két probléma sokkal fontosabb lett a modern logikában, mint a korábbi időkben. Először is a valószínűség jellege, másodszor pedig az indukció jelentősége. Beszéljünk röviden ezekről a problémákról.

A valószínűségnek két típusa van - határozott és határozatlan.

Bizonyos fajta valószínűség fordul elő a valószínűség matematikai elméletében, ahol olyan problémákat tárgyalnak, mint a kockadobás vagy az érmék feldobása. Mindenhol előfordul, ahol több lehetőség van, és egyiket sem szabad előnyben részesíteni a másikkal szemben. Ha feldob egy érmét, annak feje vagy farka kell, hogy legyen, de mindkettő ugyanolyan valószínűnek tűnik. Ezért a fejek és a farok esélye 50%, 1 a megbízhatóság. Hasonlóképpen, ha kockát dobunk, az a hat arc közül bármelyikre felbukhat, és nincs ok az egyik előnyére, ezért mindegyik esélye 1/6. Ezt a fajta valószínűséget a biztosítótársaságok használják munkájuk során. Nem tudják, melyik épület fog leégni, de tudják, hogy az épületek hány százaléka ég le évente. Nem tudják, mennyi ideig fog élni egy adott személy, de tudják az átlagos várható élettartamot egy adott időszakban. Minden ilyen esetben maga a valószínűség becslése nem egyszerűen valószínű, kivéve abban az értelemben, hogy minden tudás csak valószínű. Magának a valószínűségi becslésnek is lehet magas fokozat valószínűségek. Ellenkező esetben a biztosítótársaságok tönkremennének.

Nagy erőfeszítéseket tettek az indukció valószínűségének növelése érdekében, de okkal feltételezhető, hogy mindezek a kísérletek hiábavalók voltak. Az induktív következtetésekre jellemző valószínűség szinte mindig bizonytalan, mint fentebb említettem.

Most elmagyarázom, mi az.

Aprósággá vált azt mondani, hogy minden emberi tudás rossz. Nyilvánvaló, hogy a hibák különbözőek. Ha azt mondom Buddha században élt. Krisztus születése előtt a hiba valószínűsége nagyon magas lesz. Ha azt mondom Caesar megölték, a hiba valószínűsége kicsi lesz.

Ha azt mondom, hogy most mi következik Nagy háború, akkor a hiba valószínűsége olyan kicsi, hogy csak egy filozófus vagy logikus ismerheti el jelenlétét. Ezek a példák arra vonatkoznak történelmi események, de hasonló fokozatosság létezik a tudományos törvényekkel kapcsolatban. Némelyikük kifejezetten hipotéziseket tartalmaz, amelyeket senki sem fog komolyabb státusszal ellátni a nekik szóló empirikus adatok hiánya miatt, míg mások olyan határozottnak tűnnek, hogy a tudósok részéről gyakorlatilag kétség sem fér az igazukhoz. (Amikor azt mondom, hogy "igazság", akkor "hozzávetőleges igazságra" gondolok, mivel minden tudományos törvényt módosítanak.)

A valószínűség olyasmi, amiben biztosak vagyunk, és amit többé -kevésbé hajlamosak vagyunk elismerni, ha ezt a szót a valószínűség matematikai elméletének értelmében értjük.

Helyesebb lenne a bizonyosság fokáról vagy a megbízhatóság fokáról beszélni ... Ez egy tágabb fogalma annak, amit én "bizonyos valószínűségnek" neveztem, ami szintén fontosabb. "

Bertrand Russell, A hivatkozások készítésének művészete / A gondolkodás művészete, M., "Értelmiségi könyvek háza", 1999, p. 50-51.

Nem valószínű, hogy sokan gondolkodnak azon, hogy ki lehet -e számítani többé -kevésbé véletlenszerű eseményeket. Kifejezve egyszerű szavakkal, reális tudni, hogy a kocka melyik oldala esik legközelebb. Ezt a kérdést tette fel két nagy tudós, akik megalapozták egy olyan tudományt, mint a valószínűség elmélete, amelyben egy esemény valószínűségét elég alaposan tanulmányozzák.

Kezdet

Ha egy ilyen fogalmat a valószínűség elméleteként próbál meghatározni, akkor a következőt kapja: ez a matematika egyik ága, amely a véletlenszerű események állandóságának vizsgálatával foglalkozik. Természetesen ez a koncepció nem igazán tárja fel az egész lényeget, ezért szükséges részletesebben megfontolni.

Szeretném kezdeni az elmélet megalkotóival. Amint fentebb említettük, ketten voltak, ez és ők voltak az elsők között, akik képletek és matematikai számítások segítségével próbálták kiszámítani egy esemény kimenetelét. Összességében ennek a tudománynak a kezdetei a középkorban jelentek meg. Abban az időben különféle gondolkodók és tudósok megpróbálták elemezni a szerencsejátékokat, mint például a rulett, a kocka stb., Ezáltal megállapítva egy adott szám előfordulásának mintáját és százalékos arányát. Az alapot a tizenhetedik században rakták le a fent említett tudósok.

Munkáikat eleinte nem lehetett az e téren elért nagy eredményeknek tulajdonítani, mert minden, amit tettek, egyszerűen empirikus tények voltak, és a kísérleteket vizuálisan, képletek nélkül állították össze. Idővel kiderült, hogy nagyszerű eredményeket ér el, amelyek a csontok dobásának megfigyelése eredményeként jelentek meg. Ez az eszköz segített az első érthető képletek levezetésében.

Hasonló gondolkodású emberek

Lehetetlen nem megemlíteni egy olyan személyt, mint Christian Huygens a "valószínűség -elmélet" nevű téma tanulmányozása során (egy esemény valószínűségét éppen ez a tudomány foglalja magában). Ez az ember nagyon érdekes. Ő, mint a fentebb bemutatott tudósok, matematikai képletek formájában próbálta levezetni a véletlenszerű események szabályszerűségét. Figyelemre méltó, hogy ezt nem Pascal és Fermat társaságában tette, vagyis minden műve semmilyen módon nem keresztezte ezeket az elméket. Huygens hozta

Érdekes tény, hogy munkássága jóval a felfedezők munkájának eredménye előtt, vagy inkább húsz évvel korábban jelent meg. A kijelölt fogalmak közül a leghíresebbek:

• a valószínűség fogalma, mint az esély nagysága;
• matematikai elvárás a diszkrét esetekre;
• szorzási és összeadási tételek a valószínűségekhez.

Azt sem lehet nem felidézni, aki szintén jelentősen hozzájárult a probléma tanulmányozásához. Saját, független tesztek elvégzésével bizonyítani tudta a törvényt nagy számok... A Poisson és Laplace tudósok viszont, akik a XIX. Század elején dolgoztak, be tudták bizonyítani az eredeti tételeket. Ettől a pillanattól kezdve kezdték használni a valószínűség elméletét a hibák elemzésére a megfigyelések során. Az orosz tudósok, vagy inkább Markov, Csebisev és Djapunov sem tudták megkerülni ezt a tudományt. Ők a nagy zsenik által végzett munka alapján ezt a tantárgyat a matematika egyik ágaként megszilárdították. Ezek a számok már a XIX. Század végén is működtek, és hozzájárulásuknak köszönhetően bebizonyosodtak az alábbi jelenségek:

• a nagy számok törvénye;
• a Markov -láncok elmélete;
• központi határtétel.

Tehát a tudomány keletkezésének történetével és a fő személyekkel, akik befolyásolták, minden többé -kevésbé világos. Itt az ideje minden tényt konkretizálni.

Alapfogalmak

Mielőtt a törvényekhez és tételekhez nyúlnánk, érdemes tanulmányozni a valószínűségelmélet alapfogalmait. A rendezvény vezető szerepet játszik benne. Ez a téma meglehetősen terjedelmes, de nélküle nem lesz lehetséges megérteni minden mást.

Esemény a valószínűségelméletben a kísérlet eredményeinek bármely halmaza. Ennek a jelenségnek nem kevés fogalma van. Tehát a tudós Lotman, aki ezen a területen dolgozik, azt mondta, hogy ebben az esetben arról beszélünk, hogy "mi történt, bár lehet, hogy nem történt meg".

Véletlen események (a valószínűségelmélet megadja őket Speciális figyelem) olyan fogalom, amely abszolút bármilyen jelenséget magában foglal, amely képes előfordulni. Vagy fordítva, ez a forgatókönyv nem valósulhat meg, ha sok feltétel teljesül. Azt is érdemes tudni, hogy a megtörtént jelenségek teljes kötetét rögzítik. véletlen események... A valószínűségelmélet azt jelzi, hogy minden feltétel folyamatosan megismételhető. Magatartásuk kapta a "kísérlet" vagy "teszt" nevet.

A hiteles esemény az, amely egy adott teszt során száz százalékig megtörténik. Ennek megfelelően a lehetetlen esemény az, ami nem fog megtörténni.

Az akciópár (feltételesen A és B eset) kombinációja egyidejűleg előforduló jelenség. AB -nek nevezik őket.

Az A és B eseménypárok összege C, más szóval, ha legalább az egyik előfordul (A vagy B), akkor ez lesz C. A leírt jelenség képlete a következő: C = A + B.

A valószínűség -elmélet következetlen eseményei arra utalnak, hogy két esemény kizárja egymást. Soha nem történhetnek meg egyszerre. A valószínűségi elmélet közös eseményei az antipódusaik. Ez azt jelenti, hogy ha A történt, akkor nem zavarja B -t.

Az ellentétes események (a valószínűség elmélete nagyon részletesen figyelembe veszi őket) könnyen érthetők. A legjobb módszer ezek kezelésére az összehasonlítás. Ezek nagyjából megegyeznek a valószínűség -elmélet következetlen eseményeivel. De a különbség abban rejlik, hogy a sok jelenség közül egynek mindenképpen meg kell történnie.

Ugyanilyen lehetséges események azok a cselekvések, amelyek megismétlésének esélye egyenlő. Hogy világosabb legyen, elképzelhet egy érmefeldobást: az egyik oldalról való kiesés ugyanolyan valószínűséggel esik ki a másikból.

Egy kedvező esemény könnyebben látható egy példával. Tegyük fel, hogy van B és A. epizód. Az első a kockadobás páratlan szám megjelenésével, a második pedig az ötödik szám megjelenése a kockán. Aztán kiderül, hogy A a B -nek kedvez.

A valószínűségi elmélet független eseményei csak két vagy több esetre vonatkoznak, és azt jelentik, hogy egy cselekvés független a másiktól. Például A farok, amikor érmét dob, és B kap egy emelőt a pakliból. Ezek független események a valószínűség elméletében. Ezzel a pillanattal világosabb lett.

A valószínűségi elmélet függő eseményei szintén csak a halmazuk számára megengedettek. Ezek magukban foglalják az egyik függését a másiktól, vagyis a B jelenség csak akkor fordulhat elő, ha A már megtörtént, vagy éppen ellenkezőleg, nem történt meg, amikor ez a B fő feltétele.

Az egyik összetevővel végzett véletlenszerű kísérlet eredménye elemi események. A valószínűség elmélete elmagyarázza, hogy ez olyan jelenség, amely csak egyszer fordult elő.

Alap képletek

Tehát az "esemény", a "valószínűség -elmélet" fogalmait fentebb megvizsgáltuk, e tudomány alapfogalmainak meghatározását is megadtuk. Most itt az ideje, hogy közvetlenül megismerkedjünk fontos képletek... Ezek a kifejezések matematikailag megerősítik az összes fő fogalmat egy olyan összetett témában, mint a valószínűség elmélete. Az esemény valószínűsége itt is óriási szerepet játszik.

Jobb kezdeni a főbbekkel És mielőtt folytatná velük, érdemes megfontolni, hogy mik ezek.

A kombinatorika elsősorban a matematika egyik ága, hatalmas számú egész szám tanulmányozásával foglalkozik, valamint maguknak a számoknak és elemeiknek, különböző adatoknak stb. Különböző permutációival, amelyek számos kombináció megjelenéséhez vezetnek. A valószínűségelmélet mellett ez az iparág fontos a statisztika, az informatika és a kriptográfia szempontjából.

Tehát most folytathatja a képletek bemutatását és azok definícióját.

Az első a permutációk számának kifejezése, így néz ki:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)… 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Az egyenlet csak akkor érvényes, ha az elemek csak az elrendezés sorrendjében különböznek egymástól.

Most megvizsgáljuk az elhelyezés képletét, ez így néz ki:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n -2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ez a kifejezés nemcsak az elem elhelyezésének sorrendjére, hanem összetételére is alkalmazható.

A kombinatorika harmadik, és egyben az utolsó egyenletét a kombinációk számának képletének nevezzük:

C_n ^ m = n! : ((n - m))! : m!

Egy kombinációt neveznek kiválasztásoknak, amelyek nincsenek rendezve, és ez a szabály rájuk vonatkozik.

Könnyűnek bizonyult a kombinatorika képleteinek kitalálása, most mehet a valószínűségek klasszikus meghatározásához. Ez a kifejezés így néz ki:

Ebben a képletben m az A eseménynek kedvező feltételek száma, n pedig az abszolút minden lehetséges és elemi eredmény.

Létezik nagyszámú kifejezéseket, a cikk nem terjed ki mindenre, de a legfontosabbakat érintjük, például az események összegének valószínűségét:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ez a tétel csak következetlen események összeadására szolgál;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - és ez csak kompatibilisek hozzáadására szolgál.

Események bekövetkezésének valószínűsége:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - ez a tétel független eseményekre vonatkozik;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B∣A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A∣B)) - és ez függő.

Az esemény képlet befejezi a listát. A valószínűség elmondja nekünk Bayes tételét, amely így néz ki:

P (H_m∣A) = (P (H_m) P (A∣H_m)): (∑_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A∣H_k)), m = 1, ..., n

Ebben a képletben H 1, H 2, ..., H n a hipotézisek teljes csoportja.

Példák

Ha alaposan tanulmányozza a matematika bármely területét, az nem teljes gyakorlatok és minta megoldások nélkül. Így van ez a valószínűség elméletével is: az események, példák itt egy szerves összetevő, amely megerősíti a tudományos számításokat.

A permutációk számának képlete

Tegyük fel, hogy harminc kártya van egy pakliban, kezdve egy névértékkel. Következő kérdés. Hányféleképpen lehet úgy pakolni, hogy az első és a második címletű kártyák ne legyenek egymás mellett?

A feladat kitűzve, most térjünk rá a megoldására. Először meg kell határoznia a harminc elem permutációinak számát, ehhez a fenti képletet vesszük, kiderül, hogy P_30 = 30!.

E szabály alapján megtudjuk, hány lehetőség van a pakli hajtogatására különböző módokon, de ki kell vonnunk belőlük azokat, amelyekben az első és a második kártya egymás mellett van. Ehhez kezdjük az opcióval, amikor az első a második felett van. Kiderül, hogy az első kártya huszonkilenc helyet foglalhat el-az elsőtől a huszonkilencedikig, a második kártya pedig a másodiktól harmincig, csak pár huszonkilenc helyet. A többi viszont huszonnyolc helyet foglalhat el, és nem különös sorrendben. Vagyis huszonnyolc kártya permutációjára huszonnyolc lehetőség van P_28 = 28!

Ennek eredményeként kiderül, hogy ha megfontoljuk a megoldást, amikor az első kártya a második felett van, felesleges lehetőségeket 29 ⋅ 28 -at kapsz! = 29!

Ugyanezzel a módszerrel kell kiszámítania a redundáns opciók számát arra az esetre, amikor az első kártya a második alatt van. Kiderül még 29 ⋅ 28! = 29!

Ebből következik, hogy van 2 ⋅ 29! Extra lehetőségek, míg szükséges módokat 30 paklit gyűjteni! - 2 ⋅ 29! Már csak számolni kell.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Most meg kell szorozni egymással az összes számot egytől huszonkilencig, majd a végén megszorozni mindent 28-al. A válasz: 2.4757335 ⋅ 〖10〗 ^ 32

Megoldási példa. Az elhelyezés számának képlete

Ebben a feladatban meg kell találnia, hogy hányféle módon lehet tizenöt kötetet egy polcra tenni, de azzal a feltétellel, hogy összesen harminc kötet van.

Ebben a problémában a megoldás valamivel egyszerűbb, mint az előzőnél. Már használva a jól ismert képlet, a helyek teljes számát harminc, tizenöt kötetből kell kiszámítania.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

A válasz 202 843 204 931 727 360 000 lesz.

Most vegyük egy kicsit keményebben a problémát. Ki kell derítenie, hogy hányféleképpen lehet harminc könyvet ketté rendezni könyvespolcok, feltéve, hogy csak tizenöt kötet lehet egy polcon.

A megoldás megkezdése előtt szeretném tisztázni, hogy egyes problémákat többféleképpen oldanak meg, és ebben kétféle lehetőség van, de mindkettőben ugyanazt a képletet alkalmazzák.

Ebben a feladatban a választ az előzőből veheti, mert ott kiszámoltuk, hogy hányszor tölthet fel polcot tizenöt könyv számára különböző módon. Kiderült A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

A második polcot a permutációs képlet segítségével fogjuk kiszámítani, mert tizenöt könyv helyezhető el benne, míg összesen tizenöt. A P_15 = 15 képletet használjuk!

Kiderül, hogy a teljes összeg A_30 ^ 15 ⋅ P_15 módon lesz, de ezen túlmenően a harminc és tizenhat közötti számok szorzatát meg kell szorozni az egytől tizenötig számok szorzatával, ennek eredményeként a termék az összes számot egytől harmincig megkapjuk, vagyis a válasz 30!

De ez a probléma más módon is megoldható - könnyebben. Ehhez elképzelheti, hogy van egy polc harminc könyv számára. Mindegyiket ezen a síkon helyezik el, de mivel a feltétel megköveteli, hogy két polc legyen, egy hosszúat láttunk félbe, így kettő -tizenöt lesz. Ebből kiderül, hogy az elhelyezési lehetőségek lehetnek P_30 = 30!.

Megoldási példa. A kombinációs szám képlete

Most megvizsgáljuk a kombinatorika harmadik problémájának egyik változatát. Meg kell találnia, hogy hány módja van a tizenöt könyv elrendezésének, feltéve, hogy harminc közül pontosan ugyanazt kell választania.

A megoldáshoz természetesen a kombinációk számának képletét kell alkalmazni. A feltételből világossá válik, hogy ugyanazon tizenöt könyv sorrendje nem fontos. Ezért kezdetben meg kell találnia a harminc, tizenöt könyvből álló kombinációk teljes számát.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

Ez minden. Ezt a képletet használva, in legrövidebb idő sikerült megoldani egy ilyen problémát, a válasz 155 117 520.

Megoldási példa. A valószínűség klasszikus meghatározása

A fenti képlet segítségével megtalálhatja a választ egy egyszerű feladatban. De segít vizuálisan látni és nyomon követni a cselekvés menetét.

A feladatban adott, hogy tíz teljesen azonos golyó van az urnában. Ebből négy sárga és hat kék. Egy golyót vesznek le az urnából. Meg kell találnia a kékülés valószínűségét.

A probléma megoldásához meg kell jelölni a kék golyó elérését A esemény alapján. Ennek a tapasztalatnak tíz kimenetele lehet, amelyek viszont elemiek és ugyanolyan lehetségesek. Ugyanakkor tízből hat kedvez az A eseménynek. A képlet alapján döntünk:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Ezt a képletet használva megtudtuk, hogy a kék golyó elérésének képessége 0,6.

Megoldási példa. Az események összegének valószínűsége

Most egy változatot mutatunk be, amelyet az események összegének valószínűségének képletével oldunk meg. Tehát abban az állapotban, ha két doboz van, az első egy szürke és öt fehér golyót, a második nyolc szürke és négy fehér golyót tartalmaz. Ennek eredményeként az egyiket az első és a második dobozból vették. Meg kell találnia, mekkora az esélye annak, hogy a kapott golyók szürke -fehérek lesznek.

A probléma megoldásához szükség van események kijelölésére.

• Tehát, A - kivette a szürke golyót az első dobozból: P (A) = 1/6.
• A '- az első dobozból fehér labdát is vettek: P (A ") = 5/6.
• B - a szürke golyót eltávolították a második dobozból: P (B) = 2/3.
• B '- szürke labdát vett a második dobozból: P (B ") = 1/3.

A probléma állapotától függően szükséges, hogy az egyik jelenség megtörténjen: AB 'vagy AB. A képletet használva kapjuk: P (AB ") = 1/18, P (A" B) = 10/18.

Most a valószínűség szorzásának képletét használtuk. Továbbá a válasz kiderítéséhez alkalmazni kell a hozzáadásuk egyenletét:

P = P (AB " + A" B) = P (AB ") + P (A" B) = 11/18.

Így egy képlet segítségével hasonló problémákat oldhat meg.

Eredmény

A cikk információkat adott a "Valószínűség elmélete" témakörben, amelyben az esemény valószínűsége fontos szerepet játszik. Természetesen nem mindent vettek figyelembe, de a bemutatott szöveg alapján elméletileg megismerkedhet a matematika ezen szakaszával. A szóban forgó tudomány nemcsak a professzionális üzleti életben, hanem a szakmában is hasznos lehet Mindennapi élet... Segítségével kiszámíthatja bármely esemény bármely lehetőségét.

A szöveg is érintett jelentős dátumokat a valószínűségelmélet mint tudomány kialakulásának történetében, és azoknak az embereknek a nevét, akiknek munkáit belefektették. Az emberi kíváncsiság így vezetett oda, hogy az emberek megtanultak még véletlenszerű eseményeket is kiszámítani. Egykor egyszerűen érdekelték őket, de ma már mindenki tud róla. És senki sem fogja megmondani, hogy mi vár ránk a jövőben, milyen további ragyogó felfedezések születnek a vizsgált elmélethez kapcsolódóan. De egy biztos - a kutatás nem áll meg!

Annak érdekében, hogy mennyiségileg össze lehessen hasonlítani az eseményeket lehetőségeik mértéke szerint, nyilvánvalóan szükség van egy bizonyos szám társítására minden eseményhez, ami minél nagyobb, annál valószínűbb az esemény. Ezt a számot hívjuk az esemény valószínűségének. És így, esemény valószínűsége van számszerű mértéke ennek az eseménynek az objektív lehetőségére.

A valószínűség első meghatározását a klasszikusnak kell tekinteni, amely a szerencsejátékok elemzéséből adódott, és kezdetben intuitív módon alkalmazták.

A valószínűség klasszikus meghatározásának módja az ugyanolyan lehetséges és következetlen események koncepcióján alapul, amelyek egy adott tapasztalat kimenetelei, és következetlen események teljes csoportját alkotják.

A legtöbb egyszerű példa egyformán lehetséges és összeegyeztethetetlen események csoportját képezik, amelyek egy vagy másik golyó megjelenése egy urnából, amely több azonos méretű, súlyú és egyéb kézzelfogható tulajdonságú golyót tartalmaz, amelyek csak színben különböznek, és alaposan összekeverik a kivétel előtt.

Ezért egy tárgyalásról, amelynek eredményei összeegyeztethetetlen és ugyanolyan lehetséges események teljes csoportját alkotják, azt mondják, hogy az urnák vagy esetek sémájára vonatkozik, vagy beleillik egy klasszikus rendszerbe.

Az ugyanolyan lehetséges és összeegyeztethetetlen eseményeket, amelyek egy teljes csoportot alkotnak, egyszerűen eseteknek vagy esélyeknek nevezzük. Ezenkívül minden kísérletben az esetekkel együtt bonyolultabb események is előfordulhatnak.

Példa: Ha dobunk egy kockát, az A i - i -es esetekkel együtt a felső szélén, akkor figyelembe vehetjük az olyan eseményeket, mint B - páros számú pont, C - három pont többszörösét. .

A kísérlet végrehajtása során bekövetkező minden esemény vonatkozásában az esetek fel vannak osztva kedvező, amelyben ez az esemény bekövetkezik, és kedvezőtlen, amelyben az esemény nem következik be. Az előző példában a B eseményt előnyben részesítik az A 2, A 4, A 6 esetek; C esemény - A 3, A 6 esetek.

Klasszikus valószínűség egy bizonyos esemény megjelenését az esemény megjelenésének kedvező esetek számának és az egyformán lehetséges, összeegyeztethetetlen, egy adott csoportban teljes csoportot alkotó esetek számának az arányához nevezzük:

ahol P (A)- az A esemény bekövetkezésének valószínűsége; m- az A eseménynek kedvező esetek száma; n- az esetek teljes száma.

Példák:

1) (lásd a fenti példát) P (B)= , P (C) =.

2) Az urnában 9 piros és 6 kék golyó található. Keresse meg annak a valószínűségét, hogy egy vagy két véletlenszerűen kivett golyó piros lesz.

A- a véletlenszerűen kivett labda piros:

m= 9, n= 9 + 6 = 15, P (A)=

B- két piros golyó véletlenszerűen:

Tól től klasszikus definíció a valószínűségek a következő tulajdonságokat jelentik (mutasd meg magad):

1) A lehetetlen esemény valószínűsége 0;

2) Egy bizonyos esemény valószínűsége 1;

3) Bármely esemény valószínűsége 0 és 1 között van;

4) Az A eseménnyel ellentétes esemény valószínűsége,

A valószínűség klasszikus definíciója feltételezi, hogy a próbaeredmények száma véges. A gyakorlatban azonban nagyon gyakran vannak olyan tesztek, amelyek lehetséges eseteinek száma végtelen. Kívül, gyenge oldala a klasszikus meghatározás szerint nagyon sokszor lehetetlen a vizsgálati eredményt elemi események halmaza formájában ábrázolni. Még nehezebb rámutatni azokra az okokra, amelyek miatt a vizsgálat elemi eredményeit ugyanolyan lehetségesnek tartják. Általában a teszt elemi eredményeinek egyenlősége a szimmetria megfontolásából következik. Az ilyen feladatok azonban nagyon ritkák a gyakorlatban. Ezen okok miatt a valószínűség klasszikus meghatározásával együtt a valószínűség más definícióit is használják.

Statisztikai valószínűség A esemény az esemény relatív gyakorisága az elvégzett vizsgálatok során:

hol van az A esemény bekövetkezésének valószínűsége;

Az A esemény előfordulásának relatív gyakorisága;

Azon kísérletek száma, amelyekben A esemény történt;

A kísérletek teljes száma.

A klasszikus valószínűséggel ellentétben a statisztikai valószínűség kísérleti, kísérleti jellemző.

Példa: Egy tételből származó termékek minőségének ellenőrzésére véletlenszerűen 100 terméket választottak ki, amelyek közül 3 terméket találtak hibásnak. Határozza meg a házasság valószínűségét.

.

A valószínűség meghatározásának statisztikai módszere csak azokra az eseményekre alkalmazható, amelyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

A vizsgált eseményeknek csak azon tesztek eredményeinek kell lenniük, amelyek korlátlan számú alkalommal reprodukálhatók azonos feltételek mellett.

Az eseményeknek statisztikailag stabilnak (vagy relatív gyakoriságnak) kell lenniük. Ez azt jelenti, hogy az esemény relatív gyakorisága nem változik jelentősen a különböző tesztsorokban.

Az A eseményt eredményező kísérletek számának elég nagynak kell lennie.

Könnyű ellenőrizni, hogy a valószínűségnek a klasszikus definícióból következő tulajdonságai megmaradnak -e a valószínűség statisztikai meghatározásában is.

valószínűség- 0 -tól 1 -ig terjedő szám, amely egy véletlen esemény bekövetkezésének esélyét tükrözi, ahol a 0 az esemény bekövetkezésének valószínűségének teljes hiánya, és 1 azt jelenti, hogy a kérdéses esemény biztosan bekövetkezik.

Az E esemény valószínűsége egy és 1 közötti szám.
Az egymást kizáró események valószínűségeinek összege 1.

empirikus valószínűség- valószínűség, amelyet a múltbeli események relatív gyakoriságaként számítanak ki, és amelyek a történelmi adatok elemzéséből származnak.

A nagyon ritka események valószínűségét nem lehet empirikusan kiszámítani.

szubjektív valószínűség- az esemény személyes szubjektív értékelésén alapuló valószínűség, történelmi adatoktól függetlenül. Azok a befektetők, akik részvények adásvételéről döntenek, gyakran szubjektív valószínűségek alapján járnak el.

előzetes valószínűség -

Az esély 1 /… (esély) arra, hogy az esemény a valószínűség fogalmán keresztül fog megtörténni. Az esemény bekövetkezésének valószínűségét a valószínűség szerint a következőképpen fejezzük ki: P / (1-P).

Például, ha egy esemény valószínűsége 0,5, akkor egy esemény esélye 1 a 2 -ből. 0,5 / (1-0,5).

Annak az esélyét, hogy az esemény nem következik be, az (1-P) / P képlet segítségével számítják ki

Inkonzisztens valószínűség- például az A vállalat részvényeinek árfolyamában az esetleges E esemény 85% -át veszik figyelembe, a B társaság részvényeinek árában pedig csak az 50% -ot. Ezt nevezzük következetlen valószínűségnek. A holland fogadási tétel szerint az inkonzisztens valószínűségek nyereséglehetőségeket teremtenek.

Feltétlen valószínűség a válasz a "Mi a valószínűsége annak, hogy egy esemény bekövetkezik?"

Feltételes valószínűség- ez a válasz a kérdésre: "Mekkora az A esemény valószínűsége, ha a B esemény megtörtént?" A feltételes valószínűséget P (A | B) jelöli.

Közös valószínűség- annak valószínűsége, hogy az A és a B esemény egyszerre fog bekövetkezni. P (AB) jelöléssel rendelkezik.

P (A | B) = P (AB) / P (B) (1)

P (AB) = P (A | B) * P (B)

A valószínűségek összegzésének szabálya:

Annak a valószínűsége, hogy az A vagy a B esemény megtörténik

P (A vagy B) = P (A) + P (B) - P (AB) (2)

Ha az A és B esemény kizárja egymást, akkor

P (A vagy B) = P (A) + P (B)

Független események- az A és B esemény független, ha

P (A | B) = P (A), P (B | A) = P (B)

Vagyis az eredmények sorozata, ahol a valószínűségi érték egyik eseményről a másikra állandó.
Az érmefeldobás példa erre az eseményre - minden következő dobás eredménye nem függ az előző eredményétől.

Függő események- ezek olyan események, amikor az egyik megjelenésének valószínűsége függ a másik megjelenésének valószínűségétől.

A független események valószínűségének megszorzásának szabálya:
Ha az A és B esemény független, akkor

P (AB) = P (A) * P (B) (3)

A teljes valószínűség szabálya:

P (A) = P (AS) + P (AS ") = P (A | S") P (S) + P (A | S ") P (S") (4)

S és S "- egymást kizáró események

várható érték A véletlen változó a véletlen változó lehetséges kimeneteinek átlaga. Az X esemény esetében a várható értéket E (X) jelöli.

Tegyük fel, hogy 5 egymást kölcsönösen kizáró esemény értéke van bizonyos valószínűséggel (például a vállalat bevétele ilyen és ilyen összegű volt ilyen valószínűséggel). A várható érték az összes eredmény összege lesz szorozva valószínűséggel:

Egy véletlen változó varianciája a véletlen változó négyzeteltérésének átlaga:

s 2 = E (2) (6)

Feltételes várható érték - az X véletlen változó elvárása, feltéve, hogy az S esemény már megtörtént.