Mi az a lineáris kombináció. Vektorhalmaz lineáris kombinációjának meghatározása

Vektor koncepció

1. definíció.Vektor irányított szakasznak (vagy ami ugyanaz, rendezett pontpárnak) nevezzük.

Jelölik: (A pont a vektor eleje), B pont a vektor vége) vagy egy betűvel -.

2. definíció.Vektor hossza (modulus) a vektor eleje és vége közötti távolságot nevezzük. A vektor hosszát vagy jelöli.

3. definíció.Nulla vektor vektornak nevezzük, amelynek eleje és vége egybeesik. Kijelöl:

4. definíció.Egységvektor olyan vektornak nevezzük, amelynek hossza eggyel egyenlő.

Az adott vektorral azonos irányú egységvektort egységvektornak nevezzük, és szimbólummal jelöljük.

5. definíció. A vektorokat ún kollineáris, ha egy egyenesen vagy párhuzamos vonalakon helyezkednek el. A nullvektort bármely vektorral kollineárisnak tekintjük.

6. definíció. A vektorokat ún egyenlő ha egyvonalasak, akkor azonos hosszúságúak és azonos irányúak.

Lineáris műveletek vektorokon

7. definíció.Lineáris műveletek vektorokon vektorok összeadását és egy vektor számmal való szorzását nevezzük.

8. definíció.Két vektor összege és olyan vektor, amely a vektor elejétől a vektor végéig tart, feltéve, hogy a vektort a vektor végére alkalmazzuk (háromszög szabály). Nem kollineáris vektorok esetén a háromszögszabály helyett a paralelogramma-szabályt is használhatjuk: ha a és vektorok közös origóból vannak lerakva, és paralelogramma épül rájuk, akkor az összeg egy olyan vektor, amely egybeesik. ennek a paralelogrammának a közös origóból származó átlójával.

9. definíció.Két vektor különbségévelés egy vektort nevezünk, amely egy vektorral együtt egy vektort alkot. Ha két vektort félreteszünk egy közös origóból, akkor különbségük a vektor végétől ("kivonva") a vektor végéig ("redukált") haladó vektor.

10. definíció. Két azonos hosszúságú, ellentétes irányú kollineáris vektort nevezünk szemben. A vektorral ellentétes vektort jelöljük.

Egy vektor és egy szám szorzatát α-val jelöljük.

A lineáris műveletek néhány tulajdonsága

7) ;

1. tétel.(A kollineáris vektorokról). Ha és két kollineáris vektor, és a vektor nem nulla, akkor létezik egy egyedi x szám, amelyre = x

Konkrétan egy nullától eltérő vektort és ortjait a következő egyenlőség köti össze: = ·.

A lineáris műveletek megfogalmazott tulajdonságai lehetővé teszik a vektorokból összeállított kifejezések átalakítását az algebra szokásos szabályai szerint: zárójeleket bővíthetünk, hasonló kifejezéseket hozhatunk, egyes tagokat az egyenlőség másik részébe áthelyezhetünk ellentétes előjellel stb.

1. példa

Bizonyítsuk be az egyenlőségeket:

és megtudja, mi a geometriai jelentésük.

Megoldás. a) Az egyenlőség bal oldalán kinyitjuk a zárójeleket, hasonló kifejezéseket adunk, és a jobb oldalon vektort kapunk. Magyarázzuk meg ezt az egyenlőséget geometriailag. Adjunk meg két vektort, tegyük félre a közös origót, és nézzük meg a paralelogrammát és átlóit, így kapjuk:

2. § Vektorok lineáris kombinációja

Vektor alapon a síkon és a térben.

1. definíció.vektorok lineáris kombinációja,, ezeknek a vektoroknak a szorzatának összege néhány számmal ,,: ++.

2. definíció.Vektoros alapon ezen a síkon bármely nem-kollineáris vektorpárt meghívunk egy adott síkon.

A vektort az első bázisvektornak, a vektort a másodiknak nevezik.

A következő tétel igaz.

1. tétel. Ha az alap ,– vektor bázis a síkban, akkor ennek a síknak bármely vektora ábrázolható, ráadásul egyedi módon, bázisvektorok lineáris kombinációja formájában: = x + y. (*)

3. definíció. Az egyenlőséget (*) nevezzük , és az x és y számok a bázisban lévő vektor koordinátái,(vagy az alaphoz képest,). Ha előre világos, hogy milyen alapról beszélünk, akkor röviden írják: = (x, y). A vektor bázishoz viszonyított koordinátáinak meghatározásából az következik, hogy az egyenlő vektorok megfelelően egyenlő koordinátákkal rendelkeznek.

Két vagy több térbeli vektort nevezünk egysíkú, ha párhuzamosak egy síkkal vagy ebben a síkban fekszenek.

4. definíció.Vektoros alapon a térben tetszőleges három vektor van , ,.

A vektort ebben az esetben az első bázisvektornak, - a másodiknak, - a harmadiknak nevezzük.

Megjegyzés. 1. Három = (), = () és = () vektor képezi a tér alapját, ha a koordinátáikból álló determináns nem nulla:

.

2. A determinánsok elméletének főbb rendelkezéseit és számítási módszereiket az 1. „lineáris algebra” modul tárgyalja.

2. tétel. Legyen , , egy vektorbázis a térben. Ekkor bármely térbeli vektor ábrázolható, ráadásul egyedileg, bázisvektorok lineáris kombinációja formájában. , és:

X + y + z. (**)

5. definíció. Az egyenlőséget (**) nevezzük a vektor kiterjesztése a bázisban,,, és az x, y, z számok a bázisban lévő vektor koordinátái (összetevői) , ,.

Ha előre világos, hogy milyen alapról beszélünk, akkor röviden írják: = (x, y, z).

6. definíció. Alap , nak, nek hívják ortonormális, ha vektorok , , páronként merőlegesek és egységnyi hosszúságúak. Ebben az esetben a ,,.

Műveletek a koordinátáik által meghatározott vektorokon.

3. tétel. Legyen a vektorbázis kiválasztva a síkon , a hozzá viszonyított vektorokat pedig koordinátáikkal adjuk meg: = (), = ().

Akkor = (), = ( ), azaz vektorok összeadásánál vagy kivonásánál az azonos nevű koordinátáikat összeadjuk vagy kivonjuk = (;), azaz. ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal.

Kollinearitási feltétel két vektorra

4. tétel. Egy vektor akkor és csak akkor kollineáris egy nem nulla vektorral, ha a vektor koordinátái arányosak a vektor megfelelő koordinátáival, azaz.

A térbeli koordinátáik által meghatározott vektorokon végzett lineáris műveleteket ugyanúgy hajtjuk végre.

1. példa Az = (1; 2; -1), = (3; 2; 1), = (1; 0; 1) vektorok legyenek adottak valamilyen vektorbázisban , ,. Keresse meg a 2 + 3-4 lineáris kombináció koordinátáit!

Megoldás. Vezessük be a = 2 + 3 + (- 4) lineáris kombináció jelölését.

Lineáris kombinációs együtthatók = 2, = 3, = - 4. Ezt a vektoregyenlőséget = (x, y, z) = koordináta alakban írjuk fel:

2

Nyilvánvaló, hogy a vektorok lineáris kombinációjának minden koordinátája megegyezik az azonos nevű koordináták azonos lineáris kombinációjával, azaz.

x = 2 1 + 3 3 + (- 4) 1 = 7,

y = 2 2 + 3 2 + (- 4) 0 = 10,

z = 2 (-1) + 3 1 + (- 4) 0 = -3.

Vektor koordináták a bázisban , , lesz:

Válasz:= {7,10,-3}.

Általános (affin) derékszögű koordinátarendszer

7. definíció. Legyen O valami fix pont, amit mi fogunk nevezni a kezdet.

Ha M tetszőleges pont, akkor a vektort hívjuk sugár vektor M pont az M pont origójához, röviden az M pont sugárvektorához képest.

Derékszögű (affin) koordináták egy egyenesen

Adjunk meg valamilyen egyenest a térben l. Válasszuk ki a kezdő O-t, amely ezen az egyenesen fekszik. Ezen kívül az egyenes vonalon választunk l egy nem nulla vektor, amelyet alapvektornak nevezünk.

8. definíció. Legyen az M pont az l egyenesen. Mivel a vektorok kollineárisak, akkor = x, ahol x valamilyen szám. Ezt a számot fogják hívni koordináta egy egyenes M pontja.

Az O origónak pozitív vagy negatív koordinátái vannak, attól függően, hogy a vektorok irányai egybeesnek, vagy ellentétesek. Az l egyenest, amelyen a koordináták találhatók, koordinátatengelynek vagy OX tengelynek nevezzük.

A koordináták egyenes vonalon történő bevezetése egyetlen x számnak felel meg, és fordítva, van egyetlen M pont, amelynek ez a szám koordinátája.

Descartes (affin) koordináták a síkon.

Válasszunk az O síkon két nem-kollineáris vektort és egy bizonyos alapot képezve. Nyilvánvaló, hogy a vektorok hossza eltérő lehet.

9. definíció. Az O pont halmaza (0 ;;) és a vektorbázis , hívják Descartes (affin) rendszer a felszínen.

Két O-n áthaladó és a vektorokkal párhuzamos egyenes , koordinátatengelyeknek nevezzük. Az elsőt általában abszcissza tengelynek nevezik, és Ox-nak nevezik, a másodikat az ordináta tengelyének és Oy-nek nevezik.

Mindig a megfelelő koordinátatengelyeken fekve ábrázoljuk.

10. definíció.Pont koordinátái M a síkon a derékszögű (affin) koordinátarendszerhez (0 ;;) képest a sugárvektora koordinátáinak nevezzük a következő alapján:

X + y, akkor az x és y számok M koordinátái lesznek a derékszögű (affin) koordinátarendszerhez (0 ;;) viszonyítva. Az x koordinátát hívják abszcissza M pont, y koordináta ordináta pont M.

Tehát ha a síkon egy koordinátarendszert (0 ;;) választunk, akkor a sík minden M pontja egyetlen M pontnak felel meg a síkon: ez a pont a vektor vége.

A koordinátarendszer bevezetése alapozza meg az analitikus geometria módszerét, melynek lényege, hogy bármilyen geometriai problémát le tudjunk redukálni aritmetikai vagy algebrai feladatokra.

11. definíció.Vektor koordináták a derékszögű koordinátarendszerhez viszonyított síkon (0 ;;) ennek a vektornak a koordinátái a , bázisban.

Egy vektor koordinátáinak megtalálásához ki kell bővítenie az alap szempontjából:

X + y, ahol az x, y és együtthatók lesznek a vektor koordinátái a derékszögű rendszerhez (0 ;;).

Derékszögű (affin) koordinátarendszer a térben.

Legyen valamilyen O pont (origin) rögzített a térben és a vektorbázisban

12. definíció. A gyűjtemény (0 ;;;) meghívásra kerül Derékszögű koordinátarendszerűrben.

13. definíció. Három O-n áthaladó és a vektorokkal párhuzamos egyenes , ,, hívott koordináta tengelyekés jelölje rendre Oz, Oy, Oz. Mindig vektorokat fogunk ábrázolni , a megfelelő tengelyeken fekve.

14. definíció.Pont koordinátái M a térben a derékszögű koordinátarendszerhez viszonyítva (0 ;;;) sugárvektorának koordinátáinak nevezzük ebben a rendszerben.

Más szóval, az M pont koordinátái olyan három x, y, z szám, az M pont abszcissza és ordinátája; a harmadik z koordinátát az M pont applikációjának nevezzük.

A derékszögű koordinátarendszer térbeli bevezetése lehetővé teszi, hogy egy az egyhez megfeleltetést állapítsunk meg a tér M pontjai és az x, y, z számok rendezett hármasai között.

15. definíció.Vektor koordináták térben a derékszögű koordinátarendszerhez képest (0 ;;;) ennek a vektornak a koordinátái a bázisban ;;.

2. példa

Az A (-2; 1), B (1; 3), C (4; 0) paralelogramma három egymást követő csúcsa adott. Keresse meg a negyedik koordinátáját D. A koordinátarendszer affin.

Megoldás.

A vektorok egyenlőek, ami azt jelenti, hogy koordinátáik egyenlőek (a lineáris kombináció együtthatói):

= (3; 2), = (4-x; -y); ... Ezért D (1; -2).

Válasz: D (1; -2).

Lineáris függőség. Alapkoncepció

16. definíció. A vektorokat ún lineárisan függő, ha vannak számok,

A vektorok lineáris függésének ez a definíciója a következővel ekvivalens: a vektorok akkor lineárisan függőek, ha az egyik a többi lineáris kombinációjaként ábrázolható (vagy a többivel felbontható).

A vektorokat lineárisan függőnek nevezzük, ha az egyenlőség (***) csak abban az esetben lehetséges, ha

A lineáris függőség fogalma fontos szerepet játszik a lineáris algebrában. A vektoralgebrában a lineáris függésnek egyszerű geometriai jelentése van.

Bármely két kollineáris vektor lineárisan függ, és fordítva, két nem kollineáris vektor lineárisan független.

Három koplanáris vektor lineárisan függ, és fordítva, három nem egysíkú vektor lineárisan független.

Minden négy vektor lineárisan függő.

17. definíció. Három lineárisan független vektort nevezünk a tér alapja, azok. bármely vektor ábrázolható néhányként.

18. meghatározás. A síkban elhelyezkedő két lineárisan független vektort nevezzük a sík alapja, azok. bármely ebben a síkban elhelyezkedő vektor vektorok lineáris kombinációjaként ábrázolható.

Önálló megoldási feladatok.

vektorokat, hogy megtalálja a koordinátákat ezen az alapon.

6. előadás.

A ... vektorokat lineárisan függőnek nevezzük, ha vannak olyan,, ... számok, amelyek között legalább egy nem egyenlő nullával, így

A számok és vektorok szorzatának összege, azaz. vektor

vektorok lineáris kombinációjának nevezzük.

Ha egy vektort vektorok lineáris kombinációjaként ábrázolunk, akkor azt is mondják, hogy a vektort vektorokra bontják.

A vektorok lineáris függésének fenti definíciója ekvivalens a következővel: a vektorok akkor lineárisan függőek, ha az egyik a többi lineáris kombinációjaként ábrázolható (vagy a többivel bővíthető).

1. tétel. Két vektor esetén és ahhoz, hogy lineárisan függjenek, szükséges és elegendő, hogy kollineárisak legyenek.

Bizonyíték szükségesség. Adott: vektorok és lineárisan függőek. Bizonyítani kell, hogy kollineárisak. Mivel a és vektorok lineárisan függőek, léteznek olyan számok, amelyek nem egyenlők nullával egyidejűleg, és

Legyen például,; azután

amiből az következik, hogy a és vektorok kollineárisak.

Adott: vektorok és kollineáris. Be kell bizonyítani, hogy lineárisan függőek.

Ha, akkor egyenlőség lép fel, ami azt jelenti, hogy a és vektorok lineárisan függenek.

Ha, akkor feltételezve, találunk, vagy; vektorokat jelent, és lineárisan függenek.

Három vektort koplanárisnak nevezünk, ha egy pontból ábrázolva kiderül, hogy ugyanabban a síkban fekszenek.

2. tétel. Ahhoz, hogy három vektor lineárisan függjön, szükséges és elegendő, hogy egy síkban legyenek.

Adott: vektorok,, lineárisan függőek. Bizonyítani kell, hogy egy síkban vannak.

Mivel a,, vektorok lineárisan függőek, vannak olyan számok,, amelyek között van legalább egy; oly módon, hogy

Legyen például,; azután

A és vektorok kollineárisak az és vektorokhoz; ezért az ilyen vektorok összege, azaz. vektor egy síkban lesz az és vektorokkal.

Elégséges igazolás. Adott: vektorok,, koplanáris. Be kell bizonyítani, hogy ezek a vektorok lineárisan függőek.

Ha a és vektorok kollineárisak, akkor lineárisan függőek (e szakasz 1. tétele), azaz. vannak és számok, amelyek közül legalább egy nem egyenlő nullával és olyan, hogy, de akkor és, azaz. vektorok,, lineárisan függő .

Legyenek vektorok és nem kollineárisak. Tegyük félre a vektorokat, és ugyanabból a pontból O:

Mivel a,, vektorok egysíkúak, a pontok O ugyanabban a síkban fekszenek. A pontot az egyenessel párhuzamos egyenesre vetítjük; legyen R- ez a vetítés. Akkor és azóta

akkor, feltételezve

vagyis a vektorok,, lineárisan függenek.

3. tétel. Bármely négy,,, vektor a térben lineárisan függ.

Bizonyíték. Javasoljuk, hogy a,, vektorok nem egysíkúak. Tegye félre az összes,,, vektort ugyanabból a pontból O:

Legyen R- pont vetítése egy egyenessel párhuzamos síkra, és - pont vetítése R egy egyenessel párhuzamos egyenesen. Azután .

A vektorok ennek megfelelően kollineárisak az és vektorokkal. Feltételezve; ; kapunk; ;

és ezért:

azok. vektorok,,, lineárisan függőek.

4. tétel. Két nullától eltérő vektorhoz és ahhoz, hogy kollineárisak legyenek, szükséges és elegendő, hogy a koordinátáik arányosak legyenek.

Bizonyítsuk be a tételt arra az esetre, amikor a vektorok a térbeli általános derékszögű koordinátarendszerhez viszonyított koordinátáikkal vannak megadva.

A szükségesség igazolása. Adott: vektorok; és kollineáris. Bizonyítani kell, hogy koordinátáik arányosak.

Mivel, feltételezve, kapunk, i.e.

Elégséges igazolás. Adott: vektorok koordinátái

arányos. Be kell bizonyítani, hogy ezek a vektorok kollineárisak.

Legyen ; azaz, vagy, és ezért vektorok és kollineárisak.

5. tétel. Annak érdekében, hogy két vektor és a koordinátáik adják meg a síkon a közös derékszögű koordináta-rendszerhez viszonyítva

vagy az általános derékszögű koordinátarendszerhez viszonyítva a térben

kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy

(repülőgép esetén),

(tér esetén).

Bizonyítsuk be a tételt arra az esetre, amikor a és vektorok koordinátáival vannak megadva az általános derékszögű térbeli koordinátarendszerhez viszonyítva.

A szükségesség igazolása. Adott: vektorok és kollineáris. Bizonyítani kell, hogy a kapcsolatok

Ha a vektorok nullától eltérőek és kollineárisak, akkor a koordinátáik arányosak, ezért ezek az egyenlőségek teljesülnek (a determináns, amelyben két egyenes arányos, egyenlő nullával). Ha vagy (vagy == 0), akkor ez az egyenlőség nyilvánvaló.

Elégséges igazolás. Adott esetben ezek a kapcsolatok teljesülnek. Be kell bizonyítani, hogy a és vektorok kollineárisak.

Ha (azaz = 0), akkor a és vektorok kollineárisak (mivel a nulla vektor kollineáris bármely vektorhoz). Legyen például legalább az egyik szám nullától eltérő. Rakjuk; akkor a vagy relációból (felfedve a determinánst) azt találjuk, hogy az általános térbeli derékszögű koordinátarendszerhez viszonyított koordinátáik alapján akkor és csak akkor tartoznak egy egyeneshez, ha az összefüggések teljesülnek.

Következmény 3. Az általános térbeli derékszögű koordinátarendszerhez viszonyított koordinátáikkal adott,,, pontok akkor és csak akkor tartoznak ugyanahhoz a síkhoz, ha a vektorok; ; egysíkú, azaz ha, és csak akkor ha.

A vektorok lineáris függése és lineáris függetlensége.
A vektorok alapja. Affin koordinátarendszer

Csokoládés szekér áll a közönség soraiban, és ma minden látogató kap egy édes párost - analitikus geometriát lineáris algebrával. Ez a cikk a magasabb matematika két szakaszát érinti egyszerre, és látni fogjuk, hogyan léteznek együtt egy csomagban. Szünet, egyél Twixet! ... a fenébe is, és vitázott hülyeségek. Bár oké, nem pontozok, de a végén pozitív hozzáállás kell a tanuláshoz.

A vektorok lineáris függése, vektorok lineáris függetlensége, vektor alaponés a többi kifejezésnek nemcsak geometriai értelmezése van, hanem mindenekelőtt algebrai jelentése is. Maga a "vektor" fogalma a lineáris algebra szempontjából nem mindig az a "hétköznapi" vektor, amelyet síkon vagy térben ábrázolhatunk. Nem kell messzire menni a bizonyításhoz, próbáljon meg rajzolni egy 5 dimenziós tér vektorát ... Illetve az időjárás vektor, amiért most jártam Gismeteóban: - hőmérséklet és légköri nyomás, ill. A példa természetesen hibás a vektortér tulajdonságai szempontjából, de ennek ellenére senki sem tiltja, hogy ezeket a paramétereket vektorral formalizáljuk. Az ősz lehelete….

Nem, nem fogok elmélettel, lineáris vektorterekkel terhelni, a feladat az megért definíciók és tételek. Az új fogalmak (lineáris függés, függetlenség, lineáris kombináció, bázis stb.) algebrai szempontból minden vektorra alkalmazhatók, de geometriai példákat is adunk. Így minden egyszerű, hozzáférhető és világos. Az analitikus geometria problémái mellett az algebra néhány tipikus feladatát is megvizsgáljuk. Az anyag elsajátításához tanácsos megismerkedni a leckékkel Vektorok a bábokhozés Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

Síkvektorok lineáris függése és függetlensége.
Síkbázis és affin koordinátarendszer

Vegye figyelembe a számítógépasztal síkját (csak egy asztal, éjjeliszekrény, padló, mennyezet, ki mit szeret). A feladat a következő lesz:

1) Válassza a Plane Basis lehetőséget... Nagyjából elmondható, hogy az asztallapnak megvan a hossza és a szélessége, így intuitív módon egyértelmű, hogy két vektorra van szükség egy bázis felépítéséhez. Egy vektor nyilvánvalóan nem elég, három vektor túl sok.

2) A kiválasztott alapon koordinátarendszer beállítása(koordináta rács) a koordináták hozzárendeléséhez a táblázat összes objektumához.

Ne lepődj meg, eleinte a magyarázatok az ujjakon lesznek. Ráadásul a tiéden. Kérem helyezze el bal mutatóujj a pult szélén úgy, hogy az a monitorba nézzen. Ez egy vektor lesz. Most tedd jobb kisujj az asztal szélén ugyanúgy - úgy, hogy az a monitor képernyője felé irányuljon. Ez egy vektor lesz. Mosolyogj, jól nézel ki! Mi a helyzet a vektorokkal? Adatvektorok kollineáris, ami azt jelenti lineárisan egymáson keresztül kifejezve:
, nos, vagy fordítva:, ahol a nullától eltérő szám.

Ennek a műveletnek a képe látható a leckében Vektorok a bábokhoz ahol elmagyaráztam a vektor számmal való szorzásának szabályát.

Az ujjai meghatározzák az alapvonalat a számítógépasztal síkján? Nyilvánvalóan nem. A kollineáris vektorok oda-vissza haladnak egy irányba, és a síknak van hossza és szélessége.

Az ilyen vektorokat ún lineárisan függő.

Referencia: A "lineáris", "lineáris" szavak azt jelzik, hogy a matematikai egyenletekben, kifejezésekben nincs négyzet, kocka, egyéb fok, logaritmus, szinusz stb. Csak lineáris (1. fokú) kifejezések és függőségek léteznek.

Két sík vektor lineárisan függő akkor és csak akkor, ha kollineárisak.

Ujjait tegye keresztbe az asztalon úgy, hogy bármilyen szög legyen közöttük, kivéve a 0 vagy a 180 fokot. Két sík vektorlineárisan nem akkor és csak akkor függenek, ha nem kollineárisak... Tehát az alap megvan. Nem kell szégyenkezni, hogy az alap „ferdének” bizonyult különböző hosszúságú, nem merőleges vektorokkal. Hamarosan látni fogjuk, hogy nem csak egy 90 fokos szög alkalmas a felépítésére, és nem csak az egyenlő hosszúságú egységvektorok

Bármi vektor sík egyedi módon alapján bontják:
, hol vannak a valós számok. A számokat hívják vektor koordináták ezen az alapon.

Azt is mondják vektorformában mutatjuk be lineáris kombináció bázisvektorok... Vagyis a kifejezést ún a vektor dekompozíciójaalapján vagy lineáris kombináció bázisvektorok.

Például azt mondhatjuk, hogy egy vektort a sík ortonormális bázisában bontunk fel, vagy azt, hogy vektorok lineáris kombinációjaként ábrázoljuk.

Fogalmazzuk meg alapvonal meghatározása formálisan: Alapsík lineárisan független (nem kollineáris) vektorpárt nevezünk, , ahol Bármi a síkvektor bázisvektorok lineáris kombinációja.

A definíció lényeges pontja az a tény, hogy a vektorokat felvesszük egy bizonyos sorrendben... Alapok Két teljesen különböző alap! A mondás szerint a bal kéz kisujját nem lehet átrendezni a jobb kéz kisujjának helyére.

Az alapot kitaláltuk, de nem elég beállítani egy koordináta rácsot és koordinátákat rendelni a számítógép asztalán lévő minden elemhez. Miért nem elég? A vektorok szabadok, és az egész síkon vándorolnak. Tehát hogyan rendelhet koordinátákat a zűrzavaros hétvége után megmaradt piszkos kis asztalokhoz? Kiindulási pontra van szükség. És egy ilyen referenciapont mindenki számára ismert pont - a koordináták origója. A koordinátarendszer kezelése:

Kezdem az "iskolai" rendszerrel. Már a bevezető órán Vektorok a bábokhoz Kiemeltem néhány különbséget a derékszögű koordinátarendszer és az ortonormális bázis között. Íme egy tipikus kép:

Amikor arról beszélünk derékszögű koordinátarendszer, akkor leggyakrabban az origót, a koordinátatengelyeket és a tengelyek menti léptéket jelentik. Próbáld meg beírni a keresőbe, hogy "téglalap koordinátarendszer", és látni fogod, hogy sok forrás leírja az 5-6. osztályból ismert koordinátatengelyeket és a pontok síkon való elhelyezését.

Másrészt az a benyomásunk támad, hogy egy derékszögű koordináta-rendszert teljesen meg lehet határozni ortonormális alapon. És ez majdnem így is van. A megfogalmazás a következő:

eredet, és ortonormális alap adott derékszögű téglalap sík koordinátarendszer ... Vagyis a derékszögű koordináta-rendszer egyértelműen egyetlen pont és két egységnyi ortogonális vektor határozza meg. Ezért látja azt a rajzot, amelyet fentebb megadtam - a geometriai feladatokban gyakran (de nem mindig) mind a vektorokat, mind a koordinátatengelyeket megrajzolják.

Szerintem mindenki érti, hogy pont (eredet) és ortonormális alapot használunk A gép BÁRMELY PONTJÁT és a repülőgép BÁRMELY VEKTORÁT koordinátákat rendelhet hozzá. Képletesen szólva: "egy repülőn mindent meg lehet számozni".

A koordináta vektoroknak egységnek kell lenniük? Nem, ezek tetszőleges, nullától eltérő hosszúságúak lehetnek. Tekintsünk egy pontot és két tetszőleges nem nulla hosszúságú ortogonális vektort:

Az ilyen alapot az ún ortogonális... A koordináták vektoros origója beállítja a koordináta rácsot, és a sík bármely pontjának, bármely vektornak ezen az alapon vannak a koordinátái. Például, vagy. Nyilvánvaló kellemetlenség, hogy a koordinátavektorok általánosságban egytől eltérő hosszúságúak. Ha a hosszúságok egyenlőek eggyel, akkor a szokásos ortonormális alapot kapjuk.

! jegyzet : az ortogonális alapon, valamint alatta a sík és a tér affin alapjaiban a tengelyek mentén lévő egységeket kell figyelembe venni FELTÉTELES... Például egy egység az abszcissza mentén 4 cm-t tartalmaz, és egy egység az ordináta mentén 2 cm. Ez az információ elegendő ahhoz, hogy szükség esetén a „nem szabványos” koordinátákat „szokásos centimétereinkké” alakítsuk át.

És a második kérdés, amelyre ténylegesen megválaszolták – az alapvektorok közötti szög szükségszerűen egyenlő 90 fokkal? Nem! Ahogy a definíció mondja, a bázisvektoroknak kell lenniük csak nem kollineáris... Ennek megfelelően a szög 0 és 180 foktól eltérő lehet.

A sík pontja nevezett eredet, és nem kollineáris vektorok, , készlet affin sík koordinátarendszer :

Néha ezt a koordinátarendszert hívják ferde rendszer. A pontok és vektorok a rajzon példaként láthatók:

Mint érti, az affin koordináta-rendszer még kevésbé kényelmes, a vektorok és szegmensek hosszának képletei, amelyeket a lecke második részében megvizsgáltunk, nem működnek benne. Vektorok a bábokhoz, sok finom képlet kapcsolódó vektorok pontszorzata... De igazak a vektorok összeadására és a vektorok számmal való szorzására vonatkozó szabályok, a szegmens e tekintetben való felosztásának képletei, valamint néhány más típusú probléma, amelyet hamarosan megvizsgálunk.

És a következtetés az, hogy az affin koordinátarendszer legkényelmesebb esete a derékszögű derékszögű rendszer. Ezért neki, kedvesem, leggyakrabban el kell gondolkodnia. ... Azonban ebben az életben minden relatív – sok olyan helyzet van, amikor illik ferdíteni (vagy más pl. poláris) koordináta-rendszer. Igen, és a humanoidok kedvelhetik az ilyen rendszereket =)

Térjünk át a gyakorlati részre. Ennek a leckének minden feladata igaz négyszögletes koordinátarendszerre és általános affin esetre is. Nincs itt semmi bonyolult, minden anyag elérhető még egy iskolás számára is.

Hogyan határozható meg a vektorok kollinearitása egy síkban?

Tipikus dolog. Annak érdekében, hogy a sík két vektora kollineárisak, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek Lényegében ez a nyilvánvaló kapcsolat koordináta szerinti részletezése.

1. példa

a) Ellenőrizze, hogy a vektorok kollineárisak-e .
b) A vektorok képezik-e az alapot? ?

Megoldás:
a) Nézzük meg, hogy létezik-e vektorokra arányossági együttható, hogy az egyenlőségek teljesüljenek:

Határozottan elmesélem ennek a szabálynak a "haver" változatát, amely a gyakorlatban elég hatékony. Az ötlet az, hogy azonnal kitaláljuk az arányt, és megnézzük, helyes-e:

Állítsuk össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáinak arányaiból:

Lerövidítjük:
, tehát a megfelelő koordináták arányosak, ezért

Az arány összeállítható és fordítva, ez egy egyenértékű lehetőség:

Önteszthez használhatja azt a tényt, hogy a kollineáris vektorok lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Ebben az esetben az egyenlőségek érvényesek ... Érvényességük egyszerűen ellenőrizhető vektoros elemi műveletekkel:

b) A sík két vektora képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Vizsgáljuk meg a vektorokat a kollinearitás szempontjából ... Állítsuk össze a rendszert:

Az első egyenletből az következik, hogy a második egyenletből az következik, hogy ezért a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a vektorok megfelelő koordinátái nem arányosak.

Kimenet: a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

A megoldás egyszerűsített változata így néz ki:

Állítsuk össze az arányt a vektorok megfelelő koordinátáiból :
, ezért ezek a vektorok lineárisan függetlenek és bázist képeznek.

Általában ezt a lehetőséget nem utasítják el a véleményezők, de probléma merül fel olyan esetekben, amikor néhány koordináta nullával egyenlő. Mint ez: ... Vagy így: ... Vagy így: ... Hogyan kell itt arányosan cselekedni? (valóban, nem lehet nullával osztani). Emiatt hívtam az egyszerűsített megoldást "haver".

Válasz: a), b) forma.

Egy kis kreatív példa önálló megoldásra:

2. példa

A paraméter mely értékénél a vektorok kollineáris lesz?

Az oldatmintában a paramétert arányon keresztül találjuk meg.

Létezik egy elegáns algebrai módszer a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére., Ismereteinket rendszerezzük és ötödik pontként adjuk hozzá:

A sík két vektorára a következő állítások ekvivalensek:

2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem kollineárisak;

+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nem nulla.

Illetőleg, a következő ellentétes állítások egyenértékűek:
1) a vektorok lineárisan függőek;
2) a vektorok nem képeznek bázist;
3) a vektorok kollineárisak;
4) a vektorok lineárisan kifejezhetők egymáson keresztül;
+ 5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns egyenlő nullával.

Nagyon-nagyon remélem, hogy jelenleg már megértette az összes olyan kifejezést és kijelentést, amellyel találkozott.

Nézzük meg közelebbről az új, ötödik pontot: két síkvektor akkor és csak akkor kollineáris, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:. Ennek a funkciónak a használatához természetesen tudnia kell meghatározó tényezőket találni.

Megoldjuk 1. példa a második módon:

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst! :
, tehát ezek a vektorok kollineárisak.

b) A sík két vektora képez bázist, ha nem kollineáris (lineárisan független). Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst :
, tehát a vektorok lineárisan függetlenek és bázist alkotnak.

Válasz: a), b) forma.

Sokkal kompaktabbnak és szebbnek tűnik, mint egy arányos megoldás.

A vizsgált anyag segítségével nemcsak a vektorok kollinearitása, hanem a szakaszok párhuzamosságának bizonyítása is lehetséges. Nézzünk meg néhány problémát konkrét geometriai alakzatokkal.

3. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy egy négyszög paralelogramma.

Bizonyíték: Nem kell rajzot építeni a feladatban, mivel a megoldás pusztán analitikus lesz. Emlékezzünk a paralelogramma definíciójára:
Paralelogramma Négyszögnek nevezzük, amelyben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak.

Ezért be kell bizonyítani:
1) ellentétes oldalak párhuzamossága és;
2) ellentétes oldalak párhuzamossága és.

Bebizonyítjuk:

1) Keressen vektorokat:

2) Keressen vektorokat:

Az eredmény ugyanaz a vektor ("az iskola szerint" - egyenlő vektorok). A kollinearitás teljesen nyilvánvaló, de a döntést mégis jobb megfelelően, elrendezéssel megszerkeszteni. Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból álló determinánst:
, ezért ezek a vektorok kollineárisak, és.

Kimenet: Egy négyszög szemközti oldalai páronként párhuzamosak, ami azt jelenti, hogy definíció szerint paralelogramma. Q.E.D.

További jó és változatos formák:

4. példa

A négyszög csúcsai adottak. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög trapéz.

A bizonyítás szigorúbb megfogalmazásához természetesen jobb, ha a trapéz definíciójához jutunk, de elég csak megjegyezni, hogyan néz ki.

Ez egy önálló feladat. Tekintse meg a teljes megoldást az oktatóanyag végén.

És most itt az ideje, hogy csendesen mozogjunk síkról űrre:

Hogyan határozható meg a térvektorok kollinearitása?

A szabály nagyon hasonló. Ahhoz, hogy két térvektor kollineáris legyen, szükséges és elegendő, hogy a megfelelő koordinátáik arányosak legyenek.

5. példa

Nézze meg, hogy a következő térvektorok kollineárisak-e:

a) ;
b)
v)

Megoldás:
a) Ellenőrizze, hogy van-e arányossági együttható a vektorok megfelelő koordinátáihoz:

A rendszernek nincs megoldása, így a vektorok nem kollineárisak.

Az "egyszerűsített" az arány ellenőrzésével készül. Ebben az esetben:
- a megfelelő koordináták nem arányosak, ami azt jelenti, hogy a vektorok nem kollineárisak.

Válasz: a vektorok nem kollineárisak.

b-c) Ezek önálló döntési tételek. Próbáld meg kétféleképpen megtervezni.

Létezik egy módszer a térbeli vektorok kollinearitás-ellenőrzésére és harmadrendű determinánson keresztül, ezt a módszert a cikk kiemeli. Vektor vektor szorzata.

A sík esethez hasonlóan a vizsgált eszközökkel térbeli szakaszok és egyenesek párhuzamossága is vizsgálható.

Üdvözöljük a második részben:

A háromdimenziós tér vektorainak lineáris függése és függetlensége.
Téralap és affin koordinátarendszer

Sok minta, amelyet a síkon figyelembe vettünk, az űrre is érvényes lesz. Igyekeztem minimalizálni az elmélet absztraktját, mivel az információ oroszlánrészét már megrágták. Ennek ellenére javaslom, hogy figyelmesen olvassa el a bevezető részt, mert új kifejezések és fogalmak jelennek meg.

Most a számítógépasztal síkja helyett vizsgáljuk meg a háromdimenziós teret. Először is hozzuk létre az alapot. Valaki most a szobában van, valaki az utcán, de mindenesetre nem tudunk kitérni a három dimenziótól: szélesség, hosszúság és magasság. Ezért az alap felépítéséhez három térvektor szükséges. Egy-két vektor nem elég, a negyedik felesleges.

És ismét az ujjainkon melegedünk. Kérem, emelje fel a kezét, és ossza szét. hüvelykujj, mutatóujj és középső ujj... Ezek vektorok lesznek, különböző irányokba néznek, különböző hosszúságúak és eltérő szöget zárnak be egymással. Gratulálunk, a 3D-s alapvonal elkészült! Egyébként ezt nem kell a tanároknak demonstrálni, hiába csavarod az ujjaidat, és a definíciók elől nem tudsz kitérni =)

Ezután tegyünk fel egy fontos kérdést, alkot-e bármely három vektor a háromdimenziós tér bázisát? Nyomja három ujját határozottan a számítógép asztalához. Mi történt? Három vektor található ugyanabban a síkban, és durván szólva az egyik mérésünk eltűnt - a magasság. Ilyen vektorok egysíkúés teljesen nyilvánvaló, hogy a háromdimenziós tér alapja nem jön létre.

Megjegyzendő, hogy a koplanáris vektoroknak nem kell ugyanabban a síkban feküdniük, lehetnek párhuzamos síkokban is (csak ne az ujjaival tedd, így csak Salvador Dali jött le =)).

Meghatározás: vektorokat hívják egysíkú ha van egy sík, amellyel párhuzamosak. Itt logikus hozzátenni, hogy ha ilyen sík nem létezik, akkor a vektorok sem lesznek egysíkúak.

Három koplanáris vektor mindig lineárisan függ, azaz lineárisan fejeződnek ki egymáson keresztül. Az egyszerűség kedvéért képzeljük el újra, hogy ugyanabban a síkban fekszenek. Először is, a vektorok nemcsak egysíkúak, hanem lehetnek kollineárisak is, így bármely vektor kifejezhető bármely vektorral. A második esetben, ha például a vektorok nem kollineárisak, akkor a harmadik vektor egyedi módon fejeződik ki rajtuk: (és miért - könnyen kitalálható az előző rész anyagaiból).

Ez fordítva is igaz: három nem egysíkú vektor mindig lineárisan független, vagyis semmiképpen sem fejeződnek ki egymáson keresztül. És nyilvánvalóan csak ilyen vektorok képezhetik a háromdimenziós tér alapját.

Meghatározás: A háromdimenziós tér alapja lineárisan független (nem egysíkú) vektorok hármasa, meghatározott sorrendben szedve, és a tér bármely vektora egyedi módon az adott bázis szerint felbontva, hol vannak a vektor koordinátái az adott bázisban

Hadd emlékeztesselek arra, hogy azt is mondhatjuk, hogy a vektor az alakban van ábrázolva lineáris kombináció bázisvektorok.

A koordinátarendszer fogalmát pontosan ugyanúgy vezetjük be, mint a sík esetében, elegendő egy pont és bármely három lineárisan független vektor:

eredet, és nem egysíkú vektorok, meghatározott sorrendben szedve, készlet háromdimenziós tér affin koordinátarendszere :

Természetesen a koordináta rács "ferde" és kényelmetlen, de ennek ellenére a felépített koordinátarendszer lehetővé teszi egyértelműen meghatározza bármely vektor koordinátáit és a tér bármely pontjának koordinátáit. A síkhoz hasonlóan a tér affin koordinátarendszerében nem működnek egyes képletek, amelyeket már említettem.

Az affin koordinátarendszer legismertebb és legkényelmesebb speciális esete, ahogy mindenki sejti, az derékszögű tér koordinátarendszer:

Egy pont a térben ún eredet, és ortonormális alap adott a tér derékszögű derékszögű koordinátarendszere ... Ismerős kép:

Mielőtt rátérnénk a gyakorlati feladatokra, újraszervezzük az információkat:

A tér három vektorára a következő állítások ekvivalensek:
1) a vektorok lineárisan függetlenek;
2) a vektorok alapot képeznek;
3) a vektorok nem egysíkúak;
4) a vektorok nem fejezhetők ki lineárisan egymáson keresztül;
5) ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nem nulla.

Az ellenkező kijelentések szerintem érthetőek.

A térvektorok lineáris függését/függetlenségét hagyományosan egy determináns segítségével ellenőrzik (5. tétel). A többi gyakorlati feladat hangsúlyos algebrai jellegű lesz. Ideje a geometrikus botot a szögre akasztani, és a lineáris algebra baseballütőt forgatni:

Három térvektor akkor és csak akkor koplanáris, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla: .

Egy apró technikai árnyalatra hívom fel a figyelmet: a vektorok koordinátái nem csak oszlopokba, hanem sorokba is írhatók (a determináns értéke ettől nem fog változni - lásd a determinánsok tulajdonságait). De sokkal jobb az oszlopokban, mivel jövedelmezőbb néhány gyakorlati probléma megoldására.

Azoknak az olvasóknak, akik egy kicsit elfelejtették a determinánsok számítási módszereit, és talán rosszul is tájékozódtak azoktól, ajánlom egyik legrégebbi leckémet: Hogyan kell kiszámítani a determinánst?

6. példa

Ellenőrizze, hogy a következő vektorok képezik-e a háromdimenziós tér alapját:

Megoldás: Valójában az egész megoldás a determináns kiszámításán múlik.

a) Számítsa ki a vektorok koordinátáiból összeállított determinánst (a determináns az első sorban ki van bővítve):

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek (nem koplanárisak), és a háromdimenziós tér alapját képezik.

Válasz: ezek a vektorok alapot képeznek

b) Ez egy önálló döntés pontja. Teljes megoldás és válasz az oktatóanyag végén.

Vannak kreatív feladatok is:

7. példa

A paraméter mekkora értékénél lesznek a vektorok egysíkúak?

Megoldás: A vektorok akkor és csak akkor síkbeliek, ha ezen vektorok koordinátáiból álló determináns nulla:

Lényegében meg kell oldani egy egyenletet egy determinánssal. A jerboákra nullákat helyezünk, mint a sárkányokat - a legjövedelmezőbb, ha megnyitjuk a meghatározót a második sorban, és azonnal megszabadulunk a mínuszoktól:

További egyszerűsítéseket hajtunk végre, és a dolgot a legegyszerűbb lineáris egyenletre redukáljuk:

Válasz: nál nél

Itt egyszerűen ellenőrizhető, ehhez be kell cserélni a kapott értéket az eredeti determinánsba, és meg kell győződni arról, hogy újranyitásával.

Végezetül megvizsgálunk egy másik tipikus problémát, amely inkább algebrai jellegű, és hagyományosan a lineáris algebra során szerepel. Annyira elterjedt, hogy külön témát érdemelne:

Bizonyítsuk be, hogy 3 vektor alkotja a háromdimenziós tér bázisát
és ebben az alapban keressük meg a 4. vektor koordinátáit

8. példa

Adott vektorok. Mutassuk meg, hogy a vektorok a háromdimenziós tér bázisát képezik, és ebben keressük meg a vektor koordinátáit.

Megoldás: Először is a feltétellel foglalkozunk. Feltétel szerint négy vektor adott, és amint látható, ezeknek már van koordinátájuk valamilyen bázison. Minket nem érdekel, hogy ennek mi az alapja. És a következő dolog érdekes: három vektor új alapot képezhet. És az első szakasz teljesen egybeesik a 6. példa megoldásával, ellenőriznie kell, hogy a vektorok valóban lineárisan függetlenek-e:

Számítsuk ki a vektorok koordinátáiból álló determinánst:

, ezért a vektorok lineárisan függetlenek és a háromdimenziós tér alapját képezik.

! Fontos : vektorok koordinátái szükségszerűenírd le oszlopokba determináns, nem karakterláncokba. Ellenkező esetben zavarok lesznek a további megoldási algoritmusban.

3.3. A vektorok lineáris függetlensége. Alap.

Lineáris egy kombináció vektoros rendszerek

vektornak nevezzük

ahol a 1, a 2, ..., a n - tetszőleges számok.

Ha minden egy i = 0, akkor a lineáris kombinációt hívjuk jelentéktelen ... Ebben az esetben nyilvánvalóan

5. definíció.

Ha vektorrendszerre van egy nemtriviális lineáris kombináció (legalább egy a i ¹ 0) egyenlő a nulla vektorral: akkor a vektorrendszert nevezzük lineárisan függő. Ha az (1) egyenlőség csak akkor lehetséges, ha mind a i =0, akkor a vektorrendszert ún lineárisan független .

2. tétel (A lineáris függés feltételei).

6. definíció.

A 3. tételből ebből következik, hogy ha egy bázis adott a térben, akkor egy tetszőleges vektort hozzáadva lineárisan függő vektorrendszert kapunk. Vminek megfelelően 2. tétel (1) , az egyik (megmutatható, hogy egy vektor) a többi lineáris kombinációjaként ábrázolható:

.

7. definíció.

Számok hívják koordináták vektorok az alapban (jelölése

Ha a vektorokat egy síkon tekintjük, akkor az alap egy rendezett, nem kollineáris vektorpár lesz

és a vektor koordinátái ebben az alapban egy számpár:

3. megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy adott alapra a vektor koordinátái egyedileg meghatározottak . Ebből különösen az következik ha a vektorok egyenlőek, akkor a megfelelő koordinátáik egyenlőek, és fordítva .

Így, ha adott a térben egy bázis, akkor a tér minden vektora egy rendezett számhármasnak felel meg (ebben a bázisban egy vektor koordinátái), és fordítva: minden számhármashoz tartozik egy vektor.

A síkon hasonló megfeleltetés jön létre a vektorok és a számpárok között.

4. tétel (Lineáris műveletek vektorkoordinátákkal).

Ha valamilyen alapon és a Egy tetszőleges szám, akkor ebben az alapban

Más szavakkal:

ha egy vektort megszorozunk egy számmal, akkor a koordinátáit megszorozzuk ezzel a számmal ;

vektorok összeadásakor a megfelelő koordináták hozzáadódnak .

1. példa . Bizonyos alapon a vektorokkoordinátái vannak

Mutassuk meg, hogy a vektorok bázist alkotnak, és keressük meg ebben a bázisban a vektor koordinátáit.

A vektorok akkor képeznek alapot, ha nem egysíkúak, ezért (a szerint 3. tétel (2) ) lineárisan függetlenek.

Definíció szerint 5 ez azt jelenti, hogy az egyenlőség

csak akkor lehetségesx = y = z = 0.

A vektorok lineáris kombinációját tól vektornak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy a vektorok lineáris kombinációinak lineáris kombinációja ismét ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja.

Egy vektorhalmazt lineárisan függetlennek nevezünk, ha a stit egyenlősége csak erre lehetséges. Ha léteznek olyan si-k, amelyek egyidejűleg nem egyenlőek nullával, úgy, hogy stit 0, akkor a vektorhalmazt lineárisan függőnek nevezzük. Ezek a definíciók megegyeznek a 108. oldalon megadottakkal, amikor karakterláncokra alkalmazzák.

Tétel 1. Egy vektorhalmaz akkor és csak akkor lineárisan függ, ha az egyik vektor a többi vektor lineáris kombinációja.

2. állítás Ha a vektorok halmaza lineárisan független, és a halmaz lineárisan függ, akkor a vektor vektorok lineáris kombinációja

3. tézis. Ha a vektorok vektorok lineáris kombinációi, akkor a gyűjtemény lineárisan függ.

Ezeknek az állításoknak a bizonyítása nem különbözik a karakterláncokra vonatkozó hasonló állítások bizonyításaitól (108-110. o.).

A vektorok halmazát generálásnak nevezzük, ha a térben lévő összes vektor lineáris kombinációja. Ha az S térre létezik véges generáló rendszer, akkor a teret véges dimenziósnak mondjuk, egyébként pedig végtelen dimenziósnak. Egy véges dimenziós térben tetszőleges nagy (vektorszámban) lineárisan független vektorgyűjtemények nem létezhetnek, mert a 3. állítás szerint a generáló gyűjteményt a vektorok számát tekintve meghaladó vektorgyűjtemény lineárisan függő.

A fix méretű mátrixok tere és különösen a fix hosszúságú sorok tere véges, generáló rendszerként vehetünk olyan mátrixokat, amelyek az egyik pozícióban egységnyiek, a többiben nullák.

Az összes polinom tere eleve végtelen dimenziós, mert a polinomok gyűjteménye bármelyikre lineárisan független.

A következőkben véges dimenziós terekkel fogunk foglalkozni.

4. tézis. Bármely minimális (a vektorok számát tekintve) generáló vektorhalmaz lineárisan független.

Valóban, legyen a vektorok minimális generáló halmaza. Ha lineárisan függő, akkor az egyik vektor, mondjuk, a többi lineáris kombinációja, és bármely lineáris kombináció egy kisebb vektorhalmaz lineáris kombinációja, amely így generálónak bizonyul.

5. Tétel. Bármilyen maximális (a vektorok számához képest) lineárisan független vektorgyűjtemény keletkezik.

Valóban, legyen a maximális lineárisan független gyűjtemény, és u a tér bármely vektora. Ekkor a és halmaz nem lesz lineárisan független, és a 2. állítás értelmében a vektor a lineáris kombináció

6. tézis. Bármely lineárisan független generátorkészlet minimális a generátorok között, és maximális a lineárisan független generátorok között.

Valóban, legyen egy lineárisan független generáló vektorhalmaz. Ha - valamilyen más generáló halmaz, akkor ezek lineáris kombinációk, és ebből arra következtetünk, hogy ha az lenne, akkor a javaslat értelmében lineárisan függő halmaz lenne. Most legyen valami lineárisan független gyűjtemény. A vektorok vektorok lineáris kombinációi, és ezért ugyanazon kijelentés alapján lineárisan függő halmazt alkotnának.

Így a 4., 5., 6. állítás három fogalom azonosságát állapítja meg - a vektorok minimális generáló halmaza, a vektorok maximális lineárisan független halmaza és egy lineárisan független generáló halmaz.

Az ezeket a feltételeket kielégítő vektorok gyűjteményét a tér bázisának, az alapot alkotó vektorok számát pedig a tér dimenziójának nevezzük. Az S tér méretét jelöljük. Így a dimenzió egyenlő a lineárisan független vektorok maximális számával (gyakran tovább mondjuk a "lineárisan független" és a "lineárisan függő vektorok" szavakat ahelyett, hogy "lineárisan függő halmazt alkotó vektorok" és - ennek megfelelően egy lineárisan független halmaz) és a generáló vektorok minimális száma.

7. tézis. Legyen vektorok lineárisan független gyűjteménye, és számuk kisebb, mint a tér dimenziója. Ezután egy vektort csatolhatunk hozzájuk, így a gyűjtemény lineárisan független marad.

Bizonyíték. Tekintsünk sok lineáris kombinációt. Nem meríti ki a teljes teret, mert nem képez vektorok generáló halmazát. Vegyünk egy vektort, amely nem lineáris kombináció

Akkor ez egy lineárisan független gyűjtemény, mivel különben a 2. állítás értelmében vektorok lineáris kombinációja lenne.

A 7. állításból az következik, hogy bármely lineárisan független vektorgyűjtemény kiegészíthető bázisra.

Ugyanez a mondat és annak bizonyítása jelzi az alapválasztás önkényének természetét. Valóban, ha veszünk egy tetszőleges nullától eltérő vektort, akkor azt úgy egészíthetjük ki az alapra, hogy a második vektort tetszés szerint vesszük, csak nem az első lineáris kombinációja, a harmadik, ahogy tetszik, csak nem az első lineáris kombinációja. kettő stb.

Lehetséges "leszállni" a bázisra, egy tetszőleges generáló halmazból kiindulva.

8. állítás. A vektorok bármely generáló halmaza tartalmaz egy bázist.

Valóban, legyen vektorok generáló halmaza. Ha lineárisan függő, akkor az egyik vektora a többi lineáris kombinációja, és kizárható a generáló halmazból. Ha a fennmaradó vektorok lineárisan függőek, akkor még egy vektort ki lehet zárni, és így tovább, amíg egy lineárisan független generáló halmaz, azaz bázis marad.