Oldjon meg egy lineáris egyenletet. Lineáris egyenletek

Ebben a videóban a teljes készletet nézzük meg. lineáris egyenletek, amelyeket ugyanazzal az algoritmussal oldanak meg – ezért nevezik őket a legegyszerűbbnek.

Először is határozzuk meg: mi az a lineáris egyenlet, és melyiket nevezzük a legegyszerűbbnek?

Lineáris egyenlet az, amelyben csak egy változó van, és csak az első fokon.

A legegyszerűbb egyenlet a konstrukciót jelenti:

Az összes többi lineáris egyenletet a legegyszerűbbre redukáljuk az algoritmus segítségével:

1. Nyitott zárójelek, ha vannak;
2. Helyezze át a változót tartalmazó kifejezéseket az egyenlőségjel egyik oldalára, a változó nélküli kifejezéseket pedig a másik oldalára;
3. Helyezzen hasonló kifejezéseket az egyenlőségjel bal és jobb oldalára;
4. A kapott egyenletet osszuk el a $x$ változó együtthatójával.

Természetesen ez az algoritmus nem mindig segít. A helyzet az, hogy néha mindezen machinációk után a $x$ változó együtthatója nullával egyenlő. Ebben az esetben két lehetőség közül választhat:

1. Az egyenletnek egyáltalán nincs megoldása. Például, amikor valami olyasmit kap, hogy $0\cdot x=8$, azaz a bal oldalon nulla, a jobb oldalon pedig egy nullától eltérő szám. Az alábbi videóban több okot is megvizsgálunk, miért lehetséges ez a helyzet.
2. A megoldás minden szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyenletet a $0\cdot x=0$ konstrukcióra redukáltuk. Teljesen logikus, hogy hiába cseréljük be a $x$-t, akkor is kiderül, hogy „nulla egyenlő nullával”, azaz. helyes számszerű egyenlőség.

És most nézzük meg, hogyan működik mindez a valódi problémák példáján.

Példák egyenletek megoldására

Ma lineáris egyenletekkel foglalkozunk, és csak a legegyszerűbbekkel. Általában a lineáris egyenlet minden olyan egyenlőséget jelent, amely pontosan egy változót tartalmaz, és csak az első fokig megy.

Az ilyen konstrukciókat megközelítőleg ugyanúgy oldják meg:

1. Először is meg kell nyitnia a zárójeleket, ha vannak (mint az utolsó példánkban);
2. Akkor hozzon hasonlót
3. Végül izoláljuk a változót, azaz. minden, ami a változóhoz kapcsolódik - a benne foglalt kifejezések - átkerül az egyik oldalra, és minden, ami nélküle marad, átkerül a másik oldalra.

Ezután általában hasonlót kell hoznia a kapott egyenlőség mindkét oldalán, és ezután már csak el kell osztani az "x" együtthatóval, és megkapjuk a végső választ.

Elméletileg ez szépnek és egyszerűnek tűnik, de a gyakorlatban még a tapasztalt középiskolás diákok is elkövethetnek sértő hibákat a meglehetősen egyszerű lineáris egyenletekben. Általában hibákat követnek el a zárójelek kinyitásakor, vagy a "plusz" és a "mínusz" számolása során.

Emellett előfordul, hogy egy lineáris egyenletnek egyáltalán nincs megoldása, vagy úgy, hogy a megoldás a teljes számegyenes, azaz. bármilyen szám. A mai leckében ezeket a finomságokat elemezzük. De kezdjük, amint azt már megértette, a legtöbbvel egyszerű feladatokat.

Séma egyszerű lineáris egyenletek megoldására

Először hadd írjam le még egyszer a teljes sémát a legegyszerűbb lineáris egyenletek megoldására:

1. Bontsa ki a zárójelet, ha van.
2. Változók elkülönítése, pl. minden, ami "x"-et tartalmaz, átkerül az egyik oldalra, "x" nélkül pedig a másikra.
3. Hasonló kifejezéseket mutatunk be.
4. Mindent elosztunk az "x"-es együtthatóval.

Természetesen ez a séma nem mindig működik, vannak bizonyos finomságai és trükkjei, és most ezeket fogjuk megismerni.

Valós példák megoldása egyszerű lineáris egyenletekre

1. feladat

Első lépésben meg kell nyitnunk a zárójeleket. De ebben a példában nem szerepelnek, ezért kihagyjuk ezt a lépést. A második lépésben el kell különítenünk a változókat. Kérjük, vegye figyelembe: csak egyedi kifejezésekről beszélünk. Írjunk:

Hasonló kifejezéseket adunk meg a bal és a jobb oldalon, de ezt itt már megtették. Ezért folytatjuk a negyedik lépést: ossza el egy tényezővel:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Itt kaptuk a választ.

2. feladat

Ebben a feladatban a zárójeleket figyelhetjük meg, ezért bővítsük ki őket:

A bal és a jobb oldalon is megközelítőleg ugyanazt a konstrukciót látjuk, de járjunk el az algoritmus szerint, pl. Sequester változók:

Íme néhány ilyen:

Milyen gyökereknél működik ez? Válasz: bármilyen. Ezért felírhatjuk, hogy $x$ tetszőleges szám.

3. feladat

A harmadik lineáris egyenlet már érdekesebb:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Itt több zárójel van, de ezek nincsenek szorozva semmivel, csak különböző táblák vannak előttük. Bontsuk fel őket:

Elvégezzük a számunkra már ismert második lépést:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Számoljunk:

Elvégezzük az utolsó lépést - mindent elosztunk az "x" együtthatóval:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Amit emlékezni kell a lineáris egyenletek megoldása során

Ha figyelmen kívül hagyjuk a túl egyszerű feladatokat, akkor a következőket szeretném mondani:

• Ahogy fentebb mondtam, nem minden lineáris egyenletnek van megoldása – néha egyszerűen nincsenek gyökök;
• Ha vannak is gyökerek, nulla bekerülhet közéjük - nincs ezzel semmi baj.

A nulla ugyanaz, mint a többi, nem szabad valahogy megkülönböztetni, vagy azt feltételezni, hogy ha nullát kapsz, akkor valamit rosszul csináltál.

Egy másik jellemző a zárójelek kiterjesztéséhez kapcsolódik. Figyelem: ha mínusz van előttük, eltávolítjuk, de a zárójelben a jeleket módosítjuk szemben. Utána pedig standard algoritmusok szerint nyithatjuk meg: azt kapjuk, amit a fenti számításoknál láttunk.

Ennek az egyszerű ténynek a megértése segít elkerülni az ostoba és bántó hibákat a középiskolában, amikor az ilyen tevékenységeket magától értetődőnek tekintik.

Összetett lineáris egyenletek megoldása

Térjünk át az összetettebb egyenletekre. Mostantól a konstrukciók bonyolultabbá válnak, és a különböző transzformációk végrehajtása során egy másodfokú függvény jelenik meg. Ettől azonban nem kell megijedni, mert ha a szerző szándéka szerint lineáris egyenletet oldunk meg, akkor a transzformáció során minden másodfokú függvényt tartalmazó monom szükségszerűen redukálódik.

1. példa

Nyilvánvalóan az első lépés a zárójelek kinyitása. Tegyük ezt nagyon óvatosan:

Most pedig vegyük a magánéletet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Íme néhány ilyen:

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek nincs megoldása, ezért a válaszban a következőket írjuk:

\[\változat \]

vagy nincs gyökere.

2. példa

Ugyanezeket a lépéseket hajtjuk végre. Első lépés:

Vigyünk mindent változóval balra, anélkül pedig jobbra:

Íme néhány ilyen:

Ennek a lineáris egyenletnek természetesen nincs megoldása, ezért így írjuk:

\[\varnothing\],

vagy nincs gyökere.

A megoldás árnyalatai

Mindkét egyenlet teljesen megoldott. E két kifejezés példáján ismét megbizonyosodtunk arról, hogy a legegyszerűbb lineáris egyenletekben sem lehet minden olyan egyszerű: lehet egy, vagy nincs, vagy végtelenül sok. Esetünkben két egyenletet vettünk figyelembe, mindkettőben egyszerűen nincs gyök.

De egy másik tényre szeretném felhívni a figyelmet: hogyan kell dolgozni a zárójelekkel, és hogyan lehet bővíteni őket, ha mínusz jel van előttük. Fontolja meg ezt a kifejezést:

Kinyitás előtt mindent meg kell szorozni "x-szel". Figyelem: szorozzon minden egyes kifejezést. Belül két kifejezés van - rendre két kifejezés és szorozva.

És csak ezeknek az eleminek tűnő, de nagyon fontos és veszélyes átalakításoknak a befejezése után lehet a zárójelet kinyitni abból a szempontból, hogy mínusz jel van utána. Igen, igen: csak most, az átalakítások végeztével jut eszünkbe, hogy a zárójelek előtt egy mínusz jel van, ami azt jelenti, hogy minden alább csak előjelet vált. Ugyanakkor maguk a konzolok eltűnnek, és ami a legfontosabb, az elülső „mínusz” is eltűnik.

Ugyanezt tesszük a második egyenlettel:

Nem véletlenül figyelek ezekre az apró, jelentéktelennek tűnő tényekre. Mert az egyenletek megoldása mindig elemi átalakítások sorozata, ahol az egyszerű műveletek világos és hozzáértő végrehajtásának képtelensége oda vezet, hogy középiskolások jönnek hozzám, és újra megtanulják megoldani az ilyen egyszerű egyenleteket.

Természetesen eljön a nap, amikor ezeket a készségeket automatizmusra csiszolod. Már nem kell minden alkalommal annyi átalakítást végrehajtania, mindent egy sorba fog írni. De amíg csak tanulsz, minden egyes műveletet külön kell megírnod.

Még bonyolultabb lineáris egyenletek megoldása

Amit most meg fogunk oldani, aligha nevezhetjük a legegyszerűbb feladatnak, de a jelentés ugyanaz marad.

1. feladat

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Szorozzuk meg az első részben szereplő összes elemet:

Csináljunk elvonulást:

Íme néhány ilyen:

Tegyük meg az utolsó lépést:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Íme a végső válaszunk. És annak ellenére, hogy a megoldás során voltak másodfokú függvényű együtthatók, ezek azonban kölcsönösen kioltották egymást, ami az egyenletet pontosan lineárissá teszi, nem négyzetessé.

2. feladat

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Tegyük meg óvatosan az első lépést: szorozzuk meg az első zárójelben lévő minden elemet a második minden elemével. Összesen négy új kifejezést kell beszerezni az átalakítások után:

És most óvatosan hajtsa végre a szorzást minden egyes tagban:

Vigyük át az „x”-szel jelzett kifejezéseket balra, a nélkül pedig jobbra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Itt vannak hasonló kifejezések:

Határozott választ kaptunk.

A megoldás árnyalatai

A legfontosabb megjegyzés ezzel a két egyenlettel kapcsolatban a következő: amint elkezdjük szorozni azokat a zárójeleket, amelyekben van egy nála nagyobb tag, akkor ez a következőképpen történik: következő szabály: vesszük az első tagot az elsőből, és szorozunk minden elemmel a másodikból; akkor vesszük a második elemet az elsőből és hasonlóképpen szorozzuk meg a másodikból minden elemmel. Ennek eredményeként négy kifejezést kapunk.

Az algebrai összegről

Az utolsó példával szeretném emlékeztetni a tanulókat, hogy mi az algebrai összeg. A klasszikus matematikában 1-7 dollár alatt értjük egyszerű kialakítás: Vonjunk ki hetet egyből. Az algebrában ez alatt a következőket értjük: az "egy" számhoz hozzáadunk egy másik számot, nevezetesen a "mínusz hét". Ez az algebrai összeg eltér a szokásos számtani összegtől.

Amint az összes transzformáció, minden összeadás és szorzás végrehajtásakor a fent leírtakhoz hasonló konstrukciókat kezd látni, egyszerűen nem lesz problémája az algebrával, amikor polinomokkal és egyenletekkel dolgozik.

Végezetül nézzünk meg még néhány példát, amelyek még az imént látottaknál is összetettebbek lesznek, és ezek megoldásához kissé ki kell bővítenünk a szokásos algoritmusunkat.

Egyenletek megoldása törttel

Az ilyen feladatok megoldásához még egy lépést kell hozzáadni az algoritmusunkhoz. De először emlékeztetem az algoritmusunkat:

1. Nyissa ki a zárójeleket.
2. Külön változók.
3. Hozz hasonlót.
4. Oszd el egy tényezővel.

Sajnos ez a csodálatos algoritmus minden hatékonysága ellenére nem teljesen megfelelő, ha törtek vannak előttünk. És amit alább látni fogunk, mindkét egyenletben van egy tört a bal és a jobb oldalon.

Hogyan kell dolgozni ebben az esetben? Igen, ez nagyon egyszerű! Ehhez hozzá kell adni egy további lépést az algoritmushoz, amelyet mind az első művelet előtt, mind utána végre lehet hajtani, nevezetesen, hogy megszabaduljon a törtektől. Így az algoritmus a következő lesz:

1. Megszabadulni a törtektől.
2. Nyissa ki a zárójeleket.
3. Külön változók.
4. Hozz hasonlót.
5. Oszd el egy tényezővel.

Mit jelent "megszabadulni a törtektől"? És miért lehetséges ezt az első standard lépés után és előtt is megtenni? Valójában esetünkben minden tört numerikus a nevező szempontjából, azaz. mindenhol a nevező csak egy szám. Ezért, ha az egyenlet mindkét részét megszorozzuk ezzel a számmal, akkor megszabadulunk a törtektől.

1. példa

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Megszabadulunk a törtektől ebben az egyenletben:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \jobbra)\cdot négy\]

Figyelem: mindent egyszer megszoroznak „néggyel”, azaz. csak azért, mert két zárójeled van, nem jelenti azt, hogy mindegyiket meg kell szorozni "néggyel". Írjunk:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Most nyissuk meg:

Elvégezzük egy változó elkülönítését:

Hasonló kifejezések redukcióját végezzük:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Megkaptuk a végső megoldást, áttérünk a második egyenletre.

2. példa

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Itt ugyanazokat a műveleteket hajtjuk végre:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Probléma megoldódott.

Valójában ez minden, amit ma el akartam mondani.

Főbb pontok

A legfontosabb megállapítások a következők:

• Ismerje a lineáris egyenletek megoldási algoritmusát.
• A zárójelek kinyitásának képessége.
• Ne aggódj, ha van valahol másodfokú függvények, nagy valószínűséggel a további átalakítások során csökkenni fognak.
• A lineáris egyenletek gyökei, még a legegyszerűbbek is, háromféleek: egyetlen gyök, az egész számegyenlet gyök, nincs gyök.

Remélem, ez a lecke segít egy egyszerű, de nagyon fontos téma elsajátításában az összes matematika további megértéséhez. Ha valami nem világos, menjen az oldalra, oldja meg az ott bemutatott példákat. Maradj velünk, még sok érdekesség vár rád!

Ebben a leckében egy lineáris egyenletrendszer megoldási módszereit vizsgáljuk meg. A felsőbb matematika során lineáris egyenletrendszereket kell megoldani mind különálló feladatok formájában, mint például "Oldja meg a rendszert Cramer-képletekkel", mind más feladatok megoldása során. A magasabb matematika szinte minden ágában foglalkozni kell lineáris egyenletrendszerekkel.

Először is egy kis elmélet. Mit jelent ebben az esetben a „lineáris” matematikai szó? Ez azt jelenti, hogy a rendszer egyenleteiben összes változók szerepelnek első fokon: semmi olyan divatos cucc stb., amelyektől csak a matematikai olimpiák résztvevői örülnek.

A felsőbb matematikában nemcsak a gyermekkorból ismert betűket használjuk a változók jelölésére.
Egy meglehetősen népszerű lehetőség a változók indexekkel: .
Vagy a latin ábécé kezdőbetűi, kicsik és nagyok:
Nem is olyan ritka a görög betűk: - sokak számára jól ismert "alfa, béta, gamma". És egy készlet indexekkel, mondjuk "mu" betűvel:

Egyik vagy másik betűkészlet használata a magasabb matematika azon ágától függ, amelyben lineáris egyenletrendszerrel állunk szemben. Így például az integrálok megoldása során előforduló lineáris egyenletrendszerekben, differenciál egyenletek hagyományosan használt jelölés

De akárhogyan is jelöljük a változókat, a lineáris egyenletrendszer megoldásának elvei, módszerei és módszerei ettől nem változnak. Így, ha valami szörnyű dologgal találkozik, ne rohanjon félve becsukni a problémakönyvet, elvégre ehelyett rajzolhatja a napot, helyette - egy madarat, és helyette - egy (tanári) arcot. És furcsa módon egy lineáris egyenletrendszer is megoldható ezekkel a jelölésekkel.

Valami olyan előérzetem van, hogy a cikk elég hosszú lesz, szóval egy kis tartalomjegyzék. Tehát a szekvenciális "lekérdezés" a következő lesz:

– Lineáris egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel („iskola módszer”);
– A rendszer megoldása a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadásával (kivonásával);
– A rendszer megoldása Cramer-képletekkel;
– A rendszer megoldása inverz mátrix segítségével;
– A rendszer Gauss-módszeres megoldása.

Az iskolai matematika tantárgyból mindenki ismeri a lineáris egyenletrendszereket. Valójában az ismétléssel kezdjük.

Lineáris egyenletrendszer megoldása helyettesítési módszerrel

Ezt a módszert „iskolamódszernek” vagy az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerének is nevezhetjük. Képletesen szólva "félkész Gauss-módszernek" is nevezhető.

1. példa

Itt van egy két egyenletrendszer két ismeretlennel. Vegye figyelembe, hogy a szabad tagok (5-ös és 7-es számok) az egyenlet bal oldalán találhatók. Általánosságban elmondható, hogy mindegy, hogy hol vannak, a bal vagy a jobb oldalon, csak a felsőbb matematikai feladatokban gyakran így helyezkednek el. És egy ilyen rekord nem lehet zavaró, ha szükséges, a rendszer mindig "szokás szerint" írható:. Ne felejtse el, hogy amikor egy kifejezést részről részre visz át, meg kell változtatnia annak előjelét.

Mit jelent lineáris egyenletrendszer megoldása? Egy egyenletrendszer megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk a megoldásai halmazát. A rendszer megoldása a benne szereplő összes változó értékkészlete, ami a rendszer MINDEN egyenletét valódi egyenlőséggé változtatja. Ezen kívül a rendszer lehet összeegyeztethetetlen (nincs megoldás).Ne légy szégyenlős, ez van általános meghatározás=) Csak egy "x" és egy "y" értékünk lesz, amelyek kielégítik a mi egyenleteket.

A rendszer megoldására létezik egy grafikus módszer, amely a leckében található. A legegyszerűbb problémák egyenes vonallal. Ott beszéltem geometriai érzék két lineáris egyenletrendszer két ismeretlennel. De most az udvaron az algebra, és a számok-számok, cselekvések-cselekmények korszaka.

Mi döntünk: az első egyenletből ezt fejezzük ki:
A kapott kifejezést behelyettesítjük a második egyenletbe:

Megnyitjuk a zárójeleket, hasonló kifejezéseket adunk, és megtaláljuk az értéket:

Ezután felidézzük, miből táncoltak:
Már ismerjük az értéket, még meg kell találni:

Válasz:

Miután BÁRMELY egyenletrendszert BÁRMILYEN módon megoldottunk, erősen javaslom az ellenőrzést (szóban, vázlaton vagy számológépen). Szerencsére ez gyorsan és egyszerűen megtörténik.

1) Helyettesítsd be az első egyenletben talált választ:

- a megfelelő egyenlőség létrejön.

2) A talált választ behelyettesítjük a második egyenletbe:

- a megfelelő egyenlőség létrejön.

Vagy egyszerűbben fogalmazva: "minden összejött"

A vizsgált megoldási mód nem az egyetlen, az első egyenletből ki lehetett fejezni , de nem.
Fordítva is lehet - kifejezni valamit a második egyenletből, és behelyettesíteni az első egyenletbe. Egyébként vegye figyelembe, hogy a négy módszer közül a leghátrányosabb a második egyenletből történő kifejezés:

Törteket kapunk, de miért? Van racionálisabb megoldás is.

Néhány esetben azonban a törtek még mindig nélkülözhetetlenek. Ezzel kapcsolatban felhívom a figyelmet arra, HOGYAN írtam a kifejezést. Nem így: és semmiképpen sem így: .

Ha a felsőbb matematikában törtszámokkal van dolgod, akkor próbálj meg minden számítást közönséges helytelen törtekben elvégezni.

Pontosan nem vagy!

A vessző csak alkalmanként használható, különösen akkor, ha - ez a végső válasz valamilyen problémára, és ezzel a számmal nem kell további műveleteket végrehajtani.

Bizonyára sok olvasó azt gondolta: „miért van ez? részletes magyarázat, mint egy korrekciós osztálynál, és így minden világos. Semmi ilyesmi, olyan egyszerű iskolapéldának tűnik, de mennyi NAGYON fontos következtetés! Itt van még egy:

Minden feladatot törekedni kell a legracionálisabb módon végrehajtani.. Már csak azért is, mert időt és idegeket takarít meg, és csökkenti a hibázás valószínűségét is.

Ha egy felsőbb matematikai feladatban két lineáris egyenletből álló rendszerrel találkozik két ismeretlennel, akkor mindig használhatja a helyettesítési módszert (hacsak nincs jelezve, hogy a rendszert más módszerrel kell megoldani) ".
Sőt, bizonyos esetekben célszerű a helyettesítési módszert használni nagyobb számú változóval.

2. példa

Oldjon meg három ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert!

Hasonló egyenletrendszer gyakran felmerül az úgynevezett határozatlan együtthatók módszerének alkalmazásakor, amikor egy racionális törtfüggvény integrálját találjuk meg. A kérdéses rendszert én onnan vettem.

Amikor megtalálja az integrált - a célt gyors találja meg az együtthatók értékeit, és ne legyen bonyolult a Cramer-képletekkel, az inverz mátrix módszerrel stb. Ezért ebben az esetben a helyettesítési módszer megfelelő.

Bármilyen egyenletrendszer megadásakor mindenekelőtt kívánatos kideríteni, de lehetséges-e valahogy AZONNAL egyszerűsíteni? A rendszer egyenleteit elemezve észrevesszük, hogy a rendszer második egyenlete osztható 2-vel, amit meg is teszünk:

Referencia: a matematikai szimbólum azt jelenti, hogy "ebből ez következik", gyakran használják a feladatok megoldása során.

Most elemezzük az egyenleteket, a többien keresztül ki kell fejeznünk valamilyen változót. Melyik egyenletet válasszam? Valószínűleg már sejtette, hogy erre a célra a legegyszerűbb módja a rendszer első egyenletének felvétele:

Itt nem mindegy, hogy melyik változót fejezzük ki, ugyanúgy kifejezhetjük vagy .

Ezután behelyettesítjük a kifejezést a rendszer második és harmadik egyenletébe:

Nyissa meg a zárójeleket, és adjon hozzá hasonló kifejezéseket:

A harmadik egyenletet elosztjuk 2-vel:

A második egyenletből kifejezzük és behelyettesítjük a harmadik egyenletbe:

Szinte minden készen van, a harmadik egyenletből ezt találjuk:
A második egyenletből:
Az első egyenletből:

Ellenőrzés: Helyettesítse be a változók talált értékeit a rendszer minden egyenlete bal oldalán:

1)
2)
3)

Az egyenletek megfelelő jobb oldalait megkapjuk, így a megoldás helyesen található.

3. példa

Oldjon meg egy lineáris egyenletrendszert 4 ismeretlennel!

Ez egy példa erre független megoldás(válasz a lecke végén).

A rendszer megoldása a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadásával (kivonásával).

A lineáris egyenletrendszerek megoldása során nem az „iskolamódszert” kell alkalmazni, hanem a rendszer egyenleteinek tagonkénti összeadását (kivonását). Miért? Ez időt takarít meg és leegyszerűsíti a számításokat, de most már világosabb lesz.

4. példa

Oldja meg a lineáris egyenletrendszert:

Ugyanazt a rendszert vettem, mint az első példában.
Az egyenletrendszert elemezve azt látjuk, hogy a változó együtthatói abszolút értékben azonosak, előjelben pedig ellentétesek (–1 és 1). Ebben a helyzetben az egyenleteket tagonként hozzáadhatjuk:

A pirossal bekarikázott cselekvéseket MENTÁLISAN hajtják végre.
Amint látja, a termwise összeadás eredményeként elvesztettük a változót. Ez valójában így van a módszer lényege az egyik változótól való megszabadulás.

Egyenletek. Más szóval, minden egyenlet megoldása ezekkel a transzformációkkal kezdődik. Lineáris egyenletek megoldásánál azonos transzformációkra (megoldás) és a végső válasszal végződik.

Nem nulla együttható esete ismeretlen változóra.

ax+b=0, a ≠ 0

Az x-szel rendelkező tagokat az egyik oldalra, a számokat a másik oldalra visszük át. Ügyeljen arra, hogy amikor a kifejezéseket az egyenlet ellenkező oldalára viszi át, meg kell változtatnia az előjelet:

ax:(a)=-b:(a)

Csökkentjük a nál nél xés kapjuk:

x=-b:(a)

Ez a válasz. Ha ellenőrizni szeretné, hogy van-e szám -b:(a) egyenletünk gyökere, akkor helyette a kezdeti egyenletben kell helyettesítenünk x ez ugyanaz a szám:

a(-b:(a))+b=0 ( azok. 0=0)

Mert akkor ez az egyenlőség igaz -b:(a)és az igazság az egyenlet gyökere.

Válasz: x=-b:(a), a ≠ 0.

Első példa:

5x+2=7x-6

Áthelyezzük az egyik oldalra a feltételeket x, és a szám másik oldalán:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Ismeretlen együtthatóval csökkentették, és megkapták a választ:

Ez a válasz. Ha ellenőrizni kell, hogy a 4-es szám valóban az egyenletünk gyökere, akkor az eredeti egyenletben ezt a számot helyettesítjük x helyett:

5*4+2=7*4-6 ( azok. 22=22)

Mert ez az egyenlőség igaz, akkor 4 az egyenlet gyöke.

Második példa:

Oldja meg az egyenletet:

5x+14=x-49

Az ismeretleneket és a számokat különböző irányokba áthelyezve a következőket kaptuk:

Az egyenlet részeit elosztjuk az at együtthatóval x(4-én), és kap:

Harmadik példa:

Oldja meg az egyenletet:

Először is megszabadulunk az irracionalitástól az ismeretlen együtthatójában, ha az összes tagot megszorozzuk:

Ez a forma egyszerűsítettnek tekinthető, mert a számnak a nevezőben van a szám gyökere. Le kell egyszerűsítenünk a választ úgy, hogy a számlálót és a nevezőt megszorozzuk ugyanazzal a számmal, ez van:

A megoldások nélküli eset.

Oldja meg az egyenletet:

2x+3=2x+7

Mindenkinek x az egyenletünk nem lesz valódi egyenlőség. Vagyis az egyenletünknek nincs gyökere.

Válasz: Nincsenek megoldások.

Speciális eset a végtelen számú megoldás.

Oldja meg az egyenletet:

2x+3=2x+3

Az x-eket és a számokat különböző irányokba áthelyezve és hasonló kifejezéseket hozva a következő egyenletet kapjuk:

Itt sem lehet mindkét részt 0-val osztani, mert ez tiltott. Helyreállítása azonban x tetszőleges szám, megkapjuk a helyes egyenlőséget. Vagyis minden szám egy ilyen egyenlet megoldása. Így végtelen számú megoldás létezik.

Válasz: végtelen számú megoldás.

Két teljes forma egyenlőségének esete.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Válasz: x=(d-b):(a-c), ha d≠b és a≠c, egyébként végtelen sok megoldás létezik, de ha a=c, a d≠b, akkor nincsenek megoldások.

Az egyenletrendszereket széles körben használják a gazdasági iparban a matematikai modellezésben különféle folyamatok. Például termelésirányítási és tervezési, logisztikai útvonalak (szállítási probléma) vagy berendezések elhelyezési problémáinak megoldásakor.

Az egyenletrendszereket nemcsak a matematika, hanem a fizika, a kémia és a biológia területén is alkalmazzák a populáció méretének meghatározásával kapcsolatos problémák megoldása során.

A lineáris egyenletrendszer két vagy több többváltozós egyenlet kifejezése, amelyekre közös megoldást kell találni. Olyan számsorozat, amelyre minden egyenlet valódi egyenlőséggé válik, vagy azt bizonyítja, hogy a sorozat nem létezik.

Lineáris egyenlet

Az ax+by=c alakú egyenleteket lineárisnak nevezzük. Az x, y jelölések az ismeretlenek, amelyek értékét meg kell találni, b, a a változók együtthatói, c az egyenlet szabad tagja.
Az egyenlet megoldása a grafikonjának ábrázolásával egy egyenesnek fog kinézni, amelynek minden pontja a polinom megoldása.

Lineáris egyenletrendszerek típusai

A legegyszerűbbek a két X és Y változós lineáris egyenletrendszerek példái.

F1(x, y) = 0 és F2(x, y) = 0, ahol F1,2 függvények és (x, y) függvényváltozók.

Egyenletrendszer megoldása - azt jelenti, hogy meg kell találni azokat az értékeket (x, y), amelyekre a rendszer valódi egyenlőséggé válik, vagy annak megállapítását, hogy nincs megfelelő x és y értéke.

A pontkoordinátákként felírt értékpárt (x, y) egy lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük.

Ha a rendszereknek egy közös megoldása van, vagy nincs megoldás, akkor ekvivalensnek nevezzük őket.

A homogén lineáris egyenletrendszerek olyan rendszerek, amelyek jobb oldala nullával egyenlő. Ha az "egyenlőség" jel utáni jobb oldali résznek van értéke, vagy függvény fejezi ki, akkor egy ilyen rendszer nem homogén.

A változók száma jóval több lehet kettőnél, akkor egy három vagy több változós lineáris egyenletrendszer példájáról kell beszélnünk.

A rendszerekkel szembesülve az iskolások azt feltételezik, hogy az egyenletek számának szükségszerűen egybe kell esnie az ismeretlenek számával, de ez nem így van. A rendszerben lévő egyenletek száma nem függ a változóktól, tetszőlegesen sok lehet belőlük.

Egyszerű és összetett módszerek egyenletrendszerek megoldására

Az ilyen rendszerek megoldására nincs általános analitikus módszer, minden módszer numerikus megoldásokon alapul. A matematika iskolai kurzus részletesen leírja az olyan módszereket, mint a permutáció, az algebrai összeadás, a helyettesítés, valamint a grafikus és mátrixos módszer, a Gauss-módszer szerinti megoldás.

A megoldási módszerek tanításának fő feladata a rendszer helyes elemzésének megtanítása és az optimális megoldási algoritmus megtalálása minden egyes példához. A lényeg nem az, hogy megjegyezzük az egyes módszerek szabályrendszerét és cselekvéseit, hanem megértsük egy adott módszer alkalmazásának alapelveit.

Az általános nevelési iskolai program 7. osztályának lineáris egyenletrendszereinek példáinak megoldása meglehetősen egyszerű, és nagyon részletesen el van magyarázva. Bármely matematikai tankönyvben erre a részre kellő figyelmet fordítanak. A lineáris egyenletrendszerek példáinak Gauss és Cramer módszerével történő megoldását a felsőoktatási intézmények első kurzusai részletesebben tanulmányozzák.

Rendszerek megoldása helyettesítési módszerrel

A helyettesítési módszer műveletei arra irányulnak, hogy az egyik változó értékét a másodikon keresztül fejezzük ki. A kifejezést behelyettesítjük a fennmaradó egyenletbe, majd egyetlen változós alakra redukáljuk. A művelet megismétlődik a rendszerben lévő ismeretlenek számától függően

Adjunk példát egy 7. osztályú lineáris egyenletrendszerre helyettesítési módszerrel:

Amint a példából látható, az x változót az F(X) = 7 + Y függvényen keresztül fejeztük ki. Az eredményül kapott kifejezés, amelyet a rendszer 2. egyenletébe X helyett behelyettesítettünk, segített egy Y változót kapni a 2. egyenletben. . Ennek a példának a megoldása nem okoz nehézséget és lehetővé teszi az Y érték megszerzését Az utolsó lépés a kapott értékek ellenőrzése.

Egy lineáris egyenletrendszer példáját nem mindig lehet helyettesítéssel megoldani. Az egyenletek bonyolultak lehetnek, és a változó kifejezése a második ismeretlennel túl nehézkes lesz a további számításokhoz. Ha több mint 3 ismeretlen van a rendszerben, a helyettesítési megoldás sem praktikus.

Lineáris inhomogén egyenletrendszer példájának megoldása:

Megoldás algebrai összeadással

Amikor az összeadás módszerével megoldást keresünk a rendszerekre, akkor az egyenletek tagonkénti összeadását és szorzását különböző számokkal hajtják végre. A matematikai műveletek végső célja egy változós egyenlet.

E módszer alkalmazása gyakorlást és megfigyelést igényel. Nem könnyű egy lineáris egyenletrendszert az összeadás módszerével megoldani, ha a változók száma 3 vagy több. Az algebrai összeadás akkor hasznos, ha az egyenletek törteket és decimális számokat tartalmaznak.

Megoldás műveleti algoritmusa:

1. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát valamilyen számmal. Az aritmetikai művelet eredményeként a változó egyik együtthatójának 1-gyel kell egyenlővé válnia.
2. Adja hozzá a kapott kifejezést kifejezésenként, és keresse meg az egyik ismeretlent.
3. Helyettesítse be a kapott értéket a rendszer 2. egyenletébe, és keresse meg a fennmaradó változót.

Megoldási módszer egy új változó bevezetésével

Új változót akkor lehet bevezetni, ha a rendszernek legfeljebb két egyenletre kell megoldást találnia, az ismeretlenek száma szintén nem lehet több kettőnél.

A módszer az egyik egyenlet egyszerűsítésére szolgál egy új változó bevezetésével. Az új egyenletet a beírt ismeretlenre vonatkozóan oldjuk meg, és a kapott értékkel határozzuk meg az eredeti változót.

A példából látható, hogy egy új t változó bevezetésével a rendszer 1. egyenletét le lehetett redukálni egy standard négyzetes trinomikusra. Egy polinomot a diszkrimináns megtalálásával oldhat meg.

Meg kell találni a diszkrimináns értékét az által jól ismert képlet: D = b2 - 4*a*c, ahol D a kívánt diszkrimináns, b, a, c a polinom szorzói. Az adott példában a=1, b=16, c=39, tehát D=100. Ha a diszkrimináns nagyobb nullánál, akkor két megoldás létezik: t = -b±√D / 2*a, ha a diszkrimináns nullánál kisebb, akkor csak egy megoldás van: x= -b / 2*a.

A kapott rendszerekre a megoldást az összeadás módszerével találjuk meg.

Vizuális módszer rendszerek megoldására

Alkalmas 3 egyenletet tartalmazó rendszerekhez. A módszer arra épül koordináta tengely a rendszerben szereplő egyes egyenletek grafikonjai. A görbék és lesz a metszéspontjainak koordinátái közös megoldás rendszerek.

A grafikus módszernek számos árnyalata van. Vegyünk néhány példát a lineáris egyenletrendszerek vizuális megoldására.

Amint a példából látható, minden sorhoz két pontot állítottunk össze, az x változó értékeit tetszőlegesen választottuk ki: 0 és 3. Az x értékei alapján y értéket találtunk: 3 és 0. A (0, 3) és (3, 0) koordinátájú pontokat a grafikonon megjelöltük és egy vonallal összekötöttük.

A lépéseket meg kell ismételni a második egyenletnél. Az egyenesek metszéspontja a rendszer megoldása.

A következő példában meg kell találni a lineáris egyenletrendszer grafikus megoldását: 0,5x-y+2=0 és 0,5x-y-1=0.

Ahogy a példából is látszik, a rendszernek nincs megoldása, mert a gráfok párhuzamosak és nem metszik egymást teljes hosszukban.

A 2. és 3. példában szereplő rendszerek hasonlóak, de megalkotásukkor nyilvánvalóvá válik, hogy megoldásaik eltérőek. Emlékeztetni kell arra, hogy nem mindig lehet megmondani, hogy a rendszernek van-e megoldása vagy sem, mindig szükség van egy gráf felépítésére.

Mátrix és fajtái

A mátrixok egy lineáris egyenletrendszer rövid leírására szolgálnak. A mátrix egy speciális típusú táblázat, amely számokkal van kitöltve. Az n*m-nek n - sora és m - oszlopa van.

A mátrix négyzet alakú, ha az oszlopok és sorok száma egyenlő. A mátrixvektor egy egyoszlopos mátrix, amelynek végtelen számú sora van. Mátrix egységekkel az egyik átló mentén és mások nulla elem egyes számnak nevezik.

Az inverz mátrix olyan mátrix, amellyel megszorozva az eredeti egységgé alakul, ilyen mátrix csak az eredeti négyzetre létezik.

Egyenletrendszer mátrixmá alakításának szabályai

Az egyenletrendszerek esetében az egyenletek együtthatóit és szabad tagjait a mátrix számaiként írjuk fel, egy egyenlet a mátrix egy sora.

Egy mátrixsort nem nullának nevezünk, ha a sor legalább egy eleme nem egyenlő nullával. Ezért, ha bármelyik egyenletben a változók száma eltér, akkor a hiányzó ismeretlen helyére nullát kell beírni.

A mátrix oszlopainak szigorúan meg kell felelniük a változóknak. Ez azt jelenti, hogy az x változó együtthatói csak egy oszlopba írhatók, például az első, az ismeretlen y együtthatója - csak a másodikba.

Egy mátrix szorzásakor az összes mátrixelemet egymás után megszorozzuk egy számmal.

Az inverz mátrix megtalálásának lehetőségei

Az inverz mátrix megtalálásának képlete meglehetősen egyszerű: K -1 = 1 / |K|, ahol K -1 az inverz mátrix és |K| - mátrix meghatározó. |K| nem lehet egyenlő nullával, akkor a rendszernek van megoldása.

A determináns könnyen kiszámítható egy kétszeres mátrixra, csak az elemeket átlósan kell megszorozni egymással. A "háromszor három" opcióhoz létezik egy képlet |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Használhatja a képletet, vagy ne feledje, hogy minden sorból és minden oszlopból ki kell venni egy elemet, hogy az elemek oszlop- és sorszámai ne ismétlődjenek a szorzatban.

Lineáris egyenletrendszerek példáinak megoldása mátrix módszerrel

A megoldáskeresés mátrixos módszere lehetővé teszi a nehézkes bejegyzések csökkentését nagyszámú változót és egyenletet tartalmazó rendszerek megoldása során.

A példában a nm az egyenletek együtthatói, a mátrix egy vektor, x n a változók, és b n a szabad tagok.

Rendszerek megoldása Gauss-módszerrel

A felsőbb matematikában a Gauss-módszert a Cramer-módszerrel együtt tanulmányozzák, a rendszerek megoldásának folyamatát pedig Gauss-Cramer-féle megoldási módszernek nevezik. Ezekkel a módszerekkel nagyszámú lineáris egyenletet tartalmazó rendszerek változóit kereshetjük meg.

A Gauss-módszer nagyon hasonlít a helyettesítéseket alkalmazó megoldásokhoz és algebrai összeadás hanem szisztematikusabb. Az iskolai kurzusban a Gauss-féle megoldást használják 3 és 4 egyenletrendszerekre. A módszer célja, hogy a rendszert fordított trapéz alakúra hozza. Algebrai transzformációkkal és behelyettesítésekkel egy változó értékét megtaláljuk a rendszer egyik egyenletében. A második egyenlet egy kifejezés 2 ismeretlennel, és 3 és 4 - 3, illetve 4 változóval.

Miután a rendszert a leírt formába hozzuk, a további megoldás az ismert változók szekvenciális behelyettesítésére redukálódik a rendszer egyenleteiben.

A 7. osztályos iskolai tankönyvekben a Gauss-féle megoldás példáját a következőképpen írják le:

Amint a példából látható, a (3) lépésben két egyenletet kaptunk: 3x 3 -2x 4 =11 és 3x 3 +2x 4 =7. Bármelyik egyenlet megoldása lehetővé teszi az x n változók egyikének kiderítését.

A szövegben említett 5. tétel kimondja, hogy ha a rendszer egyik egyenletét egy ekvivalensre cseréljük, akkor a kapott rendszer is ekvivalens lesz az eredetivel.

A Gauss-módszer nehezen érthető a középiskolások számára, de ez az egyik leginkább érdekes módokon a matematika és fizika osztályok emelt szintű képzési programjába beiratkozott gyerekek találékonyságának fejlesztésére.

A rögzítési számítások megkönnyítése érdekében a következőket szokás tenni:

Az egyenletegyütthatókat és a szabad tagokat mátrix formájában írjuk fel, ahol a mátrix minden sora megfelel a rendszer valamelyik egyenletének. elválasztja az egyenlet bal oldalát a jobb oldaltól. A római számok a rendszer egyenletek számát jelölik.

Először felírják a mátrixot, amellyel dolgozni kell, majd az egyik sorral végrehajtott összes műveletet. A kapott mátrixot a „nyíl” jel után írjuk, és folytassa a szükséges algebrai műveletek végrehajtását az eredmény eléréséig.

Ennek eredményeként olyan mátrixot kell kapni, amelyben az egyik átló 1, és az összes többi együttható nulla, vagyis a mátrix egyetlen formára redukálódik. Nem szabad megfeledkeznünk az egyenlet mindkét oldalának számozásáról sem.

Ez a jelölés kevésbé körülményes, és lehetővé teszi, hogy ne terelje el a figyelmét számos ismeretlen felsorolása.

Bármilyen megoldási mód ingyenes alkalmazása körültekintést és bizonyos tapasztalatot igényel. Nem minden módszert alkalmaznak. A megoldások megtalálásának bizonyos módjai előnyösebbek az emberi tevékenység egy adott területén, míg mások tanulási céllal léteznek.

Az egyenletek megoldásának elsajátítása az egyik fő feladat, amelyet az algebra a tanulók elé állít. Kezdve a legegyszerűbbtől, amikor egy ismeretlenből áll, és haladva az egyre összetettebbek felé. Ha nem sajátította el az első csoport egyenleteivel végrehajtandó műveleteket, akkor nehéz lesz másokkal bánni.

A beszélgetés folytatásához meg kell állapodnunk a jelölésben.

Az ismeretlennel rendelkező lineáris egyenlet általános formája és megoldási elve

Bármely egyenlet, amely így írható fel:

a * x = in,

hívott lineáris. azt általános képlet. De gyakran a feladatokban a lineáris egyenleteket implicit formában írják fel. Ezután azonos transzformációkat kell végrehajtani ahhoz, hogy általánosan elfogadott jelölést kapjunk. Ezek a tevékenységek a következők:

• nyitó zárójelek;
• minden kifejezést áthelyezve változó az egyenlőség bal oldalára, a többi pedig jobbra;
• hasonló kifejezések csökkentése.

Abban az esetben, ha egy ismeretlen érték egy tört nevezőjében van, meg kell határozni az értékeit, amelyeknél a kifejezésnek nincs értelme. Más szóval, tudnia kell az egyenlet tartományát.

Az összes lineáris egyenlet megoldásának elve az, hogy az egyenlet jobb oldalán lévő értéket elosztjuk a változó előtti együtthatóval. Vagyis "x" egyenlő lesz / a-val.

A lineáris egyenlet sajátos esetei és megoldásaik

Az érvelés során előfordulhatnak olyan pillanatok, amikor a lineáris egyenletek valamelyik speciális formát öltik fel. Mindegyiknek van sajátos megoldása.

Az első helyzetben:

a * x = 0, és a ≠ 0.

Ennek az egyenletnek a megoldása mindig x = 0 lesz.

A második esetben "a" nullával egyenlő értéket vesz fel:

0 * x = 0.

A válasz erre az egyenletre tetszőleges szám. Vagyis végtelen számú gyökere van.

A harmadik helyzet így néz ki:

0*x=in, ahol ≠ 0.

Ennek az egyenletnek nincs értelme. Mert nincsenek olyan gyökerek, amelyek kielégítenék őt.

Kétváltozós lineáris egyenlet általános alakja

A nevéből kiderül, hogy már két ismeretlen mennyiség van benne. Lineáris egyenletek két változóvalígy néz ki:

a * x + b * y = c.

Mivel két ismeretlen van a bejegyzésben, a válasz egy számpárnak fog kinézni. Vagyis nem elég csak egy értéket megadni. Ez egy hiányos válasz lesz. Az a mennyiségpár, amelynél az egyenlet azonossággá válik, az egyenlet megoldása. Sőt, a válaszban mindig azt a változót írjuk először, amelyik az ábécében először van. Néha azt mondják, hogy ezek a számok kielégítik őt. Sőt, végtelen számú ilyen pár lehet.

Hogyan lehet megoldani egy lineáris egyenletet két ismeretlennel?

Ehhez csak fel kell vennie bármely olyan számpárt, amelyik helyesnek bizonyul. Az egyszerűség kedvéért vegyük az egyik ismeretlen prímszámot, majd keressük meg a másodikat.

Megoldáskor gyakran kell műveleteket végrehajtani az egyenlet egyszerűsítésére. Ezeket azonos transzformációknak nevezzük. Ezenkívül a következő tulajdonságok mindig igazak az egyenletekre:

• minden tag átvihető az egyenlőség ellentétes részébe, ha előjelét az ellenkezőjére cseréljük;
• bármely egyenlet bal és jobb oldalát el lehet osztani ugyanazzal a számmal, ha az nem egyenlő nullával.

Példák feladatokra lineáris egyenletekkel

Első feladat. Oldja meg a lineáris egyenleteket: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

A listában az első helyen szereplő egyenletben elegendő egyszerűen elosztani 20-at 4-gyel. Az eredmény 5 lesz. Ez a válasz: x \u003d 5.

A harmadik egyenlet megköveteli az azonosság transzformáció végrehajtását. Ez a zárójelek nyitásából és hasonló kifejezések beviteléből áll. Az első művelet után az egyenlet a következőképpen alakul: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Ezután az összes ismeretlent át kell vinnie az egyenlőség bal oldalára, a többit pedig jobbra. Az egyenlet így fog kinézni: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Hasonló kifejezések behozatala után: 14x \u003d 16. Most ugyanúgy néz ki, mint az első, és a megoldása egyszerű. A válasz x=8/7. De a matematikában az egész részt el kell különíteni egy helytelen törttől. Ezután az eredményt transzformáljuk, és "x" egyenlő lesz egy egészgel és egy heteddel.

A többi példában a változók a nevezőben vannak. Ez azt jelenti, hogy először meg kell találnia, hogy az egyenletek milyen értékekre vannak meghatározva. Ehhez ki kell zárni azokat a számokat, amelyeknél a nevezők nullára fordulnak. Az első példában "-4", a másodikban "-3". Vagyis ezeket az értékeket ki kell zárni a válaszból. Ezt követően meg kell szoroznia az egyenlőség mindkét oldalát a nevezőben lévő kifejezésekkel.

A zárójeleket kinyitva és hasonló tagokat hozva, az első egyenletből kiderül: 5x + 15 = 4x + 16, a másodikban pedig 5x + 15 = 4x + 12. Transzformációk után az első egyenlet megoldása x lesz. = -1. A második "-3"-nak bizonyul, ami azt jelenti, hogy az utolsónak nincs megoldása.

Második feladat. Oldja meg az egyenletet: -7x + 2y = 5.

Tegyük fel, hogy az első ismeretlen x \u003d 1, majd az egyenlet a következő formában lesz: -7 * 1 + 2y \u003d 5. Ha a "-7" szorzót az egyenlőség jobb oldalára visszük, és az előjelét pluszra változtatjuk, akkor fordul. ki, hogy 2y \u003d 12. Tehát y =6. Válasz: az x = 1, y = 6 egyenlet egyik megoldása.

Az egyenlőtlenség általános formája egy változóval

Összes lehetséges helyzeteket az egyenlőtlenségeket itt mutatjuk be:

• a * x > b;
• fejsze< в;
• a*x ≥v;
• a * x ≤c.

Általában úgy néz ki, mint a legegyszerűbb lineáris egyenlet, csak az egyenlőségjelet helyettesíti egy egyenlőtlenség.

Az egyenlőtlenség azonos transzformációinak szabályai

Csakúgy, mint a lineáris egyenletek, az egyenlőtlenségek bizonyos törvények szerint módosíthatók. Erre jönnek le:

1. bármely szó szerinti vagy numerikus kifejezés hozzáadható az egyenlőtlenség bal és jobb oldalához, és az egyenlőtlenség jele változatlan marad;
2. szorozni vagy osztani is lehet ugyanennyivel pozitív szám, ettől megint nem változik az előjel;
3. amikor szorozunk vagy osztunk ugyanazzal negatív szám az egyenlőség igaz marad, feltéve, hogy az egyenlőtlenség jelét megfordítják.

A kettős egyenlőtlenségek általános formája

A feladatokban az egyenlőtlenségek alábbi változatai mutathatók be:

• ban ben< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• ban ben< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Azért hívják kettősnek, mert mindkét oldalon egyenlőtlenségi jelek korlátozzák. Megoldása ugyanazokkal a szabályokkal történik, mint a szokásos egyenlőtlenségek. A válasz megtalálása pedig egy sor azonos átalakuláson múlik. Amíg a legegyszerűbbet meg nem kapjuk.

A kettős egyenlőtlenségek megoldásának jellemzői

Ezek közül az első a képe a koordinátatengelyen. Nem szükséges ezt a módszert alkalmazni egyszerű egyenlőtlenségek esetén. De nehéz esetek csak szükség lehet rá.

Az egyenlőtlenség ábrázolásához meg kell jelölni a tengelyen az összes pontot, amelyet az érvelés során kaptunk. Ezek mind érvénytelen értékek, amelyeket pontok jelölnek, és értékek a transzformációk után kapott egyenlőtlenségekből. Itt is fontos a pontok helyes megrajzolása. Ha szigorú az egyenlőtlenség, akkor< или >, akkor ezek az értékek kilyukadnak. A nem szigorú egyenlőtlenségekben a pontokat át kell festeni.

Ekkor meg kell jelölni az egyenlőtlenségek jelentését. Ez megtehető sraffozással vagy ívekkel. A metszéspontjuk jelzi a választ.

A második funkció a rögzítéshez kapcsolódik. Itt két lehetőség kínálkozik. Az első a végső egyenlőtlenség. A második rések formájában. Itt kerül bajba. A hézagokban a válasz mindig úgy néz ki, mint egy változó tulajdonosi jellel és zárójelben számokkal. Néha több hézag van, akkor a zárójelek közé kell írni az „és” szimbólumot. Ezek a jelek így néznek ki: ∈ és ∩. A távtartó zárójelek is szerepet játszanak. A kereket akkor helyezzük el, ha a pontot kizárjuk a válaszból, a téglalap pedig ezt az értéket tartalmazza. A végtelen jele mindig zárójelben van.

Példák az egyenlőtlenségek megoldására

1. Oldja meg a 7 - 5x ≥ 37 egyenlőtlenséget.

Egyszerű transzformációk után kiderül: -5x ≥ 30. „-5”-tel osztva a következő kifejezést kaphatjuk: x ≤ -6. Ez már válasz, de másképp is felírható: x ∈ (-∞; -6].

2. Oldja meg a -4 kettős egyenlőtlenséget!< 2x + 6 ≤ 8.

Először mindenhol ki kell vonni a 6-ot.. Kiderül: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].