Az euklideszi tér skaláris szorzatának definíciói. Euklideszi terek

3. §. A vektortér mérete és alapja

Vektorok lineáris kombinációja

Triviális és nem triviális lineáris kombináció

Lineárisan függő és lineárisan független vektorok

A vektorok lineáris függésével kapcsolatos vektortér-tulajdonságok

NS-dimenziós vektortér

A vektortér mérete

Vektor kiterjesztése bázisban

4. §. Áttérés új alapra

A régi alapról az újra való átmenet mátrixa

Vektor koordináták az új bázisban

§5. Euklideszi tér

Skaláris szorzat

Euklideszi tér

Egy vektor hossza (normája).

Vektor hossz tulajdonságai

Szög vektorok között

Ortogonális vektorok

Ortonormális alap

3. §. A vektortér mérete és alapja

Vegyünk egy vektorteret (V, M,) a mező felett R... Legyen a V halmaz néhány eleme, pl. vektorok.

Lineáris kombináció vektorok bármely vektor, amely egyenlő ezen vektorok mező tetszőleges elemei szorzatának összegével R(azaz skalárokon):

Ha minden skalár egyenlő nullával, akkor egy ilyen lineáris kombinációt nevezünk jelentéktelen(legegyszerűbb), és.

Ha legalább egy skalár nem nulla, a lineáris kombinációt hívjuk nem triviális.

A vektorokat ún lineárisan független ha csak ezeknek a vektoroknak a triviális lineáris kombinációja:

A vektorokat ún lineárisan függő ha van ezeknek a vektoroknak legalább egy nem triviális lineáris kombinációja egyenlő.

Példa... Tekintsük a valós számok négyeseinek rendezett halmazait - ez egy vektortér a valós számok mezője felett. Feladat: derítse ki, hogy vannak-e vektorok , és lineárisan függő.

Megoldás.

Készítsünk lineáris kombinációt ezekből a vektorokból:, ahol ismeretlen számok vannak. Követeljük meg, hogy ez a lineáris kombináció egyenlő legyen a nulla vektorral:.

Ebben az egyenlőségben a vektorokat számoszlopok formájában írjuk fel:

Ha vannak számok, amelyekre ez az egyenlőség fennáll, és legalább az egyik szám nem nulla, akkor ez egy nemtriviális lineáris kombináció, és a vektorok lineárisan függenek.

Tegyük a következőket:

Így a probléma egy lineáris egyenletrendszer megoldására redukálódik:

Megoldva a következőket kapjuk:

A rendszer kiterjesztett és alapmátrixának rangsorai egyenlőek és kisebbek az ismeretlenek számánál, ezért a rendszernek végtelen számú megoldása van.

Hagyjuk, akkor és.

Tehát ezekhez a vektorokhoz van egy nemtriviális lineáris kombináció, például at, amely egyenlő a nulla vektorral, ami azt jelenti, hogy ezek a vektorok lineárisan függenek.

Jegyezzünk meg néhányat vektorok lineáris függésével kapcsolatos vektortér-tulajdonságok:

1. Ha a vektorok lineárisan függőek, akkor legalább az egyik a többi lineáris kombinációja.

2. Ha a vektorok között van egy nulla vektor, akkor ezek a vektorok lineárisan függőek.

3. Ha a vektorok egy része lineárisan függő, akkor ezek a vektorok mindegyike lineárisan függő.

A V vektorteret ún NS-dimenziós vektortér ha tartalmaz NS lineárisan független vektorok és a ( NS+ 1) vektorok lineárisan függő.

Szám NS hívott vektortér dimenziója, és jelölve halvány (V) az angol "dimension" szóból - dimenzió (dimenzió, méret, méret, méret, hossz stb.).

Az aggregátum NS lineárisan független vektorok NS-dimenziós vektorteret nevezünk alapon.

(*)

Tétel(a vektor bővítéséről a bázis szempontjából): A vektortér minden vektora ábrázolható (és ráadásul egyedi módon) a bázis vektorainak lineáris kombinációja formájában.:

A (*) képletet nevezzük a vektor dekompozíciója alapjánés a számok – vektor koordináták ezen az alapon .

Egy vektortérben egynél több vagy akár végtelen sok bázis is lehet. Minden új bázisban ugyanannak a vektornak különböző koordinátái lesznek.

4. §. Áttérés új alapra

A lineáris algebrában gyakran felmerül az a probléma, hogy egy vektor koordinátáit új bázisban találjuk meg, ha ismertek a régi bázis koordinátái.

Fontolja meg néhányat NS-dimenziós vektortér (V, +,) a mező felett R... Legyen két alap ezen a téren: régi és új .

Feladat: keressük meg egy vektor koordinátáit új bázisban.

Legyen az új bázis vektorai a régi bázisban a dekompozícióval:

,

A vektorok koordinátáit ne sorokba írjuk be a mátrixba, ahogy a rendszerbe írják, hanem oszlopokba:

A kapott mátrixot ún átmeneti mátrix a régi alapról az újra.

Az átmeneti mátrix a régi és az új bázis bármely vektorának koordinátáit a következőképpen köti össze:

,

hol vannak a vektor szükséges koordinátái az új bázisban.

Így a vektor koordinátáinak új bázisban való megtalálásának problémája a következő mátrixegyenlet megoldására redukálódik:, ahol NS- vektorkoordináták mátrixoszlopa a régi bázisban, A- a régi alapról az újra való átmenet mátrixa, NS* - a vektorkoordináták szükséges mátrixoszlopa egy új bázisban. A mátrix egyenletből a következőket kapjuk:

Így, vektor koordináták új alapon egyenlőségből találhatók:

.

Példa. Bizonyos alapokon a vektorkiterjesztések adottak:

Keresse meg a vektor koordinátáit a bázisban!

Megoldás.

1. Írjuk fel az új bázisra való átmenet mátrixát, azaz! a vektorok koordinátáit a régi bázisban oszlopokba írjuk:

2. Keresse meg a mátrixot A –1:

3. Hajtsa végre a szorzást, ahol a vektor koordinátái vannak:

Válasz: .

5. §. Euklideszi tér

Fontolja meg néhányat NS-dimenziós vektortér (V, +,) a valós számok mezeje felett R... Legyen valami alapja ennek a térnek.

Bevezetés ebben a vektortérben metrikus, azaz határozzon meg egy módszert a hosszúságok és szögek mérésére. Ehhez definiáljuk a skaláris szorzat fogalmát.

Tekintsük az L lineáris teret. A vektorok összeadása és a vektor számmal való szorzása mellett bevezetünk még egy műveletet ebben a térben - a skaláris szorzás műveletét.

1. definíció

Ha minden vektorpár a , b Î L valamilyen szabály szerint egy valós számot társít, amelyet a ( a , b ) és megfelel a feltételeknek

1. (a , b ) = (b ,a ),

2. (a + val vel , b ) = (a , b ) + (val vel , b ),

3. (a a , b ) = a ( a , b )

4. > 0 " a ¹ 0 és = 0 Û a = 0 ,

akkor ezt a szabályt nevezzük skaláris szorzás , és a szám ( a , b ) nak, nek hívják pont termék vektor a vektoronként b .

A számot hívják skaláris négyzet vektor a és jelöli, azaz.

Az 1) - 4) feltételeket meghívjuk pont termék tulajdonságai: az első az ingatlan szimmetria(kommutativitás), a második és harmadik - a tulajdonságok szerint linearitás, negyedik - pozitív határozottság, és az Û feltételt feltételnek nevezzük nem-degeneráltság pont termék.

2. definíció

Euklideszi tér valós lineáris térnek nevezzük, amelyen bevezetjük a vektorok skaláris szorzásának műveletét.

Az euklideszi teret E-vel jelöljük.

A skalárszorzat 1) - 4) tulajdonságait nevezzük axiómák Euklideszi tér.

Tekintsünk példákat az euklideszi terekre.

· A V 2 és V 3 terek euklideszi terek, hiszen rajtuk az összes axiómát kielégítő skaláris szorzatot a következőképpen határoztuk meg

Az R lineáris térben NS(x) fokszámú polinomok legfeljebb NS vektorok skaláris szorzása, és bevezethető a képlettel

Ellenőrizzük a bevezetett művelet skaláris szorzat tulajdonságainak teljesülését.

2) Fontolja meg. Akkor engedd

4) . De bármely szám négyzetösszege mindig nagyobb vagy egyenlő nullával, és akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha ezek a számok mindegyike nulla. Ennélfogva, ha a polinom nem azonos nulla (azaz együtthatói között vannak nem nullák), és Û mikor, ami azt jelenti.

Így a skaláris szorzat összes tulajdonsága teljesül, ami azt jelenti, hogy az egyenlőség határozza meg a vektorok skaláris szorzását az R térben. NS(x), és ez a tér maga is euklideszi.

Az R lineáris térben n skaláris vektor szorzás vektoronként képlettel határozható meg

Mutassuk meg bármely lineáris térben skaláris szorzás definiálható, azaz. bármely lineáris tér euklideszi térré tehető. Ehhez vegye be az L helyet nönkényes alapon ( a 1 , a 2 , …, a NS). Engedd be ezt az alapot

a= egy 1 a 1 + a 2 a 2 + ... + a NSa NSés b = b 1 a 1 + b 2 a 2 + ... + b NSa NS.

(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a NS b NS. (*)

Ellenőrizzük a skaláris szorzattulajdonságok teljesülését:

1) (a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a NS b NS= b 1 a 1 + b 2 a 2 +… + b NS a NS= (b , a ),

2) Ha, akkor

Azután

(a+ val vel , b ) =

= (a , b ) + (val vel , b ).

3. (l a , b ) = (la 1) b 1 + (la 2) b 2 + ... + (la NS) b NS= la 1 b 1 + la 2 b 2 + ... + la NS b NS =

L (a 1 b 1) + l (a 2 b 2) +… + l (a NS b NS) = l ( a , b ).

4. " a ¹ 0 és csak akkor, ha minden a én= 0, azaz a = 0 .

Ezért az egyenlőség ( a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a NS b NS L-ben határozza meg n skaláris szorzat.

Vegye figyelembe, hogy a figyelembe vett egyenlőség ( a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a NS b NS a tér különböző bázisaihoz ugyanazon vektorok skaláris szorzatának különböző értékeit adja meg a és b ... Sőt, a pontszorzat alapvetően eltérő módon definiálható. Ezért a pontszorzat definícióját a (*) egyenlőséggel fogjuk nevezni. hagyományos.

3. definíció

A norma vektor a ennek a vektornak a skalárnégyzetének négyzetgyökének számtani értéke.

A vektornormát || jelöli a ||, vagy [ a ], vagy | és | ... Tehát akkor a meghatározás,

||a || .

A norma következő tulajdonságai érvényesülnek:

1. ||a || = 0 Û a =0 .

2. || a a || = |a |. || a || "egy ÎR.

3. |(a , b )| £ || a ||.||b || (a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség).

4. ||a +b || £ || a || + ||b || (háromszög egyenlőtlenség).

A V 2 és V 3 euklideszi terekben a skaláris szorzással adott hagyományos módon a vektor normája ` a ott van a hossza

||`a|| = |`a|.

Az euklideszi térben R n skaláris szorzással a vektor normája egyenlő

||a || = .

4. definíció

Vektor a Az euklideszi teret ún normalizálva (vagy egyetlen) ha normája eggyel egyenlő: || a || = 1.

Ha a ¹ 0 , akkor vektorok és egységvektorok. Egy adott vektor keresése a a megfelelő egységvektort (vagy) hívjuk jegyrendszer vektor a .

A Cauchy - Bunyakovsky egyenlőtlenségből az következik, hogy

Ahol ,

ezért az arányt valamely szög koszinuszának tekinthetjük.

5. definíció

j szög (0 £ j szög vektorok között a és b Euklideszi tér.

Így a vektorok közötti szög a és b Az euklideszi teret a képlet határozza meg

j = = arccos.

Megjegyzendő, hogy a skaláris szorzás bevezetése a lineáris térben lehetővé teszi a geometriai vektorok terében végzett mérésekhez hasonló „mérések” elvégzését ebben a térben, nevezetesen a vektorok „hosszának” és a vektorok közötti „szögeknek” a mérését. , míg a skaláris szorzás megadásának formájának megválasztása hasonló az ilyen mérések "skálájának" kiválasztásához. Ez lehetővé teszi a mérésekhez kapcsolódó geometriai módszerek tetszőleges lineáris terekre való kiterjesztését, jelentősen erősítve ezzel az algebrában és az elemzésben megtalálható matematikai objektumok tanulmányozásának eszközeit.

6. definíció

Vektorok a és b Az euklideszi tereket ún ortogonális ha a pontszorzatuk nulla:

Figyeljük meg, hogy ha legalább az egyik vektor nulla, akkor az egyenlőség fennáll. Valóban, azóta a nulla vektort így ábrázolhatjuk 0 = 0.a , azután ( 0 , b ) = (0.a , b ) = 0.(a , b ) = 0. Ezért a nulla vektor ortogonális bármely vektorra Euklideszi tér.

7. definíció

Vektoros rendszer a 1 , a 2 , …, a T Az euklideszi teret ún ortogonális ha ezek a vektorok páronként ortogonálisak, azaz.

(a én, a j) = 0 "én¹ j, én,j=1,2,…,m.

Vektoros rendszer a 1 , a 2 , …, a T Az euklideszi teret ún ortonormális (vagy ortonormális ) ha ortogonális és minden vektora normalizált, azaz.

(a én, a j) = , én,j= 1,2, …, m.

Egy ortogonális vektorrendszer a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. Ha Nem nulla vektorok ortogonális rendszere, akkor a rendszer ennek a rendszernek mindegyik vektorának normalizálásával kapott érték szintén ortogonális.

2. A nullától eltérő vektorok ortogonális rendszere lineárisan független.

Ha bármely ortogonális, tehát ortonormalizált vektorrendszer lineárisan független, akkor egy ilyen rendszer képezheti egy adott tér bázisát? Erre a kérdésre a következő tétel ad választ.

3. tétel

Bármilyen NS-dimenziós euklideszi tér ( ) van ortonormális alapja.

Bizonyíték

A tétel bizonyítása azt jelenti megtalálja ezt az alapot. Ezért a következőképpen járunk el.

Tekintsünk egy adott euklideszi térben egy tetszőleges bázist ( a 1 , a 2 , …, a n), egy ortogonális bázis létrehozására használjuk ( g 1 , g 2 , …, g n), majd normalizálja ennek a bázisnak a vektorait, azaz. fel. Ekkor a vektorok rendszere ( e 1 , e 2 ,…, e n) ortonormális alapot képez.

Szóval legyen B :( a 1 , a 2 , …, a n) A vizsgált tér önkényes alapja.

1. Rakjuk

g 1 = a 1 ,g 2 = a 2 + g 1

és válassza ki az együtthatót úgy, hogy a vektor g A 2. ábra merőleges volt a vektorra g 1, azaz ( g 1 , g 2) = 0. Mivel

,

majd egyenlőségből találjuk = -.

Aztán a vektor g 2 = a 2 – g 1 merőleges a vektorra g 1 .

g 3 = a 3 + g 1 + g 2 ,

és válassza ki és úgy, hogy a vektor g 3 ortogonális volt és g 2, és g 3, azaz ( g 1 , g 3) = 0 és ( g 2 , g 3) = 0. Keresse meg

Aztán az egyenlőségből és ennek megfelelően találjuk és .

Így a vektor g 3 = a 3 –` g 1 – g 2 merőleges a vektorokra g 1 és g 2 .

Hasonlóképpen megszerkesztjük a vektort

g 4 = a 4 –` g 1 – g 2 – g 3 .

Könnyű ellenőrizni, hogy ( g 1 , g 4) = 0, (g 2 , g 4) = 0, (g 3 , g 4) = 0. 2 – … – g k –1 ,k = 2, 3, …,n.

3) Normalizálja a kapott vektorrendszert ( g 1 , g 2 , …, g NS), azaz tegye .

4) Írd le az ortonormális alapot ( e 1 , e 2 , …, e n}.

A következőkben az ortonormális alapot jelöljük

B 0 :( e 1 , e 2 , …, e n}.

Jegyezze meg a következőket egy ortonormális alap tulajdonságai.

1) Ortonormális alapon a tér bármely két vektorának skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével: ( a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 +… + a NS b NS.

2) Ha valamelyik bázisban két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével, akkor ez a bázis ortonormális.

Így az euklideszi tér bármely alapja ortonormális lesz, ha skaláris szorzat vektorkoordináták szorzatának összegeként definiálva ezen az alapon.

3) Az ortonormális alapban a vektornorma egyenlő a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökével.

||a || = .

8. definíció.

Az M halmazt hívjuk metrikus tér ha van olyan szabály, amely szerint bármely két eleme NS és nál nél valami r valós szám ( NS ,nál nél ) hívott távolság ezen elemek között, teljesítve a feltételeket:

1.r ( NS ,nál nél ) = r ( nál nél ,NS );

2.r ( NS ,nál nél ) ³0 bármely NS és nál nél , és r ( NS ,nál nél ) = 0 akkor és csak akkor NS = nál nél ;

3.r ( NS ,nál nél ) £ r ( NS , z ) + r ( nál nél , z ) bármely három elemre NS , nál nél , z ÎM.

A metrikus tér elemeit ún pontok.

Példa a metrikus térre az R tér n, benne a pontok (ennek a térnek a vektorai) közötti távolság az r képlettel határozható meg NS ,nál nél ) = || NS – nál nél ||.

Olyan vektortérnek megfelelő. Ebben a cikkben az első meghatározást tekintjük kiindulási pontnak.

N (\ displaystyle n)-dimenziós euklideszi teret jelölünk E n, (\ displaystyle \ mathbb (E) ^ (n),) a jelölést is gyakran használják (ha a szövegkörnyezetből egyértelműen látszik, hogy a tér euklideszi szerkezetű).

Főiskolai YouTube

1 / 5

✪ 04 - Lineáris algebra. Euklideszi tér

✪ Nem euklideszi geometria. Első rész.

✪ Nem euklideszi geometria. Második rész

✪ 01 - Lineáris algebra. Lineáris (vektor) tér

✪ 8. Euklideszi terek

Feliratok

Formális meghatározás

Az euklideszi tér meghatározásához a legegyszerűbb a skaláris szorzat fogalmát venni főként. Az euklideszi vektortér a valós számok mezeje feletti véges dimenziós vektortér, amelynek vektoraira valós értékű függvény van megadva. (⋅, ⋅), (\ displaystyle (\ cdot, \ cdot),) a következő három tulajdonsággal rendelkezik:

Példa az euklideszi térre - koordinátatérre R n, (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n),) amely a valós számok összes lehetséges sorából áll (x 1, x 2,…, x n), (\ displaystyle (x_ (1), x_ (2), \ ldots, x_ (n)),) pontszorzat, amelyben a képlet határozza meg (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n. (\ megjelenítési stílus (x, y) = \ összeg _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) y_ (i) = x_ (1) y_ (1) + x_ (2) y_ (2) + \ cdots + x_ (n) y_ (n).)

Hosszúságok és szögek

Az euklideszi téren megadott skaláris szorzat elegendő a hossz és a szög geometriai fogalmának bevezetéséhez. Vektor hossza u (\ displaystyle u) ként meghatározott (u, u) (\ displaystyle (\ sqrt ((u, u))))és jelöltük | u | ... (\ displaystyle | u |.) A pontszorzat pozitív meghatározottsága garantálja, hogy egy nem nulla vektor hossza nem nulla, a bilinearitás pedig azt jelenti, hogy | a u | = | a | | u | , (\ displaystyle | au | = | a || u |,) vagyis az arányos vektorok hossza arányos.

Szög vektorok között u (\ displaystyle u)és v (\ displaystyle v) képlet határozza meg φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |). (\ displaystyle \ varphi = \ arccos \ left ((\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ right).) A koszinusz tételből az következik, hogy egy kétdimenziós euklideszi tér esetén ( euklideszi sík) ez a szögdefiníció egybeesik a szokásos definícióval. Az ortogonális vektorok, akárcsak a háromdimenziós térben, vektorokként definiálhatók, amelyek között a szög egyenlő π 2. (\ displaystyle (\ frac (\ pi) (2)).)

A Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-egyenlőtlenség és a háromszög-egyenlőtlenség

A szög fent megadott definíciójában egy hely marad: annak érdekében, hogy arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) (\ displaystyle \ arccos \ left ((\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ right)) határozták meg, szükséges, hogy az egyenlőtlenség | (x, y) | x | | y | | ⩽ 1. (\ displaystyle \ left | (\ frac ((x, y)) (| x || y |)) \ right | \ leqslant 1.) Ez az egyenlőtlenség valóban fennáll egy tetszőleges euklideszi térben, ezt nevezik Cauchy-Bunyakovsky-Schwartz-egyenlőtlenségnek. Ez az egyenlőtlenség viszont magában foglalja a háromszög egyenlőtlenséget: | u + v | ⩽ | u | + | v | ... (\ displaystyle | u + v | \ leqslant | u | + | v |.) A háromszög egyenlőtlenség a fent felsorolt ​​hossztulajdonságokkal együtt azt jelenti, hogy a vektor hossza az euklideszi vektortér norma, és a függvény d (x, y) = | x - y | (\ displaystyle d (x, y) = | x-y |) egy metrikus tér szerkezetét határozza meg az euklideszi téren (ezt a függvényt euklideszi metrikának nevezik). Különösen az elemek (pontok) közötti távolság x (\ displaystyle x)és y (\ displaystyle y) koordináta tér R n (\ displaystyle \ mathbb (R) ^ (n)) képlet adja meg d (x, y) = ‖ x - y ‖ = ∑ i = 1 n (x i - y i) 2. (\ displaystyle d (\ mathbf (x), \ mathbf (y)) = \ | \ mathbf (x) - \ mathbf (y) \ | = (\ sqrt (\ sum _ (i = 1) ^ (n)) (x_ (i) -y_ (i)) ^ (2))).)

Algebrai tulajdonságok

Ortonormális alapok

Konjugált terek és operátorok

Bármilyen vektor x (\ displaystyle x) Az euklideszi tér egy lineáris függvényt határoz meg x ∗ (\ displaystyle x ^ (*)) ezen a téren, úgy definiálva x ∗ (y) = (x, y). (\ displaystyle x ^ (*) (y) = (x, y).) Ez a leképezés izomorfizmus az euklideszi tér és az

Euklideszi tér

Euklideszi tér(is Euklideszi tér) - eredeti értelemben olyan tér, amelynek tulajdonságait az euklideszi geometria axiómái írják le. Ebben az esetben feltételezzük, hogy a tér mérete 3.

Mai értelemben, általánosabb értelemben az alábbiakban meghatározott hasonló és szorosan összefüggő objektumok valamelyikét jelölheti. Általában -dimenziós euklideszi teret jelölnek, bár gyakran nem egészen elfogadható jelölést használnak.

,

a legegyszerűbb esetben ( Euklideszi norma):

ahol (az euklideszi térben mindig választhatunk olyan alapot, amelyben ez a legegyszerűbb változat helyes).

2. A fent leírt térnek megfelelő metrikus tér. Vagyis a képlet által megadott mérőszámmal:

,

Kapcsolódó definíciók

• Alatt Euklideszi metrika a fent leírt mérőszám, valamint a megfelelő Riemann-metrika érthető.

• Lokális euklideszi alatt általában azt értjük, hogy a Riemann-sokaság minden érintőtere egy euklideszi tér, amely tartalmazza az összes ebből következő tulajdonságot, például annak lehetőségét (a metrika simaságát tekintve), hogy egy pont koordinátáit egy kis környezetbe bevezetjük amelyek távolságát a fent leírtak szerint fejezzük ki (bizonyos sorrendig).

• A metrikus teret lokálisan euklideszinek is nevezik, ha mindenhol (vagy legalábbis egy véges tartományon) be lehet vezetni rajta olyan koordinátákat, amelyekben a metrika euklideszi (a második definíció értelmében) - ami pl. Nulla görbületű Riemann sokaság.

Példák

A terek az euklideszi terek szemléltető példáiként szolgálhatnak:

Egy elvontabb példa:

Változatok és általánosítások

Lásd még

Linkek

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Nézze meg, mi az "euklideszi tér" más szótárakban:

Egy véges dimenziós vektortér pozitív határozott pontszorzattal. Ez közvetlen. a szokásos háromdimenziós tér általánosítása. Az E. p.-ben vannak derékszögű koordináták, amelyekben az x vektorok skaláris szorzata (xy) ... Fizikai enciklopédia

Olyan tér, amelynek tulajdonságait az euklideszi geometria tanulmányozza. Tágabb értelemben az euklideszi tér egy n-dimenziós vektortér, amelyben a skaláris szorzat definiálva van... Nagy enciklopédikus szótár

Euklideszi tér- tér, melynek tulajdonságait az euklideszi geometria axiómái írják le. Leegyszerűsítve az euklideszi teret úgy definiálhatjuk, mint egy síkon vagy egy háromdimenziós térfogatban lévő teret, amelyben téglalap (derékszögű) koordináták vannak megadva, és ... ... A modern természettudomány kezdetei

Euklideszi tér- lásd: Többdimenziós (n-dimenziós) vektortér, vektoros (lineáris) tér ... Közgazdasági és matematikai szótár

euklideszi tér- - [L.G. Sumenko. Az angol orosz információs technológiai szótár. M .: GP TsNIIS, 2003.] Témák az információs technológiákról általában EN Descartes tér ... Műszaki fordítói útmutató

Olyan tér, amelynek tulajdonságait az euklideszi geometria tanulmányozza. Tágabb értelemben az euklideszi tér egy n-dimenziós vektortér, amelyben a skaláris szorzat definiálva van. * * * Euklideszi tér Euklideszi ... ... enciklopédikus szótár

Tér, amelynek tulajdonságait az euklideszi geometria tanulmányozza. Tágabb értelemben az E. n. az úgynevezett. n dimenziós vektortér, amelyben a skaláris szorzat definiálva van... Természettudomány. enciklopédikus szótár

A tér, amelynek tulajdonságait az euklideszi geometria axiómái írják le. Általánosabb értelemben az E. n egy véges dimenziós valós Rn vektortér (x, y), x skaláris szorzattal, egy rajban, megfelelően kiválasztott koordinátákkal ... ... Matematikai enciklopédia

- (matematikában) olyan tér, amelynek tulajdonságait az euklideszi geometria axiómái írják le (Lásd: Euklideszi geometria). Általánosabb értelemben egy E. n.-t n-dimenziós vektortérnek nevezünk, amelyben lehetőség van néhány speciális ... ... Nagy szovjet enciklopédia

- [másik görög nevén. matematikus Euklidész (Eukleidész; Kr. e. 3. század)] tér, beleértve a többdimenziós, amelybe be lehet adni x1, ..., xn koordinátákat úgy, hogy az M (x1 ..., xn) pontok közötti p (M, M) távolság ) és M (x1, .... xn) talán ... ... Nagy enciklopédikus politechnikai szótár

Euklideszi terek
Hordozható Windows alkalmazások a Bodrenko.com oldalon

4. fejezet
Euklideszi terek

Az analitikus geometria során az olvasó ismeri a két szabad vektor skaláris szorzatának fogalmát és a feltüntetett skaláris szorzat négy alapvető tulajdonságát. Ebben a fejezetben olyan tetszőleges lineáris tereket vizsgálunk, amelyek elemeire valamilyen módon (és nem mindegy, hogy milyen módon) van meghatározva egy szabály, amely bármely két elemet az elemek skaláris szorzatának nevezett számhoz rendel. Ebben az esetben csak az a fontos, hogy ennek a szabálynak ugyanaz a négy tulajdonsága legyen, mint a két szabad vektor pontszorzatának összeállítására vonatkozó szabálynak. Azokat a lineáris tereket, amelyekben ez a szabály meg van határozva, euklideszi tereknek nevezzük. Ez a fejezet tisztázza a tetszőleges euklideszi terek alapvető tulajdonságait.

1. § A valódi euklideszi tér és legegyszerűbb tulajdonságai

1. A valós euklideszi tér meghatározása. Az R valós lineáris teret ún igazi euklideszi tér(vagy egyszerűen Euklideszi tér), ha a következő két feltétel teljesül.
I. Van egy szabály, amely szerint ennek a térnek az x és y tetszőleges két elemét egy valós számhoz társítjuk, ún pont termék ezeket az elemeket, és az (x, y) szimbólummal jelöljük.
P. Erre a szabályra a következő négy axióma érvényes:
1 °. (x, y) = (y, x) (elmozdulási tulajdonság vagy szimmetria);
2 °. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (eloszlási tulajdonság);
3 °. (λ x, y) = λ (x, y) bármely valós λ esetén;
4 °. (x, x)> 0, ha x nem nulla elem; (x, x) = 0, ha x nulla elem.
Hangsúlyozzuk, hogy az euklideszi tér fogalmának bevezetésekor nemcsak a vizsgált objektumok természetétől elvonatkoztatunk, hanem az elemek összegének kialakítására vonatkozó szabályok sajátos formájától is, az elem számmal való szorzatától. és az elemek skaláris szorzata (csak az a fontos, hogy ezek a szabályok kielégítsék a lineáris tér nyolc axiómáját és négy axióma pontszorzat).
Ha a vizsgált objektumok természetét és a felsorolt ​​szabályok típusát feltüntetjük, akkor az euklideszi tér ún. különleges.
Adjunk példákat konkrét euklideszi terekre.
1. példa Tekintsük az összes szabad vektor В 3 lineáris terét. Bármely két vektor skaláris szorzatát úgy definiáljuk, ahogyan az analitikus geometriában megtörtént (azaz ezeknek a vektoroknak a hosszának a köztük lévő szög koszinuszának szorzataként). Az analitikus geometria során az 1 ° - 4 ° axiómák úgynevezett skaláris szorzatára igazoltuk az érvényességet (lásd az "Analitikus geometria" számot, 2. fejezet, 2. §, 3. tétel). Ezért a В 3 tér az így meghatározott skaláris szorzattal egy euklideszi tér.
2. példa Tekintsük az a ≤ t ≤ b szakaszon definiált és folytonos x (t) függvények végtelen dimenziós lineáris terét C [a, b]. Két ilyen x (t) és y (t) függvény skaláris szorzatát ezen függvények szorzatának integráljaként határozzuk meg (a-tól b-ig terjedő tartományban).

Alapvetően fontos ellenőrizni az 1 ° -4 ° axiómák úgy definiált skaláris szorzatának érvényességét. Valóban, az 1. axióma érvényessége nyilvánvaló; a 2 ° és 3 ° axiómák érvényessége a határozott integrál lineáris tulajdonságaiból következik; a 4° axióma érvényessége abból következik, hogy egy folytonos nemnegatív x 2 (t) függvény integrálja nemnegatív, és csak akkor tűnik el, ha ez a függvény az a ≤ t ≤ b szakaszon azonos nullával (lásd a " A matematikai elemzés alapjai", I. rész, az 1. szakasz 6. szakaszának 10. fejezetének 1. és 2. tulajdonságai) (azaz a vizsgált tér nulla eleme).
Így a C [a, b] tér az így meghatározott skaláris szorzattal a következő végtelen dimenziós euklideszi tér.
3. példa Az euklideszi tér következő példája egy n-dimenziós A lineáris teret ad meg n valós szám n rendezett gyűjteményéből, bármely két elem skaláris szorzata x = (x 1, x 2, ..., xn) és y = (y 1, y 2, ..., yn), amelyet az egyenlőség határoz meg

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Az 1° axióma érvényessége az így meghatározott skaláris szorzatra nyilvánvaló; a 2 ° és 3 ° axiómák érvényessége könnyen ellenőrizhető, elegendő felidézni az elemek összeadásának és számokkal való szorzásának műveleteinek meghatározását:

(x 1, x 2, ..., x n) + (y 1, y 2, ..., yn) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., xn + yn) ,

λ (x 1, x 2, ..., x n) = (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n);

végül a 4° axióma érvényessége abból következik, hogy (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ... + xn 2 mindig nemnegatív szám, és csak az x 1 = x feltétel mellett tűnik el. 2 =... = x n = 0.
Az ebben a példában vizsgált euklideszi teret gyakran az E n szimbólummal jelöljük.
4. példa Ugyanabban az А n lineáris térben bevezetjük bármely két x = (x 1, x 2, ..., xn) és y = (y 1, y 2, ..., yn) elem skaláris szorzatát. ) nem a (4.2) relációt, hanem más, általánosabb módon.
Ehhez vegyünk egy n rendű négyzetmátrixot

A (4.3) mátrix segítségével alkosson homogén másodrendű polinomot n x 1, x 2, ..., x n változóra

Előretekintve megjegyezzük, hogy egy ilyen polinomot ún másodfokú forma(a (4.3) mátrix által generált) (a másodfokú formákat a könyv 7. fejezete szisztematikusan tanulmányozza).
A (4.4) másodfokú alakot ún pozitívan meghatározott ha az x 1, x 2, ..., xn változók összes értékéhez szigorúan pozitív értékeket vesz fel, egyidejűleg nem egyenlő nullával (a könyv 7. fejezete jelzi a pozitív meghatározottság szükséges és elégséges feltételét másodfokú alak).
Mivel x 1 = x 2 = ... = x n = 0 esetén a (4.4) másodfokú alak nyilvánvalóan egyenlő nullával, akkor azt mondhatjuk, hogy pozitív határozott
a másodfokú alak csak akkor tűnik el, ha x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Megköveteljük, hogy a (4.3) mátrix teljesítsen két feltételt.
1 °. Pozitív határozott másodfokú formát generált (4.4).
2 °. Szimmetrikus volt (a főátlóhoz képest), i.e. teljesíti az a ik = a ki feltételt minden i = 1, 2, ..., n és k = I, 2, ..., n esetén.
A (4.3) mátrix segítségével, amely teljesíti az 1 ° és 2 ° feltételt, meghatározzuk bármely két x = (x 1, x 2, ..., xn) és y = (y 1, y 2, .) elem skaláris szorzatát. . , yn) a А n tér relációjával

Könnyen ellenőrizhető az összes 1 ° -4 ° axióma érvényessége az így meghatározott skaláris szorzatra. Valójában a 2° és 3° axiómák nyilvánvalóan érvényesek egy teljesen tetszőleges mátrixra (4.3); az 1° axióma érvényessége a mátrixra vonatkozó szimmetriafeltételből következik (4.3), a 4° axióma érvényessége pedig abból, hogy a (4.4) másodfokú alak, amely a skaláris szorzat (x, x) pozitív határozott.
Így az А n tér a (4.5) egyenlőséggel meghatározott skaláris szorzattal, feltéve, hogy a (4.3) mátrix szimmetrikus és az általa generált másodfokú alak pozitív határozott, euklideszi tér.
Ha az identitásmátrixot vesszük (4.3) mátrixnak, akkor a (4.4) relációból (4.2) alakul át, és megkapjuk a 3. példában figyelembe vett Еn euklideszi teret.
2. Egy tetszőleges euklideszi tér legegyszerűbb tulajdonságai. Az ebben az alfejezetben megállapított tulajdonságok teljesen tetszőleges, véges és végtelen dimenziójú euklideszi térre is érvényesek.
4.1. Tétel.Egy tetszőleges euklideszi tér bármely két x és y elemére az egyenlőtlenség

(x, y) 2 ≤ (x, x) (y, y), (4.6)

Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségnek nevezik.
Bizonyíték. Bármely λ valós számra a skaláris szorzat 4° axiómája alapján igaz a (λ x - y, λ x - y)> 0 egyenlőtlenség. Az 1 ° -3° axiómákkal az utolsó egyenlőtlenség lehet átírva mint

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Az utolsó négyzethármas nemnegativitásának szükséges és elégséges feltétele a diszkriminánsának nempozitivitása, azaz az egyenlőtlenség ((x, x) = 0 esetben a négyzethármas lineáris függvénnyel degenerálódik, de ebben az esetben x elem nulla, így (x, y ) = 0 és a (4.7) egyenlőtlenség is érvényes)

(x, y) 2 - (x, x) (y, y) ≤ 0. (4.7)

A (4.6) egyenlőtlenség közvetlenül következik a (4.7)-ből. A tétel bizonyítva van.
Következő feladatunk egy tetszőleges euklideszi térben a fogalom bevezetése normák(vagy hossz) az egyes elemek. Ehhez bevezetjük a normált lineáris tér fogalmát.
Meghatározás. Az R lineáris teret ún normalizálva ha a következő két követelmény teljesül.
I. Létezik egy szabály, amely szerint az R tér minden x eleméhez egy valós szám tartozik, ún a norma(vagy a hosszúság) a megadott elemről, és az || x ||
P. Erre a szabályra a következő három axióma érvényes:
1 °. || x || > 0, ha x nem nulla elem; || x || = 0, ha x nulla elem;
2 °. || λ x || = |λ | || x || bármely x elemre és bármely λ valós számra;
3 °. bármely két x és y elemre a következő egyenlőtlenség érvényes:

|| x + y || ≤ || x || + || y ||, (4.8)

háromszög-egyenlőtlenségnek (vagy Minkowski-egyenlőtlenségnek) nevezzük..
4.2. Tétel. Bármely euklideszi tér normalizálódik, ha bármely x elem normáját az egyenlőség határozza meg

Bizonyíték. Elegendő annak bizonyítása, hogy a normált tér definíciójától számított 1 ° –3 ° axiómák érvényesek a (4.9) összefüggés által meghatározott normára.
Az 1° axióma érvényessége a normára azonnal következik a skaláris szorzat 4° axiómájából. A 2° axióma érvényessége a normára szinte közvetlenül következik a skaláris szorzat 1° és 3° axiómáiból.
Még ellenőrizni kell a 3 ° axióma érvényességét a normára, vagyis a (4.8) egyenlőtlenségre. A Cauchy-Bunyakovsky-egyenlőtlenségre (4.6) fogunk támaszkodni, amit átírunk az alakba.

Az utolsó egyenlőtlenség, a skaláris szorzat 1 ° -4 ° axiómái és a norma definíciója segítségével megkapjuk

A tétel bizonyítva van.
Következmény. Bármely euklideszi térben a (4.9) összefüggés által meghatározott elemnormával a (4.8) háromszög-egyenlőtlenség érvényes bármely két x és y elemre.

Megjegyezzük továbbá, hogy bármely valós euklideszi térben bevezethetjük a tér két tetszőleges x és y eleme közötti szög fogalmát. A vektoralgebrával teljes analógiával hívjuk szögφ elemek között NSés nál nél az a szög (0-tól π-ig), amelynek koszinuszát a reláció határozza meg

A szög definíciója helyes, mert a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenség (4,7") értelmében az utolsó egyenlőség jobb oldalán lévő tört abszolút értékben nem haladja meg az egyet.
Továbbá megegyezünk abban, hogy az E euklideszi tér két tetszőleges x és y elemét merőlegesnek nevezzük, ha ezeknek az elemeknek (x, y) skaláris szorzata nulla (ebben az esetben az x elemek közötti szög (φ) koszinusza és y egyenlő lesz nullával).
Ismét vektoralgebrára hivatkozva, két ortogonális x és y elem x + y összegét az x és y elemekre épített derékszögű háromszög hipotenúzusának nevezzük.
Vegyük észre, hogy bármely euklideszi térben érvényes a Pitagorasz-tétel: a hipotenusz négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Valójában, mivel x és y ortogonálisak, és (x, y) = 0, az axiómák és a norma definíciója alapján

|| x + y || 2 = ( x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) = (x, x) + (y, y) =|| x || 2 + || y || 2.

Ezt az eredményt n páronkénti x 1, x 2, ..., x n ortogonális elemre általánosítjuk: ha z = x 1 + x 2 + ... + x n, akkor

|| x || 2 = (x 1 + x 2 + ... + x n, x 1 + x 2 + ... + x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( xn, xn) = || x 1 || 2 + || x 1 || 2 + ... + || x 1 || 2.

Végezetül felírjuk a normát, a Cauchy-Bunyakovsky-egyenlőtlenséget és a háromszög-egyenlőtlenséget az előző részben tárgyalt euklideszi terek mindegyikébe.
Az összes szabad vektor euklideszi terében a skalárszorzat szokásos definíciójával az a vektor normája egybeesik a |a | hosszával, a Cauchy-Bunyakovsky-egyenlőtlenség ((a, b) 2 ≤ | a | 2 | b | 2, és a háromszög egyenlőtlenség - az | a + b | ≤ | a | + | b | alakba (Ha a háromszögszabály szerint összeadjuk az a és b vektorokat, akkor ez az egyenlőtlenség triviálisan redukálódik az a tény, hogy a háromszög egyik oldala nem haladja meg a másik két oldalának összegét).
Az x = x (t) folytonos függvények C [a, b] euklideszi térében az a ≤ t ≤ b szakaszon a skalárszorzattal (4.1) az x = x (t) elem normája egyenlő, és a Cauchy-Bunyakovsky és a háromszög egyenlőtlenségnek megvan a formája

Mindkét egyenlőtlenség fontos szerepet játszik a matematikai elemzés különböző ágaiban.
Az euklideszi tér Е n rendezett gyűjteményében n valós szám skaláris szorzattal (4.2) bármely х = (х 1, x 2, ..., х n) elem normája egyenlő

Végül n valós szám rendezett gyűjteményének euklideszi terében a skaláris szorzattal (4.5) bármely x = (x 1, x 2, ..., xn) elem normája 0 (emlékezzünk arra, hogy ebben az esetben a mátrix () 4.3) szimmetrikus és pozitív határozott másodfokú formát generál (4.4)).

a Cauchy-Bunyakovsky és a háromszög egyenlőtlenségek pedig olyan formában