Lineárisan független vektorok. A vektorrendszer lineáris függése és lineáris függetlensége

Határozzuk meg (valós vagy komplex) vektorrendszert

Definíció szerint az (1) rendszer lineárisan független a vektoregyenlőségtől

ahol,, ..., számok (illetve valós vagy összetett), ebből az következik

Az (1) vektorok rendszerét lineárisan függőnek nevezzük, ha léteznek olyan,, ..., számok, amelyek nem egyenlők egyidejűleg nullával, és amelyekre a (2) egyenlőség érvényes. Ha a határozottság kedvéért ezt feltételezzük, akkor a (2)-ből az következik

Így, ha egy vektorrendszer lineárisan függő, akkor az egyik, ahogy mondani szokás, a többi lineáris kombinációja, vagy ahogy mondják, a többitől függ.

Mivel mindig lineáris függőségről fogunk beszélni, a lineáris kifejezést néha elhagyjuk. Függő vagy független vektorrendszereket is fogunk mondani a függő vagy független vektorrendszerek helyett.

Egy vektor is alkot egy rendszert - lineárisan független, ha, és függő, ha.

Ha egy vektorrendszer lineárisan független, akkor ennek a rendszernek bármely része még inkább lineárisan független. Ellenkező esetben lenne egy nem triviális számrendszer, ..., amelyre

de akkor a szintén nem triviális ...,, rendszer esetében a következő történne

Az elmondottakból következik, hogy ha a vektorok rendszere lineárisan függő, akkor bármely kiterjesztett rendszer

ugyanazzal a tulajdonsággal rendelkezik. Konkrétan egy nulla vektort tartalmazó vektorrendszer mindig lineárisan függő.

Állítsuk össze az (1) rendszer vektorai által meghatározott mátrixot:

Tétel 1. Ha a rang, i.e. rang egyenlő a vektorok számával, akkor az (1) rendszer lineárisan független.

Ha a rang, akkor az (1) rendszer lineárisan függő.

1. példa: Két vektor a valós térben lineárisan független rendszert alkot, ha a determináns

mert a vektoregyenlet

ekvivalens két egyenlettel a megfelelő komponensekre

De ha, akkor az (5) rendszernek van egy egyedi triviális megoldása

Ha tehát az (5) egyenleteket valamilyen nemtriviális rendszer teljesíti, pl. at, a vektorok rendszere lineárisan függő.

Nyilvánvalóan ugyanaz, ha azt mondjuk, hogy a valós térben a vektorok kollineárisak vagy lineárisan függőek. De az is mindegy, ha azt mondjuk, hogy a vektorok nem kollineárisak vagy nem lineárisan függetlenek.

2. példa A,, ...., vektorok rendszere a valós térben mindig lineárisan függ. Geometriailag ez jól látszik az ábrán. 33: ha egy tetszőleges vektor és nem kollineáris vektorok, akkor mindig megadhat olyan számokat, hogy

Ez azt mutatja, hogy a rendszer lineárisan függ. Ha és kollineáris vektorok, akkor lineárisan függőek. Ráadásul lineárisan függőek,,.

Az 1. tétel szerint egy vektorpár vizsgálatához mátrixot kell írnunk a koordinátáikból

Ebben az esetben .

a) Ha rang, akkor a tétel kimondja, hogy a vektorok lineárisan függenek.

b) Ha a rang, akkor a vektorok lineárisan függetlenek.

Ez egybeesik a fenti következtetésekkel, mert az a) és b) esetekben.

Azt a tényt, hogy három tetszőleges vektor,,, lineárisan függ, szintén a tétel biztosítja - elvégre a rang

3. példa Háromdimenziós valós térben két vektor

akkor és csak akkor lineárisan függenek, ha kollineárisak.

Valóban, legyenek kollineárisak. Ha ezen vektorok egyike nulla, akkor lineárisan függenek. Ha mindkettő kollineáris és nem nulla, akkor

hol van valami szám. Ez utóbbi azt jelenti, hogy lineárisan függenek.

Ezzel szemben, ha lineárisan függőek, akkor például az egyik függ a másiktól

azok. a vektorok kollineárisak.

Ha ebben az esetben a mátrixot vesszük figyelembe

akkor a mátrix sorainak elemei arányosak, és ezért

azok. állításunk összhangban van az 1. tétellel.

4. példa Tekintsünk most három vektort:

Vektor egyenlet

a három egyenletrendszer ekvivalens

Ha, akkor a (7") rendszernek egyedi triviális megoldása van, de akkor a (7) egyenletnek is van egyedi triviális megoldása, és a,,, vektorrendszer lineárisan független.

Ha, akkor a (7 ") rendszernek, tehát a (7) egyenletnek van egy nemtriviális megoldása (). De akkor a (,,) vektorrendszer lineárisan függ. Itt azonban meg lehet különböztetni a részleteket:

1) Legyen a rang, hol

Ekkor legalább az egyik sornak, a határozottság kedvéért az elsőnek van legalább egy nullától eltérő eleme. Tekintsük a mátrixot

1-es rangú, tehát az általa generált összes másodrendű determináns nulla

De akkor nyilvánvalóan a és a vektorok összetevői arányosak.

Hasonlóképpen, figyelembe véve, hogy a mátrixban

is minden másodrendű determináns egyenlő nullával, azt kapjuk

hol van valami szám. Ebben az esetben tehát a,, vektorok kollineárisak.

2) Most hagyjuk a rangot. Ekkor a mátrix két sorából álló mátrixok egyikének rangja 2. Legyen a határozottság kedvéért mátrix (lásd (8)). A 3. példa alapján a és vektorok lineárisan függetlenek. De a rendszer,, függő, azaz a számok valamilyen nemtriviális hármasától ()

Itt azért, mert más lenne, és a rendszer függetlensége miatt. De akkor a (9) egyenlőség feloldható a következők tekintetében:

Így ha, és a rang (lásd (8)), akkor a és vektorok nem kollineárisak, és a vektor, ezeknek a vektoroknak a síkjához tartozik. a talált számok szerint (lásd (11) ) és tetszőleges számok... A 2) §4 (rendszerek megoldási szabályai) állítása alapján a számok kielégítik a (2" rendszer többi egyenletét), azaz a számok (nem mindegyik egyenlő nullával) kielégítik a rendszer többi egyenletét. 2").

Így a vektorok lineárisan függőek, és a tétel ebben az esetben is bizonyítást nyer.

Térjünk rá a lineáris terek tulajdonságainak leírására. Mindenekelőtt ezek közé tartozik az elemei közötti kapcsolat.

Lineáris kombináció elemeket a valós számok mezője felett R elemnek nevezik

Meghatározás. Egy elemhalmazt lineárisan függetlennek nevezünk, ha az egyenlőségtől

ebből szükségszerűen következik,. Nyilvánvaló, hogy az elemek bármely része lineárisan független. Ha legalább az egyik, akkor a halmazt lineárisan függőnek nevezzük.

PéldaIII.6. Legyen adott egy vektorhalmaz. Ha például az egyik vektor, akkor egy ilyen vektorrendszer lineárisan függő. Valóban, legyen lineárisan független a ,, ... ,,, ... halmaz, akkor az egyenlőségből az következik, hogy.

Ha ehhez a halmazhoz hozzáadjuk a vektor szorzatát, akkor még mindig megvan az egyenlőség

Következésképpen a vektorok halmaza, valamint minden más, nulla elemet tartalmazó elem mindig lineárisan függ ▼.

Megjegyzés. Ha a vektorok halmaza üres, akkor lineárisan független. Valóban, ha nincsenek indexek, akkor lehetetlen a megfelelő nullától eltérő számokat kiválasztani úgy, hogy a (III.2) forma összege 0 legyen. A lineáris függetlenség ilyen értelmezése bizonyítéknak tekinthető, különösen mivel egy ilyen eredmény jól egyezik a 11 elmélettel.

A fentiekkel kapcsolatban a lineáris függetlenség definíciója a következőképpen fogalmazható meg: az elemhalmaz akkor lineárisan független, és nincs index, amelyre. Különösen ez a készlet lehet üres.

PéldaIII.7. Bármely két csúszóvektor lineárisan függ. Emlékezzünk vissza, hogy a csúszó vektorok olyan vektorok, amelyek egy egyenesen fekszenek. Ha egységvektort veszünk, akkor bármilyen más vektort kaphatunk, ha megszorozzuk a megfelelő valós számmal, vagyis vagy. Ezért az egydimenziós térben már bármely két vektor lineárisan függ.

PéldaIII.8. Tekintsük a polinomok terét, ahol ,,,. Írjuk fel

Feltéve, hogy ,,, azonos módon kapjuk t

vagyis a halmaz lineárisan függő. Vegyük észre, hogy a forma bármely véges halmaza lineárisan független. A bizonyításhoz vegyük az esetet, majd az egyenlőségből

lineáris függésének feltételezése esetén az következne, hogy nem létezik minden nullával egyenlő szám  1 ,  2 ,  3, ami ugyanúgy igaz bármely (III.3)-ra, de ez ellentmond az algebra főtételének: bármely polinom n-a fokozat nem több, mint n igazi gyökerek. Esetünkben ennek az egyenletnek csak két gyöke van, és nem ezek végtelen halmaza. Ellentmondásunk van.

§ 2. Lineáris kombinációk. Alapok

Legyen . Mondjuk, hogy van lineáris kombináció elemeket.

TételIII.1 (fő). A nem nulla elemek halmaza akkor és csak akkor lineárisan függ, ha valamelyik elem az előző elemek lineáris kombinációja.

Bizonyíték. Szükség... Tegyük fel, hogy a ,, ..., elemek lineárisan függőek, és legyen az első természetes szám, amelyre a ,, ..., elemek lineárisan függenek, akkor

ha nem mindegyik egyenlő nullával, és kötelező (különben ez az együttható lenne, ami ellentmondana a deklaráltnak). Ezért van lineáris kombináció

Megfelelőség nyilvánvaló, mivel minden lineárisan függő halmazt tartalmazó halmaz maga is lineárisan függő ▼.

Meghatározás. A lineáris tér alapja (koordinátarendszere). L készletnek nevezték A lineárisan független elemek úgy, hogy minden elem a L-ból származó elemek lineáris kombinációja A, 11.

Véges dimenziós lineáris tereket fogunk figyelembe venni,.

PéldaIII.9. Tekintsünk egy háromdimenziós vektorteret. Vegyük a ,, egységvektorokat. Alapot képeznek a.

Mutassuk meg, hogy a vektorok lineárisan függetlenek. Valóban, megvan

vagy . Ezért a vektor számmal való szorzásának és a vektorok összeadásának szabályai szerint (III.2. példa) azt kapjuk, hogy

Ezért ,, ▼.

Legyen a tér tetszőleges vektora, majd a lineáris tér axiómáiból kiindulva megkapjuk

Hasonló érvelés érvényes a bázissal rendelkező térre,. A főtételből következik, hogy tetszőleges véges dimenziós lineáris térben L bármely elem ábrázolható az alapelemeinek lineáris kombinációjaként ,, ... ,, azaz

Ráadásul az ilyen bomlás egyedülálló. Valóban, hagyjuk

majd kivonás után azt kapjuk

Ezért az elemek függetlensége miatt,

Azaz ▼.

TételIII.2 (az alap kiegészítéséről). Legyen egy véges dimenziós lineáris tér, és legyen lineárisan független elemek halmaza. Ha nem képeznek bázist, akkor lehet olyan ,, ... elemeket találni, amelyekben egy elemhalmaz bázist képez. Azaz minden lineárisan független elemhalmaz lineáris tér kiegészíthető az alappal.

Bizonyíték... Mivel a tér véges dimenziós, van egy alapja, amely például abból áll n elemek, legyenek elemek. Vegye figyelembe sok elemet.

Alkalmazzuk a főtételt. Az elemek sorrendjében vegyük figyelembe a halmazt A... Nyilvánvalóan lineárisan függ, hiszen bármelyik elem lineáris kombináció ,,. Mivel a ,, ..., elemek lineárisan függetlenek, akkor egymás után adjunk hozzá elemeket, amíg meg nem jelenik az első elem, például úgy, hogy ez a halmaz előző vektorainak lineáris kombinációja legyen, azaz. Ennek az elemnek a kidobása a készletből A, kapunk. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg ez a készlet tartalmazza n lineárisan független elemek, amelyek között minden elem ,, ..., és n-m az elemektől. A kapott halmaz lesz a ▼ alapja.

PéldaIII.10. Bizonyítsuk be, hogy a , és vektorok lineárisan függő halmazt alkotnak, és bármelyik három lineárisan független.

Mutassuk meg, hogy nincs minden nulla szám, amelyre

Valóban, nekünk megvan

A lineáris összefüggés bizonyított. Mutassuk meg, hogy egy vektorhármas, például ,,, képez bázist. Állítsuk össze az egyenlőséget

A vektorokkal végrehajtott műveleteket kapjuk

Az utolsó egyenlőség jobb és bal oldalán a megfelelő koordinátákat kiegyenlítve megkapjuk a ,, egyenletrendszert, ezt megoldva kapjuk.

Hasonló érvelés érvényes a ,, vagy ,, vektorok fennmaradó hármasaira is.

TételIII.3 (a tér dimenziójáról). Egy véges dimenziós lineáris tér összes bázisa L ugyanannyi alapelemből állnak.

Bizonyíték... Legyen adott két halmaz, ahol;,. Mindegyikhez rendelünk egyet a két alapot meghatározó tulajdonság közül: 1) a halmaz elemein keresztül A bármely elemből L, 2) a halmaz elemei B lineárisan független halmazt képviselnek, de nem feltétlenül mindegyiket L... Feltételezzük, hogy az elemek Aés B elrendelte.

Vegye figyelembe a készletet Aés elemeire alkalmazni m alkalommal a módszert a főtételből. Mivel elemeket B lineárisan függetlenek, akkor az előzőhöz hasonlóan egy lineárisan függő halmazt kapunk

Valóban, ha így lenne, akkor egy lineárisan független halmazt kapnánk, és a maradékot n a készlet elemei B lineárisan fejeződne ki rajtuk keresztül, ami tehát lehetetlen. De ez sem lehet, hiszen a (III.4) halmaznak konstrukciója szerint halmazalap tulajdonsága van A... A tér óta L véges-dimenziós, akkor csak a tér két különböző alapja marad meg L ugyanannyi ▼ elemből állnak.

Következmény. Bármilyen n-dimenziós lineáris tér (), végtelen sok bázist találhat.

Bizonyíték a lineáris (vektor) tér elemeinek számmal való szorzásának szabályából következik.

Meghatározás. A lineáris tér mérete L az alapját alkotó elemek számát nevezzük.

A definícióból következik, hogy az üres elemhalmaz - egy triviális lineáris tér - 0 dimenziójú, ami, mint meg kell jegyezni, igazolja a lineáris függés terminológiáját, és lehetővé teszi, hogy kijelenthessük: n- a dimenziós térnek dimenziója van n, .

Így az elmondottakat összegezve azt találjuk, hogy minden halmaz a n+1 elem n-dimenziós lineáris tér lineárisan függő; sok n egy lineáris tér elemei akkor és csak akkor képeznek bázist, ha lineárisan függetlenek (vagy a tér minden eleme az alapja elemeinek lineáris kombinációja); bármely lineáris térben a bázisok száma végtelen.

PéldaIII.11 (a Kronecker - Capelli tétel).

Legyen egy lineáris algebrai egyenletrendszerünk

ahol A - rendszeregyüttható-mátrix,  rendszeregyütthatók kiterjesztett mátrixa

Hol, (III.6)

ez a jelölés egyenértékű a (III.5) egyenletrendszerrel.

TételIII.4 (Kronecker - Capelli). A lineáris algebrai egyenletrendszer (III.5) akkor és csak akkor konzisztens, ha az A mátrix rangja megegyezik a mátrix rangjával, azaz.

Bizonyíték.Szükség... Legyen a (III.5) rendszer konzisztens, akkor van megoldása: ,,. Figyelembe véve (III.6), de ebben az esetben a ,,… , vektorok lineáris kombinációjáról van szó. Ezért a ,,, ... vektorok halmazán keresztül bármely vektor innen. Ez azt jelenti.

Megfelelőség... Legyen . Válasszunk tetszőleges bázist a ,, ... , közül, akkor lineárisan fejeződik ki a bázison keresztül (lehet az összes vektor vagy annak egy része), és így az összes , vektoron keresztül. Ez azt jelenti, hogy az egyenletrendszer konzisztens ▼.

Fontolgat n-dimenziós lineáris tér L... Minden vektor egy lineáris kombinációval ábrázolható, ahol a halmaz bázisvektorokból áll. Írjuk át a lineáris kombinációt a formába, és hozzunk létre egy-egy megfeleltetést az elemek és koordinátáik között

Ez azt jelenti, hogy között n-dimenziós lineáris vektortér vektorok felett n-valós számok dimenziós mezője egy-egy megfeleltetést hozott létre.

Meghatározás. Két lineáris tér ugyanazon skalármező felett izomorf ha elemeik között egy-egy megfeleltetés állapítható meg f, szóval

vagyis az izomorfizmuson minden lineáris összefüggést megőrző egy-egy megfeleltetést értünk. Nyilvánvaló, hogy az izomorf terek mérete megegyezik.

Az izomorfizmus példájából és definíciójából az következik, hogy a linearitási problémák vizsgálata szempontjából az izomorf terek azonosak, ezért formálisan ahelyettn-dimenziós lineáris térLmező felett csak a területet tanulmányozhatja.

1. definíció... A vektorok lineáris kombinációja ezeknek a vektoroknak a skalárokkal képzett szorzatának összege:

2. definíció... Egy vektorrendszert lineárisan függő rendszernek nevezünk, ha a (2.8) lineáris kombinációjuk eltűnik:

sőt a számok között van legalább egy nullától eltérő.

3. definíció... A vektorokat lineárisan függetlennek nevezzük, ha lineáris kombinációjuk (2.8) csak akkor tűnik el, ha minden szám.

Ezekből a meghatározásokból a következő következtetések vonhatók le.

Következmény 1... Egy lineárisan függő vektorrendszerben legalább egy vektor kifejezhető a többiek lineáris kombinációjaként.

Bizonyíték... Legyen (2.9) teljesül, és a határozottság kedvéért legyen az együttható. Akkor nálunk van: Vegyük észre, hogy fordítva is igaz.

Következmény 2. Ha egy vektorrendszer nulla vektort tartalmaz, akkor ez a rendszer (feltétlenül) lineárisan függ - a bizonyíték nyilvánvaló.

Következmény 3... Ha között n vektorok bármilyen k() vektorok lineárisan függőek, akkor minden n vektorok lineárisan függőek (hagyjuk ki a bizonyítást).

2 0 ... Két, három és négy vektor lineáris kombinációi... Tekintsük a vektorok lineáris függésének és függetlenségének kérdéseit egyenesen, síkon és térben. Mutassuk be a megfelelő tételeket.

1. tétel... Ahhoz, hogy két vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy kollineárisak legyenek.

Szükség... Legyenek a vektorok lineárisan függőek. Ez azt jelenti, hogy lineáris kombinációjuk = 0 és (a határozottság kedvéért). Ez egyenlőséget jelent, és (egy vektor számmal való szorzásának meghatározása szerint) a vektorok kollineárisak.

Megfelelőség... Legyenek a vektorok kollineárisak (║) (feltételezzük, hogy különböznek a nulla vektortól; különben lineáris függőségük nyilvánvaló).

A (2.7) tétel szerint (lásd §2.1, 2 0. tétel), akkor úgy, hogy vagy - egy lineáris kombináció nullával egyenlő, és az együttható 1 - a vektorok lineárisan függenek.

Ebből a tételből a következő következmény következik.

Következmény... Ha a vektorok nem kollineárisak, akkor lineárisan függetlenek.

2. tétel... Ahhoz, hogy három vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy egy síkban legyenek.

Szükség... Legyen vektorok, vagy lineárisan függő. Mutassuk meg, hogy egy síkban vannak.

A vektorok lineáris függésének definíciója magában foglalja a számok létezését úgy, hogy egy lineáris kombináció, és egyben (a határozottság érdekében). Ekkor ebből az egyenlőségből kifejezhetjük a vektort: ​​=, azaz a vektor egyenlő az ezen egyenlőség jobb oldalán lévő vektorokra épített paralelogramma átlójával (2.6. ábra). Ez azt jelenti, hogy a vektorok ugyanabban a síkban vannak.

Megfelelőség... Legyenek a vektorok, és legyenek egysíkúak. Mutassuk meg, hogy ezek lineárisan függenek.

Bármely vektorpár kollinearitása kizárt (mert akkor ez a pár lineárisan függ, és a 3. következmény szerint (lásd 10. fejezet) mindhárom vektor lineárisan függ). Megjegyzendő, hogy ez a feltételezés azt is kizárja, hogy a három jelzett vektor között létezik egy nulla vektor.

Vigyünk át három koplanáris vektort egy síkra, és hozzuk őket közös origóba. Rajzoljon egyenes vonalakat a vektor végén, párhuzamosan a vektorokkal; vektorokat kapunk (2.7. ábra) - létezésüket az biztosítja, hogy a vektorok feltételezés szerint nem kollineáris vektorok. Ebből következik, hogy a vektor = +. Ezt az egyenlőséget (–1) ++ = 0 alakba átírva arra a következtetésre jutunk, hogy a vektorok lineárisan függőek.

A bizonyított tételből két következmény következik.

Következmény 1... Ne legyenek kollineáris vektorok, a vektor egy tetszőleges vektor, amely a vektor által meghatározott síkban fekszik. Aztán léteznek olyan számok

Következmény 2... Ha a vektorok nem egysíkúak, akkor lineárisan függetlenek.

3. tétel... Bármely négy vektor lineárisan függ.

Kihagyjuk a bizonyítást; némi változtatással lemásolja a 2. tétel bizonyítását. Mutassunk be egy következményt ennek a tételnek.

Következmény... Minden nem egysíkú vektorhoz , és minden olyan vektorhoz, amelyre

Megjegyzés... A (háromdimenziós) térben lévő vektorok esetében a lineáris függés és függetlenség fogalma, amint az a fenti 1-3. tételekből következik, egyszerű geometriai jelentéssel bír.

Legyen két lineárisan függő vektor és. Ebben az esetben az egyik a második lineáris kombinációja, vagyis egyszerűen numerikus tényezővel (például) különbözik tőle. Geometriailag ez azt jelenti, hogy mindkét vektor egy közös egyenesen van; irányuk lehet azonos vagy ellentétes (2.8 xx ábra).

Ha két vektor egymáshoz képest szöget zár be (2.9. ábra xx), akkor ebben az esetben az egyiket nem kaphatjuk meg úgy, hogy a másikat megszorozzuk egy számmal - az ilyen vektorok lineárisan függetlenek. Következésképpen a két vektor lineáris függetlensége azt jelenti, hogy ezek a vektorok nem rakhatók egy egyenesre.

Tisztázzuk a három vektor lineáris függésének és függetlenségének geometriai jelentését.

Legyenek vektorok, vagy lineárisan függőek, és legyen (a határozottság kedvéért) a vektor vektorok lineáris kombinációja, azaz vektorokat tartalmazó síkban helyezkedik el. Ez azt jelenti, hogy a vektorok ugyanabban a síkban vannak. Ez fordítva is igaz: ha a vektorok egy síkban fekszenek, akkor lineárisan függenek.

Így a vektorok akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha nem fekszenek ugyanabban a síkban.

3 0 ... Alapkoncepció... A lineáris és vektoralgebra egyik legfontosabb fogalma a bázis fogalma. Vezessünk be definíciókat.

1. definíció... Egy vektorpárt rendezettnek nevezünk, ha meg van adva, hogy ennek a párnak melyik vektorát tekintjük elsőnek és melyik a másodiknak.

2. definíció. A nem kollineáris vektorok rendezett párját bázisnak nevezzük az adott vektorok által meghatározott síkon.

1. tétel... A síkon bármely vektor ábrázolható a vektorok alaprendszerének lineáris kombinációjaként:

és ez a nézet egyedülálló.

Bizonyíték... A vektorok képezzenek alapot. Ekkor bármely vektor ábrázolható így.

Az egyediség bizonyítására feltételezzük, hogy van még egy dekompozíció. Ekkor = 0, és a különbségek legalább egyike nem nulla. Ez utóbbi azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függőek, azaz kollineárisak; ez ellentmond annak az állításának, hogy ezek képezik alapot.

De akkor - a bomlás egyedülálló.

3. definíció... A vektorhármast rendezettnek nevezzük, ha megjelöljük, hogy melyik vektor tekinthető elsőnek, melyik a második és melyik a harmadik.

4. definíció... A nem egysíkú vektorok rendezett hármasát térbeli bázisnak nevezzük.

A dekompozíció és az egyediség tétele itt is érvényes.

2. tétel... Bármely vektor ábrázolható az alapvektorrendszer lineáris kombinációjaként ,,:

és ez az ábrázolás egyedi (a tétel bizonyítását elhagyjuk).

A (2.12) és (2.13) kiterjesztésekben a mennyiségeket egy vektor adott bázison belüli koordinátáinak (pontosabban affin koordinátáinak) nevezzük.

Fix alappal és lehet írni.

Például, ha egy bázis adott, és ami adott, akkor ez azt jelenti, hogy van reprezentáció (dekompozíció).

4 0 ... Lineáris műveletek vektorokon koordináta formában... A bázis bevezetése lehetővé teszi, hogy a vektorokon végzett lineáris műveleteket lecseréljék a számokra - ezeknek a vektoroknak a koordinátáira - végzett szokásos lineáris műveletekre.

Adjunk némi alapot. Nyilvánvaló, hogy egy vektor koordinátáinak ezen az alapon történő beállítása teljesen meghatározza magát a vektort. A következő mondatok játszódnak:

a) két vektor akkor és csak akkor egyenlő, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek:

b) ha egy vektort megszorozunk egy számmal, a koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal:

c) vektorok összeadásakor a megfelelő koordináták hozzáadódnak:

Ezeknek a tulajdonságoknak a bizonyítását mellőzzük; b) tulajdonságot bizonyítsuk csak például. Nekünk van

Megjegyzés... A térben (síkon) végtelen számú bázis választható.

Adjunk példát az egyik bázisból a másikba való átmenetre, állapítsuk meg a vektor koordinátái közötti kapcsolatot a különböző bázisokban.

1. példa... Az alaprendszerben három vektor adott:, és. A , bázisban a vektornak van egy dekompozíciója. Keresse meg a vektor koordinátáit a bázisban!

Megoldás... Bővítéseink vannak: ,,; ezért = + 2 + = =, azaz a bázisban.

2. példa... Adjunk meg valamilyen bázisban négy vektort a koordinátáival: ,, és.

Állapítsa meg, hogy a vektorok alkotnak-e bázist; ha a válasz igen, keresse meg a vektor dekompozícióját ebben a bázisban.

Megoldás... 1) vektorok képeznek bázist, ha lineárisan függetlenek. Állítsuk össze a () vektorok lineáris kombinációját, és nézzük meg, hogy melyik ionnál tűnik el: = 0. Nekünk van:

A koordináta alakú vektorok egyenlőségének meghatározásával a következő (lineáris homogén algebrai) egyenletrendszert kapjuk: ;;, melynek determinánsa = 1, vagyis a rendszernek (csak) triviális megoldása van. Ez azt jelenti, hogy a vektorok lineárisan függetlenek, és ezért bázist képeznek.

2) bontsa ki a vektort ezen az alapon. Van: = vagy koordináta formában.

A vektorok koordinátaformájú egyenlőségére átlépve egy lineáris inhomogén algebrai egyenletrendszert kapunk: ;;. Megoldva (például Cramer szabálya szerint) a következőket kapjuk: ,, és (). A bázisban van egy vektorbontás: =.

5 0 ... A vektor vetülete a tengelyre. A vetületek tulajdonságai. Legyen valami tengely l, azaz egy választott irányvonalú egyenes, és legyen adott valamilyen vektor.. Határozzuk meg a vektor tengelyre vetítésének fogalmát l.

Meghatározás... A vektor vetülete a tengelyre l ennek a vektornak a modulusának a tengely közötti szög koszinuszának szorzata lés egy vektor (2.10. ábra):

Ennek a definíciónak az a következménye, hogy az egyenlő vektoroknak egyenlő vetületei vannak (ugyanazon tengelyen).

Jegyezzük meg a vetületek tulajdonságait.

1) a vektorok összegének vetülete valamely tengelyre l egyenlő az ugyanazon a tengelyen lévő vektorok vetületeinek összegével:

2) a skalár szorzatának egy vektorral való vetülete egyenlő ennek a skalárnak a vektornak ugyanarra a tengelyre vetített szorzatával:

Következmény... A vektorok lineáris kombinációjának egy tengelyre vetítése egyenlő a vetületeik lineáris kombinációjával:

A tulajdonságok bizonyítását elhagyjuk.

6 0 ... Derékszögű derékszögű koordinátarendszer a térben.Egy vektor felbontása tengelyek szerint. Válasszunk három egymásra merőleges egységvektort bázisnak; speciális jelöléseket vezetünk be számukra. Az eredetüket a pontra helyezve O, ezek mentén irányítjuk (az egységvektoroknak megfelelően) a koordinátatengelyeket Ökör,Oy iO z(a kiválasztott pozitív irányú, origó és hosszegység tengelyét koordinátatengelynek nevezzük).

Meghatározás... Három, egymásra merőleges koordinátatengelyből álló rendezett rendszert, amelyeknek közös origója és közös hosszegysége van, derékszögű derékszögű koordinátarendszernek nevezzük a térben.

Tengely Ökör az abszcissza tengely, Oy- az ordináta tengely és az O z – az applikátor tengelye.

Foglalkozzunk egy tetszőleges vektor kiterjesztésével a bázis szempontjából. A tételből (lásd §2.2, 30. pont, (2.13)) következik, hogy a bázis szempontjából egyedileg bővíthető (itt a koordináták jelölése helyett használjuk):

A (2.21)-ben vannak a vektor (derékszögű) koordinátái. Jelentése Derékszögű koordináták a következő tétel állapítja meg.

Tétel... Egy vektor derékszögű derékszögű koordinátái ennek a vektornak a vetületei a tengelyre Ökör,Oy iO z.

Bizonyíték. Helyezze a vektort a koordinátarendszer origójába - egy pontba O... Akkor a vége egybeesik valamivel.

Rajzoljon három síkot a ponton keresztül, párhuzamosan a koordinátasíkokkal Oyz,Oxzés Oxy(2.11. ábra xx). Akkor kapjuk:

A (2.22)-ben a vektorokat a vektor tengelyek menti komponenseinek nevezzük Ökör,Oy iO z.

Jelöljük és jelöljük a vektorok által a vektorokkal alkotott szögeket, ill. Ezután az összetevőkre a következő képleteket kapjuk:

= =, = =, = =(2.23)

A (2.21), (2.22) (2.23) értékekből a következőket találjuk:

- egy vektor koordinátái ennek a vektornak a vetületei a koordinátatengelyekre Ökör,Oy iO z illetőleg.

Megjegyzés... A számokat a vektor iránykoszinuszainak nevezzük.

A vektor modulusát (a téglalap alakú paralelepipedon átlóját) a következő képlettel számítjuk ki:

A (2.23) és (2.24) képletekből következik, hogy az iránykoszinuszokat a következő képletekkel lehet kiszámítani:

A (2.25)-ben szereplő egyenlőségek mindkét oldalát megemelve, és tagonként összeadva a kapott egyenlőségek bal és jobb oldalát, a képlethez jutunk:

- nem bármely három szög alkot valamilyen irányt a térben, hanem csak azok, amelyek koszinuszai a (2.26) relációval összefüggenek.

7 0 ... Sugárvektor és pontkoordináták.Vektor meghatározása a kezdete és a vége alapján... Vezessünk be egy definíciót.

Meghatározás... A sugárvektor (jelölése) az origót összekötő vektor O ezzel a ponttal (2.12. ábra xx):

A tér bármely pontja megfelel egy bizonyos sugárvektornak (és fordítva). Így a térbeli pontokat a vektoralgebrában sugárvektoraik ábrázolják.

Nyilvánvalóan a pont koordinátái M sugárvektorának vetületei a koordináta tengelyekre:

és így,

- egy pont sugárvektora olyan vektor, amelynek a koordinátatengelyekre vetületei megegyeznek ennek a pontnak a koordinátáival. Ezért két bejegyzés következik: és.

Képleteket kapunk egy vektor vetületeinek kiszámításához a kezdőpont és a végpont koordinátái alapján.

Rajzoljunk sugárvektorokat és egy vektort (2.13. ábra). Ezt értjük

- a vektor vetületei a koordináta egységvektorokra megegyeznek a vektor végének és elejének megfelelő koordinátáinak különbségével.

8 0 ... Néhány probléma a derékszögű koordinátákkal.

1) vektorok kollinearitási feltételei ... A tételből (lásd §2.1, 2 0. tétel, (2.7) képlet) az következik, hogy ahhoz, hogy a vektorok kollineárisak legyenek, szükséges és elégséges, hogy a = összefüggés teljesüljön. Ebből a vektoregyenlőségből hármat kapunk az egyenlőségek koordináta alakjában: ahonnan a vektorok koordináta alakban való kollinearitása következik:

- a vektorok kollinearitása érdekében szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

2) pontok közötti távolság ... A (2.29) ábrázolásból következik, hogy a és pontok közötti távolságot a képlet határozza meg

3) szegmens felosztása ebből a szempontból ... Legyenek adottak a pontok és az összefüggés. Meg kell találni - pont koordinátákat M (2.14. ábra).

A vektorok kollinearitás feltételéből megvan:, honnan és

A (2.32)-ből koordináta alakban kapjuk:

A (2,32') képletekből képleteket kaphatunk a szakasz felezőpontjának koordinátáinak kiszámításához, feltételezve:

Megjegyzés... A szegmenseket pozitívnak vagy negatívnak tekintjük, attól függően, hogy irányuk egybeesik-e a szegmens elejétől a végéig tartó iránnyal, vagy nem egyezik. Ekkor a (2.32) - (2.32 ") képletekkel megkereshetjük annak a pontnak a koordinátáit, amely a szakaszt kívülről osztja, vagyis úgy, hogy az elválasztó pont M a szegmens folytatásán található, de nem azon belül. Ebben az esetben természetesen.

4) gömbfelületi egyenlet . Állítsuk össze egy gömbfelület egyenletét - a pontok lokuszát, amelyek egyenlő távolságra vannak valamilyen rögzített középponttól - egy ponttól. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben és a (2.31) képlet figyelembevételével

A (2.33) egyenlet a szükséges gömbfelület egyenlete.

A vektorrendszert ún lineárisan függő ha vannak olyan számok, amelyek között legalább egy nem nulla, akkor az egyenlőség teljesül https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif "width =" 57 "height =" 24 src = " >.

Ha ez az egyenlőség csak abban az esetben teljesül, amikor minden, akkor a vektorrendszert hívjuk lineárisan független.

Tétel. A vektorrendszer lesz lineárisan függő akkor és csak akkor, ha legalább egy vektora a többi lineáris kombinációja.

1. példa A polinom polinomok lineáris kombinációja https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif "width =" 88 height = 24 "height =" 24 ">. A polinomok lineárisan függetleneket alkotnak rendszer, mivel a https : //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif "width =" 129 "height =" 24 "> polinom.

2. példa A mátrixrendszer, https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif "width =" 51 "height =" 48 src = "> lineárisan független, mivel a lineáris kombináció egyenlő a nulla mátrix csak akkor, ha https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif "width =" 69 "height =" 21 ">, https://pandia.ru/text/78/624 /images/image022_26.gif "width =" 40 "height =" 21 "> lineárisan függő.

Megoldás.

Készítsünk lineáris kombinációt ezekből a vektorokból https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif "width =" 97 "height =" 24 "> = 0..gif" width = "360" magasság = " 22 ">.

Az azonos nevű koordináták egyenlővé tétele egyenlő vektorok, kapjuk a https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif "width =" 289 "height =" 69 ">

Végre megkapjuk

A rendszernek van egyetlen triviális megoldása, így ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja csak akkor nulla, ha minden együttható nulla. Ezért ezt a rendszert vektorok lineárisan függetlenek.

4. példa A vektorok lineárisan függetlenek. Milyenek lesznek a vektorrendszerek

Megoldás.

a) Készítsünk lineáris kombinációt, és egyenlőségjelet adjunk nullához

A lineáris térbeli vektorokkal végzett műveletek tulajdonságait felhasználva átírjuk a formába az utolsó egyenlőséget

Mivel a vektorok lineárisan függetlenek, az at együtthatóknak nullának kell lenniük, azaz gif "width =" 12 "height =" 23 src = ">

Az így kapott egyenletrendszer egyedi triviális megoldással rendelkezik.

Az egyenlőség óta (*) csak a https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif oldalon hajtva végre "width =" 115 height = 20 "height =" 20 "> - lineárisan független;

b).Állítsuk össze az egyenlőséget https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif "width =" 265 "height =" 24 src = "> (**)

Hasonló érvelést alkalmazva azt kapjuk

Az egyenletrendszert Gauss-módszerrel megoldva megkapjuk

Ez utóbbi rendszernek végtelen számú megoldása van https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif "width =" 149 "height =" 24 src = ">. Tehát van egy nullától eltérő halmaz együtthatók, amelyekre az egyenlőség érvényes (**) ... Ezért a vektorrendszer lineárisan függő.

5. példa A vektorrendszer lineárisan független, a vektorrendszer pedig lineárisan függő .. gif "width =" 80 "height =" 24 ">. Gif" width = "149 height = 24" height = "24"> (***)

Egyenjogúságban (***) ... Valójában at, a rendszer lineárisan függő lenne.

Az aránytól (***) kapunk vagy Jelöljük.

Feladatok a önálló döntés(a közönség soraiban)

1. A nulla vektort tartalmazó rendszer lineárisan függő.

2. Egy vektorból álló rendszer a, akkor és csak akkor lineárisan függ, a = 0.

3. Egy két vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha a vektorok arányosak (vagyis az egyiket a másikból egy számmal való szorzással kapjuk meg).

4. Ha hozzáadunk egy vektort egy lineárisan függő rendszerhez, akkor egy lineárisan függő rendszert kapunk.

5. Ha egy vektort eltávolítunk egy lineárisan független rendszerből, akkor a kapott vektorrendszer lineárisan független.

6. Ha a rendszer S lineárisan független, de vektor összeadásakor lineárisan függővé válik b, majd a vektor b a rendszer vektorain keresztül lineárisan kifejezve S.

c). Mátrixrendszer,, a másodrendű mátrixok terében.

10. Legyen a vektorrendszer a,b,c A vektortér lineárisan független. Igazolja a következő vektorrendszerek lineáris függetlenségét:

a)egy +b, b, c.

b).egy +https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif "width =" 15 "height =" 19 "> - tetszőleges szám

c).egy +b, a + c, b + c.

11. Legyen a,b,c- három vektor a síkon, amelyből háromszög hajtogatható. Lineárisan függenek ezek a vektorok?

12. Két vektor adott a1 = (1, 2, 3, 4),a2 = (0, 0, 0, 1)... Vegyen fel két további négydimenziós vektort a3 ésa4 hogy a rendszer a1,a2,a3,a4 lineárisan független volt .

Annak ellenőrzéséhez, hogy a vektorrendszer lineárisan függő-e, meg kell alkotni egy lineáris kombinációt ezekből a vektorokból, és ellenőrizni kell, hogy lehet-e nulla, ha legalább egy együttható nulla.

1. eset. A vektorok rendszerét vektorok adják meg

Lineáris kombinációt készítünk

Homogén egyenletrendszert kaptunk. Ha nem nulla megoldása van, akkor a determinánsnak nullával kell egyenlőnek lennie. Állítsunk össze egy determinánst és találjuk meg az értékét.

A determináns egyenlő nullával, ezért a vektorok lineárisan függenek.

2. eset. A vektorrendszert analitikai függvények adják meg:

a), ha az azonosság igaz, akkor a rendszer lineárisan függő.

Készítsünk lineáris kombinációt.

Meg kell vizsgálni, hogy létezik-e olyan a, b, c (amelyek közül legalább az egyik nem egyenlő nullával), amelyre adott kifejezést egyenlő nullával.

Hiperbolikus függvényeket írunk

akkor a vektorok lineáris kombinációja a következő formában lesz:

Vegyük például, hogy a lineáris kombináció nullával egyenlő, tehát a rendszer lineárisan függ.

Válasz: a rendszer lineárisan függő.

b), alkosson lineáris kombinációt

A vektorok lineáris kombinációja minden x érték esetén nullának kell lennie.

Vizsgáljuk meg a különleges eseteket.

A vektorok lineáris kombinációja csak akkor nulla, ha minden együttható nulla.

Ezért a rendszer lineárisan független.

Válasz: a rendszer lineárisan független.

5.3. Keress valamilyen alapot, és határozd meg a megoldások lineáris terének dimenzióját!

Hozzunk létre egy kiterjesztett mátrixot, és hozzuk trapéz alakúra Gauss-módszerrel.

Hogy némi alapot kapjunk, tetszőleges értékeket helyettesítünk:

Szerezd meg a többi koordinátát

5.4. Keresse meg az X vektor koordinátáit a bázisban, ha az a bázisban meg van adva.

Egy vektor koordinátáinak új bázisban való megtalálása az egyenletrendszer megoldására redukálódik

1. módszer. Keresés átmeneti mátrix segítségével

Állítsuk össze az átmeneti mátrixot

Keresse meg a vektort egy új bázisban a képlet alapján

Keresse meg az inverz mátrixot, és hajtsa végre a szorzást

2. módszer. Megkeresés egyenletrendszer felállításával.

A bázisegyütthatókból állítsuk össze a bázisvektorokat

A vektor keresése egy új bázisban megvan a formája

Ahol d ez egy adott vektor x.

A kapott egyenlet bármilyen módon megoldható, a válasz ugyanaz lesz.

Válasz: vektor új bázisban.

5.5. Legyen x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ... Lineárisak-e a következő transzformációk?

Állítsuk össze a lineáris operátorok mátrixait az adott vektorok együtthatóiból.

Vizsgáljuk meg a lineáris műveletek tulajdonságát egy lineáris operátor minden mátrixára.

A bal oldalt a mátrix szorzásával találjuk meg A vektoronként

Keresse meg a jobb oldalt úgy, hogy az adott vektort megszorozza egy skalárral.

Látjuk, mit jelent, az átalakulás nem lineáris.

Nézzünk meg más vektorokat.

Az átalakítás nem lineáris.

Az átalakulás lineáris.

Válasz: Ó- nem lineáris transzformáció, Bx- nem lineáris, Cx- lineáris.

Jegyzet. Ezt a feladatot sokkal könnyebben elvégezheti, ha figyelmesen megnézi a megadott vektorokat. V Ó látjuk, hogy vannak olyan kifejezések, amelyek nem tartalmaznak elemeket NS, amelyet egy lineáris művelet eredményeként nem lehetett elérni. V Bx van egy elem NS a harmadik hatványra, amit szintén nem lehetett megszerezni a vektorral való szorzással NS.

5.6. Adott x = { x 1 , x 2 , x 3 } , Fejsze = { x 2 – x 3 , x 1 , x 1 + x 3 } , Bx = { x 2 , 2 x 3 , x 1 } ... Hajtsa végre a megadott műveletet: ( A ( B – A )) x .

Írjuk ki a lineáris operátorok mátrixait.

Végezzünk el egy műveletet mátrixokon

Ha a kapott mátrixot megszorozzuk X-szel, azt kapjuk